Сегмент ба өнцгийг хэмжих үндсэн шинж чанарууд. Тодорхойлолт. Аксиом - Геометр - Сургуулийн хүүхдүүдэд зориулсан маш сайн лавлах ном. Өнцгийн хэмжилтийн үндсэн шинж чанарууд
Геометр
Хамгийн энгийн геометрийн дүрсүүдийн үндсэн шинж чанарууд
Тодорхойлолт. Аксиомууд
Геометрнь геометрийн дүрсийн шинж чанарын шинжлэх ухаан юм. Анхаарна уу: геометрийн дүрс нь зөвхөн гурвалжин, тойрог, пирамид гэх мэт төдийгүй аливаа цэгийн багц юм.
Планиметрихавтгай дээрх дүрсийг судалдаг геометрийн салбар юм.
ЦэгТэгээд Чигээрээнь планиметрийн үндсэн ойлголтууд юм. Энэ нь энэ ойлголтыг нарийн тодорхойлох боломжгүй гэсэн үг юм. Тэднийг зөвхөн туршлага дээр тулгуурлан, өмч хөрөнгийг нь жагсаан бичсэнээр төсөөлж болно.
Үнэнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрсөн мэдэгдлийг дууддаг аксиомууд. Эдгээр нь хамгийн энгийн дүрсүүдийн үндсэн шинж чанаруудын томъёоллыг агуулдаг.
Батлагдсан мэдэгдлүүдийг гэж нэрлэдэг теоремууд.
Тодорхойлолтнь үндсэн ойлголтууд эсвэл өмнө нь тодорхойлсон ойлголтуудын аль нэгэнд тулгуурласан ойлголтын тайлбар юм.
Тэмдэглэл: оноог латин үсгээр томоор бичсэн; шулуун шугамууд - жижиг латин үсэг эсвэл хоёр том латин үсгээр (хэрэв шулуун шугам дээр хоёр цэгийг зааж өгсөн бол).
Зурган дээрх цэгүүд А, Б, C, Н,Ммөн шулуун аТэгээд б. Шууд Ашулуун шугам гэж тодорхойлж болно М.Н(эсвэл Н.М.).
Оруулсан нь цэг гэсэн үг Мшулуун шугам дээр байрладаг А. Оруулсан нь цэг гэсэн үг ХАМТшулуун шугам дээр хэвтдэггүй А.
Үүнийг бид шууд ойлгох ёстой аТэгээд бзураг дээр огтлолцдог, гэхдээ бид хараагүй ч нэг цэг дээр.
Хавтгай дээрх харьяалагдах цэг ба шугамын үндсэн шинж чанарууд (аксиомууд).
Аксиом I. 1. Шулуун ямар ч байсан энэ шулуунд хамаарах цэгүүд, түүнд хамаарахгүй цэгүүд байдаг.
2. Дурын хоёр цэгээр дамжуулан та шулуун шугам зурж болно, зөвхөн нэг. (Энэ нь нэгдүгээрт, ийм шугам байгаа эсэх, хоёрдугаарт, түүний өвөрмөц байдал гэсэн хоёр мэдэгдлийг агуулсан гэдгийг бид ойлгох ёстой.)
Аксиом II. Шулуун дээрх гурван цэгийн нэг нь нөгөө хоёрын дунд оршдог.
Сегментээрнь өгөгдсөн хоёр цэгийн хооронд орших энэ шугамын бүх цэгүүдээс тогтсон шугамын хэсэг юм. Эдгээр цэгүүдийг нэрлэдэг сегментийн төгсгөлүүд. Зураг нь сегментийг харуулж байна AB(сегментийг төгсгөлийг нь бичих замаар зааж өгсөн болно).
Хэмжих сегментийн үндсэн шинж чанарууд (аксиомууд).
Аксиом III. 1. Сегмент бүр тэгээс их тодорхой урттай байна.
2. Хэсгийн урт нь түүний аль нэг цэгт хуваагдсан хэсгүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Хавтгай дээрх шулуун шугамтай харьцуулахад цэгүүдийг байрлуулах гол шинж чанар
Аксиом IV. Шулуун шугам нь хавтгайг хоёр хагас хавтгайд хуваадаг. Энэ хуваалт нь дараах шинж чанартай байдаг: хэрвээ аль нэг сегментийн төгсгөлүүд нь нэг хавтгайд хамаарах бол сегмент нь шугамыг огтлохгүй; хэрвээ сегментийн төгсгөлүүд өөр өөр хавтгайд хамаарах бол сегмент нь шугамыг огтолно.
Шууд, эсвэл цацраг, өгөгдсөн цэгийн нэг талд байрлах энэ шугамын бүх цэгүүдээс тогтсон шугамын хэсэг гэж нэрлэдэг. Энэ цэгийг нэрлэдэг туяа эхлэх цэг. Нийтлэг эхлэлийн цэг бүхий нэг шугамын өөр өөр шугамыг дуудна нэмэлт.
Зураг нь цацрагийг харуулж байна AB(aka А.С.), Д.А.(эсвэл Д.Б., DC), МЭӨ, C.B.(эсвэл C.A., CD), Б.А.(эсвэл Б.Д), МЭ.
Цацраг ABТэгээд A.D., B.C.Тэгээд Б.Д- нэмэлт. Цацраг Б.ДТэгээд А.С.Тэд өөр өөр эхлэлтэй тул нэмэлт биш юм.
Булан- энэ бол цэгээс бүрдэх зураг юм - булангийн оройнууд- мөн энэ цэгээс ирж буй хоёр өөр шулуун, - өнцгийн талууд.
Зурагт үзүүлсэн өнцгийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно: , , .
Хэрэв өнцгийн талууд нь нэмэлт шулуун байвал өнцгийг гэнэ өргөтгөсөн:
Тэд ингэж хэлдэг туяа нь өнцгийн талуудын хооронд дамждаг, хэрэв энэ нь оройн хэсгээс ирж, хажуу талдаа төгсгөлтэй зарим сегментийг огтолж байвал. Боловсруулсан өнцгийн хувьд түүний оройгоос гарч буй, хажуу талаас нь ялгаатай аливаа туяа өнцгийн талуудын хооронд дамждаг гэж бид үздэг.
Өнцгийн хэмжилтийн үндсэн шинж чанарууд
Аксиом V. 1. Өнцөг бүр тэгээс их тодорхой хэмжүүртэй байна. Шулуун өнцөг нь тэнцүү байна.
2. Өнцгийн хэмжүүр нь түүний талуудын хооронд өнгөрөх аливаа цацрагт хуваагдах өнцгүүдийн градусын хэмжүүрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Сегмент ба өнцгийг байрлуулах үндсэн шинж чанарууд
Аксиом VI. Эхлэх цэгээс нь дурын шулуун шугам дээр та өгөгдсөн урттай сегментийг зөвхөн нэгийг нь зурж болно. Аксиом VII. Ямар ч шулуун шугамаас өгөгдсөн хавтгайд өгөгдсөн градусын өнцгөөс бага, зөвхөн нэг өнцөг үүсгэж болно.
Гурвалжиннэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг, эдгээр цэгүүдийг хос хосоор нь холбосон гурван сегментээс бүрдэх дүрс юм. Цэгүүдийг дууддаг гурвалжны оройнууд, сегментүүд нь түүнийх намууд.
Зураг дээрх гурвалжинг дараах байдлаар тодорхойлж болно: эсвэл гэх мэт.
Дээрх гурвалжны үндсэн элементүүд: талууд AB, А.С., МЭӨ(эсвэл а, б, в); өнцөг (эсвэл), , . ба - хажуугийн зэргэлдээ А.С.. - эсрэг тал А.С..
Гурвалжин гэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн харгалзах талууд тэнцүү ба тэдгээрийн харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол. Энэ тохиолдолд харгалзах өнцөг нь харгалзах талуудын эсрэг талд байх ёстой.
Энэ оруулга нь (зураг харна уу) гэсэн утгатай:
; ;
; ;
; .
Тохирох гурвалжны оршин тогтнох гол шинж чанар
Аксиом VIII. Ямар ч гурвалжин өгөгдсөн шулуун шугамтай харьцуулахад өгөгдсөн байршилд түүнтэй тэнцүү гурвалжин бий. Шууд шугам гэж нэрлэдэг Зэрэгцээ, хэрэв тэдгээр нь огтлолцохгүй бол.
Зурагт үзүүлсэн зэрэгцээ шугамуудыг дараах байдлаар тодорхойлж болно: эсвэл.
Зэрэгцээ шугамын аксиом
Аксиом IX. Өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дамжуулан хавтгай дээр өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун шугам татах боломжтой. Анхаарна уу: аксиом нь ийм шугамын өвөрмөц байдлыг баталдаг боловч түүний оршин тогтнолыг баталдаггүй.
Хавтгай дээрх шугамуудын харьцангуй байрлал
Хавтгай дээрх хоёр шулуун шугам нь: давхцах;
зэрэгцээ байх (өөрөөр хэлбэл огтлолцоогүй);
нэг нийтлэг зүйл байна.
(Үнэхээр, хэрэв хоёр шулуун дор хаяж хоёр нийтлэг цэгтэй байж болох юм бол энэ хоёр цэгээр хоёр өөр шугам өнгөрөх байсан нь I аксиомын 2-р зүйлтэй зөрчилддөг).
Зураг 18-д захирагчийг A эхлэлийн цэг бүхий хагас шугам дээр хэрхэн өгөгдсөн урттай (3 см) хэрчмийг зурж болохыг харуулж байна.
Зураг 19-г харна уу. a, эхлэл A цэгээс цааш сунгасан нь онгоцыг хоёр хагас хавтгайд хуваана. Зурган дээр өгөгдсөн градусын хэмжигдэхүүнтэй (60°) өнцгийг хагас шулуунаас дээд талын хагас хавтгай руу зурахын тулд протекторыг хэрхэн ашиглахыг үзүүлэв.
Бид дараах шинж чанаруудыг сегмент ба өнцгийг байрлуулах үндсэн шинж чанарууд гэж нэрлэх болно.
VI. Эхлэх цэгээс нь аль ч хагас шугам дээр та өгөгдсөн урттай сегментийг зөвхөн нэгийг нь зурж болно.
VII. Ямар ч хагас шугамаас өгөгдсөн шугам хүртэлхагас хавтгайТа өгөгдсөн градусын хэмжүүрээр 180 ° -аас бага, зөвхөн нэг өнцгийг зурж болно.
Асуудал (30). AB туяа дээр АВ сегментээс бага АС сегмент байна. А, В, С гурван цэгийн аль нь нөгөө хоёрын дунд байх вэ? Хариултаа тайлбарлана уу.
Шийдэл (Зураг 20). В ба С цэгүүд нь эхний А цэгтэй нэг хагас шулуун дээр байрладаг тул тэдгээрийг А цэгээр тусгаарладаггүй, өөрөөр хэлбэл А цэг нь В ба С цэгүүдийн хооронд оршдоггүй.
В цэг нь А ба С цэгүүдийн хооронд байж болох уу? Хэрэв энэ нь А ба С цэгүүдийн хооронд байвал AB + BC = AC болно.
Гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь нөхцөл байдлын дагуу Шугамын сегмент AC нь AB сегментээс бага байна. Энэ нь В цэг нь А ба С цэгүүдийн хооронд оршдоггүй гэсэн үг юм.
A, B, C гурван цэгийн нэг нь нөгөө хоёрын дунд оршдог. Тийм ч учраас цэг C нь А ба В цэгүүдийн хооронд байрладаг.
А.В.Погорелов, 7-11-р ангийн геометр, боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг
СЭДЭВ "Сегментийн үндсэн шинж чанарууд"
7-р ангийн геометрийн хичээлд цахим сурах бичгийг ашиглах жишээ болгон бид "Сэгментийн үндсэн шинж чанарууд" гэсэн ойлголтыг хэрхэн нэвтрүүлж байгааг авч үзэх болно.
Энэ сонголт нь дараах хүчин зүйлсээс шалтгаална.
1. Энэ нь геометрийн анхан шатны болон системчилсэн хичээлүүдийн хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм;
2. Сегмент нь жишээлбэл, туяа эсвэл шулуун шугамаас ялгаатай нь метрийн шинж чанартай байдаг - урт.
Одоогийн математикийн хөтөлбөр нь дараахь зөвлөмжийг өгдөг.
1. Материалыг судлах ажлыг оюутнуудын амьдралын туршлага, практик ур чадварт үндэслэн зохион байгуулдаг;
2. Асуудлыг шийдвэрлэх, барилга байгууламжийг гүйцэтгэх явцад сегментийн онцлог шинж чанарууд ажиглагддаг;
3. Захирагч ашиглан хэрчмүүдийг хэмжих, бүтээх ур чадварыг хөгжүүлэхэд гол анхаарлаа хандуулдаг.
Одоогийн хөтөлбөрийн дагуу геометрийн материалыг судалсны үр дүнд оюутнууд дараахь зүйлийг мэдэж байх ёстой.
1. Хавтгайн хоёр цэгийг холбосон нэг сегмент байгааг;
2. Хэсэг нь хоёр талдаа хязгаарлагдаж, шулуун шугамын нэг хэсэг байх;
3. Тэнцүү сегментийг тодорхойлох;
4. Хэсгийн уртын шинж чанар - хэрчмүүдийн нийлбэрийн урт нь нийлбэр хэсгүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Оюутнууд дараах чадвартай байх ёстой:
1. Төрөл бүрийн геометрийн дүрст багтсан сегментүүдийг таних;
2. Сегментүүдийг байгуулах, шошголох, хэмжих;
3. Хэсгүүдийг харьцуул.
Уламжлалт танилцуулгад энэ материалыг судлах ажлыг дараахь схемийн дагуу явуулдаг.
1. Сегмент байгуулах;
2. Сегментийн тэмдэглэгээ;
3. Сегментийн урт, уртын нэгж;
4. Сегментүүдийг тавих шинж чанар;
5. Хэсгүүдийн нийлбэрийн уртыг олох.
Төрөл бүрийн одоогийн сурах бичиг, сургалтын хэрэглэгдэхүүнд багтсан дасгалуудыг дараахь төрлүүдэд ангилж болно.
a) сегментүүдийг барих;
б) сегментүүдийн тэмдэглэгээ;
в) сегментийг хэмжих, харьцуулах;
г) тасархай шугамын урт эсвэл олон өнцөгтийн периметрийг олох;
д) хэрчмүүдийн нийлбэрийн уртыг олох.
Тиймээс "сегмент" гэсэн ойлголт нь түүний урттай шууд холбоотой юм. Бид хэмжилттэй холбоогүй шинж чанаруудыг онцлон "сегмент" гэсэн ойлголтыг авч үзэх болно. Эдгээр нь сегментийн бусад геометрийн дүрстэй ижил төстэй байдал, тэдгээрийн ялгааг тогтоох, өөрөөр хэлбэл сегментийн санааг оюутнуудын аль хэдийн байгаа геометрийн санааны системд оруулах боломжийг олгодог шинж чанарууд юм.
Сегментийн үндсэн шинж чанарууд - шулуун ба хоёр чиглэлийн хязгаарлагдмал байдал нь шулуун шугам эсвэл туяатай харьцуулах үед илэрдэг.
Эдгээр шинж чанарууд нь сегментийг хэмжих, өөрөөр хэлбэл түүний уртыг уртын стандарттай харьцуулах боломжийг олгодог.
Үнэн хэрэгтээ шулуун ба туяаны урт нь хязгааргүй шинж чанартай тул хэмжих боломжгүй юм. Муруй шугамын хувьд уртыг шууд хэмжих нь дурын хэлбэрийн улмаас хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч муруйны урт нь мэдэгдэж байсан ч энэ тоо нь түүний хэлбэрийн талаар юу ч хэлэхгүй, учир нь өгөгдсөн урттай хязгааргүй тооны муруй шугамууд байдаг. Сегментийн урт нь үүнийг геометрийн дүрс гэж өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.
Энэхүү нийтлэлд "сегмент" гэсэн ойлголтыг дараахь схемийн дагуу судлахыг санал болгож байна.
1. сегментийг барих;
2. сегментийн тэмдэглэгээ;
3. сегментийн хэмжүүрийн бус үндсэн шинж чанарууд;
4. сегментийг хойшлуулах үндсэн шинж чанар;
5. сегментийн урт, уртын нэгж;
6. тэнцүү сегментүүд, сегментүүдийг уртаар нь харьцуулах;
7. хэрчмүүдийн нийлбэрийн уртыг олох.
"А сегмент ба түүний шинж чанарууд" сэдэвтэй танилцахад нэг цаг зарцуулсан.
"Хэсгүүдийн үндсэн шинж чанарууд" ХИЧЭЭЛ.
Хичээлийн зорилго: сегментийг хязгаарлагдмал шулуун геометрийн дүрс, хавтгай дээрх цэгүүдийн харьцангуй байрлалын талаархи оюутнуудын санаа бодлыг хөгжүүлэх.
I. Шинэ материал судлах бэлтгэл.
Оюутнууд сегмент, түүний бүтэц, хэмжилтийг бага сургуулиас нь мэддэг. Тиймээс, хичээлийн эхэнд оюутнууд захирагч, түүний тэмдэглэгээг ашиглан сегментийг бүтээх янз бүрийн аргуудыг санаж байна.
Давталт:
Арга 1: Захирагчийг ашиглан шулуун шугамыг зурж, дээр нь АВ хэрчмийг тодорхойлсон А ба В хоёр цэгийг тэмдэглэнэ.
AB сегмент нь шулуун шугамын нэг хэсэг,
А Боноогоор хязгаарлагддаг.
Шугамын сегмент AB
2-р арга: Хавтгайн А ба В хоёр цэгийг тэмдэглэ.А ба В цэгээс хэтрээгүй захирагч ашиглан тэдгээрийг холбоно.
AB сегмент нь бүх цэгээс бүрдэнэ
цэгүүдийн хооронд байрлах шулуун шугам
А IN A ба B, мөн цэгүүд нь өөрсдөө.
Шугамын сегмент AB
Оюутнууд сегментийн талаар мэддэг бүх зүйлээ санаж байна: 1) сегмент нь хавтгай дүрс (хавтгай дээр байрладаг); 2) энэ нь шулуун шугамын нэг хэсэг юм; 3) сегмент нь хязгааргүй тооны цэгээс бүрдэнэ; 4) энэ нь хоёр талдаа хязгаарлагдмал; 5) сегментийн цэг бүр нь сегментийн төгсгөл гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн хоёр цэгийн хооронд байрладаг.
Оюутнууд энэ бүхнийг цахим сурах бичигт үндэслэн "сегмент" хуудсыг нээж санаж байна. (Зураг 8)
Зураг 8.
Шинэ материалын танилцуулга. "Планиметри" EUP хуудсыг ашиглах: "Сегментийн үндсэн шинж чанарууд"
Оюутнууд сегментийн талаар мэддэг зүйлээ санаж, давтан хэлсний дараа багш хэлэхдээ: сегментийн төгсгөлүүдийг хилийн цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хооронд байрлах бүх хэсгүүд нь сегментийн дотоод цэгүүд юм.
Үүний дараа багш хүүхдүүдээс зургийг харуулсан цахим сурах бичиг рүү эргэж, сегментийг хэмжих, зурах үндсэн шинж чанарууд руу хөтлөх тайлбарыг өгөхийг хүснэ.
II. Нэгтгэх
Оюутнууд цэгүүдийг сегмент, шугамын сегмент, туяанд хамааруулах, түүнчлэн тэдгээрийн бүтэцтэй холбоотой хэд хэдэн даалгаврыг гүйцэтгэхийг хүсч байна.
1. Дэвтэртээ K, M цэгүүдийг тэмдэглэ.Зургуур ашиглан KM хэрчмийг байгуул. Энэ хэрчим дээр P ба T цэгүүдийг тэмдэглэ.Эдгээр цэгүүд KM хэрчмийг хуваах хэрчмүүдийг нэрлэнэ үү. T цэг нь KM сегментийг ямар сегментүүдэд хуваадаг вэ?
2. Зурагт заасан цэгүүдийн аль нь вэ? CD сегментэд хамаарах ба тэдгээрийн аль нь хамаарахгүй вэ?
Нэгтгэх асуултууд:
1. Цэг ба шугамыг хэрхэн тэмдэглэдэг вэ?
2. Зурагт тэмдэглэсэн цэгүүдийн аль нь а, аль нь b шулуун дээр байх вэ? a ба b шулуунууд ямар цэг дээр огтлолцдог вэ?
3. Сегментүүдийг байрлуулах үндсэн шинж чанаруудыг томъёол.
4. Хэмжилтийн сегментийн үндсэн шинж чанарыг томъёол.