гэр » Хураангуй » Гурван харилцан перпендикуляр проекцын хавтгай дээрх проекц. ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам Дээд мэргэжлийн боловсролын холбооны улсын төсвийн боловсролын байгууллага Кузбассын улсын техникийн их сургууль

Гурван харилцан перпендикуляр проекцын хавтгай дээрх проекц. ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам Дээд мэргэжлийн боловсролын холбооны улсын төсвийн боловсролын байгууллага Кузбассын улсын техникийн их сургууль

Зургийн хоёр проекцоор хэлбэрийн мэдээллийг дамжуулах боломжгүй олон хэсэг байдаг. Хэсгийн нарийн төвөгтэй хэлбэрийн талаархи мэдээллийг хангалттай хэмжээгээр харуулахын тулд проекцийг гурван харилцан перпендикуляр проекцын хавтгайд ашигладаг: урд тал - V, хэвтээ - H ба профиль - W ("давхар ve" гэж уншина уу).

Цогцолбор зураг Гурван харагдац эсвэл төсөөлөлд үзүүлсэн зураг нь ихэнх тохиолдолд тухайн хэсгийн (зүйл ба объект) хэлбэр, дизайны бүрэн дүр зургийг өгдөг бөгөөд үүнийг цогц зураг гэж нэрлэдэг. үндсэн зураг. Хэрэв зургийг координатын тэнхлэгүүдээр хийсэн бол түүнийг тэнхлэгийн зураг гэнэ. тэнхлэггүй Хэрэв зураг нь координатын тэнхлэггүйгээр хийгдсэн бол тэнхлэггүй профиль гэж нэрлэнэ. Хэрэв W хавтгай нь проекцийн урд ба хэвтээ хавтгайд перпендикуляр байвал түүнийг профиль гэнэ.

Объектыг гурвалсан буланд байрлуулсан бөгөөд түүний үүсэх ирмэг ба суурь нь урд болон хэвтээ проекцын хавтгайтай параллель байна. Дараа нь проекцын цацрагийг объектын бүх цэгүүдээр дамжуулж, бүх гурван проекцын хавтгайд перпендикуляраар дамжуулж, объектын урд, хэвтээ, профилын проекцийг олж авдаг. Проекцын дараа объектыг гурвалсан өнцгөөс салгаж, дараа нь хэвтээ ба профилын проекцын хавтгайг урд талын проекцын хавтгайтай нийлэх хүртэл Ox болон Oz тэнхлэгийн эргэн тойронд 90° эргүүлж, гурван проекц агуулсан хэсгийн зургийг гаргана. олж авсан.

Зургийн гурван төсөөлөл нь хоорондоо холбоотой байдаг. Урд ба хэвтээ проекцууд нь зургийн проекцын холболтыг хадгалдаг, өөрөөр хэлбэл урд ба хэвтээ, урд ба профиль, түүнчлэн хэвтээ ба профилын проекцуудын хооронд проекцын холболтыг тогтоодог. Төслийн шугамууд нь зургийн талбар дээрх төсөөлөл бүрийн байршлыг тодорхойлдог. Ихэнх объектуудын хэлбэр нь янз бүрийн геометрийн бие эсвэл тэдгээрийн хэсгүүдийн хослол юм. Тиймээс зураг уншиж, гүйцэтгэхийн тулд үйлдвэрлэлийн гурван проекцын системд геометрийн биетүүдийг хэрхэн дүрсэлсэнийг мэдэх хэрэгтэй.

1. Проекцын хавтгайтай параллель нүүрийг гажилтгүй, байгалийн хэмжээгээр түүн дээр тусгана. 2. Проекцын хавтгайд перпендикуляр нүүрийг шулуун шугамын хэрчмээр дүрсэлсэн байна. 3. Проекцын хавтгайд ташуу байрлалтай нүүр царай, гажилттай (багасгасан) зураг

& 3. 4.1 бичих даалгаварт pg асуултууд. pp pp, & 5, pp. 37-45, бичгийн даалгавар

Гурван харилцан перпендикуляр хавтгайн систем

Нарийн төвөгтэй зураг үүсгэх (диаграмм)

Онгоцны орон зайн системээс үүссэн зургийг ашиглахад хялбар болгохын тулд хавтгай хэлбэр рүү шилжье.

Үүний тулд:

1. p 1 хавтгайг p 2 хавтгайтай нийлэх хүртэл X тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх аргыг хэрэглэцгээе (Зураг 1).

2. p 1 ба p 2 хавтгайг нэг зургийн хавтгайд нэгтгэх (Зураг 2)


Зураг 1	Зураг 2

А 1 ба А 2 проекцууд нь X тэнхлэгт перпендикуляр нэг холболтын шугам дээр байрладаг.Энэ шугамыг ихэвчлэн проекцын холболтын шугам гэж нэрлэдэг (Зураг 3).

Зураг 3

Проекцийн хавтгай нь орон зайд хязгааргүй гэж тооцогддог тул p 1, p 2 хавтгайн хил хязгаарыг дүрслэх шаардлагагүй (Зураг 4).

Зураг 4

p 1 ба p 2 хавтгайг нэгтгэсний үр дүнд нарийн төвөгтэй зураг эсвэл диаграммыг олж авдаг (Францын epure зургаас), ᴛ.ᴇ. p 1 ба p 2 системд эсвэл хоёр проекцын хавтгайн системд зурах. Харааны дүрсийг диаграмаар сольсноор бид проекцын хавтгай ба цэгүүдийн байршлын орон зайн зургийг алдлаа. Гэхдээ диаграммууд нь барилгын ажлыг ихээхэн хялбаршуулсан нарийвчлал, хэмжихэд хялбар зургийг өгдөг.

Орон зайд тодорхойлогдсон цэг нь проекцын хавтгайтай харьцуулахад өөр өөр байрлалтай байж болно.

Цэгний зургийг янз бүрийн аргаар хийж болно.

үг (амаар);
графикаар (зураг);
харааны зураг (эзэлхүүн);
хавтгай (цогц зураг).

Хүснэгт 1

p 1 ба p 2 хавтгайд хамаарах цэгүүдийн зургийн жишээ

Цэгийн байрлал	Харааны зураг	Нарийн төвөгтэй зураг	Онцлог шинж тэмдгүүд
А цэг нь p 1 хавтгайд хамаарна			A 1 - X тэнхлэгийн доор, A 2 - X тэнхлэг дээр
В цэг нь p 1 хавтгайд хамаарна			B 1 - X тэнхлэгээс дээш, B 2 - X тэнхлэг дээр
C цэг нь p 2 хавтгайд хамаарна			C 2 - X тэнхлэгээс дээш, C 1 - X тэнхлэг дээр
D цэг нь p 2 хавтгайд хамаарна			D 1 – X тэнхлэг дээр, D 2 – X тэнхлэгийн доор
E цэг нь X тэнхлэгт хамаарна			E 1 нь E 2-той давхцаж, X тэнхлэгт хамаарна

Зураг 1

Гурван харилцан перпендикуляр хавтгайг авч үзьех 1 , p2 , х 3 (будаа. 1). Босоо хавтгай p 3 гэж нэрлэдэг Iпрофилын проекцын хавтгай. Өөр хоорондоо огтлолцсон онгоцууд 1 , p2 , p 3 нь проекцын тэнхлэгүүдийг үүсгэдэг бол орон зай нь 8 октантад хуваагдана.

х 1 х 2 = x; -х

х 1 х 3 = у; -y

х 2 х 3 = z; -z

0 – проекцийн тэнхлэгүүдийн огтлолцлын цэг.

Хосоор огтлолцсон проекцын хавтгай нь x, y, z гурван тэнхлэгийг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг декартын координатын систем гэж үзэж болно: тэнхлэг Xихэвчлэн abscissa тэнхлэг, тэнхлэг гэж нэрлэдэг y– ордны тэнхлэг, тэнхлэг З– хэрэглэх тэнхлэг, тэнхлэгүүдийн огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ ТУХАЙ,координатын гарал үүсэл юм.

Нарийн төвөгтэй зургийг авахын тулд бид p 1 ба p 3 хавтгайг p 2 хавтгайтай тэгшлэх хүртэл эргүүлэх аргыг хэрэглэнэ. Эхний октантын бүх онгоцны эцсийн дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.

Зураг 2

Энд тэнхлэгүүд байна ӨөТэгээд Оз, тогтмол хавтгайд хэвтэж p 2, зөвхөн нэг удаа дүрслэгдсэн байна, тэнхлэг Өөхоёр удаа харуулав. Үүнийг p 1 хавтгайтай тэнхлэгээр эргэдэгтэй холбон тайлбарлаж байна yдиаграмм дээр тэнхлэгтэй хослуулсан Оз, мөн p 3 хавтгайтай эргэлдэж, энэ ижил тэнхлэг нь тэнхлэгтэй давхцдаг Өө.

Орон зайн аливаа цэгийг координатаар тодорхойлно. Координатын тэмдгээр та өгөгдсөн цэгийн октантыг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хүснэгтийг ашиглах болно. 1-д 1-4 октант дахь координатын тэмдгүүдийг авч үзсэн (5-8 октантуудыг үзүүлээгүй, тэдгээр нь сөрөг утгатай байна) X, А yТэгээд zдавтагдана).

Хүснэгт 1

x	y	z	Октант
+	+	+	I
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

Онгоцуудын огтлолцлын онцгой тохиолдол бол харилцан перпендикуляр хавтгай юм.

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө рүүгээ перпендикуляр дамжин өнгөрвөл хоёр хавтгай харилцан перпендикуляр байдаг гэдгийг мэддэг. Цэгээр дамжуулан А өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр олон хавтгай зурж болно а ( h , е ) . Эдгээр онгоцууд нь огторгуйд хавтгайн багцыг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн тэнхлэг нь цэгээс унасан перпендикуляр юм. А онгоц руу а . Цэгд хүрэхийн тулд А хавтгайд перпендикуляр хавтгай зурах а ( h ,е ) , цэгээс зайлшгүй шаардлагатай А шууд хийх n, хавтгайд перпендикуляр а ( h ,е ) , (хэвтээ проекц n 1 хэвтээгийн хэвтээ проекцтой перпендикуляр h 1 , урд талын проекц n 2 урд талын урд талын проекцтой перпендикуляр е 2 ). Шугамыг дайран өнгөрөх аливаа онгоц n а ( h ,е ) , тиймээс, цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг тодорхойлох А дурын шулуун шугам татах м . Хоёр огтлолцсон шугамаар тодорхойлогдсон хавтгай (м ,n) , хавтгайд перпендикуляр байх болно а ( h ,е ) (Зураг 50).

3.5. Шугаман ба хавтгайн харьцангуй байрлалыг харуулж байна

Шулуун ба хавтгайн харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг:

Шулуун шугам нь хавтгайд хамаарна.

Шулуун шугам нь хавтгайтай параллель байна.

Шулуун шугам нь хавтгайг огтолж байна.

Хэрэв шулуун шугам нь хавтгайтай хоёр нийтлэг цэггүй бол энэ нь хавтгайтай параллель эсвэл огтлолцох нь ойлгомжтой.

Дүрслэх геометрийн асуудлуудад маш чухал зүйл бол шугам нь хавтгайд перпендикуляр байх үед шулуун ба хавтгайн огтлолцлын онцгой тохиолдол юм.

3.5.1. Шугаман ба хавтгайн параллелизм

Шулуун ба хавтгайн параллелизмыг шийдэхдээ стереометрийн мэдэгдэж буй байрлалд найдах шаардлагатай. Хэрэв энэ хавтгайд байрлах шулуунуудын аль нэгтэй параллель байвал шулуун нь хавтгайтай параллель байна мөн энэ онгоцонд хамаарахгүй.

Ерөнхий онгоц өгье ABC мөн ерөнхий байрлал дахь шулуун шугам А. Тэдний харьцангуй байрлалыг үнэлэх шаардлагатай (Зураг 51).

Үүнийг хийхийн тулд шууд дамжуулан А туслах огтлох хавтгай зурах g - энэ тохиолдолд хэвтээ чиглэлтэй хавтгай. Онгоцуудын огтлолцлын шугамыг олъё g Тэгээд А Нар - шууд П (DF ). Шууд төсөөлөл П проекцын хэвтээ хавтгай дээрх төсөөлөлтэй давхцаж байна А 1 мөн онгоцны ул мөртэй g . Шууд төсөөлөл П 2 Зэрэгцээ А 2 , П 3 Зэрэгцээ А 3 , тиймээс, шулуун А хавтгайтай зэрэгцээ ABC.

3.5.2. Шугамын хавтгайтай огтлолцох

Шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэгийг олох нь дүрслэх геометрийн үндсэн ажлуудын нэг юм.

Онгоц өгье ABC ба шулуун А. Шугамын хавтгайтай огтлолцох цэгийг олж, шугамын харагдах байдлыг хавтгайтай харьцуулахад тодорхойлох шаардлагатай.

Алгоритм Асуудлын шийдэл (Зураг 52) дараах байдалтай байна.

Шулуун шугамын хэвтээ проекцоор дамжуулан А 1 Туслах хэвтээ проекцын хавтгайг зуръя g .

Бид туслах хавтгайн өгөгдсөнтэй огтлолцох шугамыг олдог. Хэвтээ хавтгайн ул мөр g 1 хавтгайн проекцийг огтолж байна А 1 IN 1 ХАМТ 1 цэгүүдэд Д 1 Тэгээд Ф 1 , энэ нь хэвтээ проекцын байрлалыг тодорхойлдог П 1 - онгоцны огтлолцлын шугамууд g Тэгээд ABC . Урд болон профилын проекцийг олохын тулд П цэгүүдийг төсөөлье Д Тэгээд Ф проекцын урд ба профилын хавтгай дээр.

Шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох А Тэгээд П. Урд ба профилын проекцууд дээр хавтгайн огтлолцлын шугам П проекцуудтай огтлолцдог А цэг дээр TO , энэ нь шугамын огтлолцлын цэгийн проекц юм А онгоцтой ABC , холбооны шугамын дагуу бид хэвтээ проекцийг олдог TO 1 .

Өрсөлдөөнтэй онооны аргыг ашиглан бид шулуун шугамын харагдах байдлыг тодорхойлно А онгоцтой харьцуулахад ABC .

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд гурван харилцан перпендикуляр хавтгайн системийг нэвтрүүлсэн, учир нь зураг зурахдаа, жишээлбэл, машин ба тэдгээрийн эд ангиудыг зурахдаа хоёр биш, харин илүү олон зураг шаардлагатай болно. Үүний үндсэн дээр зарим барилга байгууламжид асуудлыг шийдвэрлэхдээ p 1, p 2 болон бусад проекцын хавтгайг системд нэвтрүүлэх шаардлагатай байдаг.

Эдгээр онгоцууд нь бүхэл бүтэн орон зайг VIII хэсэгт хуваадаг бөгөөд үүнийг октант гэж нэрлэдэг (Латин окто наймаас). Онгоцууд нь зузаангүй, тунгалаг, хязгааргүй байдаг. Ажиглагч нь эхний улиралд (p 1, p 2 системүүдийн хувьд) эсвэл эхний октант (p 1, p 2, p 3 системүүдийн хувьд) проекцын хавтгайгаас хязгааргүй зайд байрладаг.

§ 6. p 1, p 2, p 3 систем дэх цэг

Эхний октантад байрлах тодорхой А цэгийн p 1, p 2, p 3 гэсэн гурван харилцан перпендикуляр хавтгайд проекцийг бүтээхийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.27. Проекцын хавтгайг p 2 хавтгайтай хослуулан, онгоцыг эргүүлэх аргыг ашиглан бид А цэгийн нарийн төвөгтэй зургийг олж авна (Зураг 2.28):

AA 1 ^ p 1; AA 2 ^ p 2; AA 3 ^ х 3,

Энд А 3 – А цэгийн проекц; А Х, А y, А Z – А цэгийн тэнхлэгийн проекцууд.

А 1, А 2, А 3 проекцуудыг А цэгийн урд, хэвтээ, профиль проекц гэж нэрлэдэг.


Цагаан будаа. 2.27	Цагаан будаа. 2.28

Хосоор огтлолцсон проекцын хавтгай нь x, y, z гурван тэнхлэгийг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг декартын координатын систем гэж үзэж болно: тэнхлэг X abscissa тэнхлэг, тэнхлэг гэж нэрлэдэг y– ордны тэнхлэг, тэнхлэг З– хэрэглэх тэнхлэг, тэнхлэгүүдийн огтлолцох цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ ТУХАЙ,координатын гарал үүсэл юм.

Тиймээс объектыг харж буй үзэгч эхний октантад байна.

Нарийн төвөгтэй зургийг авахын тулд бид p 1 ба p 3 хавтгайг (2.27-р зурагт үзүүлсний дагуу) p 2 хавтгайтай нийцүүлэх хүртэл эргүүлэх аргыг хэрэглэнэ. Эхний октантын бүх онгоцны эцсийн дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.29.

Зураг руу харцгаая. 2.30, огторгуйн цэг хаана байна А, координатаар өгөгдсөн (5,4,6). Эдгээр координатууд эерэг бөгөөд тэр өөрөө эхний октантад байна. Орон зайн загварт тухайн цэгийн дүрс ба түүний төсөөллийг бүтээх ажлыг координатын тэгш өнцөгт параллелограмм ашиглан гүйцэтгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид уртын сегментүүдэд тохирох сегментүүдийг координатын тэнхлэг дээр зурдаг. Өө = 5, Өө = 4, OAz= 6. Эдгээр сегментүүд дээр ( ОАx, ОАy, ОАz), ирмэг дээрх шиг бид тэгш өнцөгт параллелепипед барьдаг. Түүний нэг орой нь өгөгдсөн цэгийг тодорхойлно А.

Нарийн төвөгтэй зураг дээрх гурван проекцын хавтгайн системийн тухай ярихад (Зураг 2.30) дараахь зүйлийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Эхлээд

1. цэгийн хоёр проекц нь нэг холбооны шугамд хамаарах;

2. цэгийн хоёр проекц нь түүний гурав дахь проекцын байрлалыг тодорхойлох;

3. холбооны шугам нь проекцын харгалзах тэнхлэгт перпендикуляр байна.

Хоёрдугаарт

Орон зайн аливаа цэгийг координатаар тодорхойлно. Координатын тэмдгээр та өгөгдсөн цэгийн октантыг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хүснэгтийг ашиглах болно. 2.3, 1-4 октант дахь координатын тэмдгүүдийг авч үзсэн (5-8 октантыг үзүүлээгүй, сөрөг утгатай байна) X, А yТэгээд zдавтагдана).

Хүснэгт 2.3

x	y	z	Октант
+	+	+	I
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

Гурван проекцын хавтгайн системд нарийн төвөгтэй зураг үүсгэх нь p 1, p 2, p 3 хавтгайг нэгтгэх замаар хийгддэг (Зураг 2.31).

Тэнхлэг цагтЭнэ тохиолдолд хоёр заалт байна: y 1 p 1 хавтгайтай, y 3 p 3 онгоцтой.

Цэгийн хэвтээ ба урд проекцууд нь тэнхлэгт перпендикуляр проекцын холболтын шугам дээр байрладаг. x, урд талын болон профилын төсөөлөл - тэнхлэгт перпендикуляр проекцын холболтын шугам дээр z.

A 1 A X = A 3 A Z = AA 2 – А-аас p 2 хүртэлх зай

A 2 A X = A 3 A y = AA 1 – А-аас p 1 хүртэлх зай

A 1 A y = A 2 A Z = AA 3 – А-аас p 3 хүртэлх зай

Проекцын хавтгайгаас цэгийн зайг диаграмм дээрх сегментүүдтэй адил хэмждэг (Зураг 2.32).

Сансар огторгуй дахь цэгийн проекц болон нарийн төвөгтэй зураг дээр янз бүрийн алгоритмуудыг ашиглаж болно.

1. Координатаар өгөгдсөн цэгийн харааны дүрсийг бүтээх алгоритм (Зураг 2.30):

1.1. Координатын тэмдгүүдийг тааруулах x, y, zХүснэгтийн өгөгдөлтэй. 2.3.

1.2. Цэгийн байрлаж буй улирлыг тодорхойл.

1.3. Улирлын визуал (аксонометрийн) дүрсийг гарга.

1.4. A X, A Y, A Z тэнхлэг дээрх цэгийн координатыг зур.

1.5. p 1, p 2, p 3 хавтгай дээрх цэгийн проекцуудыг байгуул.

1.6. A 1, A 2, A 3 проекцын цэгүүдэд p 1, p 2, p 3 хавтгайд перпендикуляр байгуулна.

1.7. Перпендикуляруудын огтлолцох цэг нь хүссэн А цэг юм.

2. Координатаар тодорхойлогдсон p 1, p 2, p 3 гэсэн гурван проекцийн хавтгайн систем дэх цэгийн цогц зургийг бүтээх алгоритм (Зураг 2.32)

2.1. Тухайн цэгийн байрлаж буй улирлыг координатаар тодорхойлно.

2.2. Онгоцыг нэгтгэх механизмыг тодорхойлох.

2.3. Улирлын иж бүрэн зургийг бүтээх.

2.4. Тэнхлэг дээрх цэгийн координатыг зур x, y, z(A X, A Y, A Z).

2.5. Цогцолбор зураг дээр цэгийн проекцийг бүтээх.

§ 7. I–IV октантын цэгийн цогц зураг, дүрслэл

Төрөл бүрийн октантуудад A, B, C, D цэгүүдийг байгуулах жишээг авч үзье (Хүснэгт 2.4).

Хүснэгт 2.4

Холбогдох мэдээлэл.

Онгоцны орон зай дахь байрлалыг дараахь байдлаар тодорхойлно.

нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг;
шулуун шугам ба шулуун шугамаас гадуур авсан цэг;
огтлолцсон хоёр шугам;
хоёр зэрэгцээ шугам;
хавтгай дүрс.

Үүний дагуу диаграм дээр онгоцыг зааж өгч болно.

нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийн төсөөлөл (Зураг 3.1,а);
цэг ба шугамын төсөөлөл (Зураг 3.1, b);
огтлолцсон хоёр шугамын төсөөлөл (Зураг 3.1c);
хоёр зэрэгцээ шугамын төсөөлөл (Зураг 3.1d);
хавтгай зураг (Зураг 3.1, d);
онгоцны ул мөр;
онгоцны хамгийн том налуугийн шугам.

Зураг 3.1 – Хавтгайг тодорхойлох аргууд

Ерөнхий онгоцпроекцын аль нэг хавтгайд параллель ч биш перпендикуляр ч биш хавтгай юм.

Онгоцны араасөгөгдсөн хавтгайг проекцын хавтгайнуудын аль нэгтэй огтолсны үр дүнд олж авсан шулуун шугам юм.

Ерөнхий онгоц гурван ул мөр байж болно: хэвтээ – απ 1, урд талын – απ 2 ба профайл – απ 3, энэ нь мэдэгдэж буй проекцын хавтгайтай огтлолцох үед үүсдэг: хэвтээ π 1, урд талын π 2 ба профиль π 3 (Зураг 3.2).

Зураг 3.2 – Ерөнхий хавтгайн ул мөр

3.2. Хэсэгчилсэн онгоцууд

Хэсэгчилсэн онгоц– проекцын хавтгайд перпендикуляр буюу параллель хавтгай.

Проекцын хавтгайд перпендикуляр байгаа хавтгайг проекц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ проекцын хавтгайд шулуун шугам хэлбэрээр проекц болно.

Проекцын хавтгайн шинж чанар: проекцын хавтгайд хамаарах бүх цэг, шулуун, хавтгай дүрсүүд нь онгоцны налуу ул мөр дээр проекцтэй байна(Зураг 3.3).

Зураг 3.3 – Урд талын проекцын хавтгай, үүнд: цэгүүд А, IN, ХАМТ; шугамууд АС, AB, Нар; гурвалжин хавтгай ABC

Урд проекцын хавтгай – проекцын урд талын хавтгайд перпендикуляр хавтгай(Зураг 3.4, a).

Хэвтээ проекцын хавтгай – проекцын хэвтээ хавтгайд перпендикуляр хавтгай(Зураг 3.4, b).

Профайл төлөвлөх онгоц – проекцын профилын хавтгайд перпендикуляр хавтгай.

Проекцын хавтгайтай параллель хавтгайг гэнэ түвшний онгоцуудэсвэл давхар проекцтой онгоцууд.

Урд түвшний онгоц – проекцын урд талын хавтгайтай параллель хавтгай(Зураг 3.4, в).

Хэвтээ түвшний хавтгай – проекцын хэвтээ хавтгайтай параллель хавтгай(Зураг 3.4, d).

Түвшингийн профилын хавтгай – проекцын профилын хавтгайтай параллель хавтгай(Зураг 3.4, d).

Зураг 3.4 – Тодорхой байрлалын хавтгайн диаграмм

3.3. Хавтгай дахь цэг ба шулуун шугам. Цэг ба шулуун хавтгайд хамаарах байдал

Цэг нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунд хамаарах бол хавтгайд хамаарна(Зураг 3.5).

Шулуун шугам нь хавтгайтай дор хаяж хоёр нийтлэг цэгтэй бол хавтгайд хамаарна(Зураг 3.6).

Зураг 3.5 – Нэг цэгийн хавтгайд хамаарах байдал

α = м // n

Д∈ n⇒ Д∈ α

Зураг 3.6 – Шулуун хавтгайд хамаарах

Дасгал хийх

Дөрвөн өнцөгтөөр тодорхойлогдсон хавтгай өгөгдсөн (Зураг 3.7, a). Дээд талын хэвтээ төсөөллийг дуусгах шаардлагатай ХАМТ.


А	б

Зураг 3.7 – Асуудлын шийдэл

Шийдэл:

A B C D– хавтгайг тодорхойлох хавтгай дөрвөлжин.
Үүнд диагональ зурцгаая А.С.Тэгээд Б.Д(Зураг 3.7, b) шулуун шугамуудыг огтолж байгаа нь мөн ижил хавтгайг тодорхойлдог.
Огтлолцох шугамын шалгуурын дагуу бид эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн хэвтээ проекцийг байгуулна. Кмэдэгдэж буй урд талын проекцын дагуу: А 2 C 2 ∩ Б 2 Д 2 =К 2 .
Проекцын холболтын шугамыг шулуун шугамын хэвтээ проекцтой огтлолцох хүртэл сэргээцгээе Б.Д: диагональ проекц дээр Б 1 Д 1 бид барьж байна TO 1 .
дамжуулан А 1 TO 1 бид диагональ проекцийг хийдэг А 1 ХАМТ 1 .
Бүрэн зогсоох ХАМТ 1-ийг сунгасан диагональ хэвтээ проекцтой огтлолцох хүртэл проекцын холболтын шугамаар олж авна. А 1 TO 1 .

3.4. Онгоцны үндсэн шугамууд

Хавтгайд хязгааргүй тооны шулуун шугам барьж болох боловч хавтгайд тусгай шулуун шугамууд байдаг. онгоцны гол шугамууд (Зураг 3.8 – 3.11).

Шулуун түвшин эсвэл хавтгайтай зэрэгцээнь өгөгдсөн хавтгайд байрлах ба проекцын аль нэг хавтгайтай параллель шулуун шугам юм.

Хэвтээ эсвэл хэвтээ түвшний шугам h(эхний параллель) нь өгөгдсөн хавтгайд хэвтээ проекцын хэвтээ хавтгайтай параллель (π 1) шулуун шугам юм.(Зураг 3.8, а; 3.9).

Урд эсвэл урд түвшин шулуун е(хоёр дахь параллель) нь өгөгдсөн хавтгайд байрлах ба проекцийн урд талын хавтгайтай параллель (π 2) шулуун шугам юм.(Зураг 3.8, b; 3.10).

Түвшингийн профайлын шугам х(гурав дахь параллель) нь өгөгдсөн хавтгайд байрлах ба проекцын профилын хавтгайтай параллель (π 3) шулуун шугам юм.(Зураг 3.8, в; 3.11).

Зураг 3.8 а – Гурвалжингаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний хэвтээ шулуун шугам

Зураг 3.8 b – Гурвалжингаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний фронтын шулуун шугам

Зураг 3.8 c – Гурвалжингаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний профилын шугам

Зураг 3.9 – Замуудаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний хэвтээ шулуун шугам

Зураг 3.10 – Замуудаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний урд талын шулуун шугам

Зураг 3.11 – Замуудаар тодорхойлсон хавтгай дахь түвшний профилын шугам

3.5. Шулуун ба хавтгайн харилцан байрлал

Өгөгдсөн хавтгайд хамаарах шулуун шугам нь параллель байж болох ба түүнтэй нийтлэг цэгтэй, өөрөөр хэлбэл огтлолцдог.

3.5.1. Шулуун хавтгайн параллелизм

Шулуун хавтгайн параллелизмын тэмдэг: Хэрэв энэ хавтгайд хамаарах аливаа шулуунтай параллель байвал шулуун нь хавтгайтай параллель байна(Зураг 3.12).

Зураг 3.12 – Шулуун хавтгайн параллел байдал

3.5.2. Шугамын хавтгайтай огтлолцох

Шулуун шугамын ерөнхий хавтгайтай огтлолцох цэгийг байгуулахын тулд (Зураг 3.13) дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

Шууд дүгнэ Атуслах хавтгайд β (тусгай байрлалын онгоцыг туслах онгоцоор сонгох хэрэгтэй);
Туслах β хавтгайн өгөгдсөн α хавтгайтай огтлолцох шугамыг ол;
Өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэгийг ол Аонгоцуудын огтлолцлын шугамтай М.Н.

Зураг 3.13 – Хавтгай шулуун шугамын уулзварын цэгийг барих

Дасгал хийх

Өгөгдсөн: шулуун ABерөнхий байрлал, хавтгай σ⊥π 1. (Зураг 3.14). Шугамын огтлолцлын цэгийг байгуул ABσ хавтгайтай.

Шийдэл:

σ хавтгай нь хэвтээ проекцтой тул σ хавтгайн хэвтээ проекц нь шулуун шугам σ 1 (хавтгайн хэвтээ ул мөр);
Цэг TOмөрөнд хамаарах ёстой AB ⇒ TO 1 ∈А 1 IN 1 ба өгөгдсөн хавтгай σ ⇒ TO 1 ∈σ 1, тиймээс, TO 1 нь төсөөллийн огтлолцлын цэг дээр байрладаг А 1 IN 1 ба σ 1;
Цэгийн урд талын проекц TOБид проекцын холбооны шугамаар дамжуулан олдог: TO 2 ∈А 2 IN 2 .

Зураг 3.14 – Ерөнхий шулууны тодорхой хавтгайтай огтлолцох

Дасгал хийх

Өгөгдсөн: хавтгай σ = Δ ABC- ерөнхий байрлал, шулуун Э.Ф.(Зураг 3.15).

Шугамын огтлолцох цэгийг барих шаардлагатай Э.Ф.σ хавтгайтай.


А	б

Зураг 3.15 – Шулуун ба хавтгайн огтлолцол

Шулуун шугамыг дүгнэе Э.Ф.туслах хавтгайд оруулах, үүний тулд бид хэвтээ тэнхлэгийн α-г ашиглана (Зураг 3.15, a);
Хэрэв α⊥π 1 бол π 1 проекцын хавтгайд α хавтгай нь шулуун шугам руу (απ 1 эсвэл α 1 хавтгайн хэвтээ ул мөр) давхцдаг. Э 1 Ф 1 ;
Төсөөлж буй α хавтгай σ хавтгайтай огтлолцох шугамыг (1-2) олъё (ижил төстэй асуудлын шийдлийг авч үзэх болно);
Мөр (1-2) ба заасан мөр Э.Ф.ижил α хавтгайд хэвтэж, цэг дээр огтлолцоно К.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм (Зураг 3.15, b):

дамжуулан Э.Ф.Туслах α хавтгайг зуръя:

3.6. Өрсөлдөх цэгийн аргыг ашиглан харагдах байдлыг тодорхойлох

Өгөгдсөн шугамын байрлалыг үнэлэхдээ π 1 эсвэл π 2 проекцын хавтгайг ажиглагчийн хувьд бидэнтэй ойр (цаашид) шугамын аль цэг байгааг тодорхойлох шаардлагатай.

Янз бүрийн объектод хамаарах цэгүүд ба проекцын аль нэг хавтгай дээр тэдгээрийн проекц нь давхцаж байгаа (өөрөөр хэлбэл хоёр цэгийг нэг цэгт тусгаж байгаа) цэгүүдийг проекцын хавтгай дээр өрсөлддөг гэж нэрлэдэг..

Проекцын хавтгай бүр дээр харагдах байдлыг тусад нь тодорхойлох шаардлагатай.

π 2-д харагдах байдал (Зураг 3.15)

π 2 – 3 ба 4 цэгүүд дээр өрсөлдөж буй оноог сонгоцгооё. 3∈ цэгийг үзье. VS∈σ, цэг 4∈ Э.Ф..

π 2 проекцын хавтгай дээрх цэгүүдийн харагдах байдлыг тодорхойлохын тулд π 2-ыг харахад хэвтээ проекцын хавтгай дээрх эдгээр цэгүүдийн байршлыг тодорхойлох шаардлагатай.

π 2 руу чиглэсэн харагдах чиглэлийг сумаар харуулав.

3 ба 4-р цэгийн хэвтээ проекцоос π 2-ыг харахад 4 1 цэг нь ажиглагчид 3 1-ээс илүү ойрхон байрладаг нь тодорхой байна.

4 1 ∈Э 1 Ф 1 ⇒ 4∈Э.Ф.⇒ π 2 дээр шулуун шугаман дээр хэвтэж буй 4 цэг харагдах болно Э.Ф., тиймээс, шулуун Э.Ф.Өрсөлдөж буй цэгүүдийн бүсэд σ хавтгайн урд байрладаг бөгөөд цэг хүртэл харагдах болно. К

π 1-д харагдах байдал

Харагдах байдлыг тодорхойлохын тулд бид π 1 - 2 ба 5 цэгүүд дээр өрсөлдөж буй цэгүүдийг сонгоно.

π 1 проекцын хавтгай дээрх цэгүүдийн харагдах байдлыг тодорхойлохын тулд π 1-ийг харахад урд талын проекцийн хавтгай дээрх эдгээр цэгүүдийн байршлыг тодорхойлох шаардлагатай.

π 1 хүртэлх харагдах чиглэлийг сумаар харуулав.

2 ба 5-р цэгийн урд талын проекцуудаас π 1-ийг харахад 2 2 цэг нь ажиглагчид 5 2-оос илүү ойрхон байрладаг нь тодорхой байна.

2 1 ∈А 2 IN 2 ⇒ 2∈AB⇒ π дээр 1 цэг 2 шулуун шугам дээр хэвтэж харагдах болно AB, тиймээс, шулуун Э.Ф.авч үзэж буй өрсөлдөөний цэгүүдийн талбайд σ хавтгайн доор байрладаг бөгөөд цэг хүртэл үл үзэгдэх болно. К– шулуун шугамын σ хавтгайтай огтлолцох цэгүүд.

Өрсөлдөгч хоёр цэгийн харагдахуйц нэг нь "Z" ба/эсвэл "Y" координатууд нь их байх болно.

3.7. Шулуун хавтгайд перпендикуляр байдал

Шулуун хавтгайн перпендикуляр байдлын тэмдэг: өгөгдсөн хавтгайд байрлах огтлолцсон хоёр шулуунтай перпендикуляр байвал шулуун нь хавтгайд перпендикуляр байна.


А	б

Зураг 3.16 – Хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамыг тодорхойлох

Теорем. Хэрэв шулуун шугам нь хавтгайд перпендикуляр байвал диаграмм дээр: шулуун шугамын хэвтээ проекц нь хавтгайн хэвтээ проекцод перпендикуляр байна. урд тал (Зураг 3.16, b)

Теорем нь тусгай тохиолдолд тэгш өнцөгт проекцын теоремоор батлагдсан.

Хэрэв хавтгай нь ул мөрөөр тодорхойлогдвол хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамын проекцууд нь онгоцны харгалзах ул мөртэй перпендикуляр байна (Зураг 3.16, а).

Шулуун байг хσ=Δ хавтгайд перпендикуляр ABCмөн цэгээр дамжин өнгөрдөг К.

σ=Δ хавтгайд хэвтээ ба урд шугамыг байгуулъя ABC : А-1∈σ; А-1//π 1 ; S-2∈σ; S-2//π 2.
Нэг цэгээс нь сэргээцгээе КӨгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр: х 1⊥h 1Тэгээд p2⊥f 2, эсвэл х 1⊥απ 1 Тэгээд p2⊥απ 2

3.8. Хоёр онгоцны харьцангуй байрлал

3.8.1. Онгоцны параллелизм

Хоёр хавтгай зэрэгцээ ба огтлолцсон байж болно.

Хоёр хавтгайн параллелизмын тэмдэг: нэг хавтгайн огтлолцох хоёр шулуун нь нөгөө хавтгайн огтлолцох хоёр шулуунтай параллель байвал хоёр хавтгай харилцан параллель байна.

Дасгал хийх

Ерөнхий байрлалын хавтгайг α=Δ гэж өгөв ABCба хугацаа Ф∉α (Зураг 3.17).

Цэгээр дамжуулан Фα хавтгайтай параллель β хавтгайг зурах.

Зураг 3.17 – Өгөгдсөнтэй параллель хавтгай байгуулах

Шийдэл:

α хавтгайн огтлолцох шугамуудын хувьд жишээ нь АВ ба ВС гурвалжны талуудыг авч үзье.

Цэгээр дамжуулан Фбид шууд явуулдаг м, зэрэгцээ, жишээ нь, AB.
Цэгээр дамжуулан Ф, эсвэл харьяалагдах дурын цэгээр дамжуулан м, бид шулуун шугам зурна n, зэрэгцээ, жишээ нь, Нар, ба m∩n=F.
β = м∩nба тодорхойлолтоор β//α.

3.8.2. Онгоцуудын огтлолцол

2 хавтгайн огтлолцлын үр дүн нь шулуун шугам юм. Хавтгай эсвэл огторгуй дахь аливаа шулуун шугамыг хоёр цэгээр өвөрмөц байдлаар тодорхойлж болно. Тиймээс хоёр хавтгайн огтлолцлын шугамыг барихын тулд хоёр хавтгайд нийтлэг хоёр цэгийг олж, дараа нь тэдгээрийг холбох хэрэгтэй.

Хоёр хавтгайн огтлолцлын жишээг тэдгээрийг тодорхойлох янз бүрийн арга замаар авч үзье: ул мөр; нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг; зэрэгцээ шугамууд; огтлолцох шугам гэх мэт.

Дасгал хийх

Хоёр хавтгай α ба β нь ул мөрөөр тодорхойлогддог (Зураг 3.18). Онгоцуудын огтлолцлын шугамыг байгуул.

Зураг 3.18 – Мөрөөр тодорхойлсон ерөнхий хавтгайн огтлолцол

Онгоцуудын огтлолцлын шугамыг барих журам:

Хэвтээ ул мөрийн огтлолцох цэгийг олоорой - энэ бол цэг юм М(түүний төсөөлөл М 1 Тэгээд М 2, байхад М 1 =М, учир нь М -π 1) хавтгайд хамаарах хувийн цэг.
Урд талын замуудын огтлолцох цэгийг олоорой - энэ бол цэг юм Н(түүний төсөөлөл Н 1 ба Н 2, байхад Н 2 = Н, учир нь N -π 2) хавтгайд хамаарах хувийн цэг.
Үүссэн ижил нэртэй цэгүүдийн төсөөллийг холбож, хавтгайн огтлолцлын шугамыг байгуул. М 1 Н 1 ба М 2 Н 2 .

МН– онгоцны огтлолцлын шугам.

Дасгал хийх

Өгөгдсөн хавтгай σ = Δ ABC, хавтгай α – хэвтээ проекц (α⊥π 1) ⇒α 1 – хавтгайн хэвтээ ул мөр (Зураг 3.19).

Эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамыг байгуул.

Шийдэл:

α хавтгай нь талуудыг огтолж байгаа тул ABТэгээд АСгурвалжин ABC, дараа нь огтлолцох цэгүүд КТэгээд Лα хавтгайтай эдгээр талууд нь өгөгдсөн хавтгайд хоёуланд нь нийтлэг байдаг бөгөөд энэ нь тэдгээрийг холбосноор хүссэн огтлолцлын шугамыг олох боломжийг олгоно.

Цэгүүдийг проекцын хавтгайтай шулуун шугамын огтлолцлын цэг болгон олж болно: бид цэгүүдийн хэвтээ проекцийг олдог. КТэгээд Л, тэр бол К 1 ба Л 1, Δ талуудын хэвтээ проекц бүхий өгөгдсөн хавтгай α-ийн хэвтээ ул мөрийн (α 1) огтлолцол дээр. ABC: А 1 IN 1 ба А 1 C 1 . Дараа нь проекцын холбооны шугамыг ашиглан эдгээр цэгүүдийн урд талын проекцийг олдог К2Тэгээд Л 2 шулуун шугамын урд талын проекцууд дээр ABТэгээд АС. Ижил нэртэй проекцуудыг холбоно. К 1 ба Л 1 ; К2Тэгээд Л 2. Өгөгдсөн хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг зурсан.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм:

KL– огтлолцлын шугам Δ ABCба σ (α∩σ = KL).

Зураг 3.19 – Ерөнхий ба тусгай хавтгайн огтлолцол

Дасгал хийх

Өгөгдсөн α = m//n хавтгай ба β = Δ хавтгай ABC(Зураг 3.20).

Өгөгдсөн хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг байгуул.

Шийдэл:

Өгөгдсөн хавтгайд хоёуланд нь нийтлэг цэгүүдийг олохын тулд α ба β хавтгайн огтлолцлын шугамыг тодорхойлохын тулд тодорхой байрлалын туслах хавтгайг ашиглах шаардлагатай.
Ийм онгоцны хувьд бид тодорхой байрлалтай хоёр туслах онгоцыг сонгох болно, жишээлбэл: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
Шинээр нэвтрүүлсэн хавтгайнууд нь σ // τ тул өгөгдсөн α ба β хавтгай бүртэй параллель шулуун шугамын дагуу огтлолцдог.

- α, σ ба τ хавтгайнуудын огтлолцлын үр дүн нь шулуун шугамууд (4-5) ба (6-7);

- β, σ ба τ хавтгайнуудын огтлолцлын үр дүн нь шулуун шугамууд (3-2) ба (1-8).

(4-5) ба (3-2) шугамууд σ хавтгайд байрладаг; Тэдний огтлолцох цэг Мнэгэн зэрэг α ба β хавтгайд, өөрөөр хэлбэл эдгээр хавтгайн огтлолцлын шулуун шугам дээр байрладаг;
Үүний нэгэн адил бид цэгийг олдог Н, α ба β хавтгайд нийтлэг байдаг.
Цэгүүдийг холбох МТэгээд Н, α ба β хавтгайн огтлолцох шулуун шугамыг байгуулъя.

Зураг 3.20 – Ерөнхий байрлал дахь хоёр хавтгайн огтлолцол (ерөнхий тохиолдол)

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм:

Дасгал хийх

Өгөгдсөн хавтгай α = Δ ABCба β = а//б. Өгөгдсөн хавтгайнуудын огтлолцлын шугамыг байгуулна (Зураг 3.21).

Зураг 3.21 Хавтгай огтлолцлын асуудлыг шийдвэрлэх

Шийдэл:

Тодорхой байрлалтай туслах таслагч онгоцуудыг ашиглацгаая. Барилгын тоог цөөлөх үүднээс тэдгээрийг танилцуулъя. Жишээлбэл, шулуун шугамыг хүрээлж σ⊥π 2 хавтгайг танилцуулъя. атуслах хавтгайд σ (σ∈ а). σ хавтгай нь α хавтгайг шулуун шугамын дагуу огтолж (1-2) ба σ∩β= А. Тиймээс (1-2)∩ А=К.

Цэг TOα ба β хавтгайд хамаарна.

Тиймээс цэг К, нь өгөгдсөн α ба β хавтгайнуудын огтлолцлын шугам өнгөрөх шаардлагатай цэгүүдийн нэг юм.

α ба β-ийн огтлолцлын шугамд хамаарах хоёр дахь цэгийг олохын тулд бид шугамыг дүгнэнэ. бтуслах хавтгайд τ⊥π 2 (τ∈ б).

Цэгүүдийг холбох КТэгээд Л, бид α ба β хавтгайн огтлолцох шулуун шугамыг олж авна.

3.8.3. Харилцан перпендикуляр хавтгай

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө рүүгээ перпендикуляр дамжин өнгөрвөл онгоцууд харилцан перпендикуляр байна.

Дасгал хийх

σ⊥π 2 хавтгай ба ерөнхий байрлал дахь шулуун өгөгдсөн - Д.Э(Зураг 3.22)

Дамжуулахад шаардлагатай Д.Эонгоц τ⊥σ.

Шийдэл.

Перпендикуляр зурцгаая CDσ онгоц руу - C 2 Д 2 ⊥σ 2 (-д үндэслэсэн).

Зураг 3.22 – Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр хавтгай байгуулах

Зөв өнцгийн проекцийн теоремоор C 1 Д 1 нь проекцын тэнхлэгтэй параллель байх ёстой. огтлолцсон шугамууд CD∩Д.Эτ хавтгайг тодорхойлно. Тэгэхээр, τ⊥σ.

Ерөнхий хавтгайд ижил төстэй үндэслэл.

Дасгал хийх

Өгөгдсөн хавтгай α = Δ ABCба хугацаа Кα хавтгайн гадна.

Цэгээр дамжин өнгөрөх β⊥α хавтгайг бүтээх шаардлагатай К.

Шийдлийн алгоритм(Зураг 3.23):

Хэвтээ шугам байгуулъя hболон урд еөгөгдсөн хавтгайд α = Δ ABC;
Цэгээр дамжуулан Кперпендикуляр зуръя бα хавтгайд (дага хавтгай теоремтой перпендикуляр: хэрэв шулуун шугам нь хавтгайд перпендикуляр байвал түүний проекцууд нь хавтгайд байрлах хэвтээ ба урд шугамуудын налуу проекцуудтай перпендикуляр байна.б 2⊥f 2; б 1⊥h 1;
Бид β хавтгайг ямар ч байдлаар тодорхойлдог, жишээлбэл, β = a∩б, ингэснээр өгөгдсөнтэй перпендикуляр хавтгай байгуулав: α⊥β.