Гурвалжны талууд ба өндрийн харьцаа. abc гурвалжны үндсэн элементүүд. Пифагорын теоремыг хэрэглэх асуудал

Геометрийн асуудлыг шийдэхдээ ийм алгоритмыг дагаж мөрдөх нь ашигтай байдаг. Асуудлын нөхцлийг уншиж байхдаа энэ нь зайлшгүй шаардлагатай

  • Зураг зурах. Зураг нь асуудлын нөхцөлтэй аль болох нийцэж байх ёстой тул түүний гол ажил бол шийдлийг олоход туслах явдал юм
  • Асуудлын мэдэгдлийн бүх өгөгдлийг зураг дээр тавь
  • Бодлогод гарч буй бүх геометрийн ойлголтуудыг бич
  • Эдгээр ойлголтуудтай холбоотой бүх теоремуудыг санаарай
  • Эдгээр теоремуудаас үүсэх геометрийн дүрсийн элементүүдийн хоорондын бүх хамаарлыг зураг дээр зур

Жишээлбэл, хэрэв асуудалд гурвалжны өнцгийн биссектриса гэсэн үгс байгаа бол та биссектрисын тодорхойлолт, шинж чанарыг санаж, зураг дээр тэнцүү эсвэл пропорциональ сегмент, өнцгийг зааж өгөх хэрэгтэй.

Энэ нийтлэлд та асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд мэдэх шаардлагатай гурвалжны үндсэн шинж чанаруудыг олох болно.

ГУРВАЛЖИНГ.

Гурвалжны талбай.

1. ,

энд - гурвалжны дурын тал, - энэ тал руу буулгасан өндрийг.


2. ,

энд ба гурвалжны дурын талууд бөгөөд эдгээр талуудын хоорондох өнцөг нь:

3. Хероны томъёо:

Энд гурвалжны талуудын уртууд, гурвалжны хагас периметр,

4. ,

энд гурвалжны хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиус байна.


Шүргэдэг хэсгүүдийн уртыг үзье.


Дараа нь Хероны томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

5.

6. ,

энд - гурвалжны талуудын урт, - тойргийн радиус.

Хэрэв гурвалжны хажуу талд энэ талыг m: n харьцаагаар хуваах цэгийг авбал энэ цэгийг эсрэг өнцгийн оройтой холбосон хэрчим нь гурвалжинг талбайнууд нь харьцаатай хоёр гурвалжинд хуваана. м: н:


Ижил төстэй гурвалжны талбайн харьцаа нь ижил төстэй байдлын коэффициентийн квадраттай тэнцүү байна.

Гурвалжны медиан

Энэ бол гурвалжны оройг эсрэг талын голд холбосон сегмент юм.

Гурвалжны медианууднэг цэг дээр огтлолцох ба оройноос нь тоолоход 2:1 харьцаатай огтлолцлын цэгээр хуваагдана.


Тогтмол гурвалжны медиануудын огтлолцох цэг нь медианыг хоёр сегмент болгон хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн бага нь бичээстэй тойргийн радиустай тэнцүү, том нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай тэнцүү байна.

Хязгаарлагдсан тойргийн радиус нь бичээстэй тойргийн радиусаас хоёр дахин их байна: R=2r

Дундаж уртдурын гурвалжин

,

энд - хажуу тийш зурсан медиан - гурвалжны талуудын урт.

Гурвалжны биссектриса

Энэ бол энэ өнцгийн оройг эсрэг талтай холбосон гурвалжны аль ч өнцгийн биссектрисын сегмент юм.

Гурвалжны биссектрисахажуу талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана:

Гурвалжны биссектрисанэг цэг дээр огтлолцох бөгөөд энэ нь бичээстэй тойргийн төв юм.

Өнцгийн биссектрисын бүх цэгүүд өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.

Гурвалжингийн өндөр

Энэ нь гурвалжны оройгоос эсрэг тал руу унасан перпендикуляр сегмент буюу түүний үргэлжлэл юм. Мохоо гурвалжинд хурц өнцгийн оройноос татсан өндөр нь гурвалжны гадна байрладаг.


Гурвалжны өндөр нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг нэрлэдэг гурвалжны ортотөв.

Гурвалжны өндрийг олохын тулдхажуу тийш зурсан бол та түүний талбайг ямар ч боломжтой аргаар олж, дараа нь томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Гурвалжингийн тойргийн төв, гурвалжны талууд руу татсан перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр байрладаг.

Гурвалжны тойргийн радиус дараах томъёог ашиглан олж болно.

Гурвалжны талуудын урт, гурвалжны талбайг энд харуулав.

,

гурвалжны хажуугийн урт ба эсрэг талын өнцөг хаана байна. (Энэ томъёо нь синусын теоремоос гардаг.)

Гурвалжингийн тэгш бус байдал

Гурвалжны тал бүр нь нийлбэрээс бага ба нөгөө хоёрын зөрүүгээс их байна.

Дурын хоёр талын уртын нийлбэр нь гурав дахь талын уртаас үргэлж их байдаг.

Том талын эсрэг талд том өнцөг байрладаг; Том өнцгийн эсрэг талд том тал байрладаг:

Хэрэв бол эсрэгээрээ.

Синусын теорем:

Гурвалжны талууд нь эсрэг талын өнцгүүдийн синусуудтай пропорциональ байна:


Косинусын теорем:

Гурвалжны хажуугийн квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн косинусын үржвэрээс хоёр дахин ихгүй байна.

Зөв гурвалжин

- Энэ бол гурвалжин бөгөөд нэг өнцөг нь 90 ° байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн нийлбэр 90° байна.

Гипотенуз нь 90 ° өнцгийн эсрэг байрлах тал юм. Гипотенуз бол хамгийн урт тал юм.

Пифагорын теорем:

гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна:

Тэгш өнцөгт гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус нь тэнцүү байна

,

энд бичээстэй тойргийн радиус, - хөл, - гипотенуз:


Тэгш өнцөгт гурвалжны тойргийн төв гипотенузын дунд байрладаг:


Гипотенуз руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны медиан, гипотенузын хагастай тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтхар

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь элементүүдийн харьцаа:

Тэгш өнцгийн оройноос зурсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн квадрат нь хөлний гипотенуз дээрх проекцуудын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хөлийн квадрат нь гипотенузын үржвэр ба гипотенуз дээрх хөлний проекцтой тэнцүү байна.


Булангийн эсрэг талд хэвтэж буй хөл гипотенузын хагастай тэнцүү:

Хоёр талт гурвалжин.

Суурь руу татсан ижил өнцөгт гурвалжны биссектриса нь дундаж ба өндөр юм.

Хоёр талт гурвалжинд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Оройн өнцөг.

Мөн - талууд,

Мөн - суурь дээрх өнцөг.

Өндөр, биссектриса ба медиан.

Анхаар!Хажуу тийш татсан өндөр, биссектриса, медиан нь давхцахгүй.

Ердийн гурвалжин

(эсвэл тэгш талт гурвалжин ) нь бүх тал ба өнцөг нь хоорондоо тэнцүү гурвалжин юм.

Тогтмол гурвалжны талбайтэнцүү

гурвалжны хажуугийн урт хаана байна.

Тойргийн төвийг ердийн гурвалжинд бичжээ, тогтмол гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвтэй давхцаж, медиануудын огтлолцлын цэг дээр байрладаг.

Энгийн гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэгмедианыг хоёр сегмент болгон хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн жижиг нь бичээстэй тойргийн радиустай тэнцүү, том нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай тэнцүү байна.

Хэрэв ижил өнцөгт гурвалжны аль нэг өнцөг нь 60 ° бол гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

Гурвалжны дунд шугам

Энэ бол хоёр талын дунд цэгийг холбосон сегмент юм.

Зураг дээр DE нь ABC гурвалжны дунд шугам юм.

Гурвалжны дунд шугам нь гурав дахь талтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү: DE||AC, AC=2DE

Гурвалжны гадаад өнцөг

Энэ нь гурвалжны аль ч өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм.

Гурвалжны гаднах өнцөг нь түүнтэй зэргэлдээгүй хоёр өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна.


Гадаад өнцгийн тригонометрийн функцууд:

Гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг:

1 . Хэрэв нэг гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь өөр гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү бол ийм гурвалжнууд нь тохирно.


2 . Хэрэв нэг гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөг нь өөр гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй тэнцүү байвал ийм гурвалжнууд хоорондоо тохирно.


3 Хэрэв нэг гурвалжны гурван тал нь нөгөө гурвалжны гурван талтай тэнцүү бол ийм гурвалжнууд нь тэнцүү байна.


Чухал:тэгш өнцөгт гурвалжинд хоёр өнцөг нь тэнцүү байх нь ойлгомжтой хоёр тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдалЗөвхөн хоёр элементийн тэгш байдал шаардлагатай: хоёр тал эсвэл тал ба хурц өнцөг.

Гурвалжингийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг:

1 . Хэрэв нэг гурвалжны хоёр тал нь нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорциональ бөгөөд эдгээр талуудын хоорондох өнцөг нь тэнцүү бол эдгээр гурвалжин ижил төстэй байна.

2 . Хэрэв нэг гурвалжны гурван тал нь нөгөө гурвалжны гурван талтай пропорциональ байвал тэдгээр гурвалжнууд ижил төстэй байна.

3 . Хэрэв нэг гурвалжны хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү бол гурвалжнууд ижил төстэй байна.

Чухал:Ижил төстэй гурвалжинд ижил төстэй талууд нь тэгш өнцөгтүүдийн эсрэг байрладаг.

Менелаусын теорем

Гурвалжинтай огтлолцсон шугам нь хажуу талтай огтлолцох цэг, хажуугийнх нь үргэлжлэлтэй огтлолцох цэг юм. Дараа нь

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

  • Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

  • Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
  • Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
  • Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
  • Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

  • Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн үндсэн дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
  • Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(Өөрийгөө батлахын тулд та томъёог ашиглах хэрэгтэй

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA) )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EA)) (EC)))

E цэгийг гурвалжны хоёр өндрийн огтлолцол гэж авна.)

  • Ортоцентртөв рүү изогональ коньюгат тойрог .
  • Ортоцентрцентроид, төвтэй нэг шугаман дээр байрладаг тойрогмөн есөн цэгийн тойргийн төв (Эйлерийн шулуун шугамыг үз).
  • ОртоцентрЦочмог гурвалжны дунд гурвалжинд сийлсэн тойргийн төвийг хэлнэ.
  • Өгөгдсөн гурвалжны талуудын дунд цэгүүд дээр оройнууд нь ортоцентрээр тодорхойлсон гурвалжны төв. Сүүлийн гурвалжинг эхний гурвалжны нэмэлт гурвалжин гэж нэрлэдэг.
  • Сүүлийн шинж чанарыг дараах байдлаар томъёолж болно: Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь үйлчилдэг ортоцентрнэмэлт гурвалжин.
  • Оноо, тэгш хэмтэй ортоцентрГурвалжны хажуу талуудтай харьцуулахад тойрог дээр байрладаг.
  • Оноо, тэгш хэмтэй ортоцентрталуудын дунд цэгүүдтэй харьцуулахад гурвалжингууд нь мөн хүрээлэгдсэн тойрог дээр байрладаг бөгөөд харгалзах оройнуудын диаметрийн эсрэг цэгүүдтэй давхцдаг.
  • Хэрэв ТУХАЙнь ΔABC хүрээлэгдсэн тойргийн төв, тэгвэл O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
  • Гурвалжны оройгоос orthocenter хүртэлх зай нь тойргийн төвөөс эсрэг тал хүртэлх зайнаас хоёр дахин их байна.
  • Аль ч сегментээс авсан ортоцентртойрогтой огтлолцохоос өмнө үргэлж Эйлерийн тойрогт хуваагддаг. Ортоцентрнь эдгээр хоёр тойргийн гомотетийн төв юм.
  • Гамильтоны теорем. Ортоцентрийг хурц гурвалжны оройтой холбосон гурван шугамын сегмент нь анхны хурц гурвалжныхтай ижил Эйлерийн тойрог (есөн цэгийн тойрог) бүхий гурван гурвалжинд хуваагдана.
  • Гамильтоны теоремын үр дагавар:
    • Ортоцентрийг хурц гурвалжны оройтой холбосон гурван шулуун шугам нь түүнийг гурван хэсэгт хуваадаг. Гамильтон гурвалжинтойрогтой тэнцүү радиустай.
    • Гурван тойргийн радиусууд Гамильтон гурвалжинанхны хурц гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай тэнцүү байна.
  • Цочмог гурвалжинд orthocenter нь гурвалжин дотор байрладаг; мохоо өнцгөөр - гурвалжны гадна талд; тэгш өнцөгт хэлбэрээр - зөв өнцгийн орой дээр.

Хоёр талт гурвалжны өндрийн шинж чанарууд

  • Хэрэв гурвалжны хоёр өндөр тэнцүү бол гурвалжин нь ижил өнцөгт (Штайнер-Лемусын теорем), гурав дахь өндөр нь түүний гарч буй өнцгийн медиан ба биссектрисын аль аль нь байна.
  • Эсрэг тал нь бас үнэн юм: ижил өнцөгт гурвалжинд хоёр өндөр тэнцүү, гурав дахь өндөр нь медиан ба биссектриса юм.
  • Тэгш талт гурвалжин гурван өндөртэй тэнцүү байна.

Гурвалжны өндрийн суурийн шинж чанарууд

  • Үндэслэлөндөр нь өөрийн гэсэн шинж чанартай ортотри өнцөгтийг үүсгэдэг.
  • Орто гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог нь Эйлерийн тойрог юм. Энэ тойрог нь гурвалжны хажуугийн гурван дунд цэг, гурвалжны оройг холбосон гурван сегментийн гурван дунд цэгийг агуулна.
  • Сүүлийн үл хөдлөх хөрөнгийн өөр нэг томъёолол:
    • Есөн цэгийн тойргийн Эйлерийн теорем. Үндэслэлгурав өндөрдурын гурвалжин, түүний гурван талын дунд цэг ( түүний дотоод үндэсмедианууд) ба оройг нь ортоцентртэй холбосон гурван сегментийн дунд цэгүүд бүгд нэг тойрог дээр (дээр) байрладаг. есөн цэгийн тойрог).
  • Теорем. Ямар ч гурвалжинд сегментийг холбодог үндэслэлхоёр өндөргурвалжин, өгөгдсөнтэй төстэй гурвалжинг таслав.
  • Теорем. Гурвалжинд сегментийг холбодог үндэслэлхоёр өндөрхоёр талдаа байрлах гурвалжингууд эсрэг параллельтүүнтэй ямар ч нийтлэг ойлголтгүй гуравдагч этгээдэд. Тойргийг хоёр үзүүрээр нь, мөн дурдсан гурав дахь талын хоёр оройгоор үргэлж зурж болно.

Гурвалжингийн өндрийн бусад шинж чанарууд

Гурвалжингийн хамгийн бага өндрийн шинж чанарууд

Гурвалжны хамгийн бага өндөр нь маш олон эрс тэс шинж чанартай байдаг. Жишээлбэл:

  • Гурвалжны хавтгайд байрлах шулуунууд дээрх гурвалжны хамгийн бага ортогональ проекц нь түүний өндрийн хамгийн багатай тэнцүү урттай байна.
  • Хатуу гурвалжин хавтанг татах боломжтой хавтгай дахь хамгийн бага шулуун зүсэлт нь энэ хавтангийн өндрийн хамгийн бага хэмжээтэй тэнцүү байх ёстой.
  • Гурвалжны периметрийн дагуу хоёр цэг бие биен рүүгээ тасралтгүй хөдөлж байх үед эхний уулзалтаас хоёр дахь уулзвар хүртэлх хөдөлгөөний үед тэдгээрийн хоорондох хамгийн их зай нь гурвалжны хамгийн бага өндрийн уртаас бага байж болохгүй.
  • Гурвалжны хамгийн бага өндөр нь үргэлж тэр гурвалжин дотор байдаг.

Үндсэн харилцаа

  • h a = b sin ⁡ γ = c sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b\sin \gamma =c\sin \beta ,)
  • h a = 2 S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2S)(a)),)Хаана S (\displaystyle S)- гурвалжны талбай, a (\displaystyle a)- гурвалжны өндрийг буулгах талын урт.
  • h a 2 = 1 2 (b 2 + c 2 − 1 2 (a 2 + (b 2 − c 2) 2 a 2)) (\displaystyle h_(a)^(2)=(\frac (1)(2) ))(b^(2)+c^(2)-(\frac (1)(2))(a^(2)+(\frac ((b^(2)-c^(2))^ (2))(a^(2))))))
  • h a = b c 2 R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (bc)(2R)),)Хаана b c (\displaystyle bc)- хажуугийн бүтээгдэхүүн, R − (\displaystyle R-)тойрог
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = b c: a c: a b (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):( \frac (1)(b)):(\frac (1)(c))=bc:ac:ab)
  • 1 ц a + 1 ц b + 1 ц c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_) (c)))=(\frac (1)(r))), Хаана r (\displaystyle r)- бичээстэй тойргийн радиус.
  • S = 1 (1 цаг + 1 цаг b + 1 цаг c) ⋅ (1 цаг + 1 цаг b - 1 цаг c) ⋅ (1 цаг + 1 цаг c - 1 цаг б) ⋅ (1 цаг b + 1 цаг c - 1 цаг a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Хаана S (\displaystyle S)- гурвалжны талбай.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b - 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot)((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_) (а))))))))), a (\displaystyle a)- гурвалжны өндөр нь доошилсон тал h a (\displaystyle h_(a)).
  • Суурь руу буулгасан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр: h c = 1 2 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\sqrt (4a^(2)-c^(2)))),)
Хаана c (\displaystyle c)- суурь, a (\displaystyle a)- тал.

Зөв гурвалжны өндрийн теорем

Хэрэв өндөр нь тэгш өнцөгт гурвалжинд байвал A B C (\displaystyle ABC)урт h (\displaystyle h)зөв өнцгийн оройноос зурсан, гипотенузыг уртаар нь хуваана c (\displaystyle c)сегментүүдэд m (\displaystyle m)Тэгээд n (\displaystyle n), хөлтэй харгалзах b (\displaystyle b)Тэгээд a (\displaystyle a), тэгвэл дараах тэгшитгэлүүд үнэн болно.

гурвалжин) эсвэл гурвалжны гадна талд мохоо гурвалжингаар өнгөрнө.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

    1 / 5

    ✪ Гурвалжны ӨНДӨР ДУНДЧ БИсектрикс 7-р зэрэг

    ✪ гурвалжны биссектрис, медиан, өндөр. Геометр 7-р анги

    ✪ 7-р анги, 17-р хичээл, Гурвалжны медиан, биссектриса, өндрүүд

    ✪ Гурвалжны медиан, биссектриса, өндөр | Геометр

    ✪ Бисектрисын урт, медиан, өндрийг хэрхэн олох вэ? | Надтай хамт тэнэг #031 | Борис Трушин

    Хадмал орчуулга

Гурвалжны гурван өндрийн огтлолцох цэгийн шинж чанарууд (ортотөв)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(Өөрийгөө батлахын тулд та томъёог ашиглах хэрэгтэй

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA) )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EA)) (EC)))

E цэгийг гурвалжны хоёр өндрийн огтлолцол гэж авна.)

  • Ортоцентртөв рүү изогональ коньюгат хязгаарлагдмал тойрог .
  • Ортоцентрцентроид, төвтэй нэг шугаман дээр байрладаг тойрогба есөн цэгийн тойргийн төв (Эйлерийн шулуун шугамыг үзнэ үү).
  • ОртоцентрЦочмог гурвалжны дунд гурвалжинд сийлсэн тойргийн төвийг хэлнэ.
  • Өгөгдсөн гурвалжны талуудын дунд цэгүүд дээр оройнууд нь ортоцентрээр тодорхойлсон гурвалжны төв. Сүүлийн гурвалжинг эхний гурвалжны нэмэлт гурвалжин гэж нэрлэдэг.
  • Сүүлийн шинж чанарыг дараах байдлаар томъёолж болно: Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь үйлчилдэг ортоцентрнэмэлт гурвалжин.
  • Оноо, тэгш хэмтэй ортоцентрГурвалжны хажуу талуудтай харьцуулахад тойрог дээр байрладаг.
  • Оноо, тэгш хэмтэй ортоцентрталуудын дунд цэгүүдтэй харьцуулахад гурвалжингууд нь мөн хүрээлэгдсэн тойрог дээр байрладаг бөгөөд харгалзах оройнуудын диаметрийн эсрэг цэгүүдтэй давхцдаг.
  • Хэрэв O нь ΔABC тойргийн төв бол O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
  • Гурвалжны оройгоос orthocenter хүртэлх зай нь тойргийн төвөөс эсрэг тал хүртэлх зайнаас хоёр дахин их байна.
  • Аль ч сегментээс авсан ортоцентрТойрогтой огтлолцохоос өмнө үргэлж Эйлерийн тойргоор хагасаар хуваагддаг. Ортоцентрнь эдгээр хоёр тойргийн гомотетийн төв юм.
  • Гамильтоны теорем. Ортоцентрийг хурц гурвалжны оройтой холбосон гурван шулуун шугам нь түүнийг анхны хурц гурвалжныхтай ижил Эйлерийн тойрог (есөн цэгийн тойрог) бүхий гурван гурвалжин болгон хуваасан.
  • Гамильтоны теоремын үр дагавар:
    • Ортоцентрийг хурц гурвалжны оройтой холбосон гурван шулуун шугам нь түүнийг гурван хэсэгт хуваадаг. Гамильтон гурвалжинтойрогтой тэнцүү радиустай.
    • Гурван тойргийн радиусууд Гамильтон гурвалжинанхны хурц гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай тэнцүү байна.
  • Цочмог гурвалжинд orthocenter нь гурвалжин дотор байрладаг; мохоо өнцгөөр - гурвалжны гадна талд; тэгш өнцөгт хэлбэрээр - зөв өнцгийн орой дээр.

Хоёр талт гурвалжны өндрийн шинж чанарууд

  • Хэрэв гурвалжин дахь хоёр өндөр тэнцүү бол гурвалжин нь ижил өнцөгт (Штайнер-Лемусын теорем), гурав дахь өндөр нь түүний гарч буй өнцгийн медиан ба биссектрисын аль аль нь байна.
  • Эсрэг тал нь бас үнэн юм: ижил өнцөгт гурвалжинд хоёр өндөр тэнцүү, гурав дахь өндөр нь медиан ба биссектриса юм.
  • Тэгш талт гурвалжин гурван өндөртэй тэнцүү байна.

Гурвалжны өндрийн суурийн шинж чанарууд

  • Үндэслэлөндөр нь өөрийн гэсэн шинж чанартай ортотри өнцөгтийг үүсгэдэг.
  • Орто гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог нь Эйлерийн тойрог юм. Мөн энэ тойрог нь гурвалжны хажуугийн гурван дунд цэг, гурвалжны оройг холбосон гурван сегментийн гурван дунд цэгийг агуулна.
  • Сүүлийн үл хөдлөх хөрөнгийн өөр нэг томъёолол:
    • Есөн цэгийн тойргийн Эйлерийн теорем. Үндэслэлгурав өндөрдурын гурвалжин, түүний гурван талын дунд цэг ( түүний дотоод үндэсмедианууд) ба оройг нь ортоцентртэй холбосон гурван сегментийн дунд цэгүүд бүгд нэг тойрог дээр (дээр) байрладаг. есөн цэгийн тойрог).
  • Теорем. Ямар ч гурвалжинд сегментийг холбодог үндэслэлхоёр өндөргурвалжин, өгөгдсөнтэй төстэй гурвалжинг таслав.
  • Теорем. Гурвалжинд сегментийг холбодог үндэслэлхоёр өндөрхоёр талдаа байрлах гурвалжингууд эсрэг параллельтүүнтэй ямар ч нийтлэг ойлголтгүй гуравдагч этгээдэд. Тойргийг хоёр үзүүрээр нь, мөн дурдсан гурав дахь талын хоёр оройгоор үргэлж зурж болно.

Гурвалжингийн өндрийн бусад шинж чанарууд

  • Хэрэв гурвалжин бол олон талт (масштаб), дараа нь дотооддурын оройноос татсан биссектриса хоёрын хооронд оршдог дотоодмедиан ба өндөр нь ижил оройноос зурсан.
  • Гурвалжны өндөр нь диаметртэй (радиус) изогональ коньюгат байна. хязгаарлагдмал тойрог, ижил оройноос зурсан.
  • Хурц гурвалжинд хоёр байна өндөрүүнээс ижил төстэй гурвалжныг таслав.
  • Тэгш өнцөгт гурвалжинд өндөр, зөв ​​өнцгийн оройноос зурсан нь анхныхтай төстэй хоёр гурвалжинд хуваагдана.

Гурвалжингийн хамгийн бага өндрийн шинж чанарууд

Гурвалжны хамгийн бага өндөр нь маш олон эрс тэс шинж чанартай байдаг. Жишээлбэл:

  • Гурвалжны хавтгайд байрлах шулуунууд дээрх гурвалжны хамгийн бага ортогональ проекц нь түүний өндрийн хамгийн багатай тэнцүү урттай байна.
  • Хатуу гурвалжин хавтанг татах боломжтой хавтгай дахь хамгийн бага шулуун зүсэлт нь энэ хавтангийн өндрийн хамгийн бага хэмжээтэй тэнцүү байх ёстой.
  • Гурвалжны периметрийн дагуу хоёр цэг бие биен рүүгээ тасралтгүй хөдөлж байх үед эхний уулзалтаас хоёр дахь уулзвар хүртэлх хөдөлгөөний үед тэдгээрийн хоорондох хамгийн их зай нь гурвалжны хамгийн бага өндрийн уртаас бага байж болохгүй.
  • Гурвалжны хамгийн бага өндөр нь үргэлж тэр гурвалжин дотор байдаг.

Үндсэн харилцаа

  • h a = b ⋅ гэм ⁡ γ = c ⋅ нүгэл ⁡ β , (\ displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
  • h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),)Хаана S (\displaystyle S)- гурвалжны талбай, a (\displaystyle a)- гурвалжны өндрийг буулгах талын урт.
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),)Хаана b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- хажуугийн бүтээгдэхүүн, R − (\displaystyle R-)тойрог
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\ displaystyle h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
  • 1 ц a + 1 ц b + 1 ц c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_) (c)))=(\frac (1)(r))), Хаана r (\displaystyle r)- бичээстэй тойргийн радиус.
  • S = 1 (1 цаг + 1 цаг b + 1 цаг c) ⋅ (1 цаг + 1 цаг b - 1 цаг c) ⋅ (1 цаг + 1 цаг c - 1 цаг б) ⋅ (1 цаг b + 1 цаг c - 1 цаг a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Хаана S (\displaystyle S)- гурвалжны талбай.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b - 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot)((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_) (а))))))))), a (\displaystyle a)- гурвалжны өндөр нь доошилсон тал h a (\displaystyle h_(a)).
  • Суурь руу буулгасан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))
Хаана c (\displaystyle c)- суурь, a (\displaystyle a)- тал.

Зөв гурвалжны өндрийн теорем

Хэрэв ABC тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь урттай бол h (\displaystyle h)зөв өнцгийн оройноос зурсан, гипотенузыг уртаар нь хуваана c (\displaystyle c)сегментүүдэд m (\displaystyle m)Тэгээд n (\displaystyle n), хөлтэй харгалзах b (\displaystyle b)Тэгээд a (\displaystyle a), тэгвэл дараах тэгшитгэлүүд үнэн болно.

"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын шуурхай шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Хуваалцах: