घर » अभ्यास रिपोर्ट » कोण समद्विभाजक के गुण. कार्य. त्रिभुज के तत्व. किसी कोण के समद्विभाजक गुण के बारे में प्रमेय का समद्विभाजक प्रमाण

कोण समद्विभाजक के गुण. कार्य. त्रिभुज के तत्व. किसी कोण के समद्विभाजक गुण के बारे में प्रमेय का समद्विभाजक प्रमाण

त्रिभुज का समद्विभाजक - किसी त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक का एक खंड, जो त्रिभुज के शीर्ष और उसके विपरीत भुजा के बीच घिरा होता है।

द्विभाजक के गुण

1. त्रिभुज का समद्विभाजक कोण को समद्विभाजित करता है।

2. किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है ()

3. किसी त्रिभुज के किसी कोण के समद्विभाजक बिंदु उस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होते हैं।

4. किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - इस त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र।

त्रिभुज के समद्विभाजक से संबंधित कुछ सूत्र

(सूत्र का प्रमाण- )
, कहाँ
- किनारे पर खींचे गए समद्विभाजक की लंबाई,
- त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः शीर्षों के विपरीत,
- खंडों की लंबाई जिसमें समद्विभाजक पक्ष को विभाजित करता है,

मैं आपको देखने के लिए आमंत्रित करता हूं वीडियो ट्यूटोरियल, जो द्विभाजक के उपरोक्त सभी गुणों के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।

वीडियो में शामिल कार्य:
1. त्रिभुज ABC में जिसकी भुजाएँ AB = 2 सेमी, BC = 3 सेमी, AC = 3 सेमी हैं, एक समद्विभाजक VM खींचा गया है। खंड AM और MC की लंबाई ज्ञात कीजिए
2. त्रिभुज ABC के शीर्ष A पर आंतरिक कोण का समद्विभाजक और शीर्ष C पर बाह्य कोण का समद्विभाजक बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि कोण B 40 डिग्री है, कोण C 80 डिग्री है तो कोण बीएमसी ज्ञात करें।
3. वर्गाकार कोशिकाओं की भुजाओं को 1 के बराबर मानते हुए, त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए

आपको एक लघु वीडियो ट्यूटोरियल में भी रुचि हो सकती है जहां द्विभाजक के गुणों में से एक को लागू किया जाता है

इस पाठ में हम एक कोण के समद्विभाजक पर स्थित बिंदुओं और एक खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित बिंदुओं के गुणों पर विस्तार से गौर करेंगे।

विषय: वृत्त

पाठ: एक कोण के समद्विभाजक और एक खंड के लंबवत समद्विभाजक के गुण

आइए एक कोण के समद्विभाजक पर स्थित एक बिंदु के गुणों पर विचार करें (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1

कोण दिया गया है, इसका समद्विभाजक AL है, बिंदु M समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रमेय:

यदि बिंदु M किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, तो यह कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है, अर्थात कोण की भुजाओं की बिंदु M से AC और BC तक की दूरी बराबर होती है।

सबूत:

त्रिभुजों और पर विचार करें। ये समकोण त्रिभुज हैं और ये बराबर हैं क्योंकि... एक उभयनिष्ठ कर्ण AM है, और कोण बराबर हैं, क्योंकि AL कोण का समद्विभाजक है। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और न्यूनकोण में बराबर होते हैं, इससे यह निष्कर्ष निकलता है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, किसी कोण के समद्विभाजक पर एक बिंदु उस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

व्युत्क्रम प्रमेय सत्य है।

यदि कोई बिंदु किसी अविकसित कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, तो वह उसके समद्विभाजक पर स्थित होता है।

चावल। 2

एक अविकसित कोण दिया गया है, बिंदु M, इस प्रकार कि उससे कोण की भुजाओं की दूरी समान है (चित्र 2 देखें)।

सिद्ध कीजिए कि बिंदु M कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

सबूत:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी लंब की लंबाई है। बिंदु M से हम भुजा AB पर लंब MK और भुजा AC पर MR खींचते हैं।

त्रिभुजों और पर विचार करें। ये समकोण त्रिभुज हैं और ये बराबर हैं क्योंकि... एक समान कर्ण AM है, स्थिति के अनुसार पैर MK और MR बराबर हैं। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और पाद में बराबर होते हैं। त्रिभुजों की समानता से संगत तत्वों की समानता आती है; समान कोण समान भुजाओं के विपरीत स्थित होते हैं, इस प्रकार, इसलिए, बिंदु M दिए गए कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रत्यक्ष और विपरीत प्रमेयों को जोड़ा जा सकता है।

प्रमेय

किसी अविकसित कोण का समद्विभाजक किसी दिए गए कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान होता है।

प्रमेय

त्रिभुज के समद्विभाजक AA 1, BB 1, СС 1 एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3

सबूत:

आइए पहले दो समद्विभाजक BB 1 और CC 1 पर विचार करें। वे प्रतिच्छेद करते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु O मौजूद है। इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम इसके विपरीत मान लें - भले ही ये समद्विभाजक प्रतिच्छेद न करें, ऐसी स्थिति में वे समानांतर हैं। फिर सीधी रेखा BC एक छेदक रेखा और कोणों का योग है , यह इस तथ्य का खंडन करता है कि संपूर्ण त्रिभुज में कोणों का योग होता है।

तो, दो समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन का बिंदु O मौजूद है। आइए इसके गुणों पर विचार करें:

बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह इसकी भुजाओं BA और BC से समान दूरी पर है। यदि OK, BC पर लम्ब है, OL, BA पर लम्ब है, तो इन लम्बों की लम्बाई बराबर होती है - . इसके अलावा, बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है और इसकी भुजाओं CB और CA से समान दूरी पर है, लम्ब OM और OK बराबर हैं।

हमें निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त हुईं:

, अर्थात्, बिंदु O से त्रिभुज की भुजाओं पर डाले गए सभी तीन लम्ब एक दूसरे के बराबर हैं।

हम लंब OL और OM की समानता में रुचि रखते हैं। यह समानता कहती है कि बिंदु O कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, इसका मतलब यह है कि यह अपने समद्विभाजक AA 1 पर स्थित है।

इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया है कि त्रिभुज के सभी तीन समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आइए खंड, उसके लंबवत समद्विभाजक और लंबवत समद्विभाजक पर स्थित बिंदु के गुणों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें।

एक खंड AB दिया गया है, p लंबवत समद्विभाजक है। इसका मतलब यह है कि सीधी रेखा p खंड AB के मध्य से होकर गुजरती है और उस पर लंबवत है।

प्रमेय

चावल। 4

लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है (चित्र 4 देखें)।

साबित करें कि

सबूत:

त्रिभुजों और पर विचार करें। वे आयताकार और बराबर हैं, क्योंकि. एक उभयनिष्ठ पैर OM है, और पैर AO और OB शर्त के अनुसार बराबर हैं, इस प्रकार, हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं, जो दो पैरों में बराबर हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के कर्ण भी बराबर होते हैं, अर्थात जो सिद्ध करना आवश्यक था।

ध्यान दें कि खंड AB कई वृत्तों के लिए एक सामान्य जीवा है।

उदाहरण के लिए, पहला वृत्त जिसका केंद्र बिंदु M और त्रिज्या MA और MB है; बिंदु N, त्रिज्या NA और NB पर केंद्र वाला दूसरा वृत्त।

इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया है कि यदि कोई बिंदु किसी खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है, तो वह खंड के सिरों से समान दूरी पर है (चित्र 5 देखें)।

चावल। 5

व्युत्क्रम प्रमेय सत्य है।

प्रमेय

यदि एक निश्चित बिंदु M किसी खंड के सिरों से समान दूरी पर है, तो यह इस खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है।

एक खंड AB दिया गया है, इसका एक लंबवत समद्विभाजक p, खंड के सिरों से समान दूरी पर एक बिंदु M है (चित्र 6 देखें)।

सिद्ध करें कि बिंदु M खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित है।

चावल। 6

सबूत:

एक त्रिभुज पर विचार करें. स्थिति के अनुसार यह समद्विबाहु है। एक त्रिभुज की माध्यिका पर विचार करें: बिंदु O आधार AB का मध्य है, OM माध्यिका है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार, इसके आधार पर खींची गई माध्यिका ऊंचाई और समद्विभाजक दोनों होती है। यह इस प्रकार है कि । लेकिन रेखा p, AB पर भी लंबवत है। हम जानते हैं कि बिंदु O पर खंड AB पर एक एकल लंब खींचना संभव है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ OM और p संपाती हैं, इसका मतलब यह है कि बिंदु M सीधी रेखा p से संबंधित है, जिसे हमें साबित करने की आवश्यकता है।

प्रत्यक्ष और विपरीत प्रमेयों को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

प्रमेय

किसी खंड का लंबवत समद्विभाजक उसके सिरों से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक त्रिभुज में तीन खंड होते हैं, जिसका अर्थ है कि इसमें तीन लंबवत समद्विभाजक खींचे जा सकते हैं। इससे पता चलता है कि वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

एक त्रिभुज दिया गया है. इसकी भुजाओं पर लंब: P 1 भुजा BC पर, P 2 भुजा AC पर, P 3 भुजा AB पर (चित्र 7 देखें)।

सिद्ध कीजिए कि लंब P 1, P 2 और P 3 बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

इस पाठ में, हम कोण समद्विभाजक की अवधारणा को याद करेंगे, कोण समद्विभाजक के गुणों के बारे में प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय तैयार करेंगे और सिद्ध करेंगे, और उनका सामान्यीकरण करेंगे। आइए एक समस्या को हल करें जिसमें, द्विभाजक के बारे में तथ्यों के अलावा, हम अन्य ज्यामितीय तथ्यों को लागू करते हैं।

विषय: वृत्त

पाठ: कोण के समद्विभाजक के गुण। कार्य

त्रिभुज सभी ज्यामिति का केंद्रीय चित्र है, और मजाक में कहा जाता है कि यह एक परमाणु की तरह अटूट है। इसके गुण असंख्य, रोचक, मनोरंजक हैं। हम इनमें से कुछ संपत्तियों को देखते हैं।

कोई भी त्रिभुज, सबसे पहले, तीन कोण और तीन खंड होते हैं (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1

शीर्ष A और भुजाओं B तथा C वाले एक कोण पर विचार करें - कोण।

किसी भी कोण में, त्रिभुज के कोण सहित, आप एक समद्विभाजक खींच सकते हैं - अर्थात, एक सीधी रेखा जो कोण को आधे में विभाजित करती है (चित्र 2 देखें)।

चावल। 2

आइए एक कोण के समद्विभाजक पर स्थित एक बिंदु के गुणों पर विचार करें (चित्र 3 देखें)।

कोण के समद्विभाजक पर स्थित बिंदु M पर विचार करें।

याद रखें कि एक बिंदु से एक रेखा की दूरी इस बिंदु से रेखा पर खींचे गए लंबवत की लंबाई है।

चावल। 3

जाहिर है, अगर हम एक ऐसा बिंदु लें जो समद्विभाजक पर नहीं है, तो इस बिंदु से कोण की भुजाओं तक की दूरी अलग-अलग होगी। बिंदु M से कोण की भुजाओं तक की दूरी समान है।

प्रमेय

अविकसित कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है, अर्थात कोण की भुजाओं के बिंदु M से AC और BC तक की दूरी बराबर होती है।

कोण दिया गया है, इसका समद्विभाजक AL है, बिंदु M समद्विभाजक पर स्थित है (चित्र 4 देखें)।

साबित करें कि ।

चावल। 4

सबूत:

त्रिभुजों और पर विचार करें। ये समकोण त्रिभुज हैं, और ये बराबर हैं, क्योंकि इनमें एक उभयनिष्ठ कर्ण AM है, और कोण बराबर हैं, क्योंकि AL कोण का समद्विभाजक है। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और न्यूनकोण में बराबर होते हैं, इससे यह निष्कर्ष निकलता है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, किसी कोण के समद्विभाजक पर एक बिंदु उस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

व्युत्क्रम प्रमेय सत्य है।

प्रमेय

एक अविकसित कोण दिया गया है, बिंदु M, इस प्रकार कि उससे कोण की भुजाओं की दूरी समान हो।

सिद्ध कीजिए कि बिंदु M कोण के समद्विभाजक पर स्थित है (चित्र 5 देखें)।

चावल। 5

सबूत:

त्रिभुजों और पर विचार करें। ये समकोण त्रिभुज हैं, और ये बराबर हैं, क्योंकि इनमें एक उभयनिष्ठ कर्ण AM है, स्थिति के अनुसार पैर MK और MR बराबर हैं। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और पाद में बराबर होते हैं। त्रिभुजों की समानता से संगत तत्वों की समानता आती है; समान कोण समान भुजाओं के विपरीत स्थित होते हैं, इस प्रकार, इसलिए, बिंदु M दिए गए कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

कभी-कभी प्रत्यक्ष और विपरीत प्रमेयों को इस प्रकार संयोजित किया जाता है:

प्रमेय

एक बिंदु किसी कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है यदि और केवल यदि वह इस कोण के समद्विभाजक पर स्थित हो।

किसी कोण की भुजाओं से समद्विभाजक बिंदुओं की समान दूरी का व्यापक रूप से विभिन्न समस्याओं में उपयोग किया जाता है।

समस्या क्रमांक 674अतानास्यान की पाठ्यपुस्तक, ज्यामिति, ग्रेड 7-9 से:

एक अविकसित कोण के समद्विभाजक के बिंदु M से, इस कोण की भुजाओं पर लंब MA और MB खींचे जाते हैं (चित्र 6 देखें)। साबित करें कि ।

दिया गया है: कोण, समद्विभाजक OM, कोण की भुजाओं पर लंब MA और MB।

चावल। 6

साबित करें कि:

सबूत:

प्रत्यक्ष प्रमेय के अनुसार, बिंदु M कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, क्योंकि स्थिति के अनुसार यह अपने समद्विभाजक पर स्थित है। .

समकोण त्रिभुजों पर विचार करें और (चित्र 7 देखें)। उनके पास एक सामान्य कर्ण OM है, पैर MA और MB बराबर हैं, जैसा कि हमने पहले साबित किया है। इस प्रकार, दो आयताकार

चावल। 7

त्रिभुज पैर और कर्ण में बराबर होते हैं। त्रिभुजों की समानता से उनके संगत तत्वों की समानता होती है, इसलिए कोणों की समानता होती है और अन्य पैरों की समानता.

पैरों OA और OB की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुज समद्विबाहु है, और AB इसका आधार है। सीधी रेखा OM एक त्रिभुज का समद्विभाजक है। समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार, यह समद्विभाजक एक ऊँचाई भी है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ OM और AB समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

इसलिए, हमने किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित एक बिंदु की संपत्ति के बारे में प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों की जांच की, उन्हें सामान्यीकृत किया और इस प्रमेय सहित विभिन्न ज्यामितीय तथ्यों का उपयोग करके समस्या को हल किया।

ग्रन्थसूची

अलेक्जेंड्रोव ए.डी. और अन्य। ज्यामिति, 8वीं कक्षा। - एम.: शिक्षा, 2006।
बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., प्रसोलोव वी.वी. ज्यामिति, आठवीं कक्षा। - एम.: शिक्षा, 2011।
मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एस.एम. ज्यामिति, आठवीं कक्षा। - एम.: वेंटाना-ग्राफ, 2009।

Bymath.net()।
Oldskola1.naroad.ru ().

गृहकार्य

अतानास्यान एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी. और अन्य। ज्यामिति, 7-9, संख्या 676-678, कला। 180.

क्या आप जानते हैं कि किसी खंड का मध्यबिंदु क्या है? बेशक तुम्हारे पास है। वृत्त के केंद्र के बारे में क्या? वही।

किसी कोण का मध्यबिंदु क्या होता है?

आप कह सकते हैं कि ऐसा नहीं होता. लेकिन एक खंड को आधे में क्यों विभाजित किया जा सकता है, लेकिन एक कोण को नहीं? यह बिल्कुल संभव है - महज़ एक बिंदु नहीं, बल्कि... रेखा।

क्या आपको वह चुटकुला याद है: द्विभाजक एक चूहा है जो कोनों के चारों ओर चलता है और कोने को आधे में विभाजित करता है।तो, समद्विभाजक की वास्तविक परिभाषा इस मजाक के समान ही है:

त्रिभुज का समद्विभाजक- यह त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक खंड है जो इस कोण के शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ता है।

एक बार, प्राचीन खगोलविदों और गणितज्ञों ने द्विभाजक के कई दिलचस्प गुणों की खोज की थी। इस ज्ञान ने लोगों के जीवन को बहुत सरल बना दिया है।

पहला ज्ञान जो इसमें मदद करेगा वह है...

वैसे, क्या आपको ये सभी शर्तें याद हैं? क्या आपको याद है कि वे एक दूसरे से किस प्रकार भिन्न हैं? नहीं? डरावना ना होना। आइए अब इसका पता लगाएं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार- यह वह पक्ष है जो किसी अन्य के बराबर नहीं है। तस्वीर को देखिए, आपको क्या लगता है कि यह किस तरफ है? यह सही है - यह पक्ष है.
माध्यिका एक त्रिभुज के शीर्ष से खींची गई एक रेखा है जो विपरीत भुजा (फिर से इतना ही) को आधे में विभाजित करती है। ध्यान दें कि हम यह नहीं कहते, "समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका।" आप जानते हैं क्यों? क्योंकि किसी त्रिभुज के शीर्ष से खींची गई माध्यिका किसी भी त्रिभुज में विपरीत भुजा को समद्विभाजित करती है।
ऊंचाई शीर्ष से आधार तक खींची गई एक रेखा है। आपने गौर किया? हम फिर से किसी समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में बात नहीं कर रहे हैं। किसी भी त्रिभुज की ऊंचाई हमेशा आधार से लंबवत होती है।

तो, क्या आपने इसका पता लगा लिया है? लगभग।

और भी बेहतर ढंग से समझने और हमेशा याद रखने के लिए कि समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई क्या हैं, आपको उनकी आवश्यकता है एक दूसरे से तुलना करेंऔर समझें कि वे कैसे समान हैं और वे एक-दूसरे से कैसे भिन्न हैं।

साथ ही, बेहतर याद रखने के लिए हर चीज़ का वर्णन "मानव भाषा" में करना बेहतर है।

तब आप गणित की भाषा में आसानी से काम कर लेंगे, लेकिन पहले तो आपको यह भाषा समझ में नहीं आएगी और आपको सब कुछ समझने की जरूरत होगी अपनी भाषा में.

तो, वे कैसे समान हैं?

समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई - वे सभी त्रिभुज के शीर्ष से "बाहर आते हैं" और विपरीत दिशा में आराम करते हैं और या तो उस कोण से "कुछ करते हैं" जिससे वे बाहर आते हैं, या विपरीत दिशा से।

मुझे लगता है यह आसान है, नहीं?

वे कैसे अलग हैं?

समद्विभाजक उस कोण को आधे में विभाजित करता है जिससे वह निकलता है।
माध्यिका विपरीत भुजा को आधे में विभाजित करती है।
ऊँचाई हमेशा विपरीत दिशा में लंबवत होती है।

इतना ही। इसे समझना आसान है. और एक बार तुम समझ जाओ तो तुम याद रख सकते हो।

अब अगला सवाल.

क्यों, एक समद्विबाहु त्रिभुज के मामले में, माध्यिका और ऊँचाई दोनों समद्विभाजक होते हैं?

आप बस आकृति को देख सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि माध्यिका दो बिल्कुल समान त्रिभुजों में विभाजित होती है।

बस इतना ही! लेकिन गणितज्ञ अपनी आंखों पर विश्वास करना पसंद नहीं करते. उन्हें सब कुछ साबित करना होगा.

डरावना शब्द?

ऐसा कुछ नहीं - यह सरल है! देखिए: दोनों की भुजाएँ समान हैं और, आम तौर पर उनकी भुजाएँ समान होती हैं। (- समद्विभाजक!) और इस प्रकार यह पता चलता है कि दो त्रिभुजों की दो समान भुजाएँ और उनके बीच एक कोण होता है।

हम त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न को याद करते हैं (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय में देखें) और निष्कर्ष निकालते हैं, और इसलिए = और।

यह पहले से ही अच्छा है - इसका मतलब है कि यह मध्यिका निकला।

लेकिन यह है क्या?

आइए तस्वीर पर नजर डालें- . और हमें यह मिल गया. तो भी! अंत में, हुर्रे! और।

क्या आपको ये सबूत थोड़ा भारी लगा? चित्र को देखें - दो समान त्रिभुज स्वयं अपनी बात कहते हैं।

किसी भी स्थिति में, दृढ़ता से याद रखें:

अब यह और अधिक कठिन है: हम गिनेंगे किसी भी त्रिभुज में समद्विभाजक के बीच का कोण!डरो मत, यह उतना मुश्किल नहीं है। तस्वीर पर देखो:

आइए इसे गिनें। क्या आपको वो याद है एक त्रिभुज के कोणों का योग होता है?

आइए इस अद्भुत तथ्य को लागू करें।

एक ओर, से:

वह है।

अब आइए देखें:

लेकिन समद्विभाजक, समद्विभाजक!

आइए इसके बारे में याद रखें:

अब पत्रों के माध्यम से

क्या यह आश्चर्य की बात नहीं है?

ऐसा पता चला कि दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण केवल तीसरे कोण पर निर्भर करता है!

खैर, हमने दो समद्विभाजक देखे। यदि उनमें से तीन हों तो क्या होगा??!! क्या वे सभी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे?

या ऐसा ही होगा?

आप क्या सोचते है? तो गणितज्ञों ने सोचा और सोचा और सिद्ध किया:

क्या यह बढ़िया नहीं है?

क्या आप जानना चाहते हैं कि ऐसा क्यों होता है?

अगले स्तर पर जाएँ - आप द्विभाजक के बारे में ज्ञान की नई ऊँचाइयों को जीतने के लिए तैयार हैं!

द्विभाजक। औसत स्तर

क्या आपको याद है कि समद्विभाजक क्या होता है?

समद्विभाजक वह रेखा है जो किसी कोण को समद्विभाजित करती है।

क्या आपको समस्या में किसी समद्विभाजक का सामना करना पड़ा? निम्नलिखित अद्भुत गुणों में से एक (या कभी-कभी कई) को लागू करने का प्रयास करें।

1. समद्विबाहु त्रिभुज में समद्विभाजक।

क्या आप "प्रमेय" शब्द से नहीं डरते? यदि तुम भयभीत हो तो यह व्यर्थ है। गणितज्ञ किसी भी ऐसे कथन को प्रमेय कहने के आदी हैं जिसे किसी तरह अन्य, सरल कथनों से निकाला जा सकता है।

तो, ध्यान, प्रमेय!

आइए साबित करेंइस प्रमेय यानि आइए समझते हैं कि ऐसा क्यों होता है? समद्विबाहु को देखो.

आइए इन्हें ध्यान से देखें. और फिर हम उसे देखेंगे

- सामान्य।

और इसका मतलब है (त्रिकोणों की समानता का पहला संकेत तुरंत याद रखें!)।

तो क्या हुआ? क्या आप ऐसा कहना चाहते हैं? और सच तो यह है कि हमने अभी तक इन त्रिभुजों की तीसरी भुजाओं और शेष कोणों पर ध्यान नहीं दिया है।

अब देखते हैं. एक बार, फिर बिल्कुल, और इसके अलावा भी, .

तो यह निकला

भुजा को आधे में विभाजित किया, अर्थात यह मध्यिका निकली
, जिसका अर्थ है कि वे दोनों एक जैसे हैं (तस्वीर को फिर से देखें)।

तो यह एक समद्विभाजक और ऊँचाई भी निकला!

हुर्रे! हमने प्रमेय सिद्ध कर दिया। लेकिन सोचिये, इतना ही नहीं। वफादार भी व्युत्क्रम प्रमेय:

सबूत? क्या आप सचमुच रुचि रखते हैं? सिद्धांत का अगला स्तर पढ़ें!

और यदि आपकी रुचि नहीं है, तो दृढ़ता से याद रखें:

यह बात दृढ़ता से क्यों याद रखें? यह कैसे मदद कर सकता है? लेकिन कल्पना कीजिए कि आपके पास एक कार्य है:

दिया गया: .

खोजो: .

आपको तुरंत एहसास होता है, द्विभाजक और, देखो और देखो, उसने भुजा को आधे में विभाजित कर दिया है! (शर्त के अनुसार...). यदि आप दृढ़ता से याद रखें कि ऐसा होता है केवलएक समद्विबाहु त्रिभुज में, फिर आप एक निष्कर्ष निकालते हैं, जिसका अर्थ है, आप उत्तर लिखते हैं:। बहुत बढ़िया, है ना? बेशक, सभी कार्य इतने आसान नहीं होंगे, लेकिन ज्ञान निश्चित रूप से मदद करेगा!

और अब अगली संपत्ति. तैयार?

2. किसी कोण का समद्विभाजक कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान होता है।

डरा हुआ? यह सचमुच कोई बड़ी बात नहीं है. आलसी गणितज्ञों ने चार को दो पंक्तियों में छिपा दिया। तो, इसका क्या मतलब है, "द्विभाजक - बिंदुओं का स्थान"? इसका मतलब है कि उन्हें तुरंत निष्पादित किया जाता है दोकथन:

यदि कोई बिंदु समद्विभाजक पर स्थित है, तो उससे कोण की भुजाओं की दूरी बराबर होती है।
यदि किसी बिंदु पर कोण की भुजाओं की दूरियाँ बराबर हों, तो यह बिंदु अनिवार्य रूप सेद्विभाजक पर स्थित है.

क्या आप कथन 1 और 2 के बीच अंतर देखते हैं? यदि बहुत अधिक नहीं, तो "एलिस इन वंडरलैंड" के हैटर को याद करें: "तो आप और क्या कहेंगे, जैसे कि "मैं जो खाता हूं वही देखता हूं" और "मैं जो देखता हूं वह खाता हूं" एक ही बात है!"

इसलिए हमें कथन 1 और 2 को सिद्ध करना होगा, और फिर कथन को: "एक समद्विभाजक एक कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है" सिद्ध हो जाएगा!

1 सत्य क्यों है?

आइए द्विभाजक पर कोई बिंदु लें और उसे कॉल करें।

आइए इस बिंदु से कोण की भुजाओं पर लंब डालें।

और अब... समकोण त्रिभुजों की समानता के चिह्नों को याद करने के लिए तैयार हो जाइए! यदि आप उन्हें भूल गए हैं, तो अनुभाग पर एक नज़र डालें।

तो...दो समकोण त्रिभुज: और। उनके पास है:

सामान्य कर्ण.
(क्योंकि यह एक समद्विभाजक है!)

इसका मतलब है - कोण और कर्ण से। इसलिए, इन त्रिभुजों के संगत पैर बराबर हैं! वह है।

हमने सिद्ध किया कि बिंदु कोण की भुजाओं से समान (या समान रूप से) दूर है। बिंदु 1 पर विचार किया गया है। अब बिंदु 2 पर चलते हैं।

2 सत्य क्यों है?

और आइए बिंदुओं को जोड़ें और।

इसका मतलब यह है कि यह द्विभाजक पर स्थित है!

बस इतना ही!

समस्याओं को हल करते समय यह सब कैसे लागू किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, समस्याओं में अक्सर निम्नलिखित वाक्यांश होता है: "एक वृत्त एक कोण की भुजाओं को छूता है..."। खैर, आपको कुछ ढूंढना होगा।

तब आपको तुरंत इसका एहसास हो जाता है

और आप समानता का उपयोग कर सकते हैं.

3. एक त्रिभुज में तीन समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं

किसी कोण की भुजाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ होने के समद्विभाजक के गुण से, निम्नलिखित कथन इस प्रकार है:

यह वास्तव में कैसे सामने आता है? लेकिन देखिए: दो समद्विभाजक निश्चित रूप से प्रतिच्छेद करेंगे, है ना?

और तीसरा द्विभाजक इस प्रकार हो सकता है:

लेकिन वास्तव में, सब कुछ बहुत बेहतर है!

आइए दो समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को देखें। आइए इसे कॉल करें।

हमने दोनों बार यहां क्या उपयोग किया? हाँ परिच्छेद 1, बिल्कुल! यदि कोई बिंदु समद्विभाजक पर स्थित है, तो वह कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

और वैसा ही हुआ.

लेकिन इन दोनों समानताओं को ध्यान से देखिए! आख़िरकार, उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि और, इसलिए,।

और अब यह चलन में आएगा बिंदु 2: यदि किसी कोण की भुजाओं की दूरियाँ समान हैं, तो बिंदु समद्विभाजक पर स्थित होता है...कौन सा कोण? चित्र को फिर से देखें:

और कोण की भुजाओं की दूरियाँ हैं, और वे बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु कोण के समद्विभाजक पर स्थित है। तीसरा समद्विभाजक उसी बिंदु से होकर गुजरा! तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं! और एक अतिरिक्त उपहार के रूप में -

त्रिज्या अंकित कियावृत्त.

(सुनिश्चित करने के लिए, किसी अन्य विषय को देखें)।

खैर, अब आप कभी नहीं भूलेंगे:

किसी त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु उसमें अंकित वृत्त का केंद्र होता है।

चलिए अगली संपत्ति की ओर बढ़ते हैं... वाह, द्विभाजक के पास कई संपत्तियां हैं, है ना? और यह बहुत अच्छा है, क्योंकि जितनी अधिक संपत्तियाँ, द्विभाजक समस्याओं को हल करने के लिए उतने ही अधिक उपकरण।

4. समद्विभाजक और समांतरता, आसन्न कोणों के समद्विभाजक

तथ्य यह है कि कुछ मामलों में द्विभाजक कोण को आधे में विभाजित करता है, जिससे पूरी तरह से अप्रत्याशित परिणाम मिलते हैं। उदाहरण के लिए,

मामला एक

बहुत बढ़िया, है ना? आइये समझते हैं ऐसा क्यों है.

एक ओर, हम एक समद्विभाजक बनाते हैं!

लेकिन, दूसरी ओर, ऐसे कोण भी हैं जो आड़े-तिरछे स्थित होते हैं (विषय को याद रखें)।

और अब यह पता चला है कि; बीच से बाहर फेंको: ! - समद्विबाहु!

केस 2

एक त्रिभुज की कल्पना करें (या चित्र देखें)

आइए बिंदु से आगे की बात जारी रखें। अब हमारे पास दो कोण हैं:

- आंतरिक कोना
- बाहरी कोना बाहर है, है ना?

तो, अब कोई एक नहीं, बल्कि एक साथ दो समद्विभाजक बनाना चाहता था: फॉर और फॉर दोनों। क्या हो जाएगा?

क्या यह काम करेगा? आयताकार!

हैरानी की बात यह है कि बिल्कुल यही स्थिति है।

आइए इसका पता लगाएं।

आपके अनुसार राशि क्या है?

अवश्य, - आख़िरकार, वे सभी मिलकर ऐसा कोण बनाते हैं कि वह एक सीधी रेखा बन जाती है।

अब याद रखें कि और समद्विभाजक हैं और देखें कि कोण के अंदर बिल्कुल है आधासभी चार कोणों के योग से: और - यानी, बिल्कुल। आप इसे समीकरण के रूप में भी लिख सकते हैं:

तो, अविश्वसनीय लेकिन सच:

किसी त्रिभुज के आंतरिक और बाह्य कोणों के समद्विभाजक के बीच का कोण बराबर होता है।

केस 3

क्या आप देख रहे हैं कि यहाँ सब कुछ आंतरिक और बाहरी कोनों जैसा ही है?

या फिर दोबारा सोचें कि ऐसा क्यों होता है?

पुनः, जहाँ तक निकटवर्ती कोनों का प्रश्न है,

(समानांतर आधारों के अनुरूप)।

और फिर, वे बनाते हैं बिल्कुल आधायोग से

निष्कर्ष:यदि समस्या में द्विभाजक शामिल हैं नज़दीककोण या समद्विभाजक उपयुक्तसमांतर चतुर्भुज या समलंब के कोण, फिर इस समस्या में निश्चित रूप सेएक समकोण त्रिभुज शामिल है, या शायद एक संपूर्ण आयत भी।

5. समद्विभाजक और विपरीत भुजा

इससे पता चलता है कि किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को न केवल किसी तरह से, बल्कि एक विशेष और बहुत दिलचस्प तरीके से विभाजित करता है:

वह है:

एक आश्चर्यजनक तथ्य, है ना?

अब हम इस तथ्य को साबित करेंगे, लेकिन तैयार रहें: यह पहले से थोड़ा अधिक कठिन होगा।

फिर से - "अंतरिक्ष" से बाहर निकलें - अतिरिक्त गठन!

चलिए सीधे चलते हैं.

किस लिए? अभी हम देखेंगे.

आइए समद्विभाजक को तब तक जारी रखें जब तक वह रेखा के साथ प्रतिच्छेद न कर दे।

क्या यह कोई परिचित चित्र है? हाँ, हाँ, हाँ, बिल्कुल वैसा ही जैसा कि बिंदु 4, केस 1 में है - यह पता चलता है कि (- समद्विभाजक)

आड़े-तिरछे लेटे रहना

तो वो भी.

आइए अब त्रिभुजों को देखें और।

आप उनके बारे में क्या कह सकते हैं?

वे समान हैं। हाँ, उनके कोण ऊर्ध्वाधर कोणों के समान हैं। तो, दो कोनों में.

अब हमें संबंधित पक्षों के संबंध लिखने का अधिकार है।

और अब संक्षिप्त संकेतन में:

ओह! मुझे कुछ याद दिलाता है, है ना? क्या हम यही साबित नहीं करना चाहते थे? हाँ, हाँ, बिल्कुल वही!

आपने देखा कि "स्पेसवॉक" कितना शानदार साबित हुआ - एक अतिरिक्त सीधी रेखा का निर्माण - इसके बिना कुछ भी नहीं होता! और इसलिए, हमने यह साबित कर दिया है

अब आप इसे सुरक्षित रूप से उपयोग कर सकते हैं! आइए त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजकों की एक और संपत्ति देखें - चिंतित न हों, अब सबसे कठिन हिस्सा खत्म हो गया है - यह आसान हो जाएगा।

हमें वह मिल गया

प्रमेय 1:

प्रमेय 2:

प्रमेय 3:

प्रमेय 4:

प्रमेय 5:

प्रमेय 6:

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए, कम बजट में कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है वे उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिये...

एकीकृत राज्य परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंततः... अधिक खुश रहने के लिए क्या करना होगा?

इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।

परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

आपको चाहिये होगा समय रहते समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या आपके पास समय नहीं होगा।

यह खेलों की तरह है - निश्चित रूप से जीतने के लिए आपको इसे कई बार दोहराना होगा।

आप जहां चाहें संग्रह ढूंढें, आवश्यक रूप से समाधान, विस्तृत विश्लेषण के साथऔर निर्णय करो, निर्णय करो, निर्णय करो!

आप हमारे कार्यों (वैकल्पिक) का उपयोग कर सकते हैं और हम निश्चित रूप से उनकी अनुशंसा करते हैं।

हमारे कार्यों का बेहतर उपयोग करने के लिए, आपको वर्तमान में पढ़ रहे YouClever पाठ्यपुस्तक के जीवन को बढ़ाने में मदद करने की आवश्यकता है।

कैसे? दो विकल्प हैं:

इस आलेख में सभी छिपे हुए कार्यों को अनलॉक करें -
पाठ्यपुस्तक के सभी 99 लेखों में सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच अनलॉक करें - एक पाठ्यपुस्तक खरीदें - 899 आरयूआर

हां, हमारी पाठ्यपुस्तक में ऐसे 99 लेख हैं और सभी कार्यों और उनमें छिपे सभी पाठों तक पहुंच तुरंत खोली जा सकती है।

साइट के संपूर्ण जीवन के लिए सभी छिपे हुए कार्यों तक पहुंच प्रदान की जाती है।

निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत पर मत रुकें।

"समझ गया" और "मैं हल कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है.

समस्याएं ढूंढें और उनका समाधान करें!

आज बहुत आसान पाठ होगा. हम केवल एक वस्तु - कोण द्विभाजक - पर विचार करेंगे और इसकी सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति साबित करेंगे, जो भविष्य में हमारे लिए बहुत उपयोगी होगी।

बस आराम न करें: कभी-कभी जो छात्र एक ही एकीकृत राज्य परीक्षा या एकीकृत राज्य परीक्षा में उच्च अंक प्राप्त करना चाहते हैं, वे पहले पाठ में द्विभाजक की परिभाषा भी सटीक रूप से नहीं बना पाते हैं।

और वास्तव में दिलचस्प कार्य करने के बजाय, हम ऐसी सरल चीजों पर समय बर्बाद करते हैं। तो पढ़ें, देखें और अपनाएं। :)

आरंभ करने के लिए, थोड़ा अजीब प्रश्न: कोण क्या है? यह सही है: एक कोण एक ही बिंदु से निकलने वाली दो किरणें हैं। उदाहरण के लिए:

कोणों के उदाहरण: न्यून, अधिक और समकोण

जैसा कि आप चित्र से देख सकते हैं, कोण न्यून, अधिक, सीधा हो सकता है - अब इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अक्सर, सुविधा के लिए, प्रत्येक किरण पर एक अतिरिक्त बिंदु अंकित किया जाता है और वे कहते हैं कि हमारे सामने कोण $AOB$ है (इसे $\कोण AOB$ के रूप में लिखा जाता है)।

ऐसा प्रतीत होता है कि कैप्टन ऑब्विअसनेस संकेत दे रहा है कि $OA$ और $OB$ किरणों के अलावा, बिंदु $O$ से अधिक किरणों का एक गुच्छा खींचना हमेशा संभव होता है। लेकिन उनमें से एक विशेष होगा - उसे द्विभाजक कहा जाता है।

परिभाषा। किसी कोण का समद्विभाजक वह किरण होती है जो उस कोण के शीर्ष से निकलती है और कोण को समद्विभाजित करती है।

उपरोक्त कोणों के लिए, समद्विभाजक इस प्रकार दिखेंगे:

न्यूनकोण, अधिककोण और समकोण के लिए समद्विभाजक के उदाहरण

चूंकि वास्तविक चित्रों में यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि एक निश्चित किरण (हमारे मामले में यह $OM$ किरण है) मूल कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करती है, ज्यामिति में समान संख्या में चापों के साथ समान कोणों को चिह्नित करने की प्रथा है ( हमारे चित्र में यह न्यून कोण के लिए 1 चाप, अधिक कोण के लिए दो, सीधे कोण के लिए तीन चाप है)।

ठीक है, हमने परिभाषा सुलझा ली है। अब आपको यह समझने की आवश्यकता है कि समद्विभाजक के क्या गुण हैं।

कोण समद्विभाजक का मुख्य गुण

वास्तव में, द्विभाजक में बहुत सारे गुण होते हैं। और हम निश्चित रूप से अगले पाठ में उन पर गौर करेंगे। लेकिन एक युक्ति है जिसे आपको अभी समझने की आवश्यकता है:

प्रमेय. किसी कोण का समद्विभाजक किसी दिए गए कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान होता है।

गणितीय से रूसी में अनुवादित, इसका मतलब एक साथ दो तथ्य हैं:

किसी निश्चित कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु इस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।
और इसके विपरीत: यदि कोई बिंदु किसी दिए गए कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित है, तो यह इस कोण के समद्विभाजक पर स्थित होने की गारंटी है।

इन कथनों को सिद्ध करने से पहले, आइए एक बिंदु स्पष्ट करें: वास्तव में, एक बिंदु से कोण के किनारे तक की दूरी को क्या कहा जाता है? यहां एक बिंदु से एक रेखा की दूरी का अच्छा पुराना निर्धारण हमारी सहायता करेगा:

परिभाषा। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी किसी दिए गए बिंदु से इस रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई है।

उदाहरण के लिए, एक रेखा $l$ और एक बिंदु $A$ पर विचार करें जो इस रेखा पर स्थित नहीं है। आइए $AH$ पर एक लंब बनाएं, जहां $H\in l$। तब इस लम्ब की लंबाई बिंदु $A$ से सीधी रेखा $l$ तक की दूरी होगी।

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

चूँकि एक कोण केवल दो किरणें होती हैं, और प्रत्येक किरण एक सीधी रेखा का एक टुकड़ा होती है, एक बिंदु से कोण की भुजाओं तक की दूरी निर्धारित करना आसान होता है। ये सिर्फ दो लंबवत हैं:

बिंदु से कोण की भुजाओं तक की दूरी निर्धारित करें

बस इतना ही! अब हम जानते हैं कि दूरी क्या है और समद्विभाजक क्या है। अत: हम मुख्य गुण सिद्ध कर सकते हैं।

जैसा कि वादा किया गया था, हम प्रमाण को दो भागों में विभाजित करेंगे:

1. समद्विभाजक पर बिंदु से कोण की भुजाओं तक की दूरी समान होती है

शीर्ष $O$ और समद्विभाजक $OM$ के साथ एक मनमाना कोण पर विचार करें:

आइए हम सिद्ध करें कि यह बिंदु $M$ कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है।

सबूत। आइए बिंदु $M$ से कोण की भुजाओं पर लंब बनाएं। आइए उन्हें $M((H)_(1))$ और $M((H)_(2))$ कहते हैं:
कोण की भुजाओं पर लंब खींचिए
हमें दो समकोण त्रिभुज प्राप्त हुए: $\vartriकोण OM((H)_(1))$ और $\vartriकोण OM((H)_(2))$। उनके पास एक सामान्य कर्ण $OM$ और समान कोण हैं:

$\कोण MO((H)_(1))=\कोण MO((H)_(2))$ शर्त के अनुसार (चूंकि $OM$ एक समद्विभाजक है);

$\कोण M((H)_(1))O=\कोण M((H)_(2))O=90()^\circ $ निर्माण द्वारा;

$\कोण OM((H)_(1))=\कोण OM((H)_(2))=90()^\circ -\कोण MO((H)_(1))$, चूँकि योग एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण सदैव 90 डिग्री के होते हैं।

नतीजतन, त्रिभुज भुजा और दो आसन्न कोणों में बराबर होते हैं (त्रिकोण की समानता के संकेत देखें)। इसलिए, विशेष रूप से, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, अर्थात। बिंदु $O$ से कोण की भुजाओं तक की दूरी वास्तव में बराबर है। क्यू.ई.डी.:)

2. यदि दूरियाँ समान हों, तो बिंदु समद्विभाजक पर स्थित होता है

अब स्थिति उलट है. मान लीजिए कि एक कोण $O$ दिया गया है और इस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर एक बिंदु $M$ है:

आइए हम सिद्ध करें कि किरण $OM$ एक समद्विभाजक है, अर्थात। $\कोण MO((H)_(1))=\कोण MO((H)_(2))$.

सबूत। सबसे पहले, आइए इसी किरण $OM$ को बनाएं, अन्यथा साबित करने के लिए कुछ भी नहीं बचेगा:
कोने के अंदर $OM$ बीम का संचालन किया
फिर से हमें दो समकोण त्रिभुज मिलते हैं: $\vartriकोण OM((H)_(1))$ और $\vartriकोण OM((H)_(2))$। जाहिर है वे बराबर हैं क्योंकि:

कर्ण $OM$ - सामान्य;

पैर $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ शर्त के अनुसार (आखिरकार, बिंदु $M$ कोण के किनारों से समान दूरी पर है);

बाकी पैर भी बराबर हैं, क्योंकि पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

इसलिए, त्रिभुज $\vartriangle OM((H)_(1))$ और $\vartriangle OM((H)_(2))$ तीन तरफ हैं। विशेष रूप से, उनके कोण बराबर हैं: $\कोण MO((H)_(1))=\कोण MO((H)_(2))$. और इसका मतलब सिर्फ इतना है कि $OM$ एक समद्विभाजक है।

प्रमाण को समाप्त करने के लिए, हम परिणामी समान कोणों को लाल चाप से चिह्नित करते हैं:
समद्विभाजक कोण $\कोण ((H)_(1))O((H)_(2))$ को दो बराबर भागों में विभाजित करता है

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। हमने सिद्ध कर दिया है कि किसी कोण का समद्विभाजक इस कोण की भुजाओं के समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान होता है। :)

अब जब हमने शब्दावली पर लगभग निर्णय ले लिया है, तो अब अगले स्तर पर जाने का समय आ गया है। अगले पाठ में हम द्विभाजक के अधिक जटिल गुणों को देखेंगे और सीखेंगे कि वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए उन्हें कैसे लागू किया जाए।

शेयर करना: