वृत्त: एक बहुभुज के चारों ओर परिचालित। घिरा हुआ घेरा. विज़ुअल गाइड (2020) परिचालित वृत्त की त्रिज्या लंबवत है

वृत्त का व्यास वह सीधी रेखा खंड है जो वृत्त के केंद्र से गुजरते हुए वृत्त के उन दो बिंदुओं को जोड़ता है जो एक दूसरे से सबसे अधिक दूरी पर हैं। व्यास नाम ग्रीक भाषा से आया है और इसका शाब्दिक अर्थ अनुप्रस्थ है। व्यास को लैटिन वर्णमाला के अक्षर D या प्रतीक O द्वारा दर्शाया गया है।

वृत्त व्यास

यह जानने के लिए कि किसी वृत्त का व्यास कैसे ज्ञात किया जाए, आपको सूत्रों का संदर्भ लेना होगा। दो बुनियादी सूत्र हैं जिनके द्वारा आप किसी वृत्त के व्यास की गणना कर सकते हैं। पहला है D = 2R. यहां व्यास त्रिज्या के दोगुने के बराबर है, जहां त्रिज्या केंद्र से वृत्त (R) पर किसी भी बिंदु की दूरी है। आइए एक उदाहरण पर विचार करें: यदि कार्य में त्रिज्या ज्ञात है और यह 10 सेमी के बराबर है, तो आप आसानी से व्यास पा सकते हैं। इस त्रिज्या मान के लिए, हम सूत्र में D = 2 * 10 = 20 सेमी प्रतिस्थापित करते हैं

दूसरा सूत्र परिधि के साथ व्यास का पता लगाना संभव बनाता है और यह इस तरह दिखता है: डी = एल/पी, जहां एल परिधि का मान है, और पी संख्या पाई है, जो लगभग 3.14 के बराबर है। यह सूत्र व्यवहार में उपयोग करने के लिए बहुत सुविधाजनक है। यदि आपको किसी हैच, टैंक कवर, या किसी प्रकार के गड्ढे का व्यास जानना है, तो आपको बस उनकी परिधि को मापने और इसे 3.14 से विभाजित करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, परिधि 600 सेमी है, इसलिए डी = 600/3.14 = 191.08 सेमी।

वृत्ताकार व्यास

किसी परिबद्ध वृत्त का व्यास तब भी ज्ञात किया जा सकता है जब वह किसी त्रिभुज में परिचालित या अंकित हो। ऐसा करने के लिए, आपको सबसे पहले सूत्र का उपयोग करके अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी होगी: R = S/p, जहां S त्रिभुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है, और p इसका अर्ध-परिधि है, p (a) के बराबर है + बी + सी)/2. एक बार त्रिज्या ज्ञात हो जाने पर, आपको पहले सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है। या तुरंत सभी मानों को सूत्र D = 2S/p में प्रतिस्थापित करें।

यदि आप नहीं जानते कि किसी परिबद्ध वृत्त का व्यास कैसे ज्ञात किया जाए, तो त्रिभुज द्वारा परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें। सूत्र में R = (a * b * c)/4 * S, S त्रिभुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है। फिर, उसी प्रकार, त्रिज्या के मान को सूत्र D = 2R में प्रतिस्थापित करें।

इस आलेख में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए आवश्यक सर्कल के बारे में जानकारी का न्यूनतम सेट शामिल है।

परिधि किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह है, जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए, समानता संतुष्ट है (खंड की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है।

वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड कहलाता है राग.

वृत्त के केन्द्र से गुजरने वाली जीवा कहलाती है व्यास घेरा() .

परिधि:

एक वृत्त का क्षेत्रफल:

वृत्त का चाप:

वृत्त का दो बिन्दुओं के बीच घिरा हुआ भाग कहलाता है आर्क वृत्त. एक वृत्त पर दो बिंदु दो चापों को परिभाषित करते हैं। जीवा दो चापों को अंतरित करती है: और। समान जीवाएँ समान चाप अंतरित करती हैं।

दो त्रिज्याओं के बीच का कोण कहलाता है केंद्रीय कोण :

चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम एक अनुपात बनाते हैं:

ए) कोण डिग्री में दिया गया है:

बी) कोण रेडियन में दिया गया है:

जीवा के लंबवत व्यास , इस राग और इसके द्वारा अंतरित चापों को आधे में विभाजित करता है:

अगर कॉर्ड्स और वृत्त एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं , तो जीवा खंडों के उत्पाद जिनमें वे एक बिंदु से विभाजित होते हैं, एक दूसरे के बराबर होते हैं:

एक वृत्त की स्पर्शरेखा.

एक सीधी रेखा जिसमें एक वृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, कहलाती है स्पर्शरेखावृत्त को. एक सीधी रेखा जिसमें एक वृत्त के साथ दो बिंदु उभयनिष्ठ हों, कहलाती है काटनेवाला

किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।

यदि किसी दिए गए बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ खींची जाती हैं, तो स्पर्शरेखा खंड एक दूसरे के बराबर हैंऔर वृत्त का केंद्र इस बिंदु पर शीर्ष के साथ बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित है:

यदि किसी दिए गए बिंदु से वृत्त पर एक स्पर्शरेखा और एक छेदक रेखा खींची जाए, तो स्पर्श रेखा खंड की लंबाई का वर्ग संपूर्ण छेदक खंड और उसके बाहरी भाग के गुणनफल के बराबर होता है :

परिणाम: एक छेदक के संपूर्ण खंड और उसके बाहरी भाग का गुणनफल दूसरे छेदक के संपूर्ण खंड और उसके बाहरी भाग के गुणनफल के बराबर होता है:

एक वृत्त में कोण.

केंद्रीय कोण की डिग्री माप उस चाप की डिग्री माप के बराबर होती है जिस पर वह स्थित है:

वह कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाओं पर जीवाएँ होती हैं, कहलाता है अंकित कोण . एक उत्कीर्ण कोण को उस चाप के आधे भाग से मापा जाता है जिस पर वह स्थित होता है:

∠∠

व्यास द्वारा अंतरित उत्कीर्ण कोण समकोण है:

∠∠∠

एक चाप द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं :

एक जीवा पर अंकित कोण बराबर होते हैं या उनका योग बराबर होता है

∠∠

किसी दिए गए आधार और समान शीर्ष कोण वाले त्रिभुजों के शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं:

दो स्वरों के बीच का कोण (किसी वृत्त के अंदर एक शीर्ष वाला कोण) किसी दिए गए कोण के अंदर और एक ऊर्ध्वाधर कोण के अंदर मौजूद वृत्त के चापों के कोणीय मानों के आधे योग के बराबर होता है।

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

दो छेदक यंत्रों के बीच का कोण (वृत्त के बाहर एक शीर्ष वाला कोण) कोण के अंदर समाहित वृत्त के चापों के कोणीय मानों के आधे अंतर के बराबर होता है।

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

अंकित वृत्त.

वृत्त कहलाता है बहुभुज में अंकित , अगर यह इसके किनारों को छूता है। अंकित वृत्त का केंद्र बहुभुज के कोणों के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है।

प्रत्येक बहुभुज एक वृत्त में फिट नहीं हो सकता।

बहुभुज का क्षेत्रफल जिसमें एक वृत्त अंकित है सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

यहाँ बहुभुज का अर्ध-परिधि है, और अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

यहाँ से अंकित वृत्त त्रिज्या के बराबर होती है

यदि एक वृत्त उत्तल चतुर्भुज में अंकित है, तो विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग बराबर होता है . इसके विपरीत: यदि उत्तल चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग बराबर है, तो चतुर्भुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है:

आप एक वृत्त को किसी भी त्रिभुज में, और केवल एक ही अंकित कर सकते हैं। वृत्त का केंद्र त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है।

अंकित वृत्त त्रिज्या के बराबर । यहाँ

घिरा हुआ घेरा.

वृत्त कहलाता है बहुभुज के बारे में बताया गया है , यदि यह बहुभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है। परिवृत्त का केंद्र बहुभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होता है। त्रिज्या की गणना दिए गए बहुभुज के किन्हीं तीन शीर्षों द्वारा परिभाषित त्रिभुज द्वारा परिचालित वृत्त की त्रिज्या के रूप में की जाती है:

एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन तभी किया जा सकता है जब इसके सम्मुख कोणों का योग बराबर हो .

किसी भी त्रिभुज के चारों ओर आप एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं, और केवल एक। इसका केंद्र त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है:

सर्कमरेडियससूत्रों का उपयोग करके गणना की गई:

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई कहां है और इसका क्षेत्रफल क्या है?

टॉलेमी का प्रमेय

एक चक्रीय चतुर्भुज में, विकर्णों का गुणनफल उसकी विपरीत भुजाओं के गुणनफल के योग के बराबर होता है:

सबसे पहले, आइए वृत्त और वृत्त के बीच के अंतर को समझें। इस अंतर को देखने के लिए, यह विचार करना पर्याप्त है कि दोनों आंकड़े क्या हैं। ये समतल पर अनंत संख्या में बिंदु हैं, जो एक ही केंद्रीय बिंदु से समान दूरी पर स्थित हैं। लेकिन, यदि वृत्त में आंतरिक स्थान भी शामिल है, तो यह वृत्त से संबंधित नहीं है। यह पता चलता है कि एक वृत्त एक वृत्त है जो इसे सीमित करता है (सर्कल (आर)), और असंख्य बिंदु जो सर्कल के अंदर हैं।

वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु L के लिए, समानता OL=R लागू होती है। (खंड OL की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है)।

एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उसका है तार.

वृत्त के केंद्र से सीधे गुजरने वाली एक जीवा है व्यासयह वृत्त (D). व्यास की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: D=2R

परिधिसूत्र द्वारा गणना: C=2\pi R

एक वृत्त का क्षेत्रफल: S=\pi R^(2)

एक वृत्त का चापइसका वह भाग कहलाता है जो इसके दो बिंदुओं के बीच स्थित होता है। ये दो बिंदु एक वृत्त के दो चापों को परिभाषित करते हैं। कॉर्ड सीडी दो चापों को अंतरित करती है: सीएमडी और सीएलडी। समान जीवाएँ समान चाप अंतरित करती हैं।

केन्द्रीय कोणवह कोण जो दो त्रिज्याओं के बीच स्थित होता है, कहलाता है।

वक्राकार लंबाईसूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

1. डिग्री माप का उपयोग करना: सीडी = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. रेडियन माप का उपयोग करना: CD = \alpha R

व्यास, जो जीवा के लंबवत है, जीवा और उसके द्वारा अनुबंधित चाप को आधे में विभाजित करता है।

यदि वृत्त की जीवाएँ AB और CD बिंदु N पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो बिंदु N द्वारा अलग किए गए जीवाओं के खंडों का गुणनफल एक दूसरे के बराबर होता है।

एएन\सीडॉट एनबी = सीएन\सीडॉट एनडी

एक वृत्त की स्पर्शरेखा

एक वृत्त की स्पर्शरेखायह एक सीधी रेखा को कॉल करने की प्रथा है जिसमें एक वृत्त के साथ एक सामान्य बिंदु होता है।

यदि किसी रेखा में दो उभयनिष्ठ बिंदु हों तो उसे कहते हैं काटनेवाला.

यदि आप त्रिज्या को स्पर्शरेखा बिंदु पर खींचते हैं, तो यह वृत्त की स्पर्शरेखा के लंबवत होगी।

आइए इस बिंदु से हमारे वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ खींचें। यह पता चला है कि स्पर्शरेखा खंड एक दूसरे के बराबर होंगे, और वृत्त का केंद्र इस बिंदु पर शीर्ष के साथ कोण के समद्विभाजक पर स्थित होगा।

एसी = सीबी

आइए अब अपने बिंदु से वृत्त पर एक स्पर्शरेखा और एक छेदक रेखा बनाएं। हम पाते हैं कि स्पर्श रेखा खंड की लंबाई का वर्ग संपूर्ण छेदक खंड और उसके बाहरी भाग के गुणनफल के बराबर होगा।

AC^(2) = CD \cdot BC

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: पहले छेदक के एक पूरे खंड और उसके बाहरी भाग का उत्पाद दूसरे छेदक के एक पूरे खंड और उसके बाहरी भाग के उत्पाद के बराबर है।

AC\cdot BC = EC\cdot DC

एक वृत्त में कोण

केंद्रीय कोण और जिस चाप पर वह टिका है उसकी डिग्री माप बराबर हैं।

\कोण सीओडी = \कप सीडी = \अल्फ़ा ^(\सर्कल)

अंकित कोणवह कोण है जिसका शीर्ष एक वृत्त पर है और जिसकी भुजाओं में जीवाएँ हैं।

आप चाप का आकार जानकर इसकी गणना कर सकते हैं, क्योंकि यह इस चाप के आधे के बराबर है।

\कोण AOB = 2 \कोण ADB

व्यास, अंकित कोण, समकोण के आधार पर।

\कोण CBD = \कोण CED = \कोण CAD = 90^ (\circ)

समान चाप को अंतरित करने वाले अंकित कोण समान होते हैं।

एक जीवा पर बने अंकित कोण समरूप होते हैं या उनका योग 180^ (\circ) के बराबर होता है।

\कोण ADB + \कोण AKB = 180^ (\circ)

\कोण एडीबी = \कोण एईबी = \कोण एएफबी

एक ही वृत्त पर समान कोण और दिए गए आधार वाले त्रिभुजों के शीर्ष हैं।

वृत्त के अंदर एक शीर्ष वाला और दो जीवाओं के बीच स्थित एक कोण, वृत्त के चापों के कोणीय मानों के आधे योग के समान होता है जो दिए गए और ऊर्ध्वाधर कोणों के भीतर समाहित होते हैं।

\कोण डीएमसी = \कोण एडीएम + \कोण डीएएम = \frac(1)(2) \बाएं (\कप डीएमसी + \कप अलबी \दाएं)

वृत्त के बाहर एक शीर्ष वाला और दो छेदक रेखाओं के बीच स्थित कोण, वृत्त के चापों के कोणीय मानों के आधे अंतर के समान होता है जो कोण के अंदर समाहित होते हैं।

\कोण एम = \कोण सीबीडी - \कोण एसीबी = \frac(1)(2) \बाएं (\कप डीएमसी - \कप अलबी \दाएं)

अंकित वृत्त

अंकित वृत्तबहुभुज की भुजाओं पर स्पर्शरेखा वाला एक वृत्त है।

उस बिंदु पर जहां बहुभुज के कोनों के समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं, उसका केंद्र स्थित होता है।

प्रत्येक बहुभुज में एक वृत्त अंकित नहीं किया जा सकता।

एक खुदे हुए वृत्त वाले बहुभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

एस = पीआर,

p बहुभुज का अर्ध-परिधि है,

r अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अंकित वृत्त की त्रिज्या बराबर है:

आर = \frac(एस)(पी)

यदि वृत्त उत्तल चतुर्भुज में अंकित है तो विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग समान होगा। और इसके विपरीत: एक वृत्त एक उत्तल चतुर्भुज में फिट बैठता है यदि विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग समान हो।

एबी + डीसी = एडी + बीसी

किसी भी त्रिभुज में एक वृत्त अंकित करना संभव है। केवल एक ही एक. उस बिंदु पर जहां आकृति के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं, इस उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र स्थित होगा।

अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

r = \frac(S)(p) ,

जहाँ p = \frac(a + b + c)(2)

परिवृत्त

यदि किसी बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से एक वृत्त गुजरता है, तो ऐसे वृत्त को आमतौर पर वृत्त कहा जाता है बहुभुज के बारे में बताया गया है.

इस आकृति की भुजाओं के लंब समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु पर परिवृत्त का केंद्र होगा।

त्रिज्या को उस वृत्त की त्रिज्या के रूप में गणना करके पाया जा सकता है जो बहुभुज के किन्हीं तीन शीर्षों द्वारा परिभाषित त्रिभुज के चारों ओर परिचालित है।

निम्नलिखित शर्त है: एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन केवल तभी किया जा सकता है जब इसके सम्मुख कोणों का योग 180^( \circ) के बराबर हो।

\कोण A + \कोण C = \कोण B + \कोण D = 180^ (\circ)

किसी भी त्रिभुज के चारों ओर आप एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं, और केवल एक। ऐसे वृत्त का केंद्र उस बिंदु पर स्थित होगा जहां त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं।

परिचालित वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है:

आर = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

आर = \frac(एबीसी)(4 एस)

a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं,

S त्रिभुज का क्षेत्रफल है.

टॉलेमी का प्रमेय

अंत में, टॉलेमी के प्रमेय पर विचार करें।

टॉलेमी के प्रमेय में कहा गया है कि विकर्णों का उत्पाद चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के उत्पादों के योग के समान है।

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

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