त्रिगुण अभिन्न. शरीर के आयतन की गणना.
बेलनाकार निर्देशांक में ट्रिपल इंटीग्रल

तीन दिनों तक मृत व्यक्ति पाइथागोरस की पतलून पहने, डीन के कार्यालय में पड़ा रहा,
फ़िचटेनहोल्ट्ज़ के हाथों में वह एक पुस्तक था जो उसे इस दुनिया से वापस ले आई थी,
पैरों में एक ट्रिपल इंटीग्रल बंधा हुआ था, और लाश को एक मैट्रिक्स में लपेटा गया था,
और प्रार्थना करने के बजाय, कुछ साहसी व्यक्ति ने बर्नौली के प्रमेय को पढ़ा।

ट्रिपल इंटीग्रल्स एक ऐसी चीज़ है जिससे आपको डरने की ज़रूरत नहीं है =) क्योंकि यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो, सबसे अधिक संभावना है, आपको इसकी अच्छी समझ है "साधारण" अभिन्नों का सिद्धांत और अभ्यास, और दोहरा अभिन्न. और जहां दोहरा है, वहां पास में त्रिगुण है:

और सचमुच, डरने की क्या बात है? अभिन्न कम है, अभिन्न अधिक है....

आइए रिकॉर्डिंग देखें:

- ट्रिपल इंटीग्रल आइकन;
– इंटीग्रैंड तीन चर का कार्य;
- अंतर का उत्पाद.
– एकीकरण का क्षेत्र.

आइए हम विशेष रूप से ध्यान केंद्रित करें एकीकरण के क्षेत्र. मैं फ़िन दोहरा अभिन्नयह प्रस्तुत करता है सपाट आकृति, फिर यहाँ - स्थानिक शरीर, जो, जैसा कि ज्ञात है, सेट द्वारा सीमित है सतह. इस प्रकार, उपरोक्त के अतिरिक्त, आपको नेविगेट करना होगा अंतरिक्ष की बुनियादी सतहेंऔर सरल त्रि-आयामी चित्र बनाने में सक्षम हो सकेंगे।

कुछ उदास हैं, मैं समझता हूं... अफ़सोस, लेख का शीर्षक "डमीज़ के लिए ट्रिपल इंटीग्रल्स" नहीं हो सकता, और कुछ चीजें हैं जिन्हें आपको जानना/करने में सक्षम होना आवश्यक है। लेकिन यह ठीक है - सभी सामग्री अत्यंत सुलभ रूप में प्रस्तुत की गई है और कम से कम समय में इसमें महारत हासिल की जा सकती है!

ट्रिपल इंटीग्रल की गणना करने का क्या मतलब है और यह सम क्या है?

त्रिगुण अभिन्न साधन की गणना करने के लिए नंबर ढूंढें:

सबसे सरल मामले में, जब ट्रिपल इंटीग्रल संख्यात्मक रूप से शरीर के आयतन के बराबर है. और वास्तव में, के अनुसार एकीकरण का सामान्य अर्थ, उत्पाद बराबर है बहुत छोताशरीर की प्राथमिक "ईंट" का आयतन। और त्रिगुण अभिन्न न्यायसंगत है एकजुट करती है इन सभी अतिसूक्ष्म कणक्षेत्र पर, जिसके परिणामस्वरूप शरीर के आयतन का अभिन्न (कुल) मान प्राप्त होता है: .

इसके अलावा, ट्रिपल इंटीग्रल का भी महत्व है भौतिक अनुप्रयोग. लेकिन इसके बारे में बाद में - पाठ के दूसरे भाग में, समर्पित मनमाना ट्रिपल इंटीग्रल्स की गणना, जिसके लिए सामान्य स्थिति में फ़ंक्शन एक स्थिरांक से भिन्न होता है और क्षेत्र में निरंतर होता है। इस लेख में, हम वॉल्यूम खोजने की समस्या पर विस्तार से विचार करेंगे, जो मेरे व्यक्तिपरक मूल्यांकन के अनुसार, 6-7 गुना अधिक बार होती है।

ट्रिपल इंटीग्रल को कैसे हल करें?

उत्तर तार्किक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। तय करने की जरूरत है शरीर परिभ्रमण क्रमऔर जाएं पुनरावृत्त अभिन्न. फिर क्रमिक रूप से तीन एकल अभिन्नों से निपटें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, पूरी रसोई बहुत-बहुत याद दिलाती है दोहरा अभिन्न, इस अंतर के साथ कि अब हमने एक अतिरिक्त आयाम (मोटे तौर पर कहें तो ऊंचाई) जोड़ दिया है। और, शायद, आप में से कई लोग पहले ही अनुमान लगा चुके होंगे कि ट्रिपल इंटीग्रल्स को कैसे हल किया जाता है।

आइए किसी भी शेष संदेह को दूर करें:

उदाहरण 1

कृपया कागज पर एक कॉलम में लिखें:

और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिये. क्या आप जानते हैं कि कौन सी सतहें इन समीकरणों को परिभाषित करती हैं? क्या आप इन समीकरणों का अनौपचारिक अर्थ समझते हैं? क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि ये सतहें अंतरिक्ष में कैसे स्थित हैं?

यदि आप सामान्य उत्तर "हां के बजाय नहीं" की ओर इच्छुक हैं, तो पाठ पर काम करना सुनिश्चित करें, अन्यथा आप आगे नहीं बढ़ पाएंगे!

समाधान: हम सूत्र का उपयोग करते हैं।

पता लगाने के लिए शरीर परिभ्रमण क्रमऔर जाएं पुनरावृत्त अभिन्नआपको यह समझने की ज़रूरत है (हर सरल चीज़ सरल है) कि यह किस प्रकार का शरीर है। और कई मामलों में, चित्र ऐसी समझ में बहुत योगदान देते हैं।

स्थिति के अनुसार, शरीर कई सतहों तक सीमित है। निर्माण कहाँ से शुरू करें? मैं निम्नलिखित प्रक्रिया का सुझाव देता हूं:

पहले चित्रित करते हैं समानांतर ऑर्थोगोनलसमन्वय तल पर शरीर का प्रक्षेपण। पहली बार मैंने कहा कि इस प्रक्षेपण को क्या कहा जाता है, हाहा =)

चूँकि प्रक्षेपण अक्ष के अनुदिश किया जाता है, तो सबसे पहले इससे निपटने की सलाह दी जाती है सतह, जो इस अक्ष के समानांतर हैं। मैं आपको याद दिला दूं कि ऐसी सतहों के समीकरण इसमें "z" अक्षर नहीं है. विचाराधीन समस्या में उनमें से तीन हैं:

– समीकरण एक निर्देशांक तल निर्दिष्ट करता है जो अक्ष से होकर गुजरता है;
– समीकरण एक निर्देशांक तल निर्दिष्ट करता है जो अक्ष से होकर गुजरता है;
- समीकरण सेट होता है विमान "सपाट" सीधी रेखाअक्ष के समानांतर.

सबसे अधिक संभावना है, वांछित प्रक्षेपण निम्नलिखित त्रिकोण है:

शायद हर कोई पूरी तरह से समझ नहीं पाया कि हम किस बारे में बात कर रहे थे। कल्पना करें कि मॉनिटर स्क्रीन से एक धुरी निकलती है और सीधे आपकी नाक के पुल से चिपक जाती है ( वे। इससे पता चलता है कि आप ऊपर से एक त्रि-आयामी चित्र देख रहे हैं). अध्ययन के तहत स्थानिक पिंड एक अंतहीन त्रिफलकीय "गलियारे" में स्थित है और एक विमान पर इसका प्रक्षेपण संभवतः एक छायांकित त्रिकोण का प्रतिनिधित्व करता है।

मैं इस तथ्य पर विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा कि जबकि हमने व्यक्त किया है सिर्फ प्रक्षेपण की एक धारणाऔर खंड "सबसे अधिक संभावना" और "सबसे अधिक संभावना" आकस्मिक नहीं थे। तथ्य यह है कि सभी सतहों का अभी तक विश्लेषण नहीं किया गया है और ऐसा हो सकता है कि उनमें से एक त्रिकोण के हिस्से को "काट" दे। एक स्पष्ट उदाहरण के रूप में, यह सुझाव देता है गोलाएक से कम त्रिज्या के मूल पर एक केंद्र के साथ, उदाहरण के लिए, एक गोला - समतल पर इसका प्रक्षेपण (वृत्त)। ) छायांकित क्षेत्र को पूरी तरह से "कवर" नहीं करेगा, और शरीर का अंतिम प्रक्षेपण बिल्कुल भी त्रिकोण नहीं होगा (वृत्त अपने नुकीले कोनों को "काट" देगा).

दूसरे चरण में, हम यह पता लगाते हैं कि शरीर ऊपर और नीचे से कैसे सीमित है और एक स्थानिक चित्रण करते हैं। आइए समस्या कथन पर वापस लौटें और देखें कि कौन सी सतहें बची हुई हैं। समीकरण निर्देशांक तल को ही निर्दिष्ट करता है, और समीकरण - परवलयिक सिलेंडर, स्थित है ऊपरसमतल और अक्ष से गुजरना। इस प्रकार, शरीर का प्रक्षेपण वास्तव में एक त्रिकोण है।

वैसे, मुझे यह यहां मिला फालतूपनस्थितियाँ - समतल के समीकरण को शामिल करना आवश्यक नहीं था, क्योंकि सतह, भुज अक्ष को छूकर, पहले से ही शरीर को बंद कर देती है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि इस मामले में हम तुरंत प्रक्षेपण नहीं बना पाएंगे - समीकरण का विश्लेषण करने के बाद ही त्रिकोण "आकर्षित" होगा।

आइए एक परवलयिक सिलेंडर के टुकड़े को ध्यान से चित्रित करें:

चित्र पूरा करने के बाद शरीर के चारों ओर घूमने का क्रमकोई बात नहीं!

सबसे पहले, हम प्रक्षेपण के ट्रैवर्सल का क्रम निर्धारित करते हैं (साथ ही, द्वि-आयामी ड्राइंग का उपयोग करके नेविगेट करना अधिक सुविधाजनक है)।यह हो चुका है ठीक वैसा, के रूप में दोहरा अभिन्न! एक लेज़र पॉइंटर और एक समतल क्षेत्र को स्कैन करने के बारे में सोचें। आइए "पारंपरिक" पहली बाईपास विधि चुनें:

इसके बाद, हम एक जादुई लालटेन उठाते हैं, त्रि-आयामी चित्र देखते हैं और सख्ती से नीचे से ऊपर तकहम मरीज को रोशन करते हैं। किरणें एक तल के माध्यम से शरीर में प्रवेश करती हैं और सतह से बाहर निकल जाती हैं। इस प्रकार, शरीर को पार करने का क्रम है:

आइए दोहराए गए इंटीग्रल पर आगे बढ़ें:

1) आपको "ज़ेटा" इंटीग्रल से शुरुआत करनी चाहिए। हम उपयोग करते हैं न्यूटन-लीबनिज सूत्र:

आइए परिणाम को "गेम" इंटीग्रल में प्रतिस्थापित करें:

क्या हुआ? मूलतः, समाधान को दोहरे अभिन्न अंग में और सटीक रूप से सूत्र में घटा दिया गया था बेलनाकार बीम का आयतन! निम्नलिखित क्या परिचित है:

2)

तीसरे समाकलन को हल करने के लिए तर्कसंगत तकनीक पर ध्यान दें।

उत्तर:

गणनाएँ हमेशा "एक पंक्ति" में लिखी जा सकती हैं:


लेकिन इस पद्धति से सावधान रहें - गति में वृद्धि गुणवत्ता के नुकसान से भरी होती है, और उदाहरण जितना अधिक जटिल होगा, गलती होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी।

आइए एक महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर दें:

यदि कार्य की शर्तों को उनके कार्यान्वयन की आवश्यकता नहीं है तो क्या चित्र बनाना आवश्यक है?

आप चार तरीकों से जा सकते हैं:

1) प्रक्षेपण और शरीर को ही बनाएं। यह सबसे लाभप्रद विकल्प है - यदि आपके पास दो अच्छे चित्र बनाने का अवसर है, तो आलसी न हों, दोनों चित्र बनाएं। मैं पहले इसकी अनुशंसा करता हूं.

2) केवल शरीर का चित्र बनाएं। उपयुक्त जब शरीर का प्रक्षेपण सरल और स्पष्ट हो। इसलिए, उदाहरण के लिए, अलग किए गए उदाहरण में, एक त्रि-आयामी चित्र पर्याप्त होगा। हालाँकि, एक खामी भी है - 3डी चित्र से प्रक्षेपण को पार करने का क्रम निर्धारित करना असुविधाजनक है, और मैं इस विधि की अनुशंसा केवल अच्छे स्तर के प्रशिक्षण वाले लोगों को ही करूंगा।

3) केवल प्रक्षेपण बनाएं। यह भी बुरा नहीं है, लेकिन फिर अतिरिक्त लिखित टिप्पणियों की आवश्यकता होती है, जो विभिन्न पक्षों से क्षेत्र को सीमित करती है। दुर्भाग्य से, तीसरे विकल्प को अक्सर मजबूर किया जाता है - जब शरीर बहुत बड़ा होता है या इसका निर्माण अन्य कठिनाइयों से भरा होता है। और हम ऐसे उदाहरणों पर भी विचार करेंगे।

4) बिना चित्र के बिल्कुल भी काम करें। इस मामले में, आपको मानसिक रूप से शरीर की कल्पना करने और उसके आकार/स्थान पर लिखित रूप में टिप्पणी करने की आवश्यकता है। बहुत सरल निकायों या कार्यों के लिए उपयुक्त जहां दोनों चित्र बनाना मुश्किल है। लेकिन कम से कम एक योजनाबद्ध चित्र बनाना अभी भी बेहतर है, क्योंकि "नग्न" समाधान को अस्वीकार कर दिया जा सकता है।

निम्नलिखित निकाय स्वतंत्र कार्य के लिए है:

उदाहरण 2

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके, सतहों से घिरे किसी पिंड के आयतन की गणना करें

इस मामले में, एकीकरण का क्षेत्र मुख्य रूप से असमानताओं द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, और यह और भी बेहतर है - असमानताओं का एक सेट निर्देशांक तलों और असमानता सहित प्रथम अष्टक को परिभाषित करता है - आधा स्थान, जिसमें मूल शामिल है (जाँच करना)+ विमान ही। "ऊर्ध्वाधर" विमान परवलय को परवलय के साथ काटता है, और इस अनुभाग को चित्र में बनाने की सलाह दी जाती है। ऐसा करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त संदर्भ बिंदु ढूंढना होगा, सबसे आसान तरीका परवलय का शीर्ष है (हम मूल्यों पर विचार करते हैं और संबंधित "ज़ेट" की गणना करें).

आइए वार्म अप करना जारी रखें:

उदाहरण 3

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके, संकेतित सतहों से घिरे शरीर के आयतन की गणना करें। ड्राइंग निष्पादित करें.

समाधान: शब्द "एक ड्राइंग निष्पादित करें" हमें कुछ स्वतंत्रता देता है, लेकिन सबसे अधिक संभावना एक स्थानिक ड्राइंग के निष्पादन का तात्पर्य है। हालाँकि, प्रक्षेपण से कोई नुकसान नहीं होगा, खासकर जब से यह यहाँ सबसे सरल नहीं है।

हम पहले से सिद्ध रणनीति पर कायम हैं - पहले हम निपटेंगे सतह, जो एप्लिकेट अक्ष के समानांतर हैं। ऐसी सतहों के समीकरणों में स्पष्ट रूप से चर "z" शामिल नहीं है:

– समीकरण अक्ष से गुजरने वाले निर्देशांक तल को निर्दिष्ट करता है ( जो समतल पर "उपनाम" समीकरण द्वारा निर्धारित होता है);
- समीकरण सेट होता है विमान, "उपनाम" से गुज़रना "सपाट" सीधी रेखाअक्ष के समानांतर.

वांछित शरीर नीचे एक विमान द्वारा सीमित है और परवलयिक सिलेंडरऊपर:

आइए शरीर के ट्रैवर्सल का एक क्रम बनाएं, जबकि "एक्स" और "वाई" एकीकरण की सीमाएं हैं, मैं आपको याद दिलाता हूं, दो-आयामी ड्राइंग का उपयोग करके पता लगाना अधिक सुविधाजनक है:

इस प्रकार:

1)

"Y" पर एकीकरण करते समय, "x" को एक स्थिरांक माना जाता है, इसलिए यह सलाह दी जाती है कि पूर्णांक चिन्ह से स्थिरांक को तुरंत हटा दिया जाए।

3)

उत्तर:

हां, मैं लगभग भूल ही गया था, ज्यादातर मामलों में त्रि-आयामी ड्राइंग के साथ प्राप्त परिणाम की जांच करना बहुत कम उपयोग (और हानिकारक भी) है, क्योंकि उच्च संभावना के साथ मात्रा का भ्रम, जिसके बारे में मैंने कक्षा में बात की थी क्रांति के एक पिंड का आयतन. इसलिए, विचार की गई समस्या के मुख्य भाग का मूल्यांकन करते हुए, मुझे व्यक्तिगत रूप से ऐसा लगा कि इसमें 4 से अधिक "क्यूब्स" थे।

स्वतंत्र समाधान के लिए निम्नलिखित उदाहरण:

उदाहरण 4

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके, संकेतित सतहों से घिरे शरीर के आयतन की गणना करें। इस पिंड और एक समतल पर इसके प्रक्षेपण का चित्र बनाएं।

पाठ के अंत में किसी कार्य का एक अनुमानित उदाहरण।

यह असामान्य नहीं है जब त्रि-आयामी ड्राइंग का निष्पादन कठिन होता है:

उदाहरण 5

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके, इसकी सीमा सतहों द्वारा दिए गए किसी पिंड का आयतन ज्ञात करें

समाधान: यहां प्रक्षेपण जटिल नहीं है, लेकिन आपको इसे पार करने के क्रम के बारे में सोचने की जरूरत है। यदि आप पहली विधि चुनते हैं, तो आंकड़े को 2 भागों में विभाजित करना होगा, जिससे योग की गणना करने में गंभीर खतरा होता है दोत्रिगुण अभिन्न. इस संबंध में, दूसरा मार्ग अधिक आशाजनक दिखता है। आइए हम चित्र में इस शरीर के प्रक्षेपण को व्यक्त और चित्रित करें:

मैं कुछ चित्रों की गुणवत्ता के लिए क्षमा चाहता हूँ, मैंने उन्हें सीधे अपनी पांडुलिपियों से काटा है।

हम आकृति को पार करने का अधिक लाभप्रद क्रम चुनते हैं:

अब यह शरीर पर निर्भर है। नीचे से यह समतल द्वारा सीमित है, ऊपर से - समतल द्वारा जो कोटि अक्ष से होकर गुजरता है। और सब कुछ ठीक हो जाएगा, लेकिन अंतिम विमान बहुत खड़ी है और क्षेत्र का निर्माण करना इतना आसान नहीं है। यहां चुनाव अविश्वसनीय है: या तो गहने छोटे पैमाने पर काम करते हैं (क्योंकि शरीर काफी पतला है), या लगभग 20 सेंटीमीटर ऊंचा चित्र (और तब भी, अगर यह फिट बैठता है)।

लेकिन समस्या को हल करने का एक तीसरा, मूल रूसी तरीका है - स्कोर करना =) और त्रि-आयामी ड्राइंग के बजाय, मौखिक विवरण के साथ काम करें: "यह शरीर सिलेंडर द्वारा सीमित है और एक हवाई जहाज़ बगल से, एक हवाई जहाज़ नीचे से और एक हवाई जहाज़ ऊपर से।”

एकीकरण की "ऊर्ध्वाधर" सीमाएँ स्पष्ट रूप से हैं:

आइए शरीर के आयतन की गणना करें, यह न भूलें कि हमने कम सामान्य तरीके से प्रक्षेपण को दरकिनार कर दिया:

1)

उत्तर:

जैसा कि आपने देखा, उन समस्याओं में प्रस्तावित निकाय जो सौ रुपये से अधिक महंगे नहीं हैं, अक्सर नीचे दिए गए विमान तक सीमित होते हैं। लेकिन यह कोई नियम नहीं है, इसलिए आपको हमेशा सतर्क रहने की जरूरत है - आपको कोई ऐसा कार्य मिल सकता है जहां शरीर स्थित है और अंतर्गतसमतल इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि विश्लेषण की गई समस्या में हम इसके बजाय विमान पर विचार करते हैं, तो जांच किए गए शरीर को निचले आधे स्थान में सममित रूप से मैप किया जाएगा और नीचे से विमान द्वारा और ऊपर से विमान द्वारा सीमित किया जाएगा!

यह देखना आसान है कि आपको वही परिणाम मिलता है:

(याद रखें कि शरीर को चारों ओर घूमना जरूरी है नीचे से ऊपर तक सख्ती से!)

इसके अलावा, "पसंदीदा" विमान का उपयोग बिल्कुल नहीं किया जा सकता है; सबसे सरल उदाहरण: विमान के ऊपर स्थित एक गेंद - इसकी मात्रा की गणना करते समय, किसी समीकरण की आवश्यकता नहीं होगी।

हम इन सभी मामलों पर विचार करेंगे, लेकिन अभी एक ऐसा ही कार्य है जिसे आपको स्वयं हल करना है:

उदाहरण 6

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके, सतहों से घिरे किसी पिंड का आयतन ज्ञात करें

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

आइए समान रूप से लोकप्रिय सामग्रियों के साथ दूसरे पैराग्राफ पर चलते हैं:

बेलनाकार निर्देशांक में ट्रिपल इंटीग्रल

बेलनाकार निर्देशांक, संक्षेप में, हैं धुवीय निर्देशांकअंतरिक्ष में।
एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली में, अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है - विमान पर बिंदु का प्रक्षेपण और बिंदु का अनुप्रयोग।

त्रि-आयामी कार्टेशियन प्रणाली से बेलनाकार समन्वय प्रणाली में संक्रमण निम्नलिखित सूत्रों के अनुसार किया जाता है:

हमारे विषय के संबंध में, परिवर्तन इस तरह दिखता है:

और, तदनुसार, उस सरलीकृत मामले में जिस पर हम इस लेख में विचार कर रहे हैं:

मुख्य बात यह है कि अतिरिक्त "एर" गुणक के बारे में न भूलें और इसे सही ढंग से रखें एकीकरण की ध्रुवीय सीमाएँप्रक्षेपण को पार करते समय:

उदाहरण 7

समाधान: हम उसी प्रक्रिया का पालन करते हैं: सबसे पहले, हम उन समीकरणों पर विचार करते हैं जिनमें "ze" चर अनुपस्थित है। यहाँ केवल एक ही है. प्रक्षेपण बेलनाकार सतहविमान पर "उपनाम" का प्रतिनिधित्व करता है घेरा .

विमान वे वांछित शरीर को नीचे और ऊपर से सीमित करते हैं (इसे सिलेंडर से "काट" देते हैं) और इसे एक सर्कल में प्रोजेक्ट करते हैं:

आगे एक त्रि-आयामी चित्र है। मुख्य कठिनाई एक ऐसे विमान के निर्माण में है जो सिलेंडर को "तिरछा" कोण पर काटता है, जिसके परिणामस्वरूप अंडाकार. आइए इस अनुभाग को विश्लेषणात्मक रूप से स्पष्ट करें: ऐसा करने के लिए, हम समतल के समीकरण को कार्यात्मक रूप में फिर से लिखते हैं और प्रक्षेपण की सीमा पर स्थित स्पष्ट बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ("ऊंचाई") की गणना करें:

हम ड्राइंग पर पाए गए बिंदुओं को ध्यान से चिह्नित करते हैं (मेरे जैसा नहीं =))उन्हें एक लाइन से जोड़ें:

एक समतल पर किसी पिंड का प्रक्षेपण एक वृत्त है, और यह एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली में जाने के पक्ष में एक मजबूत तर्क है:

आइए बेलनाकार निर्देशांक में सतहों के समीकरण खोजें:

अब आपको शरीर को पार करने के क्रम का पता लगाने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आइए प्रक्षेपण से निपटें। इसका ट्रैवर्सल क्रम कैसे निर्धारित करें? बिल्कुल वैसा ही जैसा साथ में है ध्रुवीय निर्देशांक में दोहरे समाकलन की गणना. यहाँ यह प्राथमिक है:

एकीकरण की "ऊर्ध्वाधर" सीमाएँ भी स्पष्ट हैं - हम विमान के माध्यम से शरीर में प्रवेश करते हैं और विमान के माध्यम से बाहर निकलते हैं:

आइए दोहराए गए इंटीग्रल पर आगे बढ़ें:

इस मामले में, हम तुरंत कारक "एर" को "हमारे" अभिन्न अंग में डाल देते हैं।

हमेशा की तरह, झाड़ू को टहनियों के साथ तोड़ना आसान होता है:

1)

हम परिणाम को निम्नलिखित अभिन्न में डालते हैं:

और यहां हम यह नहीं भूलते कि "फी" को एक स्थिरांक माना जाता है। लेकिन यह फिलहाल के लिए है:

उत्तर:

एक समान कार्य जिसे आपको स्वयं हल करना होगा:

उदाहरण 8

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके सतहों से घिरे किसी पिंड के आयतन की गणना करें। इस पिंड और एक समतल पर इसके प्रक्षेपण का चित्र बनाएं।

पाठ के अंत में अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित नमूना।

कृपया ध्यान दें कि समस्याओं की स्थितियों में बेलनाकार समन्वय प्रणाली में संक्रमण के बारे में एक शब्द भी नहीं कहा गया है, और एक अज्ञानी व्यक्ति कार्टेशियन निर्देशांक में कठिन अभिन्न अंग के साथ संघर्ष करेगा। ...या शायद ऐसा नहीं होगा - आख़िरकार, समस्याओं को हल करने का एक तीसरा, मूल रूसी तरीका है =)

यह तो बस शुरुआत है! ...अच्छे तरीके से: =)

उदाहरण 9

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके, सतहों से घिरे किसी पिंड का आयतन ज्ञात करें

मामूली और स्वादिष्ट.

समाधान: यह शरीर सीमित है शंक्वाकार सतहऔर अण्डाकार परवलयिक. जिन पाठकों ने लेख सामग्री को ध्यानपूर्वक पढ़ा है अंतरिक्ष की मूल सतहें, मैंने पहले ही कल्पना कर ली है कि शरीर कैसा दिखता है, लेकिन व्यवहार में अक्सर अधिक जटिल मामले होते हैं, इसलिए मैं एक विस्तृत विश्लेषणात्मक तर्क प्रस्तुत करूंगा।

सबसे पहले, हम वे रेखाएँ ढूँढ़ते हैं जिनके अनुदिश सतहें प्रतिच्छेद करती हैं। आइए निम्नलिखित प्रणाली बनाएं और हल करें:

पहले समीकरण से हम दूसरे पद को पद के अनुसार घटाते हैं:

परिणाम दो जड़ें हैं:

आइए सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें:
, जिससे यह अनुसरण होता है
इस प्रकार, मूल एक बिंदु से मेल खाता है - मूल। स्वाभाविक रूप से, क्योंकि विचाराधीन सतहों के शीर्ष मेल खाते हैं।

आइए अब दूसरे मूल को भी सिस्टम के किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

प्राप्त परिणाम का ज्यामितीय अर्थ क्या है? "ऊंचाई पर" (तल में) परवलय और शंकु एक दूसरे को काटते हैं घेरा- बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई त्रिज्या।

इस मामले में, पैराबोलॉइड के "कटोरे" में शंकु का "फ़नल" होता है गठनशंक्वाकार सतह को एक बिंदीदार रेखा के साथ खींचा जाना चाहिए (हमसे सबसे दूर जेनरेटर के खंड को छोड़कर, जो इस कोण से दिखाई देता है):

एक समतल पर किसी पिंड का प्रक्षेपण है घेरात्रिज्या 1 के मूल में एक केंद्र के साथ, जिसे मैंने इस तथ्य की स्पष्टता के कारण चित्रित करने की जहमत भी नहीं उठाई (हालाँकि, हम एक लिखित टिप्पणी प्रदान करते हैं!). वैसे, पिछली दो समस्याओं में, प्रक्षेपण रेखाचित्र को भी स्कोर किया जा सकता था, यदि स्थिति के लिए नहीं।

मानक सूत्रों का उपयोग करके बेलनाकार निर्देशांक में जाने पर, असमानता को उसके सरलतम रूप में लिखा जाता है और प्रक्षेपण को पार करने के क्रम में कोई समस्या नहीं होती है:

आइए एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली में सतहों के समीकरण खोजें:

चूँकि समस्या शंकु के ऊपरी भाग पर विचार करती है, हम समीकरण से व्यक्त करते हैं:

"हम शरीर को स्कैन करते हैं" नीचे से ऊपर तक। प्रकाश की किरणें एक अण्डाकार परवलय के माध्यम से इसमें प्रवेश करती हैं और एक शंक्वाकार सतह के माध्यम से बाहर निकलती हैं। इस प्रकार, शरीर को पार करने का "ऊर्ध्वाधर" क्रम है:

बाकी तकनीक का मामला है:

उत्तर:

किसी पिंड को उसकी सीमित सतहों द्वारा नहीं, बल्कि कई असमानताओं द्वारा परिभाषित किया जाना असामान्य नहीं है:

उदाहरण 10

मैंने उसी संदर्भ लेख में स्थानिक असमानताओं के ज्यामितीय अर्थ को पर्याप्त विस्तार से समझाया - अंतरिक्ष की बुनियादी सतहें और उनका निर्माण.

यद्यपि इस कार्य में एक पैरामीटर शामिल है, यह एक सटीक ड्राइंग के निष्पादन की अनुमति देता है जो शरीर के मूल स्वरूप को दर्शाता है। कैसे निर्माण करें, इसके बारे में सोचें. एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर पाठ के अंत में है।

...अच्छा, कुछ और काम? मैं पाठ ख़त्म करने के बारे में सोच रहा था, लेकिन मुझे ऐसा लग रहा है कि आप और अधिक चाहते हैं =)

उदाहरण 11

ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग करके, किसी दिए गए पिंड के आयतन की गणना करें:
, एक मनमाना सकारात्मक संख्या कहां है।

समाधान: असमानता त्रिज्या के मूल पर केंद्र वाली एक गेंद और असमानता को परिभाषित करता है - त्रिज्या के समरूपता अक्ष के साथ एक गोलाकार सिलेंडर का "अंदर"। इस प्रकार, वांछित पिंड किनारे पर एक गोलाकार सिलेंडर और ऊपर और नीचे तल के सापेक्ष सममित गोलाकार खंडों द्वारा सीमित है।

इसे माप की आधार इकाई के रूप में लेते हुए, आइए चित्र बनाएं:

अधिक सटीक रूप से, इसे एक ड्राइंग कहा जाना चाहिए, क्योंकि मैंने अक्ष के साथ अनुपात को बहुत अच्छी तरह से बनाए नहीं रखा। हालाँकि, निष्पक्ष होने के लिए, स्थिति में किसी भी चीज़ को चित्रित करने की आवश्यकता नहीं थी, और ऐसा चित्रण काफी पर्याप्त निकला।

कृपया ध्यान दें कि यहां उस ऊंचाई का पता लगाना आवश्यक नहीं है जिस पर सिलेंडर गेंद से "कैप" काटता है - यदि आप अपने हाथों में एक कम्पास लेते हैं और इसका उपयोग त्रिज्या के मूल पर एक केंद्र के साथ एक वृत्त को चिह्नित करने के लिए करते हैं 2 सेमी, फिर सिलेंडर के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं दिखाई देंगे।

आयताकार निर्देशांक के दोहरे अभिन्न अंग का परिवर्तन, ध्रुवीय निर्देशांक के लिए
, संबंधों द्वारा आयताकार निर्देशांक से संबंधित
,
, सूत्र के अनुसार किया जाता है

यदि एकीकरण का क्षेत्र
दो बीम तक सीमित
,
(
), ध्रुव से बाहर आ रहा है, और दो वक्र
और
, तो दोहरे इंटीग्रल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

.

उदाहरण 1.3.इन रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें:
,
,
,
.

समाधान।किसी क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना करना
आइए सूत्र का उपयोग करें:
.

आइए क्षेत्र का चित्रण करें (चित्र 1.5)। ऐसा करने के लिए, हम वक्रों को रूपांतरित करते हैं: , , , . आइए ध्रुवीय निर्देशांक पर आगे बढ़ें: , . . ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, क्षेत्र समीकरणों द्वारा वर्णित:

.

1.2. त्रिगुण अभिन्न

ट्रिपल इंटीग्रल्स के मूल गुण डबल इंटीग्रल्स के गुणों के समान हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक में, ट्रिपल इंटीग्रल आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

.

अगर
, फिर क्षेत्र पर त्रिगुण समाकलन संख्यात्मक रूप से शरीर के आयतन के बराबर :

.

त्रिगुण अभिन्न गणना

चलो एकीकरण का क्षेत्र एकल-मूल्यवान निरंतर सतहों द्वारा क्रमशः नीचे और ऊपर से घिरा हुआ
,
, और क्षेत्र का प्रक्षेपण समन्वय तल पर
वहाँ एक समतल क्षेत्र है
(चित्र 1.6)।

फिर निश्चित मानों के लिए संगत अनुप्रयोग क्षेत्र के बिंदु भीतर भिन्न होता है। तब हमें मिलता है: . यदि, इसके अतिरिक्त, प्रक्षेपण असमानताओं द्वारा निर्धारित , , कहाँ - एकल-मूल्यवान निरंतर कार्य , वह

.

उदाहरण 1.4.गणना
, कहाँ - विमानों द्वारा सीमित एक पिंड:

	, , , ( , , ). समाधान।एकीकरण का क्षेत्र एक पिरामिड है (चित्र 1.7)। प्रक्षेपण क्षेत्र वहाँ एक त्रिकोण है , सीधी रेखाओं से घिरा हुआ , , (चित्र 1.8)। पर डॉट लागू होता है असमानता को संतुष्ट करें , इसीलिए .
	एक त्रिभुज के लिए एकीकरण की सीमाएँ निर्धारित करना , हम पाते हैं

बेलनाकार निर्देशांक में ट्रिपल इंटीग्रल

कार्टेशियन निर्देशांक से चलते समय
बेलनाकार निर्देशांक के लिए
(चित्र 1.9) से संबद्ध
रिश्ते
,
,
, और

	, ,, ट्रिपल इंटीग्रल रूपांतरित हो गया है: उदाहरण 1.5.सतहों से घिरे किसी पिंड के आयतन की गणना करें: , , . समाधान।आवश्यक शरीर की मात्रा के बराबर होती है .
	एकीकरण डोमेन एक सिलेंडर का एक हिस्सा है जो नीचे एक विमान से घिरा हुआ है , और विमान के ऊपर (चित्र 1.10)। प्रक्षेपण क्षेत्र वहाँ एक वृत्त है मूल बिंदु पर केंद्र और इकाई त्रिज्या के साथ। आइए बेलनाकार निर्देशांक पर आगे बढ़ें। , , . पर डॉट लागू होता है , असमानता को संतुष्ट करें या बेलनाकार निर्देशांक में:

क्षेत्र
, एक वक्र से घिरा हुआ
, रूप लेगा, या
, जबकि ध्रुवीय कोण
. परिणामस्वरूप हमारे पास है

.

2. क्षेत्र सिद्धांत के तत्व

आइए सबसे पहले वक्ररेखीय और सतह इंटीग्रल की गणना के तरीकों को याद करें।

एक वक्र पर परिभाषित कार्यों के निर्देशांक पर एक वक्ररेखीय समाकलन की गणना , फॉर्म के एक निश्चित अभिन्न अंग की गणना करने के लिए कम हो जाता है

यदि वक्र पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट
वक्र के आरंभिक बिंदु से मेल खाता है , ए
- इसका अंतिम बिंदु.

किसी फ़ंक्शन के सतही समाकलन की गणना
, दो-तरफा सतह पर परिभाषित , दोहरे अभिन्न अंग की गणना करने के लिए नीचे आता है, उदाहरण के लिए, फॉर्म का

,

यदि सतह , समीकरण द्वारा दिया गया
, विमान पर विशिष्ट रूप से प्रक्षेपित किया जाता है
क्षेत्र के लिए
. यहाँ - इकाई सामान्य वेक्टर के बीच का कोण ज़मीनी स्तर पर और अक्ष
:

.

समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक सतह का किनारा सूत्र (2.3) में उपयुक्त चिह्न के चयन द्वारा निर्धारित किया जाता है।

परिभाषा 2.1. वेक्टर फ़ील्ड
किसी बिंदु का सदिश फलन कहलाता है
इसके दायरे के साथ:

वेक्टर फ़ील्ड
अदिश राशि द्वारा विशेषता - विचलन:

परिभाषा 2.2. प्रवाह वेक्टर फ़ील्ड
सतह के माध्यम से सतह को अभिन्न कहा जाता है:

,

कहाँ - सतह के चयनित पक्ष के लिए इकाई सामान्य वेक्टर , ए
- सदिशों का अदिश गुणनफल और .

परिभाषा 2.3. प्रसार वेक्टर फ़ील्ड

द्वारा बंद वक्र वक्ररेखीय समाकलन कहा जाता है

,

कहाँ
.

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस फॉर्मूला वेक्टर क्षेत्र प्रवाह के बीच संबंध स्थापित करता है एक बंद सतह के माध्यम से और क्षेत्र विचलन:

कहाँ - एक बंद समोच्च से घिरी सतह , ए इस सतह पर इकाई सामान्य वेक्टर है। सामान्य की दिशा समोच्च ट्रैवर्सल की दिशा के अनुरूप होनी चाहिए .

उदाहरण 2.1.सरफेस इंटीग्रल की गणना करें

,

कहाँ - शंकु का बाहरी भाग
(
), एक हवाई जहाज़ से कट गया
(चित्र 2.1)।

समाधान।सतह क्षेत्र में विशिष्ट रूप से प्रक्षेपित किया गया
विमान
, और अभिन्न की गणना सूत्र (2.2) का उपयोग करके की जाती है।

इकाई सतह सामान्य वेक्टर हम सूत्र (2.3) का उपयोग करके पाते हैं: . यहां, सामान्य के लिए अभिव्यक्ति में, कोण के बाद से प्लस चिह्न चुना गया है अक्ष के बीच और सामान्य - मूर्ख और इसलिए नकारात्मक होना चाहिए. ध्यान में रख कर , एक सतह पर हम पाते हैं

क्षेत्र
वहाँ एक वृत्त है
. इसलिए, अंतिम अभिन्न अंग में हम ध्रुवीय निर्देशांक की ओर बढ़ते हैं, जबकि
,
:

उदाहरण 2.2.एक सदिश क्षेत्र का विचलन और कर्ल ज्ञात करें
.

समाधान।सूत्र (2.4) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

किसी दिए गए वेक्टर फ़ील्ड का रोटर सूत्र (2.5) का उपयोग करके पाया जाता है

उदाहरण 2.3.एक सदिश क्षेत्र का प्रवाह ज्ञात कीजिए
विमान के हिस्से के माध्यम से :
, पहले अष्टक में स्थित (सामान्य अक्ष के साथ एक न्यून कोण बनाता है
).

	समाधान।सूत्र के आधार पर (2.6) . आइए विमान के भाग का चित्रण करें : , प्रथम अष्टक में स्थित है। खंडों में इस तल का समीकरण इस प्रकार है (चित्र 2.3)। समतल के सामान्य वेक्टर में निर्देशांक होते हैं: , इकाई सामान्य वेक्टर
	. . , , कहाँ , इस तरह,

कहाँ
- समतल प्रक्षेपण पर
(चित्र 2.4)।

उदाहरण 2.4.एक बंद सतह के माध्यम से एक वेक्टर क्षेत्र के प्रवाह की गणना करें , विमान द्वारा गठित
और शंकु का भाग
(
) (चित्र 2.2)।

समाधान।आइए हम ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस सूत्र (2.8) का उपयोग करें

.

आइए सदिश क्षेत्र का विचलन ज्ञात करें सूत्र के अनुसार (2.4):

कहाँ
शंकु का आयतन है जिस पर एकीकरण किया जाता है। आइए शंकु के आयतन की गणना करने के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करें
(- शंकु के आधार की त्रिज्या, - उसका उच्च)। हमारे मामले में हमें मिलता है
. अंततः हम पाते हैं

.

उदाहरण 2.5.एक सदिश क्षेत्र के परिसंचरण की गणना करें
समोच्च के साथ , सतहों के प्रतिच्छेदन द्वारा गठित
और
(
). स्टोक्स सूत्र का उपयोग करके परिणाम की जाँच करें।

समाधान।इन सतहों का प्रतिच्छेदन एक वृत्त है
,
(चित्र 2.1)। ट्रैवर्सल दिशा आमतौर पर इसलिए चुनी जाती है ताकि इसके द्वारा सीमित क्षेत्र बाईं ओर बना रहे। आइए समोच्च के पैरामीट्रिक समीकरण लिखें :

कहाँ

और पैरामीटर बदलता है पहले
. सूत्र (2.7) का उपयोग करते हुए, (2.1) और (2.10) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

.

आइए अब स्टोक्स फॉर्मूला (2.9) लागू करें। एक सतह के रूप में , समोच्च पर फैला हुआ , आप विमान का हिस्सा ले सकते हैं
. सामान्य दिशा
इस सतह पर समोच्च ट्रैवर्सल की दिशा के अनुरूप है . किसी दिए गए वेक्टर फ़ील्ड के कर्ल की गणना उदाहरण 2.2 में की गई है:
. इसलिए, वांछित परिसंचरण

कहाँ
- क्षेत्र का क्षेत्रफल
.
- वृत्त त्रिज्या
, कहाँ

आइए हमारे पास अंतरिक्ष में दो आयताकार समन्वय प्रणालियाँ हैं और
, और कार्यों की एक प्रणाली

(1)

जो कुछ क्षेत्रों में बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करता है
और
इन समन्वय प्रणालियों में. आइए मान लें कि सिस्टम (1) के कार्य हैं
निरंतर आंशिक व्युत्पन्न. निर्धारक इन आंशिक व्युत्पन्नों से बना है

,

कार्यों की प्रणाली (1) का जैकोबियन (या जैकोबी निर्धारक) कहा जाता है। हम ऐसा मान लेंगे
वी
.

ऊपर दी गई धारणाओं के तहत, ट्रिपल इंटीग्रल में चर बदलने के लिए निम्नलिखित सामान्य सूत्र है:

जैसा कि दोहरे अभिन्न अंग के मामले में, सिस्टम (1) और स्थिति की पारस्परिक विशिष्टता
अलग-अलग बिंदुओं पर, अलग-अलग लाइनों पर और अलग-अलग सतहों पर उल्लंघन किया जा सकता है।

प्रत्येक बिंदु के लिए कार्यों की प्रणाली (1)।
एक बिंदु से मेल खाता है
. ये तीन नंबर
किसी बिंदु के वक्ररेखीय निर्देशांक कहलाते हैं . अंतरिक्ष के बिंदु
, जिसके लिए इनमें से एक निर्देशांक एक स्थिर मान बनाए रखता है, तथाकथित बनता है। समन्वय सतह.

बेलनाकार निर्देशांक में II ट्रिपल इंटीग्रल

बेलनाकार समन्वय प्रणाली (सीएसएस) विमान द्वारा निर्धारित की जाती है
, जिसमें एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली और अक्ष निर्दिष्ट है
, इस तल के लंबवत। एक बिंदु के बेलनाकार निर्देशांक
, कहाँ
– बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक – अनुमान टी चश्मा विमान के लिए
, ए - ये बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक हैं प्रति अक्ष
या
.

हवाई जहाज में
हम सामान्य तरीके से कार्टेशियन निर्देशांक दर्ज करते हैं, एप्लिकेट अक्ष को अक्ष के साथ निर्देशित करते हैं
सीएसके. अब बेलनाकार निर्देशांकों को कार्तीय निर्देशांकों से जोड़ने वाले सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है:

(3)

ये सूत्र क्षेत्र को संपूर्ण स्थान पर मैप करते हैं
.

विचाराधीन मामले में समन्वय सतहें होंगी:

1)
- अक्ष के समानांतर जेनरेटर वाली बेलनाकार सतहें
, जिनके मार्गदर्शक समतल में वृत्त हैं
, बिंदु पर केन्द्रित ;

2)

;

3)
- समतल के समानांतर समतल
.

सिस्टम का जैकोबियन (3):

.

सीएसके के मामले में सामान्य सूत्र इस प्रकार है:

नोट 1 . बेलनाकार निर्देशांक में संक्रमण की सिफारिश उस स्थिति में की जाती है जब एकीकरण का क्षेत्र एक गोलाकार सिलेंडर या शंकु, या क्रांति का एक परवलय (या उसके हिस्से) होता है, और इस शरीर की धुरी आवेदक की धुरी के साथ मेल खाती है
.

नोट 2। बेलनाकार निर्देशांकों को उसी तरह सामान्यीकृत किया जा सकता है जैसे किसी समतल में ध्रुवीय निर्देशांक।

उदाहरण 1। किसी फ़ंक्शन के त्रिगुण समाकलन की गणना करें

क्षेत्र के आधार पर
, सिलेंडर के आंतरिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है
, एक शंकु से घिरा हुआ
और परवलयिक
.

समाधान। हमने पहले ही इस क्षेत्र पर §2, उदाहरण 6 में विचार किया है, और डीपीएससी में एक मानक प्रविष्टि प्राप्त की है। हालाँकि, इस क्षेत्र में अभिन्न की गणना करना कठिन है। चलिए सीएसके चलते हैं:

.

प्रक्षेपण
शरीर
विमान के लिए
- यह एक वृत्त है
. इसलिए, समन्वय 0 से भिन्न होता है
, ए – 0 से तक आर. एक मनमाना बिंदु के माध्यम से
अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा खींचिए
. सीधी रेखा अंदर जाएगी
एक शंकु पर, लेकिन एक परवलय पर निकलेगा। लेकिन शंकु
सीएससी में समीकरण है
, और पैराबोलॉइड
- समीकरण
. तो हमारे पास

III गोलाकार निर्देशांक में ट्रिपल इंटीग्रल

गोलाकार समन्वय प्रणाली (एससीएस) विमान द्वारा निर्धारित की जाती है
, जिसमें यूसीएस निर्दिष्ट है, और अक्ष
, विमान के लंबवत
.

एक बिंदु के गोलाकार निर्देशांक अंतरिक्ष को संख्याओं का त्रिक कहा जाता है
, कहाँ – किसी समतल पर किसी बिंदु के प्रक्षेपण का ध्रुवीय कोण
,– अक्ष के बीच का कोण
और वेक्टर
और
.

हवाई जहाज में
आइए कार्तीय निर्देशांक अक्षों का परिचय दें
और
सामान्य तरीके से, और एप्लिकेट अक्ष अक्ष के साथ संगत है
. गोलाकार निर्देशांक को कार्तीय निर्देशांक से जोड़ने वाले सूत्र इस प्रकार हैं:

(4)

ये सूत्र क्षेत्र को संपूर्ण स्थान पर मैप करते हैं
.

कार्यों की प्रणाली का जैकोबियन (4):

.

समन्वय सतहों के तीन परिवार हैं:

1)
- मूल पर केंद्र के साथ संकेंद्रित गोले;

2)
- अक्ष से गुजरने वाले आधे तल
;

3)
- निर्देशांक के मूल पर एक शीर्ष के साथ गोलाकार शंकु, जिसकी धुरी अक्ष है
.

ट्रिपल इंटीग्रल में एसएससी में संक्रमण का फॉर्मूला:

नोट 3। एससीएस में संक्रमण की सिफारिश तब की जाती है जब एकीकरण का क्षेत्र एक गेंद या उसका हिस्सा हो। इस मामले में, गोले का समीकरण
इसमें जाता है। पहले चर्चा की गई सीएसके की तरह, सीएसके धुरी से "बंधा हुआ" है
. यदि गोले के केंद्र को निर्देशांक अक्ष के अनुदिश एक त्रिज्या द्वारा स्थानांतरित किया जाता है, तो अक्ष के अनुदिश विस्थापित होने पर हमें सबसे सरल गोलाकार समीकरण प्राप्त होता है
:

नोट 4. एसएससी को सामान्य बनाना संभव है:

जैकोबियन के साथ
. कार्यों की यह प्रणाली दीर्घवृत्त का अनुवाद करेगी

"समानांतर चतुर्भुज" के लिए

उदाहरण 2. त्रिज्या की एक गेंद पर बिंदुओं की औसत दूरी ज्ञात कीजिए इसके केंद्र से.

समाधान। याद रखें कि फ़ंक्शन का औसत मान
क्षेत्र में
किसी क्षेत्र पर किसी फ़ंक्शन का त्रिगुण समाकलन क्षेत्र के आयतन से विभाजित होता है। हमारे मामले में

तो हमारे पास

डिपॉज़िटफ़ाइल्स से डाउनलोड करें

त्रिगुण अभिन्न.

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें.

ट्रिपल इंटीग्रल, इसके गुण।

त्रिगुण समाकलन में चरों का परिवर्तन। बेलनाकार निर्देशांक में त्रिगुण समाकलन की गणना।

गोलाकार निर्देशांक में त्रिगुण समाकलन की गणना।

कार्य करने दो यू= एफ(एक्स, वाई,जेड) एक सीमित बंद क्षेत्र में परिभाषित वीअंतरिक्ष आर 3. आइए क्षेत्र का बंटवारा करें वीबेतरतीब ढंग से चालू एनप्राथमिक बंद क्षेत्र वी 1 , … ,वी एन, वॉल्यूम वाले  वी 1 , …,  वी एनक्रमश। चलो निरूपित करें डी– क्षेत्रों का सबसे बड़ा व्यास वी 1 , … ,वी एन. हर क्षेत्र में वी कएक मनमाना बिंदु चुनें पी क (एक्स क , य क ,जेड क) और बनाओ अभिन्न योगकार्य एफ(एक्स, य,जेड)

एस =

परिभाषा।त्रिगुण अभिन्नफ़ंक्शन से एफ(एक्स, य,जेड) क्षेत्र के आधार पर वीपूर्णांक योग की सीमा कहलाती है
, यदि यह मौजूद है।

इस प्रकार,

(1)

टिप्पणी।संचयी योग एसयह इस बात पर निर्भर करता है कि क्षेत्र को कैसे विभाजित किया गया है वी और बिंदुओं का चयन करना पी क (क=1, …, एन). हालाँकि, यदि कोई सीमा है, तो यह क्षेत्र को विभाजित करने के तरीके पर निर्भर नहीं करता है वीऔर बिंदुओं का चयन करना पी क. यदि आप डबल और ट्रिपल इंटीग्रल्स की परिभाषाओं की तुलना करते हैं, तो उनमें पूर्ण सादृश्य देखना आसान है।

ट्रिपल इंटीग्रल के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्त।यदि फ़ंक्शन मौजूद है तो ट्रिपल इंटीग्रल (13) मौजूद है एफ(एक्स, य,जेड) में सीमित वीऔर निरंतर है वी, में स्थित टुकड़ेवार चिकनी सतहों की एक सीमित संख्या के अपवाद के साथ वी.

ट्रिपल इंटीग्रल के कुछ गुण।

1) यदि साथतो, यह एक संख्यात्मक स्थिरांक है

3) क्षेत्र पर संयोजकता. यदि क्षेत्र वी क्षेत्रों में विभाजित किया गया है वी 1 और वी 2, फिर

4) शरीर का आयतन वीके बराबर होती है

(2 )

कार्तीय निर्देशांक में त्रिगुण समाकलन की गणना।

होने देना डी शरीर प्रक्षेपण वीविमान के लिए xOy, सतहें जेड=φ 1 (एक्स,य),जेड=φ 2 (एक्स, य) शरीर को सीमित करें वीक्रमशः नीचे और ऊपर। यह मतलब है कि

वी = {(एक्स, य, जेड): (एक्स, य)डी , φ 1 (एक्स,य)≤ z ≤ φ 2 (एक्स,य)}.

आइए ऐसी बॉडी को कॉल करें जेड-बेलनाकार. ट्रिपल इंटीग्रल (1) ओवर जेड-बेलनाकार शरीर वीएक दोहरे और एक निश्चित इंटीग्रल से युक्त पुनरावृत्त इंटीग्रल को पास करके गणना की जाती है:

(3 )

इस पुनरावृत्त अभिन्न अंग में, चर पर आंतरिक निश्चित अभिन्न अंग का पहले मूल्यांकन किया जाता है जेड, जिसमें एक्स, यस्थायी माने जाते हैं. फिर क्षेत्र पर परिणामी फ़ंक्शन के दोहरे अभिन्न अंग की गणना की जाती है डी.

अगर वी एक्स-बेलनाकार या आप-बेलनाकार शरीर, तो निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

पहले सूत्र में डी  शरीर प्रक्षेपण वीसमन्वय तल पर yOz, और दूसरे में - विमान के लिए xOz

उदाहरण। 1) शरीर के आयतन की गणना करें वी, सतहों द्वारा सीमित जेड = 0, एक्स 2 + य 2 = 4, जेड = एक्स 2 + य 2 .

समाधान। आइए सूत्र (2) के अनुसार त्रिगुण समाकलन का उपयोग करके आयतन की गणना करें

आइए सूत्र (3) का उपयोग करके दोहराए गए अभिन्न अंग पर आगे बढ़ें।

होने देना डी- घेरा एक्स 2 + वाई 2 ≤ 4, φ 1 (एक्स , य ) = 0, φ 2 (एक्स , य )= एक्स 2 + वाई 2. फिर, सूत्र (3) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

इस अभिन्न की गणना करने के लिए, आइए ध्रुवीय निर्देशांक पर आगे बढ़ें। उसी समय, वृत्त डीएक समुच्चय में परिवर्तित हो जाता है

डी आर = { (आर , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ आर ≤ 2} .

2) शरीर वी सतहों तक सीमित z=y , z= –य , एक्स= 0 , एक्स= 2, आप= 1. गणना करें

विमान z = y , z = –yशरीर को क्रमशः नीचे और ऊपर, तलों से सीमित करें एक्स= 0 , एक्स= 2 शरीर को क्रमशः पीछे और सामने और तल से सीमित करें आप=दाईं ओर 1 सीमा. वी -z-बेलनाकार शरीर, इसका प्रक्षेपण डीविमान के लिए xOyएक आयत है OABC. चलो रखो φ 1 (एक्स , य ) = -य