दूसरा अध्याय। अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति. सतही समीकरण F(x,y,z)=0 Xy समतल समीकरण

अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ पर विचार करें।

सतही समीकरणएक समीकरण को F(x,y,z)=0 कहा जाता है, जो सतह पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और सतह पर नहीं स्थित बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, एक गोला एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है जिसे गोले का केंद्र कहा जाता है। अतः सभी बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं
बिंदु O(0.0.0) और त्रिज्या R पर केंद्र वाले एक गोले पर लेटें (चित्र 1)।

किसी दिए गए गोले पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं।

अंतरिक्ष में रेखाइसे दो सतहों की प्रतिच्छेदन रेखा के रूप में माना जा सकता है। तो चित्र 1 में, ऑक्सी तल के साथ गोले का प्रतिच्छेदन एक वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु O और त्रिज्या R है।

सबसे सरल सतह है विमान, अंतरिक्ष में सबसे सरल रेखा है सीधा.

2. अंतरिक्ष में विमान.

2.1. एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर का उपयोग करके एक विमान का समीकरण।

ऑक्सीज़ समन्वय प्रणाली में, समतल पर विचार करें (अंक 2)। इसकी स्थिति वेक्टर निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है इस तल पर लंबवत, और एक निश्चित बिंदु
इस विमान में लेटे हुए हैं. वेक्टर
विमान के लंबवत
बुलाया सामान्य वेक्टर(सामान्य वेक्टर)। समतल के एक मनमाना बिंदु M(x,y,z) पर विचार करें . वेक्टर
समतल
सामान्य वेक्टर के लंबवत होगा वेक्टर ऑर्थोगोनैलिटी की स्थिति का उपयोग करना
हमें समीकरण मिलता है: कहाँ

समीकरण ( 2.2.1 )

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर के संबंध में समतल समीकरण कहा जाता है।

यदि हम समीकरण (2.1.1) में कोष्ठक खोलते हैं और पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो हमें समीकरण orAx + By + Cz + D = 0 प्राप्त होता है, जहाँ

डी=
.

2.2. विमान का सामान्य समीकरण.

समीकरण Ax + By + Cz +D = 0 ( 2.2.1 )

इसे समतल का सामान्य समीकरण कहा जाता है, जहाँ
- सामान्य वेक्टर.

आइए इस समीकरण के विशेष मामलों पर विचार करें।

1).D = 0. समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + Cz = 0. ऐसा विमान मूल बिंदु से होकर गुजरता है। यह सामान्य वेक्टर है

2). सी = 0:एक्स + बाय + डी = 0
समतल ओज़ अक्ष के समानांतर है (चित्र 3)।

3). बी = 0: एक्स + सीजेड + डी = 0
समतल ओय अक्ष के समानांतर है (चित्र 4)।

4). ए = 0: बाय + सीजेड + डी = 0

विमान बैल अक्ष के समानांतर है (चित्र 5)।

5). सी = डी = 0: एक्स + बाय = 0
विमान ओज़ अक्ष से होकर गुजरता है (चित्र 6)।

6).बी = डी = 0: एक्स + सीजेड = 0
विमान अक्ष ओए से होकर गुजरता है (चित्र 7)।

7). ए = डी = 0: बाय + सीजेड = 0
विमान बैल अक्ष से होकर गुजरता है (चित्र 8)।

8).ए = बी = 0: सीजेड + डी = 0

||oz
विमान ऑक्सी विमान के समानांतर है (चित्र 9)।

9). बी = सी = 0: एक्स + डी = 0

||बैल
विमान

पी ओयज़ विमान के समानांतर (चित्र 10)।

10).ए = सी = 0: बाय + डी = 0

||ओय
विमान ऑक्सज़ विमान के समानांतर है (चित्र 11)।

उदाहरण 1।एक बिंदु से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें
वेक्टर के लंबवत
निर्देशांक अक्षों के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान।सूत्र (2.1.1) के अनुसार हमारे पास है

2x – y + 3z + 3 = 0.

बैल अक्ष के साथ इस तल का प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए, हम परिणामी समीकरण में y = 0, z = 0 प्रतिस्थापित करते हैं। हमारे पास 2x + 3 = 0 है; एक्स = – 1.5.

बैल अक्ष के साथ वांछित तल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं:

आइए ओए अक्ष के साथ समतल का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, आइए x = 0 लें; z = 0. हमारे पास है

– y + 3 = 0 y = 3. तो,

ओज़ अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, x = 0 लें; आप = 0
3z + 3 = 0
z = – 1. तो,

उत्तर: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

उदाहरण 2.समीकरणों द्वारा परिभाषित विमानों का अन्वेषण करें:

ए)। 3x – y + 2z = 0

बी)। 2x + z – 1 = 0

वी). – y + 5 = 0

समाधान।ए)। यह तल मूल बिंदु (D = 0) से होकर गुजरता है और इसमें एक सामान्य वेक्टर है

बी)। Eq में.
गुणांकबी = 0. इसलिए,
समतल अक्ष के समानांतर है।

वी). समीकरण - y + 5 = 0 में, गुणांक A = 0, C = 0 हैं। इसका मतलब है

यह समतल oxz समतल के समानांतर है।

जी)। समीकरण x = 0 ओयज़ विमान को परिभाषित करता है, क्योंकि बी = 0, सी = 0 पर विमान ओयज़ विमान के समानांतर है, और स्थिति डी = 0 से यह पता चलता है कि विमान मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

उदाहरण 3.बिंदु A(2,3,1) से गुजरने वाले और वेक्टर के लंबवत एक विमान के लिए एक समीकरण लिखें
जहां B(1,0, –1), C(–2,2,0).

समाधान।आइए वेक्टर खोजें

वेक्टर
बिंदु A(2,3,1) से गुजरने वाले वांछित विमान का सामान्य वेक्टर है। सूत्र (2.1.1) के अनुसार हमारे पास है:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x – 2y – z + 1 = 0.

उत्तर: 3x – 2y – z + 1 = 0.

2.3. तीन बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण.

तीन बिंदु जो एक ही रेखा पर नहीं हैं, एक ही तल को परिभाषित करते हैं (चित्र 12 देखें)। मान लीजिए कि बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं। किसी समतल का समीकरण बनाने के लिए, आपको समतल के एक बिंदु और सामान्य वेक्टर को जानना होगा। समतल पर स्थित बिंदु ज्ञात हैं:
आप कोई भी ले सकते हैं. एक सामान्य वेक्टर खोजने के लिए, हम वेक्टर के वेक्टर उत्पाद की परिभाषा का उपयोग करते हैं। होने देना
फिर, इसलिए,
बिंदु के निर्देशांक जानना
और सामान्य वेक्टर आइए सूत्र (2.1.1) का उपयोग करके समतल का समीकरण ज्ञात करें।

दूसरे तरीके से, तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण तीन वैक्टरों की समतलता की स्थिति का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। दरअसल, वैक्टर
जहां M(x,y,z) वांछित समतल, समतलीय का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 13 देखें)। इसलिए, उनका मिश्रित उत्पाद 0 है:

मिश्रित उत्पाद सूत्र को समन्वय रूप में लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(2.3.1)

उदाहरण 1।बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखें

समाधान।सूत्र (2.3.1) के अनुसार हमारे पास है

सारणिक का विस्तार करने पर, हम पाते हैं:

परिणामी तल ओय अक्ष के समानांतर है। यह सामान्य वेक्टर है

उत्तर: एक्स + जेड - 4 = 0.

2.4. दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण.

दो तल, प्रतिच्छेद करते हुए, जोड़े में बराबर चार डायहेड्रल कोण बनाते हैं (चित्र 14 देखें)। डायहेड्रल कोणों में से एक इन विमानों के सामान्य वैक्टरों के बीच के कोण के बराबर है।

आइए विमान दिए जाएं:

उनके सामान्य सदिशों के निर्देशांक होते हैं:

सदिश बीजगणित से यह ज्ञात होता है
या

(2.4.1)

उदाहरण:समतलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:

समाधान:आइए सामान्य सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें: सूत्र (2.4.1) का उपयोग करते हुए हमारे पास है:

इन तलों को प्रतिच्छेद करने से प्राप्त द्विफलकीय कोणों में से एक के बराबर होता है
आप दूसरा कोण भी पा सकते हैं:

उत्तर:

2.5. दो तलों की समांतरता के लिए शर्त.

मान लीजिए दो विमान दिए गए हैं:

और

यदि ये तल समानांतर हैं, तो उनके सामान्य सदिश

संरेख (चित्र 15 देखें)।

यदि सदिश संरेख हैं, तो उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक होते हैं:

(2.5.1 )

विपरीत कथन भी सत्य है: यदि तलों के सामान्य सदिश संरेख हैं, तो तल समानांतर होते हैं।

उदाहरण 1।निम्नलिखित में से कौन से विमान समानांतर हैं:

समाधान:ए)। आइए सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखें।

आइए उनकी संरेखता की जाँच करें:

यह इस प्रकार है कि

बी)। आइए निर्देशांक लिखें

आइए संरेखता की जाँच करें:

वैक्टर
संरेख नहीं, समतल
समानांतर नहीं.

उदाहरण 2.एक बिंदु से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें

एम(2,3,-2) तल के समानांतर

समाधान:वांछित तल दिए गए तल के समानांतर है। इसलिए विमान का सामान्य वेक्टर वांछित तल के सामान्य सदिश के रूप में लिया जा सकता है।
समीकरण (2.1.1) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर:
.

उदाहरण 3.निर्धारित करें कि ए और बी विमान समानांतर हैं:

समाधान:आइए सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखें:

चूँकि तल समानांतर हैं, तो सदिश
संरेख। शर्त के अनुसार (2.5.1)
अतः b = – 2; ए = 3.

उत्तर:ए = 3; बी = -2.

2.6. दो तलों की लंबवतता की स्थिति.

यदि विमान
लंबवत हैं, तो उनके सामान्य सदिश
लंबवत भी हैं (चित्र 16 देखें)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है, अर्थात
या निर्देशांक में:

यह दो तलों की लंबवतता की स्थिति है। विपरीत कथन भी सत्य है, अर्थात, यदि शर्त (2.6.1) संतुष्ट है, तो सदिश
इस तरह,

उदाहरण 1।निम्नलिखित में से कौन सा तल लंबवत है:

समाधान:ए)। आइए सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखें:

आइए उनकी रूढ़िवादिता की जाँच करें:

यह इस प्रकार है कि

बी)। आइए सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखें:

वह है, विमान
लंबवत नहीं.

उदाहरण 2. m के किस मान पर तल लंबवत हैं?

समाधान:आइए सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखें:

आइए उनका अदिश गुणनफल खोजें:

चूँकि विमान लंबवत हैं
इसलिए, 4 - 2m = 0;

उत्तर:एम = 2.

2.7. एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी.

एक बिंदु दिया जाए
और विमान

हम सूत्र का उपयोग करके बिंदु से दूरी ज्ञात करते हैं (चित्र 17 देखें):

(2.7.1 )

उदाहरण:बिंदु M(3, 9, 1) से समतल की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान:हम सूत्र (2.7.1) लागू करते हैं, जहां ए = 1, बी = -2, सी = 2, डी = -3,

उत्तर:

निर्देशांक के संबंध में प्रत्येक प्रथम डिग्री समीकरण एक्स, वाई, जेड

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

एक समतल को परिभाषित करता है, और इसके विपरीत: किसी भी समतल को समीकरण (3.1) द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे कहा जाता है समतल समीकरण.

वेक्टर एन(ए, बी, सी) समतल को ओर्थोगोनल कहा जाता है सामान्य वेक्टरविमान। समीकरण (3.1) में, गुणांक ए, बी, सी एक ही समय में 0 के बराबर नहीं हैं।

समीकरण के विशेष मामले (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - तल मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - तल Oz अक्ष के समानांतर है।

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - विमान Oz अक्ष से होकर गुजरता है।

4. बी = सी = 0, एक्स + डी = 0 - विमान ओयज़ विमान के समानांतर है।

निर्देशांक तलों के समीकरण: x = 0, y = 0, z = 0.

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है:

1) दो तलों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा के रूप में, अर्थात्। समीकरणों की प्रणाली:

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0, ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0; (3.2)

2) इसके दो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) से, तो उनसे गुजरने वाली सीधी रेखा समीकरणों द्वारा दी जाती है:

= ; (3.3)

3) इससे संबंधित बिंदु एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1) और वेक्टर ए(एम, एन, पी), इसके संरेख में। तब सीधी रेखा समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती है:

. (3.4)

समीकरण (3.4) कहलाते हैं रेखा के विहित समीकरण.

वेक्टर एबुलाया दिशा वेक्टर सीधा.

हम प्रत्येक संबंध (3.4) को पैरामीटर t के बराबर करके पैरामीट्रिक प्राप्त करते हैं:

एक्स = एक्स 1 +एमटी, वाई = वाई 1 + एनटी, जेड = जेड 1 + आरटी। (3.5)

अज्ञात के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में प्रणाली (3.2) को हल करना एक्सऔर य, हम रेखा के समीकरणों पर पहुंचते हैं अनुमानया करने के लिए सीधी रेखा के दिए गए समीकरण:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

समीकरण (3.6) से हम विहित समीकरणों तक जा सकते हैं, ढूँढ़ रहे हैं जेडप्रत्येक समीकरण से और परिणामी मानों को बराबर करना:

.

सामान्य समीकरणों (3.2) से हम दूसरे तरीके से विहित समीकरणों की ओर बढ़ सकते हैं, यदि हमें इस रेखा और इसकी दिशा रेखा का कोई बिंदु मिल जाए एन= [एन 1 , एन 2 ], कहां एन 1 (ए 1, बी 1, सी 1) और एन 2 (ए 2 , बी 2 , सी 2 ) - दिए गए तलों के सामान्य सदिश। यदि हरों में से एक एम, एनया आरसमीकरणों में (3.4) शून्य के बराबर हो जाता है, तो संबंधित भिन्न का अंश शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए, अर्थात। प्रणाली

सिस्टम के समतुल्य है ; ऐसी सीधी रेखा ऑक्स अक्ष पर लंबवत होती है।

प्रणाली सिस्टम x = x 1, y = y 1 के समतुल्य है; सीधी रेखा ओज़ अक्ष के समानांतर है।

उदाहरण 1.15. यह जानते हुए कि बिंदु A(1,-1,3) मूल बिंदु से इस तल पर खींचे गए लंबवत के आधार के रूप में कार्य करता है, समतल के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान।समस्या की स्थिति के अनुसार, वेक्टर ओए(1,-1,3) समतल का एक सामान्य सदिश है, तो इसका समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है
x-y+3z+D=0. समतल से संबंधित बिंदु A(1,-1,3) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11 पाते हैं। तो x-y+3z-11=0.

उदाहरण 1.16. ओज़ अक्ष से गुजरने वाले और विमान 2x+y-z-7=0 के साथ 60° का कोण बनाने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान। Oz अक्ष से गुजरने वाले समतल को समीकरण Ax+By=0 द्वारा दिया जाता है, जहाँ A और B एक साथ गायब नहीं होते हैं। चलो बी नहीं
0 के बराबर, A/Bx+y=0. दो तलों के बीच के कोण के लिए कोसाइन सूत्र का उपयोग करना

.

द्विघात समीकरण 3m 2 + 8m - 3 = 0 को हल करने पर हम इसके मूल ज्ञात करते हैं
m 1 = 1/3, m 2 = -3, जहाँ से हमें दो समतल 1/3x+y = 0 और -3x+y = 0 मिलते हैं।

उदाहरण 1.17.रेखा के विहित समीकरण बनाएं:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

समाधान।रेखा के विहित समीकरणों का रूप है:

कहाँ एम, एन, पी- सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक, एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1- किसी रेखा से संबंधित किसी भी बिंदु के निर्देशांक। एक सीधी रेखा को दो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है। किसी रेखा से संबंधित एक बिंदु को खोजने के लिए, निर्देशांकों में से एक को तय किया जाता है (सबसे आसान तरीका सेट करना है, उदाहरण के लिए, x=0) और परिणामी प्रणाली को दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में हल किया जाता है। तो, मान लीजिए x=0, तो y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, इसलिए y=-1, z=1। हमें इस रेखा से संबंधित बिंदु M(x 1, y 1, z 1) के निर्देशांक मिले: M (0,-1,1)। मूल तलों के सामान्य सदिशों को जानकर, एक सीधी रेखा का दिशा सदिश खोजना आसान है एन 1 (5,1,1) और एन 2 (2,3,-2). तब

रेखा के विहित समीकरणों का रूप इस प्रकार है: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (जेड - 1)/13.

उदाहरण 1.18. समतल 2x-y+5z-3=0 और x+y+2z+1=0 द्वारा परिभाषित किरण में, दो लंबवत तल खोजें, जिनमें से एक बिंदु M(1,0,1) से होकर गुजरता है।

समाधान।इन विमानों द्वारा परिभाषित बीम के समीकरण का रूप u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 है, जहां u और v एक साथ गायब नहीं होते हैं। आइए बीम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

बिंदु M से गुजरने वाली बीम से एक विमान का चयन करने के लिए, हम बिंदु M के निर्देशांक को बीम के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, या v = - u.

फिर हम बीम समीकरण में v = - u प्रतिस्थापित करके एम वाले विमान का समीकरण पाते हैं:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

क्योंकि यू ¹0 (अन्यथा v=0, और यह बीम की परिभाषा का खंडन करता है), तो हमारे पास समतल x-2y+3z-4=0 का समीकरण है। बीम से संबंधित दूसरा तल उसके लंबवत होना चाहिए। आइए हम समतलों की लंबकोणीयता के लिए शर्त लिखें:

(2यू+ वी) ×1 + (वी - यू) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, या v = - 19/5u.

इसका मतलब है कि दूसरे तल के समीकरण का रूप इस प्रकार है:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 या 9x +24y + 13z + 34 = 0.

समीकरण
सतह
एफ(एक्स,वाई,जेड)=0
.

विमान। बिंदु और सामान्य वेक्टर द्वारा एक विमान का समीकरण

अंतरिक्ष में विमान की स्थिति
कुछ सेट करके निर्धारित किया जा सकता है
समतल पर बिंदु M0 और कोई भी
सामान्य वेक्टर. सामान्य
एक समतल सदिश कोई भी हो
वेक्टर इस पर लंबवत है
विमान।

माना बिंदु M0(x0,y0,z0) समतल में स्थित है।
आइए हम एक मनमाना बिंदु पर विचार करें
समतल M(x,y,z).
जेड
एन(ए,बी,सी)
एम
य
एम 0
एक्स

वेक्टर n(A, B, C) और M 0 M (x x0 , y y0 , z z0)
ओर्थोगोनल.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
बिंदु और द्वारा एक समतल का समीकरण
सामान्य वेक्टर.

उदाहरण 1:

बिंदु M(2,3,-1) से गुजरते हुए
वेक्टर n(1,2, 3) के लंबवत
समाधान:
सूत्र के अनुसार: 1(x-2)+2(y-3)-3(z+1)=0
या x+2y-3z-11=0

उदाहरण 2:
समतल का समीकरण लिखिए,
बिंदु M(1,0,0) से गुजरते हुए
वेक्टर n(2,0,1) के लंबवत।
समाधान:
हमें मिलता है: 2(x-1)+0(y-0)+1(z-0)=0
या 2x+z-2=0.

सामान्य समतल समीकरण

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, आइए इसका विस्तार करें
कोष्ठक और निरूपित करें -Aх0-Ву0-Сz0=D.
आइये विचार का समीकरण प्रस्तुत करते हैं
देखने के लिए विमान:
Ax+By+Cz+D=0 - समतल का सामान्य समीकरण।
गुणांक ए, बी, सी हैं
सामान्य वेक्टर निर्देशांक
विमान।

सामान्य समतल समीकरण के विशेष मामले

1. माना A=0, B,C,D≠0. फिर: By+Cz+D=0.
सामान्य समतल वेक्टर n(0, B, C)
OX अक्ष के लंबवत और, इसलिए,
समतल OX अक्ष के समानांतर है।
जेड
य
एक्स

समीकरण Ax+Cz+D=0 और Ax+By+D=0
ऑप-एम्प के अक्षों के समानांतर एक्सप्रेस प्लेन
और OZ.
2. डी=0, ए,बी,सी≠0। समतल समीकरण:
Ax+By+Cz=0. बिंदु O(0,0,0) संतुष्ट करता है
समतल समीकरण. समीकरण सेट हो जाता है
विमान उद्गम से होकर गुजर रहा है
COORDINATES
3. A=0, D=0, B,C≠0. समतल समीकरण:
द्वारा+Cz=0. एक ही समय में विमान
OX अक्ष के समानांतर और शुरुआत से होकर गुजरता है
निर्देशांक, यानी OX अक्ष से होकर गुजरता है।

समीकरण Ax+Cz=0 और Ax+By=0 के समान
एक्सप्रेस विमान अक्षों से होकर गुजरते हैं
ओए और ओजेड.
4. A=0, B=0, C,D≠0. समतल समीकरण:
Cz+D=0. एक ही समय में विमान
OX और OU अक्षों के समानांतर, यानी। कोआर्डिनेट
ऑक्सी विमान. Eq के समान.
द्वारा+D=0, तथा Ax+D=0 विमानों को व्यक्त करें,
OXZ निर्देशांक तलों के समानांतर
और OYZ.

उदाहरण:
जेड=3
जेड
3
य
एक्स

ए=0, बी=0, डी=0, सी≠0।
समतल समीकरण: Cz=0 या z=0. यह
विमान एक साथ समानांतर है
समन्वय विमान OXY, यानी खुद
समतल OXY का समन्वय करें। वैसे ही:
y=0 और x=0 - समन्वय समीकरण
विमान OXZ और OYZ।

तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण

तीन बिंदु एक ही रेखा पर नहीं हैं M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)।
एम(एक्स,वाई,जेड) - विमान का मनमाना बिंदु।
जेड
एम2
एम1
एम3
एम

सदिश M1M, M 1M 2, M 1 M 3,
समतलीय. वे मिश्रित हो गये
उत्पाद शून्य है.
x x1
x2 x1
य य1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
यह समतल का वांछित समीकरण है,
दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरना।

उदाहरण। समतल का समीकरण लिखिए,
बिंदु M1(1,2,1) से गुजरते हुए,
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
समाधान: प्राप्त का उपयोग करना
समीकरण, हमारे पास है:
एक्स 1 वाई 2 जेड 1
1
4
2
1
3 0
1
या 4x+11y+5z-31=0

समतलों के बीच का कोण, दो समतलों की समांतरता और लंबता की स्थिति

दो तल: A1x+B1y+C1z+D1=0 और
A2x+B2y+C2z+D2=0. उनका सामान्य
वेक्टर n1 (A1, B1, C1), n2 (A2, B2, C2)
दो तलों के बीच का कोण
उनके बीच का कोण सामान्य कहलाता है
वैक्टर
एन1 एन2
Cosω=
एन1 एन2
ए1 ए2 बी1 बी2 सी1सी2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

यदि विमान लंबवत हैं, तो वे
सामान्य वेक्टर भी
लंबवत, और इसलिए
डॉट उत्पाद शून्य है:
A1·A2+B1·B2+C1·C2=0.
यदि विमान समानांतर हैं, तो
उनके सामान्य वेक्टर समानांतर हैं, और
इसका मतलब है कि निम्नलिखित संबंध कायम हैं:
ए1 बी1 सी1
ए2 बी2 सी2

उदाहरण: समतल का समीकरण लिखिए,
बिंदु M(0,1,4) से गुजरते हुए
समतल के समानांतर 2x-4y-z+1=0.
समाधान: दिए गए का सामान्य वेक्टर
विमान सामान्य रहेगा
वेक्टर और वांछित विमान के लिए।
हम बिंदु पर समतल के समीकरण का उपयोग करते हैं
और सामान्य वेक्टर:
2(x-0)-4(y-1)-(z-4)=0 या 2x-4y-z+8=0.

.बिंदु से समतल तक की दूरी

बिंदु M(x0,y0,z0) से दूरी ज्ञात कीजिए
समतल: Ax+By+Cz+D=0. चलिए मुद्दे से हटते हैं
M समतल (d) पर MK के लंबवत है।
जेड
एम
एन
क
एक्स
य

माना बिंदु K के निर्देशांक x1,y1,z1 हैं
n KM n KM d n
या n KM A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
बिंदु K समतल में स्थित है, यह
निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं
समतल, अर्थात, Ax1+By1+Cz1+D=0.

इसे ध्यान में रखते हुए, हमें मिलता है: n किमी
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
फिर: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
डी
Ax0 बाय 0 Cz0 D
ए बी सी
2
2
2

उदाहरण:
बिंदु M (-1,2,3) से दूरी ज्ञात कीजिए
समतल 2x-6y-3z+2=0.
समाधान:
आइए सूत्र का उपयोग करें और इसे प्रतिस्थापित करें
समन्वय समतल समीकरण
दिया गया बिंदु:
डी
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा मानी जाती है
दो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा की तरह।
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
यदि सिस्टम एक सीधी रेखा सेट करता है
विमान समानांतर नहीं हैं,
ए1 बी1 सी1
ए2 बी2 सी 2

अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरण

अंतरिक्ष में रेखा L की स्थिति
यदि ज्ञात हो तो स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है
कुछ बिंदु M0(x0,y0,z0) पर स्थित है
सीधी रेखा L, और एक दिशा वेक्टर दिया गया है
एस(एम,एन,पी)
एस
एम
एम 0

इस पर M(x,y,z) एक मनमाना बिंदु है
सीधा। फिर वेक्टर
M 0 M =(x-x0, y-y0, z-z0) और S (m, n, p)
संरेख होगा:
x x0 y 0 z z 0
एम
एन
पी
- लाइन के विहित समीकरण
एक सीधी रेखा का स्थान या समीकरण
बिंदु और दिशा वेक्टर.

उदाहरण 1:

बिंदु M(1,2,3) से होकर, रेखा के समानांतर
x 1 y 7 z
2
5
3
समाधान:
चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं, तो S (2,5,3)
दिशा वेक्टर और वांछित है
सीधा। इस तरह:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

उदाहरण 2:
गुजरने वाली सीधी रेखा L का समीकरण लिखिए
बिंदु M(1,2,3) के माध्यम से, और होने पर
दिशा वेक्टर S (2,0,5)
समाधान:
आइए सूत्र का उपयोग करें:
एक्स 1 जेड 3
और
2
5
y-2=0,
यानी 5x-2z+1=0 और y=2. यह मतलब है कि
सीधी रेखा y=2 तल में स्थित है

अंतरिक्ष में दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा के समीकरण

दो बिंदु M1(x1,y1,z1) और M2(x2,y2,z2) दिए गए हैं।
गुजरने वाली रेखा का समीकरण लिखिए
दो बिंदुओं के माध्यम से.
एम1
एम2

सीधी रेखा बिंदु M1 से होकर गुजरती है
दिशा सदिश M 1M 2 के रूप में
समीकरण इस प्रकार दिखता है:
x x1
य य1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
उदाहरण: रेखा का समीकरण लिखिए,
बिंदु M1(1,4,-3) और से गुज़रना
एम2(2,1,1).
समाधान: आइए सूत्र का उपयोग करें
x 2 y 1 z 1
1
3
4

अंतरिक्ष में एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण

विहित समीकरणों पर विचार करें
सीधी रेखा: x x0 y y0 z 0
एम
एन
पी
आइए पैरामीटर t का परिचय दें:
x x0 y 0 z z 0
टी
एम
एन
पी
-∞ < t <+∞.

हम पाते हैं:
x x0
टी
य म य
0
टी
एन
z z0 t
पी
या
x x0 एमटी
य य0 एनटी
z z pt
0
एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण
अंतरिक्ष। वे प्रायः इसी रूप में होते हैं
यांत्रिकी और भौतिकी में उपयोग किया जाता है, पैरामीटर टी,
आमतौर पर, समय.

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों को विहित रूप में कम करना

रेखा के सामान्य समीकरण दिए गए हैं
अंतरिक्ष
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
उन्हें विहित रूप में लाएँ
x x0 y 0 z z 0
एम
एन
पी

समस्या को हल करने के लिए आपको चाहिए:
1. किसी के निर्देशांक (x0,y0,z0) खोजें
एक रेखा पर पड़ा हुआ एक बिंदु
2. गाइड के निर्देशांक (एम,एन,पी) खोजें
इस लाइन का वेक्टर.
बिंदु M0 के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए हम देते हैं
निर्देशांकों में से एक एक मनमाना संख्यात्मक मान है
मान, उदाहरण के लिए हम x=x0 मानते हैं। इसे अंदर लाकर
प्रणाली (1) में, हमें दो की एक प्रणाली प्राप्त होती है
अज्ञात y और z के साथ समीकरण। आइए इसे सुलझाएं.
परिणामस्वरूप, रेखा पर एक बिंदु पाया गया
M0(x0,y0,z0).

दिशा वेक्टर के रूप में हम लेते हैं
वेक्टर जो परिणाम है
सामान्य का वेक्टर उत्पाद
दो तलों के सदिश.
एस (एम, एन, पी) एन1 एन2
मैं
ए 1
जे
बी 1
ए2
बी2
क
बी 1
सी 1
बी2
सी2
सी 1
सी2
मैं
ए 1
सी 1
ए2
सी2
जे
ए 1
बी 1
ए2
बी2
क

हमें गाइड के निर्देशांक मिलते हैं
वेक्टर:
ए1 बी1
ए1 सी1
बी1 सी1
पी
एन
एम
ए2 बी2
ए2 सी2
बी2 सी2
सामान्य रेखा समीकरण लिखे गए हैं
कानूनी फॉर्म:
x x0
य य0
z z0
बी1 सी1
सी1 ए1
ए1 बी1
बी2
सी2
सी2
ए2
ए2
बी2

उदाहरण: विहित समीकरण लिखें
सीधा
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
समाधान: आइए z0=0 सेट करें। तब:
एक्स 2 वाई 5
x y 1
अत: y0=-6, x0=7. बिंदु M0 पर पड़ा हुआ है
सीधी रेखा में निर्देशांक होते हैं: (7,-6,0)।

आइए दिशा सदिश ज्ञात करें। सामान्य
समतल सदिशों के निर्देशांक होते हैं
n1 (1,2, 1)
तब
n2 (1,1,1)
मैं जे के
एस एन1 एन2 1 2 1 3आई 2 जे के
1 1
1
रेखा के विहित समीकरणों का रूप है:
x 7 y 6 z
3
2
1

अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण, रेखाओं की लंबता और समांतरता की स्थिति

रेखाएँ L1 और L2 विहित रूप में दी गई हैं
दिशा सदिश
एस 1 (एम1, एन1, पी1) और एस 2 (एम2, एन2, पी2)
x X1 y y1 z z1
एम1
एन 1
पी1
x x2 y 2 z z 2
एम2
एन 2
पी2

दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को कोण कहते हैं
उनके दिशा सदिशों के बीच।
एस1 एस2
कॉस(L1, L2) कॉस(S1, S2)
एस1 एस2
क्योंकि(L1 , L2)
एम1एम2 एन1एन2 पी1 पी2
एम12 एन12 पी12 एम22 एन22 पी22

यदि रेखाएँ लंबवत हैं
उनके दिशा सदिश लंबवत हैं:
यानी, S1 S2 0, या
m1m2+n1n2+p1p2=0.
यदि रेखाएँ समान्तर हों तो वे समानान्तर होती हैं
दिशा सदिश:
एम1 एन1
पी1
एम2 एन 2 पी 2

उदाहरण: रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
एक्स 2 वाई 7
जेड
1
3
2
और
x 10 y 3 z 5
4
1
2
समाधान: सीधी रेखाओं के दिशा सदिश
निर्देशांक हैं: (1,3,-2) और (4,1,2)।
इस तरह,
1 4 3 1 (2) 2
3
क्योंकि(L1 , L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(एल1, एल2) आर्ककोस
7 16

एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण

समतल P दिया गया है: Ax+By+Cz+D=0, और
सीधा एल:
x x0 y 0 z z 0
एम
एन
पी
एन
एस
ω
φ

एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण
रेखा और प्रक्षेपण के बीच का कोण φ कहलाता है
यह एक विमान पर.
ω - सामान्य वेक्टर के बीच का कोण
विमान और दिशा वेक्टर
सीधा। ω=π/2-φ. फिर synφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. लेकिन cosω=cos (n, S)
तब
एन एस
पापφ= क्योंकि (एन, एस)
एन एस

पापφ =
एएम बीएन सी.पी
एम 2 एन 2 पी 2 ए2 बी 2 सी 2
उदाहरण: एक सीधी रेखा के बीच का कोण ज्ञात करें:
x 2 y 1 z
3
2
6
और समतल: 2x+y+2z-5=0.
समाधान: सामान्य समतल सदिश
निर्देशांक हैं: (2,1,2), निर्देशन
रेखा वेक्टर के निर्देशांक हैं: (3,2,-6)।
पाप
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

एक रेखा और एक तल की लंबवतता और समानता की स्थिति।

x x0 y 0 z z 0
एम
एन
पी
पी
रेखा L दी गई है:
और समतल P: Ax+By+Cz+D=0.
यदि रेखा समतल के समांतर हो, तो
दिशा वेक्टर सीधा
सामान्य वेक्टर के लंबवत
विमान।
एस
एन
एल

इसलिए, उनका अदिश गुणनफल
शून्य के बराबर: A·m+B·n+C·p=0.
यदि रेखा समतल पर लंबवत है, तो
ये सदिश समानांतर हैं.
एस
एन
आर
एल
इस मामले में:
ए बी सी
एम एन पी

उदाहरण:
रेखा का समीकरण लिखिए,
बिंदु M(1,2,-3) से गुजरते हुए,
विमान के लंबवत
4x+2y-z+5=0.
समाधान:
चूँकि विमान लंबवत है
सीधा, फिर एक सामान्य वेक्टर और
दिशा वेक्टर समानांतर:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

आइए एक सामान्य समस्या पर नजर डालें।
ABCD पिरामिड के शीर्षों को देखते हुए: A(1,0,0);
बी(0,2,0); सी(0,0,3), डी(2,3,4). खोजो:
1. किनारे AB की लंबाई और समीकरण,
2. चेहरे का समीकरण और क्षेत्रफल ABC,
3. समीकरण और ऊंचाई की लंबाई छोड़ी गई
शीर्ष D से मुख ABC तक,
4. किनारे AD और फलक ABC के बीच का कोण,
5. पिरामिड का आयतन.

चित्रकला:
जेड
डी
सी
बी
ए
एक्स
य

1. आइए हम वेक्टर AB का परिचय दें। उसका
निर्देशांक: (0-1;2-0;0-0), या (-1;2;0)। लंबाई
किनारा AB वेक्टर के मापांक के बराबर है।
एबी= 1 4 0 5
सीधी रेखा AB का समीकरण (सीधी रेखा का समीकरण
दो बिंदु):
एक्स 1 वाई
1 2
या 2x+y-2=0

2. एबीसी फलक का समीकरण (समीकरण
तीन-बिंदु विमान):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
इसलिए: (x-1)∙6-y∙(-3)+z∙2=0,
या 6x+3y+2z-6=0.
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
एक वेक्टर उत्पाद का उपयोग करना
वेक्टर एबी और एसी

वेक्टर निर्देशांक AB =(-1;2;0),
वेक्टर AC =(-1,0,3).
1
SΔABC= एबी एसी
वर्ग इकाइयाँ
2
वेक्टर कलाकृति:
मैं
जे के
एबी एसी 1 2 0 6आई 3 जे 2के
1 0 3

तब
1
एस एबीसी 6आई 3 जे 2के
2
1
7
36 9 4 3.5 q.åä.
2
2

ऊंचाई का समीकरण - सीधी रेखा का समीकरण
बिंदु D(2,3,4) और दिशा वेक्टर। में
एक मार्गदर्शक वेक्टर के रूप में -
चेहरे ABC का सामान्य वेक्टर: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
हम ऊंचाई की लंबाई ज्ञात करने के लिए उपयोग करते हैं
सूत्र:
Ax0 बाय 0 Cz0 D
डी
ए2 बी 2 सी 2

हम पाते हैं:
डी
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. किनारे AD और फलक ABC के बीच का कोण।
एबीसी चेहरा समीकरण: 6x+3y+2z-6=0,
एक सामान्य वेक्टर में निर्देशांक होते हैं:
(6,3,2). आइए सीधी रेखा के समीकरण लिखें,
बिंदु A(1,0,0) और D(2,3,4) से गुज़रना:
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

इस सीधी रेखा में एक दिशा सदिश है
निर्देशांक: (1,3,4). तब
पाप
=
एएम बीएन सी.पी
एम एन पी ए बी सी
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
आर्कसिन
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. पिरामिड का आयतन आयतन का 1/6 है
समानांतर चतुर्भुज पर निर्मित
वैक्टर, पक्षों की तरह। हम उपयोग करते हैं
वैक्टर का मिश्रित उत्पाद।
वेक्टर निर्देशांक: AB =(-1,2,0),
AC○ =(-1,0,3), AD =(1,3,4)
○ वीपैरेललेपिप्ड
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vपिरामिड=23/6 घन इकाई

इस पाठ में हम देखेंगे कि सृजन के लिए निर्धारक का उपयोग कैसे करें समतल समीकरण. यदि आप नहीं जानते कि सारणिक क्या है, तो पाठ के पहले भाग - "आव्यूह और सारणिक" पर जाएँ। अन्यथा, आप आज की सामग्री में कुछ भी न समझ पाने का जोखिम उठाते हैं।

तीन बिंदुओं का उपयोग करके एक समतल का समीकरण

हमें समतल समीकरण की आवश्यकता ही क्यों है? यह सरल है: इसे जानकर, हम समस्या C2 में कोणों, दूरियों और अन्य चीज़ों की आसानी से गणना कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, आप इस समीकरण के बिना नहीं रह सकते। इसलिए, हम समस्या तैयार करते हैं:

काम। अंतरिक्ष में तीन बिंदु दिए गए हैं जो एक ही रेखा पर नहीं हैं। उनके निर्देशांक:

एम = (एक्स 1, वाई 1, जेड 1);
एन = (एक्स 2, वाई 2, जेड 2);
के = (एक्स 3, वाई 3, जेड 3);

आपको इन तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण बनाने की आवश्यकता है। इसके अलावा, समीकरण इस तरह दिखना चाहिए:

Ax + By + Cz + D = 0

जहां संख्या ए, बी, सी और डी गुणांक हैं, जिन्हें वास्तव में खोजने की आवश्यकता है।

खैर, यदि केवल बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों तो समतल का समीकरण कैसे प्राप्त किया जाए? सबसे आसान तरीका निर्देशांकों को समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 में प्रतिस्थापित करना है। आपको तीन समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिन्हें आसानी से हल किया जा सकता है।

कई छात्रों को यह समाधान बेहद थकाऊ और अविश्वसनीय लगता है। पिछले साल गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से पता चला कि कम्प्यूटेशनल त्रुटि होने की संभावना वास्तव में बहुत अधिक है।

इसलिए, सबसे उन्नत शिक्षकों ने सरल और अधिक सुरुचिपूर्ण समाधान तलाशना शुरू कर दिया। और उन्होंने इसे पा लिया! सच है, प्राप्त तकनीक उच्च गणित से संबंधित है। व्यक्तिगत रूप से, मुझे यह सुनिश्चित करने के लिए पाठ्यपुस्तकों की संपूर्ण संघीय सूची को खंगालना पड़ा कि हमें बिना किसी औचित्य या सबूत के इस तकनीक का उपयोग करने का अधिकार है।

एक निर्धारक के माध्यम से एक विमान का समीकरण

गीत के बोल बहुत हो गए, चलो काम पर आते हैं। आरंभ करने के लिए, एक प्रमेय कि मैट्रिक्स के निर्धारक और विमान के समीकरण कैसे संबंधित हैं।

प्रमेय. मान लीजिए कि तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं जिनके माध्यम से विमान खींचा जाना चाहिए: एम = (x 1, y 1, z 1); एन = (एक्स 2, वाई 2, जेड 2); के = (एक्स 3, वाई 3, जेड 3)। तब इस तल का समीकरण सारणिक के माध्यम से लिखा जा सकता है:

उदाहरण के तौर पर, आइए समतलों की एक जोड़ी ढूंढने का प्रयास करें जो वास्तव में समस्या C2 में घटित होती हैं। देखो कितनी जल्दी हर चीज़ की गणना की जाती है:

ए 1 = (0, 0, 1);
बी = (1, 0, 0);
सी 1 = (1, 1, 1);

हम एक सारणिक बनाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं:

हम निर्धारक का विस्तार करते हैं:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
बी = (−1) 1 एक्स + 0 1 (जेड − 1) + 1 0 वाई = −एक्स;
d = a - b = z - 1 - y - (−x ) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या d की गणना करते समय, मैंने समीकरण को थोड़ा "कंघी" किया ताकि चर x, y और z सही क्रम में हों। बस इतना ही! समतल समीकरण तैयार है!

काम। बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें:

ए = (0, 0, 0);
बी 1 = (1, 0, 1);
डी 1 = (0, 1, 1);

हम तुरंत बिंदुओं के निर्देशांक को निर्धारक में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम निर्धारक का फिर से विस्तार करते हैं:

ए = 1 1 जेड + 0 1 एक्स + 1 0 वाई = जेड;
बी = 1 1 एक्स + 0 0 जेड + 1 1 वाई = एक्स + वाई;
डी = ए - बी = जेड - (एक्स + वाई) = जेड - एक्स - वाई;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

तो, समतल का समीकरण फिर से प्राप्त होता है! पुनः, अंतिम चरण में हमें अधिक "सुंदर" फ़ॉर्मूला प्राप्त करने के लिए इसमें चिह्नों को बदलना पड़ा। इस समाधान में ऐसा करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, लेकिन फिर भी इसकी अनुशंसा की जाती है - समस्या के आगे के समाधान को सरल बनाने के लिए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी समतल का समीकरण बनाना अब बहुत आसान हो गया है। हम मैट्रिक्स में बिंदुओं को प्रतिस्थापित करते हैं, निर्धारक की गणना करते हैं - और बस, समीकरण तैयार है।

इससे पाठ समाप्त हो सकता है. हालाँकि, कई छात्र लगातार भूल जाते हैं कि निर्धारक के अंदर क्या है। उदाहरण के लिए, किस पंक्ति में x 2 या x 3 है, और किस पंक्ति में केवल x है। वास्तव में इसे रास्ते से हटाने के लिए, आइए देखें कि प्रत्येक संख्या कहाँ से आती है।

सारणिक वाला सूत्र कहाँ से आता है?

तो, आइए जानें कि एक निर्धारक के साथ इतना कठोर समीकरण कहां से आता है। इससे आपको इसे याद रखने और इसे सफलतापूर्वक लागू करने में मदद मिलेगी।

समस्या C2 में दिखाई देने वाले सभी तलों को तीन बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है। इन बिंदुओं को हमेशा ड्राइंग पर अंकित किया जाता है, या सीधे समस्या के पाठ में भी दर्शाया जाता है। किसी भी स्थिति में, एक समीकरण बनाने के लिए हमें उनके निर्देशांक लिखने होंगे:

एम = (एक्स 1, वाई 1, जेड 1);
एन = (एक्स 2, वाई 2, जेड 2);
के = (एक्स 3, वाई 3, जेड 3)।

आइए मनमाने निर्देशांक वाले हमारे विमान पर एक और बिंदु पर विचार करें:

टी = (एक्स, वाई, जेड)

पहले तीन में से कोई भी बिंदु लें (उदाहरण के लिए, बिंदु एम) और उसमें से शेष तीन बिंदुओं में से प्रत्येक के लिए वेक्टर बनाएं। हमें तीन वेक्टर मिलते हैं:

एमएन = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
एमके = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
एमटी = (एक्स - एक्स 1, वाई - वाई 1, जेड - जेड 1)।

आइए अब इन सदिशों से एक वर्ग मैट्रिक्स बनाएं और इसके सारणिक को शून्य के बराबर करें। सदिशों के निर्देशांक मैट्रिक्स की पंक्तियाँ बन जाएंगे - और हमें वही निर्धारक मिलेगा जो प्रमेय में दर्शाया गया है:

इस सूत्र का अर्थ है कि वैक्टर एमएन, एमके और एमटी पर बने समांतर चतुर्भुज का आयतन शून्य के बराबर है। इसलिए, तीनों सदिश एक ही तल में स्थित हैं। विशेष रूप से, एक मनमाना बिंदु T = (x, y, z) बिल्कुल वही है जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

किसी सारणिक के बिंदुओं और रेखाओं को बदलना

निर्धारकों में कई बेहतरीन गुण होते हैं जो इसे और भी आसान बनाते हैं समस्या C2 का समाधान. उदाहरण के लिए, हमारे लिए यह मायने नहीं रखता कि हम किस बिंदु से सदिश खींचते हैं। इसलिए, निम्नलिखित निर्धारक उपरोक्त जैसा ही समतल समीकरण देते हैं:

आप निर्धारक की रेखाओं की अदला-बदली भी कर सकते हैं। समीकरण अपरिवर्तित रहेगा. उदाहरण के लिए, बहुत से लोग शीर्ष पर बिंदु T = (x; y; z) के निर्देशांक के साथ एक पंक्ति लिखना पसंद करते हैं। कृपया, यदि यह आपके लिए सुविधाजनक हो:

कुछ लोग इस तथ्य से भ्रमित हैं कि पंक्तियों में से एक में चर x, y और z हैं, जो बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर गायब नहीं होते हैं। लेकिन उन्हें गायब नहीं होना चाहिए! सारणिक में संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, आपको यह निर्माण प्राप्त होना चाहिए:

फिर पाठ की शुरुआत में दिए गए आरेख के अनुसार निर्धारक का विस्तार किया जाता है, और विमान का मानक समीकरण प्राप्त किया जाता है:

Ax + By + Cz + D = 0

एक उदाहरण देखिए. यह आज के पाठ का आखिरी पाठ है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि उत्तर समतल का समान समीकरण देगा, मैं जानबूझकर रेखाओं की अदला-बदली करूंगा।

काम। बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें:

बी 1 = (1, 0, 1);
सी = (1, 1, 0);
डी 1 = (0, 1, 1).

तो, हम 4 बिंदुओं पर विचार करते हैं:

बी 1 = (1, 0, 1);
सी = (1, 1, 0);
डी 1 = (0, 1, 1);
टी = (एक्स, वाई, जेड)।

सबसे पहले, आइए एक मानक निर्धारक बनाएं और इसे शून्य के बराबर करें:

हम निर्धारक का विस्तार करते हैं:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
बी = (−1) 1 (एक्स − 1) + 1 (−1) (जेड − 1) + 0 0 वाई = 1 − एक्स + 1 − जेड = 2 − एक्स − जेड;
डी = ए - बी = वाई - (2 - एक्स - जेड) = वाई - 2 + एक्स + जेड = एक्स + वाई + जेड - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

बस, हमें उत्तर मिल गया: x + y + z − 2 = 0.

आइए अब सारणिक में कुछ पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें और देखें कि क्या होता है। उदाहरण के लिए, आइए वेरिएबल x, y, z के साथ नीचे नहीं, बल्कि शीर्ष पर एक पंक्ति लिखें:

हम फिर से परिणामी निर्धारक का विस्तार करते हैं:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
बी = (जेड − 1) 1 0 + वाई (−1) (−1) + (एक्स − 1) 1 0 = वाई;
डी = ए - बी = 2 - एक्स - जेड - वाई;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

हमें बिल्कुल वही समतल समीकरण मिला: x + y + z - 2 = 0. इसका मतलब है कि यह वास्तव में पंक्तियों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।

अतः, हम आश्वस्त हैं कि समतल का समीकरण रेखाओं के अनुक्रम पर निर्भर नहीं करता है। हम इसी तरह की गणना कर सकते हैं और साबित कर सकते हैं कि विमान का समीकरण उस बिंदु पर निर्भर नहीं करता है जिसके निर्देशांक हम अन्य बिंदुओं से घटाते हैं।

ऊपर मानी गई समस्या में, हमने बिंदु B 1 = (1, 0, 1) का उपयोग किया, लेकिन C = (1, 1, 0) या D 1 = (0, 1, 1) लेना काफी संभव था। सामान्य तौर पर, ज्ञात निर्देशांक वाला कोई भी बिंदु वांछित तल पर स्थित होता है।