रैखिक समीकरणों की प्रणाली का मूल उपतंत्र कहलाता है। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ, समाधान विधियाँ, उदाहरण

कहाँ एक्स* - अमानवीय प्रणाली के समाधानों में से एक (2) (उदाहरण के लिए (4)), (ई−ए+ए)मैट्रिक्स का कर्नेल (शून्य स्थान) बनाता है ए.

आइए मैट्रिक्स का एक कंकालीय अपघटन करें (ई−ए+ए):

E−A + A=Q·S

कहाँ क्यू n×n−r- रैंक मैट्रिक्स (Q)=n−r, एस n−r×n-रैंक मैट्रिक्स (एस)=एन−आर.

तब (13) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

x=x*+Q·k, ∀ क ∈ आरएन-आर.

कहाँ k=Sz.

इसलिए, सामान्य समाधान खोजने की प्रक्रियाछद्म व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

1. छद्म व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना ए + .
2. हम रैखिक समीकरणों (2) की अमानवीय प्रणाली के लिए एक विशेष समाधान की गणना करते हैं: एक्स*=ए + बी.
3. हम सिस्टम की अनुकूलता की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम गणना करते हैं ए.ए. + बी. अगर ए.ए. + बी≠बी, तो सिस्टम असंगत है। अन्यथा, हम प्रक्रिया जारी रखेंगे.
4. आइए इसका पता लगाएं ई−ए+ए.
5. कंकाल विघटित करना E−A + A=Q·S.
6. समाधान बनाना

x=x*+Q·k, ∀ क ∈ आरएन-आर.

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन हल करना

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान खोजने की अनुमति देता है।

n चर वाले m रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

(1)

इस प्रणाली को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

या मैट्रिक्स रूप में: Ax = B.

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं में, समीकरणों की अनिश्चित प्रणालियों पर विचार किया जाता है, अर्थात। समाधानों की अनंत संख्या होना। फिर सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक r

,
चरों की संख्या से कम: rn. इसका मतलब यह है कि (1) में रैखिक रूप से स्वतंत्र समीकरणों की अधिकतम संख्या r के बराबर है। हम मान लेंगे कि सिस्टम (1) में रैखिक रूप से स्वतंत्र समीकरणों की संख्या m के बराबर है, अर्थात। आर = एम. बीजगणित से ज्ञात होता है कि इस स्थिति में m चर, गुणांक हैं जो सिस्टम (1) में एक गैर-शून्य निर्धारक के साथ एक मैट्रिक्स बनाता है। ऐसे निर्धारक को मूल लघु कहा जाता है, और संबंधित चर को मूल कहा जाता है। शेष n-m चर मुक्त चर कहलाते हैं। बुनियादी चर को सिस्टम (1) के समीकरणों का उपयोग करके मुक्त चर के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, मुक्त चर को मनमाने ढंग से मान निर्दिष्ट कर सकते हैं और क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके बुनियादी चर के मूल्यों को ढूंढ सकते हैं। परिणाम सिस्टम (1) के समाधानों में से एक है।

परिभाषा 1.मुक्त चरों के शून्य मानों के साथ प्राप्त रैखिक समीकरणों (1) की प्रणाली के समाधान को मूल समाधान कहा जाता है।

मूल चर, और इसलिए मूल समाधान के गैर-शून्य घटक, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के गुणांक मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों के अनुरूप होते हैं। यह हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली के मूल समाधान की एक अलग परिभाषा देने की अनुमति देता है।

परिभाषा 2.रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का मूल समाधान इस प्रणाली का एक समाधान है जिसके गैर-शून्य घटक इस प्रणाली के गुणांक मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभों के अनुरूप होते हैं।

आधार चर अलग-अलग समूह हो सकते हैं जिनमें (1) में निर्दिष्ट एन चर से एम चर शामिल हैं। n वेरिएबल्स वाले सेट से m वेरिएबल्स का चयन करने के तरीकों की अधिकतम संभव संख्या संयोजनों की संख्या के बराबर है . हालाँकि, ऐसे मामले भी हो सकते हैं जब सिस्टम (1) में चयनित m चर के लिए गुणांक से बने मैट्रिक्स का संबंधित निर्धारक शून्य के बराबर हो। इसलिए, मूल चर के समूहों की संख्या अधिक नहीं होती है . बुनियादी चर के प्रत्येक समूह के लिए, कोई सिस्टम (1) का संबंधित बुनियादी समाधान पा सकता है। उपरोक्त तर्क से प्रमेय इस प्रकार है:

प्रमेय. एक अनिश्चित प्रणाली के मूल समाधानों की संख्या (1), जिसमें सिस्टम मैट्रिक्स की रैंकआर = एम < एनबढ़ता नहीं है .

उदाहरण। समीकरणों की प्रणाली के सभी बुनियादी समाधान खोजें (2):

(2)

समाधान। जाहिर है r=m=2, n=4. मूल चरों के समूहों की कुल संख्या से अधिक नहीं है = 6. हालाँकि, सिस्टम मैट्रिक्स में चर के गुणांकों के पहले, दूसरे और चौथे कॉलम आनुपातिक हैं, इसलिए इन तीन स्तंभों में से किन्हीं दो के गुणांकों से बने दूसरे क्रम के निर्धारक शून्य के बराबर हैं। शेष सेट:
,
और
.

चर के एक सेट के लिए
उनके गुणांकों से बना निर्धारक d = = –2 0. परिणामस्वरूप, इन चरों को मूल चर माना जा सकता है,
- मुक्त। आइए मुक्त चरों को शून्य मान निर्दिष्ट करें:
हम सिस्टम को हल करते हैं:

(3)
, कहाँ
.

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर जॉर्डन-गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान ढूंढता है। विस्तृत समाधान दिया गया है. गणना करने के लिए, समीकरणों की संख्या और चरों की संख्या का चयन करें। फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

जॉर्डन-गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने के सैद्धांतिक भाग के लिए नीचे देखें।

एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 = = =

संख्या प्रतिनिधित्व:

पूर्ण संख्याएँ और/या सामान्य भिन्न
पूर्ण संख्याएँ और/या दशमलव

दशमलव विभाजक के बाद स्थानों की संख्या

×

चेतावनी

सभी कक्ष साफ़ करें?

साफ़ बंद करें

डेटा प्रविष्टि निर्देश.संख्याएँ पूर्णांक (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव (उदा. 67., 102.54, आदि) या भिन्न के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए, जहाँ a और b (b>0) पूर्णांक या दशमलव संख्याएँ हैं। उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

जॉर्डन-गॉस विधि

जॉर्डन-गॉस विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक विधि है और व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की भी एक विधि है। यह विधि गॉस विधि का एक संशोधन है।

जॉर्डन-गॉस विधि का पहला चरण गॉस विधि (प्रत्यक्ष गॉस चाल) के समान है, जिसे "गॉस विधि ऑनलाइन" पृष्ठ पर विस्तार से देखा जा सकता है। जॉर्डन-गॉस विधि के दूसरे चरण (रिवर्स) में प्रमुख तत्वों के ऊपर रैखिक समीकरणों की प्रणाली के गुणांक मैट्रिक्स के सभी तत्वों को शून्य करना शामिल है। ध्यान दें कि यहां हम रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली पर विचार कर रहे हैं, जहां चर की संख्या बाधाओं की संख्या के बराबर नहीं हो सकती है।

रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:

(1)

आइए सिस्टम (1) को मैट्रिक्स रूप में लिखें:

कुल्हाड़ी=बी

(2)

(3)

ए- सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स कहा जाता है, बी− प्रतिबंधों का दाहिना भाग, एक्स- पाए जाने वाले चरों का सदिश। चलो रैंक( ए)=पी.

आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं:

यदि ,..., शून्य के बराबर हैं, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है, लेकिन यदि इनमें से कम से कम एक संख्या शून्य से भिन्न है, तो प्रणाली असंगत है। दूसरे शब्दों में, सिस्टम (2) सुसंगत है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स की रैंक एविस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर ( ए|बी).

होने देना . फिर, विपरीत क्रम में, अग्रणी तत्व से शुरू करते हुए, हम रिवर्स गॉसियन चाल लागू करते हैं। रिवर्स मोशन का सार विस्तारित मैट्रिक्स के सभी तत्वों को रीसेट करना है जो अग्रणी तत्वों से अधिक हैं।

तो, आइए कॉलम में सभी तत्वों को रीसेट करें पी, तत्व के ऊपर। चूँकि ≠0, हम पंक्तियाँ 1,2 जोड़ते हैं,... पी− 1 लाइन के साथ पी, से गुणा क्रमश।

विस्तारित मैट्रिक्स निम्नलिखित रूप लेगा:

प्रत्येक पंक्ति को उसके संगत अग्रणी तत्व से विभाजित करें (यदि कोई अग्रणी तत्व मौजूद है):

फिर समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

मैट्रिक्स रिकॉर्डिंग प्रकार: कुल्हाड़ी=बी, कहाँ

आइए हम इसे निरूपित करें एक आई.जेतत्वों मैं-वीं पंक्ति और जेवां स्तंभ.

प्रथम चरण। आगे गाऊसी चाल

एग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2,3 को पंक्ति 1 के साथ जोड़ें, क्रमशः 1/2,-3/2 से गुणा करें:

आइए तत्व के ऊपर मैट्रिक्स के तीसरे कॉलम के तत्वों को बाहर करें ए 33. ऐसा करने के लिए, पंक्तियों 1, 2 को पंक्ति 3 के साथ जोड़ें, क्रमशः -3/2, -5/4 से गुणा करें:

हम मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को संबंधित अग्रणी तत्व से विभाजित करते हैं (यदि अग्रणी तत्व मौजूद है):

मैट्रिक्स रिकॉर्डिंग प्रकार: कुल्हाड़ी=बी, कहाँ

आइए हम इसे निरूपित करें एक आई.जेतत्वों मैं-वीं पंक्ति और जेवां स्तंभ.

प्रथम चरण। प्रत्यक्ष गॉस चाल.

आइए तत्व के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को बाहर करें एग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2,3 को पंक्ति 1 के साथ जोड़ें, क्रमशः 4/3, 5/3 से गुणा करें:

दूसरा चरण। गाऊसी उत्क्रमण

आइए तत्व के ऊपर मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम के तत्वों को बाहर करें ए 22. ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2 को -3/10 से गुणा करके पंक्ति 1 जोड़ें:

आइए चरों को व्यक्त करें एक्स 1 , एक्स 2 अन्य चर के सापेक्ष।

तब वेक्टर समाधान को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

,

एक्स 3 एक मनमाना वास्तविक संख्या है.

उदाहरण 1. सिस्टम का एक सामान्य समाधान और कुछ विशेष समाधान खोजें

समाधानहम इसे कैलकुलेटर का उपयोग करके करते हैं। आइए विस्तारित और मुख्य आव्यूह लिखें:

मुख्य मैट्रिक्स ए को एक बिंदीदार रेखा से अलग किया जाता है। हम सिस्टम के समीकरणों में शब्दों की संभावित पुनर्व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए, शीर्ष पर अज्ञात सिस्टम लिखते हैं। विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करके, हम एक साथ मुख्य की रैंक ज्ञात करते हैं। मैट्रिक्स बी में, पहला और दूसरा कॉलम आनुपातिक हैं। दो आनुपातिक स्तंभों में से, केवल एक ही मूल माइनर में आ सकता है, तो आइए, उदाहरण के लिए, विपरीत चिह्न वाली बिंदीदार रेखा से परे पहले स्तंभ को ले जाएँ। सिस्टम के लिए, इसका मतलब समीकरणों के दाईं ओर x 1 से पदों को स्थानांतरित करना है।

आइए मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में कम करें। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि मैट्रिक्स पंक्ति को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे किसी अन्य समीकरण के साथ जोड़ना, जिससे समाधान नहीं बदलता है प्रणाली। हम पहली पंक्ति के साथ काम करते हैं: मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और बारी-बारी से दूसरी और तीसरी पंक्तियों में जोड़ें। फिर पहली पंक्ति को (-2) से गुणा करें और चौथी में जोड़ें।

दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए, उनमें से एक, उदाहरण के लिए दूसरी, को काटा जा सकता है। यह सिस्टम के दूसरे समीकरण को पार करने के बराबर है, क्योंकि यह तीसरे का परिणाम है।

अब हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं: इसे (-1) से गुणा करें और इसे तीसरी में जोड़ें।

बिंदीदार रेखा के साथ परिक्रमा करने वाले लघु में उच्चतम क्रम (संभावित लघु का) होता है और यह गैर-शून्य होता है (यह मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है), और यह लघु मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित होता है, इसलिए रंगए = रंगबी = 3.
नाबालिग बुनियादी है. इसमें अज्ञात x 2, x 3, x 4 के लिए गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 2, x 3, x 4 आश्रित हैं, और x 1, x 5 स्वतंत्र हैं।
आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें, बाईं ओर केवल आधार को छोटा छोड़ दें (जो उपरोक्त समाधान एल्गोरिदम के बिंदु 4 से मेल खाता है)।

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका स्वरूप है

अज्ञात को ख़त्म करने की विधि का उपयोग करके हम पाते हैं:
, ,

हमने आश्रित चर x 2, x 3, x 4 को मुक्त x 1 और x 5 के माध्यम से व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त किए, अर्थात, हमें एक सामान्य समाधान मिला:

मुक्त अज्ञात को कोई भी मान निर्दिष्ट करके, हम किसी भी संख्या में विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। आइए दो विशेष समाधान खोजें:
1) माना x 1 = x 5 = 0, फिर x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, फिर x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 रखें।
इस प्रकार, दो समाधान पाए गए: (0,1,-3,3,0) - एक समाधान, (1,4,-7,7,-1) - दूसरा समाधान।

उदाहरण 2. अनुकूलता का अन्वेषण करें, सिस्टम के लिए एक सामान्य और एक विशेष समाधान खोजें

समाधान. आइए पहले और दूसरे समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि पहले समीकरण में एक हो और मैट्रिक्स बी लिखें।

पहली पंक्ति के साथ संचालन करके हमें चौथे कॉलम में शून्य मिलते हैं:

अब हम दूसरी पंक्ति का उपयोग करके तीसरे कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं:

तीसरी और चौथी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से एक को रैंक बदले बिना काटा जा सकता है:
तीसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और चौथी में जोड़ें:

हम देखते हैं कि मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक 4 के बराबर है, और रैंक अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

उदाहरण 3. अनुकूलता के लिए सिस्टम की जाँच करें और यदि मौजूद है तो समाधान खोजें।

समाधान. हम सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं।

हम पहले दो समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि ऊपरी बाएँ कोने में 1 हो:
पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

दूसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

प्रणाली असंगत है, क्योंकि मुख्य मैट्रिक्स में हमें शून्य से युक्त एक पंक्ति प्राप्त हुई, जिसे रैंक मिलने पर काट दिया जाता है, लेकिन विस्तारित मैट्रिक्स में अंतिम पंक्ति बनी रहती है, अर्थात, r B > r A ।

व्यायाम. अनुकूलता के लिए समीकरणों की इस प्रणाली की जांच करें और मैट्रिक्स कैलकुलस का उपयोग करके इसे हल करें।
समाधान

उदाहरण. रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता सिद्ध करें और इसे दो तरीकों से हल करें: 1) गॉस विधि द्वारा; 2) क्रैमर विधि. (उत्तर को फ़ॉर्म में दर्ज करें: x1,x2,x3)
समाधान :doc :doc :xls
उत्तर: 2,-1,3.

उदाहरण. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है. इसकी अनुकूलता सिद्ध कीजिए। सिस्टम का एक सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें।
समाधान
उत्तर:एक्स 3 = - 1 + एक्स 4 + एक्स 5 ; एक्स 2 = 1 - एक्स 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

व्यायाम. प्रत्येक प्रणाली के सामान्य और विशेष समाधान खोजें।
समाधान।हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इस प्रणाली का अध्ययन करते हैं।
आइए विस्तारित और मुख्य आव्यूह लिखें:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4	एक्स 5

यहां मैट्रिक्स ए को बोल्ड में हाइलाइट किया गया है।
आइए मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में कम करें। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि एक मैट्रिक्स पंक्ति को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करने और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे किसी अन्य समीकरण के साथ जोड़ना, जिससे समाधान नहीं बदलता है प्रणाली।
आइए पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

आइए दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को (-3) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ें:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

चयनित माइनर का क्रम उच्चतम है (संभावित माइनरों में से) और गैर-शून्य है (यह रिवर्स विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह माइनर मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित है, इसलिए रेंज ( ए) = रंग(बी) = 3 चूंकि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, तो प्रणाली सहयोगी है.
यह माइनर बुनियादी है. इसमें अज्ञात x 1, x 2, x 3 के लिए गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 1, x 2, x 3 आश्रित (मूल) हैं, और x 4, x 5 स्वतंत्र हैं।
आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें, बाईं ओर केवल आधार को छोटा छोड़ दें।

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3		एक्स 4	एक्स 5

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
अज्ञात को ख़त्म करने की विधि का उपयोग करके हम पाते हैं:
हमने आश्रित चर x 1 , x 2 , x 3 को मुक्त x 4 , x 5 के माध्यम से व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त किए, अर्थात, हमने पाया सामान्य निर्णय:
एक्स 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
ढुलमुल, क्योंकि एक से अधिक समाधान हैं.

व्यायाम. समीकरणों की प्रणाली को हल करें.
उत्तर:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
मुक्त अज्ञात को कोई भी मान निर्दिष्ट करके, हम किसी भी संख्या में विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। सिस्टम है ढुलमुल

§1. रैखिक समीकरणों की प्रणाली.

सिस्टम देखें

एक प्रणाली कहा जाता है एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात।

यहाँ
- अज्ञात, - अज्ञात के लिए गुणांक,
- समीकरणों के मुक्त पद.

यदि समीकरणों के सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हैं, तो प्रणाली कहलाती है सजातीय.निर्णय सेप्रणाली को संख्याओं का संग्रह कहा जाता है
, जब उन्हें अज्ञात के बजाय सिस्टम में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं। सिस्टम कहा जाता है संयुक्त, यदि इसका कम से कम एक समाधान है। एक संगत प्रणाली जिसका एक अद्वितीय समाधान हो, कहलाती है निश्चित. दो प्रणालियों को कहा जाता है समकक्ष, यदि उनके समाधान के सेट मेल खाते हैं।

सिस्टम (1) को समीकरण का उपयोग करके मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है

(2)

.

§2. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की अनुकूलता.

आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स (1) को मैट्रिक्स कहते हैं

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय. सिस्टम (1) सुसंगत है यदि और केवल तभी जब सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो:

.

§3. सिस्टम समाधानएन के साथ रैखिक समीकरणएन अज्ञात।

एक अमानवीय प्रणाली पर विचार करें एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात:

(3)

क्रैमर का प्रमेय.यदि सिस्टम का मुख्य निर्धारक (3)
, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

वे।
,

कहाँ - निर्धारक से प्राप्त निर्धारक प्रतिस्थापन मुक्त सदस्यों के कॉलम में वां कॉलम।

अगर
, और कम से कम एक ≠0, तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

अगर
, तो सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं।

सिस्टम (3) को इसके मैट्रिक्स फॉर्म (2) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यदि मैट्रिक्स रैंक एके बराबर होती है एन, अर्थात।
, फिर मैट्रिक्स एएक उलटा है
. मैट्रिक्स समीकरण को गुणा करना
मैट्रिक्स के लिए
बाईं ओर, हमें मिलता है:

.

अंतिम समानता व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधि को व्यक्त करती है।

उदाहरण।व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

समाधान। आव्यूह
गैर-पतित, तब से
, जिसका अर्थ है कि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। आइए व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करें:
.

,

व्यायाम. क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

§4. रैखिक समीकरणों की मनमानी प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि फॉर्म (1) के रैखिक समीकरणों की एक गैर-सजातीय प्रणाली दी गई है।

आइए मान लें कि सिस्टम सुसंगत है, यानी। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय की स्थिति संतुष्ट है:
. यदि मैट्रिक्स रैंक
(अज्ञात की संख्या), तो सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। अगर
, तो सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं। मुझे समझाने दो।

आइए मैट्रिक्स की रैंक आर(ए)= आर< एन. क्योंकि
, तो आदेश का कुछ गैर-शून्य लघु है आर. आइए इसे मूल लघु कहें। वे अज्ञात जिनके गुणांक एक आधार लघु बनाते हैं, मूल चर कहलाएंगे। शेष अज्ञात को हम मुक्त चर कहते हैं। आइए समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें और चरों को फिर से क्रमांकित करें ताकि यह माइनर सिस्टम मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने में स्थित हो:

.

पहला आररेखाएँ रैखिक रूप से स्वतंत्र होती हैं, शेष उनके माध्यम से व्यक्त होते हैं। अत: इन रेखाओं (समीकरणों) को ख़ारिज किया जा सकता है। हम पाते हैं:

आइए मुक्त चरों को मनमाना संख्यात्मक मान दें: . आइए हम केवल मूल चर को बाईं ओर छोड़ दें और मुक्त चर को दाईं ओर ले जाएं।

सिस्टम मिल गया आरके साथ रैखिक समीकरण आरअज्ञात, जिसका सारणिक 0 से भिन्न है। इसका एक अद्वितीय समाधान है।

इस प्रणाली को रैखिक समीकरणों (1) की प्रणाली का सामान्य समाधान कहा जाता है। अन्यथा: मुक्त चर के माध्यम से मूल चर की अभिव्यक्ति कहलाती है सामान्य निर्णयसिस्टम. इससे आप अनंत संख्या में प्राप्त कर सकते हैं निजी समाधान, मुक्त चर को मनमाना मान देना। मुक्त चरों के शून्य मानों के लिए किसी सामान्य से प्राप्त विशेष समाधान को कहा जाता है बुनियादी समाधान. विभिन्न बुनियादी समाधानों की संख्या अधिक नहीं है
. गैर-नकारात्मक घटकों वाले मूल समाधान को कहा जाता है सहायकसिस्टम समाधान.

उदाहरण.

,आर=2.

चर
- बुनियादी,
- मुक्त।

आइए समीकरण जोड़ें; आइए व्यक्त करें
के माध्यम से
:

- सामान्य निर्णय.

- के लिए निजी समाधान
.

- मूल समाधान, संदर्भ।

§5. गॉस विधि.

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की मनमानी प्रणालियों के अध्ययन और समाधान के लिए एक सार्वभौमिक विधि है। इसमें प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करके सिस्टम को विकर्ण (या त्रिकोणीय) रूप में कम करना शामिल है जो सिस्टम की समतुल्यता का उल्लंघन नहीं करता है। एक चर को बहिष्कृत माना जाता है यदि यह 1 के गुणांक के साथ सिस्टम के केवल एक समीकरण में समाहित है।

प्राथमिक परिवर्तनसिस्टम हैं:

किसी समीकरण को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

किसी संख्या से गुणा किए गए समीकरण को किसी अन्य समीकरण से जोड़ना;

समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना;

समीकरण 0 = 0 को अस्वीकार करना।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों पर नहीं, बल्कि परिणामी समकक्ष प्रणालियों के विस्तारित मैट्रिक्स पर किए जा सकते हैं।

उदाहरण.

समाधान।आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें:

.

प्रारंभिक परिवर्तन करते हुए, हम मैट्रिक्स के बाईं ओर को इकाई रूप में लाएंगे: हम मुख्य विकर्ण पर एक बनाएंगे, और इसके बाहर शून्य बनाएंगे।

टिप्पणी. यदि, प्राथमिक परिवर्तन करते समय, प्रपत्र 0 का एक समीकरण प्राप्त होता है = क(कहाँ को0), तो सिस्टम असंगत है.

अज्ञातों के क्रमिक विलोपन की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान इस रूप में लिखा जा सकता है टेबल.

तालिका के बाएँ कॉलम में बहिष्कृत (बुनियादी) चर के बारे में जानकारी है। शेष स्तंभों में अज्ञात के गुणांक और समीकरणों के मुक्त पद शामिल हैं।

सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स स्रोत तालिका में दर्ज किया गया है। इसके बाद, हम जॉर्डन परिवर्तन करना शुरू करते हैं:

1. एक वेरिएबल चुनें , जो आधार बनेगा। संबंधित कॉलम को कुंजी कॉलम कहा जाता है। ऐसा समीकरण चुनें जिसमें यह चर बना रहेगा, अन्य समीकरणों से बाहर रखा जाएगा। संगत तालिका पंक्ति को कुंजी पंक्ति कहा जाता है। गुणक , कुंजी पंक्ति और कुंजी स्तंभ के चौराहे पर खड़े होने को कुंजी कहा जाता है।

2. कुंजी स्ट्रिंग तत्वों को मुख्य तत्व में विभाजित किया गया है।

3. कुंजी स्तंभ शून्य से भरा है।

4. शेष तत्वों की गणना आयत नियम का उपयोग करके की जाती है। एक आयत बनाएं, जिसके विपरीत शीर्षों पर एक मुख्य तत्व और एक पुनर्गणना तत्व हो; मुख्य तत्व के साथ आयत के विकर्ण पर स्थित तत्वों के उत्पाद से, अन्य विकर्ण के तत्वों का उत्पाद घटाया जाता है, और परिणामी अंतर को मुख्य तत्व से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण. समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान और मूल समाधान खोजें:

समाधान।

सिस्टम का सामान्य समाधान:

मूल समाधान:
.

एक एकल प्रतिस्थापन परिवर्तन आपको सिस्टम के एक आधार से दूसरे आधार पर जाने की अनुमति देता है: मुख्य चर में से एक के बजाय, मुक्त चर में से एक को आधार में पेश किया जाता है। ऐसा करने के लिए, मुक्त चर कॉलम में एक मुख्य तत्व का चयन करें और उपरोक्त एल्गोरिदम के अनुसार परिवर्तन करें।

§6. समर्थन समाधान ढूँढना

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का संदर्भ समाधान एक मूल समाधान है जिसमें नकारात्मक घटक नहीं होते हैं।

निम्नलिखित शर्तें पूरी होने पर सिस्टम के संदर्भ समाधान गॉसियन विधि द्वारा पाए जाते हैं।

1. मूल प्रणाली में, सभी निःशुल्क शर्तें गैर-नकारात्मक होनी चाहिए:
.

2. सकारात्मक गुणांकों में से मुख्य तत्व का चयन किया जाता है।

3. यदि आधार में पेश किए गए एक चर में कई सकारात्मक गुणांक हैं, तो मुख्य पंक्ति वह है जिसमें मुक्त पद और सकारात्मक गुणांक का अनुपात सबसे छोटा है।

नोट 1. यदि, अज्ञात को हटाने की प्रक्रिया में, एक समीकरण प्रकट होता है जिसमें सभी गुणांक गैर-सकारात्मक और मुक्त पद होते हैं
, तो सिस्टम के पास कोई गैर-नकारात्मक समाधान नहीं है।

नोट 2. यदि मुक्त चर के लिए गुणांक के कॉलम में एक भी सकारात्मक तत्व नहीं है, तो किसी अन्य संदर्भ समाधान में संक्रमण असंभव है।

उदाहरण।