Цахилгаан индукцийн Гауссын теорем (цахилгаан шилжилт). Цахилгаан индукцийн векторын урсгал Цахилгаан индукцийн векторын Гауссын теорем
Ерөнхий томъёолол: Дурын сонгосон хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүч чадлын векторын урсгал нь энэ гадаргуугийн доторх цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.
SGSE системд:
SI системд:
нь битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүчний векторын урсгал юм.
- гадаргууг хязгаарлаж буй эзлэхүүнд агуулагдах нийт цэнэг.
- цахилгаан тогтмол.
Энэ илэрхийлэл Гауссын теоремыг интеграл хэлбэрээр илэрхийлнэ.
Дифференциал хэлбэрээр Гауссын теорем нь Максвеллийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд тохирч, дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.
SI системд:
,
SGSE системд:
Энд эзэлхүүний цэнэгийн нягт (орчин байгаа тохиолдолд чөлөөт ба холбогдсон цэнэгийн нийт нягт), набла оператор байна.
Гауссын теоремын хувьд суперпозицийн зарчим хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл гадаргуугаар дамжин өнгөрөх эрчим хүчний векторын урсгал нь гадаргуугийн доторх цэнэгийн тархалтаас хамаардаггүй.
Гауссын теоремын физик үндэс нь Кулоны хууль буюу өөрөөр хэлбэл Гауссын теорем нь Кулоны хуулийн салшгүй томъёолол юм.
Цахилгаан индукцийн Гауссын теорем (цахилгаан шилжилт).
Матери дахь талбайн хувьд Гауссын цахилгаан статик теоремыг өөр өөрөөр бичиж болно - цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалаар (цахилгаан индукц). Энэ тохиолдолд теоремыг томъёолох нь дараах байдалтай байна: хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан шилжилтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуугийн доторх чөлөөт цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.
Хэрэв бид бодисын талбайн хүч чадлын теоремыг авч үзвэл гадаргуугийн дотор байрлах чөлөөт цэнэгийн нийлбэр ба диэлектрикийн туйлшралын (индукцлагдсан, холбогдсон) цэнэгийн нийлбэрийг Q цэнэг болгон авах шаардлагатай.
,
Хаана 
,
нь диэлектрикийн туйлшралын вектор юм.
Соронзон индукцийн Гауссын теорем
Ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх соронзон индукцийн векторын урсгал тэг байна.
.
Энэ нь байгальд цахилгаан цэнэг нь цахилгаан орон үүсгэдэгтэй адил соронзон орон үүсгэх "соронзон цэнэг" (монополь) байдаггүйтэй дүйцэхүйц юм. Өөрөөр хэлбэл соронзон индукцийн Гауссын теорем нь соронзон орон нь эргүүлэг гэдгийг харуулж байна.
Гауссын теоремын хэрэглээ
Цахилгаан соронзон орныг тооцоолохдоо дараах хэмжигдэхүүнүүдийг ашигладаг.
Эзлэхүүний цэнэгийн нягт (дээрхийг харна уу).
Гадаргуугийн цэнэгийн нягт
Энд dS нь хязгааргүй жижиг гадаргуугийн талбай юм.
Шугаман цэнэгийн нягт
Энд dl нь хязгааргүй жижиг сегментийн урт юм.
Хязгааргүй жигд цэнэглэгдсэн хавтгайгаас үүссэн талбайг авч үзье. Хавтгайн гадаргуугийн цэнэгийн нягтыг ижил ба σ-тэй тэнцүү болго. Хавтгайд перпендикуляр генератрис бүхий цилиндр ба хавтгайтай тэгш хэмтэй байрлалтай ΔS суурьтай гэж төсөөлье. Тэгш хэмийн улмаас. Хүчдэлийн векторын урсгал нь тэнцүү байна. Гауссын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
,
хаанаас
SSSE системд
Гауссын теорем нь бүх нийтийн болон ерөнхий шинж чанартай хэдий ч интегралыг тооцоолоход тохиромжгүй тул интеграл хэлбэрийн Гауссын теорем нь харьцангуй хязгаарлагдмал хэрэглээтэй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч тэгш хэмтэй асуудлын хувьд түүний шийдэл нь суперпозиция зарчмыг ашиглахаас хамаагүй хялбар болно.
Цахилгаан индукцийн вектор урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Хязгааргүй жижиг талбайг авч үзье. Ихэнх тохиолдолд энэ нь зөвхөн сайтын хэмжээ төдийгүй орон зай дахь чиг баримжааг мэдэх шаардлагатай байдаг. Вектор талбайн тухай ойлголтыг танилцуулъя. Талбайн вектор гэж тухайн талбайд перпендикуляр чиглэсэн, тоон хувьд талбайн хэмжээтэй тэнцүү векторыг хэлнэ гэдэгтэй санал нийлэе.
Зураг 1 - Векторын тодорхойлолт руу - сайт
Векторын урсгалыг нэрлэе 
платформоор дамжуулан 
векторуудын цэгэн үржвэр 
Тэгээд 
. Тиймээс,
Урсгалын вектор 
дурын гадаргуугаар дамжуулан 
бүх элементар урсгалыг нэгтгэх замаар олно
(4)
Хэрвээ талбай нь жигд, гадаргуу нь тэгш байвал 
талбайд перпендикуляр байрласан бол:
. (5)
Өгөгдсөн илэрхийлэл нь сайтыг цоолох хүчний шугамын тоог тодорхойлно 
нэгж цаг тутамд.
Остроградский-Гаусын теорем. Цахилгаан орны хүч чадлын зөрүү
Дурын хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн вектор урсгал 
чөлөөт цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү 
, энэ гадаргуугаар бүрхэгдсэн
(6)
(6) илэрхийлэл O-G теоремыг интеграл хэлбэрээр илэрхийлнэ. Теорем 0-Г нь интеграл (нийт) эффекттэй ажилладаг, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв 
Энэ нь сансрын судлагдсан хэсгийн бүх цэгүүдэд цэнэг байхгүй, эсвэл энэ орон зайн өөр өөр цэгүүдэд байрлах эерэг ба сөрөг цэнэгийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна уу гэдэг нь тодорхойгүй байна.
Өгөгдсөн талбарт байрлах цэнэг ба тэдгээрийн хэмжээг олохын тулд цахилгаан индукцийн вектортой холбоотой хамаарал шаардлагатай. 
ижил цэг дээр цэнэгтэй өгөгдсөн цэг дээр.
Нэг цэг дээр цэнэг байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй гэж бодъё А(Зураг 2)
Зураг 2 – Векторын зөрүүг тооцоолох
O-G теоремыг хэрэгжүүлье. Цэгийн байрлаж буй эзэлхүүнийг хязгаарласан дурын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал А, тэнцүү байна
Эзлэхүүн дэх цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг эзлэхүүний интеграл гэж бичиж болно
(7)
Хаана 
- нэгж эзлэхүүний төлбөр 
;
- эзлэхүүний элемент.
Нэг цэг дэх талбар ба цэнэгийн хоорондох холболтыг олж авах АБид гадаргууг нэг цэг хүртэл агших замаар эзлэхүүнийг багасгах болно А. Энэ тохиолдолд бид тэгш байдлынхаа хоёр талыг үнэ цэнээр нь хуваадаг 
. Хязгаарт шилжихэд бид дараахь зүйлийг авна.
.
Үүссэн илэрхийллийн баруун тал нь тодорхойлолтоор сансар огторгуйд авч үзсэн цэг дэх эзэлхүүний цэнэгийн нягт юм. Зүүн тал нь битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгалын энэ гадаргуугаар хязгаарлагдах эзлэхүүнтэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг илэрхийлдэг бөгөөд эзэлхүүн нь тэг болох хандлагатай байдаг. Энэ скаляр хэмжигдэхүүн нь цахилгаан талбайн чухал шинж чанар бөгөөд үүнийг нэрлэдэг векторын ялгаа 
.
Тиймээс:
,
тиймээс
, (8)
Хаана 
- эзэлхүүний цэнэгийн нягт. 
Энэ хамаарлыг ашиглан цахилгаан статикийн урвуу асуудлыг энгийнээр шийддэг, өөрөөр хэлбэл. мэдэгдэж буй талбарт хуваарилагдсан цэнэгийг олох.
Хэрэв вектор 
өгөгдсөн бөгөөд энэ нь түүний төсөөлөл мэдэгдэж байна гэсэн үг юм 
,
,
координатын функцээр координатын тэнхлэгт шилжүүлж, өгөгдсөн талбарыг үүсгэсэн цэнэгийн тархсан нягтыг тооцоолохын тулд эдгээр проекцуудын гурван хэсэгчилсэн деривативын нийлбэрийг харгалзах хувьсагчдын хувьд олоход хангалттай юм. Үүний төлөө эдгээр цэгүүдэд 
хураамжгүй. Хаана байгаа цэгүүдэд 
эерэг бол эзлэхүүний нягттай тэнцүү эерэг цэнэг байна 
, мөн тэдгээр цэгүүдэд хаана 
сөрөг утгатай байх болно, сөрөг цэнэг байдаг, нягтрал нь мөн ялгаа утгаар тодорхойлогддог.
Илэрхийлэл (8) 0-Г теоремыг дифференциал хэлбэрээр илэрхийлнэ. Энэ хэлбэрээр теорем үүнийг харуулж байна цахилгаан талбайн эх үүсвэрүүд нь чөлөөт цахилгаан цэнэгүүд байх;цахилгаан индукцийн векторын талбайн шугамууд нь эерэг ба сөрөг цэнэгүүдээр эхэлж, төгсдөг.
Хамгийн хэцүү зүйл бол цахилгааны жигд бус орчинд цахилгаан үзэгдлийг судлах явдал юм. Ийм орчинд ε нь өөр өөр утгатай, диэлектрикийн хил дээр огцом өөрчлөгддөг. ε 1 =1 (вакуум эсвэл агаар) ба ε 2 =3 (шингэн - тос) гэсэн хоёр зөөвөрлөгчийн зааг дээрх талбайн хүчийг тодорхойлно гэж үзье. Интерфейс дээр вакуумаас диэлектрик рүү шилжих үед талбайн хүч нь 3 дахин буурч, хүч чадлын векторын урсгал ижил хэмжээгээр буурдаг (Зураг 12.25, а). Хоёр зөөвөрлөгчийн хоорондох интерфэйс дэх электростатик талбайн хүч чадлын векторын огцом өөрчлөлт нь талбайг тооцоолоход тодорхой бэрхшээлийг үүсгэдэг. Гауссын теоремын хувьд эдгээр нөхцөлд энэ нь ерөнхийдөө утгаа алддаг.
Өөр өөр диэлектрикүүдийн туйлшрал ба хүчдэл өөр өөр байдаг тул диэлектрик бүрийн талбайн шугамын тоо бас өөр байх болно. Энэ хүндрэлийг талбайн шинэ физик шинж чанар болох цахилгаан индукц D (эсвэл вектор) нэвтрүүлэх замаар арилгаж болно. цахилгаан шилжилт ).
Томъёоны дагуу
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const
Эдгээр тэгшитгэлийн бүх хэсгийг цахилгаан тогтмол ε 0-ээр үржүүлснээр бид олж авна
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const
ε 0 εE=D гэсэн тэмдэглэгээг оруулъя, тэгвэл эцсийн өмнөх харьцаа хэлбэр болно.
D 1 = D 2 =D 0 =const
Диэлектрик дэх цахилгаан орны хүч ба түүний үнэмлэхүй диэлектрик дамжуулалтын үржвэртэй тэнцүү D векторыг гэнэ.цахилгаан шилжилтийн вектор
(12.45)
Цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэх нэгж - метр квадрат тутамд зүүлт(С/м2).
Цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлт нь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд өөрөөр илэрхийлж болно
D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
E хүчдэлээс ялгаатай нь цахилгаан шилжилт D нь бүх диэлектрикт тогтмол байдаг (Зураг 12.25, b). Иймд нэгэн төрлийн бус диэлектрик орчинд цахилгаан талбайг E эрчимээр бус харин шилжилтийн вектор D-ээр тодорхойлох нь тохиромжтой. D вектор нь чөлөөт цэнэгийн (жишээ нь вакуум дахь) үүссэн электростатик талбайг дүрсэлсэн боловч диэлектрик байгаа тохиолдолд орон зайд тархсантай адил, учир нь диэлектрикт үүссэн хязгаарлагдмал цэнэг нь орон зайг үүсгэх чөлөөт цэнэгийн дахин хуваарилалтыг үүсгэж болзошгүй юм.
Вектор талбар 
талбайн нэгэн адил цахилгаан шилжилтийн шугамаар графикаар дүрслэгдсэн байна 
хүчний шугамаар дүрсэлсэн.
Цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэх шугам - эдгээр нь цэг бүрийн шүргэгч нь цахилгаан шилжилтийн вектортой чиглэлтэй давхцдаг шугамууд юм.
В векторын шугамууд нь ямар ч цэнэгээр эхэлж, дуусч болно - чөлөөт ба холбогдсон, харин векторын шугамуудД- зөвхөн үнэ төлбөргүй. Вектор шугамуудДХүчдэлийн шугамаас ялгаатай нь тэдгээр нь тасралтгүй байдаг.
Цахилгаан шилжилтийн вектор нь хоёр зөөвөрлөгчийн хоорондох интерфэйс дээр тасалдал үүсгэдэггүй тул зарим битүү гадаргуугаар хүрээлэгдсэн цэнэгээс үүссэн бүх индукцийн шугамууд түүнийг нэвтлэх болно. Иймээс цахилгаан шилжилтийн векторын хувьд Гауссын теорем нь нэгэн төрлийн бус диэлектрик орчны утгыг бүрэн хадгалдаг.
Диэлектрик дэх электростатик талбайн Гауссын теорем : дурын хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан шилжилтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуу дотор агуулагдах цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
(12.47)
Цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хууль - Кулоны хуулийг Гауссын теорем гэж нэрлэгдэх хэлбэрээр өөрөөр томъёолж болно. Гауссын теоремыг Кулоны хууль ба суперпозиция зарчмын үр дүнд олж авсан. Нотолгоо нь хоёр цэгийн цэнэгийн хоорондын харилцан үйлчлэлийн хүчийг тэдгээрийн хоорондох зайны квадраттай урвуу пропорциональ дээр үндэслэсэн болно. Иймд Гауссын теорем нь урвуу квадратын хууль ба суперпозицийн зарчим үйлчилдэг аливаа физик талбарт, жишээлбэл, таталцлын талбарт хэрэглэгдэх боломжтой.
Цагаан будаа. 9. Хаалттай X гадаргуутай огтлолцох цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны хүчний шугамууд
Гауссын теоремыг томъёолохын тулд хөдөлгөөнгүй цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны шугамын зураг руу буцъя. Ганц цэгийн цэнэгийн талбайн шугамууд нь тэгш хэмтэй байрлалтай радиаль шулуун шугамууд юм (Зураг 7). Та ямар ч тооны ийм шугам зурж болно. Тэдгээрийн нийт тоог дараах байдлаар тэмдэглэе. Дараа нь цэнэгээс хол зайд байгаа талбайн шугамын нягт, өөрөөр хэлбэл радиустай бөмбөрцгийн нэгж гадаргууг огтолж буй шугамын тоо нь энэ харьцааг талбайн хүч чадлын илэрхийлэлтэй харьцуулахтай тэнцүү байна. цэгийн цэнэг (4), шугамын нягт нь талбайн хүчтэй пропорциональ байгааг бид харж байна. Талбайн N шугамын нийт тоог зөв сонгосноор бид эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийг тоон хувьд тэнцүү болгож чадна.
Тиймээс цэгийн цэнэгийг хүрээлж буй дурын радиустай бөмбөрцгийн гадаргуу нь ижил тооны хүчний шугамыг огтолдог. Энэ нь хүчний шугамууд тасралтгүй байна гэсэн үг юм: өөр өөр радиустай хоёр төвлөрсөн бөмбөрцөг хоорондын зайд аль нь ч шугам тасрахгүй бөгөөд шинээр нэмэгдэхгүй. Талбайн шугамууд тасралтгүй байдаг тул цэнэгийг бүрхсэн аливаа битүү гадаргууг (Зураг 9) ижил тооны талбайн шугамууд огтолж байна.
Хүчний шугамууд чиглэлтэй байдаг. Эерэг цэнэгийн хувьд тэдгээр нь цэнэгийг тойрсон битүү гадаргуугаас гарч ирдэг бөгөөд үүнийг Зураг дээр үзүүлэв. 9. Сөрөг цэнэгийн хувьд тэдгээр нь гадаргуу дотор ордог. Хэрэв гарах шугамын тоог эерэг, ирж буй мөрийн тоог сөрөг гэж үзвэл (8) томъёонд бид цэнэгийн модулийн тэмдгийг орхиж, хэлбэрээр бичиж болно.
Хүчдэлийн урсгал.Одоо гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын вектор урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Дурын талбайг оюун санааны хувьд жижиг хэсгүүдэд хувааж, эрч хүч нь хэмжээ, чиглэлд маш бага өөрчлөгддөг тул энэ талбайн дотор талбарыг жигд гэж үзэж болно. Ийм газар бүрт хүчний шугамууд нь зэрэгцээ шулуун шугамууд бөгөөд тогтмол нягттай байдаг.
Цагаан будаа. 10. Талбайгаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын векторын урсгалыг тодорхойлох
Хэчнээн хүчний шугам жижиг талбайд нэвтэрч байгааг авч үзье, хэвийн чиглэл нь суналтын шугамын чиглэлтэй a өнцөг үүсгэдэг (Зураг 10). Хүчний шугамтай перпендикуляр хавтгай дээрх проекцийг үзье. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн нөхцлийн дагуу огтлолцох шугамын тоо ижил байх ба шугамын нягт нь талбайн хүч чадлын E модультай тэнцүү байх тул
a утга нь Е векторын тухайн талбай руу чиглэсэн нормаль чиглэлийн проекц юм
Тиймээс тухайн газрыг дайран өнгөрөх цахилгааны шугамын тоо тэнцүү байна
Бүтээгдэхүүнийг гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын урсгал гэж нэрлэдэг.Формула (10) нь гадаргуугаар дамжин өнгөрөх Е векторын урсгал нь энэ гадаргууг огтолж буй талбайн шугамын тоотой тэнцүү болохыг харуулж байна. Гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоотой адил эрчим хүчний векторын урсгал нь скаляр гэдгийг анхаарна уу.
Цагаан будаа. 11. Талбайгаар дамжих E суналтын векторын урсгал
Хүчний шугамтай харьцуулахад талбайн чиглэлээс урсгалын хамаарлыг Зураг дээр үзүүлэв.
Дурын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын урсгал нь энэ гадаргууг хувааж болох энгийн хэсгүүдээр дамжих урсгалуудын нийлбэр юм. (9) ба (10) харьцааны дагуу цэгийн цэнэгийн талбайн хүчдлийн урсгал нь цэнэгийг бүрхэж буй 2-р аль ч битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрдөг (9-р зургийг үз) гэж хэлж болно. энэ гадаргуутай тэнцүү байна.Энэ тохиолдолд энгийн талбайн хаалттай гадаргуугийн хэвийн векторыг гадагш чиглүүлэх шаардлагатай. Хэрэв гадаргуугийн доторх цэнэг сөрөг байвал талбайн шугамууд энэ гадаргуу дотор орж, цэнэгтэй холбоотой талбайн хүч чадлын векторын урсгал мөн сөрөг байна.
Хэрэв битүү гадаргуу дотор хэд хэдэн цэнэг байгаа бол суперпозиция зарчмын дагуу тэдгээрийн талбайн хүч чадлын урсгал нэмэгдэнэ. Нийт урсгал нь гадаргуугийн дотор байрлах бүх цэнэгийн алгебрийн нийлбэр гэж ойлгох ёстой газартай тэнцүү байх болно.
Хэрэв битүү гадаргуу дотор цахилгаан цэнэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн алгебрийн нийлбэр нь тэг байвал энэ гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын нийт урсгал тэг болно: гадаргуугаар хязгаарлагдсан эзэлхүүнд олон тооны хүчний шугам орох тусам ижил тоо гарч ирдэг.
Одоо бид эцэст нь Гауссын теоремыг томъёолж болно: цахилгаан орны хүч чадлын вектор Е-ийн вакуум дахь аливаа хаалттай гадаргуугаар урсах нь энэ гадаргуу дотор байрлах нийт цэнэгтэй пропорциональ байна. Математикийн хувьд Гауссын теоремыг ижил томъёогоор (9) илэрхийлдэг бөгөөд энд гэдэг нь цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг илэрхийлдэг. Үнэмлэхүй электростатик байдлаар
SGSE нэгжийн системд коэффициент ба Гауссын теоремыг хэлбэрээр бичдэг
SI-д хаалттай гадаргуугаар дамжих суналтын урсгалыг томъёогоор илэрхийлнэ
Гауссын теоремыг цахилгаан статикт өргөн ашигладаг. Зарим тохиолдолд тэгш хэмтэй байрлалтай цэнэгүүдээс үүссэн талбаруудыг хялбархан тооцоолоход ашиглаж болно.
Тэгш хэмтэй эх үүсвэрийн талбарууд.Радиустай бөмбөлгийн гадаргуу дээр жигд цэнэглэгдсэн цахилгаан орны эрчмийг тооцоолохын тулд Гауссын теоремыг ашиглая. Тодорхой байхын тулд бид түүний цэнэгийг эерэг гэж үзэх болно. Талбайг үүсгэдэг цэнэгийн хуваарилалт нь бөмбөрцөг тэгш хэмтэй байдаг. Тиймээс талбай нь мөн адил тэгш хэмтэй байна. Ийм талбайн хүчний шугамууд нь радиусын дагуу чиглэгддэг бөгөөд эрчмийн модуль нь бөмбөгний төвөөс ижил зайд байгаа бүх цэгүүдэд ижил байна.
Бөмбөгний төвөөс хол зайд талбайн хүчийг олохын тулд бөмбөгтэй хамт төвлөрсөн радиустай бөмбөрцөг гадаргууг оюун ухаанаараа зуръя.Учир нь энэ бөмбөрцгийн бүх цэгүүдэд талбайн хүч нь түүний гадаргуутай перпендикуляр чиглэгддэг ба үнэмлэхүй утгаараа ижил эрчимтэй урсгал нь талбайн хүч ба бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
Гэхдээ энэ хэмжигдэхүүнийг Гауссын теоремоор илэрхийлж болно. Хэрэв бид бөмбөгний гаднах талбайг сонирхож байгаа бол жишээлбэл, SI болон (13) -тай харьцуулбал бид олох болно.
SGSE нэгжийн системд мэдээжийн хэрэг,
Тиймээс бөмбөгний гадна талбайн хүч нь бөмбөгний төвд байрлуулсан цэгийн цэнэгийнхтэй ижил байна. Хэрэв бид бөмбөгний доторх талбайг сонирхож байгаа бол, өөрөөр хэлбэл, бөмбөгний гадаргуу дээр тархсан бүх цэнэг нь бөмбөрцгийн гадна байрладаг тул бидний оюун ухаанаар зурсан. Тиймээс бөмбөг дотор талбар байхгүй:
Үүний нэгэн адил Гауссын теоремыг ашиглан хязгааргүй цэнэгийн үүсгэсэн электростатик талбайг тооцоолж болно.
хавтгайн бүх цэгүүдэд тогтмол нягттай хавтгай. Тэгш хэмийн шалтгааны улмаас хүчний шугамууд нь хавтгайд перпендикуляр, түүнээс хоёр чиглэлд чиглэсэн, хаа сайгүй ижил нягттай байна гэж бид үзэж болно. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв өөр өөр цэгүүд дэх талбайн шугамын нягтрал өөр байсан бол цэнэглэгдсэн хавтгайг өөрөө хөдөлгөх нь эдгээр цэгүүдийн талбайн өөрчлөлтөд хүргэдэг бөгөөд энэ нь системийн тэгш хэмтэй зөрчилддөг - ийм шилжилт нь талбарыг өөрчлөх ёсгүй. Өөрөөр хэлбэл хязгааргүй жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн талбар жигд байна.
Гауссын теоремыг хэрэгжүүлэх хаалттай гадаргуугийн хувьд бид цилиндрийн гадаргууг дараах байдлаар сонгоно: цилиндрийн үүсгэгч нь хүчний шугамтай параллель, суурь нь цэнэглэгдсэн хавтгайтай параллель талбайтай бөгөөд түүний эсрэг талд байрладаг. (Зураг 12). Хажуугийн гадаргуугаар дамжих талбайн хүч чадлын урсгал нь тэг тул хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь цилиндрийн суурийн дундуур урсах урсгалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Цагаан будаа. 12. Нэг жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн талбайн хүчийг тооцоолох тал руу
Гауссын теоремын дагуу ижил урсгал нь цилиндр дотор байрлах онгоцны хэсгийн цэнэгээр тодорхойлогддог бөгөөд SI-д энэ нь тэнцүү байна урсгалын эдгээр илэрхийллүүдийг харьцуулж үзвэл бид олж авна.
SGSE системд жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтгайн талбайн хүчийг томъёогоор тодорхойлно
Хязгаарлагдмал хэмжээстэй жигд цэнэглэгдсэн хавтангийн хувьд олж авсан илэрхийлэл нь хавтангийн ирмэгээс хангалттай хол, түүний гадаргуугаас холгүй бүсэд ойролцоогоор хүчинтэй байна. Хавтангийн ирмэгийн ойролцоо талбай нь жигд байхаа больж, талбайн шугамууд нь нугалж байх болно. Хавтангийн хэмжээтэй харьцуулахад маш том зайд талбар нь цэгийн цэнэгийн талбайтай адил зайнаас багасдаг.
Тэгш хэмтэй тархсан эх үүсвэрээс үүссэн талбаруудын бусад жишээнд хязгааргүй шулуун утасны уртын дагуу жигд цэнэглэгдсэн талбар, жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй дугуй цилиндрийн талбар, бөмбөгний талбар,
эзлэхүүний туршид жигд цэнэглэгдсэн гэх мэт Гауссын теорем нь эдгээр бүх тохиолдолд талбайн хүчийг хялбархан тооцоолох боломжийг олгодог.
Гауссын теорем нь талбай ба түүний эх үүсвэрүүдийн хоорондын хамаарлыг өгдөг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн цэнэгүүдээс цахилгаан талбайг тодорхойлох боломжийг олгодог Кулоны хуулиар өгөгдсөнөөс эсрэг утгатай юм. Гауссын теоремыг ашиглан цахилгаан орны тархалт мэдэгдэж байгаа орон зайн аль ч муж дахь нийт цэнэгийг тодорхойлж болно.
Цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийг тайлбарлахдаа холын болон ойрын зайн үйл ажиллагааны ойлголтуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Эдгээр ойлголтуудыг таталцлын харилцан үйлчлэлд хэр зэрэг хэрэглэж болох вэ?
Цахилгаан орны хүч гэж юу вэ? Үүнийг цахилгаан талбайн хүчний шинж чанар гэж нэрлэвэл тэд юу гэсэн үг вэ?
Талбайн шугамын загвараас тодорхой цэг дэх талбайн хүч чадлын чиглэл, хэмжээг хэрхэн дүгнэх вэ?
Цахилгаан талбайн шугамууд огтлолцож чадах уу? Хариулах шалтгаанаа хэл.
Хоёр цэнэгийн цахилгаан статик талбайн шугамын чанарын зургийг зур.
Хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан талбайн хүч чадлын урсгалыг GSE болон SI нэгжид өөр өөр томъёогоор (11) ба (12) илэрхийлдэг. Гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоогоор тодорхойлогддог урсгалын геометрийн утгатай үүнийг хэрхэн уялдуулах вэ?
Гауссын теоремыг үүсгэж байгаа цэнэгүүд тэгш хэмтэй тархсан үед цахилгаан орны хүчийг хэрхэн олох вэ?
Сөрөг цэнэгтэй бөмбөгний талбайн хүчийг тооцоолохын тулд (14) ба (15) томъёог хэрхэн ашиглах вэ?
Гауссын теорем ба физик орон зайн геометр.Гауссын теоремын баталгааг арай өөр өнцгөөс харцгаая. Цэнэг тойрсон бөмбөрцөг гадаргуугаар ижил тооны хүчний шугам дамждаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн томъёо (7) руу буцъя. Энэ дүгнэлт нь тэгш байдлын хоёр талын хуваагч багассантай холбоотой юм.
Баруун талд энэ нь Кулоны хуулиар тодорхойлсон цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүч нь цэнэгийн хоорондох зайны квадраттай урвуу пропорциональ байдгаас үүссэн. Зүүн талд харагдах байдал нь геометртэй холбоотой: бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь түүний радиусын квадраттай пропорциональ байна.
Гадаргуугийн талбайн шугаман хэмжээсийн квадраттай пропорциональ байдал нь гурван хэмжээст орон зай дахь Евклидийн геометрийн онцлог шинж юм. Үнэн хэрэгтээ талбайн пропорциональ байдал нь бусад бүхэл тоонд биш, харин шугаман хэмжээсийн квадратуудтай яг таарах нь орон зайн шинж чанар юм.
гурван хэмжээс. Энэ илтгэгч нь хоёртой яг тэнцүү, хоёроос өчүүхэн бага хэмжээгээр ч ялгаагүй байгаа нь энэ гурван хэмжээст орон зай муруй биш, өөрөөр хэлбэл түүний геометр нь яг Евклидийнх гэдгийг харуулж байна.
Тиймээс Гауссын теорем нь цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн үндсэн хуульд физик орон зайн шинж чанаруудын илрэл юм.
Физикийн үндсэн хуулиуд болон сансар огторгуйн шинж чанаруудын хооронд нягт уялдаатай байх санааг эдгээр хуулиудыг бий болгохоос өмнө олон гайхалтай оюун ухаанууд илэрхийлж байсан. Ийнхүү Кулоны хуулийг нээхээс гучин жилийн өмнө И.Кант сансар огторгуйн шинж чанаруудын тухай бичихдээ: “Одоо байгаа ертөнц дэх бодисууд бие биедээ үйлчилдэг тул үйл ажиллагааны хүч нь 3 хэмжээст байдаг тул гурван хэмжээст байдал үүсдэг бололтой. зайны квадраттай урвуу пропорциональ."
Кулоны хууль ба Гауссын теорем нь үнэндээ өөр өөр хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн байгалийн ижил хуулийг илэрхийлдэг. Кулоны хууль нь алсын зайн үйл ажиллагааны тухай ойлголтыг тусгадаг бол Гауссын теорем нь орон зайг дүүргэх хүчний талбар, өөрөөр хэлбэл ойрын зайн үйл ажиллагааны тухай ойлголтоос гаралтай. Электростатикийн хувьд хүчний талбайн эх үүсвэр нь цэнэг бөгөөд эх үүсвэртэй холбоотой талбайн шинж чанар - эрчим хүчний урсгал нь өөр цэнэг байхгүй хоосон орон зайд өөрчлөгдөх боломжгүй юм. Урсгалыг хээрийн шугамын багц хэлбэрээр төсөөлж болох тул урсгалын хувиршгүй байдал нь эдгээр шугамын тасралтгүй байдалд илэрдэг.
Зайны квадраттай харилцан үйлчлэлийн урвуу пропорциональ байдал ба суперпозиция (харилцан үйлчлэлийн нэмэгдэл) зарчим дээр үндэслэсэн Гауссын теорем нь урвуу квадрат хууль үйлчилдэг аливаа физик талбарт хамаарна. Ялангуяа таталцлын талбайн хувьд энэ нь бас үнэн юм. Энэ нь зүгээр нэг санамсаргүй тохиолдол биш, харин гурван хэмжээст Евклидийн физик орон зайд цахилгаан ба таталцлын харилцан үйлчлэл хоёулаа явагддагийн тусгал болох нь тодорхой байна.
Гауссын теорем нь цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хуулийн ямар шинж чанарт үндэслэсэн бэ?
Гауссын теорем дээр үндэслэн цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны хүч нь зайны квадраттай урвуу хамааралтай болохыг батал. Энэ нотолгоонд орон зайн тэгш хэмийн ямар шинж чанаруудыг ашигласан бэ?
Кулоны хууль болон Гауссын теоремд физик орон зайн геометр хэрхэн тусгагдсан бэ? Эдгээр хуулиудын ямар онцлог нь геометрийн Евклидийн шинж чанар, физик орон зайн гурван хэмжээст байдлыг илтгэдэг вэ?
