Квадрат тэгшитгэлийг онлайнаар шийдээрэй. Тэгшитгэлийн шийдлүүд x2 = a Тэгшитгэлийн шийдийг шалгаж байна

7-р ангийн математикийн хичээл дээр бид анх удаа уулзаж байна хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл, гэхдээ тэдгээрийг зөвхөн хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийн хүрээнд судалдаг. Тийм ч учраас тэдгээрийг хязгаарлаж буй тэгшитгэлийн коэффициентүүд дээр тодорхой нөхцлүүдийг оруулсан бүхэл бүтэн цуврал асуудлууд харагдахгүй байна. Нэмж дурдахад "Тэгшитгэлийг натурал буюу бүхэл тоогоор шийдвэрлэх" гэх мэт асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг үл тоомсорлодог боловч энэ төрлийн асуудлуудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын материал, элсэлтийн шалгалтанд илүү олон удаа олдог.

Аль тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэж нэрлэх вэ?

Жишээлбэл, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, эсвэл xy = 12 тэгшитгэлүүд нь хоёр хувьсагчийн тэгшитгэл юм.

2x – y = 1 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь x = 2 ба у = 3 үед үнэн болох тул хувьсагчийн энэ хос утга нь тухайн тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Тиймээс хоёр хувьсагчтай аливаа тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ тэгшитгэлийг жинхэнэ тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг хувьсагчдын утгууд (x; y) дараалсан хосуудын багц юм.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь:

A) нэг шийдэл байна.Жишээлбэл, x 2 + 5y 2 = 0 тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй (0; 0);

б) олон шийдэлтэй.Жишээлбэл, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 нь 4 шийдэлтэй байна: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) шийдэл байхгүй.Жишээлбэл, x 2 + y 2 + 1 = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;

G) хязгааргүй олон шийдэлтэй.Жишээлбэл, x + y = 3. Энэ тэгшитгэлийн шийдүүд нь нийлбэр нь 3-тай тэнцүү тоонууд байх болно. Энэ тэгшитгэлийн шийдүүдийн багцыг (k; 3 – k) хэлбэрээр бичиж болно, энд k нь дурын бодит байна. тоо.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь хүчин зүйлийн илэрхийлэлд суурилсан аргууд, бүтэн квадратыг тусгаарлах, квадрат тэгшитгэлийн шинж чанарыг ашиглах, хязгаарлагдмал илэрхийлэл, үнэлгээний аргууд юм. Тэгшитгэлийг ихэвчлэн үл мэдэгдэхийг олох системийг олж авах хэлбэр болгон хувиргадаг.

Факторжуулалт

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийд: xy – 2 = 2x – y.

Шийдэл.

Хүчин зүйлд хуваах зорилгоор бид нэр томъёог бүлэглэдэг:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Хаалт бүрээс нийтлэг хүчин зүйлийг гаргана:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Бидэнд:

y = 2, x – дурын бодит тоо эсвэл x = -1, y – дурын бодит тоо.

Тиймээс, Хариулт нь (x; 2), x € R ба (-1; y), y € R хэлбэрийн бүх хосууд юм.

Сөрөг бус тоонуудын тэгш байдал

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийг шийд: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Шийдэл.

Бүлэглэх:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Одоо хаалт бүрийг квадратын зөрүүний томъёог ашиглан нугалж болно.

(3х – 2) 2 + (2у – 3) 2 = 0.

Хоёр сөрөг бус илэрхийллийн нийлбэр нь зөвхөн 3x – 2 = 0, 2y – 3 = 0 үед л тэг болно.

Энэ нь x = 2/3, y = 3/2 гэсэн үг юм.

Хариулт: (2/3; 3/2).

Тооцооллын арга

Жишээ 3.

Тэгшитгэлийг шийд: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Шийдэл.

Хаалт бүрт бид бүрэн квадратыг сонгоно:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Тооцоолъё хаалтанд байгаа илэрхийллийн утга.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ба (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 бол тэгшитгэлийн зүүн тал үргэлж хамгийн багадаа 2 байна. Дараах тохиолдолд тэгш байдал боломжтой болно.

(x + 1) 2 + 1 = 1 ба (y – 2) 2 + 2 = 2 бөгөөд энэ нь x = -1, y = 2 гэсэн үг юм.

Хариулт: (-1; 2).

Хоёрдугаар зэргийн хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэх өөр аргатай танилцацгаая. Энэ арга нь тэгшитгэлийг дараах байдлаар авч үзэхээс бүрдэнэ зарим нэг хувьсагчийн хувьд квадрат.

Жишээ 4.

Тэгшитгэлийг шийд: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг х-ийн квадрат тэгшитгэл болгон шийдье. Ялгаварлагчийг олцгооё:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Тэгшитгэл нь зөвхөн D = 0, өөрөөр хэлбэл у = 4 үед л шийдтэй байх болно. Бид анхны тэгшитгэлд у-ийн утгыг орлуулж, x = 3 гэдгийг олно.

Хариулт: (3; 4).

Ихэнхдээ хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлд тэдгээрийг заадаг хувьсагчийн хязгаарлалт.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийд: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг x 2 = -5y 2 + 20x + 2 хэлбэрээр дахин бичье. Үүссэн тэгшитгэлийн баруун тал нь 5-д хуваагдахад 2-ын үлдэгдэл гарна. Тиймээс x 2 нь 5-д хуваагдахгүй. Харин a-ийн квадрат 5-д хуваагддаггүй тоо нь 1 эсвэл 4-ийн үлдэгдлийг өгдөг. Тиймээс тэгш байдал боломжгүй бөгөөд шийдэл байхгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

Жишээ 6.

Тэгшитгэлийг шийд: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Шийдэл.

Хаалт бүр дэх бүтэн квадратуудыг тодруулцгаая:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь үргэлж 3-аас их буюу тэнцүү байна. Тэгш байж болно |x| – 2 = 0 ба у + 3 = 0. Тиймээс x = ± 2, у = -3.

Хариулт: (2; -3) ба (-2; -3).

Жишээ 7.

Тэгшитгэлийг хангадаг сөрөг бүхэл тоо (x;y) бүрийн хувьд
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, нийлбэрийг (x + y) тооцоол. Хариултдаа хамгийн бага дүнг бичнэ үү.

Шийдэл.

Бүрэн квадратуудыг сонгоцгооё:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Х ба у нь бүхэл тоо тул квадратууд нь мөн бүхэл тоо болно. Бид 1 + 36-г нэмбэл хоёр бүхэл тооны квадратуудын нийлбэр нь 37-той тэнцэнэ. Тиймээс:

(x – y) 2 = 36 ба (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ба (y + 2) 2 = 36.

Эдгээр системийг шийдэж, x ба y нь сөрөг байгааг харгалзан бид шийдлүүдийг олдог: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Хариулт: -17.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүндрэлтэй байгаа бол цөхрөл бүү зов. Бага зэрэг дасгал хийснээр та ямар ч тэгшитгэлийг даван туулж чадна.

Асуулт хэвээр байна уу? Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

I. Шугаман тэгшитгэл

II. Квадрат тэгшитгэл

сүх 2 + bx +в= 0, а≠ 0, эс тэгвээс тэгшитгэл шугаман болно

Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг янз бүрийн аргаар тооцоолж болно, жишээлбэл:

Бид квадрат тэгшитгэлийг шийдэхдээ сайн. Өндөр зэрэгтэй олон тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

III. Тэгшитгэлийг квадрат болгон бууруулсан.

хувьсагчийн өөрчлөлт: a) биквадрат тэгшитгэл сүх 2н+ bx n+ в = 0,а ≠ 0,n ≥ 2

2) 3-р зэргийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл - хэлбэрийн тэгшитгэл

3) 4-р зэргийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл - хэлбэрийн тэгшитгэл

сүх 4 + bx 3 + cx 2 +bx + а = 0, а≠ 0, коэффициентүүд a b c b a эсвэл

сүх 4 + bx 3 + cx 2 –bx + а = 0, а≠ 0, коэффициентүүд a b c (–b) a

Учир нь x= 0 нь тэгшитгэлийн үндэс биш бол тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж болно. x 2, дараа нь бид авна: .

Орлуулалт хийснээр квадрат тэгшитгэлийг шийднэ а(т 2 – 2) + bt + в = 0

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдье x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0, хоёр талыг хуваана x 2 ,

, орлуулсны дараа бид тэгшитгэлийг авна т 2 – 2т – 3 = 0

- тэгшитгэл нь үндэсгүй.

4) Маягтын тэгшитгэл ( х–а)(х–б)(x–c)(x–d) = Сүх 2, коэффициентүүд ab = cd

Жишээлбэл, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. 1-4 ба 2-3 хаалтыг үржүүлснээр бид ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2, тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа x 2, бид авна:

Бидэнд байгаа ( т+ 14)(т + 11) = 4.

5) 2-р зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл - P(x,y) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, P(x,y) нь гишүүн бүр нь 2-р зэрэгтэй олон гишүүнт юм.

Хариулт: -2; -0.5; 0

IV. Дээрх бүх тэгшитгэлүүд нь танигдахуйц бөгөөд ердийн зүйл боловч дурын хэлбэрийн тэгшитгэлийн талаар юу хэлэх вэ?

Олон гишүүнтийг өгье П n ( x) = а n x n+ а n-1 x n-1 + ...+ а 1x+ а 0, хаана а n ≠ 0

Тэгшитгэлийн зэргийг багасгах аргыг авч үзье.

Энэ нь мэдэгдэж байгаа бол коэффициентүүд абүхэл тоонууд ба а n = 1, дараа нь тэгшитгэлийн бүхэл язгуурууд П n ( x) = 0 нь чөлөөт гишүүний хуваагчдад байна а 0 . Жишээлбэл, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0, 5 тооны хуваагч нь 5 тоо; -5; 1; -1. Дараа нь П 4 (1) = 0, өөрөөр хэлбэл. x= 1 нь тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгшитгэлийн зэрэглэлийг бууруулъя П 4 (x) = 0 "булантай" олон гишүүнтийг х –1 хүчин зүйлд хуваах замаар бид олж авна.

П 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Үүний нэгэн адил, П 3 (1) = 0, тэгвэл П 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5), өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэл П 4 (x) = 0 нь үндэстэй x 1 = x 2 = 1. Энэ тэгшитгэлийн богино шийдийг үзүүлье (Хорнерын схемийг ашиглан).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

гэсэн үг, x 1 = 1 гэсэн үг x 2 = 1.

Тиймээс, ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Бид юу хийсэн бэ? Бид тэгшитгэлийн зэрэглэлийг бууруулсан.

V. 3 ба 5-р зэргийн тэгш хэмтэй тэгшитгэлүүдийг авч үзье.

A) сүх 3 + bx 2 + bx + а= 0, ойлгомжтой x= –1 нь тэгшитгэлийн язгуур бөгөөд дараа нь тэгшитгэлийн зэргийг хоёр болгон бууруулна.

б) сүх 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + а= 0, ойлгомжтой x= –1 нь тэгшитгэлийн язгуур бөгөөд дараа нь тэгшитгэлийн зэргийг хоёр болгон бууруулна.

Жишээлбэл, 2-р тэгшитгэлийн шийдлийг үзүүлье x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

x = –1

Бид авдаг ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс нь: 1; 1; -1; -2; -0.5.

VI. Анги болон гэртээ шийдэх янз бүрийн тэгшитгэлүүдийн жагсаалтыг энд оруулав.

Би уншигчдад 1-7-р тэгшитгэлийг өөрөө шийдэж, хариултыг авахыг санал болгож байна ...

Квадрат тэгшитгэлийг 8-р ангид судалдаг тул энд төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвар нь зайлшгүй шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a, b, c коэффициентүүд нь дурын тоо, a ≠ 0 байна.

Тодорхой шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө бүх квадрат тэгшитгэлийг гурван ангилалд хувааж болохыг анхаарна уу.

1. Тэд үндэсгүй;
2. Яг нэг үндэстэй байх;
3. Тэд хоёр өөр үндэстэй.

Энэ нь квадрат тэгшитгэл ба шугаман тэгшитгэлийн хоорондох чухал ялгаа бөгөөд үндэс нь үргэлж байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнд гайхалтай зүйл бий - ялгаварлагч.

Ялгаварлан гадуурхагч

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье.Тэгвэл дискриминант нь зүгээр л D = b 2 − 4ac тоо болно.

Та энэ томъёог цээжээр мэдэх хэрэгтэй. Энэ нь хаанаас ирсэн нь одоо чухал биш. Өөр нэг чухал зүйл бол ялгаварлагчийн тэмдгээр квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлох боломжтой. Тухайлбал:

1. Хэрэв Д< 0, корней нет;
2. Хэрэв D = 0 бол яг нэг үндэс байна;
3. Хэрэв D > 0 бол хоёр үндэс байх болно.

Анхаарна уу: ялгаварлан гадуурхагч нь ямар нэг шалтгааны улмаас олон хүн итгэдэг тул тэдгээрийн шинж тэмдгүүдийн тоог огт илэрхийлдэггүй. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5х 2 + 3х + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Эхний тэгшитгэлийн коэффициентийг бичээд ялгагчийг олъё.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Тэгэхээр дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар шинжилдэг.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Хамгийн сүүлд үлдсэн тэгшитгэл нь:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ялгаварлагч нь тэг - үндэс нь нэг байх болно.

Тэгшитгэл бүрийн хувьд коэффициентүүдийг бичсэн болохыг анхаарна уу. Тийм ээ, энэ нь урт, тийм ээ, уйтгартай, гэхдээ та боломжоо хольж, тэнэг алдаа гаргахгүй. Өөртөө зориулж сонгох: хурд эсвэл чанар.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та үүнийг ойлговол хэсэг хугацааны дараа бүх коэффициентийг бичих шаардлагагүй болно. Та толгой дээрээ ийм үйлдлүүдийг хийх болно. Ихэнх хүмүүс үүнийг 50-70 шийдэгдсэн тэгшитгэлийн дараа хаа нэгтээ хийж эхэлдэг - ерөнхийдөө тийм ч их биш.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Одоо шийдэл рүүгээ шилжье. Дискриминант D > 0 бол үндсийг дараах томъёогоор олно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үндсэн томъёо

D = 0 үед та эдгээр томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно - та ижил тоог авах бөгөөд энэ нь хариулт болно. Эцэст нь хэрэв Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Эхний тэгшитгэл:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэднийг олцгооё:

Хоёр дахь тэгшитгэл:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл дахин хоёр үндэстэй. Тэднийг олъё

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь гурав дахь тэгшитгэл:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Ямар ч томьёог ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхнийх нь:

Жишээнүүдээс харахад бүх зүйл маш энгийн. Хэрэв та томьёо мэддэг, тоолж чаддаг бол ямар ч асуудал гарахгүй. Ихэнхдээ сөрөг коэффициентийг томъёонд орлуулах үед алдаа гардаг. Дахин хэлэхэд дээр дурдсан техник нь туслах болно: томьёог шууд утгаар нь харж, алхам бүрийг бичээрэй - тун удахгүй та алдаанаасаа салах болно.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь тодорхойлолтод өгөгдсөнөөс арай өөр байх тохиолдол гардаг. Жишээлбэл:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Эдгээр тэгшитгэлд нэр томъёоны аль нэг нь дутуу байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Ийм квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь стандарт тэгшитгэлээс илүү хялбар байдаг: тэд ялгаварлагчийг тооцоолох шаардлагагүй. Ингээд шинэ ойлголтыг танилцуулъя:

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг b = 0 эсвэл c = 0 бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагч х буюу чөлөөт элементийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх үед маш хэцүү тохиолдол гарч болзошгүй: b = c = 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь ax 2 = 0 хэлбэртэй байна. Ийм тэгшитгэл нь нэг язгууртай нь ойлгомжтой: x = 0.

Үлдсэн тохиолдлуудыг авч үзье. b = 0 гэж үзье, тэгвэл бид ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг олж авна. Үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

Арифметик квадрат язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тоон дээр байдаг тул сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн (−c /a) ≥ 0-д утга учиртай болно. Дүгнэлт:

1. ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдал хангагдсан бол хоёр үндэстэй болно. Томъёог дээр дурдсан болно;
2. Хэрэв (−c /a)< 0, корней нет.

Таны харж байгаагаар дискриминант шаардлагагүй - бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд нарийн төвөгтэй тооцоо огт байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдлыг санах ч шаардлагагүй. x 2 утгыг илэрхийлж, тэнцүү тэмдгийн нөгөө талд юу байгааг харахад хангалттай. Хэрэв эерэг тоо байвал хоёр үндэстэй болно. Хэрэв энэ нь сөрөг байвал үндэс байхгүй болно.

Одоо чөлөөт элемент нь тэгтэй тэнцүү ax 2 + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг харцгаая. Энд бүх зүйл энгийн: үргэлж хоёр үндэс байх болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэхэд хангалттай:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж байна

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Үндэс нь эндээс гардаг. Эцэст нь хэлэхэд, эдгээр тэгшитгэлийн заримыг харцгаая.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5х 2 + 30 = 0;
3. 4х 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Үндэс байхгүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

a дурын тоо байж болох x^2=a тэгшитгэлийг авч үзье. a (a0) тоо авах утгаас хамааран энэ тэгшитгэлийг шийдэх гурван тохиолдол байдаг.

Тохиолдол бүрийг тусад нь авч үзье.

x^2=a тэгшитгэлийн янз бүрийн тохиолдлын жишээ

x^2=a, a-ийн хувьд<0

Аливаа бодит тооны квадрат нь сөрөг тоо байж болохгүй тул x^2=a тэгшитгэл нь a

x^2=a, a=0-тэй

Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна. Энэ язгуур нь 0 тоо. Тэгшитгэлийг x*x=0 гэж дахин бичиж болох тул заримдаа энэ тэгшитгэлийг өөр хоорондоо тэнцүү, 0-тэй тэнцүү хоёр үндэстэй гэж хэлдэг.

x^2=a, a>0-ийн хувьд

Энэ тохиолдолд x^2=a тэгшитгэлийг a хувьд дараах байдлаар шийднэ. Эхлээд бид зүүн тал руу шилжинэ.

Квадрат язгуурын тодорхойлолтоос үзэхэд a-г дараах хэлбэрээр бичиж болно: a=(√a)^2. Дараа нь тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

x^2 - (√a)^2 = 0.

Зүүн талд бид квадратуудын зөрүүний томъёог харж байна, үүнийг өргөжүүлье.

(x+√a)*(x-√a)=0;

Хоёр хаалтны үржвэр нь ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс,

Эндээс x1=√a x2=-√a болно.

Энэ шийдлийг график зурах замаар шалгаж болно.

Жишээлбэл, x^2 = 4 тэгшитгэлийн хувьд үүнийг хийцгээе.

Үүнийг хийхийн тулд та y=x^2 ба y=4 гэсэн хоёр график байгуулах хэрэгтэй. Мөн тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийн х координатыг хар. Үндэс нь 2 ба -2 байх ёстой. Зураг дээр бүх зүйл тодорхой харагдаж байна.

Хичээлдээ тусламж хэрэгтэй байна уу?

Өмнөх сэдэв:

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

Эндээс бид 3 * x – 1 = 0 нэг тэгшитгэл байгааг харж байна.

Бид 3 * x – 1 = 0 хэлбэртэй шугаман тэгшитгэлийг авсан

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид тэгшитгэл ямар шинж чанартай болохыг тодорхойлно.

• Тэгшитгэл нь шугаман бөгөөд * x + b = 0 хэлбэрээр бичигдсэн бөгөөд a ба b нь дурын тоо;
• a = b = 0 үед тэгшитгэл нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна;
• Хэрэв a = 0, b ≠ 0 бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;
• Хэрэв a ≠ 0, b = 0 бол тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x = 0;
• Хэрэв a ба b нь 0-ээс өөр тоо байвал язгуурыг дараах томъёогоор олно x = - b/a.

Эндээс бид a = 3, b = - 1 гэсэн утгыг олж авдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм.

Тэгшитгэлийн шийдлийг шалгаж байна

Анхны илэрхийлэлд олсон x = 1/3 утгыг орлуулъя |3 * x - 1| = 0, дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Илэрхийллийн утгыг олохын тулд бид эхлээд үржүүлэх эсвэл хуваах үйлдлийг ээлжлэн тооцож, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг хийдэг. Өөрөөр хэлбэл, бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ нь x = 1/3 нь |3 * x - 1| тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Модуль нь нэмэх ба хасах тэмдгээр нээгдэнэ. Бид 2 тэгшитгэл авдаг:

1) 3 * x - 1 = 0;

Бид мэдэгдэж буй утгыг нэг тал руу, үл мэдэгдэх утгыг нөгөө тал руу шилжүүлдэг. Утга шилжүүлэх үед тэдгээрийн тэмдэг нь эсрэг тэмдэг рүү өөрчлөгддөг. Өөрөөр хэлбэл, бид дараахь зүйлийг авна.
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Хаалт нээх. Хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа тул тэдгээрийг өргөтгөхөд утгын тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө. Өөрөөр хэлбэл, бид дараахь зүйлийг авна.
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Хариулт: x = 1/3.