II бүлэг. Сансар дахь аналитик геометр. Гадаргуугийн тэгшитгэл F(x,y,z)=0 Xy хавтгай тэгшитгэл

Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын Oxyz системийг авч үзье.

Гадаргуугийн тэгшитгэлТэгшитгэлийг F(x,y,z)=0 гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь гадаргуу дээр байрлах цэг бүрийн координатаар хангагдах ба гадаргуу дээр байрлахгүй цэгүүдийн координатаар хангагддаггүй.

Жишээлбэл, бөмбөрцөг нь бөмбөрцгийн төв гэж нэрлэгддэг тодорхой цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал юм. Тиймээс тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгүүд
О(0.0.0) цэгт төвтэй, R радиустай бөмбөрцөг дээр хэвтэнэ (Зураг 1).

Өгөгдсөн бөмбөрцөгт ороогүй аливаа цэгийн координатууд энэ тэгшитгэлийг хангахгүй.

Орон зай дахь шугамхоёр гадаргуугийн огтлолцлын шугам гэж үзэж болно. Тиймээс 1-р зурагт бөмбөрцөг Окси хавтгайтай огтлолцол нь О цэг дээр төвтэй, R радиустай тойрог юм.

Хамгийн энгийн гадаргуу нь онгоц, орон зайн хамгийн энгийн шугам нь Чигээрээ.

2. Сансар дахь хавтгай.

2.1. Цэг ба хэвийн векторыг ашиглан хавтгайн тэгшитгэл.

Oxyz координатын системд хавтгайг авч үзье (Зураг 2). Түүний байрлалыг векторыг зааж өгснөөр тодорхойлно энэ хавтгайд перпендикуляр ба тогтмол цэг
Энэ онгоцонд хэвтэж байна. Вектор
хавтгайд перпендикуляр
дуудсан хэвийн вектор(хэвийн вектор). Хавтгайн дурын M(x,y,z) цэгийг авч үзье . Вектор
хавтгай
хэвийн векторт перпендикуляр байх болно Векторын ортогональ байдлын нөхцөлийг ашиглах
Бид тэгшитгэлийг олж авна: хаана

тэгшитгэл ( 2.2.1 )

цэг ба нормаль вектортой холбоотой хавтгай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид (2.1.1) тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээж, нөхцлүүдийг дахин цэгцэлвэл бид тэгшитгэл буюуAx + By + Cz + D = 0 болно.

D=
.

2.2. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.

Тэгшитгэл Ax + By + Cz +D = 0 ( 2.2.1 )

хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, хаана
- хэвийн вектор.

Энэ тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

1).D = 0. Тэгшитгэл нь: Ax + By + Cz = 0. Ийм хавтгай эхийг дайран өнгөрдөг. Түүний хэвийн вектор

2). C = 0: Ax + By + D = 0
онгоц унц тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
онгоц нь тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 4).

4). A = 0: By + Cz + D = 0

онгоц нь үхрийн тэнхлэгтэй параллель байна (Зураг 5).

5). C = D = 0: Ax + By = 0
онгоц унц тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг (Зураг 6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
онгоц тэнхлэгийг дайран өнгөрдөг (Зураг 7).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
онгоц үхрийн тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг (Зураг 8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||оз
онгоц нь Окси хавтгайтай параллель байна (Зураг 9).

9). B = C = 0: Ax + D = 0

||үхэр
онгоц

П Ойз хавтгайтай параллель (Зураг 10).

10).A = C = 0: By + D = 0

||өө
онгоц нь Oxz хавтгайтай параллель байна (Зураг 11).

Жишээ 1.Цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич
векторт перпендикуляр
Энэ хавтгайн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.

Шийдэл.(2.1.1) томъёоны дагуу бид байна

2x – y + 3z + 3 = 0.

Энэ хавтгайн үхрийн тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг олохын тулд үүссэн тэгшитгэлд y = 0, z = 0-ийг орлуулна.Бид 2x + 3 = 0; x = – 1.5.

Хүссэн хавтгайн үхрийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай байна.

Онгоцны ой тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд x = 0 гэж авъя; z = 0. Бидэнд байна

– y + 3 = 0 y = 3. Тэгэхээр,

Оц тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олохын тулд x = 0; y = 0
3z + 3 = 0
z = – 1. Тэгэхээр,

Хариулт: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Жишээ 2.Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хавтгайг судлах:

a). 3x – y + 2z = 0

б). 2x + z – 1 = 0

V). – y + 5 = 0

Шийдэл. A). Энэ хавтгай нь эхийг (D = 0) дайран өнгөрөх ба хэвийн вектортой байна

б). Eq-д.
коэффициентВ = 0. Иймд
Онгоц нь тэнхлэгтэй параллель байна.

V). Тэгшитгэлд – y + 5 = 0, коэффициентүүд нь A = 0, C = 0. Энэ нь гэсэн үг юм.

Онгоц нь oxz хавтгайтай параллель байна.

G). B = 0, C = 0 үед хавтгай нь ойз хавтгайтай параллель байх тул D = 0 нөхцлөөс харахад уг онгоц эхийг дайран өнгөрдөг тул x = 0 тэгшитгэл нь ойз хавтгайг тодорхойлдог.

Жишээ 3.А(2,3,1) цэгийг дайран өнгөрөх, векторт перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг бич.
Энд B(1,0, –1), C(–2,2,0).

Шийдэл.Векторыг олъё

Вектор
нь A(2,3,1) цэгээр дамжин өнгөрөх хүссэн хавтгайн хэвийн вектор юм. (2.1.1) томъёоны дагуу бид:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x – 2y – z + 1 = 0.

Хариулт: 3x – 2y – z + 1 = 0.

2.3. Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл.

Нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг нь нэг хавтгайг тодорхойлдог (12-р зургийг үз). Цэгүүд нэг шулуун дээр хэвтэж болохгүй. Хавтгайн тэгшитгэлийг бий болгохын тулд та хавтгайн нэг цэг болон хэвийн векторыг мэдэх хэрэгтэй. Онгоцонд хэвтэж буй цэгүүд нь мэдэгдэж байна:
Та аль нэгийг нь авч болно. Ердийн векторыг олохын тулд векторуудын вектор үржвэрийн тодорхойлолтыг ашигладаг. Болъё
Тиймээс,
Цэгийн координатыг мэдэх
ба хэвийн вектор (2.1.1) томъёог ашиглан хавтгайн тэгшитгэлийг олъё.

Гурван векторын харьцуулах нөхцөлийг ашиглан өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг өөр аргаар гаргаж болно. Үнэхээр векторууд
Энд M(x,y,z) нь хүссэн хавтгайн дурын цэг, coplanar (13-р зургийг үз). Тиймээс тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь 0 байна:

Холимог бүтээгдэхүүний томъёог координат хэлбэрээр ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

(2.3.1)

Жишээ 1.Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич

Шийдэл.(2.3.1) томъёоны дагуу бид байна

Тодорхойлогчийг өргөжүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Үүссэн хавтгай нь ойн тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний хэвийн вектор

Хариулт: x + z – 4 = 0.

2.4. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг.

Хоёр хавтгай огтлолцож, хосоороо тэнцүү дөрвөн өнцөгт өнцөг үүсгэдэг (14-р зургийг үз). Хоёр өнцөгт өнцгүүдийн нэг нь эдгээр хавтгайн хэвийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна.

Онгоцуудыг өгье:

Тэдний хэвийн векторууд нь координатуудтай:

Вектор алгебраас үүнийг мэддэг
эсвэл

(2.4.1)

Жишээ:Хавтгай хоорондын өнцгийг ол:

Шийдэл:Норматив векторуудын координатыг олъё: Томъёо (2.4.1)-ийг ашиглан бид:

Эдгээр хавтгайг огтолсноор олж авсан хоёр талт өнцгийн нэг нь тэнцүү байна
Та мөн хоёр дахь өнцгийг олж болно:

Хариулт:

2.5. Хоёр хавтгайн зэрэгцээ байх нөхцөл.

Хоёр онгоц өгье:

Тэгээд

Хэрэв эдгээр онгоцууд параллель байвал тэдгээрийн хэвийн векторууд болно

collinear (15-р зургийг үз).

Хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байна.

(2.5.1 )

Эсрэг заалт нь бас үнэн юм: хэрэв хавтгайнуудын хэвийн векторууд нь коллинеар байвал онгоцууд параллель байна.

Жишээ 1.Дараахь хавтгайн аль нь параллель байна:

Шийдэл: A). Нормал векторуудын координатыг бичье.

Тэдний уялдаа холбоог шалгая:

Үүнийг дагадаг

б). Координатуудыг бичье

Хамтарсан байдлыг шалгая:

Векторууд
collinear биш, онгоцууд
зэрэгцээ биш.

Жишээ 2.Цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич

M(2, 3, –2) хавтгайтай параллель байна

Шийдэл:Хүссэн хавтгай нь өгөгдсөн хавтгайтай параллель байна. Тиймээс онгоцны хэвийн вектор хүссэн хавтгайн хэвийн вектор болгон авч болно.
(2.1.1) тэгшитгэлийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулт:
.

Жишээ 3.Ямар a ба b хавтгай параллель байгааг тодорхойлно уу.

Шийдэл:Ердийн векторуудын координатыг бичье.

Онгоцнууд параллель байх тул векторууд
collinear. Нөхцөлөөр (2.5.1)
Тиймээс b = – 2; a = 3.

Хариулт: a = 3; b = -2.

2.6. Хоёр хавтгайн перпендикуляр байдлын нөхцөл.

Хэрэв онгоц бол
перпендикуляр, дараа нь тэдгээрийн хэвийн векторууд
мөн перпендикуляр байна (16-р зургийг үз) Үүнээс үзэхэд тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
эсвэл координатаар:

Энэ бол хоёр хавтгайн перпендикуляр байх нөхцөл юм. Эсрэг заалт нь бас үнэн, өөрөөр хэлбэл (2.6.1) нөхцөл хангагдсан бол векторууд
иймээс,

Жишээ 1.Дараах хавтгайнуудын аль нь перпендикуляр байна:

Шийдэл: A). Ердийн векторуудын координатыг бичье.

Тэдний ортогональ байдлыг шалгая:

Үүнийг дагадаг

б). Ердийн векторуудын координатыг бичье.

өөрөөр хэлбэл онгоцууд
перпендикуляр биш.

Жишээ 2. m-ийн ямар утгад хавтгайнууд перпендикуляр байх вэ?

Шийдэл:Ердийн векторуудын координатыг бичье.

Тэдний скаляр үржвэрийг олцгооё:

Онгоцнууд перпендикуляр байдаг тул
Тиймээс 4 – 2м = 0;

Хариулт:м = 2.

2.7. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай.

Нэг оноо өгье
болон онгоц

Бид цэгээс зайг (17-р зургийг үз) томъёогоор олно.

(2.7.1 )

Жишээ: M(3, 9, 1) цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол

Шийдэл:Бид томъёог (2.7.1) хэрэглэнэ, энд A = 1, B = – 2, C = 2, D = –3,

Хариулт:

Координаттай холбоотой эхний зэргийн тэгшитгэл бүр x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

хавтгайг тодорхойлдог ба эсрэгээр: дурын хавтгайг тэгшитгэлээр (3.1) төлөөлж болно. хавтгай тэгшитгэл.

Вектор n(A, B, C) хавтгайд ортогональ гэж нэрлэдэг хэвийн векторонгоц. (3.1) тэгшитгэлд A, B, C коэффициентүүд нэгэн зэрэг 0-тэй тэнцүү биш байна.

Тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - онгоц эхийг дайран өнгөрнө.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - хавтгай нь Оз тэнхлэгтэй параллель байна.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - онгоц Oz тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - хавтгай нь Ойз хавтгайтай параллель байна.

Координатын хавтгайн тэгшитгэл: x = 0, y = 0, z = 0.

Орон зайд шулуун шугамыг тодорхойлж болно:

1) хоёр хавтгайн огтлолцох шугам хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэлийн систем:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

= ; (3.3)

3) түүнд хамаарах M 1 (x 1, y 1, z 1) цэг ба вектор а(m, n, p), үүнтэй collinear. Дараа нь шулуун шугамыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

. (3.4)

(3.4) тэгшитгэлийг дуудна шугамын каноник тэгшитгэл.

Вектор адуудсан чиглэлийн вектор шулуун.

Бид (3.4) харилцаа бүрийг t параметртэй тэнцүүлэх замаар параметрүүдийг олж авна.

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Систем (3.2)-ыг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн систем болгон шийдвэрлэх xТэгээд y, бид шугамын тэгшитгэлд хүрнэ төсөөлөлэсвэл шулуун шугамын өгөгдсөн тэгшитгэлүүд:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

(3.6) тэгшитгэлээс бид каноник тэгшитгэл рүү очиж олох боломжтой zтэгшитгэл бүрээс гаргаж авсан утгыг тэнцүүлэх:

.

Ерөнхий тэгшитгэлээс (3.2) бид өөр аргаар каноник тэгшитгэл рүү шилжиж болно, хэрэв бид энэ шугамын аль нэг цэг болон түүний чиглүүлэх шугамыг олвол n= [n 1 , n 2 ], хаана n 1 (A 1, B 1, C 1) ба n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - өгөгдсөн хавтгайн хэвийн векторууд. Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь бол м, нэсвэл Р(3.4) тэгшитгэл нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах бутархайн тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл. систем

системтэй тэнцүү байна ; ийм шулуун шугам нь Үхрийн тэнхлэгт перпендикуляр байна.

Систем x = x 1, y = y 1 системтэй тэнцүү байна; шулуун шугам нь Оз тэнхлэгтэй параллель байна.

Жишээ 1.15. A(1,-1,3) цэг нь эхээс энэ хавтгайд татсан перпендикулярын суурь болж байгааг мэдэж, хавтгайд тэгшитгэл бич.

Шийдэл.Асуудлын нөхцлийн дагуу вектор О.А(1,-1,3) нь хавтгайн хэвийн вектор бол түүний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно
x-y+3z+D=0. Хавтгайд хамаарах A(1,-1,3) цэгийн координатыг орлуулбал D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11 болно. Тэгэхээр x-y+3z-11=0.

Жишээ 1.16. Оз тэнхлэгийг дайран өнгөрч 2x+y-z-7=0 хавтгайтай 60° өнцөг үүсгэсэн хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.Оз тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайг Ax+By=0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд энд A ба B нь нэгэн зэрэг алга болдоггүй. B болохгүй
тэнцүү 0, A/Bx+y=0. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийн косинусын томъёог ашиглах

.

3м 2 + 8м - 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид түүний үндсийг олно.
m 1 = 1/3, m 2 = -3, эндээс бид 1/3x+y = 0 ба -3x+y = 0 гэсэн хоёр хавтгайг авна.

Жишээ 1.17.Шугамын каноник тэгшитгэлийг зохио:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Шийдэл.Шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана м, н, х- шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координат, x 1 , y 1 , z 1- шулуунд хамаарах аливаа цэгийн координат. Шулуун шугамыг хоёр хавтгайн огтлолцох шугам гэж тодорхойлдог. Шугаманд хамаарах цэгийг олохын тулд координатуудын аль нэгийг нь тогтоодог (хамгийн хялбар арга бол x=0 гэх мэт) ба үүссэн системийг хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн систем болгон шийддэг. Тэгэхээр x=0, тэгвэл y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, тэгэхээр у=-1, z=1 болно. Бид энэ шулуунд хамаарах M(x 1, y 1, z 1) цэгийн координатуудыг олсон: M (0,-1,1). Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг олоход хялбар бөгөөд анхны хавтгайнуудын хэвийн векторуудыг мэддэг n 1 (5,1,1) ба n 2 (2,3,-2). Дараа нь

Шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Жишээ 1.18. 2x-y+5z-3=0 ба x+y+2z+1=0 хавтгайгаар тодорхойлогдсон цацрагт нэг нь М(1,0,1) цэгийг дайран өнгөрөх хоёр перпендикуляр хавтгайг ол.

Шийдэл.Эдгээр хавтгайгаар тодорхойлсон цацрагийн тэгшитгэл нь u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 хэлбэртэй байх ба энд u ба v нь нэгэн зэрэг арилдаггүй. Цацрагийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

М цэгийг дайран өнгөрч буй цацрагаас хавтгайг сонгохын тулд бид М цэгийн координатыг цацрагийн тэгшитгэлд орлуулна. Бид авах:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, эсвэл v = - u.

Дараа нь цацрагийн тэгшитгэлд v = - u-ийг орлуулах замаар M агуулсан хавтгайн тэгшитгэлийг олно.

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Учир нь у ¹0 (өөрөөр бол v=0, энэ нь цацрагийн тодорхойлолттой зөрчилддөг), тэгвэл бид x-2y+3z-4=0 хавтгайн тэгшитгэлтэй болно. Цацрагт хамаарах хоёр дахь хавтгай нь перпендикуляр байх ёстой. Хавтгайнуудын ортогональ байдлын нөхцөлийг бичье.

(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, эсвэл v = - 19/5u.

Энэ нь хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 эсвэл 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Тэгшитгэл
гадаргуу
F(x,y,z)=0
.

Онгоц. Хавтгайн цэг ба нормаль векторын тэгшитгэл

Онгоцны орон зай дахь байрлал
заримыг нь тохируулах замаар тодорхойлж болно
хавтгай дээрх M0 цэг ба дурын
хэвийн вектор. Ердийн
хавтгай вектор нь дурын
Үүнд перпендикуляр вектор
онгоц.

M0(x0,y0,z0) цэгийг хавтгайд хэвтүүлнэ.
Бид дур зоргоороо нэг зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй
хавтгай M(x,y,z).
z
n(A,B,C)
М
y
М0
x

n(A, B, C) ба M 0 M (x x0 , y y0 , z z0) векторууд
ортогональ.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Хавтгайн тэгшитгэл ба цэгээр
хэвийн вектор.

Жишээ 1:

M(2,3,-1) цэгээр дамжин өнгөрөх
n(1,2, 3) векторт перпендикуляр
Шийдэл:
Томъёоны дагуу: 1(x-2)+2(y-3)-3(z+1)=0
эсвэл x+2y-3z-11=0

Жишээ 2:
Онгоцны тэгшитгэлийг бич,
M(1,0,0) цэгээр дамжин өнгөрөх
n(2,0,1) векторт перпендикуляр .
Шийдэл:
Бид дараахийг авна: 2(x-1)+0(y-0)+1(z-0)=0
эсвэл 2x+z-2=0.

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, үүнийг өргөжүүлье
хаалтанд –Aх0-Ву0-Сz0=D гэж тэмдэглэнэ.
Үзсэн тэгшитгэлийг танилцуулъя
үзэх онгоц:
Ax+By+Cz+D=0 - хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл.
A, B, C коэффициентүүд нь
хэвийн вектор координатууд
онгоц.

Ерөнхий хавтгай тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд

1. A=0, B,C,D≠0 гэж үзье. Дараа нь: By+Cz+D=0.
Хэвийн хавтгай вектор n(0, B, C)
OX тэнхлэгт перпендикуляр, тиймээс
онгоц нь OX тэнхлэгтэй параллель байна.
z
y
x

Ax+Cz+D=0, Ax+By+D=0 тэгшитгэл
op-amp-ийн тэнхлэгүүдтэй параллель хавтгайг илэрхийлэх
болон OZ.
2. D=0, A,B,C≠0. Хавтгай тэгшитгэл:
Ax+By+Cz=0. O(0,0,0) цэг хангана
хавтгай тэгшитгэл. Тэгшитгэлийн багц
эхийг дайран өнгөрөх онгоц
координатууд
3. A=0, D=0, B,C≠0. Хавтгай тэгшитгэл:
+Cz=0. Нэгэн зэрэг онгоц
OX тэнхлэгтэй параллель байх ба эхлэлийг дайран өнгөрдөг
координат, өөрөөр хэлбэл. OX тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг.

Ax+Cz=0, Ax+By=0 тэгшитгэлтэй төстэй
тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх экспресс онгоцууд
OY болон OZ.
4. A=0, B=0, C,D≠0. Хавтгай тэгшитгэл:
Cz+D=0. Нэгэн зэрэг онгоц
OX ба OU тэнхлэгтэй зэрэгцээ, өөрөөр хэлбэл. зохицуулах
OXY онгоц. Eq-тай төстэй.
+D=0, ба Ax+D=0 гэсэн хавтгайг илэрхийлнэ.
OXZ координатын хавтгайтай параллель
болон OYZ.

Жишээ:
Z=3
z
3
y
x

A=0, B=0, D=0, C≠0.
Хавтгай тэгшитгэл: Cz=0 эсвэл z=0. Энэ
онгоц нэгэн зэрэг зэрэгцээ байна
координатын хавтгай OXY, i.e. өөрөө
координатын хавтгай OXY. Үүний нэгэн адил:
y=0 ба x=0 – координатын тэгшитгэл
OXZ болон OYZ онгоцууд.

Өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

Нэг шулуун дээр биш гурван цэг M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) – хавтгайн дурын цэг.
z
М2
М1
М3
М

Векторууд M1M, M 1M 2, M 1 M 3,
хавтгай. Тэд холилдсон
бүтээгдэхүүн нь тэг байна.
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Энэ бол онгоцны хүссэн тэгшитгэл юм.
өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх.

Жишээ. Онгоцны тэгшитгэлийг бич,
M1(1,2,1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх;
М2(0,1,4), М3(-3,3,2).
Шийдэл: Хүлээн авсан зүйлийг ашиглах
тэгшитгэл, бидэнд байна:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Эсвэл 4x+11y+5z-31=0

Хавтгай хоорондын өнцөг, хоёр хавтгайн параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл

Хоёр хавтгай: A1x+B1y+C1z+D1=0 ба
A2x+B2y+C2z+D2=0. Тэдний хэвийн байдал
векторууд n1 (A1, B1, C1), n2 (A2, B2, C2)
Хоёр онгоцны хоорондох өнцөг
тэдгээрийн хэвийн хоорондын өнцөг гэж нэрлэдэг
векторууд
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

Хэрэв онгоцууд перпендикуляр байвал тэдгээр нь
хэвийн векторууд мөн
перпендикуляр, тиймээс
цэгийн бүтээгдэхүүн тэг байна:
A1·A2+B1·B2+C1·C2=0.
Хэрэв онгоцууд зэрэгцээ байвал
тэдгээрийн хэвийн векторууд параллель ба
Энэ нь дараахь харилцааг агуулна гэсэн үг юм.
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Жишээ: Хавтгайн тэгшитгэлийг бич,
M(0,1,4) цэгээр дамжин өнгөрөх
хавтгайтай параллель 2x-4y-z+1=0.
Шийдэл: Өгөгдсөн хэвийн вектор
онгоц хэвийн байх болно
вектор ба хүссэн хавтгайд зориулагдсан.
Бид цэг дээрх хавтгайн тэгшитгэлийг ашигладаг
ба хэвийн вектор:
2(x-0)-4(y-1)-(z-4)=0 эсвэл 2x-4y-z+8=0.

.Цэгээс хавтгай хүртэлх зай

M(x0,y0,z0) цэгээс хүрэх зайг ол
хавтгай: Ax+By+Cz+D=0. Гол цэгээс бууцгаая
M нь хавтгайд (d) MK-д перпендикуляр байна.
z
М
n
К
x
y

K цэгийг x1,y1,z1 координаттай болгоё
n KM n KM d n
Эсвэл n KM A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
K цэг нь хавтгайд байрладаг
координатууд нь тэгшитгэлийг хангана
хавтгай, өөрөөр хэлбэл Ax1+By1+Cz1+D=0.

Үүнийг харгалзан үзвэл бид дараахь зүйлийг авна: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Дараа нь: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
г
Ax0 By 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

Жишээ:
M цэгээс (-1,2,3) хүртэлх зайг ол
хавтгай 2x-6y-3z+2=0.
Шийдэл:
Томьёог ашиглаад орлуулъя
координатын хавтгай тэгшитгэл
өгсөн цэг:
г
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

Орон зайн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл

Орон зай дахь шулуун шугамыг авч үздэг
хоёр хавтгайн огтлолцох шугам шиг.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Хэрэв систем нь шулуун шугамыг тогтоодог
онгоцууд зэрэгцээ биш,
A1 B1 C1
A2 B2 C 2

Орон зайн шугамын каноник тэгшитгэл

Орон зай дахь L шугамын байрлал
мэдэгдэж байгаа бол хоёрдмол утгагүй тодорхойлно
зарим цэг M0(x0,y0,z0) дээр хэвтэж байна
шулуун шугам L ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн
S(m,n,p)
С
М
М0

M(x,y,z) нь үүн дээр дурын цэг юм
Чигээрээ. Дараа нь векторууд
M 0 M =(x-x0, y-y0, z-z0) ба S (m, n, p)
collinear байх болно:
x x0 y y 0 z z 0
м
n
х
- шугамын каноник тэгшитгэлүүд
орон зай эсвэл шулуун шугамын тэгшитгэл
цэг ба чиглэлийн вектор.

Жишээ 1:

М(1,2,3) цэгээр дамжуулан шулуунтай параллель
x 1 y 7 z
2
5
3
Шийдэл:
Шугамууд параллель байх тул S (2,5,3)
чиглэлийн вектор ба хүссэн байна
Чигээрээ. Тиймээс:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

Жишээ 2:
Өнгөрч буй L шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич
M(1,2,3) цэгээр дамжуулан ба байх
S чиглэлийн вектор (2,0,5)
Шийдэл:
Томьёог ашиглая:
x 1 z 3
Тэгээд
2
5
у-2=0,
өөрөөр хэлбэл 5x-2z+1=0 ба у=2. Энэ нь тийм гэсэн үг
шулуун шугам нь y=2 хавтгайд оршдог

Хоёр цэгээс огторгуйн шулуун шугамын тэгшитгэл

M1(x1,y1,z1) ба M2(x2,y2,z2) гэсэн хоёр цэг өгөгдсөн.
Өнгөрч буй шугамын тэгшитгэлийг бич
хоёр цэгээр дамжуулан.
М1
М2

Шулуун шугам нь M1 цэгийг дайран өнгөрч, байна
чиглэлийн векторын хувьд M 1M 2
Тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдаж байна.
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Жишээ: Шугамын тэгшитгэлийг бич,
M1(1,4,-3) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх ба
M2(2,1,1).
Шийдэл: Томъёог ашиглая
x 2 y 1 z 1
1
3
4

Орон зайн шугамын параметрийн тэгшитгэл

Каноник тэгшитгэлийг авч үзье
шулуун шугам: x x0 y y0 z z 0
м
n
х
t параметрийг танилцуулъя:
x x0 y y 0 z z 0
т
м
n
х
-∞ < t <+∞.

Бид авах:
x x0
т
y m y
0
т
n
z z0 t
х
эсвэл
x x0 мт
y y0 nt
z z pt
0
шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл
зай. Энэ хэлбэрээр тэд ихэвчлэн байдаг
механик ба физикт ашигласан параметр t,
ихэвчлэн, цаг.

Орон зай дахь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг доор өгөв
зай
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
Тэдгээрийг каноник хэлбэрт оруулаарай
x x0 y y 0 z z 0
м
n
х

Асуудлыг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй:
1. дурын координатыг (x0,y0,z0) ол
шулуун дээр байрлах цэг
2. чиглүүлэгчийн координатыг (m,n,p) ол
энэ шугамын вектор.
M0 цэгийн координатыг олохын тулд бид өгнө
координатуудын нэг нь дурын тоон утга юм
утгыг жишээ нь бид x=x0 гэж үзнэ. Оруулж ирээд л
(1) системд оруулснаар бид хоёр системийг олж авна
y ба z үл мэдэгдэх тэгшитгэлүүд. Үүнийг шийдье.
Үүний үр дүнд шугаман дээр цэг олдсон
M0(x0,y0,z0).

Бид чиглэлийн векторыг авдаг
үр дүн болох вектор
хэвийн вектор бүтээгдэхүүн
Хоёр хавтгайн векторууд.
S (m, n, p) n1 n2
би
A1
j
B1
А2
B2
к
B1
C1
B2
C2
C1
C2
би
A1
C1
А2
C2
j
A1
B1
А2
B2
к

Бид гарын авлагын координатыг авдаг
вектор:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
х
n
м
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Бичсэн ерөнхий шугамын тэгшитгэл
каноник хэлбэр:
x x0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
А2
А2
B2

Жишээ: Каноник тэгшитгэлийг бич
Чигээрээ
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Шийдэл: z0=0 гэж тохируулъя. Дараа нь:
x 2 y 5
x y 1
Эндээс: y0=-6, x0=7. М0 цэг дээр хэвтэж байна
шулуун шугам, координаттай: (7,-6,0).

Чиглэлийн векторыг олъё. Ердийн
хавтгай векторууд координаттай байдаг
n1 (1,2, 1)
Дараа нь
n2 (1,1,1)
i j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
x 7 y 6 z
3
2
1

Орон зайн хоёр шулууны хоорондох өнцөг, шугамын перпендикуляр ба параллелизмын нөхцөл

L1 ба L2 мөрүүдийг каноник хэлбэрээр өгсөн болно
чиглэлийн векторууд
S 1 (m1, n1, p1) ба S 2 (m2, n2, p2)
x x1 y y1 z z1
м1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
м2
n2
p2

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг өнцөг гэнэ
Тэдний чиглэлийн векторуудын хооронд.
S1 S 2
cos(L1, L2) cos(S1, S2)
S1 S 2
cos(L1 , L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 м22 n22 p22

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байна
Тэдний чиглэлийн векторууд перпендикуляр байна:
Энэ нь S1 S2 0, эсвэл
m1m2+n1n2+p1p2=0.
Зэрэгцээ байвал шугамууд зэрэгцээ байна
чиглэлийн векторууд:
m1 n1
p1
м2 n 2 х 2

Жишээ: Шугамын хоорондох өнцгийг ол
x 2 y 7
z
1
3
2
Тэгээд
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Шийдэл: Шулуун шугамын чиглэлийн векторууд
координаттай байна: (1,3,-2) ба (4,1,2).
Тиймээс,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1 , L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1 , L2) arccos
7 16

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг

P хавтгай өгөгдсөн: Ax+By+Cz+D=0, ба
шулуун L:
x x0 y y 0 z z 0
м
n
х
n
С
ω
φ

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг
шугам ба проекцын хоорондох өнцгийг φ гэж нэрлэдэг
онгоцонд.
ω - хэвийн вектор хоорондын өнцөг
хавтгай ба чиглэлийн вектор
Чигээрээ. ω=π/2-φ. Дараа нь sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. Гэхдээ cosω=cos (n, S)
Дараа нь
н С
sinφ= cos (n, S)
н С

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Жишээ: Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол:
x 2 y 1 z
3
2
6
ба хавтгай: 2x+y+2z-5=0.
Шийдэл: Хэвийн хавтгай вектор
координаттай: (2,1,2), чиглүүлэх
шулуун вектор координаттай байна: (3,2,-6).
нүгэл
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

Шугаман ба хавтгайн перпендикуляр ба параллелизмын нөхцөл.

x x0 y y 0 z z 0
м
n
х
П
L мөр өгөгдсөн:
ба P хавтгай: Ax+By+Cz+D=0.
Хэрэв шугам нь хавтгайтай параллель байвал
чиглэлийн вектор шулуун
хэвийн вектортой перпендикуляр
онгоц.
С
n
Л

Тиймээс тэдний скаляр бүтээгдэхүүн
тэгтэй тэнцүү: A·m+B·n+C·p=0.
Хэрэв шугам нь хавтгайд перпендикуляр байвал
Эдгээр векторууд параллель байна.
С
n
Р
Л
Энэ тохиолдолд:
A B C
m n p

Жишээ:
Шугамын тэгшитгэлийг бич,
M(1,2,-3) цэгээр дамжин өнгөрөх
хавтгайд перпендикуляр
4x+2y-z+5=0.
Шийдэл:
Хавтгай перпендикуляр учраас
шулуун, дараа нь хэвийн вектор ба
Зэрэгцээ чиглэлийн вектор:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

Ердийн асуудлыг авч үзье.
ABCD пирамидын оройг өгвөл: A(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Олно:
1. AB ирмэгийн урт ба тэгшитгэл,
2. ABC нүүрний тэгшитгэл ба талбай,
3. Тэгшитгэл ба өндрийн уртыг орхигдуулсан
D оройноос ABC-тэй нүүр тулж,
4. AD ирмэг ба ABC нүүрний хоорондох өнцөг,
5. Пирамидын эзэлхүүн.

Зурах:
z
Д
C
Б
А
x
y

1. AB векторыг авч үзье. Түүний
координат: (0-1;2-0;0-0), эсвэл (-1;2;0). Урт
AB ирмэг нь векторын модультай тэнцүү байна.
AB= 1 4 0 5
AB шулуун шугамын тэгшитгэл (шулуун шугамын тэгшитгэл
хоёр оноо):
x 1 жил
1 2
Эсвэл 2x+y-2=0

2. ABC нүүрний тэгшитгэл (тэгшитгэл
гурван цэгийн хавтгай):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
Эндээс: (x-1)∙6-y∙(-3)+z∙2=0,
эсвэл 6x+3y+2z-6=0.
ABC гурвалжны талбайг ол
вектор бүтээгдэхүүн ашиглах
AB ба AC векторууд

Вектор координат AB =(-1;2;0),
вектор AC =(-1,0,3).
1
SΔABC= AB AC
квадрат нэгж
2
Вектор урлагийн бүтээл:
би
jk
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

Дараа нь
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3.5 q.åä.
2
2

Өндөр тэгшитгэл - шулуун шугамын тэгшитгэл
цэг D(2,3,4) ба чиглэлийн вектор. IN
чиглүүлэгч вектор болгон -
ABC нүүрний хэвийн вектор: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
Бид өндрийн уртыг олохын тулд ашигладаг
томъёо:
Ax0 By 0 Cz0 D
г
A2 B 2 C 2

Бид авах:
г
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. AD ирмэг ба ABC нүүрний хоорондох өнцөг.
ABC нүүрний тэгшитгэл: 6x+3y+2z-6=0,
хэвийн вектор координаттай байна:
(6,3,2). Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичье.
A(1,0,0) ба D(2,3,4) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

Энэ шулуун нь чиглэлийн вектортой байна
координат: (1,3,4). Дараа нь
нүгэл
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
арксин
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. Пирамидын эзэлхүүн нь эзэлхүүний 1/6
параллелепипед дээр баригдсан
талуудын адил векторууд. Бидний хэрэглэдэг
векторуудын холимог бүтээгдэхүүн.
Вектор координат: AB =(-1,2,0),
AC○ =(-1,0,3), AD =(1,3,4)
○ Vparallelepiped
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vпирамид=23/6 шоо нэгж

Энэ хичээлээр бид тодорхойлогчийг бий болгоход хэрхэн ашиглах талаар авч үзэх болно хавтгай тэгшитгэл. Хэрэв та тодорхойлогч гэж юу болохыг мэдэхгүй бол хичээлийн эхний хэсэг болох "Матриц ба тодорхойлогч" руу очно уу. Үгүй бол та өнөөдрийн материалаас юу ч ойлгохгүй байх эрсдэлтэй.

Гурван цэгийг ашиглан хавтгайн тэгшитгэл

Бидэнд яагаад хавтгай тэгшитгэл хэрэгтэй байна вэ? Энэ нь маш энгийн: бид үүнийг мэдсэнээр C2 асуудлын өнцөг, зай болон бусад зүйлсийг хялбархан тооцоолж чадна. Ерөнхийдөө та энэ тэгшитгэлгүйгээр хийж чадахгүй. Тиймээс бид асуудлыг томъёолж байна:

Даалгавар. Нэг шулуун дээр оршдоггүй орон зайд гурван цэг өгөгдсөн. Тэдний координатууд:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Та эдгээр гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг үүсгэх хэрэгтэй. Үүнээс гадна тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдах ёстой.

Ax + By + Cz + D = 0

Энд A, B, C, D тоонууд нь үнэндээ олох шаардлагатай коэффициентүүд юм.

Зөвхөн цэгүүдийн координатыг мэддэг бол онгоцны тэгшитгэлийг яаж гаргах вэ? Хамгийн хялбар арга бол координатуудыг Ax + By + Cz + D = 0 тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Та амархан шийдэж болох гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Олон оюутнууд энэ шийдлийг туйлын уйтгартай, найдваргүй гэж үздэг. Өнгөрсөн жилийн математикийн улсын нэгдсэн шалгалт тооцооллын алдаа гаргах магадлал үнэхээр өндөр байгааг харуулсан.

Тиймээс хамгийн дэвшилтэт багш нар илүү энгийн, илүү гоёмсог шийдлүүдийг хайж эхлэв. Тэгээд тэд олсон! Үнэн бол олж авсан техник нь дээд математиктай холбоотой байдаг. Би хувьдаа энэ техникийг ямар ч үндэслэл, нотлох баримтгүйгээр ашиглах эрхтэй гэдэгт итгэлтэй байхын тулд Холбооны сурах бичгийн жагсаалтыг бүхэлд нь гүйлгэх шаардлагатай болсон.

Тодорхойлогчоор дамжин хавтгайн тэгшитгэл

Дууны үг хангалттай, ажилдаа орцгооё. Эхлэхийн тулд матрицын тодорхойлогч ба хавтгайн тэгшитгэл хоорондоо хэрхэн холбогддог тухай теорем.

Теорем. Хавтгайг зурах ёстой гурван цэгийн координатыг өгье: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Дараа нь энэ хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлогчоор бичиж болно.

Жишээ болгон, C2 асуудалд үнэхээр тохиолдох хос онгоцыг олохыг хичээцгээе. Бүх зүйл хэр хурдан тооцоолж байгааг хараарай:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Бид тодорхойлогчийг зохиож, үүнийг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Бид тодорхойлогчийг өргөжүүлнэ:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Таны харж байгаагаар d тоог тооцоолохдоо би x, y, z хувьсагчдыг зөв дараалалд оруулахын тулд тэгшитгэлийг бага зэрэг "самнасан". Тэгээд л болоо! Онгоцны тэгшитгэл бэлэн боллоо!

Даалгавар. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Бид цэгүүдийн координатыг тодорхойлогч болгон нэн даруй орлуулна.

Бид тодорхойлогчийг дахин өргөжүүлэв:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Тиймээс онгоцны тэгшитгэлийг дахин олж авлаа! Дахин хэлэхэд, сүүлийн шатанд бид илүү "сайхан" томъёог авахын тулд тэмдэгтүүдийг өөрчлөх шаардлагатай болсон. Энэ шийдэлд үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ асуудлын цаашдын шийдлийг хялбарчлахыг зөвлөж байна.

Таны харж байгаагаар онгоцны тэгшитгэл зохиох нь одоо илүү хялбар болсон. Бид цэгүүдийг матрицад орлуулж, тодорхойлогчийг тооцоолно - тэгээд л тэгшитгэл бэлэн боллоо.

Энэ нь хичээлийг дуусгаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч олон оюутнууд тодорхойлогч дотор юу байдгийг байнга мартдаг. Жишээ нь, аль мөрөнд x 2 эсвэл x 3, аль мөрөнд зөвхөн x орсон байна. Үүнийг арилгахын тулд тоо бүр хаанаас ирснийг харцгаая.

Тодорхойлогчтой томъёо хаанаас гардаг вэ?

Тэгэхээр тодорхойлогчтой ийм хатуу тэгшитгэл хаанаас гарсныг олж мэдье. Энэ нь танд үүнийг санаж, амжилттай хэрэгжүүлэхэд тусална.

Бодлого С2-д гарч буй бүх хавтгайг гурван цэгээр тодорхойлно. Эдгээр цэгүүдийг зураг дээр үргэлж тэмдэглэсэн байдаг, эсвэл асуудлын текстэнд шууд зааж өгдөг. Ямар ч тохиолдолд тэгшитгэл үүсгэхийн тулд бид тэдгээрийн координатыг бичих хэрэгтэй болно.

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Хавтгай дээрх өөр нэг цэгийг дурын координаттай авч үзье.

T = (x, y, z)

Эхний гурван цэгээс дурын цэгийг (жишээ нь, M цэг) авч, үлдсэн гурван цэг тус бүрээс векторуудыг зур. Бид гурван векторыг авдаг:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Одоо эдгээр векторуудаас квадрат матриц зохиож, тодорхойлогчийг тэгтэй тэнцүүлье. Векторуудын координатууд нь матрицын мөрүүд болох бөгөөд бид теоремд заасан тодорхойлогчийг авах болно.

Энэ томъёо нь MN, MK, MT векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүн тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс гурван вектор бүгд нэг хавтгайд оршдог. Ялангуяа дурын T = (x, y, z) цэг нь бидний хайж байсан зүйл юм.

Тодорхойлогчийн цэг ба шугамыг солих

Тодорхойлогч нь үүнийг бүр ч хялбар болгодог хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай байдаг C2 асуудлын шийдэл. Жишээлбэл, бид аль цэгээс вектор зурах нь хамаагүй. Тиймээс дараах тодорхойлогч нь дээрхтэй ижил хавтгай тэгшитгэлийг өгнө.

Та мөн тодорхойлогчийн мөрүүдийг сольж болно. Тэгшитгэл өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ. Жишээлбэл, олон хүн хамгийн дээд талд нь T = (x; y; z) цэгийн координаттай шугам бичих дуртай байдаг. Хэрэв танд тохиромжтой бол:

Нэг мөрөнд x, y, z гэсэн хувьсагчууд агуулагдаж, цэгийг орлуулахад арилдаггүй хувьсагч байдаг тул зарим хүмүүс төөрөлддөг. Гэхдээ тэд алга болохгүй! Тодорхойлогчдод тоонуудыг орлуулснаар та дараах бүтцийг авах хэрэгтэй.

Дараа нь тодорхойлогчийг хичээлийн эхэнд өгсөн диаграммын дагуу өргөжүүлж, хавтгайн стандарт тэгшитгэлийг олж авна.

Ax + By + Cz + D = 0

Нэг жишээг харна уу. Энэ бол өнөөдрийн хичээлийн сүүлчийнх юм. Хариулт нь онгоцны ижил тэгшитгэлийг өгөх эсэхийг шалгахын тулд би мөрүүдийг зориудаар солих болно.

Даалгавар. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Тиймээс бид 4 цэгийг авч үзье.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Эхлээд стандарт тодорхойлогч үүсгэж, тэгтэй тэнцүүлье.

Бид тодорхойлогчийг өргөжүүлнэ:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ингээд л бид x + y + z − 2 = 0 гэсэн хариултыг авлаа.

Одоо тодорхойлогч дахь хэд хэдэн мөрийг дахин цэгцэлж, юу болохыг харцгаая. Жишээлбэл, x, y, z хувьсагчтай мөрийг доод талд биш, харин дээд талд бичье.

Бид үүссэн тодорхойлогчийг дахин өргөжүүлэв:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Бид яг ижил хавтгай тэгшитгэлийг авсан: x + y + z − 2 = 0. Энэ нь үнэхээр мөрүүдийн дарааллаас хамаардаггүй гэсэн үг юм. Хариултаа бичих л үлдлээ.

Тиймээс, хавтгайн тэгшитгэл нь шугамын дарааллаас хамаардаггүй гэдэгт бид итгэлтэй байна. Бид ижил төстэй тооцооллыг хийж, онгоцны тэгшитгэл нь координатыг нь бусад цэгээс хасах цэгээс хамаарахгүй гэдгийг баталж чадна.

Дээр авч үзсэн бодлогод бид B 1 = (1, 0, 1) цэгийг ашигласан боловч C = (1, 1, 0) эсвэл D 1 = (0, 1, 1) авах бүрэн боломжтой байв. Ерөнхийдөө, мэдэгдэж буй координат бүхий дурын цэг нь хүссэн хавтгай дээр хэвтэж байна.