Гурвалсан интеграл. Биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох.
Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Нас барсан хүн Пифагорын өмд өмсөж гурван өдрийн турш деканы өрөөнд хэвтэв.
Фихтенхольцын гарт түүнийг энэ ертөнцөөс авчирсан боть байсан.
Гурвалсан интегралыг хөлөндөө уяж, цогцсыг матрицаар ороож,
Залбирахын оронд зарим нэг увайгүй хүн Бернуллигийн теоремыг уншив.

Гурвалсан интеграл бол айх хэрэггүй зүйл юм =) Учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол та сайн ойлгосон байх магадлалтай. "энгийн" интегралын онол практик, ба давхар интеграл. Давхар байгаа газар ойролцоо гурвалсан байна:

Тэгээд үнэхээр айх зүйл юу байна? Интеграл нь бага, интеграл нь илүү....

Бичлэгийг харцгаая:

- гурвалсан интеграл дүрс;
- интеграл гурван хувьсагчийн функц;
– дифференциалын бүтээгдэхүүн.
- интеграцийн бүс.

Ялангуяа анхаарлаа хандуулцгаая интеграцийн талбарууд. Хэрэв орвол давхар интегралилэрхийлдэг хавтгай дүрс, дараа нь энд - орон зайн бие, энэ нь мэдэгдэж байгаагаар багцаар хязгаарлагддаг гадаргуу. Тиймээс, дээрхээс гадна та навигаци хийх ёстой орон зайн үндсэн гадаргуумөн энгийн гурван хэмжээст зураг зурах чадвартай байх.

Зарим нь сэтгэлээр унасан, би ойлгож байна ... Харамсалтай нь, нийтлэлийг "даммигийн гурвалсан интеграл" гэж нэрлэх боломжгүй бөгөөд таны мэдэх/хийх боломжтой зарим зүйл бий. Гэхдээ зүгээр - бүх материалыг маш хүртээмжтэй хэлбэрээр танилцуулж, хамгийн богино хугацаанд эзэмших боломжтой!

Гурвалсан интегралыг тооцоолох нь юу гэсэн үг вэ, тэгш хэм гэж юу вэ?

Гурвалсан интегралыг тооцоолохын тулд ДУГААР олох:

Хамгийн энгийн тохиолдолд, хэзээ гурвалсан интеграл нь биеийн эзэлхүүнтэй тоогоор тэнцүү байна. Тэгээд үнэхээр, дагуу интеграцийн ерөнхий утга, бүтээгдэхүүн тэнцүү байна хязгааргүй жижигбиеийн энгийн "тоосго" -ын эзэлхүүн. Гурвалсан интеграл нь зүгээр юм нэгтгэдэг энэ бүгд хязгааргүй жижиг хэсгүүдталбайн дээгүүр, үүний үр дүнд биеийн эзэлхүүний салшгүй (нийт) утга: .

Үүнээс гадна гурвалсан интеграл чухал ач холбогдолтой физик програмууд. Гэхдээ энэ талаар дараа нь - хичээлийн 2-р хэсэгт зориулагдсан болно дурын гурвалсан интегралын тооцоо, ерөнхий тохиолдолд функц нь тогтмолоос өөр бөгөөд тухайн бүсэд тасралтгүй байна. Энэ нийтлэлд бид эзэлхүүнийг олох асуудлыг нарийвчлан авч үзэх болно, энэ нь миний субъектив үнэлгээгээр 6-7 дахин их тохиолддог.

Гурвалсан интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулт нь өмнөх догол мөрөөс логикийн дагуу гардаг. Тодорхойлох хэрэгтэй биеийг эргүүлэх дараалалболон очих давтагдсан интегралууд. Дараа нь гурван дан интегралыг дараалан авч үзнэ.

Таны харж байгаагаар гал тогооны өрөө бүхэлдээ маш их санагдуулдаг давхар интеграл, ялгаа нь одоо бид нэмэлт хэмжээс (ойролцоогоор өндөр) нэмсэн. Магадгүй та нарын олонхи нь гурвалсан интеграл хэрхэн шийдэгддэгийг аль хэдийн таасан байх.

Үлдсэн эргэлзээг арилгацгаая:

Жишээ 1

Цаасан дээр баганад бичнэ үү:

Тэгээд дараах асуултуудад хариулна уу. Эдгээр тэгшитгэлийг аль гадаргуу тодорхойлдог гэдгийг та мэдэх үү? Та эдгээр тэгшитгэлийн албан бус утгыг ойлгож байна уу? Эдгээр гадаргуу нь сансар огторгуйд хэрхэн байрлаж байгааг та төсөөлж байна уу?

Хэрэв та "тийм гэхээсээ илүү" гэсэн ерөнхий хариултыг авах хандлагатай байгаа бол хичээлээ сайтар нягталж үзээрэй, эс тэгвээс та цааш ахихгүй!

Шийдэл: бид томъёог ашигладаг.

Үүнийг олж мэдэхийн тулд биеийг эргүүлэх дараалалболон очих давтагдсан интегралуудЭнэ нь ямар төрлийн бие болохыг ойлгохын тулд танд хэрэгтэй (ухаалаг бүх зүйл энгийн). Ихэнх тохиолдолд зураг нь ийм ойлголтод ихээхэн хувь нэмэр оруулдаг.

Нөхцөлөөр бие нь хэд хэдэн гадаргуугаар хязгаарлагддаг. Хаанаас барьж эхлэх вэ? Би дараах процедурыг санал болгож байна.

Эхлээд дүрсэлье зэрэгцээ ортогональбиеийн координатын хавтгай дээрх проекц. Энэ проекцийг юу гэж нэрлэхийг анх удаа хэлж байсан хэхэ =)

Төсөл нь тэнхлэгийн дагуу хийгддэг тул юуны түрүүнд үүнийг шийдвэрлэхийг зөвлөж байна гадаргуу, энэ тэнхлэгтэй параллель байна. Ийм гадаргуугийн тэгшитгэлийг танд сануулъя "z" үсэг агуулаагүй. Хэлэлцэж буй асуудалд тэдгээрийн гурав нь байна:

– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг зааж өгсөн;
– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг зааж өгсөн;
- тэгшитгэлийн багц онгоц "хавтгай" шулуун шугамтэнхлэгтэй зэрэгцээ.

Хүссэн төсөөлөл нь дараах гурвалжин байх магадлалтай.

Магадгүй хүн бүр бидний юу ярьж байгааг бүрэн ойлгоогүй байх. Хяналтын дэлгэцээс тэнхлэг гарч ирээд хамрын гүүрэнд шууд наалддаг гэж төсөөлөөд үз дээ ( тэдгээр. Та дээрээс 3 хэмжээст зургийг харж байгаа нь харагдаж байна). Судалгаанд хамрагдаж буй орон зайн бие нь эцэс төгсгөлгүй гурвалсан "корридор" -д байрладаг бөгөөд түүний хавтгай дээрх проекц нь сүүдэртэй гурвалжинг дүрсэлсэн байх магадлалтай.

Бидний илэрхийлж байсан зүйлд онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байна зүгээр л проекцын таамаглал"хамгийн их магадлалтай" ба "хамгийн их магадлалтай" гэсэн заалтууд санамсаргүй биш байсан. Баримт нь бүх гадаргууг хараахан шинжилж амжаагүй байгаа бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь гурвалжингийн хэсгийг "хавчих" байж магадгүй юм. Үүнийг тод жишээ болгон харуулж байна бөмбөрцөгнэгээс бага радиусын эхэнд төвтэй, жишээлбэл, бөмбөрцөг - түүний хавтгай дээрх проекц (тойрог ) сүүдэртэй хэсгийг бүрэн "хамрахгүй" бөгөөд биеийн эцсийн төсөөлөл нь огт гурвалжин биш байх болно. (тойрог нь түүний хурц булангуудыг "таслах" болно).

Хоёр дахь шатанд бид биеийг дээрээс болон доороос хэрхэн хязгаарлаж байгааг олж мэдээд орон зайн зураглалыг хийдэг. Асуудлын мэдэгдэл рүү буцаж, ямар гадаргуу үлдсэнийг харцгаая. Тэгшитгэл нь координатын хавтгайг өөрөө, тэгшитгэл нь - параболик цилиндр, байрладаг дээрххавтгай ба тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх. Тиймээс биеийн төсөөлөл нь үнэхээр гурвалжин юм.

Дашрамд хэлэхэд би эндээс олсон илүүдэлнөхцөл - абсцисса тэнхлэгт хүрсэн гадаргуу нь биеийг аль хэдийн хаадаг тул онгоцны тэгшитгэлийг оруулах шаардлагагүй байв. Энэ тохиолдолд бид шууд проекцийг зурах боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм - гурвалжин нь тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийсний дараа л "зурах" болно.

Параболик цилиндрийн хэсгийг сайтар дүрсэлцгээе.

Зургийг дуусгасны дараа биеийг тойрон алхах дараалаласуудалгүй!

Нэгдүгээрт, бид проекцыг туулах дарааллыг тодорхойлно (үүнтэй зэрэгцэн хоёр хэмжээст зураг ашиглан жолоодоход илүү тохь тухтай байдаг).Энэ нь дууссан ЯГ АДИЛХАН, Шиг давхар интеграл! Лазер заагч болон хавтгай талбайг сканнердах талаар бод. "Уламжлалт" 1-р тойрч гарах аргыг сонгоцгооё.

Дараа нь бид шидэт дэнлүү авч, гурван хэмжээст зургийг харна уу хатуу доороос дээшБид өвчтөнийг гэрэлтүүлдэг. Цацрагууд биенд онгоцоор орж, гадаргуугаар дамжин гардаг. Тиймээс биеийг туулах дараалал нь:

Давтагдсан интеграл руу шилжье:

1) Та "zeta" интегралаас эхлэх хэрэгтэй. Бидний хэрэглэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо:

Үр дүнг "тоглоомын" интеграл болгон орлъё:

Юу болсон бэ? Үндсэндээ уусмалыг давхар интеграл болгон бууруулж, яг томъёонд оруулав цилиндр цацрагийн эзэлхүүн! Дараах нь танил юм:

2)

3-р интегралыг шийдвэрлэх оновчтой техникийг анхаарч үзээрэй.

Хариулт:

Тооцооллыг үргэлж "нэг мөрөнд" бичиж болно:


Гэхдээ энэ аргыг болгоомжтой байгаарай - хурд нэмэгдэх нь чанараа алдахад хүргэдэг бөгөөд жишээ нь илүү төвөгтэй байх тусам алдаа гаргах магадлал өндөр байдаг.

Нэг чухал асуултанд хариулъя:

Даалгаврын нөхцөл нь тэдгээрийг хэрэгжүүлэхийг шаарддаггүй бол зураг зурах шаардлагатай юу?

Та дөрвөн замаар явж болно:

1) Проекц болон биеийг өөрөө зур. Энэ бол хамгийн ашигтай сонголт юм - хэрэв танд хоёр зохистой зураг зурах боломж байгаа бол залхуу байх хэрэггүй, хоёр зургийг хоёуланг нь хий. Би эхлээд зөвлөж байна.

2) Зөвхөн их биеийг зур. Биеийн энгийн бөгөөд тодорхой төсөөлөлтэй үед тохиромжтой. Жишээлбэл, задалсан жишээнд гурван хэмжээст зураг хангалттай байх болно. Гэсэн хэдий ч, бас хасах зүйл бий - 3D зургаас проекцийг давах дарааллыг тодорхойлох нь тохиромжгүй бөгөөд би энэ аргыг зөвхөн сайн түвшний сургалттай хүмүүст зөвлөж байна.

3) Зөвхөн төсөөллийг зур. Энэ нь бас муу биш, гэхдээ дараа нь нэмэлт бичмэл тайлбар шаардлагатай бөгөөд энэ нь талбайг янз бүрийн талаас нь хязгаарладаг. Харамсалтай нь, гурав дахь сонголт нь ихэвчлэн албадан байдаг - бие нь хэт том эсвэл түүний бүтэц нь бусад хүндрэлүүдээр дүүрэн байдаг. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

4) Огт зураг зурахгүйгээр хий. Энэ тохиолдолд та биеийг оюун ухаанаар төсөөлж, түүний хэлбэр/байршлын талаар бичгээр тайлбар өгөх хэрэгтэй. Маш энгийн биетүүд эсвэл хоёр зургийг гүйцэтгэхэд хэцүү ажил хийхэд тохиромжтой. Гэхдээ "нүцгэн" шийдлээс татгалзаж магадгүй тул ядаж бүдүүвч зураг зурах нь дээр.

Дараах байгууллага нь бие даасан ажилд зориулагдсан болно.

Жишээ 2

Гурвалсан интеграл ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол

Энэ тохиолдолд интеграцийн талбарыг голчлон тэгш бус байдлаар тодорхойлдог бөгөөд энэ нь бүр илүү сайн - тэгш бус байдлын багц юм. координатын хавтгай ба тэгш бус байдлыг багтаасан 1-р октантыг тодорхойлно. хагас орон зай, гарал үүслийг агуулсан (шалгах)+ онгоц өөрөө. "Босоо" хавтгай нь параболоидыг параболын дагуу огтолж, зураг дээр энэ хэсгийг бүтээхийг зөвлөж байна. Үүнийг хийхийн тулд та нэмэлт лавлах цэгийг олох хэрэгтэй, хамгийн хялбар арга бол параболын орой юм. (бид утгыг авч үздэг болон харгалзах "zet" -ийг тооцоолно).

Үргэлжлүүлэн халаацгаая:

Жишээ 3

Гурвалсан интеграл ашиглан заасан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл: "Зураг зурах" гэсэн үг нь бидэнд тодорхой эрх чөлөөг өгдөг боловч орон зайн зургийг гүйцэтгэхийг илтгэдэг. Гэсэн хэдий ч төсөөлөл нь бас гэмтэхгүй, ялангуяа энд хамгийн энгийн зүйл биш юм.

Бид өмнө нь батлагдсан тактикуудыг баримталдаг - эхлээд шийдвэрлэх болно гадаргуу, тэдгээр нь хэрэглээний тэнхлэгтэй параллель байна. Ийм гадаргуугийн тэгшитгэл нь "z" хувьсагчийг тодорхой агуулаагүй болно.

– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг тодорхойлно ( хавтгайд нь "нэртэй" тэгшитгэлээр тодорхойлогддог);
- тэгшитгэлийн багц онгоц, "нэртэй" дамжин өнгөрөх "хавтгай" шулуун шугамтэнхлэгтэй зэрэгцээ.

Хүссэн бие нь доорх хавтгайгаар хязгаарлагддаг ба параболик цилиндрдээр:

Биеийг тойрон гарах дарааллыг бий болгоё, харин "X" ба "Y" интеграцийн хязгаарыг хоёр хэмжээст зураг ашиглан олж мэдэх нь илүү тохиромжтой гэдгийг би танд сануулж байна.

Тиймээс:

1)

"y" дээр интегралдах үед "x" нь тогтмол гэж тооцогддог тул интеграл тэмдэгээс тогтмолыг нэн даруй хасах нь зүйтэй.

3)

Хариулт:

Тийм ээ, би бараг мартсан, ихэнх тохиолдолд гурван хэмжээст зургаар олж авсан үр дүнг шалгах нь бага зэрэг ашиг тустай (тэр ч байтугай хортой) магадлал өндөр байдаг. эзлэхүүний хуурмаг, энэ тухай миний хичээл дээр ярьсан Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн. Тиймээс авч үзсэн асуудлын үндсэн хэсгийг дүгнэж үзэхэд 4-өөс илүү "шоо" байгаа юм шиг надад санагдсан.

Бие даасан шийдлийн дараах жишээ:

Жишээ 4

Гурвалсан интеграл ашиглан заасан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. Энэ биеийн зураг, түүний проекцийг хавтгайд хий.

Хичээлийн төгсгөлд хийх даалгаврын ойролцоо жишээ.

Гурван хэмжээст зургийг гүйцэтгэхэд хэцүү байх нь ховор тохиолддог.

Жишээ 5

Гурвалсан интеграл ашиглан биеийн хязгаарлагдмал гадаргуугаар өгөгдсөн эзэлхүүнийг ол

Шийдэл: энд төсөөлөл нь төвөгтэй биш, гэхдээ та үүнийг туулах дарааллын талаар бодох хэрэгтэй. Хэрэв та 1-р аргыг сонговол зургийг 2 хэсэгт хуваах шаардлагатай бөгөөд энэ нь нийлбэрийг тооцоход ноцтой аюул учруулж байна. хоёргурвалсан интеграл. Үүнтэй холбогдуулан 2-р зам нь илүү ирээдүйтэй харагдаж байна. Энэ биеийн төсөөллийг зурган дээр илэрхийлж, дүрсэлцгээе.

Зарим зургуудын чанарт хүлцэл өчье, би шууд өөрийнхөө гар бичмэлээс хайчилж авлаа.

Бид зургийг давах илүү ашигтай дарааллыг сонгодог.

Одоо энэ нь бие махбодоос хамаарна. Доод талаас нь хавтгайгаар, дээрээс нь ординатын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онгоцоор хязгаарлагддаг. Тэгээд бүх зүйл сайхан байх байсан, гэхдээ сүүлчийн онгоц хэт эгц, талбайг барих нь тийм ч амар биш юм. Энд сонголт хийх нь эргэлзээгүй юм: үнэт эдлэлийн аль нэг нь жижиг хэмжээтэй (бие нь нэлээд туранхай) эсвэл 20 см өндөртэй зураг (тэр ч байтугай тохирох бол).

Гэхдээ асуудлыг шийдэх гуравдахь, уугуул орос арга байдаг - оноо авах =) Гурван хэмжээст зургийн оронд аман тайлбарыг хий: "Энэ бие нь цилиндрээр хязгаарлагддаг. мөн хажуугаас нь онгоц, доороос нь онгоц, дээрээс нь онгоц."

Интеграцийн "босоо" хязгаар нь мэдээжийн хэрэг:

Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолж, проекцийг бага түгээмэл аргаар тойрч гарсныг мартаж болохгүй.

1)

Хариулт:

Таны анзаарсанчлан зуун доллараас илүү үнэтэй асуудалд санал болгож буй байгууллагууд ихэвчлэн доорх онгоцоор хязгаарлагддаг. Гэхдээ энэ бол дүрэм биш, тиймээс та үргэлж сэрэмжтэй байх хэрэгтэй - та бие нь байрладаг ажилтай тулгарч магадгүй юм. доорхавтгай Жишээлбэл, хэрэв дүн шинжилгээ хийж буй асуудалд бид хавтгайг авч үзэх юм бол судалж буй биеийг доод хагас орон зайд тэгш хэмтэйгээр буулгаж, доороос нь хавтгайгаар, дээрээс нь хавтгайгаар хязгаарлагдах болно!

Та ижил үр дүнд хүрч байгааг харахад амархан:

(биеийг тойрон алхах хэрэгтэй гэдгийг санаарай хатуу доороос дээш!)

Нэмж дурдахад "дуртай" онгоцыг огт ашиглахгүй байж магадгүй, хамгийн энгийн жишээ: онгоцны дээгүүр байрлах бөмбөг - түүний эзэлхүүнийг тооцоолоход тэгшитгэл огт хэрэггүй болно.

Бид эдгээр бүх тохиолдлыг авч үзэх болно, гэхдээ одоогоор танд бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар байна.

Жишээ 6

Гурвалсан интегралыг ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хоёрдахь догол мөр рүү ижил алдартай материалаар шилжье:

Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Цилиндр координатууд нь үндсэндээ туйлын координатсансарт.
Цилиндр координатын системд орон зай дахь цэгийн байрлалыг тухайн цэгийн туйлын координатууд буюу тухайн цэгийн хавтгай дээрх проекц ба тухайн цэгийн хэрэглээний тусламжтайгаар тодорхойлно.

Гурван хэмжээст декартын системээс цилиндр координатын системд шилжих ажлыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.

Бидний сэдэвтэй холбоотойгоор өөрчлөлт нь дараах байдалтай байна.

Үүний дагуу бид энэ нийтлэлд авч үзэх хялбаршуулсан тохиолдолд:

Хамгийн гол нь нэмэлт "er" үржүүлэгчийн талаар мартаж, зөв ​​байрлуулах явдал юм интеграцийн туйлын хязгаарпроекцийг туулахдаа:

Жишээ 7

Шийдэл: бид ижил журмыг баримталдаг: юуны түрүүнд "ze" хувьсагч байхгүй тэгшитгэлийг авч үздэг. Энд ганц л байна. Төсөл цилиндр гадаргууонгоцонд "нэртэй" гэсэн утгатай тойрог .

Онгоц тэдгээр нь хүссэн биеийг доороос болон дээрээс нь хязгаарлаж ("цилиндрээс хайчилж") тойрог хэлбэрээр хийнэ.

Дараагийнх нь гурван хэмжээст зураг юм. Гол бэрхшээл нь цилиндрийг "ташуу" өнцгөөр огтолж буй хавтгайг бүтээхэд оршдог. эллипс. Энэ хэсгийг аналитик байдлаар тодруулцгаая: үүнийг хийхийн тулд бид онгоцны тэгшитгэлийг функциональ хэлбэрээр дахин бичнэ. проекцын хил дээр байрлах тодорхой цэгүүдэд функцийн утгыг ("өндөр") тооцоол.

Бид зураг дээр олсон цэгүүдийг анхааралтай тэмдэглэж авдаг (над шиг биш =))тэдгээрийг шугамаар холбоно:

Биеийн хавтгай дээрх проекц нь тойрог бөгөөд энэ нь цилиндр хэлбэртэй координатын систем рүү шилжих хүчтэй аргумент юм.

Цилиндр координат дахь гадаргуугийн тэгшитгэлийг олцгооё.

Одоо та биеийг давах дарааллыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Эхлээд проекцийг авч үзье. Түүний шилжих дарааллыг хэрхэн тодорхойлох вэ? ЯГТАЙ БАЙНА туйлын координат дахь давхар интегралыг тооцоолох. Энд анхан шатны байна:

Интеграцийн "босоо" хязгаарууд нь бас тодорхой байдаг - бид биеийг онгоцоор дамжуулж, онгоцоор дамжуулдаг.

Давтагдсан интеграл руу шилжье:

Энэ тохиолдолд бид нэн даруй "er" гэсэн хүчин зүйлийг "манай" интегралд оруулна.

Ердийнх шиг шүүр нь мөчрийн дагуу эвдэхэд хялбар байдаг.

1)

Бид үр дүнг дараах интегралд оруулав.

Энд бид "фи" -ийг тогтмол гэж үздэгийг мартаж болохгүй. Гэхдээ энэ нь одоогоор:

Хариулт:

Таны бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 8

Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг гурвалсан интеграл ашиглан тооцоол. Энэ биеийн зураг, түүний проекцийг хавтгай дээр зур.

Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Асуудлын нөхцөлд цилиндр координатын системд шилжих талаар нэг ч үг хэлээгүй бөгөөд мэдлэггүй хүн декартын координат дахь хэцүү интегралуудтай тулалдах болно гэдгийг анхаарна уу. ...Эсвэл болохгүй ч байж магадгүй - эцэст нь асуудлыг шийдэх гуравдахь, анхны орос арга байдаг =)

Энэ дөнгөж эхэлж байна! ...сайнаар : =)

Жишээ 9

Гурвалсан интегралыг ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Даруухан, амттай.

Шийдэл: энэ бие хязгаарлагдмал конус гадаргууТэгээд эллипс параболоид. Нийтлэлийн материалыг анхааралтай уншсан уншигчид Орон зайн үндсэн гадаргуу, бие нь ямар харагддагийг аль хэдийн төсөөлж байсан, гэхдээ практик дээр илүү төвөгтэй тохиолдлууд ихэвчлэн байдаг тул би нарийвчилсан аналитик үндэслэлийг хийх болно.

Эхлээд бид гадаргуугийн огтлолцох шугамуудыг олдог. Дараах системийг зохиож шийдье.

1-р тэгшитгэлээс бид хоёр дахь гишүүнийг гишүүнээр хасна.

Үр дүн нь хоёр үндэс юм:

Олсон утгыг системийн дурын тэгшитгэлд орлъё.
, үүнээс үүдэн гарч ирдэг
Тиймээс үндэс нь нэг цэгтэй тохирч байна - гарал үүсэл. Мэдээжийн хэрэг, авч үзэж буй гадаргуугийн оройнууд давхцдаг.

Одоо хоёр дахь язгуурыг системийн аль ч тэгшитгэлд орлъё:

Хүлээн авсан үр дүнгийн геометрийн утга нь юу вэ? "Өндөрт" (хавтгайд) параболоид ба конус нь огтлолцдог тойрог– цэг дээр төвтэй нэгж радиус .

Энэ тохиолдолд параболоидын "аяга" нь конусын "юүлүүр" -ийг агуулна. бүрдүүлэхКонус хэлбэрийн гадаргууг тасархай шугамаар зурах ёстой (энэ өнцгөөс харахад биднээс хамгийн алслагдсан генератриксийн сегментээс бусад):

Биеийн хавтгай дээрх проекц нь тойрог 1-р радиусын гарал үүслийн төвтэй, энэ нь тодорхой учраас би дүрслэхээс ч санаа зовсонгүй. (гэхдээ бид бичгээр тайлбар өгөх болно!). Дашрамд дурдахад, өмнөх хоёр бодлогод хэрэв нөхцөл болоогүй бол проекцын зургийг бас оноож болно.

Стандарт томьёо ашиглан цилиндр координат руу шилжихдээ тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн хэлбэрээр бичдэг бөгөөд проекцийг давах дараалалд асуудал гардаггүй.

Цилиндр координатын систем дэх гадаргуугийн тэгшитгэлийг олцгооё.

Асуудал нь конусын дээд хэсгийг авч үздэг тул бид тэгшитгэлээс илэрхийлнэ.

"Бид биеийг сканнердаж" доороос дээш. Гэрлийн туяа зууван параболоидоор орж, конус гадаргуугаар дамжин гардаг. Тиймээс биеийг туулах "босоо" дараалал нь:

Үлдсэн нь техникийн асуудал юм:

Хариулт:

Биеийг хязгаарлагдмал гадаргуугаар нь биш, харин олон тэгш бус байдлаар тодорхойлох нь ердийн зүйл биш юм.

Жишээ 10

Би ижил лавлах нийтлэлд орон зайн тэгш бус байдлын геометрийн утгыг хангалттай нарийвчлан тайлбарласан. Орон зайн үндсэн гадаргуу ба тэдгээрийн бүтэц.

Хэдийгээр энэ даалгавар нь параметрийг агуулсан боловч биеийн үндсэн дүр төрхийг харуулсан яг зургийг гүйцэтгэх боломжийг олгодог. Хэрхэн барихаа бодоорой. Богино шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

...за, дахиад хэдэн даалгавар? Би хичээлээ дуусгая гэж бодож байсан ч чамайг илүү ихийг хүсч байх шиг байна =)

Жишээ 11

Гурвалсан интеграл ашиглан өгөгдсөн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.
, энд дурын эерэг тоо байна.

Шийдэл: тэгш бус байдал радиусын эхэнд төвтэй бөмбөг ба тэгш бус байдлыг тодорхойлно – радиусын тэгш хэмийн тэнхлэг бүхий дугуй цилиндрийн “дотор” . Тиймээс хүссэн бие нь хажуугийн дугуй цилиндрээр хязгаарлагдаж, дээд ба доод хэсэгт хавтгайтай харьцангуй тэгш хэмтэй бөмбөрцөг сегментүүдээр хязгаарлагддаг.

Үүнийг хэмжих үндсэн нэгж болгон зурж үзье:

Илүү нарийвчлалтай, би тэнхлэгийн дагуух пропорцийг тийм ч сайн барьж чадаагүй тул үүнийг зураг гэж нэрлэх ёстой. Гэсэн хэдий ч шударга байхын тулд нөхцөл нь юу ч зурах шаардлагагүй байсан бөгөөд ийм дүрслэл хангалттай байсан.

Хэрэв та гартаа луужин аваад радиусын гарал үүсэл дээр төвтэй тойрог тэмдэглэхэд ашигладаг бол цилиндр нь бөмбөгөөс "таг" -ыг хайчлах өндрийг олох шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. 2 см, дараа нь цилиндртэй огтлолцох цэгүүд өөрсдөө гарч ирнэ.

Тэгш өнцөгт координатын давхар интегралыг хувиргах, туйлын координат руу
, харьцаагаар тэгш өнцөгт координаттай холбоотой
,
, томъёоны дагуу явагдана

Хэрэв интеграцийн домайн бол
хоёр цацрагаар хязгаарлагдана
,
(
), туйлаас гарч ирэх ба хоёр муруй
Тэгээд
, дараа нь томъёог ашиглан давхар интегралыг тооцоолно

.

Жишээ 1.3.Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.
,
,
,
.

Шийдэл.Тухайн газрын талбайг тооцоолох
Томьёог ашиглая:
.

Талбайг дүрсэлцгээе (Зураг 1.5). Үүнийг хийхийн тулд бид муруйг хувиргана: , , , . Туйлын координат руу шилжье: , . . Туйлын координатын системд талбай тэгшитгэлээр тодорхойлсон:

.

1.2. Гурвалсан интеграл

Гурвалсан интегралын үндсэн шинж чанарууд нь давхар интегралын шинж чанаруудтай төстэй.

Декарт координатуудад гурвалсан интегралыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

.

Хэрэв
, дараа нь талбай дээрх гурвалсан интеграл тоон хувьд биеийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна :

.

Гурвалсан интегралын тооцоо

Интеграцийн домэйныг үзье нэг утга бүхий тасралтгүй гадаргууг тус тусад нь доороос дээш хязгаарласан
,
, мөн бүс нутгийн хэтийн төлөв координатын хавтгайд
тэгш газар байна
(Зураг 1.6).

Дараа нь тогтмол утгуудын хувьд холбогдох өргөдөл талбайн цэгүүд дотор өөр өөр байдаг. Дараа нь бид: . Хэрэв, үүнээс гадна, төсөөлөл тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог , , Хаана - нэг утгатай тасралтгүй функцууд асаалттай , Тэр

.

Жишээ 1.4.Тооцоол
, Хаана - онгоцоор хязгаарлагдсан бие:

	, , , ( , , ). Шийдэл.Интеграцийн талбар нь пирамид юм (Зураг 1.7). Проекцийн талбай гурвалжин бий , шулуун шугамаар хязгаарлагдсан , , (Зураг 1.8). At цэг хэрэглэнэ тэгш бус байдлыг хангана , Тийм учраас .
	Гурвалжны интеграцийн хязгаарыг тогтоох , бид авдаг

Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Декарт координатаас шилжих үед
цилиндр координат руу
(Зураг 1.9) холбоотой
харилцаа
,
,
, ба

	, ,, гурвалсан интеграл хувирна: Жишээ 1.5.Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. , , . Шийдэл.Шаардлагатай биеийн хэмжээ тэнцүү байна .
	Интеграцийн домэйн нь доороос нь хавтгайгаар хязгаарлагдсан цилиндрийн хэсэг юм , мөн онгоцны дээгүүр (Зураг 1.10). Проекцийн талбай тойрог байна эх ба нэгж радиус дээр төвтэй. Цилиндр координат руу шилжье. , , . At цэг хэрэглэнэ , тэгш бус байдлыг ханга эсвэл цилиндр координатаар:

Бүс нутаг
, муруйгаар хязгаарлагдсан
, хэлбэрийг авна, эсвэл
, харин туйлын өнцөг
. Үүний үр дүнд бидэнд бий

.

2. Талбайн онолын элементүүд

Эхлээд муруй ба гадаргуугийн интегралыг тооцоолох аргуудыг эргэн санацгаая.

Муруй дээр тодорхойлогдсон функцүүдийн координат дээрх муруйн интегралын тооцоо , маягтын тодорхой интегралыг тооцоолох хүртэл бууруулна

муруй бол параметрийн дагуу тодорхойлсон
муруйны эхлэлийн цэгтэй тохирч байна , А
- түүний төгсгөлийн цэг.

Функцийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох
, хоёр талт гадаргуу дээр тодорхойлогддог , жишээлбэл, хэлбэрийн давхар интегралыг тооцоолоход ирдэг

,

хэрэв гадаргуу , тэгшитгэлээр өгөгдсөн
, онгоцон дээр өвөрмөц байдлаар төлөвлөгдсөн
бүс нутаг руу
. Энд - нэгж хэвийн вектор хоорондын өнцөг гадаргуу руу ба тэнхлэг
:

.

Асуудлын нөхцөлд шаардагдах гадаргуугийн тал (2.3) томъёонд тохирох тэмдгийг сонгох замаар тодорхойлно.

Тодорхойлолт 2.1. Вектор талбар
цэгийн вектор функц гэж нэрлэдэг
хамрах хүрээний хамт:

Вектор талбар
скаляр хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог - зөрүү:

Тодорхойлолт 2.2. Урсгал вектор талбар
гадаргуугаар дамжин гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг:

,

Хаана - гадаргуугийн сонгосон тал руу нэгж хэвийн вектор , А
- векторуудын скаляр үржвэр Тэгээд .

Тодорхойлолт 2.3. Цусны эргэлт вектор талбар

By хаалттай муруй муруйн интеграл гэж нэрлэдэг

,

Хаана
.

Остроградский-Гаусын томъёо векторын талбайн урсгалын хоорондох холбоог тогтооно хаалттай гадаргуугаар дамжин ба талбайн ялгаа:

Хаана - хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуу , А нь энэ гадаргуугийн нэгж хэвийн вектор юм. Хэвийн чиглэл нь контурын эргэлтийн чиглэлтэй тохирч байх ёстой .

Жишээ 2.1.Гадаргуугийн интегралыг тооцоолох

,

Хаана - конусын гаднах хэсэг
(
), онгоцоор таслагдсан
(Зураг 2.1).

Шийдэл.Гадаргуу бүс нутагт онцгой байдлаар төлөвлөгдсөн
онгоц
, ба интегралыг (2.2) томъёогоор тооцоолно.

Нэгж гадаргуугийн хэвийн вектор Бид томъёог (2.3) ашиглан олно: . Энд, хэвийн илэрхийлэлд өнцөгөөс хойш нэмэх тэмдгийг сонгосон тэнхлэгийн хооронд ба хэвийн - тэнэг, тиймээс сөрөг байх ёстой. Үүнийг харгалзан үзвэл , гадаргуу дээр бид авдаг

Бүс нутаг
тойрог байна
. Тиймээс сүүлчийн интегралд бид туйлын координат руу шилждэг
,
:

Жишээ 2.2.Вектор талбарын зөрүү ба буржгарыг ол
.

Шийдэл.(2.4) томъёог ашиглан бид олж авна

Өгөгдсөн вектор талбайн роторыг (2.5) томъёог ашиглан олно.

Жишээ 2.3.Вектор талбайн урсгалыг ол
онгоцны хэсэг дамжин :
, эхний октантад байрладаг (хэвийн нь тэнхлэгтэй хурц өнцөг үүсгэдэг
).

	Шийдэл.Томъёоны дагуу (2.6) . Онгоцны нэг хэсгийг дүрсэлцгээе : , эхний октантад байрладаг. Сегмент дэх энэ хавтгайн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна (Зураг 2.3). Хавтгайн хэвийн вектор координаттай байна: , нэгж хэвийн вектор
	. . , , хаана , тиймээс,

Хаана
- онгоцны проекц дээр
(Зураг 2.4).

Жишээ 2.4.Хаалттай гадаргуугаар дамжин векторын талбайн урсгалыг тооцоол , онгоцоор үүсгэгдсэн
ба конусын хэсэг
(
) (Зураг 2.2).

Шийдэл.Остроградский-Гауссын томъёог ашиглацгаая (2.8)

.

Векторын талбайн ялгааг олъё (2.4) томъёоны дагуу:

Хаана
нь интеграци хийгдэж байгаа конусын эзэлхүүн юм. Конусын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд сайн мэддэг томъёог ашиглацгаая
(- конусын суурийн радиус, - түүний өндөр). Манай тохиолдолд бид авдаг
. Эцэст нь бид авдаг

.

Жишээ 2.5.Вектор талбайн эргэлтийг тооцоол
контурын дагуу , гадаргуугийн огтлолцолоор үүссэн
Тэгээд
(
). Стоксын томъёог ашиглан үр дүнг шалгана уу.

Шийдэл.Эдгээр гадаргуугийн огтлолцол нь тойрог юм
,
(Зураг 2.1). Хязгаарлагдмал хэсэг нь зүүн тийшээ үлдэхийн тулд голдуу дамжих чиглэлийг сонгодог. Контурын параметрийн тэгшитгэлийг бичье :

хаана

ба параметр -аас ялгаатай өмнө
. (2.1) ба (2.10)-ыг харгалзан (2.7) томъёог ашиглан бид олж авна

.

Одоо Стоксын томъёог (2.9) хэрэглэцгээе. Гадаргуугаар , контур дээр сунгасан , та онгоцны нэг хэсгийг авч болно
. Ердийн чиглэл
энэ гадаргууд хүрэх нь контурын эргэлтийн чиглэлтэй тохирч байна . Өгөгдсөн вектор талбарын буржгарыг Жишээ 2.2-т тооцоолсон болно.
. Тиймээс хүссэн эргэлт

Хаана
- бүс нутгийн нутаг дэвсгэр
.
- тойргийн радиус
, хаана

Сансарт хоёр тэгш өнцөгт координатын системтэй байцгаая
, мөн функцүүдийн систем

(1)

зарим газар цэгүүдийн хооронд ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгодог
Тэгээд
Эдгээр координатын системд. (1) системийн функцууд байна гэж үзье
тасралтгүй хэсэгчилсэн дериватив. Тодорхойлогч нь эдгээр хэсэгчилсэн деривативуудаас бүрддэг

,

функцын системийн Якобиан (эсвэл Якоби тодорхойлогч) гэж нэрлэдэг (1). Бид үүнийг таамаглах болно
В
.

Дээрх таамаглалын дагуу гурвалсан интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх дараах ерөнхий томъёог баримтална.

Давхар интегралын хувьд (1) системийн харилцан өвөрмөц байдал ба нөхцөл
бие даасан цэг, бие даасан шугам, бие даасан гадаргуу дээр зөрчигдөж болно.

Цэг бүрийн функцын систем (1).
нэг цэгтэй таарч байна
. Энэ гурван тоо
цэгийн муруйн координат гэж нэрлэдэг . Сансрын цэгүүд
, эдгээр координатуудын аль нэг нь тогтмол утгыг хадгалж байдаг, гэж нэрлэгддэгийг үүсгэнэ. координатын гадаргуу.

II Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Цилиндр координатын систем (CSS) нь хавтгайгаар тодорхойлогддог
, үүнд туйлын координатын систем болон тэнхлэгийг заасан
, энэ хавтгайд перпендикуляр. Цэгийн цилиндр координат
, Хаана
– цэгийн туйлын координат – төсөөлөл t нүдний шил онгоц руу
, А – эдгээр нь цэгийн проекцын координатууд юм тэнхлэг бүрт
эсвэл
.

Онгоцонд
бид декарт координатыг ердийн аргаар оруулж, хэрэглээний тэнхлэгийг тэнхлэгийн дагуу чиглүүлнэ
CSK. Одоо цилиндр координатыг декарттай холбосон томъёог олж авахад хэцүү биш юм.

(3)

Эдгээр томьёо нь тухайн талбайг бүхэлд нь орон зайд буулгадаг
.

Хэлэлцэж буй тохиолдолд координатын гадаргуу нь:

1)
– тэнхлэгтэй параллель генератор бүхий цилиндр гадаргуу
, тэдгээрийн чиглүүлэгчид нь онгоцонд тойрог байдаг
, цэг дээр төвлөрсөн ;

2)

;

3)
– хавтгайтай параллель байгаа онгоцууд
.

Системийн Якобиан (3):

.

CSK-ийн ерөнхий томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Тайлбар 1 . Интеграцийн талбар нь дугуй цилиндр эсвэл конус, эсвэл эргэлтийн параболоид (эсвэл тэдгээрийн хэсэг) бөгөөд энэ биеийн тэнхлэг нь хэрэглээний тэнхлэгтэй давхцаж байгаа тохиолдолд цилиндр координат руу шилжихийг зөвлөж байна.
.

Тайлбар 2. Цилиндр координатыг хавтгай дээрх туйлын координаттай адил ерөнхийлж болно.

Жишээ 1. Функцийн гурвалсан интегралыг тооцоол

бүс нутгаар
, цилиндрийн дотоод хэсгийг төлөөлдөг
, конусаар хязгаарлагдсан
ба параболоид
.

Шийдэл. Бид энэ хэсгийг §2, жишээ 6-д аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд DPSC-д стандарт оруулга авсан. Гэсэн хэдий ч энэ бүсэд интегралыг тооцоолоход хэцүү байдаг. CSK руу явцгаая:

.

Төсөл
бие
онгоц руу
- энэ бол тойрог
. Тиймээс координат 0-ээс хэлбэлздэг
, А - 0-ээс Р. Дурын цэгээр дамжуулан
тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам зурна
. Шулуун шугам орох болно
конус дээр, гэхдээ параболоид дээр гарч ирнэ. Гэхдээ конус
CSC-д тэгшитгэлтэй байна
, ба параболоид
- тэгшитгэл
. Тэгэхээр бидэнд байгаа

III Бөөрөнхий координат дахь гурвалсан интеграл

Бөмбөрцөг координатын систем (SCS) нь хавтгайгаар тодорхойлогддог
, үүнд UCS-г заасан бөгөөд тэнхлэг
, хавтгайд перпендикуляр
.

Цэгийн бөмбөрцөг координат орон зайг тооны гурвалсан гэж нэрлэдэг
, Хаана – цэгийг хавтгайд тусгах туйлын өнцөг
,- тэнхлэг хоорондын өнцөг
ба вектор
Тэгээд
.

Онгоцонд
Декартын координатын тэнхлэгүүдийг танилцуулъя
Тэгээд
ердийн аргаар, мөн хэрэглээний тэнхлэг нь тэнхлэгтэй нийцдэг
. Бөмбөрцөг координатыг декарт координатуудтай холбосон томъёонууд дараах байдалтай байна.

(4)

Эдгээр томьёо нь тухайн талбайг бүхэлд нь орон зайд буулгадаг
.

Функцийн системийн Якобиан (4):

.

Координатын гадаргуугийн гурван бүлэг байдаг:

1)
– эх нь төвтэй төвлөрсөн бөмбөрцөг;

2)
– тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хагас хавтгай
;

3)
– тэнхлэг нь тэнхлэг болох координатын эхэнд оройтой дугуй конусууд
.

Гурвалсан интеграл дахь SSC руу шилжих томъёо:

Тайлбар 3. Интеграцийн домэйн нь бөмбөг эсвэл түүний хэсэг байх үед SCS руу шилжихийг зөвлөж байна. Энэ тохиолдолд бөмбөрцгийн тэгшитгэл
ордог. Өмнө дурьдсан CSK-ийн нэгэн адил CSK нь тэнхлэгт "уягдсан"
. Хэрэв бөмбөрцгийн төв нь координатын тэнхлэгийн дагуу радиусаар шилжсэн бол тэнхлэгийн дагуу шилжсэн үед бид хамгийн энгийн бөмбөрцөг тэгшитгэлийг олж авна.
:

Тайлбар 4. SSC-ийг дараахь байдлаар нэгтгэж болно.

Якобиантай хамт
. Энэхүү функцийн систем нь эллипсоидыг орчуулах болно

"параллелепипед"

Жишээ 2. Радиустай бөмбөг дээрх цэгүүдийн дундаж зайг ол түүний төвөөс.

Шийдэл. Функцийн дундаж утга гэдгийг санаарай
бүсэд
нь тухайн муж дээрх функцийн гурвалсан интегралыг тухайн бүсийн эзэлхүүнд хуваасан юм. Манай тохиолдолд

Тэгэхээр бидэнд байгаа

Depositfiles-аас татаж авах

Гурвалсан интеграл.

Хяналтын асуултууд.

Гурвалсан интеграл, түүний шинж чанарууд.

Гурвалсан интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт. Цилиндр координат дахь гурвалсан интегралын тооцоо.

Бөмбөрцөг координат дахь гурвалсан интегралын тооцоо.

Функцийг зөвшөөр у= е(x,y,z) хязгаарлагдмал хаалттай бүсэд тодорхойлсон Ворон зай Р 3. Талбайг хувацгаая Всанамсаргүй байдлаар nанхан шатны хаалттай газар В 1 , … ,В n, эзлэхүүнтэй  В 1 , …,  В nтус тус. гэж тэмдэглэе г- талбайн диаметрээс хамгийн том нь В 1 , … ,В n. Бүх бүс нутагт В кдурын цэг сонгох П к (x к , y к ,z к) ба бүрдүүлнэ интеграл нийлбэрфункцууд е(x, y,z)

С =

Тодорхойлолт.Гурвалсан интегралфункцээс е(x, y,z) бүс нутгаар Винтеграл нийлбэрийн хязгаар гэж нэрлэдэг
, хэрэв байгаа бол.

Тиймээс,

(1)

Сэтгэгдэл.Хуримтлагдсан нийлбэр Сталбайг хэрхэн хуваахаас хамаарна В болон цэгүүдийг сонгох П к (к=1, …, n). Гэсэн хэдий ч, хэрэв хязгаар байгаа бол энэ нь бүс нутгийг хэрхэн хуваахаас хамаарахгүй Вболон цэгүүдийг сонгох П к. Хэрэв та давхар ба гурвалсан интегралуудын тодорхойлолтыг харьцуулж үзвэл тэдгээрийн бүрэн зүйрлэлийг харахад хялбар байдаг.

Гурвалсан интеграл байх хангалттай нөхцөл.Хэрэв функц байвал гурвалсан интеграл (13) байна е(x, y,z) хязгаарлагдмал Вмөн үргэлжилдэг В, дотор байрлах хязгаарлагдмал тооны хэсэгчилсэн гөлгөр гадаргууг эс тооцвол В.

Гурвалсан интегралын зарим шинж чанарууд.

1) Хэрэв ХАМТтоон тогтмол юм, тэгвэл

3) Талбай дээрх нэмэлт. Хэрэв талбай В бүс нутагт хуваагдана В 1 Тэгээд В 2, тэгвэл

4) Биеийн хэмжээ Втэнцүү байна

(2 )

Декарт координат дахь гурвалсан интегралын тооцоо.

Болъё Д биеийн проекц Вонгоц руу xOy, гадаргуу z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) биеийг хязгаарлах Вдоор ба дээр тус тус. Энэ нь тийм гэсэн үг

В = {(x, y, z): (x, y)Д , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Ийм биеийг нэрлэе z-цилиндр хэлбэртэй. Гурвалсан интеграл (1) гаруй z-цилиндр хэлбэртэй бие Внь давхар ба тодорхой интегралаас бүрдэх давталттай интеграл руу шилжих замаар тооцоолно.

(3 )

Энэхүү давтагдсан интегралд хувьсагч дээрх дотоод тодорхой интегралыг эхлээд үнэлнэ. z, үүнд x, yбайнгын гэж үздэг. Дараа нь үүссэн функцийн талбай дээрх давхар интегралыг тооцоолно Д.

Хэрэв В х-цилиндр эсвэл у-цилиндр биетэй бол дараах томьёо зөв байна.

Эхний томъёонд Д  биеийн проекц Вкоординатын хавтгайд yOz, хоёрдугаарт - онгоц руу xOz

Жишээ. 1) Биеийн эзлэхүүнийг тооцоол В, гадаргуугаар хязгаарлагддаг z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Шийдэл. (2) томъёоны дагуу гурвалсан интеграл ашиглан эзлэхүүнийг тооцоолъё.

Томъёо (3) ашиглан давтан интеграл руу шилжье.

Болъё Д- тойрог x 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 + y 2. Дараа нь (3) томъёог ашиглан бид олж авна

Энэ интегралыг тооцоолохын тулд туйлын координат руу шилжье. Үүний зэрэгцээ тойрог Дбагц болгон хувиргадаг

Д r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) бие В гадаргуу дээр хязгаарлагддаг z=y , z= –y , x= 0 , x= 2, у= 1. Тооцоолох

Онгоц z = y , z = –yбиеийг доод ба дээрээс, онгоцноос тус тус хязгаарлах x= 0 , x= 2 биеийг арын болон урд талаас тус тус хязгаарлаж, онгоц у=Баруун талд 1 хязгаар. V -z-цилиндр хэлбэртэй бие, түүний төсөөлөл Донгоц руу xOyтэгш өнцөгт юм OABC. тавья φ 1 (x , y ) = – ж