гэр » Лекцийн тэмдэглэл » Шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн дэд системийг гэнэ. Шугаман алгебр тэгшитгэлийн систем шийдвэрлэх арга, жишээ

Шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн дэд системийг гэнэ. Шугаман алгебр тэгшитгэлийн систем шийдвэрлэх арга, жишээ

Хаана x* - нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн нэг (2) (жишээ нь (4)), (E−A+A)матрицын цөм (цөм) -ийг бүрдүүлдэг А.

Матрицын араг ясны задралыг хийцгээе (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Хаана Q n×n−r- эрэмбийн матриц (Q)=n−r, С n−r×n- эрэмбийн матриц (S)=n−r.

Дараа нь (13) дараах хэлбэрээр бичиж болно.

x=x*+Q·k, ∀ к ∈ Rn-r.

Хаана k=Sz.

Тэгэхээр, ерөнхий шийдлийг олох журамХуурамч урвуу матриц ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Псевдоурвуу матрицыг тооцоолох А + .
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн тодорхой шийдлийг бид тооцоолно (2): x*=А + б.
Бид системийн нийцтэй байдлыг шалгадаг. Үүнийг хийхийн тулд бид тооцоолно А.А. + б. Хэрэв А.А. + б≠б, дараа нь систем нь нийцэхгүй байна. Үгүй бол бид процедурыг үргэлжлүүлнэ.
Үүнийг олж мэдье E−A+A.
Араг ясны задралыг хийж байна E−A + A=Q·S.
Шийдэл бий болгох

x=x*+Q·k, ∀ к ∈ Rn-r.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг онлайнаар шийдвэрлэх

Онлайн тооцоолуур нь нарийн тайлбар бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг олох боломжийг танд олгоно.

n хувьсагч агуулсан m шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье

(1)

Энэ системийг товчоор дараах байдлаар бичиж болно.

Эсвэл матриц хэлбэрээр: Ax = B.

Шугаман програмчлалын асуудалд тодорхойгүй тэгшитгэлийн системийг авч үздэг, жишээлбэл. хязгааргүй олон шийдэлтэй. Дараа нь системийн матрицын зэрэглэл r

,
хувьсагчийн тооноос бага: rn. Энэ нь (1) дэх шугаман бие даасан тэгшитгэлийн хамгийн их тоо r-тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. (1) системд шугаман бие даасан тэгшитгэлийн тоо m-тэй тэнцүү байна гэж бид таамаглах болно. r = м. Энэ тохиолдолд m хувьсагч, коэффициент байдаг гэдгийг алгебраас мэддэг (1) системд тэгээс өөр тодорхойлогчтой матриц үүсгэдэг. Ийм тодорхойлогчийг үндсэн минор, харгалзах хувьсагчдыг үндсэн гэж нэрлэдэг. Үлдсэн n – m хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг. Үндсэн хувьсагчдыг (1) системийн тэгшитгэлийг ашиглан чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлж, чөлөөт хувьсагчдад дурын утгыг оноож, Крамерын томъёог ашиглан үндсэн хувьсагчдын утгыг олох боломжтой. Үр дүн нь (1) системийн шийдлүүдийн нэг юм.

Тодорхойлолт 1.Чөлөөт хувьсагчдын тэг утгуудаар олж авсан шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг (1) үндсэн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Үндсэн хувьсагчид, тиймээс үндсэн шийдийн тэг биш бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь шугаман тэгшитгэлийн системийн коэффициент матрицын шугаман бие даасан баганатай тохирч байна. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн шийдлийн өөр тодорхойлолтыг өгөх боломжийг бидэнд олгодог.

Тодорхойлолт 2.Шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн шийдэл нь тэг биш бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь энэ системийн коэффициент матрицын шугаман бие даасан баганатай тохирч байгаа энэ системийн шийдэл юм.

Үндсэн хувьсагч нь (1)-д заасан n хувьсагчаас m хувьсагч агуулсан өөр өөр бүлгүүд байж болно. n хувьсагч агуулсан олонлогоос m хувьсагчийг сонгох боломжит хамгийн их тоо нь хослолын тоотой тэнцүү байна. . Гэсэн хэдий ч (1) систем дэх сонгосон m хувьсагчийн коэффициентүүдээс бүрдэх матрицын харгалзах тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдол бий. Тиймээс үндсэн хувьсагчдын бүлгүүдийн тоо хэтрдэггүй . Үндсэн хувьсагчдын бүлэг бүрийн хувьд (1) системийн харгалзах үндсэн шийдлийг олох боломжтой. Дээрх үндэслэлээс теорем дараах байдалтай байна.

Теорем. Системийн матрицын зэрэглэл нь тодорхойгүй системийн үндсэн шийдлүүдийн тоо (1).r = м < nхэтрэхгүй .

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийн бүх үндсэн шийдлүүдийг ол (2):

(2)

Шийдэл. r=m=2, n=4 байх нь ойлгомжтой. Үндсэн хувьсагчдын бүлгүүдийн нийт тоо түүнээс ихгүй байна = 6. Гэсэн хэдий ч системийн матриц дахь хувьсагчдын коэффициентүүдийн нэг, хоёр, дөрөв дэх багана нь пропорциональ байдаг тул эдгээр гурван баганын аль ч хоёрынх нь коэффициентээс бүрдэх хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна. Үлдсэн багцууд:
,
Тэгээд
.

Хувьсагчийн багцын хувьд
тэдгээрийн коэффициентуудаас бүрдэх тодорхойлогч d = = –2 0. Иймээс эдгээр хувьсагчдыг үндсэн хувьсагч гэж үзэж болно.
- үнэ төлбөргүй. Чөлөөт хувьсагчдад тэг утгыг оноож үзье:
Бид системийг шийддэг:

(3)
, хаана
.

Энэхүү онлайн тооцоолуур нь Jordan-Gauss аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг олдог. Нарийвчилсан шийдлийг өгсөн болно. Тооцоолохын тулд тэгшитгэлийн тоо болон хувьсагчийн тоог сонгоно уу. Дараа нь нүднүүдэд өгөгдлийг оруулаад "Тооцоолох" товчийг дарна уу.

Жордан-Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох онолын хэсгийг доороос үзнэ үү.

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Тооны төлөөлөл:

Бүхэл тоо ба/эсвэл энгийн бутархай
Бүхэл тоо ба/эсвэл аравтын тоо

Аравтын салгуурын дараа байрлах газрын тоо

Анхааруулга

Бүх нүдийг арилгах уу?

Цэвэр хаах

Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын бутархай (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр оруулах ёстой бөгөөд a ба b (b>0) нь бүхэл тоо эсвэл аравтын бутархай болно. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.

Жордан-Гаусын арга

Жордан-Гаусын арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга бөгөөд урвуу матрицыг олох арга юм. Энэ арга нь Гауссын аргын өөрчлөлт юм.

Жордан-Гаусын аргын эхний үе шат нь Гауссын аргатай төстэй (Шууд Гауссын хөдөлгөөн) бөгөөд үүнийг "Гауссын арга онлайн" хуудаснаас дэлгэрэнгүй үзэх боломжтой. Жордан-Гаусын аргын хоёр дахь үе шат (урвуу) нь шугаман тэгшитгэлийн системийн коэффициент матрицын бүх элементүүдийг тэргүүлэх элементүүдээс дээш тэглэх явдал юм. Энд бид шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг авч үзэж байгаа бөгөөд хувьсагчийн тоо нь хязгаарлалтын тоотой тэнцүү биш байж болохыг анхаарна уу.

Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

(1)

(1) системийг матриц хэлбэрээр бичье.

Сүх=б

(2)

(3)

А- системийн коэффициент матриц гэж нэрлэдэг, б- хязгаарлалтын баруун тал, x− олдох хувьсагчдын вектор. зэрэглүүлээрэй( А)=х.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг байгуулъя:

Хэрэв ,..., тэгтэй тэнцүү бол шугаман тэгшитгэлийн систем шийдэлтэй боловч эдгээр тоонуудын ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай байвал систем нь нийцэхгүй байна. Өөрөөр хэлбэл (2) систем нь матрицын зэрэглэлд нийцсэн тохиолдолд л нийцнэ Аөргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү ( А|б).

Болъё . Дараа нь урвуу дарааллаар, тэргүүлэх элементээс эхлэн бид урвуу Гауссын хөдөлгөөнийг хийнэ. Урвуу хөдөлгөөний мөн чанар нь өргөтгөсөн матрицын тэргүүлэх элементүүдээс өндөр байгаа бүх элементүүдийг дахин тохируулах явдал юм.

Тиймээс, баганын бүх элементүүдийг дахин тохируулцгаая х, элементийн дээгүүр. ≠0-ээс хойш бид 1,2,... мөрүүдийг нэмнэ. p− 1 шугамтай х, үржүүлсэн тус тус.

Өргөтгөсөн матриц нь дараах хэлбэртэй байна.

Мөр бүрийг харгалзах тэргүүлэх элементээр нь хуваа (хэрэв тэргүүлэгч элемент байгаа бол):

Дараа нь шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Матрицын бичлэгийн төрөл: Сүх=б, Хаана

-ээр тэмдэглэе a ijэлементүүд би-р мөр ба jр багана.

Эхний шат. Урагш Гауссын хөдөлгөөн

аарван нэгэн. Үүнийг хийхийн тулд 1/2,-3/2-оор үржүүлсэн 2,3-р мөрийг 1-р мөрөнд нэмнэ.

Элемент дээрх матрицын 3-р баганын элементүүдийг хасъя а 33. Үүнийг хийхийн тулд 1, 2-р мөрийг 3-р мөрөнд нэмж, -3/2, -5/4-ээр үржүүлнэ.

Бид матрицын мөр бүрийг харгалзах тэргүүлэх элементээр хуваана (хэрэв тэргүүлэгч элемент байгаа бол):

Матрицын бичлэгийн төрөл: Сүх=б, Хаана

-ээр тэмдэглэе a ijэлементүүд би-р мөр ба jр багана.

Эхний шат. Гауссын шууд хөдөлгөөн.

Элементийн доор байрлах матрицын 1-р баганын элементүүдийг хасъя аарван нэгэн. Үүнийг хийхийн тулд 4/3, 5/3-аар үржүүлсэн 1-р мөрөнд 2,3-р мөрүүдийг нэмнэ.

Хоёр дахь үе шат. Гауссын урвуу

Элемент дээрх матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя а 22. Үүнийг хийхийн тулд 1-р мөрийг 2-р мөрийг -3/10-аар үржүүлнэ.

Хувьсагчдыг илэрхийлье x 1 , xБусад хувьсагчтай харьцуулахад 2.

Дараа нь вектор шийдлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

x 3 нь дурын бодит тоо юм.

Жишээ 1. Системийн ерөнхий шийдэл болон тодорхой шийдлийг ол

ШийдэлБид үүнийг тооцоолуур ашиглан хийдэг. Өргөтгөсөн болон үндсэн матрицуудыг бичье.

Үндсэн А матриц нь тасархай шугамаар тусгаарлагддаг.Бид системийн тэгшитгэлийн нэр томьёоны дахин зохион байгуулалтыг санаж, дээд талд үл мэдэгдэх системүүдийг бичдэг. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох замаар бид нэгэн зэрэг үндсэн матрицын зэрэглэлийг олдог. В матрицын эхний ба хоёр дахь багана нь пропорциональ байна. Хоёр пропорциональ баганаас зөвхөн нэг нь үндсэн баганад орох боломжтой тул жишээлбэл, эхний баганыг эсрэг тэмдэгтэй тасархай шугамын цаана шилжүүлье. Системийн хувьд энэ нь x 1-ээс тэгшитгэлийн баруун тал руу нэр томъёог шилжүүлэх гэсэн үг юм.

Матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Матрицын мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, системийн өөр мөрөнд нэмэх нь тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлж, өөр тэгшитгэлээр нэмнэ гэсэн үг тул бид зөвхөн мөрүүдтэй ажиллах болно. систем. Бид эхний эгнээтэй ажилладаг: матрицын эхний эгнээ (-3) -аар үржүүлж, хоёр, гурав дахь эгнээнд ээлжлэн нэмнэ. Дараа нь эхний мөрийг (-2) үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ.

Хоёр ба гурав дахь мөр нь пропорциональ тул тэдгээрийн аль нэгийг нь, жишээлбэл, хоёр дахь мөрийг нь хасаж болно. Гурав дахь тэгшитгэлийн үр дагавар учраас энэ нь системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг хасахтай тэнцүү юм.

Одоо бид хоёр дахь мөрөнд ажиллаж байна: үүнийг (-1) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ.

Тасалсан шугамаар дугуйлсан минор нь хамгийн өндөр дараалалтай (боломжтой жижиг хэсгүүдийн тоо) бөгөөд тэгээс ялгаатай (энэ нь үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү), энэ минор нь үндсэн матриц болон өргөтгөсөн аль алинд нь хамаарна. RangA = RangB = 3.
Бага суурь юм. Үүнд x 2 , x 3 , x 4 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 2 , x 3 , x 4 нь хамааралтай, x 1 , x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.
Матрицыг хувиргаж, зүүн талд зөвхөн минорын суурийг үлдээе (энэ нь дээрх шийдлийн алгоритмын 4-р цэгт тохирч байна).

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд хэлбэртэй байна

Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
, ,

Бид x 2, x 3, x 4 хамааралтай хувьсагчдыг x 1 ба x 5 чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдлийг олсон.

Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлд ямар ч утгыг оноож өгснөөр бид тодорхой шийдлүүдийг олж авдаг. Хоёр тодорхой шийдлийг олцгооё:
1) x 1 = x 5 = 0, тэгвэл x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, дараа нь x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Ийнхүү хоёр шийдэл олдлоо: (0,1,-3,3,0) – нэг шийдэл, (1,4,-7,7,-1) – өөр шийдэл.

Жишээ 2. Тохиромжтой байдлыг судалж, системийн ерөнхий болон нэг тодорхой шийдлийг олоорой

Шийдэл. Эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлд нэг байхаар дахин цэгцэлж, В матрицыг бичье.

Эхний мөртэй ажиллах замаар бид дөрөв дэх баганад тэгийг авна.

Одоо бид хоёр дахь мөрийг ашиглан гурав дахь баганад тэгийг авна.

Гурав, дөрөв дэх мөр нь пропорциональ тул тэдгээрийн аль нэгийг нь зэрэглэлийг өөрчлөхгүйгээр зурж болно.
Гурав дахь мөрийг (-2)-оор үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ:

Үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэл нь 4-тэй тэнцүү бөгөөд зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байгааг бид харж байна, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
;
x 4 = 10- 3х 1 – 3х 2 – 2х 3 = 11.

Жишээ 3. Системийн нийцтэй байдлыг шалгаж, хэрэв байгаа бол шийдлийг олоорой.

Шийдэл. Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бүрдүүлдэг.

Бид эхний хоёр тэгшитгэлийг зүүн дээд буланд 1 байхаар өөрчлөнө.
Эхний мөрийг (-1) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ:

Хоёр дахь мөрийг (-2)-оор үржүүлээд гурав дахь мөрөнд нэмнэ.

Үндсэн матрицад бид тэгээс бүрдэх мөрийг хүлээн авсан бөгөөд эрэмбэ олдох үед таслагдах боловч өргөтгөсөн матрицад сүүлчийн эгнээ хэвээр байна, өөрөөр хэлбэл r B > r A .

Дасгал хийх. Энэ тэгшитгэлийн системийг нийцтэй эсэхийг судалж, матрицын тооцоолол ашиглан шийд.
Шийдэл

Жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг баталж, үүнийг хоёр аргаар шийд: 1) Гауссын аргаар; 2) Крамерын арга. (хариултыг x1,x2,x3 хэлбэрээр оруулна уу)
Шийдэл :doc :doc :xls
Хариулт: 2,-1,3.

Жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгөв. Түүний нийцтэй байдлыг нотлох. Системийн ерөнхий шийдэл ба нэг тодорхой шийдлийг ол.
Шийдэл
Хариулт: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Дасгал хийх. Систем бүрийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох.
Шийдэл.Бид энэ системийг Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан судалдаг.
Өргөтгөсөн болон үндсэн матрицуудыг бичье.

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Энд А матрицыг тодоор тодруулсан.
Матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Матрицын мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, системийн өөр мөрөнд нэмэх нь тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлж, өөр тэгшитгэлээр нэмнэ гэсэн үг тул бид зөвхөн мөрүүдтэй ажиллах болно. систем.
1-р мөрийг (3) үржүүлье. 2-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

2-р мөрийг (2) үржүүлье. 3-р мөрийг (-3) үржүүлнэ. 3-р мөрийг 2-т нэмье:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

2-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Сонгосон минор нь хамгийн өндөр эрэмбтэй (боломжтой насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн тоо) бөгөөд тэг биш (урвуу диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү) бөгөөд энэ минор нь үндсэн болон өргөтгөсөн матрицад хоёуланд нь хамаарах тул rang( A) = rang(B) = 3 Үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү тул систем нь хамтын ажиллагаа юм.
Энэ насанд хүрээгүй хүүхэд бол үндсэн юм. Үүнд x 1 , x 2 , x 3 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 1 , x 2 , x 3 нь хамааралтай (үндсэн), x 4 , x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.
Матрицыг хувиргаж, зүүн талд зөвхөн минор суурь үлдээе.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.
27х 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2х 1 + 3х 2 - 3х 3 = 1 - 3х 4 + 2х 5
Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
Бид x 1 , x 2 , x 3 хамааралтай хувьсагчдыг x 4 , x 5 чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл бид олсон. нийтлэг шийдвэр:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
тодорхойгүй, учир нь нэгээс олон шийдэлтэй.

Дасгал хийх. Тэгшитгэлийн системийг шийд.
Хариулт:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлд ямар ч утгыг оноож өгснөөр бид тодорхой шийдлүүдийг олж авдаг. Систем нь тодорхойгүй

§1. Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.

Системийг харах

систем гэж нэрлэдэг мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.

Энд
- үл мэдэгдэх, - үл мэдэгдэх коэффициентүүд,
- тэгшитгэлийн чөлөөт нөхцөл.

Хэрэв тэгшитгэлийн бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол системийг дуудна нэгэн төрлийн.Шийдвэрээрсистемийг тоонуудын цуглуулга гэж нэрлэдэг
, тэдгээрийг үл мэдэгдэхийн оронд системд орлуулах үед бүх тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал болж хувирдаг. систем гэж нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. Өвөрмөц шийдэл бүхий нийцтэй системийг нэрлэдэг тодорхой. Хоёр системийг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн шийдлийн багц давхцаж байвал.

Системийг (1) тэгшитгэлийг ашиглан матриц хэлбэрээр илэрхийлж болно

(2)

§2. Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдал.

(1) системийн өргөтгөсөн матрицыг матриц гэж нэрлэе

Кронекер-Капелли теорем. Систем (1) нь системийн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л тогтвортой байна:

§3. Системийн шийдэлn шугаман тэгшитгэлүүдn үл мэдэгдэх.

Нэг төрлийн бус системийг авч үзье nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх:

(3)

Крамерын теорем.Хэрэв системийн гол тодорхойлогч (3)
, дараа нь систем нь томъёогоор тодорхойлогддог өвөрмөц шийдэлтэй байна:

тэдгээр.
,

Хаана - тодорхойлогчоос олж авсан тодорхойлогч солих th баганаас чөлөөт гишүүдийн баганад.

Хэрэв
, дор хаяж нэг нь ≠0 бол системд шийдэл байхгүй болно.

Хэрэв
, тэгвэл систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

(3) системийг түүний матриц хэлбэрийг (2) ашиглан шийдэж болно. Хэрэв матрицын зэрэглэл байвал Атэнцүү байна n, өөрөөр хэлбэл
, дараа нь матриц Аурвуу талтай
. Матрицын тэгшитгэлийг үржүүлэх
матриц руу
зүүн талд бид дараахь зүйлийг авна.

Сүүлийн тэгшитгэл нь урвуу матриц ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргыг илэрхийлдэг.

Жишээ.Урвуу матриц ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл. Матриц
доройтохгүй, оноос хойш
, энэ нь урвуу матриц байна гэсэн үг. Урвуу матрицыг тооцоолъё:
.

Дасгал хийх. Крамерын аргыг ашиглан системийг шийд.

§4. Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдвэрлэх.

(1) хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийг өгье.

Систем тогтвортой байна гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. Кронекер-Капелли теоремын нөхцөл хангагдсан:
. Хэрэв матрицын зэрэглэл байвал
(үл мэдэгдэх тоо), дараа нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. Хэрэв
, тэгвэл систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй. Би тайлбарлая.

Матрицын зэрэглэлийг өгье r(А)= r< n. Учир нь
, дараа нь зарим нэг тэг бус жижиг эрэмбийн байна r. Үүнийг үндсэн насанд хүрээгүй гэж нэрлэе. Коэффициент нь суурь минор болдог үл мэдэгдэх зүйлсийг үндсэн хувьсагч гэж нэрлэнэ. Үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бид чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг. Энэ минорыг системийн матрицын зүүн дээд буланд байрлуулахын тулд тэгшитгэлүүдийг дахин цэгцэлж, хувьсагчдыг дахин дугаарлацгаая.

Эхлээд rшугамууд нь шугаман бие даасан, бусад нь тэдгээрээр илэрхийлэгддэг. Тиймээс эдгээр шугамуудыг (тэгшитгэл) хаяж болно. Бид авах:

Чөлөөт хувьсагчдад дурын тоон утгыг өгье: . Зүүн талд зөвхөн үндсэн хувьсагчдыг үлдээж, чөлөөтэйг нь баруун тал руу шилжүүлье.

Системээ авсан rшугаман тэгшитгэлүүд rтодорхойлогч нь 0-ээс ялгаатай тодорхойгүй. Энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй.

Энэ системийг шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг (1). Үгүй бол: үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэхийг нэрлэдэг ерөнхий шийдвэрсистемүүд. Үүнээс та хязгааргүй тоог авч болно хувийн шийдлүүд, чөлөөт хувьсагчдад дурын утгыг өгөх. Чөлөөт хувьсагчдын тэг утгын ерөнхий нэгээс олж авсан тодорхой шийдлийг дууддаг үндсэн шийдэл. Төрөл бүрийн үндсэн шийдлүүдийн тоо хэтрэхгүй байна
. Сөрөг бус бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй үндсэн шийдлийг нэрлэнэ дэмжиж байнасистемийн шийдэл.

Жишээ.

,r=2.

Хувьсагч
- үндсэн,
- үнэ төлбөргүй.

Тэгшитгэлүүдийг нэмье; илэрхийлье
дамжуулан
:

- нийтлэг шийдвэр.

- хувийн шийдэл
.

- үндсэн шийдэл, лавлагаа.

§5. Гауссын арга.

Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг судлах, шийдвэрлэх бүх нийтийн арга юм. Энэ нь системийн эквивалентыг зөрчөөгүй энгийн хувиргалтыг ашиглан үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах замаар системийг диагональ (эсвэл гурвалжин) хэлбэрт оруулахаас бүрдэнэ. Хэрэв хувьсагч нь 1 коэффициент бүхий системийн зөвхөн нэг тэгшитгэлд багтсан бол түүнийг хассан гэж үзнэ.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдсистемүүд нь:

Тэгшитгэлийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

Дурын тоогоор үржүүлсэн тэгшитгэлийг өөр тэгшитгэлээр нэмэх;

Тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах;

0 = 0 тэгшитгэлээс татгалзаж байна.

Элементар хувиргалтыг тэгшитгэл дээр биш харин үүссэн эквивалент системийн өргөтгөсөн матрицууд дээр хийж болно.

Жишээ.

Шийдэл.Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье.

Энгийн хувиргалтуудыг хийснээр бид матрицын зүүн талыг нэгж хэлбэрт оруулна: бид үндсэн диагональ дээр нэгийг, түүний гадна талд тэгүүдийг үүсгэнэ.

Сэтгэгдэл. Хэрэв анхан шатны хувиргалтыг хийхдээ 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна = к(Хаана руу0), тэгвэл систем нь тогтворгүй болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах аргаар шийдлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. ширээ.

Хүснэгтийн зүүн баганад хасагдсан (үндсэн) хувьсагчдын талаарх мэдээллийг агуулна. Үлдсэн баганууд нь үл мэдэгдэхийн коэффициент ба тэгшитгэлийн чөлөөт нөхцлүүдийг агуулна.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг эх хүснэгтэд тэмдэглэв. Дараа нь бид Жорданы хувиргалтыг хийж эхэлнэ.

1. Хувьсагчийг сонгоно уу , энэ нь үндэс болно. Харгалзах баганыг түлхүүр багана гэж нэрлэдэг. Энэ хувьсагчийг бусад тэгшитгэлээс хасч үлдэх тэгшитгэлийг сонгоно уу. Харгалзах хүснэгтийн мөрийг түлхүүр мөр гэж нэрлэдэг. Коэффицент , гол мөр ба гол баганын огтлолцол дээр зогсохыг түлхүүр гэж нэрлэдэг.

2. Түлхүүр мөрийн элементүүд нь гол элементэд хуваагдана.

3. Түлхүүр баганыг тэгээр дүүргэсэн.

4. Үлдсэн элементүүдийг тэгш өнцөгтийн дүрмийг ашиглан тооцоолно. Эсрэг орой дээр гол элемент ба дахин тооцоолсон элемент байгаа тэгш өнцөгтийг бүтээх; гол элементтэй тэгш өнцөгтийн диагональ дээр байрлах элементүүдийн үржвэрээс нөгөө диагональын элементүүдийн үржвэрийг хасч, гарсан зөрүүг гол элементэд хуваана.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл ба үндсэн шийдийг ол.

Шийдэл.

Системийн ерөнхий шийдэл:

Үндсэн шийдэл:
.

Нэг орлуулалтын хувиргалт нь системийн нэг баазаас нөгөөд шилжих боломжийг олгодог: үндсэн хувьсагчийн оронд чөлөөт хувьсагчийн аль нэгийг суурь болгон нэвтрүүлдэг. Үүнийг хийхийн тулд чөлөөт хувьсагчийн баганад гол элементийг сонгоод дээрх алгоритмын дагуу хувиргалтыг хийнэ.

§6. Туслах шийдлүүдийг хайж олох

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишиг шийдэл нь сөрөг бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулаагүй үндсэн шийдэл юм.

Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд системийн лавлагаа шийдлүүдийг Гауссын аргаар олно.

1. Анхны системд бүх үнэгүй нэр томъёо нь сөрөг биш байх ёстой:
.

2. Эерэг коэффициентүүдийн дунд гол элементийг сонгоно.

3. Хэрэв суурьт оруулсан хувьсагч хэд хэдэн эерэг коэффициенттэй бол чөлөөт гишүүний эерэг коэффициенттэй харьцуулсан харьцаа хамгийн бага байх гол шугам болно.

Тайлбар 1. Хэрэв үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах явцад бүх коэффициент нь эерэг биш, чөлөөт гишүүн байх тэгшитгэл гарч ирвэл
, тэгвэл системд сөрөг бус шийдэл байхгүй болно.