Санамсаргүй утга XХэрэв магадлалын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал хэвийн тархалттай (эсвэл Гауссын тархалт) байна.
,
параметрүүд хаана байна А– дурын бодит тоо ба σ >0.
Дифференциал хэвийн тархалтын функцийн графикийг хэвийн муруй (Гаусын муруй) гэнэ. Хэвийн муруй (Зураг 2.12) нь шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй байна X =А, хамгийн их ординаттай, мөн цэгүүдэд X = А± σ – гулзайлт.

Цагаан будаа. 2.12
Параметр болох нь батлагдсан Ань математикийн хүлээлт (мөн горим ба медиан), σ нь стандарт хазайлт юм. Хэвийн тархалтын хазайлт ба куртозын коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна. гэх мэт = Жишээ нь = 0.
Параметрүүдийн өөрчлөлт хэрхэн нөлөөлж байгааг олж мэдье Аба σ нь ердийн муруй шиг харагдаж байна. Параметрийг өөрчлөх үед Ахэвийн муруйн хэлбэр өөрчлөгдөхгүй. Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлт (параметр А) буурсан эсвэл ихсэх үед хэвийн муруйн график зүүн эсвэл баруун тийш шилждэг (Зураг 2.13).
σ параметр өөрчлөгдөхөд хэвийн муруйн хэлбэр өөрчлөгдөнө. Хэрэв энэ параметр нэмэгдвэл функцийн хамгийн их утга буурч, эсрэгээр болно. Тархалтын муруй болон тэнхлэгээр хязгаарлагдсан талбайгаас хойш Өө, тогтмол ба 1-тэй тэнцүү байх ёстой, дараа нь σ параметрийг өсгөхөд муруй нь тэнхлэгт ойртоно Өөба түүний дагуу сунах ба σ буурах үед муруй шулуун шугам болж агшдаг X = А(Зураг 2.14).

Цагаан будаа. 2.13 Зураг. 2.14
Хэвийн тархалтын нягтын функц φ( X) параметрүүдтэй А= 0, σ = 1 гэж нэрлэдэг стандарт хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт , түүний график нь стандарт Гауссын муруй юм.
Ердийн стандарт утгын нягтын функцийг томъёогоор тодорхойлж, түүний графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.15.
Математикийн хүлээлт ба дисперсийн шинж чанаруудаас үзэхэд хэмжигдэхүүний хувьд, Д(У)=1, М(У) = 0. Иймд стандарт хэвийн муруйг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын муруй гэж үзэж болно. X– параметртэй хэвийн тархалтын хуульд хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүн Аба σ.
Интеграл хэлбэрээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хууль хэлбэртэй байна
(2.10)
Интегралыг (3.10) оруулснаар бид олж авна
,
Хаана. Эхний нэр томъёо нь 1/2-тэй тэнцүү байна (3.15-р зурагт үзүүлсэн муруй трапецын талбайн тал хувь). Хоёр дахь хугацаа
(2.11)
дуудсан Лаплас функц , түүнчлэн магадлалын интеграл.
(2.11) томьёоны интеграл нь үндсэн функцээр илэрхийлэгдээгүй тул тооцоо хийхэд хялбар байх үүднээс үүнийг эмхэтгэсэн болно. z≥ 0 Лаплас функцийн хүснэгт. Сөрөг утгуудын хувьд Лапласын функцийг тооцоолох z, Лапласын функцийн сондгой байдлыг ашиглах шаардлагатай: Ф(– z) = – Ф( z). Бид эцэст нь тооцооллын томъёог олж авдаг

Үүнээс бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олж авна X, ердийн хуулийг дагаж мөрдвөл түүний [α, β] сегмент дээр унах магадлал нь
(2.12)
(2.12) томъёог ашиглан бид хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хазайлтын модуль байх магадлалыг олно. Xтүгээлтийн төвөөс А 3σ-аас бага. Бидэнд байгаа
P(| x – а| < 3 s) =P(А-3 сек< X< А+3 с)= Ф(3) – Ф(–3) = 2Ф(3) »0.9973.
Ф(3)-ын утгыг Лаплас функцийн хүснэгтээс авсан.
Энэ үйл явдал гэж ерөнхийдөө хүлээн зөвшөөрч байна практик найдвартай , хэрэв түүний магадлал нь нэгтэй ойролцоо бол, хэрэв магадлал нь тэгтэй ойролцоо байвал бараг боломжгүй юм.
Бид ийм зүйлийг авсан гурван сигма дүрэм : хэвийн тархалтын үйл явдлын хувьд (| x–а| < 3σ) практически достоверно.
Гурван сигма дүрмийг өөрөөр томъёолж болно: ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бүх тэнхлэгийн дагуу тархсан боловч X, түүний бодит боломжит утгуудын хүрээ(а-3σ, а+3σ).
Ердийн тархалт нь хэд хэдэн шинж чанартай бөгөөд үүнийг статистикийн хамгийн түгээмэл тархалтуудын нэг болгодог.
Хэрэв тодорхой санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хангалттай олон тооны бусад санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр гэж үзэх боломжтой бол энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ердийн тархалтын хуульд захирагддаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр нь ямар ч тархалтад захирагдаж болох боловч тэдгээрийн бие даасан байдлын (эсвэл сул бие даасан) нөхцөл хангагдсан байх ёстой. Мөн нийлбэр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн аль нь ч бусдаас эрс ялгаатай байх ёсгүй, өөрөөр хэлбэл. Тэд тус бүр нь нийтдээ ойролцоогоор ижил үүрэг гүйцэтгэх ёстой бөгөөд бусад хэмжигдэхүүнтэй харьцуулахад онцгой том тархалттай байх ёсгүй.
Энэ нь хэвийн тархалтын өргөн тархалтыг тайлбарлаж байна. Энэ нь судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь олон тооны санамсаргүй шалтгааны улмаас үүсдэг бүх үзэгдэл, үйл явцад тохиолддог бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийн тархалтад үзүүлэх нөлөө нь үл тоомсорлодог.
Практикт тохиолдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ихэнх нь (жишээлбэл, тодорхой бүтээгдэхүүний борлуулалтын тоо, хэмжилтийн алдаа; сумны зорилтот хүрээ, чиглэлээс хазайх; машин дээр боловсруулсан эд ангиудын бодит хэмжээсийн хазайлт гэх мэт). нэрлэсэн хэмжээсүүд гэх мэт)-ийг нийлбэрийн тархалтад жигд бага нөлөө үзүүлдэг олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрээр илэрхийлж болно. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэвийн тархалттай гэж үзнэ. Ийм хэмжигдэхүүний хэвийн байдлын тухай таамаглал нь төв хязгаарын теоремоос онолын үндэслэлээ олж, олон тооны практик баталгааг хүлээн авсан.
Тодорхой бүтээгдэхүүнийг хэд хэдэн жижиглэн худалдааны цэгүүдэд зардаг гэж төсөөлөөд үз дээ. Төрөл бүрийн хүчин зүйлсийн санамсаргүй нөлөөллөөс шалтгаалан байршил тус бүрийн барааны борлуулалтын тоо бага зэрэг өөрчлөгдөх боловч бүх утгын дундаж нь борлуулалтын жинхэнэ дундаж тоонд ойртоно.
Борлуулалтын цэг тус бүрийн борлуулалтын тооны дундажаас хазайх нь хэвийн тархалтын муруйтай ойролцоо тэгш хэмтэй тархалтын муруйг үүсгэдэг. Аливаа хүчин зүйлийн системчилсэн нөлөөлөл нь хуваарилалтын тэгш бус байдалд илэрдэг.
Даалгавар. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ихэвчлэн параметрүүдээр тархдаг А= 8, σ = 3. Туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн (12.5; 14) интервалд агуулагдах утгыг авах магадлалыг ол.
Шийдэл. (2.12) томъёог ашиглая. Бидэнд байгаа

Даалгавар. Тодорхой төрлийн долоо хоногт зарагдсан барааны тоо Xхэвийн тархсан гэж үзэж болно. Борлуулалтын тооны математикийн хүлээлт мянган ширхэг Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт нь σ = 0.8 мянган ширхэг. Долоо хоногт 15-17 мянган ширхэг зарагдах магадлалыг ол. бараа.
Шийдэл.Санамсаргүй утга Xпараметрүүдээр хэвийн тархсан А= М( X) = 15.7; σ = 0.8. Та 15 ≤ тэгш бус байдлын магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй X≤ 17. (2.12) томъёог ашиглан бид олж авна

Бүлэг 6. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

§ 1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт ба тархалтын функц.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын багц нь тоолж баршгүй бөгөөд ихэвчлэн төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалыг илэрхийлдэг.

Магадлалын орон зайд (W, S, P) тодорхойлогдсон x(w) санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна Үргэлжилсэн(Үнэхээр тасралтгүй) W, хэрэв сөрөг бус функц байгаа бол аль ч х-ийн хувьд Fx(x) тархалтын функцийг интеграл хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Функцийг функц гэж нэрлэдэг магадлалын тархалтын нягт.

Тодорхойлолт нь тархалтын нягтын функцийн шинж чанарыг илэрхийлдэг.

1..gif" өргөн "97" өндөр "51">

3. Тасралтгүй байдлын цэгүүдэд тархалтын нягт нь тархалтын функцийн деривативтай тэнцүү байна: .

4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах интервалд орох магадлалыг тодорхойлдог тул тархалтын нягт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлдог.

5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой утгыг авах магадлал тэг: . Тиймээс дараахь тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна.

Тархалтын нягтын функцийн графикийг нэрлэнэ тархалтын муруй, ба тархалтын муруй ба х тэнхлэгээр хязгаарлагдах талбай нь нэгдэлтэй тэнцүү байна. Тэгвэл геометрийн хувьд x0 цэг дээрх Fx(x) тархалтын функцийн утга нь тархалтын муруй ба х тэнхлэгээр хязгаарлагдах ба x0 цэгийн зүүн талд байрлах талбай юм.

Даалгавар 1.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

С тогтмолыг тодорхойлж, Fx(x) тархалтын функцийг байгуулж, магадлалыг тооцоол.

Шийдэл.Тогтмол С нь бидэнд байгаа нөхцөлөөс олддог.

үүнээс C=3/8.

Fx(x) түгээлтийн функцийг бий болгохын тулд интервал нь аргумент x (тоон тэнхлэг)-ийн утгын мужийг гурван хэсэгт хуваадаг болохыг анхаарна уу: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" өргөн "264" өндөр "49">

хагас тэнхлэг дээрх x нягт тэг учраас. Хоёр дахь тохиолдолд

Эцэст нь, сүүлийн тохиолдолд, x>2 үед,

Хагас тэнхлэгт нягтрал алга болдог тул. Тиймээс түгээлтийн функцийг олж авна

Магадлал Томъёог ашиглан тооцоолъё. Тиймээс,

§ 2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэТасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, томъёогоор тодорхойлно.

баруун талын интеграл үнэмлэхүй нийлбэл.

Тархалт x томъёог ашиглан тооцоолж болно , мөн түүнчлэн, салангид тохиолдолд, томъёоны дагуу https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд 5-р бүлэгт өгөгдсөн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна.

Асуудал 2. Бодлого 1-ийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн хувьд математикийн хүлээлт ба дисперсийг тооцоол .

Шийдэл.

Энэ нь гэсэн үг

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" өргөн "184" өндөр "69 src=">

Нэг төрлийн тархалтын нягтын графикийг Зураг дээр үзнэ үү. .

Зураг.6.2. Түгээлтийн функц ба тархалтын нягт. нэгдсэн хууль

Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц Fx(x) нь тэнцүү байна

Fx(x)=

Хүлээлт ба зөрүү; .

Экспоненциал (экпоненциал) тархалт.Сөрөг бус утгыг авдаг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн x нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын тархалттай тэнцүү бол l>0 параметртэй экспоненциал тархалттай байна.

рx(x)=

Цагаан будаа. 6.3. Экспоненциал хуулийн тархалтын функц ба тархалтын нягт.

Экспоненциал тархалтын тархалтын функц нь хэлбэртэй байна

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" өргөн="17" өндөр="41">.gif" өргөн="13" өндөр="15"> ба түүний тархалтын нягт нь тэнцүү бол

.

Дамжуу гэдэг нь ердийн хуулийн дагуу тархсан бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүний олонлогийг параметр болон параметрүүдтэй илэрхийлнэ.

Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь тэнцүү байна

.

Цагаан будаа. 6.4. Тархалтын функц ба хэвийн тархалтын нягт

Хэвийн тархалтын параметрүүд нь математикийн хүлээлт юм https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Онцгой тохиолдолд хэзээ https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> хэвийн тархалтыг гэнэ. Стандарт, мөн ийм тархалтын ангиллыг https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

ба түгээлтийн функц

Ийм интегралыг аналитик аргаар тооцоолох боломжгүй (үүнийг "квадрат" хэлбэрээр авдаггүй) тул функцэд зориулж хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн болно. Энэ функц нь 4-р бүлэгт танилцуулсан Лаплас функцтэй холбоотой

,

дараах хамаарлаар . Дурын параметрийн утгуудын хувьд https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хамаарлыг ашиглан Лаплас функцтэй холбоотой:

.

Иймд ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно.

.

Сөрөг бус х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг h=lnx логарифм нь хэвийн хуульд захирагдаж байвал логнормаль тархалттай хэмжигдэхүүн гэнэ. Логнормаль тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утга ба дисперс нь Mx= ба Dx= байна.

Даалгавар 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> гэж өгье.

Шийдэл.Энд https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Лапласын тархалт fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> функцээр өгөгдсөн ба эгц нь gx=3 байна.

Зураг.6.5. Лапласын тархалтын нягтын функц.

Санамсаргүй хувьсагч x нь тархсан байна Вейбуллийн хууль, хэрэв энэ нь https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">-тэй тэнцүү хуваарилалтын нягтын функцтэй бол

Weibull түгээлт нь олон техникийн төхөөрөмжүүдийн гэмтэлгүй ажиллах хугацааг зохицуулдаг. Энэ профайлын асуудлуудад чухал шинж чанар нь l(t)= харьцаагаар тодорхойлогддог t насны судлагдсан элементүүдийн бүтэлгүйтлийн түвшин (нас баралтын түвшин) l(t) юм. Хэрэв a=1 байвал Вейбуллийн тархалт экспоненциал тархалт, хэрэв a=2 бол тархалт гэж нэрлэгддэг тархалт болж хувирна. Рэйли.

Вейбуллийн тархалтын математик хүлээлт: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, Г(а) нь Эйлер юм. функц..

Хэрэглээний статистикийн янз бүрийн асуудалд "тасалсан" хуваарилалт ихэвчлэн тулгардаг. Жишээлбэл, жилийн орлого нь татварын хуулиар тогтоосон тодорхой босго c0-ээс давсан хүмүүсийн орлогын хуваарилалтыг татварын алба сонирхож байна. Эдгээр хуваарилалт нь Паретогийн тархалттай ойролцоогоор таарч байна. Парето хуваарилалтфункцээр өгөгдсөн

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба монотон дифференциалагдах функц ..gif" width="200" height="51">

Энд https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Даалгавар 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтыг ол.

Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад ийм байна

Дараа нь функц интервал дээрх монотон ба дифференциал функц бөгөөд урвуу функцтэй үүсмэл нь тэнцүү Тиймээс,

§ 5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хос

x ба h хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Дараа нь хос (x, h) нь хавтгай дээрх "санамсаргүй" цэгийг тодорхойлно. (x, h) хосыг дуудна санамсаргүй векторэсвэл хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Хамтарсан хуваарилалтын функцсанамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h ба функцийг F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> гэж нэрлэдэг. үе мөчний нягтрал x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг ийм функц гэнэ .

Хамтарсан тархалтын нягтын энэхүү тодорхойлолтын утга нь дараах байдалтай байна. Хавтгай дээрх мужид "санамсаргүй цэг" (x, h) унах магадлалыг гурван хэмжээст дүрс буюу гадаргуугаар хязгаарлагдсан "муруй" цилиндрийн эзэлхүүнээр тооцоолно https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" өргөн="211" өндөр="39 src=">

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хамгийн энгийн жишээ бол хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүн юм багц дээр жигд хуваарилалтА. Хязгаарлагдмал M олонлогийг талбайгаар өгье.Энэ нь дараах үений нягтар тодорхойлогддог (x, h) хосын тархалтаар тодорхойлогдоно.

Даалгавар 5.Хоёр хэмжээст санамсаргүй вектор (x, h) гурвалжин дотор жигд тархсан байг. x>h тэгш бус байдлын магадлалыг тооцоол.

Шийдэл.Заасан гурвалжны талбай нь тэнцүү байна (Зураг No. үзнэ үү). Хоёр хэмжээст жигд тархалтын тодорхойлолтын ачаар x, h санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан нягт нь тэнцүү байна.

Үйл явдал нь олонлогтой тохирч байна онгоцонд, өөрөөр хэлбэл хагас онгоц. Дараа нь магадлал

Хагас В хавтгайд холбоосын нягтрал https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> багцаас гадуур тэг байна. хагас хавтгай В нь хоёр багцад хуваагддаг ба https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> болон , хоёр дахь интеграл нь тэнцүү байна. тэг, учир нь тэнд үе мөчний нягт тэгтэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас

Хэрэв хосын (x, h) хамтарсан тархалтын нягтыг өгвөл x ба h бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нягтыг гэнэ. хувийн нягтралДараахь томъёог ашиглан тооцоолно.

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" өргөн "224" өндөр "23 src=">

рx(х), рh(у) нягтралтай тасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд бие даасан байдал нь

Даалгавар 6.Өмнөх бодлогын нөхцөлд x ба h санамсаргүй векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд бие даасан эсэхийг тодорхойлно уу?

Шийдэл. Хэсэгчилсэн нягт ба . Бидэнд байгаа:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" өргөн "283" өндөр "61 src=">

Мэдээжийн хэрэг, бидний тохиолдолд https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> нь x ба h хэмжигдэхүүнүүдийн хамтарсан нягт бөгөөд j( x, y) нь хоёр аргументын функц юм

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" өргөн "184" өндөр "152 src=">

Даалгавар 7.Өмнөх асуудлын нөхцөлд тооцоол.

Шийдэл.Дээрх томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

.

Гурвалжныг төлөөлж байна

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" өргөн "479" өндөр "59">

§ 5. Хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягт

x ба h нь нягтралтай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт x + h-ийг томъёогоор тооцоолно эргэлт

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Нийлбэрийн нягтыг тооцоол.

Шийдэл. x ба h нь параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархсан тул тэдгээрийн нягт нь тэнцүү байна.

Тиймээс,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Хэрэв x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">сөрөг, тиймээс . Тиймээс хэрэв https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Тиймээс бид хариултыг авсан:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> 0 ба 1 параметрээр хэвийн тархсан. x1 ба x2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд хэвийн тархалттай байдаг. a1, a2 параметрүүдтэй.x1 + x2 хэвийн тархалттай болохыг батал. x1, x2, ... xn санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тархсан ба бие даасан бөгөөд ижил нягтын функцтэй.

.

Утгын тархалтын функц ба тархалтын нягтыг ол:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Санамсаргүй хувьсагч x1, x2, ... xn нь бие даасан бөгөөд [a, b] интервалд жигд тархсан байна. Хэмжигдэхүүний тархалтын хуваарилалтын функц ба нягтын функцийг ол

x(1) = min (x1,x2, ... xn) ба x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> гэдгийг батал.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Кошигийн хуулийн дагуу тархсан Олно: a) коэффициент a; б) түгээлтийн функц; в) интервалд унах магадлал (-1, 1). X-ийн математикийн хүлээлт байхгүй гэдгийг харуул. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь l (l>0) параметртэй Лапласын хуульд хамаарна: a коэффициентийг ол; тархалтын нягтын график, хуваарилалтын функцийг байгуулах; Mx ба Dx-г олох; үйл явдлын магадлалыг ол (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Тархалтын нягтын томъёог бичээд Mx, Dx-ийг ол.

Тооцооллын даалгавар.

Санамсаргүй А цэг нь R радиустай тойрогт жигд тархалттай байна. Тойргийн төв хүртэлх цэгээс r зайны математик хүлээлт ба дисперсийг ол. r2 утга нь сегмент дээр жигд тархсан болохыг харуул.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Тогтмол С, тархалтын функц F(x), магадлалыг тооцоол Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Тогтмол С, тархалтын функц F(x), магадлалыг тооцоол Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.
Тогтмол С, тархалтын функц F(x), , дисперс ба магадлалыг тооцоол.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тархалтын функцтэй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал, математикийн хүлээлт, дисперс ба магадлалыг тооцоолох Функцийг шалгах =
санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц байж болно. Энэ хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ол: Mx ба Dx. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Тархалтын нягтыг бичнэ үү. Түгээлтийн функцийг ол. Хэсэг болон сегмент дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалыг ол. Тархалтын нягт x нь тэнцүү байна

.

Тогтмол c, тархалтын нягт h = ба магадлалыг ол

P (0.25

Компьютерийн доголдолгүй ажиллах хугацааг l = 0.05 (цагт алдаа) параметр бүхий экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилдаг, өөрөөр хэлбэл нягтралын функцтэй байдаг.

p(x) = .

Тодорхой асуудлыг шийдэхийн тулд машиныг 15 минутын турш асуудалгүй ажиллуулах шаардлагатай. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад алдаа гарвал шийдэл дууссаны дараа л алдааг илрүүлж, асуудлыг дахин шийддэг. Олно: а) асуудлыг шийдвэрлэх явцад нэг ч доголдол гарахгүй байх магадлал; б) асуудлыг шийдвэрлэх дундаж хугацаа.

24 см урт саваа хоёр хэсэгт хуваагдана; Бид таслах цэгийг бариулын бүхэл бүтэн уртын дагуу жигд хуваарилсан гэж үзэх болно. Ихэнх савааны дундаж урт хэд вэ? 12 см урттай хэсгийг санамсаргүй байдлаар хоёр хэсэгт хуваана. Зүссэн цэг нь сегментийн бүх уртын дагуу жигд тархсан байна. Сегментийн жижиг хэсгийн дундаж урт хэд вэ? Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг ол a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); в) h3 =.

Хэрэв x нь тасралтгүй тархалтын функцтэй болохыг харуул

F(x) = P(x

Х ба h хоёр бие даасан хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтын функц ба тархалтын функцийг хэрчмүүд дээр жигд тархалтын хуультай, тус тус ол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд нягтралтай экспоненциал тархалттай байдаг . Тэдний нийлбэрийн тархалтын нягтыг ол. Х нь интервал дээр жигд тархалттай, h нь l параметртэй экспоненциал тархалттай x ба h бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтыг ол. П-г олоорой , хэрэв x нь: a) a ба s2 параметртэй хэвийн тархалт; b) l параметртэй экспоненциал тархалт; в) сегмент дэх жигд тархалт [-1;1]. x, h-ийн хамтарсан тархалт нь квадрат жигд байна
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Магадлалыг ол . x ба h бие даасан байна уу? K= гурвалжин дотор x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хос жигд тархсан байна. x ба h нягтыг тооцоол. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан мөн үү? Магадлалыг ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь бие даасан бөгөөд сегмент болон [-1,1] дээр жигд тархсан. Магадлалыг ол. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (x, h) нь (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) оройтой квадратад жигд тархсан байна. (1, -1) цэг дээрх хамтарсан тархалтын функцийн утгыг ол. Санамсаргүй вектор (x, h) эх цэг дээр төвтэй 3 радиустай тойрог дотор жигд тархсан байна. Хамтарсан тархалтын нягтын илэрхийлэл бич. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай эсэхийг тодорхойл. Магадлалыг тооцоолох. Хос санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь орой нь (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) цэгүүдтэй трапецын дотор жигд тархсан байна. Энэ хос санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын нягт ба бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нягтыг ол. x ба h хамааралтай юу? Санамсаргүй хос (x, h) нь хагас тойрог дотор жигд тархсан. x ба h нягтыг олж, тэдгээрийн хамаарлын асуудлыг судал. x ба h хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан нягт нь тэнцүү байна .
x, h нягтыг ол. x ба h-ийн хамаарлын асуултыг судал. Санамсаргүй хос (x, h) олонлог дээр жигд тархсан. x ба h нягтыг олж, тэдгээрийн хамаарлын асуудлыг судал. M(xh)-г ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь бие даасан бөгөөд Find параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг.

Хэвийн магадлалын тархалтын хууль

Үүнийг хэтрүүлэлгүйгээр философийн хууль гэж хэлж болно. Бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн янз бүрийн объект, үйл явцыг ажиглахдаа ямар нэг зүйл хангалтгүй, хэм хэмжээ байдаг гэсэн баримттай байнга тулгардаг.


Энд үндсэн үзэл баримтлал байна нягтын функцуудхэвийн магадлалын тархалт, би таныг энэхүү сонирхолтой хичээлд урьж байна.

Та ямар жишээ өгч чадах вэ? Тэдэнд зүгээр л харанхуй байдаг. Энэ нь жишээлбэл, хүмүүсийн өндөр, жин (зөвхөн биш), тэдний бие бялдрын хүч чадал, оюун ухааны чадвар гэх мэт. "Үндсэн масс" байдаг. (нэг шалтгаанаар)мөн хоёр чиглэлд хазайлт байдаг.

Эдгээр нь амьгүй объектуудын өөр өөр шинж чанарууд юм (ижил хэмжээтэй, жин). Энэ бол үйл явцын санамсаргүй үргэлжлэх хугацаа, жишээлбэл, зуун метрийн уралдааны хугацаа эсвэл давирхайг хув болгон хувиргах хугацаа юм. Физикээс би агаарын молекулуудыг санаж байсан: тэдгээрийн зарим нь удаан, зарим нь хурдан байдаг, гэхдээ ихэнх нь "стандарт" хурдаар хөдөлдөг.

Дараа нь бид төвөөс өөр нэг стандарт хазайлтаар хазайж, өндрийг тооцоолно.

Зураг дээрх цэгүүдийг тэмдэглэх (ногоон өнгө)Энэ нь хангалттай гэдгийг бид харж байна.

Эцсийн шатанд бид графикийг сайтар зурж, мөн ялангуяа болгоомжтойүүнийг тусгана гүдгэр / хотгор! За, та x тэнхлэг гэдгийг аль эрт ойлгосон байх хэвтээ асимптот, мөн түүний ард "авирах" нь туйлын хориотой!

Шийдвэрийг цахим хэлбэрээр бөглөхдөө Excel дээр график үүсгэх нь амархан бөгөөд би гэнэтийн байдлаар энэ сэдвээр богино хэмжээний видео бичлэг хийсэн. Гэхдээ эхлээд ердийн муруйн хэлбэр нь ба гэсэн утгуудаас хамаарч хэрхэн өөрчлөгддөг талаар ярилцъя.

"a"-г нэмэгдүүлэх эсвэл багасгах үед (байнгын "сигма"-тай)график хэлбэрээ хадгалсан ба баруун/зүүн тийш хөдөлдөгтус тус. Тиймээс, жишээлбэл, функц нь хэлбэрийг авах үед мөн манай график 3 нэгж зүүн тийш "шилждэг" - яг координатын гарал үүсэл рүү:


Математикийн тэг хүлээлттэй хэвийн тархсан хэмжигдэхүүн нь бүрэн байгалийн нэрийг авсан - төвтэй; түүний нягтын функц – бүр, мөн график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

"Сигма" өөрчлөгдсөн тохиолдолд (тогтмол "a"-тай), график нь "хууль хэвээрээ" боловч хэлбэрээ өөрчилдөг. Томрвол наймалж тэмтрүүлээ тэнийлгэх шиг намхан, сунадаг. Мөн эсрэгээр, графикийг багасгах үед нарийсч, өндөр болдог- Энэ нь "гайхсан наймалж" болж хувирав. Тиймээ, хэзээ буурах"сигма" хоёр удаа: өмнөх график хоёр удаа нарийсч, сунгасан:

Бүх зүйл бүрэн нийцэж байна графикийн геометрийн хувиргалт.

Нэгж сигма утгатай хэвийн тархалтыг гэнэ хэвийн болгосон, мөн хэрэв байгаа бол төвтэй(бидний тохиолдол), тэгвэл ийм хуваарилалт гэж нэрлэгддэг Стандарт. Энэ нь аль хэдийн олдсон илүү энгийн нягтын функцтэй Лапласын орон нутгийн теорем: . Стандарт түгээлт нь практикт өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд тун удахгүй бид түүний зорилгыг ойлгох болно.

За одоо киногоо үзэцгээе:

Тийм ээ, туйлын зөв - ямар нэгэн байдлаар энэ нь сүүдэрт үлдэв магадлалын тархалтын функц. Түүнийг санацгаая тодорхойлолт:
- санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бүх бодит утгыг "нэмэх" хязгаар хүртэл "дагадаг" хувьсагчаас БАГА утгыг авах магадлал.

Интеграл дотор ихэвчлэн өөр үсэг ашигладаг бөгөөд тэмдэглэгээтэй "давхцах" зүйл байхгүй, учир нь энд утга бүр нь дараахтай холбоотой байдаг. буруу интеграл , энэ нь заримтай тэнцүү байна тооинтервалаас.

Бараг бүх утгыг нарийн тооцоолох боломжгүй, гэхдээ бидний саяхан харсанчлан орчин үеийн тооцоолох хүчин чадалтай бол энэ нь тийм ч хэцүү биш юм. Тиймээс, функцийн хувьд Стандарт түгээлтийн хувьд харгалзах Excel функц нь ерөнхийдөө нэг аргумент агуулдаг:

=NORMSDIST(z)

Нэг, хоёр - тэгээд та дууслаа:

Зураг нь бүхний хэрэгжилтийг тодорхой харуулж байна түгээлтийн функцийн шинж чанарууд, мөн энд байгаа техникийн нюансуудаас та анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй хэвтээ асимптотуудба гулзайлтын цэг.

Одоо сэдвийн гол ажлуудын нэгийг санацгаая, тухайлбал, ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалыг хэрхэн олохыг олж мэдье. интервалаас утгыг авна. Геометрийн хувьд энэ магадлал нь тэнцүү байна талбайхаргалзах хэсэгт хэвийн муруй ба x тэнхлэгийн хооронд:

гэхдээ би ойролцоогоор үнэ цэнийг авахыг оролддог үндэслэлгүй тул ашиглах нь илүү оновчтой юм "хөнгөн" томъёо:
.

! Бас санаж байна , Юу

Энд та Excel-ийг дахин ашиглаж болно, гэхдээ хэд хэдэн чухал "гэхдээ" байдаг: нэгдүгээрт, энэ нь үргэлж бэлэн байдаггүй, хоёрдугаарт, "бэлэн" үнэ цэнэ нь багшаас асуулт гаргах магадлалтай. Яагаад?

Би энэ тухай өмнө нь олон удаа ярьж байсан: нэгэн цагт (мөн тийм ч удалгүй) ердийн тооцоолуур нь тансаг хэрэглээ байсан бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэх "гарын авлагын" арга нь боловсролын ном зохиолд хадгалагдан үлдсэн хэвээр байна. Үүний мөн чанар нь юм стандартчилах"альфа" ба "бета" утгуудын утгыг, өөрөөр хэлбэл шийдлийг стандарт хуваарилалт руу багасгах:

Анхаарна уу : функцийг ерөнхий тохиолдлоос авахад хялбаршугаман ашиглах орлуулалт. Дараа нь бас:

болон гүйцэтгэсэн орлуулалтаас дараах томъёог гаргана. дурын тархалтын утгуудаас стандарт тархалтын харгалзах утга руу шилжих.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Үнэн бол бидний өвөг дээдэс үнэ цэнийг нарийн тооцоолж, тусгай хүснэгтэд нэгтгэсэн бөгөөд энэ нь терверийн олон номонд байдаг. Гэхдээ илүү олон удаа үнэт зүйлсийн хүснэгт байдаг бөгөөд бид үүнийг аль хэдийн авч үзсэн болно Лапласын интеграл теорем:

Хэрэв бид Лаплас функцийн утгуудын хүснэгтийг ашиглах боломжтой , дараа нь бид үүнийг шийднэ:

Бутархай утгыг уламжлалт хүснэгтэд заасны дагуу аравтын бутархайн 4 орон болгон дугуйрсан байдаг. Мөн хяналтын хувьд байдаг 5-р цэг зохион байгуулалт.

Би танд сануулж байна , төөрөгдүүлэхгүйн тулд үргэлж хянаж байдаг, ЯМАР функцийн хүснэгт таны нүдний өмнө байна.

Хариултхувиар өгөх шаардлагатай тул тооцоолсон магадлалыг 100-аар үржүүлж, үр дүнд нь утга учиртай тайлбар өгөх шаардлагатай.

- 5-аас 70 м-ийн өндөрт нисэх үед бүрхүүлийн 15.87% нь унах болно.

Бид бие даан бэлтгэл хийдэг:

Жишээ 3

Үйлдвэрийн холхивчны диаметр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд математикийн хүлээлт нь 1.5 см, стандарт хазайлт нь 0.04 см байхаар хэвийн тархсан бөгөөд санамсаргүй байдлаар сонгосон холхивчийн хэмжээ 1.4-1.6 см байх магадлалыг ол.

Жишээ шийдэл болон доор би Лаплас функцийг хамгийн түгээмэл сонголт болгон ашиглах болно. Дашрамд хэлэхэд, үг хэллэгийн дагуу интервалын төгсгөлийг энд авч үзэхэд оруулж болно гэдгийг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч энэ нь чухал биш юм.

Мөн энэ жишээн дээр бид тусгай тохиолдолтой тулгарсан - интервал нь математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байх үед. Ийм нөхцөлд үүнийг дараах хэлбэрээр бичиж, Лаплас функцийн хачирхалтай байдлыг ашиглан ажлын томъёог хялбаршуулж болно.

Delta параметрийг дуудна хазайлтматематикийн хүлээлтээс, давхар тэгш бус байдлыг ашиглан "савлаж" болно модуль:

– санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга математикийн хүлээлтээс -ээс бага хазайх магадлал.

Шийдэл нэг мөрөнд багтах нь сайн хэрэг :)
– санамсаргүй байдлаар авсан холхивчийн диаметр нь 1.5 см-ээс 0.1 см-ээс ихгүй ялгаатай байх магадлал.

Энэ даалгаврын үр дүн нь эв нэгдэлтэй ойрхон байсан ч би илүү найдвартай байхыг хүсч байна, тухайлбал диаметр нь ямар хил хязгаарыг олж мэдэхийг хүсч байна. бараг бүх хүнхолхивч. Үүнд ямар нэг шалгуур бий юу? Байгаа! Асуулт гэж нэрлэгддэг асуултанд хариулдаг

гурван сигма дүрэм

Үүний мөн чанар нь үүнд оршдог практик найдвартай нь хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалаас утгыг авах явдал юм .

Үнэн хэрэгтээ хүлээгдэж буй утгаас хазайх магадлал нь дараахаас бага байна.
эсвэл 99.73%

Холхивчийн хувьд эдгээр нь 1.38-аас 1.62 см-ийн диаметртэй 9973 ширхэг, ердөө 27 ширхэг "стандарт бус" хувь юм.

Практик судалгаанд гурван сигма дүрмийг ихэвчлэн эсрэг чиглэлд ашигладаг: хэрэв статистикийн хувьдЭнэ нь бараг бүх үнэт зүйл болох нь тогтоогдсон судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүн 6 стандарт хазайлтын интервалд багтах бол энэ утгыг ердийн хуулийн дагуу хуваарилсан гэж үзэх үндэслэлтэй шалтгаанууд бий. Баталгаажуулалтыг онолыг ашиглан хийдэг статистик таамаглалууд.

Бид Зөвлөлтийн хатуу ширүүн асуудлуудыг шийдсээр байна.

Жишээ 4

Жинлэх алдааны санамсаргүй утгыг математикийн тэг хүлээлттэй, 3 грамм стандарт хазайлттай ердийн хуулийн дагуу хуваарилдаг. Дараагийн жинг үнэмлэхүй утгаараа 5 граммаас ихгүй алдаатай хийх магадлалыг ол.

Шийдэлмаш энгийн. Нөхцөлөөр бид дараагийн жингийн үед тэр даруй тэмдэглэнэ (ямар нэгэн зүйл эсвэл хэн нэгэн)Бид бараг 100% үр дүнг 9 грамм нарийвчлалтайгаар авах болно. Гэхдээ асуудал нь илүү нарийн хазайлттай бөгөөд томъёоны дагуу :

– дараагийн жинг 5 граммаас хэтрэхгүй алдаатай хийх магадлал.

Хариулт:

Шийдвэрлэсэн асуудал нь ижил төстэй зүйлээс үндсэндээ өөр юм. Жишээ 3тухай хичээл жигд хуваарилалт. Алдаа гарлаа дугуйлаххэмжилтийн үр дүн, энд бид хэмжилтийн санамсаргүй алдааны тухай ярьж байна. Ийм алдаа нь төхөөрөмжийн техникийн шинж чанараас шалтгаалан үүсдэг. (зөвшөөрөгдөх алдааны хүрээг ихэвчлэн түүний паспорт дээр заасан байдаг), мөн туршилт хийгчийн буруугаас бид жишээ нь "нүдээр" ижил масштабын зүүгээс уншилт хийх үед.

Бусдын дунд бас гэж нэрлэгддэг Системтэйхэмжилтийн алдаа. Аль хэдийн болсон санамсаргүй бустөхөөрөмжийн буруу тохируулга эсвэл ашиглалтын улмаас гарсан алдаа. Жишээлбэл, зохицуулалтгүй шалны жин нь килограммуудыг тогтмол "нэмэх" боломжтой бөгөөд худалдагч нь үйлчлүүлэгчдийг системтэйгээр жинлүүлдэг. Эсвэл системтэй биш тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч ямар ч тохиолдолд ийм алдаа нь санамсаргүй биш байх болно, түүний хүлээлт нь тэгээс өөр байна.

…Би яаралтай борлуулалтын сургалт явуулж байна =)

Урвуу асуудлыг өөрсдөө шийдье:

Жишээ 5

Роллерийн диаметр нь санамсаргүй хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний стандарт хазайлт нь мм-тэй тэнцүү байна. Математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интервалын уртыг олоорой, үүнд булны диаметрийн урт унах магадлалтай.

Цэг 5* дизайны зохион байгуулалттуслах. Математикийн хүлээлт энд тодорхойгүй байгаа ч энэ нь асуудлыг шийдвэрлэхэд саад болохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Материалыг бататгахыг зөвлөж буй шалгалтын даалгавар:

Жишээ 6

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний параметрүүд (математикийн хүлээлт) ба (стандарт хазайлт) тодорхойлно. Шаардлагатай:

а) магадлалын нягтыг бичиж, түүний графикийг бүдүүвчээр дүрслэх;
б) интервалаас утгыг авах магадлалыг ол ;
в) үнэмлэхүй утга нь -ээс ихгүй хазайх магадлалыг ол;
г) "гурван сигма" дүрмийг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг ол.

Иймэрхүү асуудлуудыг хаа сайгүй санал болгодог бөгөөд олон жилийн турш би хэдэн зуу, хэдэн зуун асуудлыг нь шийдэж чадсан. Гараар зураг зурах, цаасан ширээ ашиглах дадлага хийхээ мартуузай;)

За, би нэмэгдсэн нарийн төвөгтэй байдлын жишээг харъя:

Жишээ 7

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт нь хэлбэртэй байна . Олоорой, математикийн хүлээлт, дисперс, тархалтын функц, нягтын график, тархалтын функцийг бүтээх, олох.

Шийдэл: Юуны өмнө нөхцөл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний мөн чанарын талаар юу ч хэлээгүй гэдгийг анхаарцгаая. Экспонент байгаа нь өөрөө юу ч гэсэн үг биш: энэ нь жишээлбэл, заалтэсвэл бүр дур зоргоороо тасралтгүй хуваарилалт. Тиймээс хуваарилалтын "хэвийн байдал" -ыг зөвтгөх шаардлагатай хэвээр байна.

Функцээс хойш -д тодорхойлсон ямар чбодит үнэ цэнэ бөгөөд үүнийг хэлбэрт оруулж болно , дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэвийн хуулийн дагуу тархдаг.

Энд байна. Үүний төлөө бүрэн дөрвөлжин сонгоно ууболон зохион байгуулах гурван давхар хэсэг:


Шалгуур үзүүлэлтийг анхны хэлбэрт нь буцаан шалгахаа мартуузай.

, энэ нь бидний харахыг хүссэн зүйл юм.

Тиймээс:
- By эрх мэдэл бүхий үйл ажиллагааны дүрэм"чимхэх" Энд та тодорхой тоон шинж чанаруудыг нэн даруй бичиж болно.

Одоо параметрийн утгыг олъё. Хэвийн тархалтын үржүүлэгч нь дараах хэлбэртэй байна.
, эндээс бид функцээ илэрхийлж, орлуулж байна:
, үүний дараа бид дахин бичлэгийг нүдээрээ үзэж, үүссэн функц нь хэлбэртэй байгаа эсэхийг шалгах болно .

Нягтын графикийг байгуулъя:

ба тархалтын функцийн график :

Хэрэв танд Excel эсвэл ердийн тооны машин байхгүй бол сүүлийн графикийг гараар хялбархан барьж болно! Тухайн үед түгээлтийн функц нь утгыг авдаг тэгээд энд байна

9. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба тархалт

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг Xтархалтын нягтаар өгөгдсөн е(x) .

Тодорхойлолт 9.1: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X, [ а, б]

Үхэр, Тэр

Сэтгэгдэл:Буруу интеграл үнэмлэхүй нийлдэг, өөрөөр хэлбэл интеграл байдаг гэж үздэг.

Тодорхойлолт 9.2: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс X, боломжит утгууд нь сегментэд хамаарах болно [ а, б] , тодорхой интеграл гэж нэрлэдэг

Боломжтой бол утгууд нь бүх тэнхлэгт хамаарна Үхэр, Тэр

Учир нь Д(X) = М(X 2 ) – [ М(X)] 2 , дараа нь та зөрүүг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглаж болно.

эсвэл
.

Сэтгэгдэл:Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийн шинж чанарууд мөн тасралтгүй хувьсагчдын хувьд хадгалагдана.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтнь салангид тохиолдолтой адил тодорхойлогддог:

.

10. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний ердийн тархалт

10.1. Нэг төрлийн хуваарилалт

Тодорхойлолт 10.1: Магадлалын тархалтдуудсан дүрэмт хувцасХэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд хамаарах интервал дээр тархалтын нягт тогтмол хэвээр байна.

Жишээ.Хэмжих төхөөрөмжийн хуваарийг зарим нэгжээр төгссөн. Уншилтыг хамгийн ойрын бүхэл бүтэн хуваалтад дугуйлах үед гарсан алдааг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэж болно X, Энэ нь тогтмол магадлалын нягтаршилтай хоёр зэргэлдээ бүхэл тоон хуваагдлын хооронд ямар ч утгыг авч болно. Тиймээс, X жигд тархалттай байна.

Нэг жигд тархалтын нягтыг олцгооё е(x) :

Нөхцөлөөр, Xинтервалаас гадуурх утгыг хүлээн авдаггүй (а, б), Тийм ч учраас е(x)=0 цагт x аТэгээд x > б.

Тогтмолыг олцгооё Cгэсэн нөхцөлөөс
. Дараа нь
.

Эндээс
.

Тиймээс, жигд тархалтын хүссэн магадлалын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Нэг төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Санамсаргүй хувьсагчийн хувьд X, интервалд жигд тархсан ( а, б), ямар нэгэн интервалд орох магадлал ( x 1 , x 2 ), интервал дотор хэвтэх ( а, б), тэнцүү байна:
, өөрөөр хэлбэл, энэ нь хаана байрлаж байгаагаас бус харин интервалын уртаас хамаарна.

Нэг төрлийн тархалтын нягтын график дараах байдалтай байна.

Нэг төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Жишээ:Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг олъё X, интервалд жигд тархсан (а, б).

Шийдэл:Нэг төрлийн тархалтын нягтыг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Эцэст нь бид үүнийг олж авдаг

.

Стандарт хэлбэлзэл
.

Сэтгэгдэл:Жишээлбэл, хэрэв X– интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн (0,1) , Тэр
,
,
.

10.2. Хэвийн (гауссын) тархалт

Тодорхойлолт 10.2: Ердийннь дараах магадлалын нягтараар тодорхойлогддог тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм.

, Хаана
.

Функцийн график е(x) дараах хэлбэртэй байна:

Хэвийн тархалтын нягтын графикийг нэрлэнэ хэвийн муруйэсвэл Гауссын муруй.

Хэвийн тархалтыг хоёр параметрээр тодорхойлно. Тэгээд
. Эдгээр параметрүүдийн магадлалын утга нь дараах байдалтай байна: математикийн хүлээлт байдаг, - хэвийн тархалтын стандарт хазайлт, өөрөөр хэлбэл
Тэгээд
.

Ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн график дараах хэлбэртэй байна.

Сэтгэгдэл: Стандарт хэвийнэсвэл хэвийн болгосонпараметртэй хэвийн тархалт гэж нэрлэдэг
Тэгээд
. Жишээлбэл, хэрэв Xпараметртэй хэвийн утга ба , дараа нь
- стандарт хэвийн утга, ба
Тэгээд
. Стандарт хэвийн тархалтын нягт нь хэлбэртэй байна

.

Энэ функцийг хүснэгтээр үзүүлэв (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).

Түгээлтийн функц
хэвийн тархалт нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Стандарт хэвийн тархалтын тархалтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Сэтгэгдэл:
.

Сэтгэгдэл:Стандарт хэвийн утгад хүрэх магадлал Xинтервалд (0 , x) ашиглан олж болно Лаплас функц
:

,

Тэгээд
.

Чиг үүрэг
хүснэгтээр харуулав (Хавсралт 2-ыг үзнэ үү).

Хэвийн муруйн хэлбэрт хэвийн тархалтын параметрийн нөлөөлөл

Параметрийн утгыг өөрчлөх (математикийн хүлээлт) нь ердийн муруйн хэлбэрийг өөрчлөхгүй, зөвхөн тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хүргэдэг. Үхэр: нэмэгдэж байвал баруун тийш, буурч байвал зүүн талд:

Хэвийн тархалтын магадлалын нягтын функцын хамгийн их нь тэнцүү байна
.

Эндээс харахад хэвийн муруйн хамгийн их ординат нь багасч, муруй өөрөө хавтгай болж, өөрөөр хэлбэл тэнхлэг рүү агших болно. Үхэр; багасах тусам хэвийн муруй нь "шовхсон" болж, тэнхлэгийн эерэг чиглэлд сунадаг. Өө:

Сэтгэгдэл:Аливаа параметрийн утгууд ба ердийн муруй ба тэнхлэгээр хязгаарлагдсан талбайн хувьд Үхэр, нэгтэй тэнцүү хэвээр байна.

Ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн интервалд орох магадлал

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье Xердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Дараа нь магадлал Xинтервалд хамаарах утгыг авна
, тэнцүү байна

Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя
Эндээс,
,
Интеграцийн шинэ хязгаарыг олцгооё. Хэрэв
Тэр
; хэрэв тэгвэл

Бид ийм байна

Лаплас функцийг ашиглан бид олж авна

Жишээ.Санамсаргүй утга X-тэй ердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан
Тэгээд
. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох магадлалыг ол Xинтервалд хамаарах утгыг авна.

Шийдэл:

Хавсралт 2-ын хүснэгтээс бид олж мэднэ
Тиймээс хүссэн магадлал

Жишээ.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X, энэ нь ердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан.

Шийдэл:Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тодорхойлолтоор,

.

Шинэ хувьсагчийг оруулъя. Тиймээс, ,. Интеграцийн шинэ хязгаар нь хуучинтай тэнцүү байгааг харгалзан бид олж авна

Нэр томъёоны эхнийх нь тэгтэй тэнцүү (интеграл тэмдгийн дор функц нь сондгой; интегралын хязгаар нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна). Нөхцөлүүдийн хоёр дахь нь тэнцүү байна А(Пуассоны интеграл
).

Сэтгэгдэл:Хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолохдоо хувьсагчийн ижил өөрчлөлтийг хийж, хэсгүүдийн интегралчлалын томъёог хэрэглэнэ.

Гурван сигма дүрэм

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хазайлтын магадлалыг тооцоолъё Xстандарт хазайлтаас гурав дахин бага үнэмлэхүй утгаараа:

Тиймээс гурван сигма дүрмийн мөн чанар нь дараах байдалтай байна. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн хэвийн тархсан бол түүний математикийн хүлээлтээс хазайх үнэмлэхүй утга нь стандарт хазайлтаас гурав дахин ихгүй байна.

Практикт гурван сигма дүрмийг дараах байдлаар ашигладаг: хэрэв судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт тодорхойгүй боловч дээрх дүрэмд заасан нөхцөл хангагдсан бол, өөрөөр хэлбэл, судалж буй хувьсагчийг өөр өөр хэмжигдэхүүн гэж үзэх үндэслэл бий. хэвийн тархсан; өөрөөр хэлбэл энэ нь хэвийн тархаагүй байна.

10.3. Экспоненциал тархалт

Тодорхойлолт 10.3: Экспоненциалтасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг гэнэ X, энэ нь нягтралаар тодорхойлогддог

Хаана - тогтмол эерэг утга.

Функцийн график е(x) дараах хэлбэртэй байна:

Жишээлбэл, цаг хугацаа ТКомпьютерийн системийн доголдолгүй ажиллагаа нь параметртэй экспоненциал тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм λ , физик утга нь цаг хугацааны нэгж дэх эвдрэлийн дундаж тоо юм. Автомат телефон станц руу залгасан дуудлагын хоорондох зай, уулзварын зогсоолын шугамд дараалсан машин ирэх хоорондын зай нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ юм.

Экспоненциал хуулийн тархалтын функцийг олъё.

.

Экспоненциал тархалтын функцийн график дараах байдалтай байна.

Жишээ.параметртэй бол экспоненциал хуулийн нягт ба тархалтын функцийг бич

Шийдэл.Мэдээжийн хэрэг, хүссэн түгээлтийн нягтрал

цагт
;
цагт
.

Шаардлагатай түгээлтийн функц

үед;
цагт.

Экспоненциал тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн интервалд орох магадлал

Интервалд унах магадлалыг олъё (а, б) тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, энэ нь тархалтын функцээр тодорхойлсон экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг

.

Томьёог ашиглах, үүнийг харгалзан үзэх

бид авдаг

Функцийн утгууд
хүснэгтээс олж болно (Хавсралт 4).

Жишээ:Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xэкспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдсан

үед; цагт
. Туршилтын үр дүнд гарах магадлалыг ол Xинтервалд ордог (0,3;1) .

Шийдэл.Нөхцөлөөр,
. Дараа ньX

Сэтгэгдэл:Практикт судлагдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь экспоненциал тархалттай гэж үзэх үндэслэл бий гэж бодъё. Энэхүү таамаглалыг шалгахын тулд математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлтын тооцооллыг олно. түүврийн дундаж болон түүврийн стандарт хазайлтыг ол. Экспоненциал тархалтын математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлт нь хоорондоо тэнцүү тул тэдгээрийн тооцоо бага зэрэг ялгаатай байх ёстой. Хэрэв тооцоолол нь хоорондоо ойрхон байвал ажиглалтын өгөгдөл нь судалж буй утгын экспоненциал тархалтын талаархи таамаглалыг баталж байгаа боловч хэрэв тооцоолол нь мэдэгдэхүйц ялгаатай байвал таамаглалыг үгүйсгэх хэрэгтэй.

Мэдэгдэж байгаагаар, санамсаргүй хувьсагч тухайн тохиолдлоос хамааран тодорхой утгыг авч чаддаг хувьсах хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр (X, Y, Z) тэмдэглэж, утгыг нь харгалзах жижиг үсгээр (x, y, z) тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай (дискрет) ба тасралтгүй гэж хуваадаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Энэ нь тодорхой тэг биш магадлал бүхий зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг тэдгээрийн магадлалтай холбодог функц юм. Хуваарилалтын хуулийг дараах аргуудын аль нэгээр тодорхойлж болно.

1 . Хуваарилалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгч болно.

Энд λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)ашиглах замаар түгээлтийн функцууд F(x) , энэ нь x утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. F(x) = P(X< x).

F(x) функцийн шинж чанарууд

3 . Хуваарилалтын хуулийг графикаар тодорхойлж болно – тархалтын олон өнцөгт (олон өнцөгт) (3-р асуудлыг үзнэ үү).

Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хуваарилалтын хуулийг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Зарим тохиолдолд хуваарилалтын хуулийн хамгийн чухал шинж чанарыг тусгасан нэг буюу хэд хэдэн тоог мэдэхэд хангалттай. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний "дундаж утга" гэсэн утгатай тоо эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайх дундаж хэмжээг харуулсан тоо байж болно. Ийм төрлийн тоонуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанар :

• Математикийн хүлээлт (дундаж утга) дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн M(X)=Σ x i p i.
  Дуран тархалтын хувьд M(X)=np, Пуассон тархалтын хувьд M(X)=λ
• Тархалт дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн D(X)=M2эсвэл D(X) = M(X 2)− 2. X–M(X) зөрүүг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт гэнэ.
  Дуран тархалтын хувьд D(X)=npq, Пуассон тархалтын хувьд D(X)=λ
• Стандарт хэлбэлзэл (стандарт хэлбэлзэл) σ(X)=√D(X).

"Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

Даалгавар 1.

1000 сугалааны тасалбар гаргасан: 5 нь 500 рубль, 10 нь 100 рубль, 20 нь 50 рубль, 50 нь 10 рубль хожно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ялалт.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дараах утгуудыг авах боломжтой: 0, 10, 50, 100, 500.

Ялалтгүй тасалбарын тоо 1000 – (5+10+20+50) = 915, дараа нь P(X=0) = 915/1000 = 0.915 байна.

Үүнтэй адилаар бид бусад бүх магадлалыг олно: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. Үүссэн хуулийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

X утгын математик хүлээлтийг олъё: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Даалгавар 3.

Төхөөрөмж нь бие даасан гурван элементээс бүрдэнэ. Нэг туршилтын элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.1 байна. Нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоог хуваарилах хуулийг гаргаж, түгээлтийн полигон байгуул. F(x) тархалтын функцийг олоод график зур. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Шийдэл. 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = (нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоо) дараах боломжит утгуудтай байна: x 1 = 0 (төхөөрөмжийн аль нь ч бүтэлгүйтсэн), x 2 = 1 (нэг элемент амжилтгүй болсон), x 3 = 2 ( хоёр элемент амжилтгүй болсон ) ба x 4 =3 (гурван элемент амжилтгүй болсон).

Элементүүдийн эвдрэл нь бие биенээсээ хамааралгүй, элемент тус бүрийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү тул үүнийг хэрэглэж болно. Бернуллигийн томъёо . n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 гэсэн нөхцлийн дагуу бид дараах утгуудын магадлалыг тодорхойлно.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
Шалгах: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Тиймээс X-ийн хүссэн хоёр нэрийн тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Бид х i-ийн боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, харгалзах магадлалыг p i ординатын тэнхлэгийн дагуу зурдаг. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамын сегментүүдтэй холбосноор бид хүссэн тархалтын полигоныг олж авна.

3. F(x) = Р(Х) тархалтын функцийг олъё

x ≤ 0-ийн хувьд F(x) = Р(Х) байна<0) = 0;
0-ийн хувьд< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 хувьд< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 хувьд< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3-ын хувьд F(x) = 1 байх болно, учир нь үйл явдал найдвартай.

F(x) функцийн график

4. X бином тархалтын хувьд:
- математикийн хүлээлт M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- дисперс D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- стандарт хазайлт σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.