समतलों और ग्राफ़ों का समन्वय करें। पाठ सारांश "दो चरों वाला एक समीकरण और उसका ग्राफ़" दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण का ग्राफ़

फ़ंक्शन बनाएँ

हम आपके ध्यान में ऑनलाइन कार्यों के ग्राफ बनाने की एक सेवा की पेशकश करते हैं, जिसके सभी अधिकार कंपनी के हैं Desmos. फ़ंक्शंस दर्ज करने के लिए बाएं कॉलम का उपयोग करें। आप विंडो के नीचे मैन्युअल रूप से या वर्चुअल कीबोर्ड का उपयोग करके प्रवेश कर सकते हैं। ग्राफ़ के साथ विंडो को बड़ा करने के लिए, आप बाएँ कॉलम और वर्चुअल कीबोर्ड दोनों को छिपा सकते हैं।

ऑनलाइन चार्टिंग के लाभ

• प्रविष्ट कार्यों का दृश्य प्रदर्शन
• बहुत जटिल ग्राफ़ बनाना
• अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट ग्राफ़ का निर्माण (उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त x^2/9+y^2/16=1)
• चार्ट को सहेजने और उनके लिए एक लिंक प्राप्त करने की क्षमता, जो इंटरनेट पर सभी के लिए उपलब्ध हो जाती है
• पैमाने का नियंत्रण, रेखा का रंग
• स्थिरांकों का उपयोग करके बिंदुओं के आधार पर ग्राफ़ बनाने की संभावना
• एक साथ कई फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करना
• ध्रुवीय निर्देशांक में प्लॉटिंग (r और θ(\theta) का उपयोग करें)

हमारे साथ अलग-अलग जटिलता के चार्ट ऑनलाइन बनाना आसान है। निर्माण तुरन्त किया जाता है। यह सेवा फ़ंक्शंस के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने, समस्याओं को हल करते समय ग्राफ़ को वर्ड दस्तावेज़ में चित्रण के रूप में आगे ले जाने के लिए चित्रित करने और फ़ंक्शन ग्राफ़ की व्यवहारिक विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए मांग में है। इस वेबसाइट पेज पर चार्ट के साथ काम करने के लिए इष्टतम ब्राउज़र Google Chrome है। अन्य ब्राउज़र का उपयोग करते समय सही संचालन की गारंटी नहीं है।

इसे दिया जाए दो चर F(x; y) वाला समीकरण. आप ऐसे समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से हल करने के तरीकों से पहले ही परिचित हो चुके हैं। ऐसे समीकरणों के कई समाधानों को ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समीकरण F(x; y) का ग्राफ निर्देशांक तल xOy पर बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

दो चर वाले समीकरणों को ग्राफ़ करने के लिए, पहले समीकरण में y चर को x चर के रूप में व्यक्त करें।

निश्चित रूप से आप पहले से ही जानते हैं कि दो चर वाले समीकरणों के विभिन्न ग्राफ़ कैसे बनाएं: ax + b = c - सीधी रेखा, yx = k - हाइपरबोला, (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 - वृत्त जिसकी त्रिज्या R के बराबर है, और केंद्र बिंदु O(a; b) पर है।

उदाहरण 1।

समीकरण x 2 – 9y 2 = 0 का ग्राफ़ बनाएं।

समाधान।

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें।

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, यानी y = x/3 या y = -x/3.

उत्तर: चित्र 1.

निरपेक्ष मान के चिह्न वाले समीकरणों के साथ समतल पर आकृतियों को परिभाषित करने में एक विशेष स्थान का कब्जा है, जिस पर हम विस्तार से ध्यान देंगे। आइए |y| रूप के समीकरणों के ग्राफ़ बनाने के चरणों पर विचार करें = f(x) और |y| = |एफ(एक्स)|

पहला समीकरण निकाय के समतुल्य है

(एफ(एक्स) ≥ 0,
(y = f(x) या y = -f(x).

अर्थात्, इसके ग्राफ़ में दो फ़ंक्शन के ग्राफ़ शामिल हैं: y = f(x) और y = -f(x), जहां f(x) ≥ 0.

दूसरा समीकरण आलेखित करने के लिए, दो फलन आलेखित करें: y = f(x) और y = -f(x)।

उदाहरण 2.

समीकरण को आलेखित करें |y| = 2 + एक्स.

समाधान।

दिया गया समीकरण निकाय के समतुल्य है

(एक्स + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 या y = -x – 2.

हम कई बिंदु बनाते हैं.

उत्तर: चित्र 2.

उदाहरण 3.

समीकरण आलेखित करें |y – x| = 1.

समाधान।

यदि y ≥ x, तो y = x + 1, यदि y ≤ x, तो y = x – 1.

उत्तर: चित्र 3.

मापांक चिह्न के तहत एक चर वाले समीकरणों के ग्राफ़ का निर्माण करते समय, इसका उपयोग करना सुविधाजनक और तर्कसंगत है क्षेत्र विधि, समन्वय विमान को भागों में विभाजित करने पर आधारित है जिसमें प्रत्येक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति अपना चिह्न बरकरार रखती है।

उदाहरण 4.

समीकरण x + |x| को आलेखित करें + y + |y| = 2.

समाधान।

इस उदाहरण में, प्रत्येक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति का चिह्न निर्देशांक चतुर्थांश पर निर्भर करता है।

1) पहले समन्वय तिमाही में x ≥ 0 और y ≥ 0। मॉड्यूल का विस्तार करने के बाद, दिया गया समीकरण इस तरह दिखेगा:

2x + 2y = 2, और सरलीकरण के बाद x + y = 1.

2) दूसरी तिमाही में, जहां x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) तीसरी तिमाही में x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) चौथी तिमाही में, जब x ≥ 0, और y< 0 получим, что x = 1.

हम इस समीकरण को तिमाहियों के आधार पर आलेखित करेंगे।

उत्तर: चित्र 4.

उदाहरण 5.

बिंदुओं का एक समूह बनाएं जिनके निर्देशांक समानता |x – 1| को संतुष्ट करते हैं + |य – 1| = 1.

समाधान।

सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति x = 1 और y = 1 के शून्य निर्देशांक तल को चार क्षेत्रों में विभाजित करते हैं। आइए मॉड्यूल को क्षेत्र के अनुसार विभाजित करें। आइए इसे एक तालिका के रूप में व्यवस्थित करें।

क्षेत्र	सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति चिह्न	मॉड्यूल का विस्तार करने के बाद परिणामी समीकरण
मैं	x ≥ 1 और y ≥ 1	एक्स + वाई = 3
द्वितीय	एक्स< 1 и y ≥ 1	-एक्स + वाई = 1
तृतीय	एक्स< 1 и y < 1	एक्स + वाई = 1
चतुर्थ	x ≥ 1 और y< 1	एक्स - वाई = 1

उत्तर: चित्र 5.

निर्देशांक तल पर, आंकड़े निर्दिष्ट किए जा सकते हैं और असमानता.

असमानता का ग्राफदो चर के साथ निर्देशांक तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनके निर्देशांक इस असमानता का समाधान हैं।

चलो गौर करते हैं दो चर के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एक मॉडल के निर्माण के लिए एल्गोरिदम:

1. असमानता के अनुरूप समीकरण लिखिए।
2. चरण 1 से समीकरण का ग्राफ़ बनाएं.
3. अर्ध-तलों में से किसी एक में एक मनमाना बिंदु चुनें। जांचें कि क्या चयनित बिंदु के निर्देशांक इस असमानता को संतुष्ट करते हैं।
4. असमानता के सभी समाधानों का ग्राफ़िक रूप से सेट बनाएं।

आइए पहले असमानता ax + bx + c > 0 पर विचार करें। समीकरण ax + bx + c = 0 समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। उनमें से प्रत्येक में, फ़ंक्शन f(x) = ax + bx + c अपना चिह्न बरकरार रखता है। इस चिन्ह को निर्धारित करने के लिए, आधे तल से संबंधित किसी भी बिंदु को लेना और इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना पर्याप्त है। यदि फ़ंक्शन का चिह्न असमानता के चिह्न के साथ मेल खाता है, तो यह अर्ध-तल असमानता का समाधान होगा।

आइए दो चर वाली सबसे सामान्य असमानताओं के ग्राफिकल समाधानों के उदाहरण देखें।

1) कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी ≥ 0. चित्र 6.

2) |x| ≤ ए, ए > 0. चित्र 7.

3) एक्स 2 + वाई 2 ≤ ए, ए > 0. आंकड़ा 8.

4) आप ≥ एक्स 2 . चित्र 9.

5) xy ≤ 1. चित्र 10.

यदि आपके पास प्रश्न हैं या आप गणितीय मॉडलिंग का उपयोग करके दो चरों में असमानताओं के सभी समाधानों के सेट को एक समतल मॉडल पर चित्रित करने का अभ्यास करना चाहते हैं, तो आप आचरण कर सकते हैं ऑनलाइन ट्यूटर के साथ 25 मिनट का निःशुल्क पाठआपके पंजीकरण के बाद. एक शिक्षक के साथ काम करना जारी रखने के लिए, आपके पास एक टैरिफ योजना चुनने का अवसर होगा जो आपके लिए उपयुक्त हो।

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इस पाठ में हम रेखांकन समीकरणों पर करीब से नज़र डालेंगे। सबसे पहले, आइए याद रखें कि एक तर्कसंगत समीकरण क्या है और इसके समाधानों का सेट जो समीकरण का ग्राफ बनाता है। आइए एक रैखिक समीकरण के ग्राफ़ और एक रैखिक फ़ंक्शन के गुणों पर करीब से नज़र डालें और सीखें कि ग्राफ़ कैसे पढ़ें। इसके बाद, एक द्विघात समीकरण के ग्राफ और एक द्विघात फलन के गुणों पर विचार करें। हाइपरबोलिक फ़ंक्शन और उसके ग्राफ़ और एक वृत्त के समीकरण के ग्राफ़ पर विचार करें। इसके बाद, आइए ग्राफ़ के एक सेट के निर्माण और अध्ययन पर आगे बढ़ें।

विषय: समीकरणों की प्रणाली

पाठ: समीकरणों का रेखांकन

हम रूप के तर्कसंगत समीकरण और रूप के तर्कसंगत समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करते हैं

हमने कहा कि इस प्रणाली में प्रत्येक समीकरण का अपना ग्राफ होता है, यदि, निश्चित रूप से, समीकरणों के समाधान हैं। हमने विभिन्न समीकरणों के कई ग्राफ़ देखे।

अब हम हमें ज्ञात प्रत्येक समीकरण पर व्यवस्थित रूप से विचार करेंगे, अर्थात्। पिछली समीक्षा समीकरण ग्राफ़.

1. दो चरों वाला रैखिक समीकरण

एक्स, वाई - पहली डिग्री तक; ए, बी, सी - विशिष्ट संख्याएँ।

उदाहरण:

इस समीकरण का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।

हमने समतुल्य परिवर्तनों के साथ कार्य किया - हमने y को उसकी जगह पर छोड़ दिया, बाकी सभी चीजों को विपरीत संकेतों के साथ दूसरी तरफ ले जाया गया। मूल और परिणामी समीकरण समतुल्य हैं, अर्थात। समाधानों का एक ही सेट है. हम जानते हैं कि इस समीकरण का ग्राफ कैसे बनाया जाता है, और इसे बनाने की विधि इस प्रकार है: हम निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं और उनका उपयोग करके एक सीधी रेखा बनाते हैं।

इस मामले में

समीकरण के ग्राफ़ को जानकर, हम मूल समीकरण के समाधानों के बारे में बहुत कुछ कह सकते हैं, अर्थात्: यदि अगर

यह फ़ंक्शन बढ़ता है, अर्थात। जैसे-जैसे x बढ़ता है, y बढ़ता है। हमें दो विशेष समाधान मिले, लेकिन हम सभी समाधानों के सेट को कैसे लिख सकते हैं?

यदि किसी बिंदु का भुज x है, तो इस बिंदु की कोटि है

तो संख्याएँ

हमारे पास एक समीकरण था, हमने एक ग्राफ़ बनाया, हमने समाधान ढूंढे। सभी जोड़ियों का सेट - कितने हैं? अनगिनत.

यह एक तर्कसंगत समीकरण है

आइए y खोजें, और समतुल्य परिवर्तनों से हमें प्राप्त होता है

आइए इसे रखें और एक द्विघात फलन प्राप्त करें, इसका ग्राफ हमें ज्ञात है।

उदाहरण: एक तर्कसंगत समीकरण का ग्राफ़ बनाएं।

ग्राफ एक परवलय है, शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित हैं।

आइए समीकरण की जड़ें खोजें:

आइए हम ग्राफ़ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें ( चावल। 2).

ग्राफ़ का उपयोग करके, हम तर्कसंगत समीकरण के फ़ंक्शन और समाधान दोनों के बारे में सभी प्रकार की जानकारी प्राप्त करते हैं। हमने अचर चिह्न के अंतराल निर्धारित कर लिए हैं, अब हम परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करेंगे।

समीकरण के अनगिनत समाधान हैं, अर्थात्। ऐसे अनगिनत जोड़े हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं, लेकिन सभी और x क्या हो सकता है? कोई भी!

यदि हम कोई x निर्धारित करते हैं, तो हमें एक बिंदु मिलता है

मूल समीकरण का हल युग्मों का समुच्चय है

3. समीकरण का ग्राफ़ बनाएं

य का इजहार करना जरूरी है. आइए दो विकल्पों पर विचार करें।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक हाइपरबोला है, फ़ंक्शन कब परिभाषित नहीं होता है

कार्य कम हो रहा है.

यदि हम भुज के साथ एक बिंदु लें, तो उसकी कोटि बराबर होगी

मूल समीकरण का हल युग्मों का समुच्चय है

निर्मित हाइपरबोला को समन्वय अक्षों के सापेक्ष स्थानांतरित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ - एक हाइपरबोला भी - y-अक्ष के साथ एक ऊपर स्थानांतरित किया जाएगा।

4. वृत्त का समीकरण

यह दो चर वाला एक तर्कसंगत समीकरण है। समाधान सेट वृत्त के बिंदु हैं। त्रिज्या बिंदु पर केंद्र R के बराबर है (चित्र 4)।

आइए विशिष्ट उदाहरण देखें.

एक।

आइए हम समीकरण को एक वृत्त के समीकरण के मानक रूप में घटाएँ; इसके लिए हम योग के पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं:

- केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण प्राप्त किया .

चलिए समीकरण बनाते हैं (चित्र 5)।

बी। समीकरण का रेखांकन करें

याद रखें कि उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है और दूसरा मौजूद है।

किसी दिए गए समीकरण के ग्राफ़ में पहले और दूसरे समीकरणों के ग्राफ़ का एक सेट होता है, यानी। दो सीधी रेखाएँ.

आइए इसे बनाएं (चित्र 6)।

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं। सीधी रेखा बिंदु (0; -1) से होकर गुजरेगी। लेकिन यह कैसे चलेगा - बढ़ेगा या घटेगा? कोणीय गुणांक, x का गुणांक, हमें इसे निर्धारित करने में मदद करेगा; यह नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन घट रहा है। आइए बैल अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें, यह बिंदु (-1; 0) है।

हम इसी तरह दूसरे समीकरण का ग्राफ़ बनाते हैं। सीधी रेखा बिंदु (0; 1) से होकर गुजरती है, लेकिन बढ़ती है क्योंकि ढलान सकारात्मक है.

दो निर्मित रेखाओं के सभी बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण का समाधान हैं।

इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों के ग्राफ़ का विश्लेषण किया है; उनका उपयोग ग्राफिकल विधि और समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अन्य तरीकों को चित्रित करने में किया जाएगा।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थाएँ.- चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी.: बीमार।

2. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना, आदि - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार।

3. मकारिचेव यू. एन. बीजगणित। 9वीं कक्षा: शैक्षिक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए. संस्थान / यू. एन. मकारिचेव, एन. जी. मिंड्युक, के. आई. नेशकोव, आई. ई. फेओक्टिस्टोव। - 7वां संस्करण, रेव. और अतिरिक्त - एम.: मेनेमोसिन, 2008।

4. अलीमोव एस.ए., कोल्यागिन यू.एम., सिदोरोव यू.वी. बीजगणित. 9 वां दर्जा। 16वां संस्करण. - एम., 2011. - 287 पी।

5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। 9 वां दर्जा। 2 घंटे में। भाग 1. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी.सेमेनोव। - 12वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: 2010. - 224 पी.: बीमार।

6. बीजगणित. 9 वां दर्जा। 2 भागों में। भाग 2. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोवा, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य; ईडी। ए जी मोर्दकोविच। - 12वां संस्करण, रेव। - एम.: 2010.-223 पी.: बीमार।

1. गणित पर कॉलेज.आरयू अनुभाग ()।

2. इंटरनेट प्रोजेक्ट "कार्य" ()।

3. शैक्षिक पोर्टल "मैं एकीकृत राज्य परीक्षा को हल करूंगा" ()।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना, आदि - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार। क्रमांक 95-102.

उद्देश्य:1) छात्रों को "दो चर वाले समीकरण" की अवधारणा से परिचित कराना;

2) दो चर वाले समीकरण की डिग्री निर्धारित करना सीखें;

3) किसी दिए गए फ़ंक्शन से यह निर्धारित करना सीखें कि कौन सा आंकड़ा एक ग्राफ़ है

दिया गया समीकरण;

4) दो चर वाले ग्राफ़ के परिवर्तनों पर विचार करें;

एग्राफर प्रोग्राम का उपयोग करके दो चरों वाला समीकरण दिया गया;

6) छात्रों की तार्किक सोच का विकास करें।

I. नई सामग्री - बातचीत के तत्वों के साथ एक व्याख्यात्मक व्याख्यान।

(व्याख्यान लेखक की स्लाइड्स का उपयोग करके आयोजित किया जाता है; ग्राफ़ एग्राफर कार्यक्रम में तैयार किए जाते हैं)

टी: पंक्तियों का अध्ययन करते समय दो समस्याएं उत्पन्न होती हैं:

किसी दी गई रेखा के ज्यामितीय गुणों का उपयोग करके उसका समीकरण ज्ञात कीजिए;

व्युत्क्रम समस्या: एक रेखा के समीकरण को देखते हुए, उसके ज्यामितीय गुणों का अध्ययन करें।

हमने ज्यामिति पाठ्यक्रम में वृत्तों और सीधी रेखाओं के संबंध में पहली समस्या पर विचार किया।

आज हम उलटी समस्या पर विचार करेंगे।

फॉर्म के समीकरणों पर विचार करें:

ए) x(x-y)=4;बी) 2यू-एक्स 2 =-2 ; वी) एक्स(एक्स+वाई 2 ) = एक्स +1.

दो चर वाले समीकरणों के उदाहरण हैं।

दो चर वाले समीकरण एक्सऔर पर की तरह लगता है एफ(एक्स,वाई)=(एक्स,वाई), कहाँ एफऔर - चर के साथ अभिव्यक्ति एक्सऔर यू

यदि Eq में. x(x-y)=4चर के स्थान पर स्थानापन्न एक्सइसका मान -1 है, और इसके बजाय पर-मान 3, तो सही समानता प्राप्त होगी: 1*(-1-3)=4,

जोड़ी (-1; 3) परिवर्तनीय मान एक्सऔर परसमीकरण का एक समाधान है x(x-y)=4.

वह है समीकरण को हल करना दो वेरिएबल्स के साथ कहा जाता है चरों के मानों के क्रमित युग्मों का समुच्चय जो इस समीकरण को एक वास्तविक समानता बनाता है।

दो चर वाले समीकरणों के आमतौर पर अनंत रूप से कई समाधान होते हैं। अपवादउदाहरण के लिए, जैसे समीकरण बनाएँ एक्स 2 +(य 2 - 4) 2 = 0 या

2x 2 + पर 2 = 0 .

उनमें से पहले के दो समाधान हैं (0; -2) और (0; 2), दूसरे के पास एक समाधान है (0; 0)।

समीकरण x 4 + y 4 +3 = 0 का कोई हल नहीं है। यह दिलचस्प है जब समीकरण में चर के मान पूर्णांक होते हैं। दो चर वाले ऐसे समीकरणों को हल करने पर पूर्णांकों के जोड़े मिलते हैं। ऐसे मामलों में, समीकरण को पूर्णांकों में हल किया गया कहा जाता है।

समान समाधान सेट वाले दो समीकरण कहलाते हैं समतुल्य समीकरण. उदाहरण के लिए, समीकरण x(x + y 2) = x + 1 तीसरी डिग्री का समीकरण है, क्योंकि इसे समीकरण xy 2 + x 2 - x-1 = 0 में बदला जा सकता है, जिसका दाहिना पक्ष है तीसरी डिग्री के मानक रूप का एक बहुपद।

दो चर वाले समीकरण की डिग्री, जिसे F(x, y) = 0 के रूप में दर्शाया जाता है, जहां F(x, y) मानक रूप का एक बहुपद है, बहुपद F(x, y) की डिग्री कहलाती है।

यदि दो चर वाले समीकरण के सभी समाधानों को निर्देशांक तल में बिंदुओं के रूप में दर्शाया गया है, तो आपको दो चर वाले समीकरण का एक ग्राफ मिलेगा।

अनुसूचीदो चर वाला समीकरण उन बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक इस समीकरण के समाधान के रूप में कार्य करते हैं।

तो, समीकरण का ग्राफ कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0यदि कम से कम एक गुणांक हो तो एक सीधी रेखा है एया बी शून्य के बराबर नहीं (चित्र 1). अगर ए = बी = सी = 0, तो इस समीकरण का ग्राफ है निर्देशांक तल (चित्र 2), अगर ए = बी = 0, ए सी0, तो ग्राफ है खाली सेट (चित्र 3).

समीकरण ग्राफ y = एक एक्स 2 + द्वारा + सीएक परवलय है (चित्र 4), समीकरण का एक ग्राफ xy=k (k0) – अतिशयोक्ति (चित्र 5). समीकरण ग्राफ एक्स 2 + वाई 2 = आर, जहां x और y चर हैं, r एक धनात्मक संख्या है, है घेरामूल बिंदु पर केंद्र और त्रिज्या के बराबर आर(चित्र 6)। समीकरण का ग्राफ है अंडाकार, कहाँ एऔर बी- दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष (चित्र 7)।

कुछ समीकरणों के ग्राफ़ का निर्माण उनके परिवर्तनों के उपयोग से सुगम होता है। चलो गौर करते हैं समीकरणों के ग्राफ़ को दो चरों में परिवर्तित करनाऔर उन नियमों को तैयार करें जिनके द्वारा समीकरण ग्राफ़ के सबसे सरल परिवर्तन किए जाते हैं

1) समीकरण F (-x, y) = 0 का ग्राफ अक्ष के बारे में समरूपता का उपयोग करके समीकरण F (x, y) = 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है यू

2) समीकरण F (x, -y) = 0 का ग्राफ अक्ष के बारे में समरूपता का उपयोग करके समीकरण F (x, y) = 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है एक्स.

3) समीकरण F (-x, -y) = 0 का ग्राफ मूल के बारे में केंद्रीय समरूपता का उपयोग करके समीकरण F (x, y) = 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है।

4) समीकरण F (x-a, y) = 0 का ग्राफ |a| द्वारा x-अक्ष के समानांतर चलते हुए समीकरण F (x, y) = 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। इकाइयाँ (दाईं ओर, यदि ए> 0, और बायीं ओर यदि ए < 0).

5) समीकरण F (x, y-b) = 0 का ग्राफ |b| पर जाकर समीकरण F (x, y) = 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। अक्ष के समानांतर इकाइयाँ पर(ऊपर अगर बी> 0, और नीचे यदि बी < 0).

6) समीकरण F (ax, y) = 0 का ग्राफ, y-अक्ष और a समय पर संपीड़ित करके समीकरण F (x, y) = 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है, यदि ए> 1, और y-अक्ष से समय के अनुसार खींचकर, यदि 0< ए < 1.

7) समीकरण F (x, by) = 0 का ग्राफ, x-अक्ष पर संपीड़न का उपयोग करके समीकरण F (x, y) = 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है। बीकई बार अगर बी> 1, और यदि 0 है तो x अक्ष से कई गुना खींचकर < b < 1.

यदि किसी समीकरण के ग्राफ़ को मूल बिंदु के निकट एक निश्चित कोण से घुमाया जाता है, तो नया ग्राफ़ किसी अन्य समीकरण का ग्राफ़ होगा। 90 0 और 45 0 के कोणों पर घूर्णन के विशेष मामले महत्वपूर्ण हैं।

8) समीकरण F (x, y) = 0 का ग्राफ 90 0 के कोण द्वारा निर्देशांक की उत्पत्ति के निकट दक्षिणावर्त घुमाव के परिणामस्वरूप समीकरण F (-y, x) = 0 के ग्राफ में बदल जाता है। और समीकरण F (y , -x) = 0 के ग्राफ में वामावर्त।

9) 45 0 के कोण द्वारा निर्देशांक की उत्पत्ति के निकट दक्षिणावर्त घुमाव के परिणामस्वरूप समीकरण F (x, y) = 0 का ग्राफ समीकरण F = 0 के ग्राफ में बदल जाता है, और वामावर्त के ग्राफ में बदल जाता है। समीकरण एफ = 0.

दो चर वाले समीकरणों के ग्राफ़ को बदलने के लिए हमने जिन नियमों पर विचार किया है, उनसे फ़ंक्शन के ग्राफ़ को बदलने के नियम आसानी से प्राप्त होते हैं।

उदाहरण 1. आइए हम समीकरण को रेखांकन करके दिखाएं एक्स 2 + वाई 2 + 2x – 8y + 8 = 0एक वृत्त है (चित्र 17)।

आइए समीकरण को इस प्रकार रूपांतरित करें:

1) चर वाले पदों को समूहित करें एक्सऔर एक वेरिएबल युक्त पर, और पूर्ण वर्ग त्रिपद के रूप में पदों के प्रत्येक समूह की कल्पना करें: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) परिणामी त्रिपदों को दो अभिव्यक्तियों के योग (अंतर) के वर्ग के रूप में लिखें: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) आइए विश्लेषण करें, दो चर वाले समीकरणों के ग्राफ़ को बदलने के नियमों के अनुसार, समीकरण (x + 1) 2 + (y - 4) 2 = 3 2: इस समीकरण का ग्राफ़ एक वृत्त है जिसका केंद्र है बिंदु (-1; 4) और 3 इकाइयों की त्रिज्या।

उदाहरण 2: आइए समीकरण का ग्राफ़ बनाएं एक्स 2 + 4यू 2 = 9 .

आइए 4y 2 को (2y) 2 के रूप में कल्पना करें, हमें समीकरण x 2 + (2y) 2 = 9 मिलता है, जिसका ग्राफ x अक्ष को a द्वारा संपीड़ित करके वृत्त x 2 + y 2 = 9 से प्राप्त किया जा सकता है। 2 का कारक.

मूल बिंदु पर केंद्र और 3 इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं।

आइए एक्स अक्ष से प्रत्येक बिंदु की दूरी को 2 गुना कम करें और समीकरण का एक ग्राफ प्राप्त करें

x 2 + (2y) 2 = 9.

हमने वृत्त को उसके एक व्यास (एक्स अक्ष पर स्थित व्यास तक) को संपीड़ित करके यह आकृति प्राप्त की। इस आकृति को दीर्घवृत्त कहा जाता है (चित्र 18)।

उदाहरण 3. आइए जानें कि समीकरण x 2 - y 2 = 8 का ग्राफ क्या है।

आइए सूत्र F= 0 का उपयोग करें।

इस समीकरण में X के स्थान पर और Y के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

टी: समीकरण y = का ग्राफ क्या है?

डी: समीकरण y = का ग्राफ एक अतिपरवलय है।

यू: हमने फॉर्म x 2 - y 2 = 8 के समीकरण को समीकरण y = में बदल दिया।

इस समीकरण का ग्राफ कौन सी रेखा होगी?

डी: तो, समीकरण x 2 - y 2 = 8 का ग्राफ एक अतिपरवलय है।

यू: कौन सी रेखाएं हाइपरबोला y = की अनंतस्पर्शी हैं।

डी: हाइपरबोला y = के अनंतस्पर्शी सीधी रेखाएं y = 0 और x = 0 हैं।

यू: जब घूर्णन पूरा हो जाएगा, तो ये सीधी रेखाएं सीधी रेखाओं = 0 और = 0 में बदल जाएंगी, यानी सीधी रेखाओं y = x और y = - x में बदल जाएंगी। (चित्र 19)।

उदाहरण 4: आइए जानें कि मूल बिंदु के चारों ओर 90 0 के कोण से दक्षिणावर्त घुमाने पर परवलय का समीकरण y = x 2 क्या रूप लेगा।

सूत्र F (-y; x) = 0 का उपयोग करके, समीकरण y = x 2 में हम वेरिएबल x को - y से और वेरिएबल y को x से प्रतिस्थापित करते हैं। हमें समीकरण x = (-y) 2 प्राप्त होता है, अर्थात x = y 2 (चित्र 20)।

हमने दो चर वाले दूसरे-डिग्री समीकरणों के ग्राफ़ के उदाहरणों को देखा और पाया कि ऐसे समीकरणों के ग्राफ़ एक परवलय, एक अतिपरवलय, एक दीर्घवृत्त (विशेष रूप से, एक वृत्त) हो सकते हैं। इसके अलावा, दूसरी डिग्री के समीकरण का ग्राफ़ रेखाओं की एक जोड़ी (प्रतिच्छेदी या समानांतर) हो सकता है। यह तथाकथित पतित मामला है। अतः समीकरण x 2 - y 2 = 0 का ग्राफ प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक युग्म है (चित्र 21a), और समीकरण x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 का ग्राफ समानांतर रेखाएँ हैं।

द्वितीय समेकन.

(छात्रों को एग्राफर प्रोग्राम (परिशिष्ट 2) में दो चर के साथ समीकरणों के ग्राफ बनाने के लिए "निर्देश कार्ड" और कार्यों 1-8 के निर्माण के साथ "व्यावहारिक कार्य" कार्ड (परिशिष्ट 3) दिए जाते हैं। शिक्षक समीकरणों के ग्राफ प्रदर्शित करता है स्लाइड्स पर कार्य 4-5 ).

अभ्यास 1। (5;4), (1;0), (-5;-4) और (-1;-) में से कौन सा जोड़ा समीकरण का हल है:

ए) एक्स 2 - वाई 2 = 0, बी) एक्स 3 - 1 = एक्स 2 वाई + 6वाई?

समाधान:

दिए गए समीकरण में इन बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम आश्वस्त हैं कि एक भी दिया गया जोड़ा समीकरण x 2 - y 2 = 0 का समाधान नहीं है, और समीकरण x 3 - 1 = x 2 y + 6y का समाधान है जोड़े हैं (5;4), (1;0) और (-1;-).

125 - 1 = 100 + 24 (आई)

1 - 1= 0 + 0 (आई)

125 - 1 = -100 - 24 (एल)

1 – 1 = - - (आई)

उत्तर:ए); बी) (5;4), (1; 0), (-1; -)।

कार्य 2. समीकरण xy 2 - x 2 y = 12 का समाधान खोजें जिसमें मान एक्स 3 के बराबर है.

समाधान: 1) दिए गए समीकरण में X के स्थान पर मान 3 रखें।

2) हमें चर Y के लिए एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जिसका रूप इस प्रकार है:

3y 2 - 9y = 12.

4) आइए इस समीकरण को हल करें:

3y 2 - 9y – 12 = 0

डी = 81 + 144 = 225

उत्तर: जोड़े (3;4) और (3;-1) समीकरण xy 2 - x 2 y = 12 के समाधान हैं

कार्य 3. समीकरण की डिग्री निर्धारित करें:

ए) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; सी) (3 एक्स 2 + एक्स)(4एक्स - वाई 2) = एक्स;

बी) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; डी) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1)।

उत्तर: ए) 3; बी) 5; 4 पर; घ) 4.

कार्य 4. कौन सा आंकड़ा समीकरण का ग्राफ है:

ए) 2x = 5 + 3y; बी) 6 x 2 - 5x = y – 1; सी) 2(एक्स + 1) = एक्स 2 - वाई;

डी) (एक्स - 1.5)(एक्स - 4) = 0; ई) xy - 1.2 = 0; ई) एक्स 2 + वाई 2 = 9।

कार्य 5. एक समीकरण लिखें जिसका ग्राफ समीकरण x 2 - xy + 3 = 0 (चित्र 24) के ग्राफ के सममित है: ए) अक्ष के संबंध में एक्स; बी) कुल्हाड़ियाँ पर; ग) सीधी रेखा y = x; d) सीधी रेखा y = -x.

कार्य6. एक समीकरण बनाएं, जिसका ग्राफ समीकरण y = x 2 -3 (चित्र 25) के ग्राफ को खींचकर प्राप्त किया जाता है:

a) x-अक्ष से 2 बार; b) y-अक्ष से 3 बार।

एग्राफर प्रोग्राम से जांचें कि कार्य सही ढंग से पूरा हुआ।

उत्तर: a)y - x 2 + 3 = 0 (चित्र 25a); बी) y-(x) 2 + 3 = 0 (चित्र 25बी)।

बी) रेखाएं समानांतर हैं, एक्स-अक्ष के समानांतर 1 इकाई दाईं ओर और वाई-अक्ष के समानांतर 3 इकाई नीचे की ओर चलती हैं (चित्र 26बी);

सी) सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, एक्स अक्ष के सापेक्ष सममित प्रदर्शन (चित्र 26सी);

डी) सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, वाई-अक्ष के सापेक्ष सममित प्रदर्शन (चित्र 26डी);

ई) रेखाएं मूल के सापेक्ष समानांतर, सममित प्रदर्शन हैं (चित्र 26ई);

ई) सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, मूल के चारों ओर 90 दक्षिणावर्त घूमती हैं और एक्स अक्ष के सापेक्ष सममित प्रदर्शन करती हैं (चित्र 26एफ)।

तृतीय. स्वतंत्र शैक्षिक कार्य.

(छात्रों को कार्ड "स्वतंत्र कार्य" और "स्वतंत्र कार्य के परिणामों की रिपोर्टिंग तालिका" दी जाती है, जिसमें छात्र अपने उत्तर लिखते हैं और स्व-परीक्षण के बाद, प्रस्तावित योजना के अनुसार कार्य का मूल्यांकन करते हैं) परिशिष्ट 4..

मैं विकल्प।

ए) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; बी) (एक्स + वाई + 1) 2 - (एक्स-वाई) 2 = 2(एक्स + वाई)।

ए) एक्स 3 + वाई 3 -5एक्स 2 = 0; बी) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

ए) (एक्स + 1) 2 + (वाई-1) 2 = 4;

बी) एक्स 2 -वाई 2 = 1;

सी) एक्स - वाई 2 = 9।

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

वृत्त के केंद्र और उसकी त्रिज्या के निर्देशांक निर्दिष्ट करें।

6. अतिपरवलय y = को निर्देशांक तल पर कैसे ले जाया जाए ताकि उसका समीकरण x 2 - y 2 = 16 का रूप ले ले?

एग्राफ़र का उपयोग करके रेखांकन करके अपने उत्तर की जाँच करें।

7. परवलय y = x 2 को निर्देशांक तल पर कैसे ले जाया जाए ताकि उसका समीकरण x = y 2 - 1 का रूप ले ले

विकल्प II.

1. समीकरण की डिग्री निर्धारित करें:

ए)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); बी) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. क्या संख्याओं का युग्म (-2;3) समीकरण का हल है:

ए) एक्स 2 -वाई 2 -3एक्स = 1; बी) 8x 3 + 12x 2 वाई + 6xy 2 + वाई 3 = -1।

3. समीकरण के समाधानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.

4. किस प्रकार का वक्र (हाइपरबोला, सर्कल, पैराबोला) बिंदुओं का एक सेट है यदि इस वक्र के समीकरण का रूप है:

ए) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

बी) वाई 2 - एक्स 2 =1

सी) एक्स = वाई 2 - 1.

(एग्रैफ़र प्रोग्राम से जांचें कि कार्य सही ढंग से पूरा हुआ है)

5. एग्राफर प्रोग्राम का उपयोग करके, समीकरण बनाएं:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. अतिपरवलय y = को निर्देशांक तल पर कैसे ले जाया जाए ताकि उसका समीकरण x 2 - y 2 = 28 का रूप ले ले?

7. परवलय y = x 2 को निर्देशांक तल पर कैसे ले जाया जाए ताकि उसका समीकरण x = y 2 + 9 का रूप ले ले।

दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसका रूप निम्नलिखित होता है: a*x + b*y =с. यहाँ x और y दो चर हैं, a,b,c कुछ संख्याएँ हैं।

रैखिक समीकरण a*x + b*y = c का समाधान संख्याओं (x,y) का कोई भी युग्म है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात चर x और y वाले समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देता है। एक रैखिक समीकरण में अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

यदि संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को, जो दो चर वाले रैखिक समीकरण का समाधान है, निर्देशांक तल पर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है, तो ये सभी बिंदु दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ बनाते हैं। बिंदुओं के निर्देशांक हमारे x और y मान होंगे। इस मामले में, x मान भुज होगा, और y मान कोटि होगा।

दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ़

दो चर वाले एक रैखिक समीकरण का ग्राफ़ निर्देशांक तल पर सभी संभावित बिंदुओं का समूह है, जिनके निर्देशांक इस रैखिक समीकरण के समाधान होंगे। यह अनुमान लगाना आसान है कि ग्राफ़ एक सीधी रेखा होगी। इसीलिए ऐसे समीकरणों को रैखिक कहा जाता है।

निर्माण एल्गोरिथ्म

दो चरों में एक रैखिक समीकरण आलेखित करने के लिए एल्गोरिदम।

1. निर्देशांक अक्ष बनाएं, उन्हें लेबल करें और इकाई पैमाने को चिह्नित करें।

2. एक रैखिक समीकरण में, x = 0 रखें, और y के लिए परिणामी समीकरण को हल करें। ग्राफ़ पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें।

3. एक रैखिक समीकरण में, संख्या 0 को y के रूप में लें, और x के लिए परिणामी समीकरण को हल करें। ग्राफ़ पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें

4. यदि आवश्यक हो, तो x का एक मनमाना मान लें और y के लिए परिणामी समीकरण को हल करें। ग्राफ़ पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें।

5. परिणामी बिंदुओं को कनेक्ट करें और उनके परे ग्राफ़ को जारी रखें। परिणामी सीधी रेखा पर हस्ताक्षर करें।

उदाहरण:समीकरण 3*x - 2*y =6 का ग्राफ़ बनाएं;

आइए x=0 रखें, फिर - 2*y =6; आप= -3;

आइए y=0 रखें, फिर 3*x = 6; एक्स=2;

हम ग्राफ़ पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं और उसे लेबल करते हैं। नीचे दिए गए चित्र को देखें, ग्राफ बिल्कुल इस तरह दिखना चाहिए।