अनुभवजन्य वितरण समारोह की अभिव्यक्ति. अनुभवजन्य वितरण समारोह, गुण। विविधता शृंखला. बहुभुज और हिस्टोग्राम

विविधता शृंखला. बहुभुज और हिस्टोग्राम.

वितरण सीमा- एक निश्चित भिन्न विशेषता के अनुसार समूहों में अध्ययन की जा रही जनसंख्या की इकाइयों के क्रमबद्ध वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

वितरण श्रृंखला के गठन की अंतर्निहित विशेषता के आधार पर, उन्हें प्रतिष्ठित किया जाता है गुणात्मक और परिवर्तनशीलवितरण पंक्तियाँ:

§ किसी मात्रात्मक विशेषता के मानों के आरोही या अवरोही क्रम में निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है परिवर्तन संबंधी.

वितरण की भिन्नता श्रृंखला में दो कॉलम होते हैं:

पहला कॉलम अलग-अलग विशेषताओं के मात्रात्मक मान प्रदान करता है, जिन्हें कहा जाता है विकल्पऔर नामित हैं. असतत विकल्प - पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया गया। अंतराल विकल्प से लेकर तक होता है। विकल्पों के प्रकार के आधार पर, आप एक अलग या अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण कर सकते हैं।
दूसरे कॉलम में शामिल है विशिष्ट विकल्प की संख्या, आवृत्तियों या आवृत्तियों के संदर्भ में व्यक्त किया गया:

आवृत्तियों- ये निरपेक्ष संख्याएँ हैं, जो दर्शाती हैं कि किसी विशेषता का दिया गया मान समुच्चय में कितनी बार घटित होता है, जो दर्शाता है। सभी आवृत्तियों का योग संपूर्ण जनसंख्या में इकाइयों की संख्या के बराबर होना चाहिए।

आवृत्तियों() आवृत्तियाँ कुल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती हैं। प्रतिशत के रूप में व्यक्त सभी आवृत्तियों का योग एक के अंशों में 100% के बराबर होना चाहिए।

वितरण श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वितरण श्रृंखला को ग्राफिकल छवियों का उपयोग करके दृश्य रूप से प्रस्तुत किया गया है।

वितरण श्रृंखला को इस प्रकार दर्शाया गया है:

§ बहुभुज

§ हिस्टोग्राम

§ संचय करता है

बहुभुज

बहुभुज का निर्माण करते समय, अलग-अलग विशेषता के मान क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष) पर प्लॉट किए जाते हैं, और आवृत्तियों या आवृत्तियों को ऊर्ध्वाधर अक्ष (y-अक्ष) पर प्लॉट किया जाता है।

1. चित्र में बहुभुज। 6.1 1994 में रूस की जनसंख्या की सूक्ष्म जनगणना के आंकड़ों पर आधारित है।

बार चार्ट

हिस्टोग्राम बनाने के लिए, अंतराल की सीमाओं के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ इंगित किया जाता है और, उनके आधार पर, आयतों का निर्माण किया जाता है, जिनकी ऊंचाई आवृत्तियों (या आवृत्तियों) के समानुपाती होती है।

चित्र में. 6.2. 1997 में आयु समूह के अनुसार रूसी जनसंख्या के वितरण का एक हिस्टोग्राम दिखाता है।

चित्र .1। आयु समूहों द्वारा रूसी जनसंख्या का वितरण

अनुभवजन्य वितरण समारोह, गुण।

आइए एक मात्रात्मक विशेषता जाहिर है, घटना एक्स की सापेक्ष आवृत्ति

एक अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन (नमूना वितरण फ़ंक्शन) एक ऐसा फ़ंक्शन है जो प्रत्येक मान x के लिए घटना X की सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करता है

किसी नमूने के अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के विपरीत, जनसंख्या वितरण फ़ंक्शन को सैद्धांतिक वितरण फ़ंक्शन कहा जाता है। इन फ़ंक्शनों के बीच अंतर यह है कि सैद्धांतिक फ़ंक्शन घटना X की संभावना निर्धारित करता है

जैसे-जैसे n बढ़ता है, घटना X की सापेक्ष आवृत्ति बढ़ती है

बुनियादी गुण

एक प्राथमिक परिणाम तय होने दीजिए. फिर निम्नलिखित संभाव्यता फ़ंक्शन द्वारा दिए गए असतत वितरण का वितरण फ़ंक्शन है:

और कहां - नमूना तत्वों की संख्या के बराबर। विशेष रूप से, यदि नमूने के सभी तत्व भिन्न हैं .

इस वितरण की गणितीय अपेक्षा है:

.

इस प्रकार, नमूना माध्य नमूना वितरण का सैद्धांतिक माध्य है।

इसी प्रकार, नमूना विचरण एक नमूना वितरण का सैद्धांतिक विचरण है।

यादृच्छिक चर का द्विपद वितरण होता है:

नमूना वितरण फ़ंक्शन वितरण फ़ंक्शन का एक निष्पक्ष अनुमान है:

.

नमूना वितरण फ़ंक्शन के विचरण का रूप है:

.

बड़ी संख्या के मजबूत नियम के अनुसार, नमूना वितरण फ़ंक्शन लगभग निश्चित रूप से सैद्धांतिक वितरण फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है:

लगभग निश्चित रूप से.

नमूना वितरण फ़ंक्शन सैद्धांतिक वितरण फ़ंक्शन का एक सामान्य रूप से सामान्य अनुमान है। तो अगर

पर वितरण के अनुसार.

आइए कुछ मात्रात्मक विशेषता का अध्ययन करें? सामान्य जनसंख्या, और मान लें कि किसी भी नमूना आकार के लिए इस विशेषता का आवृत्ति वितरण ज्ञात है। नमूना आकार तय करके पी,द्वारा निरूपित करें पी एक्स x से कम विकल्पों की संख्या. फिर उस रिश्ते को देखना मुश्किल नहीं है एनजेएनकिसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति को व्यक्त करता है (?

यह अनुपात एक निश्चित संख्या x पर निर्भर करता है और इसलिए, इस मात्रा x का कुछ कार्य है। आइए हम इसे निरूपित करें एफ*(एक्स).

परिभाषा 1.10. समारोह एफ*(x)=-, सापेक्ष व्यक्त करते हुए

घटना आवृत्ति (? अनुभवजन्य कार्य

वितरण (नमूनाकरण वितरण फ़ंक्शनया सांख्यिकीय वितरण समारोह).

इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार

याद रखें कि सुविधा का वितरण कार्य ?, जनसंख्या को किसी घटना की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है (?

और अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के विपरीत कहा जाता है सैद्धांतिक वितरण समारोह.चूंकि अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन एक ही घटना की संभावना है, तो बर्नौली के प्रमेय के अनुसार (धारा 5.4 देखें), बड़े नमूना आकार के साथ वे इस अर्थ में एक दूसरे से बहुत कम भिन्न होते हैं

जहाँ e कोई मनमाने ढंग से छोटी धनात्मक संख्या है।

संबंध (1.2) से पता चलता है कि यदि सैद्धांतिक वितरण फ़ंक्शन अज्ञात है, तो नमूने से पाए गए अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन का उपयोग इसके नमूना अनुमान के रूप में किया जा सकता है। सूत्र (1.2) से यह एक साथ पता चलता है कि यह अनुमान सुसंगत है (परिभाषा 2.4 देखें)।

टिप्पणी 1.6. नज़रिया एनजेएनके रूप में भी समझा जा सकता है शेयर करनानमूने के वे सदस्य जो एक निश्चित संख्या x के बाईं ओर स्थित हैं। आइए हम इसे सह^ द्वारा निरूपित करें। परिणामस्वरूप,

आइए अब एक अलग नमूने के लिए अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के निर्माण का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1.2. नमूने का वितरण ज्ञात है (तालिका 1.7)।

तालिका 1.7

इसके अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें।

सबसे पहले, आइए नमूना आकार ढूंढें:

विकल्प एक्स एक्स- सबसे छोटा। इसीलिए एन एक्स = 0 और एफ*(एक्स)= 0 पर एक्स% 3, तो पी z = 6, अर्थात बिंदु के बाईं ओर एक्स= 3 छह नमूना मान हैं। इस तरह, एफ*(3) = - = 0.12. बांई ओर एक्स = 5स्थित

पत्नियों n x=5 = 6 + 9= 15 नमूना विकल्प। इसीलिए एफ.एन(5) = - = 0.3. इसलिए

कैसे n x=1 = 6 + 9 + 18 = 33, तो एफ.एन(7) = - = 0.66. इसी प्रकार हम पाते हैं

33 + 12 = 45. इसलिए एफ* (9) = ^ = 0,9.

विकल्प x 5 = 9 सबसे बड़ा है। इसलिए, x > 9 के लिए, संपूर्ण नमूना इस बिंदु x के बाईं ओर स्थित है। इसीलिए एन एक्स>9= 50 और एफ*(x) = -= 1 x > 9 के लिए। 50

इस प्रकार, ऊपर की गई गणनाओं से, यह निष्कर्ष निकलता है कि वांछित अनुभवजन्य फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक अक्ष, टुकड़े-टुकड़े स्थिरांक पर विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है और इसका रूप है

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक चरण आकृति का प्रतिनिधित्व करता है और चित्र में दिखाया गया है। 1.6. ?

जहां तक ​​निरंतर नमूनों के लिए एक अनुभवजन्य फ़ंक्शन के निर्माण के सवाल का सवाल है, तो इस समस्या को आम तौर पर स्पष्ट रूप से हल नहीं किया जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि अनुभवजन्य फ़ंक्शन के मान विशिष्ट रूप से केवल आंशिक अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर पाए जा सकते हैं जिसमें नमूना आबादी वाला मुख्य अंतराल विभाजित होता है। लेकिन आंशिक अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर इसे परिभाषित नहीं किया गया है। इन बिंदुओं पर इसे या तो टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शन (पिछला उदाहरण देखें) या कुछ बढ़ते निरंतर फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किया जाता है, उदाहरण के लिए एक रैखिक फ़ंक्शन, यानी। अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के निर्माण के लिए, एक रैखिक सन्निकटन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 1.3. तालिका 1.3 के अनुसार, सेवा की अवधि के आधार पर उद्यम के कर्मचारियों का अनुभवजन्य वितरण कार्य ज्ञात कीजिए।

निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि विचाराधीन आंशिक अंतराल बाईं ओर बंद हैं और दाईं ओर खुले हैं, यानी। उनमें केवल उनका बायां सिरा होता है। माना x = 2. तब घटना n 2 = 0 और एफ*(2)= 0. यदि x e (2; 6), तो इस बिंदु पर मान पी एक्सअब परिभाषित नहीं है और इसके साथ ही अनुभवजन्य फ़ंक्शन का मूल्य भी परिभाषित नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि x = 3, तो समस्या की स्थितियों से तीन वर्ष से कम कार्य अनुभव वाले श्रमिकों की संख्या निर्धारित करना असंभव है, अर्थात। आवृत्ति नहीं मिल सकी पी एक्सऔर इसलिए एफ*(एक्स).

इसके अलावा, इसी तरह से तर्क करते हुए, हम आश्वस्त हैं कि आवश्यक कार्य एफ*(एक्स)आंशिक अंतराल के बाएँ समापन बिंदु पर विशिष्ट मान लेता है, उदाहरण के लिए: "6) = 4/100 = 0.04; "10) = 0.12; "14) = 0.24; "18) = 0.59; एफ*(22)= 0.78; "26) = 0.90"; "30) = 1, लेकिन यह आंशिक अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर परिभाषित नहीं है। समस्या को अंततः हल करने के लिए, आंशिक अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर वांछित फ़ंक्शन को या तो टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शन (छवि 1.7) या कुछ निरंतर बढ़ते फ़ंक्शन (चित्र 1.8) द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां वांछित अनुभवजन्य फ़ंक्शन को एक द्वारा बढ़ाया जाता है। रैखिक प्रकार्य)। ?

व्याख्यान 13. यादृच्छिक चर के सांख्यिकीय अनुमान की अवधारणा

आइए एक मात्रात्मक विशेषता जाहिर है, घटना एक्स की सापेक्ष आवृत्ति< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

अनुभवजन्य वितरण समारोह(नमूना वितरण फ़ंक्शन) एक फ़ंक्शन है जो प्रत्येक मान x के लिए घटना X की सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करता है< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.

किसी नमूने के अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के विपरीत, जनसंख्या वितरण फ़ंक्शन कहा जाता है सैद्धांतिक वितरण समारोह.इन कार्यों के बीच अंतर यह है कि सैद्धांतिक कार्य निर्धारित करता है संभावनाघटनाएँ एक्स< x, тогда как эмпирическая – सापेक्ष आवृत्तिवही घटना.

जैसे-जैसे n बढ़ता है, घटना X की सापेक्ष आवृत्ति बढ़ती है< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами

अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के गुण:

1) अनुभवजन्य फलन के मान खंड से संबंधित हैं

2) - गैर-घटता हुआ कार्य

3) यदि सबसे छोटा विकल्प है, तो = 0 के लिए, यदि सबसे बड़ा विकल्प है, तो = 1 के लिए।

नमूने का अनुभवजन्य वितरण कार्य जनसंख्या के सैद्धांतिक वितरण कार्य का अनुमान लगाने का कार्य करता है।

उदाहरण. आइए नमूना वितरण के आधार पर एक अनुभवजन्य फ़ंक्शन का निर्माण करें:

आइए नमूना आकार ढूंढें: 12+18+30=60। सबसे छोटा विकल्प 2 है, इसलिए x £ 2 के लिए =0. x का मान<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. इस प्रकार, वांछित अनुभवजन्य फ़ंक्शन का रूप है:

सांख्यिकीय अनुमानों के सबसे महत्वपूर्ण गुण

मान लीजिए कि सामान्य जनसंख्या की कुछ मात्रात्मक विशेषताओं का अध्ययन करना आवश्यक है। आइए मान लें कि सैद्धांतिक विचारों से यह स्थापित करना संभव हो गया है बिल्कुल कौन सावितरण में एक चिह्न होता है और उन मापदंडों का मूल्यांकन करना आवश्यक होता है जिनके द्वारा यह निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि अध्ययन की जा रही विशेषता जनसंख्या में सामान्य रूप से वितरित है, तो गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन का अनुमान लगाना आवश्यक है; यदि विशेषता में पॉइसन वितरण है, तो पैरामीटर एल का अनुमान लगाना आवश्यक है।

आमतौर पर, केवल नमूना डेटा उपलब्ध होता है, उदाहरण के लिए, n स्वतंत्र अवलोकनों के परिणामस्वरूप प्राप्त मात्रात्मक विशेषता के मान। स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रूप में विचार करते हुए हम ऐसा कह सकते हैं सैद्धांतिक वितरण के किसी अज्ञात पैरामीटर का सांख्यिकीय अनुमान खोजने का अर्थ है देखे गए यादृच्छिक चर का एक फ़ंक्शन ढूंढना जो अनुमानित पैरामीटर का अनुमानित मान देता है। उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए, फ़ंक्शन की भूमिका अंकगणितीय माध्य द्वारा निभाई जाती है

अनुमानित मापदंडों का सही अनुमान प्रदान करने के लिए सांख्यिकीय अनुमानों के लिए, उन्हें कुछ आवश्यकताओं को पूरा करना होगा, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकताएं हैं विस्थापित और करदानक्षमता आकलन.

सैद्धांतिक वितरण के अज्ञात पैरामीटर का एक सांख्यिकीय अनुमान होने दें। अनुमान को आकार n के नमूने से ज्ञात करें। आइए प्रयोग को दोहराएं, अर्थात्। आइए सामान्य जनसंख्या से उसी आकार का एक और नमूना निकालें और, उसके डेटा के आधार पर, एक अलग अनुमान प्राप्त करें। प्रयोग को कई बार दोहराने पर हमें अलग-अलग नंबर मिलते हैं। स्कोर को एक यादृच्छिक चर के रूप में और संख्याओं को इसके संभावित मान के रूप में सोचा जा सकता है।

यदि अनुमान अनुमानित मूल्य देता है पर्याप्त रूप से, अर्थात। प्रत्येक संख्या वास्तविक मान से अधिक है, और परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा (औसत मान) इससे अधिक है:। इसी तरह, अगर यह एक अनुमान देता है एक नुकसान के साथ, वह ।

इस प्रकार, एक सांख्यिकीय अनुमान का उपयोग, जिसकी गणितीय अपेक्षा अनुमानित पैरामीटर के बराबर नहीं है, व्यवस्थित (समान चिह्न की) त्रुटियों को जन्म देगी। यदि, इसके विपरीत, तो यह व्यवस्थित त्रुटियों के विरुद्ध गारंटी देता है।

निष्पक्ष एक सांख्यिकीय अनुमान कहा जाता है, जिसकी गणितीय अपेक्षा किसी भी नमूना आकार के अनुमानित पैरामीटर के बराबर होती है।

विस्थापितऐसा अनुमान कहा जाता है जो इस शर्त को पूरा नहीं करता है।

अनुमान की निष्पक्षता अभी तक अनुमानित पैरामीटर के लिए अच्छे सन्निकटन की गारंटी नहीं देती है, क्योंकि संभावित मान हो सकते हैं बहुत बिखरा हुआ इसके औसत मूल्य के आसपास, यानी भिन्नता महत्वपूर्ण हो सकती है. इस मामले में, एक नमूने के डेटा से पाया गया अनुमान, उदाहरण के लिए, औसत मूल्य से काफी दूर हो सकता है, और इसलिए अनुमानित पैरामीटर से।

असरदार एक सांख्यिकीय अनुमान है, जो किसी दिए गए नमूना आकार n के लिए है सबसे छोटा संभव विचरण .

बड़े नमूनों पर विचार करते समय, सांख्यिकीय अनुमान की आवश्यकता होती है करदानक्षमता .

धनवान एक सांख्यिकीय अनुमान कहा जाता है, जो n®¥ के रूप में अनुमानित पैरामीटर की संभावना में होता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी निष्पक्ष अनुमान का विचरण n®¥ के रूप में शून्य हो जाता है, तो ऐसा अनुमान सुसंगत हो जाता है।

जैसा कि ज्ञात है, यादृच्छिक चर के वितरण नियम को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। एक असतत यादृच्छिक चर को एक वितरण श्रृंखला या एक अभिन्न फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, और एक निरंतर यादृच्छिक चर को एक अभिन्न या एक अंतर फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। आइए इन दो कार्यों के चयनात्मक अनुरूपताओं पर विचार करें।

मान लीजिए कि कुछ यादृच्छिक आयतन चर के मानों का एक नमूना सेट है और इस सेट का प्रत्येक विकल्प इसकी आवृत्ति से जुड़ा हुआ है। आगे चलो कुछ वास्तविक संख्या है, और - यादृच्छिक चर के नमूना मूल्यों की संख्या
, छोटा .फिर नंबर नमूने में देखे गए मात्रा मानों की आवृत्ति है एक्स, छोटा , वे। घटना के घटित होने की आवृत्ति
. जब यह बदलता है एक्ससामान्य स्थिति में, मूल्य भी बदल जाएगा . इसका मतलब है कि सापेक्ष आवृत्ति तर्क का एक कार्य है . और चूँकि यह फ़ंक्शन प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त नमूना डेटा से पाया जाता है, इसलिए इसे चयनात्मक या कहा जाता है प्रयोगसिद्ध.

परिभाषा 10.15. अनुभवजन्य वितरण समारोह(नमूना वितरण फ़ंक्शन) फ़ंक्शन है
, प्रत्येक मान के लिए परिभाषित करना एक्सघटना की सापेक्ष आवृत्ति
.

(10.19)

अनुभवजन्य नमूनाकरण वितरण फ़ंक्शन के विपरीत, वितरण फ़ंक्शन एफ(एक्स) सामान्य जनसंख्या को कहा जाता है सैद्धांतिक वितरण समारोह. उनके बीच का अंतर सैद्धांतिक कार्य है एफ(एक्स) किसी घटना की संभावना निर्धारित करता है
, और अनुभवजन्य एक ही घटना की सापेक्ष आवृत्ति है। बर्नौली के प्रमेय से यह निम्नानुसार है

,
(10.20)

वे। अत्याधिक संभावना
और घटना की सापेक्ष आवृत्ति
, अर्थात।
एक दूसरे से थोड़ा भिन्न होते हैं। इससे यह पता चलता है कि सामान्य जनसंख्या के सैद्धांतिक (अभिन्न) वितरण फ़ंक्शन का अनुमान लगाने के लिए नमूने के अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करना उचित है।

समारोह
और
समान गुण हैं. यह फ़ंक्शन की परिभाषा से अनुसरण करता है।

गुण
:

उदाहरण 10.4.दिए गए नमूना वितरण के आधार पर एक अनुभवजन्य फ़ंक्शन का निर्माण करें:

समाधान:आइए नमूना आकार ज्ञात करें एन= 12+18+30=60. सबसे छोटा विकल्प
, इस तरह,
पर
. अर्थ
, अर्थात्
12 बार देखा गया, इसलिए:

=
पर
.

अर्थ एक्स< 10, अर्थात्
और
12+18=30 बार देखा गया, इसलिए,
=
पर
. पर

.

आवश्यक अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन:

=

अनुसूची
चित्र में दिखाया गया है 10.2

आर
है। 10.2

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

1. गणितीय आँकड़े किन मुख्य समस्याओं का समाधान करते हैं? 2. सामान्य और नमूना जनसंख्या? 3. नमूना आकार परिभाषित करें। 4. किन नमूनों को प्रतिनिधि कहा जाता है? 5. प्रतिनिधित्व की त्रुटियाँ. 6. नमूनाकरण की मूल विधियाँ। 7. आवृत्ति की अवधारणा, सापेक्ष आवृत्ति। 8. सांख्यिकीय श्रृंखला की अवधारणा. 9. स्टर्जेस सूत्र लिखिए। 10. नमूना श्रेणी, माध्यिका और बहुलक की अवधारणाएँ तैयार करें। 11. बारंबारता बहुभुज, हिस्टोग्राम। 12. नमूना जनसंख्या के बिंदु अनुमान की अवधारणा। 13. पक्षपातपूर्ण एवं निष्पक्ष बिन्दु अनुमान। 14. नमूना औसत की अवधारणा तैयार करें। 15. नमूना विचरण की अवधारणा तैयार करें। 16. नमूना मानक विचलन की अवधारणा तैयार करें। 17. नमूना भिन्नता गुणांक की अवधारणा तैयार करें। 18. नमूना ज्यामितीय माध्य की अवधारणा तैयार करें।