जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में घटाया गया। जटिल संख्याओं के त्रिकोणमितीय और घातांकीय रूप। किसी सम्मिश्र संख्या को बीजगणितीय रूप से त्रिकोणमितीय रूप में परिवर्तित करना

3.1. धुवीय निर्देशांक

अक्सर हवाई जहाज़ पर उपयोग किया जाता है ध्रुवीय समन्वय प्रणाली . यदि कोई बिंदु O दिया गया है, तो इसे परिभाषित किया जाता है खंभा, और ध्रुव से निकलने वाली किरण (हमारे लिए यह धुरी है बैल) – ध्रुवीय अक्ष.बिंदु M की स्थिति दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होती है: ध्रुवीय अक्ष और वेक्टर के बीच त्रिज्या (या त्रिज्या वेक्टर) और कोण φ।कोण φ कहलाता है ध्रुवीय कोण; रेडियन में मापा जाता है और ध्रुवीय अक्ष से वामावर्त गिना जाता है।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक बिंदु की स्थिति संख्याओं के क्रमबद्ध युग्म (r; φ) द्वारा दी जाती है। ध्रुव पर आर = 0,और φ परिभाषित नहीं है. अन्य सभी बिंदुओं के लिए आर > 0,और φ को एक ऐसे पद तक परिभाषित किया गया है जो 2π का गुणज है। इस मामले में, संख्याओं के जोड़े (r; φ) और (r 1 ; φ 1) एक ही बिंदु से जुड़े हैं यदि।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली के लिए xOyकिसी बिंदु के कार्तीय निर्देशांक को उसके ध्रुवीय निर्देशांक के रूप में आसानी से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

3.2. सम्मिश्र संख्या की ज्यामितीय व्याख्या

आइए हम समतल पर कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार करें xOy.

कोई भी सम्मिश्र संख्या z=(a, b) निर्देशांक वाले तल पर एक बिंदु से संबद्ध होती है ( एक्स, वाई), कहाँ निर्देशांक x = a, अर्थात सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग है, और निर्देशांक y = bi काल्पनिक भाग है।

एक समतल जिसके बिंदु सम्मिश्र संख्याएँ हों, एक सम्मिश्र तल होता है।

चित्र में, सम्मिश्र संख्या जेड = (ए, बी)एक बिंदु से मेल खाता है एम(एक्स, वाई).

व्यायाम।निर्देशांक तल पर सम्मिश्र संख्याएँ बनाएँ:

3.3. सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप

समतल पर एक सम्मिश्र संख्या में एक बिंदु के निर्देशांक होते हैं एम(एक्स;वाई). जिसमें:

एक सम्मिश्र संख्या लिखना - सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप.

संख्या r को कहा जाता है मापांक जटिल संख्या जेडऔर नामित किया गया है. मापांक एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है। के लिए .

मापांक शून्य है यदि और केवल यदि z = 0, यानी ए = बी = 0.

संख्या φ कहलाती है तर्क z और नामित किया गया है. तर्क z को अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में ध्रुवीय कोण की तरह, अर्थात् उस पद तक जो 2π का गुणज है।

तब हम स्वीकार करते हैं: , जहां φ तर्क का सबसे छोटा मान है। यह तो स्पष्ट है

.

विषय का अधिक गहराई से अध्ययन करते समय, एक सहायक तर्क φ* पेश किया जाता है, जैसे कि

उदाहरण 1. किसी सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) मॉड्यूल पर विचार करें: ;

2) φ की तलाश में: ;

3) त्रिकोणमितीय रूप:

उदाहरण 2.किसी सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप ज्ञात कीजिए .

यहां त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और अभिव्यक्ति को बदलने के लिए पर्याप्त है:

उदाहरण 3.किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क ज्ञात करें;

1) ;

2) ; φ - 4 तिमाहियों में:

3.4. त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रियाएँ

· जोड़ना और घटानाबीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं के साथ ऐसा करना अधिक सुविधाजनक है:

· गुणा- सरल त्रिकोणमितीय परिवर्तनों का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है गुणा करते समय, संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा किया जाता है, और तर्क जोड़े जाते हैं: ;

सम्मिश्र संख्या XI

§ 256. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

चलो एक सम्मिश्र संख्या ए + द्वि वेक्टर से मेल खाता है ओ.ए.> निर्देशांक के साथ ( ए, बी ) (चित्र 332 देखें)।

आइए हम इस वेक्टर की लंबाई को इससे निरूपित करें आर , और यह अक्ष के साथ कौन सा कोण बनाता है एक्स , के माध्यम से φ . ज्या और कोज्या की परिभाषा के अनुसार:

ए / आर =क्योंकि φ , बी / आर = पाप φ .

इसीलिए ए = आर ओल φ , बी = आर पाप φ . लेकिन इस मामले में सम्मिश्र संख्या ए + द्वि इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ए + द्वि = आर ओल φ + आईआर पाप φ = आर (क्योंकि) φ + मैं पाप φ ).

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी वेक्टर की लंबाई का वर्ग उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसीलिए आर 2 = ए 2 + बी 2, कहाँ से आर = √ए 2 + बी 2

इसलिए, कोई सम्मिश्र संख्या ए + द्वि रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है :

ए + द्वि = आर (क्योंकि) φ + मैं पाप φ ), (1)

जहां आर = √ए 2 + बी 2 और कोण φ स्थिति से निर्धारित होता है:

सम्मिश्र संख्याएँ लिखने की इस शैली को कहा जाता है त्रिकोणमितीय.

संख्या आर सूत्र में (1) कहा जाता है मापांक, और कोण φ - तर्क, जटिल संख्या ए + द्वि .

यदि एक सम्मिश्र संख्या ए + द्वि शून्य के बराबर नहीं है, तो इसका मापांक धनात्मक है; अगर ए + द्वि = 0, तो ए = बी = 0 और फिर आर = 0.

किसी भी सम्मिश्र संख्या का मापांक विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

यदि एक सम्मिश्र संख्या ए + द्वि शून्य के बराबर नहीं है, तो इसका तर्क सूत्र (2) द्वारा निर्धारित किया जाता है निश्चित रूप से 2 से विभाज्य कोण के लिए सटीक π . अगर ए + द्वि = 0, तो ए = बी = 0. इस मामले में आर = 0. सूत्र (1) से इसे एक तर्क के रूप में समझना आसान है φ इस मामले में, आप कोई भी कोण चुन सकते हैं: आख़िरकार, किसी के लिए भी φ

0 (क्योंकि) φ + मैं पाप φ ) = 0.

इसलिए शून्य तर्क अपरिभाषित है।

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक आर कभी-कभी दर्शाया जाता है | जेड |, और तर्क arg जेड . आइए जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में दर्शाने के कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण। 1. 1 + मैं .

आइए मॉड्यूल ढूंढें आर और तर्क φ यह नंबर।

आर = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

इसलिए पाप φ = 1 / √ 2, क्योंकि φ = 1 / √ 2, कहाँ से φ = π / 4 + 2एनπ .

इस प्रकार,

1 + मैं = √ 2 ,

कहाँ पी - कोई भी पूर्णांक. आमतौर पर, एक जटिल संख्या के तर्क के अनंत मानों के सेट में से, एक को चुना जाता है जो 0 और 2 के बीच होता है π . इस मामले में, यह मान है π / 4 . इसीलिए

1 + मैं = √ 2 (को π / 4 + मैं पाप π / 4)

उदाहरण 2.किसी सम्मिश्र संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए √ 3 - मैं . हमारे पास है:

आर = √ 3+1 = 2, क्योंकि φ = √ 3/2, पाप φ = - 1 / 2

इसलिए, 2 से विभाज्य कोण तक π , φ = 11 / 6 π ; इस तरह,

√ 3 - मैं = 2(cos 11/6 π + मैं पाप 11 / 6 π ).

उदाहरण 3किसी सम्मिश्र संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए मैं।

जटिल संख्या मैं वेक्टर से मेल खाता है ओ.ए.> , अक्ष के बिंदु A पर समाप्त होता है पर कोटि 1 के साथ (चित्र 333)। ऐसे वेक्टर की लंबाई 1 है, और यह x-अक्ष के साथ जो कोण बनाता है वह बराबर है π / 2. इसीलिए

मैं =क्योंकि π / 2 + मैं पाप π / 2 .

उदाहरण 4.सम्मिश्र संख्या 3 को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए।

सम्मिश्र संख्या 3 सदिश से मेल खाती है ओ.ए. > एक्स भुज 3 (चित्र 334)।

ऐसे वेक्टर की लंबाई 3 है, और यह x-अक्ष के साथ जो कोण बनाता है वह 0 है। इसलिए

3 = 3 (cos 0 + मैं पाप 0),

उदाहरण 5.सम्मिश्र संख्या -5 को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए।

सम्मिश्र संख्या -5 एक सदिश से मेल खाती है ओ.ए.> एक अक्ष बिंदु पर समाप्त होना एक्स एब्सिस्सा -5 के साथ (चित्र 335)। ऐसे वेक्टर की लंबाई 5 है, और यह x-अक्ष के साथ जो कोण बनाता है वह बराबर है π . इसीलिए

5 = 5(cos π + मैं पाप π ).

अभ्यास

2047. इन जटिल संख्याओं को उनके मॉड्यूल और तर्कों को परिभाषित करते हुए त्रिकोणमितीय रूप में लिखें:

1) 2 + 2√3 मैं , 4) 12मैं - 5; 7).3मैं ;

2) √3 + मैं ; 5) 25; 8) -2मैं ;

3) 6 - 6मैं ; 6) - 4; 9) 3मैं - 4.

2048. समतल पर जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं का एक सेट इंगित करें जिनके मॉड्यूल आर और तर्क φ शर्तों को पूरा करते हैं:

1) आर = 1, φ = π / 4 ; 4) आर < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) आर =2; 5) 2 < आर <3; 8) 0 < φ < я;

3) आर < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < आर < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. क्या संख्याएँ एक साथ किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक हो सकती हैं? आर और - आर ?

2050. क्या सम्मिश्र संख्या का तर्क एक साथ कोण हो सकता है? φ और - φ ?

इन जटिल संख्याओं को उनके मॉड्यूल और तर्कों को परिभाषित करते हुए त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करें:

2051*. 1 + क्योंकि α + मैं पाप α . 2054*. 2(cos 20° - मैं पाप 20°).

2052*. पाप φ + मैं ओल φ . 2055*. 3(- क्योंकि 15° - मैं पाप 15°).

सामान्य (बीजगणितीय) रूप में दी गई एक सम्मिश्र संख्या पर विचार करें:

चित्र 3 एक सम्मिश्र संख्या दर्शाता है जेड. कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में इस संख्या के निर्देशांक ( ए, बी). किसी भी कोण के पाप और सह फलन की परिभाषा से यह निम्नानुसार है:

रिकॉर्डिंग के इस रूप को कहा जाता है त्रिकोणमितीयसम्मिश्र संख्या लिखने का रूप.

समीकरण (2) का वर्ग किया जाता है और जोड़ा जाता है:

.

(4)

आर−किसी सम्मिश्र संख्या की त्रिज्या सदिश की लंबाई जेडकिसी सम्मिश्र संख्या का मापांक कहा जाता है और इसे | से दर्शाया जाता है जेड|. जाहिर है | जेड|≥0, और | जेड|=0 यदि और केवल यदि जेड=0.

किसी सम्मिश्र संख्या के संगत बिंदु के ध्रुवीय कोण का परिमाण जेड, अर्थात। कोण φ , को इस संख्या का तर्क कहा जाता है और दर्शाया जाता है आर्ग z. नोटिस जो आर्ग zकेवल तभी समझ में आता है जब जेड≠0. जटिल संख्या तर्क 0 का कोई मतलब नहीं है।

किसी सम्मिश्र संख्या का तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। अगर φ फिर, एक सम्मिश्र संख्या का तर्क φ +2πk, क=0,1,... एक सम्मिश्र संख्या का तर्क भी है, क्योंकि क्योंकि( φ +2πk)=क्योंकि φ ,पाप( φ +2πk)=पाप φ .

किसी सम्मिश्र संख्या को बीजगणितीय रूप से त्रिकोणमितीय रूप में परिवर्तित करना

मान लीजिए कि एक सम्मिश्र संख्या को बीजगणितीय रूप में दर्शाया जाता है: जेड=ए+बी. आइए इस संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें। हम एक सम्मिश्र संख्या के मापांक की गणना करते हैं: . तर्क की गणना करें φ भावों से सम्मिश्र संख्या या । हम प्राप्त मानों को समीकरण (3) में सम्मिलित करते हैं।

उदाहरण 1: एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करें जेड=1 त्रिकोणमितीय रूप में.

समाधान। जटिल संख्या जेड=1 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: जेड=1+0मैं φ =1/1. हम इसे कहां से प्राप्त करते हैं? φ =0. मापांक और तर्क के मानों को (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: जेड=1(cos0+ मैंपाप0).

उत्तर। जेड=1(cos0+ मैंपाप0).

उदाहरण 2: एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करें z=iत्रिकोणमितीय रूप में.

समाधान। जटिल संख्या z=iइस प्रकार दर्शाया जा सकता है: जेड=0+1मैं. आइए इस संख्या के मापांक की गणना करें: . आइए इस संख्या के तर्क की गणना करें: क्योंकि φ =0/1. हम इसे कहां से प्राप्त करते हैं? φ =π /2. मापांक और तर्क के मानों को (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: .

उत्तर। .

उदाहरण 3: एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करें जेड=4+3मैंत्रिकोणमितीय रूप में.

समाधान। आइए इस संख्या के मापांक की गणना करें: . आइए इस संख्या के तर्क की गणना करें: क्योंकि φ =4/5. हम इसे कहां से प्राप्त करते हैं? φ =आर्ककोस(4/5). मापांक और तर्क के मानों को (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:।

उत्तर। , कहाँ φ =आर्ककोस(4/5).

त्रिकोणमितीय संकेतन में सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करना

जेड 1 =आर 1 (क्योंकि) φ 1 +मैंपाप φ 1) और जेड 2 =आर 2 (को φ 2 +मैंपाप φ 2). आइए इन संख्याओं को गुणा करें:

वे। सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का मापांक गुणनखंडों के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है.

उत्तर। .

जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय संकेतन में विभाजित करना

सम्मिश्र संख्याएँ दी जाएँ जेड 1 =आर 1 (क्योंकि) φ 1 +मैंपाप φ 1) और जेड 2 =आर 2 (को φ 2 +मैंपाप φ 2) और चलो जेड 2 ≠0, यानी आर 2 ≠0. चलिए हिसाब लगाते हैं जेड 1 /जेड 2:

उत्तर। .

गुणा और भाग का ज्यामितीय अर्थ

चित्र 4 सम्मिश्र संख्याओं का गुणन दर्शाता है जेड 1 और जेड 2. (6) और (7) से यह पता चलता है कि उत्पाद प्राप्त करना है जेड 1 जेड 2, आपको बिंदु के वेक्टर-त्रिज्या की आवश्यकता है जेड 1 एक कोण से वामावर्त घुमाएँ φ 2 और तक खिंचाव | जेड 2 | समय (0z 2 पर |

आइए अब एक सम्मिश्र संख्या के विभाजन पर विचार करें जेड 1 जेड 2 प्रति जेड 1 (चित्र 4)। सूत्र (8) से यह निष्कर्ष निकलता है कि वांछित संख्या का मापांक, संख्या के मापांक के विभाजन के भागफल के बराबर है जेड 1 जेडसंख्या के प्रति मॉड्यूल 2 जेड 1 और तर्क है: φ 2 =φ −φ 1 . विभाजन के फलस्वरूप हमें संख्या प्राप्त होती है जेड 2 .

2.3. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

मान लीजिए कि वेक्टर को जटिल तल पर संख्या द्वारा निर्दिष्ट किया गया है।

आइए हम सकारात्मक अर्ध-अक्ष ऑक्स और वेक्टर के बीच के कोण को φ से निरूपित करें (कोण φ को सकारात्मक माना जाता है यदि इसे वामावर्त मापा जाता है, और अन्यथा नकारात्मक)।

आइए हम वेक्टर की लंबाई को r से निरूपित करें। तब । हम भी निरूपित करते हैं

प्रपत्र में एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या z लिखना

सम्मिश्र संख्या z का त्रिकोणमितीय रूप कहलाता है। संख्या r को सम्मिश्र संख्या z का मापांक कहा जाता है, और संख्या φ को इस सम्मिश्र संख्या का तर्क कहा जाता है और इसे Arg z द्वारा दर्शाया जाता है।

किसी सम्मिश्र संख्या को लिखने का त्रिकोणमितीय रूप - (यूलर का सूत्र) - सम्मिश्र संख्या को लिखने का घातांकीय रूप:

सम्मिश्र संख्या z में अपरिमित रूप से कई तर्क हैं: यदि φ0 संख्या z का कोई तर्क है, तो अन्य सभी को सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

एक जटिल संख्या के लिए, तर्क और त्रिकोणमितीय रूप परिभाषित नहीं हैं।

इस प्रकार, एक गैर-शून्य जटिल संख्या का तर्क समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान है:

(3)

किसी सम्मिश्र संख्या z के तर्क का मान φ, जो असमानताओं को संतुष्ट करता है, मुख्य मान कहलाता है और इसे arg z द्वारा दर्शाया जाता है।

तर्क Arg z और arg z संबंधित हैं

, (4)

सूत्र (5) प्रणाली (3) का परिणाम है, इसलिए एक सम्मिश्र संख्या के सभी तर्क समानता (5) को संतुष्ट करते हैं, लेकिन समीकरण (5) के सभी समाधान संख्या z के तर्क नहीं हैं।

गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या के तर्क का मुख्य मान सूत्रों के अनुसार पाया जाता है:

जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में गुणा और विभाजित करने के सूत्र इस प्रकार हैं:

. (7)

किसी सम्मिश्र संख्या को प्राकृतिक घात में बढ़ाते समय, मोइवर सूत्र का उपयोग किया जाता है:

किसी सम्मिश्र संख्या का मूल निकालते समय सूत्र का उपयोग किया जाता है:

, (9)

जहां k=0, 1, 2, …, n-1.

समस्या 54. गणना करें कि कहां .

आइए हम इस अभिव्यक्ति का समाधान एक जटिल संख्या लिखने के घातांकीय रूप में प्रस्तुत करें:।

तो अगर।

तब , . इसलिए, फिर और , कहाँ ।

उत्तर: , पर ।

समस्या 55. जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में लिखें:

ए) ; बी) ; वी); जी) ; डी) ; इ) ; और) ।

चूँकि सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप है, तो:

a) सम्मिश्र संख्या में: .

,

इसीलिए

बी) , कहाँ ,

जी) , कहाँ ,

इ) .

और) , ए , वह ।

इसीलिए

उत्तर: ; 4; ; ; ; ; .

समस्या 56. एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप ज्ञात कीजिए

.

होने देना , .

तब , , .

चूँकि और , , फिर , और

इसलिए, इसलिए

उत्तर: , कहाँ ।

समस्या 57. एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित क्रियाएं करें:।

आइए संख्याओं की कल्पना करें और त्रिकोणमितीय रूप में.

1) , कहाँ तब

मुख्य तर्क का मान ज्ञात करें:

आइए मानों को प्रतिस्थापित करें और अभिव्यक्ति में, हमें प्राप्त होता है

2) , फिर कहाँ

तब

3) आइए भागफल ज्ञात करें

k=0, 1, 2 मानते हुए, हमें वांछित मूल के तीन अलग-अलग मान मिलते हैं:

तो अगर

तो अगर

तो अगर .

उत्तर: :

:

: .

समस्या 58. मान लीजिए , , , विभिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और . साबित करें कि

एक संख्या एक वास्तविक धनात्मक संख्या है;

बी) समानता रखती है:

क) आइए हम इन सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें:

क्योंकि ।

चलिए ऐसा दिखावा करते हैं. तब

.

अंतिम अभिव्यक्ति एक धनात्मक संख्या है, क्योंकि ज्या चिह्नों में अंतराल से संख्याएँ होती हैं।

संख्या के बाद से वास्तविक और सकारात्मक. वास्तव में, यदि a और b सम्मिश्र संख्याएँ हैं और वास्तविक हैं और शून्य से बड़ी हैं, तो।

अलावा,

इसलिए, आवश्यक समानता सिद्ध होती है।

समस्या 59. संख्या को बीजगणितीय रूप में लिखें .

आइए संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें और फिर उसका बीजगणितीय रूप खोजें। हमारे पास है . के लिए हमें सिस्टम मिलता है:

इसका तात्पर्य समानता से है: .

मोइवरे का सूत्र लागू करना: ,

हम पाते हैं

दी गई संख्या का त्रिकोणमितीय रूप पाया जाता है।

आइए अब इस संख्या को बीजगणितीय रूप में लिखें:

.

उत्तर: .

समस्या 60. योग ज्ञात कीजिए , ,

आइए राशि पर विचार करें

मोइवरे के सूत्र को लागू करने पर, हम पाते हैं

यह योग हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के n पदों का योग है और पहला सदस्य .

ऐसी प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र को लागू करने पर, हमारे पास है

अंतिम अभिव्यक्ति में काल्पनिक भाग को अलग करते हुए, हम पाते हैं

वास्तविक भाग को अलग करने पर, हमें निम्नलिखित सूत्र भी प्राप्त होता है: , , ।

समस्या 61. योग ज्ञात कीजिए:

ए) ; बी) ।

न्यूटन के घातांक के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है

मोइवरे के सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं:

परिणामी अभिव्यक्तियों के वास्तविक और काल्पनिक भागों को बराबर करने पर, हमारे पास है:

और .

इन सूत्रों को संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

,

, संख्या a का पूर्णांक भाग कहां है।

समस्या 62. वह सब खोजें, जिसके लिए।

क्योंकि , फिर, सूत्र का उपयोग करें

, जड़ें निकालने के लिए, हमें मिलता है ,

इस तरह, , ,

, .

संख्याओं के संगत बिंदु बिंदु (0;0) पर केंद्र के साथ त्रिज्या 2 के एक वृत्त में अंकित एक वर्ग के शीर्ष पर स्थित हैं (चित्र 30)।

उत्तर: , ,

, .

समस्या 63. समीकरण हल करें , .

शर्त के अनुसार ; इसलिए, इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, और इसलिए यह समीकरण के समतुल्य है।

संख्या z को इस समीकरण का मूल बनाने के लिए, संख्या को संख्या 1 का nवाँ मूल होना चाहिए।

यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल समीकरण की जड़ें समानता से निर्धारित होती हैं

,

इस प्रकार,

,

अर्थात। ,

उत्तर: .

समस्या 64. सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में समीकरण को हल करें।

चूँकि संख्या इस समीकरण का मूल नहीं है, तो इस समीकरण के लिए यह समीकरण के बराबर है

यानी समीकरण.

इस समीकरण के सभी मूल सूत्र से प्राप्त किए गए हैं (समस्या 62 देखें):

; ; ; ; .

समस्या 65. जटिल तल पर बिंदुओं का एक समूह बनाएं जो असमानताओं को संतुष्ट करते हों: . (समस्या 45 को हल करने का दूसरा तरीका)

होने देना .

समान मॉड्यूल वाली जटिल संख्याएं मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त पर स्थित विमान में बिंदुओं के अनुरूप होती हैं, इसलिए असमानता होती है मूल और त्रिज्या पर एक सामान्य केंद्र वाले वृत्तों से घिरे एक खुले वलय के सभी बिंदुओं को संतुष्ट करें और (चित्र 31)। मान लीजिए कि जटिल तल का कुछ बिंदु संख्या w0 के अनुरूप है। संख्या , मॉड्यूल w0 से कई गुना छोटा मॉड्यूल है, और तर्क w0 से बड़ा तर्क है। ज्यामितीय दृष्टिकोण से, w1 के अनुरूप बिंदु को मूल बिंदु पर एक केंद्र और एक गुणांक के साथ एक समरूपता का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, साथ ही एक कोण वामावर्त द्वारा मूल के सापेक्ष घूर्णन भी किया जा सकता है। इन दो परिवर्तनों को वलय के बिंदुओं पर लागू करने के परिणामस्वरूप (चित्र 31), उत्तरार्द्ध एक ही केंद्र और त्रिज्या 1 और 2 (चित्र 32) वाले वृत्तों से घिरी एक वलय में बदल जाएगा।

परिवर्तन एक वेक्टर के समानांतर स्थानांतरण का उपयोग करके कार्यान्वित किया गया। बिंदु पर केंद्र के साथ अंगूठी को संकेतित वेक्टर में स्थानांतरित करके, हम बिंदु पर केंद्र के साथ समान आकार की एक अंगूठी प्राप्त करते हैं (चित्र 22)।

प्रस्तावित विधि, जो एक विमान के ज्यामितीय परिवर्तनों के विचार का उपयोग करती है, संभवतः वर्णन करने में कम सुविधाजनक है, लेकिन बहुत ही सुरुचिपूर्ण और प्रभावी है।

समस्या 66. खोजें यदि .

चलो , फिर और . प्रारंभिक समानता का रूप ले लेगी . दो सम्मिश्र संख्याओं की समानता की स्थिति से हमें , , प्राप्त होता है , जिससे , . इस प्रकार, ।

आइए संख्या z को त्रिकोणमितीय रूप में लिखें:

, कहाँ , । मोइवरे के सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं।

उत्तर:- 64.

समस्या 67. एक सम्मिश्र संख्या के लिए, सभी सम्मिश्र संख्याएँ ज्ञात कीजिए जैसे कि, और .

आइए संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें:

. यहाँ से, । हमें जो संख्या मिलती है, वह या के बराबर हो सकती है।

पहले मामले में , क्षण में

.

उत्तर: , .

समस्या 68. ऐसी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। कृपया इनमें से कोई एक नंबर बताएं.

ध्यान दें कि समस्या के सूत्रीकरण से ही यह समझा जा सकता है कि समीकरण के मूलों का योग स्वयं मूलों की गणना किए बिना पाया जा सकता है। वास्तव में, समीकरण की जड़ों का योग के लिए गुणांक है, जिसे विपरीत चिह्न (सामान्यीकृत विएटा प्रमेय) के साथ लिया जाता है, यानी।

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अनुनाद" (!)), जिसमें किसी के स्वयं के व्यवहार का मूल्यांकन भी शामिल है। 4. स्थिति (संदेह) की किसी की समझ का महत्वपूर्ण मूल्यांकन। 5. अंत में, कानूनी मनोविज्ञान से सिफारिशों का उपयोग (वकील मनोवैज्ञानिक को ध्यान में रखता है) किए गए पेशेवर कार्यों के पहलू - पेशेवर मनोवैज्ञानिक तैयारी)। आइए अब कानूनी तथ्यों के मनोवैज्ञानिक विश्लेषण पर विचार करें...

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