एक घन में निर्माण संक्षिप्त गुणन सूत्र एक घन में कोष्ठक का विस्तार
तीन कारक, जिनमें से प्रत्येक बराबर है एक्स। (\डिस्प्लेस्टाइल x.)इस अंकगणितीय संक्रिया को "घन" कहा जाता है और इसका परिणाम दर्शाया जाता है x 3 (\displaystyle x^(3)):
x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x)घन के लिए, व्युत्क्रम क्रिया घनमूल लेने की है। तीसरी डिग्री का ज्यामितीय नाम " घनक्षेत्र"इस तथ्य के कारण है कि प्राचीन गणितज्ञ घनों के मान को मानते थे घन संख्या, एक विशेष प्रकार की घुँघराले संख्याएँ (नीचे देखें), संख्या के घन के बाद से एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)एक घन के आयतन के बराबर जिसके किनारे की लंबाई बराबर है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x).
घनों का क्रम
, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…पहले घनों का योग एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\right) ^(2))सूत्र की व्युत्पत्ति
घनों के योग का सूत्र गुणन तालिका और अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। विधि के उदाहरण के रूप में दो 5×5 गुणन तालिकाओं पर विचार करते हुए, हम n×n आकार की तालिकाओं के लिए तर्क प्रस्तुत करेंगे।
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पहली तालिका के k-th (k=1,2,...) चयनित क्षेत्र में संख्याओं का योग:
k 2 + 2 k ∑ l = 1 k - 1 l = k 2 + 2 k k (k - 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))और दूसरी तालिका के k-th (k=1,2,...) चयनित क्षेत्र में संख्याओं का योग, एक अंकगणितीय प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है:
k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))पहली तालिका के सभी चयनित क्षेत्रों का योग करने पर, हमें दूसरी तालिका के सभी चयनित क्षेत्रों के योग के समान संख्या प्राप्त होती है:
∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\sum _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1) ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\right)^(2))कुछ गुण
- दशमलव संकेतन में, एक घन किसी भी अंक के साथ समाप्त हो सकता है (वर्ग के विपरीत)
- दशमलव अंकन में, घन के अंतिम दो अंक 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 हो सकते हैं। , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. घन के अंतिम अंक की निर्भरता अंतिम को निम्नलिखित तालिका में प्रस्तुत किया जा सकता है:
अंकित संख्याओं के रूप में घन
"घन संख्या" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3))ऐतिहासिक रूप से एक प्रकार की स्थानिक आकृति वाली संख्याओं के रूप में देखा जाता है। इसे क्रमिक त्रिभुजाकार संख्याओं के वर्गों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है टी एन (\डिस्प्लेस्टाइल टी_(एन)):
Q n = (T n) 2 - (T n - 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\dots +Q_(n)=(T_(n) )^(2))दो आसन्न घन संख्याओं के बीच का अंतर केन्द्रित षट्कोणीय संख्या है।
एक घन संख्या को चतुष्फलकीय के रूप में व्यक्त करना Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).
घातांक गुणन से निकटता से संबंधित एक संक्रिया है; यह संक्रिया किसी संख्या को स्वयं से बार-बार गुणा करने का परिणाम है। आइए इसे सूत्र द्वारा निरूपित करें: a1 * a2 * … * an = an।
उदाहरण के लिए, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8।
सामान्य तौर पर, घातांक का उपयोग अक्सर गणित और भौतिकी के विभिन्न सूत्रों में किया जाता है। इस फ़ंक्शन का चार मुख्य कार्यों की तुलना में अधिक वैज्ञानिक उद्देश्य है: जोड़, घटाव, गुणा, भाग।
किसी संख्या को घात तक बढ़ाना
किसी संख्या को घात तक बढ़ाना कोई जटिल कार्य नहीं है। यह गुणन से उसी प्रकार संबंधित है जिस प्रकार गुणन और जोड़ के बीच संबंध है। अंकन a संख्याओं की nवीं संख्या "a" को एक दूसरे से गुणा करने का एक संक्षिप्त अंकन है।
जटिल उदाहरणों की ओर बढ़ते हुए, सबसे सरल उदाहरणों का उपयोग करके घातांक पर विचार करें।
उदाहरण के लिए, 42. 42 = 4 * 4 = 16. चार वर्ग (दूसरी घात तक) सोलह के बराबर होता है। अगर आपको गुणा 4 * 4 समझ में नहीं आता है तो गुणा के बारे में हमारा लेख पढ़ें।
आइए एक और उदाहरण देखें: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . पाँच घन (तीसरी घात तक) एक सौ पच्चीस के बराबर है।
दूसरा उदाहरण: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . नौ घन सात सौ उनतीस के बराबर होता है।
घातांक सूत्र
किसी घात को सही ढंग से बढ़ाने के लिए, आपको नीचे दिए गए सूत्रों को याद रखना और जानना होगा। इसमें कुछ भी अतिरिक्त स्वाभाविक नहीं है, मुख्य बात सार को समझना है और फिर वे न केवल याद रहेंगे, बल्कि आसान भी लगेंगे।
एकपदी को एक घात तक बढ़ाना
एकपदी क्या है? यह किसी भी मात्रा में संख्याओं और चरों का उत्पाद है। उदाहरण के लिए, दो एकपदी है। और यह लेख ऐसे एकपदी को शक्तियों तक बढ़ाने के बारे में है।
घातांक के सूत्रों का उपयोग करके, एकपदी के घातांक की गणना करना कठिन नहीं होगा।
उदाहरण के लिए, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; यदि आप एकपदी को एक घात तक बढ़ा देते हैं, तो एकपदी का प्रत्येक घटक एक घात तक बढ़ जाता है।
एक चर को बढ़ाने से जिसमें पहले से ही एक शक्ति है, शक्तियां कई गुना बढ़ जाती हैं। उदाहरण के लिए, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
एक नकारात्मक शक्ति की ओर बढ़ना
एक ऋणात्मक घात किसी संख्या का व्युत्क्रम है। पारस्परिक संख्या क्या है? किसी भी संख्या X का व्युत्क्रम 1/X होता है। अर्थात्, X-1=1/X। यह नकारात्मक डिग्री का सार है.
उदाहरण पर विचार करें (3Y)^-3:
(3वाई)^-3 = 1/(27वाई^3).
ऐसा क्यों? चूँकि घात में एक ऋण है, हम बस इस अभिव्यक्ति को हर में स्थानांतरित करते हैं, और फिर इसे तीसरी घात तक बढ़ाते हैं। सरल है ना?
भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना
आइए इस मुद्दे को एक विशिष्ट उदाहरण से देखना शुरू करें। 43/2. डिग्री 3/2 का क्या मतलब है? 3 - अंश, का अर्थ है किसी संख्या (इस मामले में 4) को एक घन में बढ़ाना। संख्या 2 हर है; यह एक संख्या की दूसरी जड़ का निष्कर्षण है (इस मामले में, 4)।
तब हमें 43 का वर्गमूल = 2^3 = 8 प्राप्त होता है। उत्तर: 8.
तो, भिन्नात्मक घात का हर या तो 3 या 4 या अनंत तक कोई भी संख्या हो सकता है, और यह संख्या किसी दिए गए संख्या से लिए गए वर्गमूल की डिग्री निर्धारित करती है। निःसंदेह, हर शून्य नहीं हो सकता।
एक जड़ को एक शक्ति तक बढ़ाना
यदि मूल को मूल की डिग्री के बराबर डिग्री तक बढ़ा दिया जाए, तो उत्तर एक मूल अभिव्यक्ति होगी। उदाहरण के लिए, (√x)2 = x. और इसलिए किसी भी स्थिति में, जड़ की डिग्री और जड़ के बढ़ने की डिग्री बराबर होती है।
यदि (√x)^4. फिर (√x)^4=x^2. समाधान की जाँच करने के लिए, हम व्यंजक को भिन्नात्मक घात वाले व्यंजक में परिवर्तित करते हैं। चूँकि मूल वर्गाकार है, हर 2 है। और यदि मूल को चौथी घात तक बढ़ा दिया जाए, तो अंश 4 है। हमें 4/2=2 मिलता है। उत्तर: एक्स = 2.
किसी भी स्थिति में, सबसे अच्छा विकल्प केवल अभिव्यक्ति को भिन्नात्मक शक्ति वाले अभिव्यक्ति में परिवर्तित करना है। यदि भिन्न रद्द नहीं होता है, तो यह उत्तर है, बशर्ते कि दी गई संख्या का मूल पृथक न हो।
किसी सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाना
सम्मिश्र संख्या क्या है? सम्मिश्र संख्या एक अभिव्यक्ति है जिसका सूत्र a + b * i है; ए, बी वास्तविक संख्याएं हैं। i एक संख्या है जिसका वर्ग करने पर संख्या -1 प्राप्त होती है।
आइए एक उदाहरण देखें. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
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घातांक गुणन से निकटता से संबंधित एक संक्रिया है; यह संक्रिया किसी संख्या को स्वयं से बार-बार गुणा करने का परिणाम है। आइए इसे सूत्र द्वारा निरूपित करें: a1 * a2 * … * an=an.
उदाहरण के लिए, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
समाधान के उदाहरण:
घातांक प्रस्तुति
शक्तियों को बढ़ाने पर प्रस्तुति, सातवीं कक्षा के विद्यार्थियों के लिए डिज़ाइन की गई। प्रस्तुतिकरण कुछ अस्पष्ट बिंदुओं को स्पष्ट कर सकता है, लेकिन हमारे लेख के कारण ये बिंदु संभवतः स्पष्ट नहीं होंगे।
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पिछले पाठ में हमने गुणनखंडन पर चर्चा की थी। हमने दो तरीकों में महारत हासिल की: सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखना और समूह बनाना। इस पाठ में - निम्नलिखित शक्तिशाली विधि: संक्षिप्त गुणन सूत्र. संक्षेप में - एफएसयू।
गणित की सभी शाखाओं में संक्षिप्त गुणन सूत्र (योग और अंतर वर्ग, योग और अंतर घन, वर्गों का अंतर, योग और अंतर घन) अत्यंत आवश्यक हैं। इनका उपयोग व्यंजकों को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने, बहुपदों को गुणा करने, भिन्नों को कम करने, अभिन्नों को हल करने आदि में किया जाता है। और इसी तरह। संक्षेप में, उनसे निपटने का हर कारण मौजूद है। समझें कि वे कहाँ से आते हैं, उनकी आवश्यकता क्यों है, उन्हें कैसे याद रखें और उन्हें कैसे लागू करें।
क्या हम समझते हैं?)
संक्षिप्त गुणन सूत्र कहाँ से आते हैं?
समानताएँ 6 और 7 बहुत परिचित तरीके से नहीं लिखी गई हैं। यह एक तरह से विपरीत है. यह जानबूझकर किया गया है।) कोई भी समानता बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों तरफ काम करती है। यह प्रविष्टि यह स्पष्ट करती है कि एफएसयू कहां से आते हैं।
इन्हें गुणन से लिया गया है।) उदाहरण के लिए:
(ए+बी) 2 =(ए+बी)(ए+बी)=ए 2 +एबी+बीए+बी 2 =ए 2 +2एबी+बी 2
बस, कोई वैज्ञानिक तरकीब नहीं। हम बस कोष्ठकों को गुणा करते हैं और समान कोष्ठक देते हैं। ऐसा ही होता है सभी संक्षिप्त गुणन सूत्र। संक्षिप्तगुणन इसलिए है क्योंकि स्वयं सूत्रों में कोष्ठकों का गुणन और समान कोष्ठकों का ह्रास नहीं होता है। संक्षिप्त।) परिणाम तुरंत दिया जाता है।
एफएसयू को दिल से जानने की जरूरत है। पहले तीन के बिना, आप सी का सपना नहीं देख सकते; बाकी के बिना, आप बी या ए का सपना नहीं देख सकते।)
हमें संक्षिप्त गुणन सूत्रों की आवश्यकता क्यों है?
इन सूत्रों को सीखने, यहाँ तक कि याद रखने के दो कारण हैं। पहला यह कि एक तैयार उत्तर स्वचालित रूप से त्रुटियों की संख्या को कम कर देता है। लेकिन ये मुख्य कारण नहीं है. लेकिन दूसरा...
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संक्षिप्त अभिव्यक्ति सूत्र अक्सर अभ्यास में उपयोग किए जाते हैं, इसलिए उन सभी को याद करने की सलाह दी जाती है। इस क्षण तक, यह ईमानदारी से हमारी सेवा करेगा, जिसे हम प्रिंट करके हर समय आपकी आंखों के सामने रखने की सलाह देते हैं:
संक्षिप्त गुणन सूत्रों की संकलित तालिका से पहले चार सूत्र आपको दो अभिव्यक्तियों के योग या अंतर को वर्ग और घन करने की अनुमति देते हैं। पांचवें का उद्देश्य दो भावों के अंतर और योग को संक्षेप में गुणा करना है। और छठे और सातवें सूत्र का उपयोग दो भावों a और b के योग को उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग से गुणा करने के लिए किया जाता है (इसे a 2 −a b+b 2 के रूप की अभिव्यक्ति कहा जाता है) और दो के अंतर को गुणा करने के लिए किया जाता है अभिव्यक्ति a और b को क्रमशः उनके योग के अपूर्ण वर्ग (a 2 + a·b+b 2 ) द्वारा।
यह अलग से ध्यान देने योग्य है कि तालिका में प्रत्येक समानता एक पहचान है। यह बताता है कि संक्षिप्त गुणन सूत्रों को संक्षिप्त गुणन सर्वसमिकाएँ भी क्यों कहा जाता है।
उदाहरणों को हल करते समय, विशेष रूप से जिसमें बहुपद को गुणनखंडित किया जाता है, एफएसयू का उपयोग अक्सर बाएँ और दाएँ पक्षों की अदला-बदली के रूप में किया जाता है:
तालिका में अंतिम तीन पहचानों के अपने नाम हैं। सूत्र a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) कहलाता है वर्गों का अंतर सूत्र, ए 3 +बी 3 =(ए+बी)·(ए 2 −ए·बी+बी 2) - घन सूत्र का योग, ए a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - घन सूत्र का अंतर. कृपया ध्यान दें कि हमने पिछली तालिका से पुनर्व्यवस्थित भागों के साथ संबंधित सूत्रों का नाम नहीं दिया है।
अतिरिक्त सूत्र
संक्षिप्त गुणन सूत्रों की तालिका में कुछ और सर्वसमिकाएँ जोड़ने से कोई नुकसान नहीं होगा।
संक्षिप्त गुणन सूत्र (एफएसयू) और उदाहरणों के अनुप्रयोग के क्षेत्र
संक्षिप्त गुणन सूत्रों (एफएसयू) का मुख्य उद्देश्य उनके नाम से समझाया गया है, यानी इसमें संक्षिप्त रूप से गुणा करने वाले भाव शामिल हैं। हालाँकि, एफएसयू के अनुप्रयोग का दायरा बहुत व्यापक है, और यह छोटे गुणन तक सीमित नहीं है। आइए मुख्य दिशाओं को सूचीबद्ध करें।
निस्संदेह, संक्षिप्त गुणन सूत्र का केंद्रीय अनुप्रयोग भावों के समान रूपांतरण करने में पाया गया। प्रक्रिया में अक्सर इन सूत्रों का उपयोग किया जाता है अभिव्यक्ति को सरल बनाना.
उदाहरण।
व्यंजक 9·y−(1+3·y) 2 को सरल कीजिए।
समाधान।
इस अभिव्यक्ति में, वर्ग को संक्षिप्त रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, हमारे पास है 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). जो कुछ बचा है वह कोष्ठक खोलना और समान शब्द लाना है: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
गणितीय अभिव्यक्तियाँ (सूत्र) संक्षिप्त गुणन(योग और अंतर का वर्ग, योग और अंतर का घन, वर्गों का अंतर, घन का योग और अंतर) सटीक विज्ञान के कई क्षेत्रों में बेहद अपूरणीय हैं। ये 7 प्रतीकात्मक संकेतन व्यंजकों को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने, बहुपदों को गुणा करने, भिन्नों को कम करने, अभिन्नों को हल करने और बहुत कुछ के लिए अमूल्य हैं। इसका मतलब यह है कि यह समझना बहुत उपयोगी होगा कि उन्हें कैसे प्राप्त किया जाता है, उनकी आवश्यकता क्यों है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि उन्हें कैसे याद रखें और फिर उन्हें कैसे लागू करें। फिर आवेदन करना संक्षिप्त गुणन सूत्रव्यवहार में सबसे कठिन काम यह देखना होगा कि क्या है एक्सऔर आपके पास क्या है? जाहिर है, इसके लिए कोई प्रतिबंध नहीं हैं एऔर बीनहीं, जिसका अर्थ है कि यह कोई भी संख्यात्मक या वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्ति हो सकती है।
और इसलिए वे यहाँ हैं:
पहला एक्स 2 - दो पर = (एक्स - वाई) (एक्स+वाई)।की गणना करना वर्गों का अंतरदो भाव, आपको इन भावों के अंतर को उनके योग से गुणा करना होगा।
दूसरा (एक्स + वाई) 2 = एक्स 2 + 2xy + y 2. ढूँढ़ने के लिए योग का वर्गदो अभिव्यक्तियाँ, आपको पहली अभिव्यक्ति के वर्ग में पहली अभिव्यक्ति का दोहरा गुणनफल और दूसरी और दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग जोड़ना होगा।
तीसरा (एक्स - वाई) 2 = एक्स 2 - 2xy + y 2. की गणना करना वर्ग अंतरदो अभिव्यक्तियाँ, आपको पहली अभिव्यक्ति के वर्ग से पहली अभिव्यक्ति के गुणनफल का दोगुना और दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग से घटाना होगा।
चौथी (एक्स + वाई) 3 = एक्स 3 + 3x 2 y + 3xy 2 +3 पर.की गणना करना योग का घनदो अभिव्यक्तियाँ, आपको पहली अभिव्यक्ति के घन में पहली अभिव्यक्ति के वर्ग का त्रिगुण गुणनफल और दूसरी अभिव्यक्ति का त्रिगुण गुणनफल और दूसरी अभिव्यक्ति के वर्ग का त्रिगुण गुणनफल और दूसरी अभिव्यक्ति का घन जोड़ना होगा।
पांचवां (एक्स - वाई) 3 = एक्स 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - तीन बजे. की गणना करना अंतर घनदो अभिव्यक्ति, पहली अभिव्यक्ति के घन से पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के त्रिगुण उत्पाद को दूसरे से घटाना आवश्यक है और पहले अभिव्यक्ति के त्रिगुण उत्पाद को दूसरे के वर्ग से घटाकर दूसरी अभिव्यक्ति के घन को घटाना आवश्यक है।
छठा एक्स 3 +य 3 = (एक्स + वाई) (एक्स 2 - xy + y 2)की गणना करना घनों का योगदो भाव, आपको पहले और दूसरे भाव के योग को इन भावों के अंतर के अपूर्ण वर्ग से गुणा करना होगा।
सातवीं एक्स 3 - तीन बजे = (एक्स - वाई) (एक्स 2 + xy + y 2)गणना करने के लिए घनों के अंतरदो भाव, आपको पहले और दूसरे भाव के अंतर को इन भावों के योग के अपूर्ण वर्ग से गुणा करना होगा।
यह याद रखना कठिन नहीं है कि सभी सूत्रों का उपयोग विपरीत दिशा में (दाएं से बाएं) गणना करने के लिए किया जाता है।
इन पैटर्न का अस्तित्व लगभग 4 हजार साल पहले ज्ञात हुआ था। प्राचीन बेबीलोन और मिस्र के निवासियों द्वारा इनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता था। लेकिन उस युग में उन्हें मौखिक या ज्यामितीय रूप से व्यक्त किया जाता था और गणना में अक्षरों का उपयोग नहीं किया जाता था।
आइए इसे सुलझाएं वर्ग योग प्रमाण(ए + बी) 2 = ए 2 +2एबी +बी 2।
सबसे पहले ये गणितीय पैटर्नप्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड द्वारा सिद्ध किया गया, जिन्होंने तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में अलेक्जेंड्रिया में काम किया था, उन्होंने सूत्र को सिद्ध करने के लिए एक ज्यामितीय विधि का उपयोग किया था, क्योंकि प्राचीन हेलस के वैज्ञानिकों ने संख्याओं को दर्शाने के लिए अक्षरों का उपयोग नहीं किया था। उन्होंने हर जगह "ए 2" का उपयोग नहीं किया, बल्कि "खंड ए पर एक वर्ग", "एबी" का नहीं, बल्कि "खंड ए और बी के बीच घिरा एक आयत" का उपयोग किया।