खंडों और कोणों को मापने के मूल गुण। परिभाषा। Axioms - ज्यामिति - स्कूली बच्चों के लिए महान संदर्भ पुस्तक। कोण माप के मूल गुण

ज्यामिति

सरलतम ज्यामितीय आकृतियों के मूल गुण

परिभाषा। अभिगृहीत

ज्यामितिज्यामितीय आकृतियों के गुणों का विज्ञान है।
कृपया ध्यान दें: एक ज्यामितीय आकृति न केवल एक त्रिकोण, वृत्त, पिरामिड इत्यादि है, बल्कि बिंदुओं का कोई भी सेट भी है।
प्लैनिमेट्रीज्यामिति की एक शाखा है जिसमें समतल पर आकृतियों का अध्ययन किया जाता है।
डॉटऔर सीधाप्लैनिमेट्री की मूल अवधारणाएँ हैं। इसका मतलब यह है कि इस अवधारणा को सटीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। अनुभव और उनकी संपत्तियों की सूची के आधार पर ही उनकी कल्पना की जा सकती है।
वे कथन जिनकी सत्यता बिना प्रमाण के स्वीकार कर ली जाती है, कहलाते हैं अभिगृहीत. उनमें सरलतम आकृतियों के मूल गुणों का सूत्रीकरण होता है।
सिद्ध कथन कहलाते हैं प्रमेयों.
परिभाषाएक अवधारणा की व्याख्या है जो या तो बुनियादी अवधारणाओं या उन अवधारणाओं पर निर्भर करती है जिन्हें पहले परिभाषित किया गया था।
पदनाम: अंक बड़े लैटिन अक्षरों में दर्शाए गए हैं; सीधी रेखाएँ - छोटे लैटिन अक्षरों या दो बड़े लैटिन अक्षरों में (यदि एक सीधी रेखा पर दो बिंदु दर्शाए गए हों)।
चित्र में बिंदु ए, बी, सी, एन,एमऔर सीधा एऔर बी. प्रत्यक्ष एएक सीधी रेखा के रूप में नामित किया जा सकता है एम.एन.(या एन.एम.).

प्रवेश का मतलब है कि बिंदु एमएक सीधी रेखा पर स्थित है ए. प्रवेश का मतलब है कि बिंदु साथसीधी रेखा पर नहीं पड़ता ए.
हमें इसे सीधे तौर पर समझना चाहिए एऔर बीचित्र में, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद होता है, हालाँकि हम नहीं देखते हैं।

एक समतल पर संबंधित बिंदुओं और रेखाओं के मूल गुण (स्वयंसिद्ध)।

एक्सिओम I
1. रेखा जो भी हो, ऐसे बिंदु हैं जो इस रेखा से संबंधित हैं और ऐसे बिंदु हैं जो इससे संबंधित नहीं हैं।
2. किन्हीं दो बिंदुओं से होकर आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक। (हमें यह समझना चाहिए कि इसमें दो कथन शामिल हैं: पहला, ऐसी रेखा का अस्तित्व, और दूसरा, इसकी विशिष्टता।)
स्वयंसिद्ध द्वितीय. एक रेखा पर तीन बिंदुओं में से एक और केवल एक अन्य दो के बीच स्थित है।
खंड द्वाराएक रेखा का वह भाग है जिसमें दो दिए गए बिंदुओं के बीच स्थित इस रेखा के सभी बिंदु शामिल होते हैं। इन बिंदुओं को कहा जाता है खंड के अंत. चित्र एक खंड दिखाता है अब(एक खंड को उसका अंत लिखकर दर्शाया जाता है)।

खंडों को मापने के मूल गुण (स्वयंसिद्ध)।

स्वयंसिद्ध III.
1. प्रत्येक खंड की एक निश्चित लंबाई शून्य से अधिक होती है।
2. किसी खंड की लंबाई उन भागों की लंबाई के योग के बराबर होती है जिनमें इसे इसके किसी बिंदु द्वारा विभाजित किया जाता है।

किसी समतल पर सीधी रेखा के सापेक्ष बिंदु रखने का मुख्य गुण

स्वयंसिद्ध IV. एक सीधी रेखा एक तल को दो आधे तलों में विभाजित करती है।
इस विभाजन में निम्नलिखित गुण हैं: यदि किसी खंड के सिरे एक ही तल के हैं, तो वह खंड रेखा को नहीं काटता है; यदि खंड के सिरे अलग-अलग तलों के हैं, तो खंड रेखा को काटता है।
सीधे, या खुशी से उछलना, एक रेखा का वह भाग कहलाता है जिसमें इस रेखा के सभी बिंदु उस पर दिए गए बिंदु के एक तरफ स्थित होते हैं। इस बिंदु को कहा जाता है किरण प्रारंभिक बिंदु. एक ही प्रारंभिक बिंदु वाली एक ही रेखा की भिन्न-भिन्न पंक्तियाँ कहलाती हैं अतिरिक्त.
चित्र किरणों को दर्शाता है अब(उर्फ एसी।), डी.ए.(या डी.बी., डीसी), ईसा पूर्व, सी.बी.(या सीए।, सीडी), बी ० ए।(या बी.डी), विज्ञापन.

किरणों अबऔर ए.डी., बी.सी.और बी.डी- इसके अतिरिक्त. किरणों बी.डीऔर एसी।पूरक नहीं हैं क्योंकि उनके आरंभिक बिंदु भिन्न-भिन्न हैं।
कोना- यह एक आकृति है जिसमें एक बिंदु शामिल है - कोने कोने- और इस बिंदु से आने वाली दो अलग-अलग सीधी रेखाएं, - कोण के किनारे.
चित्र में दिखाए गए कोण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: , , .

यदि किसी कोण की भुजाएँ पूरक सीधी रेखाएँ हों, तो कोण कहलाता है विस्तार:

वे कहते हैं कि किरण कोण की भुजाओं के बीच से गुजरती है, यदि यह अपने शीर्ष से आता है और अपने किनारों पर छोर वाले किसी खंड को काटता है। एक विकसित कोण के लिए, हम मानते हैं कि कोई भी किरण जो उसके शीर्ष से आती है और उसकी भुजाओं से भिन्न होती है, कोण की भुजाओं के बीच से गुजरती है।

कोण माप के मूल गुण

एक्सिओम वी.
1. प्रत्येक कोण की एक निश्चित डिग्री माप शून्य से अधिक होती है। सीधा कोण बराबर होता है.
2. किसी कोण की डिग्री माप उन कोणों की डिग्री माप के योग के बराबर होती है जिनमें वह उसकी भुजाओं के बीच से गुजरने वाली किसी किरण द्वारा विभाजित होता है।

खंडों और कोणों को बिछाने के मूल गुण

स्वयंसिद्ध VI. इसके शुरुआती बिंदु से किसी भी सीधी रेखा पर, आप दी गई लंबाई का एक खंड, और केवल एक ही प्लॉट कर सकते हैं।
स्वयंसिद्ध सातवीं. किसी भी सीधी रेखा से किसी दिए गए तल तक, दिए गए डिग्री का कोण बनाया जा सकता है, से कम, और केवल एक।
त्रिकोणएक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं। बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज के शीर्ष, और खंड उसके हैं दलों.
चित्र में त्रिभुज को इस प्रकार निर्दिष्ट किया जा सकता है: या, आदि।

उपरोक्त त्रिभुज के मूल तत्व: भुजाएँ अब, एसी।, ईसा पूर्व(या ए, बी, सी); कोण (या), , . तथा - बगल से सटा हुआ एसी।. - विपरीत दिशा एसी।.
त्रिकोण कहलाते हैं बराबर, यदि उनकी संगत भुजाएँ बराबर हैं और उनके संगत कोण बराबर हैं। इस स्थिति में, संगत कोण संगत भुजाओं के विपरीत स्थित होने चाहिए।
प्रविष्टि का अर्थ है (चित्र देखें) कि:
; ;
; ;
; .

सर्वांगसम त्रिभुजों के अस्तित्व का मुख्य गुण

स्वयंसिद्ध आठवीं. त्रिभुज कोई भी हो, किसी दी गई सीधी रेखा के सापेक्ष किसी दिए गए स्थान पर उसके बराबर एक त्रिभुज होता है।
सीधी रेखाएँ कहलाती हैं समानांतर, यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
चित्र में दिखाई गई समानांतर रेखाओं को निम्नानुसार निर्दिष्ट किया जा सकता है: या।

समांतर रेखाओं का अभिगृहीत

स्वयंसिद्ध IX. किसी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, समतल पर दी गई रेखा के समानांतर अधिकतम एक सीधी रेखा खींचना संभव है।
कृपया ध्यान दें: स्वयंसिद्ध ऐसी रेखा की विशिष्टता पर जोर देता है, लेकिन इसके अस्तित्व पर जोर नहीं देता है।

समतल पर रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

एक समतल पर दो सीधी रेखाएँ हो सकती हैं:
संयोग;
समानांतर रहें (अर्थात प्रतिच्छेद न करें);
एक सामान्य बात है.
(वास्तव में, यदि दो रेखाओं में कम से कम दो सामान्य बिंदु हो सकते हैं, तो दो अलग-अलग रेखाएं इन दो बिंदुओं से होकर गुजरेंगी, जो कि Axiom I, पैराग्राफ 2 का खंडन करती है)।

चित्र 18 दिखाता है कि कैसे, प्रारंभिक बिंदु A के साथ आधी रेखा a पर एक रूलर का उपयोग करके, आप दी गई लंबाई (3 सेमी) का एक खंड प्लॉट कर सकते हैं।

चित्र 19 को देखें। ए, प्रारंभिक बिंदु ए से परे विस्तारित, विमान को दो आधे विमानों में विभाजित करता है। चित्र दिखाता है कि किसी दिए गए डिग्री माप (60°) के साथ आधी रेखा से ऊपरी आधे तल में एक कोण बनाने के लिए चांदा का उपयोग कैसे करें।

हम निम्नलिखित गुणों को खंडों और कोणों को बिछाने के मुख्य गुण कहेंगे:

VI. इसके शुरुआती बिंदु से किसी भी अर्ध-रेखा पर, आप दी गई लंबाई का एक खंड और केवल एक ही प्लॉट कर सकते हैं।

सातवीं. किसी भी आधी पंक्ति से लेकर दी गई पंक्ति तकआधा समतलआप 180° से कम और केवल एक दिए गए डिग्री माप वाला कोण आलेखित कर सकते हैं।

समस्या (30). किरण AB पर खंड AB से छोटा एक खंड AC है। तीन बिंदुओं A, B, C में से कौन सा अन्य दो बिंदुओं के बीच स्थित है? अपना जवाब समझाएं।

समाधान (चित्र 20)। चूँकि बिंदु B और C प्रारंभिक बिंदु A के साथ एक ही अर्ध-रेखा पर स्थित हैं, वे बिंदु A से अलग नहीं होते हैं, अर्थात, बिंदु A, बिंदु B और C के बीच में नहीं है।

क्या बिंदु B, बिंदु A और C के बीच स्थित हो सकता है? यदि यह बिंदु A और C के बीच स्थित है, तो यह AB + BC = AC होगा।

लेकिन ये नामुमकिन है, क्योंकि शर्त के मुताबिक रेखा खंड AC खंड AB से छोटा है। इसका मतलब यह है कि बिंदु B, बिंदु A और C के बीच में नहीं है।
तीन बिंदुओं A, B, C में से एक अन्य दो के बीच में स्थित है। इसीलिए डॉट C, बिंदु A और B के बीच स्थित है।

ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

विषय "किसी खंड के मूल गुण"

7वीं कक्षा में ज्यामिति पाठों में इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक का उपयोग करने के एक उदाहरण के रूप में, हम देखेंगे कि "किसी खंड के मूल गुण" की अवधारणा को कैसे पेश किया जाता है।

यह विकल्प निम्नलिखित विचारों के कारण है:

1. यह प्रारंभिक और व्यवस्थित ज्यामिति दोनों पाठ्यक्रमों में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है;

2. एक खंड, उदाहरण के लिए, एक किरण या एक सीधी रेखा के विपरीत, एक मीट्रिक विशेषता है - लंबाई।

वर्तमान गणित कार्यक्रम निम्नलिखित अनुशंसाएँ करता है:

1. सामग्री का अध्ययन छात्रों के जीवन अनुभव और उनके व्यावहारिक कौशल के आधार पर आयोजित किया जाता है;

2. समस्याओं को सुलझाने और निर्माण कार्य करने के दौरान खंड के विशिष्ट गुणों पर ध्यान दिया जाता है;

3. मुख्य फोकस रूलर का उपयोग करके खंडों को मापने और निर्माण करने के कौशल को विकसित करने पर है।

वर्तमान कार्यक्रम के अनुसार ज्यामितीय सामग्री का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप, छात्रों को पता होना चाहिए:

1. कि समतल के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक एकल खंड है;

2. यह खंड दोनों तरफ से घिरा हुआ है और एक सीधी रेखा का हिस्सा है;

3. समान खंडों का निर्धारण;

4. किसी खंड की लंबाई का गुण - खंडों के योग की लंबाई, सारांश खंडों की लंबाई के योग के बराबर होती है।

छात्रों को इसमें सक्षम होना चाहिए:

1. विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों में शामिल खंडों को पहचानें;

2. खंडों का निर्माण करें, उन्हें लेबल करें और मापें;

3. खंडों की तुलना करें.

पारंपरिक प्रस्तुति में, इस सामग्री का अध्ययन निम्नलिखित योजना के अनुसार किया जाता है:

1. एक खंड का निर्माण;

2. खंड का पदनाम;

3. खंड की लंबाई, लंबाई की इकाइयाँ;

4. खंडों को बिछाने के गुण;

5. खंडों के योग की लंबाई ज्ञात करना।

विभिन्न वर्तमान पाठ्यपुस्तकों और शिक्षण सहायक सामग्री में शामिल अभ्यासों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

क) खंडों का निर्माण;

बी) खंडों का पदनाम;

ग) खंडों को मापना और तुलना करना;

घ) किसी टूटी हुई रेखा की लंबाई या बहुभुज की परिधि ज्ञात करना;

ई) खंडों के योग की लंबाई ज्ञात करना।

इस प्रकार, "खंड" की अवधारणा सीधे इसकी लंबाई से संबंधित है। हम "खंड" की अवधारणा पर अपना विचार उन विशिष्ट गुणों पर प्रकाश डालकर शुरू करेंगे जो माप से संबंधित नहीं हैं। ये ऐसे गुण हैं जो अन्य ज्यामितीय आकृतियों के साथ एक खंड की समानता और उनसे इसके अंतर को स्थापित करना संभव बनाते हैं, अर्थात, एक खंड के विचार को छात्रों के ज्यामितीय विचारों की पहले से मौजूद प्रणाली में शामिल करना संभव बनाते हैं।

एक खंड के मुख्य गुण - दो दिशाओं में सीधापन और सीमा - तब प्रकट होते हैं जब इसकी तुलना एक सीधी रेखा या किरण से की जाती है।

ये गुण आपको एक खंड को मापने की अनुमति देते हैं, यानी इसकी लंबाई की लंबाई मानक के साथ तुलना करते हैं।

दरअसल, एक सीधी रेखा और किरण की लंबाई उनकी असीमित प्रकृति के कारण नहीं मापी जा सकती। एक घुमावदार रेखा के लिए, उसके मनमाने आकार के कारण लंबाई का सीधा माप मुश्किल है। हालाँकि, भले ही वक्र की लंबाई ज्ञात हो, यह संख्या इसके आकार के बारे में कुछ नहीं कहती है, क्योंकि किसी दी गई लंबाई की घुमावदार रेखाओं की संख्या अनंत होती है। खंड की लंबाई विशिष्ट रूप से इसे एक ज्यामितीय आकृति के रूप में परिभाषित करती है।

इस पेपर में, निम्नलिखित योजना के अनुसार "खंड" की अवधारणा का अध्ययन करना प्रस्तावित है:

1. एक खंड का निर्माण;

2. खंड पदनाम;

3. किसी खंड के बुनियादी गैर-मीट्रिक गुण;

4. किसी खंड में देरी की मुख्य संपत्ति;

5. खंड की लंबाई, लंबाई की इकाइयाँ;

6. समान खंड, लंबाई के आधार पर खंडों की तुलना;

7. खंडों के योग की लंबाई ज्ञात करना।

"एक खंड और उसके गुण" विषय से परिचित होने के लिए एक घंटा आवंटित किया गया है।

पाठ "खंडों के मूल गुण।"

पाठ का उद्देश्य: एक सीमित आयताकार ज्यामितीय आकृति के रूप में एक खंड के बारे में और एक विमान पर बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति के बारे में छात्रों के विचारों को विकसित करना।

I. नई सामग्री का अध्ययन करने की तैयारी।

छात्र प्राथमिक विद्यालय से ही एक खंड, उसके निर्माण और माप से परिचित हैं। इसलिए, पाठ की शुरुआत में, छात्रों को एक रूलर और उसके पदनाम का उपयोग करके एक खंड बनाने के विभिन्न तरीके याद आते हैं।

दोहराव:

विधि 1: एक रूलर का उपयोग करके, एक सीधी रेखा खींचें, उस पर दो बिंदु A और B अंकित करें, जो खंड AB को परिभाषित करते हैं।

खंड AB एक सीधी रेखा का भाग है,

ए बीअंकों द्वारा सीमित.

रेखा खंड अब

विधि 2: समतल पर दो बिंदु A और B चिह्नित करें। उन्हें एक ऐसे रूलर का उपयोग करके कनेक्ट करें जो बिंदु A और B से आगे न बढ़े।

खंड AB में सभी बिंदु शामिल हैं

बिंदुओं के बीच स्थित सीधी रेखा

ए मेंए और बी, और अंक स्वयं।

रेखा खंड अब

विद्यार्थियों को वह सब कुछ याद रहता है जो वे एक खंड के बारे में जानते हैं: 1) एक खंड एक सपाट आकृति है (एक विमान पर स्थित है); 2) यह एक सीधी रेखा का भाग है; 3) खंड में अनंत संख्या में बिंदु होते हैं; 4) यह दोनों तरफ से सीमित है; 5) खंड का प्रत्येक बिंदु दो दिए गए बिंदुओं के बीच स्थित है, जिन्हें खंड का सिरा कहा जाता है।

छात्र इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक के आधार पर "सेगमेंट" पृष्ठ खोलकर यह सब याद करते हैं। (चित्र 8)

आंकड़ा 8।

नई सामग्री की प्रस्तुति. ईयूपी पृष्ठ "प्लेनिमेट्री" का उपयोग करना: "एक खंड के मूल गुण"

छात्रों द्वारा खंड के बारे में जो कुछ भी वे जानते थे उसे याद करने और दोहराने के बाद, शिक्षक कहते हैं: खंड के सिरों को सीमा बिंदु कहा जाता है, और उनके बीच स्थित सभी खंड के आंतरिक बिंदु हैं।

इसके बाद, शिक्षक बच्चों को इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक की ओर जाने के लिए कहते हैं, जो एक चित्र दिखाती है और एक स्पष्टीकरण देती है जो छात्रों को एक खंड को मापने और प्लॉट करने के बुनियादी गुणों की ओर ले जाती है।

द्वितीय. समेकन

छात्रों को बिंदुओं से लेकर खंडों, रेखा खंडों और किरणों के साथ-साथ उनके निर्माण पर कई कार्यों को पूरा करने के लिए कहा जाता है:

1. अपनी नोटबुक में बिंदु K और M अंकित करें। एक रूलर का उपयोग करके, एक खंड KM बनाएं। इस खंड पर बिंदु P और T अंकित करें। उन खंडों का नाम बताएं जिनमें ये बिंदु खंड KM को विभाजित करते हैं। बिंदु T, खंड KM को किन खंडों में विभाजित करता है?

2. चित्र में कौन सा बिंदु दर्शाया गया है। सीडी खंड से संबंधित हैं, और उनमें से कौन सा संबंधित नहीं है?

समेकन के लिए प्रश्न:

1. बिंदुओं और रेखाओं को कैसे निर्दिष्ट किया जाता है?

2. चित्र में अंकित कौन से बिंदु रेखा a पर स्थित हैं, कौन से बिंदु रेखा b पर हैं? रेखाएँ a और b किस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं?

3. खंडों को बिछाने के मूल गुण तैयार करें।

4. खंडों को मापने की मुख्य संपत्ति तैयार करें।