तीन परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपण। रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, उच्च व्यावसायिक शिक्षा के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान, कुजबास राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय

ऐसे कई हिस्से हैं जिनके आकार की जानकारी दो ड्राइंग अनुमानों द्वारा नहीं दी जा सकती है। किसी भाग के जटिल आकार के बारे में जानकारी को पर्याप्त रूप से पूर्ण रूप से प्रस्तुत करने के लिए, प्रक्षेपण का उपयोग तीन परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों पर किया जाता है: ललाट - वी, क्षैतिज - एच और प्रोफ़ाइल - डब्ल्यू ("डबल वी" पढ़ें)।

जटिल रेखाचित्र तीन दृश्यों या प्रक्षेपणों में प्रस्तुत किया गया चित्र, ज्यादातर मामलों में भाग (वस्तु और वस्तु) के आकार और डिज़ाइन की पूरी तस्वीर देता है और इसे जटिल रेखाचित्र भी कहा जाता है। मुख्य चित्र. यदि कोई रेखाचित्र निर्देशांक अक्षों के साथ बनाया जाता है, तो इसे अक्ष रेखाचित्र कहा जाता है। अक्ष रहित यदि रेखाचित्र का निर्माण समन्वय अक्षों के बिना किया जाता है, तो इसे अक्ष रहित प्रोफ़ाइल कहा जाता है यदि विमान W प्रक्षेपण के ललाट और क्षैतिज विमानों के लंबवत है, तो इसे अक्ष रहित प्रोफ़ाइल कहा जाता है

एक वस्तु को एक त्रिफलकीय कोने में रखा जाता है ताकि उसका प्रारंभिक किनारा और आधार क्रमशः ललाट और क्षैतिज प्रक्षेपण विमानों के समानांतर हो। फिर, प्रक्षेपण किरणें वस्तु के सभी बिंदुओं से होकर गुजरती हैं, तीनों प्रक्षेपण विमानों के लंबवत, जिस पर वस्तु के ललाट, क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण प्राप्त होते हैं। प्रक्षेपण के बाद, वस्तु को त्रिफलकीय कोण से हटा दिया जाता है, और फिर क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण विमानों को ऑक्स और ओज़ अक्षों के चारों ओर क्रमशः 90° घुमाया जाता है, जब तक कि यह ललाट प्रक्षेपण विमान के साथ संरेखित न हो जाए और तीन प्रक्षेपण वाले भाग का एक चित्र तैयार किया जाए। प्राप्त किया।

ड्राइंग के तीन प्रक्षेपण एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। ललाट और क्षैतिज प्रक्षेपण छवियों के प्रक्षेपण कनेक्शन को संरक्षित करते हैं, यानी प्रक्षेपण कनेक्शन ललाट और क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल, साथ ही क्षैतिज और प्रोफ़ाइल अनुमानों के बीच स्थापित होते हैं। प्रक्षेपण रेखाएँ ड्राइंग क्षेत्र पर प्रत्येक प्रक्षेपण के स्थान को परिभाषित करती हैं। अधिकांश वस्तुओं का आकार विभिन्न ज्यामितीय निकायों या उनके भागों का संयोजन होता है। इसलिए, चित्रों को पढ़ने और निष्पादित करने के लिए आपको यह जानना होगा कि उत्पादन में तीन प्रक्षेपणों की प्रणाली में ज्यामितीय निकायों को कैसे दर्शाया जाता है

1. प्रक्षेपण तलों के समानांतर फलकों को बिना किसी विरूपण के, प्राकृतिक आकार में, इस पर प्रक्षेपित किया जाता है। 2. प्रक्षेपण तल के लंबवत फलकों को सीधी रेखाओं के एक खंड में प्रक्षेपित किया जाता है। 3. प्रक्षेपण तलों पर तिरछे स्थित फलक, उस पर विकृत छवियाँ (कम)

और 3. लेखन कार्य 4.1 में पीजी प्रश्न। पीपी पीपी, और 5, पीपी 37-45, लिखित असाइनमेंट प्रश्न

तीन परस्पर लंबवत तलों की प्रणाली

एक जटिल चित्र का निर्माण (आरेख)

समतलों की स्थानिक प्रणाली से प्राप्त छवियों का उपयोग करने की सुविधा के लिए, आइए समतलीय प्रणाली की ओर बढ़ते हैं।

इसके लिए:

1. आइए हम विमान पी 1 को एक्स अक्ष के चारों ओर तब तक घुमाने की विधि लागू करें जब तक कि यह विमान पी 2 के साथ संरेखित न हो जाए (चित्र 1)

2. समतल पी 1 और पी 2 को एक आरेखण समतल में संयोजित करें (चित्र 2)

चित्र 1	चित्र 2

प्रक्षेपण ए 1 और ए 2 एक्स अक्ष के लंबवत एक ही कनेक्शन लाइन पर स्थित हैं। इस रेखा को आमतौर पर प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन कहा जाता है (चित्र 3)।

चित्र तीन

चूंकि प्रक्षेपण विमान को अंतरिक्ष में अनंत माना जाता है, इसलिए विमान पी 1, पी 2 की सीमाओं को चित्रित करने की आवश्यकता नहीं है (चित्र 4)।

चित्र 4

समतल पी 1 और पी 2 के संयोजन के परिणामस्वरूप, एक जटिल रेखाचित्र या आरेख प्राप्त होता है (फ्रांसीसी ईप्योर रेखांकन से), ᴛ.ᴇ। सिस्टम पी 1 और पी 2 में या दो प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में ड्राइंग। दृश्य छवि को आरेख से बदलने के बाद, हमने प्रक्षेपण विमानों और बिंदुओं के स्थान की स्थानिक तस्वीर खो दी है। लेकिन आरेख निर्माण की महत्वपूर्ण सादगी के साथ सटीकता और मापने में आसान छवियां प्रदान करते हैं।

अंतरिक्ष में परिभाषित एक बिंदु में प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष अलग-अलग स्थिति हो सकती है।

बिंदु छवियों का निर्माण विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है:

• शब्द (मौखिक);
• ग्राफ़िक रूप से (चित्र);
• दृश्य छवि (वॉल्यूमेट्रिक);
• समतलीय (जटिल रेखाचित्र)।

तालिका नंबर एक

समतल पी 1 और पी 2 से संबंधित बिंदुओं की छवि का एक उदाहरण

बिंदु स्थिति	दृश्य प्रतिनिधित्व	जटिल रेखांकन	चारित्रिक लक्षण
बिंदु A समतल p 1 से संबंधित है			ए 1 - एक्स अक्ष के नीचे, ए 2 - एक्स अक्ष पर
बिंदु B समतल p 1 से संबंधित है			बी 1 - एक्स अक्ष के ऊपर, बी 2 - एक्स अक्ष पर
बिंदु C समतल p 2 से संबंधित है			सी 2 - एक्स अक्ष के ऊपर, सी 1 - एक्स अक्ष पर
बिंदु D समतल p 2 से संबंधित है			डी 1 - एक्स अक्ष पर, डी 2 - एक्स अक्ष के नीचे
बिंदु E, X अक्ष से संबंधित है			E 1, E 2 से मेल खाता है और X अक्ष से संबंधित है

चित्र 1

तीन परस्पर लंबवत विमानों पर विचार करेंपी 1 , पी2 , पी 3 (चावल। 1). ऊर्ध्वाधर तल p 3 कहलाता है मैंप्रोफ़ाइल प्रक्षेपण विमान। एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हुए तल 1 , पी2 , पी 3 प्रक्षेपण अक्ष बनाते हैं, जबकि अंतरिक्ष को 8 अष्टक में विभाजित किया गया है।

पी 1 पी 2 = एक्स; -एक्स

पी 1 पी 3 = y; -य

पी 2 पी 3 = z; -जेड

0 - प्रक्षेपण अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु।

प्रक्षेपण तल, जोड़े में प्रतिच्छेद करते हुए, तीन अक्षों x, y, z को परिभाषित करते हैं, जिन्हें कार्तीय निर्देशांक की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है: अक्ष एक्सआमतौर पर भुज अक्ष, अक्ष कहा जाता है य- कोटि अक्ष, अक्ष जेड– अनुप्रयुक्त अक्ष, अक्षों के प्रतिच्छेदन का बिंदु, जिसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है के बारे में,निर्देशांक की उत्पत्ति है.

एक जटिल रेखाचित्र प्राप्त करने के लिए, हम समतल पी 1 और पी 3 को तब तक घुमाने की विधि लागू करते हैं जब तक कि वे समतल पी 2 के साथ संरेखित न हो जाएं। पहले अष्टक में सभी तलों का अंतिम दृश्य चित्र में दिखाया गया है। 2.

चित्र 2

यहाँ कुल्हाड़ियाँ हैं ओहऔर आउंस, स्थिर तल पी 2 में स्थित, अक्ष को केवल एक बार चित्रित किया गया है ओहदो बार दिखाया गया. यह इस तथ्य से समझाया गया है कि, विमान पी 1 के साथ घूमते हुए, अक्ष यआरेख पर यह अक्ष के साथ संयुक्त है आउंस, और समतल p 3 के साथ घूमते हुए, यही अक्ष अक्ष के साथ संपाती होता है ओह.

अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट होता है। निर्देशांक के संकेतों से, आप उस अष्टक को निर्धारित कर सकते हैं जिसमें कोई दिया गया बिंदु स्थित है। ऐसा करने के लिए, हम तालिका का उपयोग करेंगे। 1, जिसमें अष्टक 1-4 में निर्देशांक के चिह्नों पर विचार किया जाता है (अष्टक 5-8 प्रस्तुत नहीं किए गए हैं, उनका मान ऋणात्मक है एक्स, ए यऔर जेडदोहराया जाता है)।

तालिका नंबर एक

एक्स	य	जेड	ओक्टांट
+	+	+	मैं
+	_	+	द्वितीय
+	_	_	तृतीय
+	+	_	चतुर्थ

विमानों के प्रतिच्छेदन का एक विशेष मामला परस्पर लंबवत विमान हैं।

यह ज्ञात है कि दो तल परस्पर लंबवत होते हैं यदि उनमें से एक दूसरे के लंबवत से होकर गुजरता है। बिंदु के माध्यम से ए आप किसी दिए गए तल पर लंबवत कई तल खींच सकते हैं ए ( एच , एफ ) . ये विमान अंतरिक्ष में विमानों का एक बंडल बनाते हैं, जिसकी धुरी बिंदु से गिराया गया लंबवत है ए विमान के लिए ए . मुद्दे को पार करने के लिए ए समतल पर लम्बवत् एक समतल खींचिए ए ( एच ,एफ ) , बिंदु से आवश्यक ए प्रत्यक्ष करें एन, विमान के लंबवत ए ( एच ,एफ ) , (क्षैतिज प्रक्षेपण एन 1 क्षैतिज के क्षैतिज प्रक्षेपण के लंबवत एच 1 , ललाट प्रक्षेपण एन 2 ललाट के ललाट प्रक्षेपण के लंबवत एफ 2 ). कोई भी विमान एक रेखा से होकर गुजरता है एन ए ( एच ,एफ ) , इसलिए, एक बिंदु के माध्यम से एक विमान को परिभाषित करने के लिए ए एक मनमाना सीधी रेखा खींचें एम . समतल को दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा परिभाषित किया गया है (एम ,एन) , विमान के लंबवत होगा ए ( एच ,एफ ) (चित्र 50)।

3.5. एक रेखा और एक तल की सापेक्ष स्थिति प्रदर्शित करना

एक सीधी रेखा और एक तल की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन ज्ञात विकल्प हैं:

सीधी रेखा समतल की होती है।

एक सीधी रेखा एक समतल के समानांतर होती है।

एक सीधी रेखा एक समतल को प्रतिच्छेद करती है।

जाहिर है, यदि एक सीधी रेखा में एक समतल के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं, तो यह या तो समतल के समानांतर होती है या उसे काटती है।

वर्णनात्मक ज्यामिति की समस्याओं के लिए एक रेखा और एक विमान के प्रतिच्छेदन का विशेष मामला बहुत महत्वपूर्ण है, जब रेखा विमान के लंबवत होती है।

3.5.1. एक रेखा और एक समतल की समानता

एक सीधी रेखा और एक तल की समानता पर निर्णय लेते समय, स्टीरियोमेट्री की ज्ञात स्थिति पर भरोसा करना आवश्यक है: एक रेखा किसी समतल के समानांतर होती है यदि वह इस तल में पड़ी रेखाओं में से किसी एक के समानांतर हो और इस विमान से संबंधित नहीं है.

एक सामान्य विमान दिया जाए एबीसी और सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा एक। उनकी सापेक्ष स्थिति का मूल्यांकन करना आवश्यक है (चित्र 51)।

ऐसा करने के लिए, प्रत्यक्ष के माध्यम से ए एक सहायक कटिंग विमान बनाएं जी - इस मामले में, एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान। आइए समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात करें जी और ए सूरज - प्रत्यक्ष पी (डीएफ ). प्रत्यक्ष प्रक्षेपण पी प्रक्षेपण के क्षैतिज तल पर प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है ए 1 और विमान के निशान के साथ जी . प्रत्यक्ष प्रक्षेपण पी 2 समानांतर ए 2 , पी 3 समानांतर ए 3 , इसलिए, सीधा ए विमान के समानांतर एबीसी.

3.5.2. एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन

एक सीधी रेखा और एक तल के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना वर्णनात्मक ज्यामिति के मुख्य कार्यों में से एक है।

एक हवाई जहाज़ दे दिया जाए एबीसी और सीधा एक। समतल के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना और समतल के संबंध में रेखा की दृश्यता निर्धारित करना आवश्यक है।

कलन विधि समस्या का समाधान (चित्र 52) इस प्रकार है:

एक सीधी रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण के माध्यम से ए 1 आइए एक सहायक क्षैतिज प्रक्षेपित विमान बनाएं जी .

हम दिए गए तल के साथ सहायक तल की प्रतिच्छेदन रेखा पाते हैं। क्षैतिज समतल अनुरेख जी 1 विमान के प्रक्षेपण को काटता है ए 1 में 1 साथ 1 बिंदुओं पर डी 1 और एफ 1 , जो क्षैतिज प्रक्षेपण की स्थिति निर्धारित करते हैं पी 1 - समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखाएँ जी और एबीसी . ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण को खोजने के लिए पी आइए बिंदुओं को प्रक्षेपित करें डी और एफ प्रक्षेपणों के ललाट और प्रोफ़ाइल तलों पर।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण ए और पी। ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपणों पर, विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा पी प्रक्षेपणों को प्रतिच्छेद करता है ए बिंदु पर को , जो रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का प्रक्षेपण है ए विमान के साथ एबीसी , संचार लाइन के साथ हम क्षैतिज प्रक्षेपण पाते हैं को 1 .

प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की विधि का उपयोग करके, हम एक सीधी रेखा की दृश्यता निर्धारित करते हैं ए विमान के सापेक्ष एबीसी .

इस समस्या को हल करने के लिए, तीन परस्पर लंबवत विमानों की एक प्रणाली शुरू की गई है, क्योंकि चित्र बनाते समय, उदाहरण के लिए, मशीनों और उनके हिस्सों में, दो नहीं, बल्कि अधिक छवियों की आवश्यकता होती है। इस आधार पर, कुछ निर्माणों में समस्याओं को हल करते समय, सिस्टम में पी 1, पी 2 और अन्य प्रक्षेपण विमानों को पेश करना आवश्यक है।

ये तल संपूर्ण अंतरिक्ष को VIII भागों में विभाजित करते हैं, जिन्हें अष्टक (लैटिन से okto आठ) कहा जाता है। विमानों की कोई मोटाई नहीं होती, वे अपारदर्शी और अनंत होते हैं। पर्यवेक्षक प्रक्षेपण विमानों से अनंत दूरी पर पहली तिमाही (सिस्टम पी 1, पी 2 के लिए) या पहले ऑक्टेंट (सिस्टम पी 1, पी 2, पी 3 के लिए) में स्थित है।

§ 6. सिस्टम में बिंदु पी 1, पी 2, पी 3

पहले अष्टक में स्थित एक निश्चित बिंदु A के तीन परस्पर लंबवत तलों p 1, p 2, p 3 पर प्रक्षेपण का निर्माण चित्र में दिखाया गया है। 2.27. पी 2 विमान के साथ प्रक्षेपण विमानों के संयोजन का उपयोग करके और विमानों को घुमाने की विधि का उपयोग करके, हम बिंदु ए (छवि 2.28) का एक जटिल चित्र प्राप्त करते हैं:

एए 1 ^ पी 1 ; एए 2 ^ पी 2 ; एए 3 ^ पी 3,

जहां ए 3 - बिंदु ए का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण; А Х, А y, А Z - बिंदु A का अक्षीय प्रक्षेपण।

प्रक्षेपण ए 1, ए 2, ए 3 को क्रमशः बिंदु ए का ललाट, क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण कहा जाता है।

चावल। 2.27	चावल। 2.28

प्रक्षेपण तल, जोड़े में प्रतिच्छेद करते हुए, तीन अक्षों x, y, z को परिभाषित करते हैं, जिन्हें कार्तीय निर्देशांक की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है: अक्ष एक्सभुज अक्ष, अक्ष कहा जाता है य- कोटि अक्ष, अक्ष जेड– अनुप्रयुक्त अक्ष, अक्षों के प्रतिच्छेदन का बिंदु, जिसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है के बारे में,निर्देशांक की उत्पत्ति है.

इस प्रकार, वस्तु को देखने वाला दर्शक पहले अष्टक में है।

एक जटिल रेखाचित्र प्राप्त करने के लिए, हम समतल पी 1 और पी 3 को समतल पी 2 के साथ संरेखित होने तक घुमाने की विधि लागू करते हैं (जैसा कि चित्र 2.27 में दिखाया गया है)। पहले अष्टक में सभी तलों का अंतिम दृश्य चित्र में दिखाया गया है। 2.29.

यहाँ कुल्हाड़ियाँ हैं ओहऔर आउंस, स्थिर तल पी 2 में स्थित, अक्ष को केवल एक बार चित्रित किया गया है ओहदो बार दिखाया गया. यह इस तथ्य से समझाया गया है कि, विमान पी 1 के साथ घूमते हुए, अक्ष यआरेख पर यह अक्ष के साथ संयुक्त है आउंस, और समतल p 3 के साथ घूमते हुए, यही अक्ष अक्ष के साथ संपाती होता है ओह.

आइए चित्र देखें। 2.30, अंतरिक्ष में बिंदु कहाँ है? ए, निर्देशांक (5,4,6) द्वारा दिया गया है। ये निर्देशांक सकारात्मक हैं, और वह स्वयं पहले अष्टक में है। एक स्थानिक मॉडल पर बिंदु की एक छवि और उसके प्रक्षेपण का निर्माण एक समन्वित आयताकार समांतर चतुर्भुज का उपयोग करके किया जाता है। ऐसा करने के लिए, हम लंबाई खंडों के अनुरूप, समन्वय अक्षों पर खंडों को प्लॉट करते हैं: ओह! = 5, ओए = 4, ओएज़= 6. इन खंडों पर ( ОАx, ОАy, ОАz), जैसा कि किनारों पर, हम एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज बनाते हैं। इसका एक शीर्ष किसी दिए गए बिंदु को परिभाषित करेगा ए.

एक जटिल चित्र (चित्र 2.30) में तीन प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली के बारे में बोलते हुए, निम्नलिखित पर ध्यान देना आवश्यक है।

पहला

1. एक बिंदु के दो प्रक्षेपण एक ही संचार लाइन से संबंधित हैं;

2. एक बिंदु के दो प्रक्षेपण उसके तीसरे प्रक्षेपण की स्थिति निर्धारित करते हैं;

3. संचार लाइनें प्रक्षेपणों की संगत धुरी के लंबवत होती हैं।

दूसरा

अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट होता है। निर्देशांक के संकेतों से, आप उस अष्टक को निर्धारित कर सकते हैं जिसमें कोई दिया गया बिंदु स्थित है। ऐसा करने के लिए, हम तालिका का उपयोग करेंगे। 2.3, जिसमें अष्टक 1-4 में निर्देशांक चिह्नों पर विचार किया गया है (अष्टक 5-8 प्रस्तुत नहीं किए गए हैं, उनका मान ऋणात्मक है एक्स, ए यऔर जेडदोहराया जाता है)।

तालिका 2.3

एक्स	य	जेड	ओक्टांट
+	+	+	मैं
+	_	+	द्वितीय
+	_	_	तृतीय
+	+	_	चतुर्थ

तीन प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में एक जटिल ड्राइंग का निर्माण विमानों पी 1, पी 2, पी 3 (छवि 2.31) को मिलाकर किया जाता है।

एक्सिस परइस मामले में दो प्रावधान हैं: य 1समतल पी 1 के साथ, य 3समतल पी 3 के साथ।

बिंदु के क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण अक्ष के लंबवत प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन पर स्थित हैं एक्स, ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण - अक्ष के लंबवत प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन पर जेड.

ए 1 ए एक्स = ए 3 ए जेड = एए 2 - ए से पी 2 तक की दूरी

ए 2 ए एक्स = ए 3 ए वाई = एए 1 - ए से पी 1 तक की दूरी

ए 1 ए वाई = ए 2 ए जेड = एए 3 - ए से पी 3 तक की दूरी

प्रक्षेपण तल से एक बिंदु की दूरी आरेख पर खंडों के समान मापी जाती है (चित्र 2.32)।

अंतरिक्ष में और एक जटिल रेखाचित्र पर एक बिंदु का प्रक्षेपण बनाते समय, विभिन्न एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है।

1. निर्देशांक द्वारा दिए गए एक बिंदु की दृश्य छवि बनाने के लिए एल्गोरिदम (चित्र 2.30):

1.1. समन्वय चिह्नों का मिलान करें एक्स, वाई, जेडतालिका से डेटा के साथ. 2.3.

1.2. वह तिमाही निर्धारित करें जिसमें बिंदु स्थित है।

1.3. तिमाही की एक दृश्य (एक्सोनोमेट्रिक) छवि बनाएं।

1.4. अक्ष A X, A Y, A Z पर बिंदु के निर्देशांक आलेखित करें।

1.5. समतल पी 1, पी 2, पी 3 पर बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करें।

1.6. प्रक्षेपण बिंदु ए 1, ए 2, ए 3 पर समतल पी 1, पी 2, पी 3 पर लंब बनाएं।

1.7. लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित बिंदु A है।

2. निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट तीन प्रक्षेपण विमानों पी 1, पी 2, पी 3 की प्रणाली में एक बिंदु का एक जटिल चित्र बनाने के लिए एल्गोरिदम (चित्र 2.32)

2.1. निर्देशांक द्वारा उस तिमाही का निर्धारण करें जिसमें बिंदु स्थित है।

2.2. विमानों के संयोजन के लिए तंत्र का निर्धारण करें।

2.3. तिमाही का एक व्यापक चित्र बनाएं।

2.4. अक्षों पर एक बिंदु के निर्देशांक आलेखित करें एक्स, वाई, जेड(ए एक्स, ए वाई, ए जेड)।

2.5. एक जटिल रेखाचित्र पर एक बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करें।

§ 7. अष्टक I-IV में एक बिंदु का जटिल चित्रण और दृश्य प्रतिनिधित्व

आइए विभिन्न अष्टकों में बिंदु ए, बी, सी, डी के निर्माण के एक उदाहरण पर विचार करें (तालिका 2.4)।

तालिका 2.4

सम्बंधित जानकारी।

अंतरिक्ष में विमान की स्थिति निर्धारित की जाती है:

• तीन बिंदु जो एक ही रेखा पर नहीं हैं;
• एक सीधी रेखा और सीधी रेखा के बाहर लिया गया एक बिंदु;
• दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ;
• दो समानांतर रेखाएँ;
• सपाट आकृति.

इसके अनुसार, विमान को आरेख पर निर्दिष्ट किया जा सकता है:

• तीन बिंदुओं के प्रक्षेपण जो एक ही रेखा पर नहीं हैं (चित्र 3.1, ए);
• एक बिंदु और एक रेखा का प्रक्षेपण (चित्र 3.1,बी);
• दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के प्रक्षेपण (चित्र 3.1सी);
• दो समानांतर रेखाओं के प्रक्षेपण (चित्र 3.1d);
• सपाट आकृति (चित्र 3.1, डी);
• एक विमान के निशान;
• समतल की सबसे बड़ी ढलान की रेखा।

चित्र 3.1 - तलों को परिभाषित करने की विधियाँ

सामान्य विमानएक ऐसा विमान है जो किसी भी प्रक्षेपण विमान के न तो समानांतर है और न ही लंबवत है।

विमान का पीछा कर रहे हैंप्रक्षेपण विमानों में से किसी एक के साथ दिए गए विमान के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त एक सीधी रेखा है।

एक सामान्य विमान में तीन निशान हो सकते हैं: क्षैतिज – απ 1, ललाट – απ 2 और प्रोफ़ाइल – απ 3, जो ज्ञात प्रक्षेपण विमानों के साथ प्रतिच्छेद करते समय बनता है: क्षैतिज π 1, ललाट π 2 और प्रोफ़ाइल π 3 (चित्र 3.2)।

चित्र 3.2 - एक सामान्य तल के निशान

3.2. आंशिक विमान

आंशिक समतल- प्रक्षेपणों के तल के लंबवत या समानांतर एक तल।

प्रक्षेपण तल के लंबवत तल को प्रक्षेपण कहा जाता है और इस प्रक्षेपण तल पर इसे एक सीधी रेखा के रूप में प्रक्षेपित किया जाएगा।

प्रक्षेपण तल की संपत्ति: प्रक्षेपित तल से संबंधित सभी बिंदुओं, रेखाओं, समतल आकृतियों का प्रक्षेपण तल के झुके हुए निशान पर होता है(चित्र 3.3)।

चित्र 3.3 - सामने से प्रक्षेपित विमान, जिसमें शामिल हैं: बिंदु ए, में, साथ; पंक्तियां एसी, अब, सूरज; त्रिकोण तल एबीसी

सामने प्रक्षेपण विमान – प्रक्षेपणों के ललाट तल के लंबवत् तल(चित्र 3.4, ए)।

क्षैतिज प्रक्षेपण विमान – प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल के लंबवत् तल(चित्र 3.4, बी)।

प्रोफाइल-प्रोजेक्टिंग विमान – प्रक्षेपणों के प्रोफ़ाइल तल के लंबवत समतल.

प्रक्षेपण तलों के समानान्तर तलों को कहा जाता है समतल विमानया डबल प्रक्षेपित विमान.

फ्रंट लेवल प्लेन – प्रक्षेपण के ललाट तल के समानांतर समतल(चित्र 3.4, सी)।

क्षैतिज स्तर का समतल – प्रक्षेपण के क्षैतिज तल के समानांतर समतल(चित्र 3.4, डी)।

स्तर का प्रोफ़ाइल तल – प्रक्षेपण के प्रोफाइल विमान के समानांतर विमान(चित्र 3.4, ई)।

चित्र 3.4 - विशेष स्थिति के विमानों के आरेख

3.3. एक समतल में एक बिंदु और एक सीधी रेखा। एक बिंदु और एक सीधे तल का संबंध

एक बिंदु किसी समतल का होता है यदि वह इस तल में पड़ी किसी रेखा से संबंधित हो(चित्र 3.5)।

एक सीधी रेखा एक समतल की होती है यदि उसमें समतल के साथ कम से कम दो उभयनिष्ठ बिंदु हों(चित्र 3.6)।

चित्र 3.5 - एक बिंदु का एक समतल से संबंध

α = एम // एन

डी∈ एन⇒ डी∈ α

चित्र 3.6 - एक सीधे तल से संबंधित

व्यायाम

एक चतुर्भुज द्वारा परिभाषित एक समतल दिया गया है (चित्र 3.7, ए)। शीर्ष के क्षैतिज प्रक्षेपण को पूरा करना आवश्यक है साथ.

ए	बी

चित्र 3.7 - समस्या का समाधान

समाधान :

1. ए बी सी डी- एक समतल चतुर्भुज जो एक तल को परिभाषित करता है।
2. आइए इसमें विकर्ण बनाएं एसी।और बी.डी(चित्र 3.7, बी), जो सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद कर रहे हैं, एक ही तल को परिभाषित भी कर रहे हैं।
3. प्रतिच्छेदी रेखाओं की कसौटी के अनुसार हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण बनाएंगे - कइसके ज्ञात ललाट प्रक्षेपण के अनुसार: ए 2 सी 2 ∩ बी 2 डी 2 =के 2 .
4. आइए प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन को तब तक पुनर्स्थापित करें जब तक कि यह सीधी रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए बी.डी: विकर्ण प्रक्षेपण पर बी 1 डी 1 हम निर्माण कर रहे हैं को 1 .
5. के माध्यम से ए 1 को 1 हम एक विकर्ण प्रक्षेपण करते हैं ए 1 साथ 1 .
6. पूर्ण विराम साथ 1 को प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन के माध्यम से तब तक प्राप्त किया जाता है जब तक कि यह विस्तारित विकर्ण के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए ए 1 को 1 .

3.4. मुख्य समतल रेखाएँ

एक समतल में अनंत संख्या में सीधी रेखाएँ बनाई जा सकती हैं, लेकिन समतल में कुछ विशेष सीधी रेखाएँ पड़ी होती हैं, जिन्हें कहा जाता है विमान की मुख्य लाइनें (चित्र 3.8-3.11)।

सीधा स्तर या विमान के समानांतरकिसी दिए गए तल में पड़ी एक सीधी रेखा है और प्रक्षेपण तलों में से एक के समानांतर है।

क्षैतिज या क्षैतिज स्तर रेखा एच(पहला समानांतर) किसी दिए गए तल में पड़ी एक सीधी रेखा है और प्रक्षेपण के क्षैतिज तल के समानांतर है (π 1)(चित्र 3.8, ए; 3.9)।

सामने या सामने का स्तर सीधा एफ(दूसरा समानांतर) किसी दिए गए तल में पड़ी एक सीधी रेखा है और प्रक्षेपण के ललाट तल के समानांतर है (π 2)(चित्र 3.8, बी; 3.10)।

लेवल प्रोफाइल लाइन पी(तीसरा समानांतर) किसी दिए गए तल में पड़ी एक सीधी रेखा है और प्रक्षेपण के प्रोफ़ाइल तल के समानांतर है (π 3)(चित्र 3.8, सी; 3.11)।

चित्र 3.8 ए - त्रिभुज द्वारा परिभाषित तल में स्तर की क्षैतिज सीधी रेखा

चित्र 3.8 बी - त्रिभुज द्वारा परिभाषित समतल में स्तर की ललाट सीधी रेखा

चित्र 3.8 सी - त्रिभुज द्वारा परिभाषित तल में स्तर प्रोफ़ाइल रेखा

चित्र 3.9 - पटरियों द्वारा परिभाषित समतल में स्तर की क्षैतिज सीधी रेखा

चित्र 3.10 - पटरियों द्वारा परिभाषित समतल में स्तर की ललाट सीधी रेखा

चित्र 3.11 - पटरियों द्वारा परिभाषित समतल में लेवल प्रोफाइल लाइन

3.5. सीधी रेखा और तल की पारस्परिक स्थिति

किसी दिए गए तल के संबंध में एक सीधी रेखा समानांतर हो सकती है और उसके साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु हो सकता है, अर्थात प्रतिच्छेद कर सकता है।

3.5.1. एक सीधे विमान की समानता

एक सीधे तल की समांतरता का संकेत: एक रेखा किसी समतल के समानांतर होती है यदि वह इस समतल से संबंधित किसी भी रेखा के समानांतर हो(चित्र 3.12)।

चित्र 3.12 - एक सीधे तल की समांतरता

3.5.2. एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन

एक सामान्य तल के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करने के लिए (चित्र 3.13), आपको यह करना होगा:

1. सीधे निष्कर्ष निकालें एसहायक विमान β के लिए (विशेष स्थिति के विमानों को सहायक विमान के रूप में चुना जाना चाहिए);
2. दिए गए समतल α के साथ सहायक समतल β की प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात कीजिए;
3. किसी दी गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए एसमतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के साथ एम.एन..

चित्र 3.13 - एक समतल के साथ एक सीधी रेखा के मिलन बिंदु का निर्माण

व्यायाम

दिया गया: सीधा अबसामान्य स्थिति, समतल σ⊥π 1. (चित्र 3.14)। एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करें अबसमतल σ के साथ.

समाधान :

1. विमान σ क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित है, इसलिए, विमान σ का क्षैतिज प्रक्षेपण सीधी रेखा σ 1 (विमान का क्षैतिज निशान) है;
2. डॉट कोलाइन से संबंधित होना चाहिए अब ⇒ को 1 ∈ए 1 में 1 और एक दिया गया समतल σ ⇒ को 1 ∈σ 1 , इसलिए, को 1 प्रक्षेपणों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है ए 1 में 1 और σ 1 ;
3. बिंदु का ललाट प्रक्षेपण कोहम प्रक्षेपण संचार लाइन के माध्यम से पाते हैं: को 2 ∈ए 2 में 2 .

चित्र 3.14 - एक विशेष तल के साथ एक सामान्य रेखा का प्रतिच्छेदन

व्यायाम

दिया गया: समतल σ = Δ एबीसी- सामान्य स्थिति, सीधी ई.एफ.(चित्र 3.15)।

किसी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करना आवश्यक है ई.एफ.समतल σ के साथ.

ए	बी

चित्र 3.15 - एक सीधी रेखा और एक तल का प्रतिच्छेदन

1. आइए एक सीधी रेखा पर निष्कर्ष निकालें ई.एफ.एक सहायक विमान में, जिसके लिए हम क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान α का उपयोग करेंगे (चित्र 3.15, ए);
2. यदि α⊥π 1, तो प्रक्षेपण विमान π 1 पर विमान α को एक सीधी रेखा (विमान απ 1 या α 1 का क्षैतिज निशान) में प्रक्षेपित किया जाता है, जो इसके साथ मेल खाता है इ 1 एफ 1 ;
3. आइए समतल σ के साथ प्रक्षेपित समतल α की प्रतिच्छेदन रेखा (1-2) खोजें (एक समान समस्या के समाधान पर विचार किया जाएगा);
4. सीधी रेखा (1-2) और निर्दिष्ट सीधी रेखा ई.एफ.एक ही तल α में स्थित हैं और बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं क.

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम (चित्र 3.15, बी):

के माध्यम से ई.एफ.आइए एक सहायक विमान α बनाएं:

3.6. प्रतिस्पर्धी बिंदु पद्धति का उपयोग करके दृश्यता निर्धारण

किसी दी गई रेखा की स्थिति का आकलन करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि प्रक्षेपण विमान π 1 या π 2 को देखते समय, पर्यवेक्षक के रूप में, रेखा का कौन सा बिंदु हमारे करीब (आगे) स्थित है।

वे बिंदु जो विभिन्न वस्तुओं से संबंधित हैं, और प्रक्षेपण विमानों में से एक पर उनके प्रक्षेपण मेल खाते हैं (अर्थात, दो बिंदु एक में प्रक्षेपित होते हैं), इस प्रक्षेपण विमान पर प्रतिस्पर्धा कहलाते हैं.

प्रत्येक प्रक्षेपण तल पर दृश्यता अलग से निर्धारित करना आवश्यक है।

π 2 पर दृश्यता (चित्र 3.15)

आइए हम π 2 - अंक 3 और 4 पर प्रतिस्पर्धा करने वाले बिंदुओं को चुनें। मान लीजिए बिंदु 3∈ है VS∈σ, बिंदु 4∈ ई.एफ..

प्रक्षेपण तल π 2 पर बिंदुओं की दृश्यता निर्धारित करने के लिए, π 2 को देखते समय क्षैतिज प्रक्षेपण तल पर इन बिंदुओं का स्थान निर्धारित करना आवश्यक है।

π 2 की ओर देखने की दिशा तीर द्वारा दर्शाई गई है।

बिंदु 3 और 4 के क्षैतिज प्रक्षेपण से, जब π 2 को देखते हैं, तो यह स्पष्ट होता है कि बिंदु 4 1, 3 1 की तुलना में पर्यवेक्षक के अधिक निकट स्थित है।

4 1 ∈इ 1 एफ 1 ⇒ 4∈ई.एफ.⇒ π 2 पर बिंदु 4 सीधी रेखा पर पड़ा हुआ दिखाई देगा ई.एफ., इसलिए, सीधा ई.एफ.विचाराधीन प्रतिस्पर्धी बिंदुओं के क्षेत्र में σ विमान के सामने स्थित है और बिंदु तक दिखाई देगा क

π 1 पर दृश्यता

दृश्यता निर्धारित करने के लिए, हम उन बिंदुओं का चयन करते हैं जो π 1 - अंक 2 और 5 पर प्रतिस्पर्धा करते हैं।

प्रक्षेपण तल π 1 पर बिंदुओं की दृश्यता निर्धारित करने के लिए, π 1 को देखते समय ललाट प्रक्षेपण तल पर इन बिंदुओं का स्थान निर्धारित करना आवश्यक है।

π 1 की ओर देखने की दिशा तीर द्वारा दर्शाई गई है।

बिंदु 2 और 5 के ललाट प्रक्षेपण से, जब π 1 को देखते हैं, तो यह स्पष्ट होता है कि बिंदु 2 2, 5 2 की तुलना में पर्यवेक्षक के अधिक निकट स्थित है।

2 1 ∈ए 2 में 2 ⇒ 2∈अब⇒ π पर 1 बिंदु 2 सीधी रेखा पर पड़ा हुआ दिखाई देगा अब, इसलिए, सीधा ई.एफ.विचाराधीन प्रतिस्पर्धी बिंदुओं के क्षेत्र में विमान σ के नीचे स्थित है और बिंदु तक अदृश्य रहेगा क– समतल σ के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु।

दो प्रतिस्पर्धी बिंदुओं में से दृश्यमान वह होगा जिसका "Z" और/या "Y" निर्देशांक अधिक होगा।

3.7. एक सीधे तल पर लंबवतता

एक सीधे तल की लंबवतता का संकेत: एक रेखा किसी समतल पर लंबवत होती है यदि वह किसी दिए गए समतल में स्थित दो प्रतिच्छेदी रेखाओं पर लंबवत हो।

ए	बी

चित्र 3.16 - समतल पर लंबवत एक सीधी रेखा को परिभाषित करना

प्रमेय. यदि सीधी रेखा समतल के लंबवत है, तो आरेख पर: सीधी रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण समतल के क्षैतिज प्रक्षेपण के लंबवत है, और सीधी रेखा का ललाट प्रक्षेपण समतल के ललाट प्रक्षेपण के लंबवत है ललाट (चित्र 3.16, बी)

प्रमेय को एक विशेष स्थिति में समकोण के प्रक्षेपण पर प्रमेय के माध्यम से सिद्ध किया जाता है।

यदि विमान को निशानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो विमान के लंबवत सीधी रेखा के प्रक्षेपण विमान के संबंधित निशानों के लंबवत होते हैं (चित्रा 3.16, ए)।

इसे सीधा रहने दो पीसमतल σ=Δ के लंबवत एबीसीऔर बिंदु से होकर गुजरता है क.

1. आइए समतल σ=Δ में क्षैतिज और ललाट रेखाओं का निर्माण करें एबीसी : एक-1∈σ; एक-1//π 1 ; एस 2∈σ; एस 2//π 2 .
2. आइए बिंदु से पुनर्स्थापित करें ककिसी दिए गए विमान के लंबवत: पी 1⊥ज 1और पी2⊥च 2, या पी 1⊥απ 1 और पी2⊥απ 2

3.8. दो तलों की सापेक्ष स्थिति

3.8.1. विमानों की समानता

दो तल समानांतर और प्रतिच्छेदित हो सकते हैं।

दो तलों की समांतरता का संकेत: दो तल परस्पर समानांतर होते हैं यदि एक तल की दो प्रतिच्छेदी रेखाएं दूसरे तल की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के अनुरूप हों।

व्यायाम

सामान्य स्थिति तल α=Δ दिया गया है एबीसीऔर अवधि एफ∉α (चित्र 3.17)।

बिंदु के माध्यम से एफसमतल α के समांतर समतल β खींचिए।

चित्र 3.17 - किसी दिए गए विमान के समानांतर एक विमान का निर्माण

समाधान :

आइए, उदाहरण के लिए, समतल α की प्रतिच्छेदी रेखाओं के रूप में त्रिभुज AB और BC की भुजाओं को लें।

1. बिंदु के माध्यम से एफहम प्रत्यक्ष आचरण करते हैं एम, समानांतर, उदाहरण के लिए, अब.
2. बिंदु के माध्यम से एफ, या किसी भी बिंदु से संबंधित के माध्यम से एम, हम एक सीधी रेखा खींचते हैं एन, समानांतर, उदाहरण के लिए, सूरज, और म∩एन=एफ.
3. β = एम∩एनऔर परिभाषा के अनुसार β//α।

3.8.2. विमानों का प्रतिच्छेदन

दो तलों के प्रतिच्छेदन का परिणाम एक सीधी रेखा है। किसी समतल या अंतरिक्ष में किसी भी सीधी रेखा को दो बिंदुओं द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है। इसलिए, दो तलों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाने के लिए, आपको दोनों तलों में दो उभयनिष्ठ बिंदु खोजने चाहिए, और फिर उन्हें जोड़ना चाहिए।

आइए उन्हें परिभाषित करने के विभिन्न तरीकों के साथ दो विमानों के प्रतिच्छेदन के उदाहरणों पर विचार करें: निशानों द्वारा; तीन बिंदु जो एक ही रेखा पर नहीं हैं; समानांतर रेखाएं; प्रतिच्छेदी रेखाएँ, आदि।

व्यायाम

दो तल α और β को निशानों द्वारा परिभाषित किया गया है (चित्र 3.18)। समतलों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण करें।

चित्र 3.18 - निशानों द्वारा परिभाषित सामान्य तलों का प्रतिच्छेदन

समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा बनाने की प्रक्रिया:

1. क्षैतिज रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें - यही बिंदु है एम(उसके अनुमान एम 1 और एम 2, जबकि एम 1 =एम, क्योंकि एम -समतल से संबंधित निजी बिंदु π 1).
2. ललाट पटरियों के प्रतिच्छेदन का बिंदु खोजें - यह बिंदु है एन(उसके अनुमान एन 1 और एन 2, जबकि एन 2 = एन, क्योंकि एन -समतल π 2 से संबंधित निजी बिंदु)।
3. एक ही नाम के परिणामी बिंदुओं के प्रक्षेपणों को जोड़कर विमानों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाएं: एम 1 एन 1 और एम 2 एन 2 .

एमएन- समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा।

व्यायाम

दिया गया समतल σ = Δ एबीसी, समतल α - क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित (α⊥π 1) ⇒α 1 - समतल का क्षैतिज निशान (चित्र 3.19)।

इन तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा का निर्माण करें।

समाधान :

चूँकि समतल α भुजाओं को प्रतिच्छेद करता है अबऔर एसीत्रिकोण एबीसी, फिर प्रतिच्छेदन बिंदु कऔर एलसमतल α के साथ ये भुजाएँ दिए गए दोनों समतलों के लिए उभयनिष्ठ हैं, जो उन्हें जोड़कर, वांछित प्रतिच्छेदन रेखा खोजने की अनुमति देगा।

बिंदुओं को प्रक्षेपित तल के साथ सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में पाया जा सकता है: हम बिंदुओं के क्षैतिज प्रक्षेपण पाते हैं कऔर एल, वह है क 1 और एल 1, पक्षों के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ किसी दिए गए विमान α के क्षैतिज ट्रेस (α 1) के चौराहे पर Δ एबीसी: ए 1 में 1 और ए 1 सी 1 . फिर, प्रक्षेपण संचार लाइनों का उपयोग करके, हम इन बिंदुओं के ललाट प्रक्षेपण पाते हैं K2और एल 2 सीधी रेखाओं के ललाट प्रक्षेपण पर अबऔर एसी. आइए एक ही नाम के प्रक्षेपणों को जोड़ें: क 1 और एल 1 ; K2और एल 2. दिए गए तलों की प्रतिच्छेदन रेखा खींची जाती है।

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

के.एल– प्रतिच्छेदन रेखा Δ एबीसीऔर σ (α∩σ = के.एल).

चित्र 3.19 - सामान्य और विशेष तलों का प्रतिच्छेदन

व्यायाम

दिए गए समतल α = m//n और समतल β = Δ एबीसी(चित्र 3.20)।

दिए गए तलों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाएं।

समाधान :

1. दिए गए दोनों तलों में उभयनिष्ठ बिंदुओं को खोजने और तलों α और β की प्रतिच्छेदन रेखा को परिभाषित करने के लिए, विशेष स्थिति के सहायक तलों का उपयोग करना आवश्यक है।
2. ऐसे विमानों के रूप में, हम विशेष स्थिति के दो सहायक विमानों का चयन करेंगे, उदाहरण के लिए: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
3. नए पेश किए गए विमान दिए गए प्रत्येक विमान α और β के साथ एक दूसरे के समानांतर सीधी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, क्योंकि σ // τ:

- समतल α, σ और τ के प्रतिच्छेदन का परिणाम सीधी रेखाएं (4-5) और (6-7) हैं;

- समतल β, σ और τ के प्रतिच्छेदन का परिणाम सीधी रेखाएं (3-2) और (1-8) हैं।

1. रेखाएँ (4-5) और (3-2) σ तल में स्थित हैं; उनका प्रतिच्छेदन बिंदु एमएक साथ समतल α और β में स्थित है, अर्थात इन समतलों के प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा पर;
2. इसी प्रकार, हम बिंदु पाते हैं एन, α और β तलों के लिए उभयनिष्ठ।
3. बिंदुओं को कनेक्ट करना एमऔर एन, आइए समतल α और β के प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा का निर्माण करें।

चित्र 3.20 - सामान्य स्थिति में दो विमानों का प्रतिच्छेदन (सामान्य स्थिति)

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

व्यायाम

दिए गए समतल α = Δ एबीसीऔर β = ए//बी. दिए गए तलों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाएं (चित्र 3.21)।

चित्र 3.21 समतल प्रतिच्छेदन समस्या का समाधान

समाधान :

आइए हम विशेष स्थिति के सहायक छेदक तलों का उपयोग करें। आइए हम उन्हें इस तरह से पेश करें जिससे निर्माणों की संख्या कम हो सके। उदाहरण के लिए, आइए सीधी रेखा को घेरते हुए समतल σ⊥π 2 का परिचय दें एसहायक तल में σ (σ∈ ए). समतल σ, समतल α को एक सीधी रेखा (1-2) के अनुदिश काटता है, और σ∩β= ए. इसलिए (1-2)∩ ए=क.

डॉट कोदोनों तलों α और β से संबंधित है।

इसलिए, बात क, आवश्यक बिंदुओं में से एक है जिसके माध्यम से दिए गए विमानों α और β की प्रतिच्छेदन रेखा गुजरती है।

α और β की प्रतिच्छेदन रेखा से संबंधित दूसरा बिंदु खोजने के लिए, हम रेखा को समाप्त करते हैं बीसहायक तल में τ⊥π 2 (τ∈ बी).

बिंदुओं को कनेक्ट करना कऔर एल, हम समतल α और β के प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा प्राप्त करते हैं।

3.8.3. परस्पर लंबवत तल

यदि उनमें से एक दूसरे के लंबवत से होकर गुजरता है तो विमान परस्पर लंबवत होते हैं।

व्यायाम

सामान्य स्थिति में एक समतल σ⊥π 2 और एक रेखा दी गई है - डे(चित्र 3.22)

के माध्यम से निर्माण करना आवश्यक है डेविमान τ⊥σ.

समाधान ।

आइए एक लंब बनाएं सीडीविमान के लिए σ – सी 2 डी 2 ⊥σ 2 (पर आधारित)।

चित्र 3.22 - किसी दिए गए समतल के लंबवत समतल का निर्माण

समकोण प्रक्षेपण प्रमेय द्वारा सी 1 डी 1 प्रक्षेपण अक्ष के समानांतर होना चाहिए। प्रतिच्छेदी रेखाएँ सीडी∩डेसमतल को परिभाषित करें τ. तो, τ⊥σ।

सामान्य तल के मामले में भी ऐसा ही तर्क।

व्यायाम

दिया गया समतल α = Δ एबीसीऔर अवधि कα तल के बाहर.

बिंदु से गुजरने वाले एक समतल β⊥α का निर्माण करना आवश्यक है क.

समाधान एल्गोरिथ्म(चित्र 3.23):

1. आइए एक क्षैतिज रेखा बनाएं एचऔर सामने एफकिसी दिए गए विमान में α = Δ एबीसी;
2. बिंदु के माध्यम से कआइए एक लंब बनाएं बीसमतल α तक (साथ में समतल प्रमेय के लंबवत: यदि एक सीधी रेखा किसी समतल पर लंबवत है, तो उसके प्रक्षेपण समतल में पड़ी क्षैतिज और ललाट रेखाओं के झुके हुए प्रक्षेपणों के लंबवत होते हैं:बी 2⊥च 2; बी 1⊥ज 1;
3. हम समतल β को किसी भी तरह से परिभाषित करते हैं, उदाहरण के लिए, β = ए∩बी, इस प्रकार, दिए गए विमान के लंबवत एक विमान का निर्माण किया जाता है: α⊥β।

चित्र 3.23 - किसी दिए गए Δ के लंबवत समतल का निर्माण एबीसी

3.9. स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. दिया गया समतल α = एम//एन(चित्र 3.24)। ह ज्ञात है कि क∈α.

एक बिंदु का ललाट प्रक्षेपण बनाएं को.

चित्र 3.24

2. एक खंड द्वारा दी गई रेखा के निशान बनाएं सी.बी., और उन चतुर्थांशों की पहचान करें जिनसे यह गुजरता है (चित्र 3.25)।

चित्र 3.25

3. समतल α⊥π 2 से संबंधित एक वर्ग के प्रक्षेपण का निर्माण करें यदि इसका विकर्ण एम.एन.//π 2 (चित्र 3.26)।

चित्र 3.26

4. एक आयत की रचना कीजिए ए बी सी डीबड़े पक्ष के साथ सूरजएक सीधी रेखा पर एम, इस शर्त के आधार पर कि इसकी भुजाओं का अनुपात 2 है (चित्र 3.27)।

चित्र 3.27

5. दिया गया समतल α= ए//बी(चित्र 3.28)। समतल α के समांतर तथा उससे 20 मिमी की दूरी पर एक समतल β की रचना कीजिए।

चित्र 3.28

6. दिया गया समतल α=∆ एबीसीऔर अवधि डी डीसमतल β⊥α तथा β⊥π 1।

7. दिया गया समतल α=∆ एबीसीऔर अवधि डीहवाई जहाज से बाहर। बिंदु के माध्यम से निर्माण करें डीप्रत्यक्ष डे//α और डे//π 1 .