निकायों की एक प्रणाली की गति की मात्रा. संवेग संरक्षण का नियम. प्रमुख कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम

संवेग संरक्षण का नियम

1. यदि किसी यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलों का योग शून्य के बराबर है, तो प्रणाली की गति का वेक्टर परिमाण और दिशा में एक स्थिरांक है.

यदि, तो, इसलिए.

2. यदि किसी अक्ष पर सभी कार्यरत बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य है, तो इस अक्ष पर सिस्टम की गति की मात्रा का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है.

यदि, तो, इसलिए.

व्याख्यान 11
प्रणाली के संवेग का प्रमुख क्षण (गतिज क्षण)।
केंद्र और अक्ष के सापेक्ष

एक बिंदु के कोणीय संवेग की अवधारणा.
किसी बिंदु के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय।
गतिज क्षण. गतिज में परिवर्तन पर प्रमेय
सिस्टम का वह क्षण जब यह द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष गति करता है

किसी केंद्र O के सापेक्ष किसी बिंदु का कोणीय संवेगसमानता द्वारा परिभाषित एक वेक्टर मात्रा है:

गतिमान बिंदु का त्रिज्या वेक्टर कहां है. वेक्टर को गुजरने वाले विमान और केंद्र के लंबवत निर्देशित किया जाता है के बारे में, और मॉड्यूल के बराबर है,

कहाँ एच- वेग वेक्टर की क्रिया रेखा के केंद्र से न्यूनतम दूरी।

केंद्र O से गुजरने वाली किसी भी धुरी Oz के सापेक्ष एक बिंदु का संवेग आघूर्ण (MCM) इस तल पर वेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर है:

आइए समीकरण (1) के दोनों पक्षों को अलग करें। दाहिनी ओर के लिए

दो समानांतर सदिशों के सदिश गुणनफल के रूप में एक अभिव्यक्ति। यह मानते हुए कि केंद्र 0 के सापेक्ष बल का क्षण है, हम प्राप्त करते हैं:

किसी बिंदु के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय।किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष किसी बिंदु के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न उसी केंद्र के सापेक्ष बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण के बराबर होता है.

समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि, तो।

यदि किसी केंद्र के सापेक्ष कार्यरत बलों का क्षण शून्य है, तो इस केंद्र के सापेक्ष बिंदु का कोणीय संवेग एक स्थिर मात्रा है.

यह दो स्थितियों में संभव है: या तो, या उत्तोलन शून्य के बराबर है, तो इस बल को कहा जाएगा केंद्रीय, अर्थात। इसकी क्रिया रेखा हर समय इसी केंद्र से होकर गुजरती है के बारे में(उदाहरण के लिए, सूर्य के प्रति ग्रहों का आकर्षण बल, एक कॉर्ड मॉडल के साथ धागे का तनाव बल)।

किसी दिए गए केंद्र O के सापेक्ष प्रणाली की गति का मुख्य क्षण (या गतिज क्षण)।इस केंद्र के सापेक्ष प्रणाली के सभी बिंदुओं की गति की मात्राओं के क्षणों के ज्यामितीय योग के बराबर एक वेक्टर मात्रा कहलाती है:

निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष संवेग के क्षण (एमसीएम) इसी प्रकार निर्धारित किए जाते हैं:

पिछले व्याख्यान में यह नोट किया गया था संवेग को स्थानांतरीय गति की एक विशेषता माना जा सकता है. नीचे हम उसे दिखाएंगे सिस्टम की मुख्य एमसीडी को घूर्णी गति की विशेषता माना जा सकता है.

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय से, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं:

1) मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है:

यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम का संवेग वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर होगा।

2) मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतें ऐसी हैं कि किसी अक्ष पर उनके प्रक्षेपण का योग (उदाहरण के लिए) ओह) शून्य के बराबर है:

तब समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि इस मामले में। इस प्रकार, यदि किसी अक्ष पर कार्यरत सभी बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष पर सिस्टम की गति की मात्रा का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

ये परिणाम व्यक्त करते हैं किसी प्रणाली के संवेग के संरक्षण का नियम.उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि आंतरिक बल प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकते। आइए कुछ उदाहरण देखें:

क) पीछे हटने या पीछे हटने की घटना। यदि हम राइफल और गोली को एक प्रणाली मानते हैं, तो शॉट के दौरान पाउडर गैसों का दबाव एक आंतरिक बल होगा। यह बल प्रणाली की कुल गति को नहीं बदल सकता। लेकिन चूंकि पाउडर गैसें, गोली पर कार्य करते हुए, उसे आगे की दिशा में एक निश्चित मात्रा में गति प्रदान करती हैं, उन्हें एक साथ राइफल को विपरीत दिशा में समान मात्रा में गति प्रदान करनी चाहिए। इससे राइफल पीछे की ओर चली जाएगी, यानी। तथाकथित वापसी. इसी तरह की घटना बंदूक से फायरिंग (रोलबैक) करते समय होती है।

बी) प्रोपेलर (प्रोपेलर) का संचालन। प्रोपेलर प्रोपेलर की धुरी के साथ हवा (या पानी) के एक निश्चित द्रव्यमान को गति प्रदान करता है, इस द्रव्यमान को वापस फेंकता है। यदि हम फेंके गए द्रव्यमान और विमान (या जहाज) को एक प्रणाली के रूप में मानते हैं, तो प्रोपेलर और पर्यावरण के बीच बातचीत की ताकतें, आंतरिक के रूप में, इस प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकती हैं। इसलिए, जब हवा (पानी) का एक द्रव्यमान वापस फेंका जाता है, तो विमान (या जहाज) को एक समान आगे की गति प्राप्त होती है, जैसे कि विचाराधीन प्रणाली की गति की कुल मात्रा शून्य के बराबर रहेगी, क्योंकि यह पहले शून्य थी आंदोलन शुरू हुआ.

एक समान प्रभाव चप्पुओं या पैडल पहियों की क्रिया से प्राप्त होता है।

ग) जेट प्रणोदन। एक रॉकेट में, ईंधन के गैसीय दहन उत्पादों को रॉकेट की पूंछ में एक छेद (जेट इंजन नोजल से) से उच्च गति से बाहर निकाला जाता है। इस मामले में कार्य करने वाले दबाव बल आंतरिक बल होंगे, और वे रॉकेट प्रणाली - ईंधन दहन उत्पादों की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकते हैं। लेकिन चूँकि बाहर निकलने वाली गैसों की गति एक निश्चित मात्रा में पीछे की ओर निर्देशित होती है, इसलिए रॉकेट को आगे की गति के अनुरूप गति प्राप्त होती है।

डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत.

गतिशीलता की समस्याओं को हल करने की सभी विधियाँ, जिन पर हमने अब तक विचार किया है, वे समीकरणों पर आधारित हैं जो या तो सीधे न्यूटन के नियमों का पालन करते हैं, या सामान्य प्रमेयों पर आधारित हैं जो इन कानूनों के परिणाम हैं। हालाँकि, यह रास्ता एकमात्र नहीं है। इससे पता चलता है कि किसी यांत्रिक प्रणाली की गति के समीकरण या संतुलन की स्थिति को न्यूटन के नियमों के बजाय अन्य सामान्य सिद्धांतों, जिन्हें यांत्रिकी के सिद्धांत कहा जाता है, पर आधारित करके प्राप्त किया जा सकता है। कई मामलों में, इन सिद्धांतों का अनुप्रयोग, जैसा कि हम देखेंगे, संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए अधिक प्रभावी तरीके खोजने की अनुमति देता है। यह अध्याय यांत्रिकी के सामान्य सिद्धांतों में से एक की जांच करेगा, जिसे डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत कहा जाता है।

आइए हम एक ऐसी प्रणाली बनाएं जिसमें शामिल हों एनभौतिक बिंदु. आइए द्रव्यमान वाले सिस्टम के किसी एक बिंदु का चयन करें। उस पर लागू बाहरी और आंतरिक बलों (जिसमें सक्रिय बल और युग्मन प्रतिक्रियाएं दोनों शामिल हैं) के प्रभाव में, बिंदु को जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष कुछ त्वरण प्राप्त होता है।

आइए हम मात्रा पर विचार करें

बल का आयाम होना। एक वेक्टर मात्रा जो किसी बिंदु के द्रव्यमान और उसके त्वरण के गुणनफल के बराबर होती है और इस त्वरण के विपरीत निर्देशित होती है, उसे बिंदु का जड़त्व बल (कभी-कभी डी'अलेम्बर्ट जड़त्व बल) कहा जाता है।

तब यह पता चलता है कि एक बिंदु की गति में निम्नलिखित सामान्य गुण होते हैं: यदि समय के प्रत्येक क्षण में हम बिंदु पर वास्तव में कार्य करने वाली ताकतों में जड़ता के बल को जोड़ते हैं, तो बलों की परिणामी प्रणाली संतुलित हो जाएगी, यानी। इच्छा

.

यह अभिव्यक्ति एक भौतिक बिंदु के लिए डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत को व्यक्त करती है। यह देखना आसान है कि यह न्यूटन के दूसरे नियम के बराबर है और इसके विपरीत। वास्तव में, प्रश्नाधीन बिंदु के लिए न्यूटन का दूसरा नियम देता है . यहां पद को समानता के दाईं ओर ले जाने पर, हम अंतिम संबंध पर पहुंचते हैं।

सिस्टम के प्रत्येक बिंदु के संबंध में उपरोक्त तर्क को दोहराते हुए, हम सिस्टम के लिए डी'अलेम्बर्ट के सिद्धांत को व्यक्त करते हुए निम्नलिखित परिणाम पर पहुंचते हैं: यदि किसी भी समय सिस्टम के प्रत्येक बिंदु पर संबंधित जड़त्व बल लागू होते हैं, इसके अलावा बाहरी और आंतरिक बल वास्तव में उस पर कार्य करते हैं, तो परिणामस्वरूप बलों की प्रणाली संतुलन में होगी और सभी स्थैतिक समीकरण हो सकते हैं उस पर आवेदन किया.

डी'एलेम्बर्ट के सिद्धांत का महत्व इस तथ्य में निहित है कि जब गतिशीलता की समस्याओं पर सीधे लागू किया जाता है, तो सिस्टम की गति के समीकरण प्रसिद्ध संतुलन समीकरणों के रूप में संकलित होते हैं; जो समस्याओं को हल करने के लिए एक समान दृष्टिकोण बनाता है और आमतौर पर संबंधित गणनाओं को बहुत सरल बनाता है। इसके अलावा, संभावित विस्थापन के सिद्धांत के संयोजन में, जिस पर अगले अध्याय में चर्चा की जाएगी, डी'एलेम्बर्ट का सिद्धांत हमें गतिशीलता की समस्याओं को हल करने के लिए एक नई सामान्य विधि प्राप्त करने की अनुमति देता है।

डी'एलेम्बर्ट के सिद्धांत को लागू करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि एक यांत्रिक प्रणाली का बिंदु, जिसकी गति का अध्ययन किया जा रहा है, केवल बाहरी और आंतरिक बलों द्वारा कार्य किया जाता है और, बिंदुओं की परस्पर क्रिया के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है। सिस्टम एक दूसरे के साथ और सिस्टम में शामिल नहीं किए गए निकायों के साथ; इन बलों के प्रभाव में, सिस्टम के बिंदु संगत त्वरण के साथ चलते हैं। जड़ता की ताकतें, जिनकी चर्चा डी'एलेम्बर्ट के सिद्धांत में की गई है, गतिमान बिंदुओं पर कार्य नहीं करती हैं (अन्यथा, ये बिंदु आराम की स्थिति में होंगे या त्वरण के बिना गतिमान होंगे, और तब स्वयं कोई जड़त्वीय शक्ति नहीं होगी)। जड़त्वीय बलों की शुरूआत सिर्फ एक तकनीक है जो किसी को सरल स्थैतिक तरीकों का उपयोग करके गतिशील समीकरण बनाने की अनुमति देती है।

1. यदि सिस्टम के सभी बाहरी बलों का मुख्य वेक्टर शून्य () के बराबर है, तो सिस्टम की गति की मात्रा परिमाण और दिशा में स्थिर है।

2. यदि किसी अक्ष पर सिस्टम के सभी बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर का प्रक्षेपण शून्य के बराबर है (
), तो इस अक्ष पर सिस्टम की गति का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

द्रव्यमान केंद्र की गति पर प्रमेय.

प्रमेय सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र एक भौतिक बिंदु की तरह ही चलता है, जिसका द्रव्यमान पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर होता है, यदि संबंधित यांत्रिक प्रणाली पर लागू सभी बाहरी बल बिंदु पर कार्य करते हैं।

, इस तरह

सिस्टम की गति.

गति भौतिक बिंदुओं की प्रणाली किसी केंद्र के सापेक्ष एक ही केंद्र के सापेक्ष इस प्रणाली के अलग-अलग बिंदुओं के कोणीय गति का वेक्टर योग है

गति भौतिक बिंदुओं की प्रणाली
किसी भी अक्ष के सापेक्ष
केंद्र से गुजर रहा है , को संवेग वेक्टर का प्रक्षेपण कहा जाता है
इस अक्ष पर
.

किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति के दौरान घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी कठोर पिंड के संवेग का क्षण।

आइए हम घूर्णन अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड के कोणीय संवेग की गणना करें।

घूर्णी गति के दौरान घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी कठोर पिंड के संवेग का क्षण, घूर्णन अक्ष के सापेक्ष जड़ता के क्षण द्वारा पिंड के कोणीय वेग के गुणनफल के बराबर होता है।

किसी प्रणाली के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय।

प्रमेय. किसी केंद्र के सापेक्ष लिया गया सिस्टम के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न, उसी केंद्र के सापेक्ष सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के क्षणों के वेक्टर योग के बराबर होता है।

(6.3)

प्रमाण: कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय
बिंदु इस प्रकार दिखते हैं:

,

आइए इसे सब जोड़ें समीकरण और हमें मिलता है:

या
,

क्यू.ई.डी.

प्रमेय. किसी भी अक्ष के सापेक्ष लिया गया सिस्टम के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न, उसी अक्ष के सापेक्ष सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के क्षणों के वेक्टर योग के बराबर होता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, वेक्टर समीकरण (6.3) को इस अक्ष पर प्रक्षेपित करना पर्याप्त है। अक्ष के लिए
यह इस तरह दिखेगा:.

(6.4)

द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष किसी प्रणाली के कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय। (कोई सबूत नहीं)

सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र के साथ अनुवादात्मक रूप से चलने वाली अक्षों के लिए, द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष सिस्टम के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय एक स्थिर केंद्र के संबंध में उसी रूप को बरकरार रखता है।

मॉड्यूल 2. सामग्री की ताकत.

विषय 1: तनाव-संपीड़न, मरोड़, झुकना।

विचाराधीन शरीर (संरचनात्मक तत्व) की विकृतियाँ बाहरी बल के प्रयोग से उत्पन्न होती हैं। इस स्थिति में, शरीर के कणों के बीच की दूरियाँ बदल जाती हैं, जिसके परिणामस्वरूप उनके बीच पारस्परिक आकर्षण की शक्तियों में परिवर्तन होता है। अत: परिणामस्वरूप आंतरिक प्रयास उत्पन्न होते हैं। इस मामले में, आंतरिक बलों को वर्गों की सार्वभौमिक विधि (या काटने की विधि) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यह ज्ञात है कि बाहरी ताकतें और आंतरिक ताकतें हैं। बाहरी बल (भार) दो अलग-अलग निकायों की परस्पर क्रिया का एक मात्रात्मक माप है। इनमें कनेक्शन में प्रतिक्रियाएं भी शामिल हैं। आंतरिक बल अनुभाग के विपरीत किनारों पर स्थित एक शरीर के दो हिस्सों की बातचीत का एक मात्रात्मक माप है और बाहरी बलों की कार्रवाई के कारण होता है। आंतरिक शक्तियाँ सीधे विकृत शरीर में उत्पन्न होती हैं।

चित्र 1 बाहरी भार के मनमाने ढंग से संयोजन के साथ एक बीम का डिज़ाइन आरेख दिखाता है जो बलों की एक संतुलन प्रणाली बनाता है:

ऊपर से नीचे तक: लोचदार शरीर, बायां कट-ऑफ भाग, दायां कट-ऑफ भाग चित्र .1।अनुभाग विधि.

इस मामले में, बंधन प्रतिक्रियाएं एक ठोस शरीर के स्थैतिक के ज्ञात संतुलन समीकरणों से निर्धारित होती हैं:

जहां x 0, y 0, z 0 अक्षों की आधार समन्वय प्रणाली है।

मानसिक रूप से एक बीम को एक मनमाना खंड ए (छवि 1 ए) के साथ दो भागों में काटने से दो कटे हुए हिस्सों में से प्रत्येक के लिए संतुलन की स्थिति पैदा होती है (छवि 1 बी, सी)। यहाँ ( एस') और ( एस"} - बाहरी बलों की कार्रवाई के कारण बाएँ और दाएँ कटे भागों में क्रमशः उत्पन्न होने वाली आंतरिक शक्तियाँ।

मानसिक रूप से कटे भागों की रचना करते समय, शारीरिक संतुलन की स्थिति संबंध द्वारा सुनिश्चित की जाती है:

चूँकि बाह्य बलों की प्रारंभिक प्रणाली (1) शून्य के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं:

{एस ’ } = – {एस ” } (3)

यह स्थिति क्रिया और प्रतिक्रिया बलों की समानता के बारे में सांख्यिकी के चौथे सिद्धांत से मेल खाती है।

प्रमेय की सामान्य पद्धति का उपयोग करना पॉइंटसोटकिसी दिए गए केंद्र पर बलों की एक मनमानी प्रणाली लाने और द्रव्यमान के केंद्र को कटौती ध्रुव, अनुभागों के रूप में चुनने पर ए " , बिंदु साथ " , बाईं ओर के लिए आंतरिक बलों की प्रणाली ( एस ’ ) हम मुख्य वेक्टर और आंतरिक प्रयासों के मुख्य क्षण को कम करते हैं। यही बात दाएँ कटे भाग के लिए भी की जाती है, जहाँ अनुभाग के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति होती है ए";क्रमशः बिंदु द्वारा निर्धारित किया जाता है साथ(चित्र 1 बी,सी)।

इस प्रकार, मुख्य वेक्टर और बाएं में उत्पन्न होने वाली आंतरिक बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण, बीम का सशर्त रूप से कटा हुआ हिस्सा परिमाण में बराबर होता है और मुख्य वेक्टर की दिशा में विपरीत होता है और आंतरिक बलों की प्रणाली का मुख्य क्षण उत्पन्न होता है दाहिनी ओर सशर्त रूप से कटे हुए भाग में।

बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष के साथ मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण के संख्यात्मक मूल्यों के वितरण का ग्राफ (आरेख) सबसे पहले, संरचनाओं की ताकत, कठोरता और विश्वसनीयता के विशिष्ट मुद्दों को निर्धारित करता है।

आइए हम आंतरिक बलों के घटकों के गठन के लिए तंत्र का निर्धारण करें जो सरल प्रकार के प्रतिरोध की विशेषता रखते हैं: तनाव-संपीड़न, कतरनी, मरोड़ और झुकना।

अध्ययनाधीन वर्गों के जनसमूह के केन्द्रों पर साथ"या साथ"आइए बाईं ओर के अनुसार पूछें (सी", एक्स", वाई", जेड")या सुधारना (सी", एक्स", वाई", जेड")समन्वय अक्षों की प्रणालियाँ (चित्र 1 बी, सी), जो आधार समन्वय प्रणाली के विपरीत है एक्स, वाई, जेडहम उन्हें "अनुयायी" कहेंगे। यह शब्द उनके कार्यात्मक उद्देश्य के कारण है। अर्थात्: बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष के साथ सशर्त रूप से विस्थापित होने पर अनुभाग ए (छवि 1 ए) की स्थिति में परिवर्तन को ट्रैक करना, उदाहरण के लिए जब: 0 एक्स' 1 ए, कुल्हाड़ी' 2 बीआदि, कहाँ एऔर बी- लकड़ी के अध्ययन किए गए वर्गों की सीमाओं के रैखिक आयाम।

आइए हम मुख्य वेक्टर या मुख्य क्षण या ट्रैकिंग सिस्टम के समन्वय अक्षों के प्रक्षेपण की सकारात्मक दिशाएँ निर्धारित करें (चित्र 1 बी, सी):

इस मामले में, मुख्य वेक्टर के अनुमानों की सकारात्मक दिशाएं और सर्वो समन्वय प्रणाली की धुरी पर आंतरिक बलों का मुख्य क्षण सैद्धांतिक यांत्रिकी में स्थैतिक नियमों के अनुरूप है: बल के लिए - धुरी की सकारात्मक दिशा के साथ, के लिए क्षण - अक्ष के अंत से देखने पर वामावर्त घूर्णन। इन्हें इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:

एन एक्स- सामान्य शक्ति, केंद्रीय तनाव या संपीड़न का संकेत;

एम एक्स - आंतरिक टॉर्क, मरोड़ के दौरान होता है;

क्यू जेड , क्यू पर- अनुप्रस्थ या कतरनी बल - कतरनी विकृतियों का संकेत,

एम पर , एम जेड- आंतरिक झुकने के क्षण, झुकने के अनुरूप।

बीम के बाएं और दाएं मानसिक रूप से कटे हुए हिस्सों का कनेक्शन आंतरिक बलों के समान नाम के सभी घटकों के परिमाण और विपरीत दिशा में समानता के प्रसिद्ध (3) सिद्धांत और संतुलन की स्थिति की ओर जाता है। बीम को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

संबंध 3,4,5 के स्वाभाविक परिणाम के रूप में, परिणामी स्थिति आंतरिक बलों के समान घटकों के लिए जोड़े में शून्य के बराबर बलों के उपप्रणाली बनाने के लिए आवश्यक है:

सांख्यिकीय रूप से परिभाषित समस्याओं में आंतरिक बलों (छह) की कुल संख्या बलों की एक स्थानिक प्रणाली के लिए संतुलन समीकरणों की संख्या के साथ मेल खाती है और दूसरे के संबंध में शरीर के एक सशर्त रूप से कटे हुए हिस्से के संभावित पारस्परिक आंदोलनों की संख्या से जुड़ी होती है। .

समन्वय अक्षों की ट्रैकिंग प्रणाली में किसी भी कट-ऑफ हिस्से के लिए आवश्यक बल संबंधित समीकरणों से निर्धारित किए जाते हैं। इस प्रकार, किसी भी कट-ऑफ भाग के लिए, संबंधित संतुलन समीकरण रूप लेते हैं;

यहां, समन्वय प्रणाली संकेतन की सरलता के लिए सी" एक्स" वाई" जेड"और सी"एक्स"वाई"टी"एकल द्वारा प्रतिस्थापित ऑक्सीज़.

किसी प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय से, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।

1. मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण (20) से यह निष्कर्ष निकलता है कि इस मामले में, यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का योग शून्य के बराबर है, तो सिस्टम का संवेग वेक्टर परिमाण और दिशा में स्थिर रहेगा।

2. मान लीजिए कि सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी ताकतें ऐसी हैं कि किसी अक्ष पर उनके प्रक्षेपणों का योग (उदाहरण के लिए, ) शून्य के बराबर है:

फिर समीकरण (20) से यह पता चलता है कि इस मामले में, यदि किसी अक्ष पर सभी कार्यशील बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है, तो इस अक्ष पर सिस्टम की गति का प्रक्षेपण एक स्थिर मान है।

ये परिणाम प्रणाली के संवेग के संरक्षण के नियम को व्यक्त करते हैं। उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि आंतरिक बल प्रणाली की गति की मात्रा को नहीं बदल सकते। आइए कुछ उदाहरण देखें.

पीछे हटने या पीछे हटने की घटना। यदि हम राइफल और गोली को एक प्रणाली मानते हैं, तो शॉट के दौरान पाउडर गैसों का दबाव एक आंतरिक बल होगा। यह बल स्लग के शॉट के बराबर सिस्टम की गति की मात्रा को नहीं बदल सकता है। लेकिन चूंकि पाउडर गैसें, गोली पर कार्य करते हुए, उसे आगे की दिशा में एक निश्चित मात्रा में गति प्रदान करती हैं, उन्हें एक साथ राइफल को विपरीत दिशा में समान मात्रा में गति प्रदान करनी चाहिए। इससे राइफल पीछे की ओर खिसक जाएगी, जिसे रिकॉइल कहा जाता है। इसी तरह की घटना बंदूक से फायरिंग (रोलबैक) करते समय होती है।

प्रोपेलर (प्रोपेलर) का संचालन। प्रोपेलर प्रोपेलर की धुरी के साथ हवा (या पानी) के एक निश्चित द्रव्यमान को गति प्रदान करता है, इस द्रव्यमान को वापस फेंकता है। यदि हम फेंके गए द्रव्यमान और विमान (या जहाज) को एक प्रणाली के रूप में मानते हैं, तो प्रोपेलर और पर्यावरण के बीच आंतरिक के रूप में बातचीत की ताकतें, इस प्रणाली की गति की कुल मात्रा को नहीं बदल सकती हैं। इसलिए, जब हवा (पानी) का एक द्रव्यमान वापस फेंका जाता है, तो विमान (या जहाज) को एक समान आगे की गति प्राप्त होती है, जैसे कि विचाराधीन प्रणाली की गति की कुल मात्रा शून्य के बराबर रहती है, क्योंकि आंदोलन शुरू होने से पहले यह शून्य थी .

एक समान प्रभाव चप्पुओं या पैडल पहियों की क्रिया से प्राप्त होता है।

जेट इंजन। एक रॉकेट (रॉकेट) में, ईंधन के गैसीय दहन उत्पादों को रॉकेट की पूंछ में एक छेद (रॉकेट इंजन नोजल से) से उच्च गति से बाहर निकाला जाता है। इस मामले में कार्य करने वाले दबाव बल आंतरिक बल होंगे और रॉकेट प्रणाली - ईंधन दहन उत्पादों की गति को नहीं बदल सकते। लेकिन चूँकि बाहर निकलने वाली गैसों की गति एक निश्चित मात्रा में पीछे की ओर निर्देशित होती है, रॉकेट को आगे की ओर निर्देशित एक समान गति प्राप्त होती है। इस गति का परिमाण 114 में निर्धारित किया जाएगा।

कृपया ध्यान दें कि एक प्रोपेलर इंजन (पिछला उदाहरण) किसी वस्तु, जैसे कि हवाई जहाज, को उस माध्यम के कणों को वापस फेंककर गति प्रदान करता है जिसमें वह घूम रहा है। वायुहीन अंतरिक्ष में ऐसी गति असंभव है। एक जेट इंजन इंजन में उत्पन्न द्रव्यमान (दहन उत्पादों) को वापस फेंककर गति प्रदान करता है। यह गति हवा और वायुहीन अंतरिक्ष दोनों में समान रूप से संभव है।

समस्याओं को हल करते समय, प्रमेय का अनुप्रयोग हमें सभी आंतरिक शक्तियों को विचार से बाहर करने की अनुमति देता है। इसलिए, किसी को विचाराधीन प्रणाली को इस तरह से चुनने का प्रयास करना चाहिए कि पहले से अज्ञात सभी (या उसके कुछ हिस्से) बलों को आंतरिक बना दिया जाए।

संवेग संरक्षण का नियम उन मामलों में लागू करना सुविधाजनक होता है, जहां सिस्टम के एक हिस्से की अनुवादिक गति को बदलकर, दूसरे हिस्से की गति निर्धारित करना आवश्यक होता है। विशेष रूप से, प्रभाव सिद्धांत में इस कानून का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

समस्या 126. द्रव्यमान की एक गोली, गति के साथ क्षैतिज रूप से उड़ती हुई, एक ट्रॉली पर लगे रेत के बक्से से टकराती है (चित्र 289)। टक्कर के बाद गाड़ी किस गति से चलना शुरू करेगी, यदि डिब्बे के साथ गाड़ी का द्रव्यमान बराबर है

समाधान। हम बुलेट और कार्ट को एक प्रणाली के रूप में मानेंगे। यह हमें समस्या को हल करते समय बॉक्स से टकराने पर उत्पन्न होने वाली ताकतों को खत्म करने की अनुमति देगा। क्षैतिज अक्ष ऑक्स पर सिस्टम पर लागू बाहरी बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है। इसलिए, या प्रभाव से पहले सिस्टम की गति की मात्रा कहां है; - झटका के बाद.

चूंकि टक्कर से पहले गाड़ी गतिहीन है, तो।

टक्कर के बाद गाड़ी और गोली एक समान गति से चलती हैं, जिसे हम v से दर्शाते हैं। तब ।

भावों के दाएँ पक्ष की बराबरी करने पर, हम पाते हैं

समस्या 127. बंदूक की मुक्त पुनरावृत्ति गति निर्धारित करें यदि पुनरावृत्ति भागों का वजन पी के बराबर है, प्रक्षेप्य का वजन है, और बैरल के सापेक्ष प्रक्षेप्य की गति प्रस्थान के समय के बराबर है।

समाधान। पाउडर गैसों के अज्ञात दबाव बलों को खत्म करने के लिए, प्रक्षेप्य और पीछे हटने वाले हिस्सों को एक प्रणाली के रूप में मानें।

आइए हम घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल समीकरण की ओर मुड़ें

और एक विशेष मामले पर विचार करें जब शरीर पर या तो बाहरी ताकतों द्वारा बिल्कुल भी कार्य नहीं किया जाता है, या वे ऐसे होते हैं कि उनका परिणाम घूर्णन की धुरी के सापेक्ष एक पल उत्पन्न नहीं करता है। तब

लेकिन यदि मात्रा में परिवर्तन शून्य है, तो, परिणामस्वरूप, मात्रा स्वयं स्थिर रहती है:

चावल। 66. कलाबाज़ी.

इसलिए, यदि शरीर पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है (या घूर्णन अक्ष के सापेक्ष उनका परिणामी क्षण शून्य है), तो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष शरीर का कोणीय संवेग अपरिवर्तित रहता है। इस नियम को घूर्णन अक्ष के सापेक्ष कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम कहा जाता है

आइए हम कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम को दर्शाते हुए कई उदाहरण दें।

ओवरहेड जंप (चित्र 66) के दौरान, जिमनास्ट अपने हाथों और पैरों को अपने शरीर पर दबाता है। इससे इसकी जड़ता का क्षण कम हो जाता है,

और चूंकि उत्पाद अपरिवर्तित रहना चाहिए, घूर्णन का कोणीय वेग बढ़ जाता है, और थोड़े समय में जब जिमनास्ट हवा में होता है, तो वह पूर्ण घूर्णन करने में सफल हो जाता है।

गेंद को एक छड़ी के चारों ओर लपेटे गए धागे से बांधा जाता है; जैसे-जैसे धागे की लंबाई घटती है, गेंद का जड़त्व आघूर्ण कम होता जाता है और इसलिए, कोणीय वेग बढ़ता है।

चावल। 67 ज़ुकोवस्की बेंच पर खड़े एक आदमी का घूमना। यदि वह अपनी भुजाएं नीचे करेगा तो गति तेज हो जाएगी और यदि वह उन्हें ऊपर उठाएगा तो धीमी हो जाएगी।

चावल। 68. यदि हम साइकिल के पहिये को अपने सिर के ऊपर उठाकर उसे घुमाने के लिए सेट करें, तो हम स्वयं, प्लेटफ़ॉर्म के साथ, विपरीत दिशा में घूमना शुरू कर देंगे।

बॉल बेयरिंग (ज़ुकोवस्की बेंच) पर घूमने वाले प्लेटफ़ॉर्म पर खड़े होकर कई दिलचस्प प्रयोग किए जा सकते हैं। चित्र में. चित्र 67 और 68 इनमें से कुछ प्रयोगों को दर्शाते हैं।

पिछले पैराग्राफ में प्राप्त समीकरणों की तुलना रेक्टिलिनियर ट्रांसलेशनल गति के नियमों के साथ करने पर, यह नोटिस करना आसान है कि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति निर्धारित करने वाले सूत्र रेक्टिलिनियर ट्रांसलेशनल गति के सूत्रों के समान हैं।

निम्न तालिका उन मूल मात्राओं और समीकरणों की तुलना करती है जो इन आंदोलनों को निर्धारित करते हैं:

(स्कैन देखें)

जाइरोस्कोप। प्रतिक्रियाशील जाइरोस्कोपिक प्रभाव.पूर्ण समरूपता (मुक्त अक्ष) के अक्ष के चारों ओर उच्च कोणीय वेग से घूमने वाले कठोर पिंड को जाइरोस्कोप कहा जाता है। कोणीय गति वेक्टर के संरक्षण के नियम के अनुसार, जाइरोस्कोप अंतरिक्ष में अपने घूर्णन अक्ष की दिशा को अपरिवर्तित बनाए रखने का प्रयास करता है और अधिक स्थिरता प्रदर्शित करता है (यानी, घूर्णन अक्ष के घूर्णन के लिए जितना अधिक प्रतिरोध), उतना ही अधिक इसका क्षण जड़ता और घूर्णन का कोणीय वेग जितना अधिक होगा।

जब हम किसी विशाल स्थिर पिंड को अपनी फैली हुई भुजाओं में पकड़कर, उसे गति प्रदान करते हैं, उदाहरण के लिए, बाएं से दाएं, तो शरीर द्वारा विकसित जड़त्व बल हमें विपरीत दिशा में ले जाता है। जब हम घूमने वाले जाइरोस्कोप की धुरी को घुमाते हैं तो उसकी जड़त्वीय शक्तियों की अभिव्यक्ति अधिक जटिल और पहली नज़र में अप्रत्याशित हो जाती है। इसलिए, यदि हम अपने हाथों में जाइरोस्कोप के क्षैतिज रूप से निर्देशित घूर्णन अक्ष को पकड़कर, अक्ष के एक सिरे को ऊपर उठाना और दूसरे को नीचे करना शुरू करते हैं, अर्थात अक्ष को ऊर्ध्वाधर तल में घुमाते हैं, तो हम महसूस करेंगे कि अक्ष डालता है हाथों पर दबाव ऊर्ध्वाधर में नहीं, बल्कि क्षैतिज तल में, हमारे एक हाथ को दबाना और दूसरे को खींचना। यदि दाईं ओर से देखने पर, जाइरोस्कोप का घूर्णन दक्षिणावर्त दिशा में होता हुआ दिखाई देता है (अर्थात, जाइरोस्कोप का कोणीय संवेग क्षैतिज रूप से बाईं ओर निर्देशित होता है), तो अक्ष के बाएँ सिरे को ऊपर उठाने का प्रयास किया जाता है। दाएँ को नीचे करने से अक्ष का बायाँ सिरा हमसे दूर एक क्षैतिज तल में चला जाता है, और दायाँ - हम पर।

जाइरोस्कोप की इस प्रतिक्रिया (तथाकथित जाइरोस्कोपिक प्रभाव) को जाइरोस्कोप की अपने कोणीय गति को अपरिवर्तित रखने की इच्छा से समझाया जाता है, और इसके अलावा, इसे न केवल परिमाण में, बल्कि दिशा में भी अपरिवर्तित रखने के लिए। वास्तव में, जब ऊर्ध्वाधर तल में जाइरोस्कोप के घूर्णन अक्ष को ऊपर वर्णित कोण a (चित्र 69) द्वारा ऊर्ध्वाधर तल में घुमाया जाता है, तो कोणीय गति ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तित रहने के लिए, जाइरोस्कोप को इसके चारों ओर अतिरिक्त घूर्णन प्राप्त करना होगा। एक कोणीय गति के साथ ऊर्ध्वाधर अक्ष जैसे कि ज्यामितीय रूप से

इस कारण से, एक घूमने वाला जाइरोस्कोप, एक वजन के साथ एक गतिशील अक्ष पर संतुलित (चित्र 70), अतिरिक्त प्राप्त करता है

एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमना यदि जाइरोस्कोप को संतुलित करने वाले वजन को अक्ष के आधार से थोड़ा दूर ले जाया जाता है (पुनर्संतुलन द्वारा, वजन अक्ष पर एक निश्चित झुकाव प्रदान करता है, जिसके कारण जाइरोस्कोप अक्ष आधार के चारों ओर उस दिशा में घूमता है जो चित्र 69 में वेक्टर की दिशा से मेल खाती है।

इसी कारण से, शीर्ष की धुरी, गुरुत्वाकर्षण की उलटी क्रिया के कारण, एक गोलाकार गति प्राप्त कर लेती है, जिसे पूर्वसरण कहा जाता है (चित्र 71)।

इसलिए, यदि घूमने वाले जाइरोस्कोप पर कुछ बल लगाए जाते हैं, जो इसे घूर्णन की धुरी के लंबवत अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो जाइरोस्कोप वास्तव में घूमेगा, लेकिन केवल तीसरे अक्ष के चारों ओर, पहले दो के लंबवत। घूमने वाले जाइरोस्कोप को घुमाने के लिए (उदाहरण के लिए, चित्र 72 में दिखाई गई दिशा में), आपको घूर्णन की दिशा के लंबवत समतल में जाइरोस्कोप की धुरी पर टॉर्क लगाने की जरूरत है।

चावल। 71. शीर्ष की गति की योजना।

ऊपर वर्णित घटनाओं के समान घटनाओं के अधिक विस्तृत विश्लेषण से पता चलता है कि जाइरोस्कोप अपने घूर्णन अक्ष को इस तरह से स्थित करता है कि यह मजबूर घूर्णन के अक्ष के साथ सबसे छोटा संभव कोण बनाता है और दोनों घूर्णन एक ही दिशा में होते हैं।

जाइरोस्कोप की इस संपत्ति का उपयोग जाइरोस्कोपिक कंपास में किया जाता है, जो विशेष रूप से नौसेना में व्यापक हो गया है। जाइरोकम्पास एक तेजी से घूमने वाला शीर्ष (25,000 आरपीएम तक चलने वाली तीन-चरण वर्तमान मोटर) है, जो पारा के साथ एक बर्तन में एक विशेष फ्लोट पर तैरता है और जिसकी धुरी मेरिडियन के विमान में सेट होती है। इस मामले में, बाहरी टॉर्क का स्रोत अपनी धुरी के चारों ओर पृथ्वी का दैनिक घूर्णन है। इसकी क्रिया के तहत, जाइरोस्कोप के घूर्णन की धुरी पृथ्वी के घूर्णन की धुरी के साथ दिशा में मेल खाती है, और चूंकि पृथ्वी का घूर्णन लगातार जाइरोस्कोप पर कार्य करता है, जाइरोस्कोप की धुरी अंततः इस स्थिति को ले लेती है, अर्थात। मेरिडियन के साथ स्थापित है, और एक नियमित चुंबकीय सुई की तरह पूरी तरह से इसमें रहता है।

जाइरोस्कोप का उपयोग अक्सर स्टेबलाइजर्स के रूप में किया जाता है। इन्हें समुद्र में जाने वाले जहाजों पर पिचिंग को कम करने के लिए स्थापित किया जाता है।

सिंगल-रेल रेलवे के लिए स्टेबलाइज़र भी डिज़ाइन किए गए थे; सिंगल-रेल कार के अंदर रखा गया एक विशाल, तेजी से घूमने वाला जाइरोस्कोप कार को पलटने से रोकता है। जाइरोस्कोपिक स्टेबलाइजर्स के लिए रोटर्स का निर्माण 1 से 100 टन या उससे अधिक वजन के साथ किया जाता है।

टॉरपीडो में, जाइरोस्कोपिक उपकरण, स्वचालित रूप से स्टीयरिंग पर कार्य करते हुए, शॉट की दिशा में टारपीडो की सीधी गति सुनिश्चित करते हैं।

चावल। 73. पृथ्वी की धुरी का पूर्वगमन।

पृथ्वी का दैनिक घूर्णन इसे जाइरोस्कोप के समान बनाता है। चूँकि पृथ्वी एक गोला नहीं है, बल्कि एक दीर्घवृत्ताभ के करीब एक आकृति है, सूर्य का आकर्षण एक परिणामी बल बनाता है जो पृथ्वी के द्रव्यमान के केंद्र से नहीं गुजरता है (जैसा कि एक गोले के मामले में होगा)। परिणामस्वरूप, एक बलाघूर्ण उत्पन्न होता है जो पृथ्वी के घूर्णन अक्ष को उसकी कक्षा के तल के लंबवत घुमाता है (चित्र 73)। इस संबंध में, पृथ्वी की धुरी पूर्ववर्ती गति (लगभग 25,800 वर्षों में पूर्ण घूर्णन के साथ) का अनुभव करती है।