Checkmate хүлээлтийг хэрхэн тооцоолох вэ. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Хүлээлт ба дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тоон шинж чанар юм. Эдгээр нь тархалтын хамгийн чухал шинж чанаруудыг тодорхойлдог: түүний байрлал, тархалтын зэрэг. Олон практик асуудалд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн, бүрэн гүйцэд шинж чанар буюу тархалтын хуулийг олж авах боломжгүй эсвэл огт хэрэггүй болно. Эдгээр тохиолдолд тоон шинж чанарыг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний ойролцоо тодорхойлолтоор хязгаарлагдана.

Хүлээгдэж буй утгыг ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт нь тархалтын шинж чанар, санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тойрон тархах явдал юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын механик тайлбар дээр үндэслэн математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзье. Нэгж массыг x тэнхлэгийн цэгүүдийн хооронд тараацгаая x1 , x 2 , ..., x n, мөн материаллаг цэг бүр нь харгалзах масстай х1 , х 2 , ..., х n. Материалын цэгүүдийн бүхэл системийн байрлалыг тэдгээрийн массыг харгалзан абсцисса тэнхлэг дээр нэг цэгийг сонгох шаардлагатай. Материаллаг цэгүүдийн системийн массын төвийг ийм цэг болгон авах нь зүйн хэрэг юм. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний жигнэсэн дундаж юм X, аль нь цэг бүрийн абсцисс xбихаргалзах магадлалтай тэнцэх "жин"-ээр ордог. Ийм аргаар олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга Xтүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба эдгээр утгуудын магадлал юм.

Жишээ 1.Хож-хож сугалаа зохион байгууллаа. 1000 хожил байгаа бөгөөд үүнээс 400 нь 10 рубль юм. Тус бүр нь 300-20 рубль. Тус бүр нь 200-100 рубль. тус бүр 100 - 200 рубль байна. Нэг тасалбар худалдаж авсан хүний ​​дундаж хожлын хэмжээ хэд вэ?

Шийдэл. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 рубль болох нийт хожлын дүнг 1000-д (нийт хожлын дүн) хуваавал бид дундаж хожлыг олох болно. Дараа нь бид 50000/1000 = 50 рубль авна. Гэхдээ дундаж ялалтыг тооцоолох илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Нөгөөтэйгүүр, эдгээр нөхцөлд ялалтын хэмжээ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд 10, 20, 100, 200 рублийн утгыг авч болно. магадлал нь 0.4-тэй тэнцүү; 0.3; 0.2; 0.1. Тиймээс хүлээгдэж буй дундаж ялалт нь хожлын хэмжээ ба тэдгээрийг хүлээн авах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 2.Хэвлэлийн газар шинэ ном гаргахаар шийджээ. Тэрээр уг номоо 280 рублиэр зарахаар төлөвлөж байгаа бөгөөд үүнээс 200-г нь өөрөө, 50-г нь номын дэлгүүр, 30-ыг нь зохиолч авах юм байна. Хүснэгтэд ном хэвлэх зардал, номыг тодорхой тооны хувь борлуулах магадлалын талаархи мэдээллийг өгсөн болно.

Нийтлэгчийн хүлээгдэж буй ашгийг олоорой.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн "ашиг" нь борлуулалтаас олсон орлого ба зардлын зардлын зөрүүтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 500 хувь ном зарагдсан бол борлуулалтын орлого нь 200 * 500 = 100,000, хэвлэх зардал нь 225,000 рубль болно. Тиймээс нийтлэгч 125,000 рублийн алдагдал хүлээж байна. Дараахь хүснэгтэд санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утгуудыг нэгтгэн харуулав - ашиг.

ТооАшиг xби Магадлал хби xби хби
500 -125000 0,20 -25000
1000 -50000 0,40 -20000
2000 100000 0,25 25000
3000 250000 0,10 25000
4000 400000 0,05 20000
Нийт: 1,00 25000

Тиймээс бид нийтлэгчийн ашгийн математикийн хүлээлтийг олж авдаг.

.

Жишээ 3.Нэг цохилтоор цохих магадлал х= 0.2. 5-тай тэнцэх цохилтын тоог математикийн таамаглалаар хангадаг сумны хэрэглээг тодорхойл.

Шийдэл. Бидний өнөөг хүртэл хэрэглэж байсан математикийн хүлээлтийн томъёоноос бид илэрхийлж байна x- бүрхүүлийн хэрэглээ:

.

Жишээ 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл xГурван цохилттой цохилтын тоо, хэрэв шидэлт болгонд онох магадлал х = 0,4 .

Зөвлөмж: санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн магадлалыг олох Бернуллигийн томъёо .

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг авч үзье.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ тогтмолтой тэнцүү байна:

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно.

Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн (ялгаа) математикийн хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Эд хөрөнгө 5.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд Xижил тоогоор буурах (өсөх). ХАМТ, дараа нь түүний математик хүлээлт ижил тоогоор буурах (өсөх) болно:

Зөвхөн математикийн хүлээлтээр өөрийгөө хязгаарлаж чадахгүй байх үед

Ихэнх тохиолдолд зөвхөн математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хангалттай тодорхойлж чадахгүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг үзье XТэгээд ЮДараахь хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн:

Утга X Магадлал
-0,1 0,1
-0,01 0,2
0 0,4
0,01 0,2
0,1 0,1
Утга Ю Магадлал
-20 0,3
-10 0,1
0 0,2
10 0,1
20 0,3

Эдгээр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил байна - тэгтэй тэнцүү:

Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн тархалтын хэв маяг өөр өөр байдаг. Санамсаргүй утга Xзөвхөн математикийн хүлээлтээс бага зэрэг ялгаатай утгууд болон санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч болно Юматематикийн хүлээлтээс ихээхэн зөрүүтэй утгыг авч болно. Үүнтэй төстэй жишээ: дундаж цалин нь өндөр, бага цалинтай ажилчдын эзлэх хувийг үнэлэх боломжгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, математикийн хүлээлтээс дор хаяж дунджаар ямар хазайлт гарах боломжтойг дүгнэж болохгүй. Үүнийг хийхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олох хэрэгтэй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс

Зөрчилдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн XМатематикийн хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт Xтүүний дисперсийн квадрат язгуурын арифметик утгыг:

.

Жишээ 5.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох XТэгээд Ю, тархалтын хуулиудыг дээрх хүснэгтэд өгсөн болно.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт XТэгээд Ю, дээр дурдсанчлан, тэгтэй тэнцүү байна. Цагийн тархалтын томъёоны дагуу Э(X)=Э(y)=0 бид дараахыг авна:

Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт XТэгээд Юбүрдүүлэх

.

Тиймээс ижил математикийн хүлээлттэй, санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс Xмаш жижиг боловч санамсаргүй хэмжигдэхүүн Ю- чухал ач холбогдолтой. Энэ нь тэдний тархалтын ялгааны үр дагавар юм.

Жишээ 6.Хөрөнгө оруулагч нь өөр хөрөнгө оруулалтын 4 төсөлтэй. Хүснэгтэд эдгээр төслүүдийн хүлээгдэж буй ашгийг холбогдох магадлалаар нэгтгэн харуулав.

Төсөл 1Төсөл 2Төсөл 3Төсөл 4
500, П=1 1000, П=0,5 500, П=0,5 500, П=0,5
0, П=0,5 1000, П=0,25 10500, П=0,25
0, П=0,25 9500, П=0,25

Альтернатив тус бүрийн математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.

Шийдэл. Гурав дахь хувилбарт эдгээр утгыг хэрхэн тооцдог болохыг харуулъя.

Хүснэгтэд бүх хувилбаруудын олсон утгыг нэгтгэн харуулав.

Бүх хувилбарууд нь ижил математикийн хүлээлттэй байдаг. Энэ нь урт хугацаанд бүгд ижил орлоготой байна гэсэн үг. Стандарт хазайлтыг эрсдэлийн хэмжүүр гэж тайлбарлаж болно - энэ нь өндөр байх тусам хөрөнгө оруулалтын эрсдэл нэмэгддэг. Хамгийн бага стандарт хазайлттай (0) учир нэг их эрсдэл хүсэхгүй хөрөнгө оруулагч 1-р төслийг сонгоно. Хэрэв хөрөнгө оруулагч богино хугацаанд эрсдэл, өндөр өгөөжийг илүүд үздэг бол тэрээр хамгийн том стандарт хазайлттай төслийг сонгох болно - төсөл 4.

Тархалтын шинж чанарууд

Дисперсийн шинж чанарыг танилцуулъя.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тогтмол утгын дисперс нь тэг байна:

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.Тогтмол хүчин зүйлийг квадрат болгож дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно.

.

Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь энэ утгын квадратын математик хүлээлттэй тэнцүү бөгөөд үүнээс тухайн утгын математик хүлээлтийн квадратыг хасна.

,

Хаана .

Үл хөдлөх хөрөнгө 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа) нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна:

Жишээ 7.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг мэддэг Xзөвхөн хоёр утгыг авна: −3 ба 7. Үүнээс гадна математикийн хүлээлт мэдэгдэж байна: Э(X) = 4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Шийдэл. -ээр тэмдэглэе хсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авах магадлал x1 = −3 . Дараа нь үнэ цэнийн магадлал x2 = 7 1 - байх болно х. Математикийн хүлээлтийн тэгшитгэлийг гаргая:

Э(X) = x 1 х + x 2 (1 − х) = −3х + 7(1 − х) = 4 ,

Бид магадлалыг хаанаас авах вэ: х= 0.3 ба 1 − х = 0,7 .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:

X −3 7
х 0,3 0,7

Бид энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн дисперсийн 3-р шинж чанарын томъёог ашиглан тооцоолно.

Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 8.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xзөвхөн хоёр утгыг авдаг. Энэ нь 0.4 магадлалтайгаар 3-ын их утгыг хүлээн авдаг. Үүнээс гадна санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг мэддэг Д(X) = 6. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Жишээ 9.Нэг саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөг байна. Урдаас 3 бөмбөг сугалж авдаг. Сугалсан бөмбөгнүүдийн дундах цагаан бөмбөгний тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг ол.

Шийдэл. Санамсаргүй утга X 0, 1, 2, 3 гэсэн утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг дараахаас тооцоолж болно магадлалыг үржүүлэх дүрэм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:

X 0 1 2 3
х 1/30 3/10 1/2 1/6

Иймээс энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт:

М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь:

Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба дисперс

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математик хүлээлтийн механик тайлбар нь ижил утгыг хадгалах болно: нягтралтай x тэнхлэгт тасралтгүй тархсан нэгж массын массын төв. е(x). Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс ялгаатай нь функц нь аргумент юм xбигэнэт өөрчлөгддөг; тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд аргумент тасралтгүй өөрчлөгддөг. Гэхдээ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь түүний дундаж утгатай бас холбоотой.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг олохын тулд тодорхой интегралуудыг олох хэрэгтэй. . Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц өгөгдсөн бол энэ нь интегралд шууд орно. Хэрэв магадлалын тархалтын функц өгөгдсөн бол түүнийг ялгах замаар нягтын функцийг олох хэрэгтэй.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын арифметик дундажийг түүний гэж нэрлэдэг математикийн хүлээлт, эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Дискрет магадлалын орон зайд өгөгдсөн X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт (дундаж утга) нь цуваа үнэмлэхүй нийлдэг бол m =M[X]=∑x i p i тоо байна.

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн үйлчилгээг ашиглах математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг тооцдог(жишээг үзнэ үү). Үүнээс гадна F(X) тархалтын функцийн графикийг зурсан.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд

  1. Тогтмол утгын математик хүлээлт нь өөртэй нь тэнцүү байна: M[C]=C, C – тогтмол;
  2. M=C M[X]
  3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M=M[X]+M[Y]
  4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: M=M[X] M[Y] , хэрэв X ба Y нь бие даасан байвал.

Тархалтын шинж чанарууд

  1. Тогтмол утгын дисперс нь тэг: D(c)=0.
  2. Тогтмол хүчин зүйлийг дисперсийн тэмдгийн доор квадрат болгож авч болно: D(k*X)= k 2 D(X).
  3. Хэрэв X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
  4. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай бол: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
  5. Дараах тооцооллын томъёо нь тархалтын хувьд хүчинтэй байна.
    D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Жишээ. X ба Y бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсүүд мэдэгдэж байна: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарт үндэслэн: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Дисперсийн шинж чанарт үндэслэн: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд: тэдгээрийн бүх утгыг натурал тоогоор дахин дугаарлаж болно; Утга бүрт тэгээс өөр магадлалыг оноо.
  1. Бид хосуудыг нэг нэгээр нь үржүүлдэг: x i-ээр p i .
  2. Хос бүрийн үржвэрийг нэмнэ x i p i .
    Жишээлбэл, n = 4-ийн хувьд: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцалхам алхмаар эерэг магадлал бүхий цэгүүдэд огцом нэмэгддэг.

Жишээ №1.

x i 1 3 4 7 9
p i 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3

Бид m = ∑x i p i томъёог ашиглан математикийн хүлээлтийг олно.
Хүлээлт M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Бид d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 томъёог ашиглан дисперсийг олно.
D[X] зөрүү.
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Стандарт хазайлт σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Жишээ №2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах тархалтын цуваатай байна.

X -10 -5 0 5 10
Р А 0,32 2а 0,41 0,03
Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт, стандарт хазайлтыг a-ийн утгыг ол.

Шийдэл. a-ийн утгыг Σp i = 1 гэсэн хамаарлаас олно
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 эсвэл 0.24=3 a , эндээс a = 0.08

Жишээ №3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний диссертаци нь мэдэгдэж байгаа бол түүний тархалтын хуулийг тодорхойл, x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3
d(x)=12.96

Шийдэл.
Энд та d(x) дисперсийг олох томъёог үүсгэх хэрэгтэй:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
Энд хүлээлт m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Бидний мэдээллийн хувьд
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
эсвэл -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Үүний дагуу бид тэгшитгэлийн үндсийг олох хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь байх болно.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 нөхцөлийг хангасаныг сонгоно уу x 3 =12

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бүрэн гүйцэд шинж чанар нь тархалтын хууль юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь үргэлж мэдэгддэггүй бөгөөд эдгээр тохиолдолд хүн бага мэдээлэлд сэтгэл хангалуун байх ёстой. Ийм мэдээлэлд: санамсаргүй хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хүрээ, түүний хамгийн том (хамгийн бага) утга, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хураангуй байдлаар дүрсэлсэн бусад шинж чанарууд орно. Эдгээр бүх хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг тоон шинж чанарсанамсаргүй хувьсагч. Ихэвчлэн эдгээр нь зарим нь юм санамсаргүй бусямар нэгэн байдлаар санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог тоонууд. Тоон шинж чанарын гол зорилго нь тодорхой тархалтын хамгийн чухал шинж чанарыг товч хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн энгийн тоон шинж чанар Xтүүнийг дуудсан хүлээгдэж буй үнэ цэнэ:

M(X)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n. (1.3.1)

Энд x 1, x 2, …, x n- санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд X, А х 1, х 2, …, р n- тэдний магадлал.

Жишээ 1.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь мэдэгдэж байгаа бол түүний математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.

Жишээ 2. Үйл явдал тохиолдох тооны математик хүлээлтийг ол Анэг туршилтаар, хэрэв энэ үйл явдлын магадлал тэнцүү бол Р.

Шийдэл. Хэрэв X- үйл явдлын тохиолдлын тоо Анэг тест, дараа нь, ойлгомжтой, түгээлтийн хууль Xхэлбэртэй байна:

Дараа нь M(X)=0×(1–р)+1×р=р.

Тэгэхээр: нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын тооны математик хүлээлт нь түүний магадлалтай тэнцүү байна.

Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга

Үүнийг үйлдвэрлэе nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн бүхий тестүүд Xхүлээн зөвшөөрсөн м 1дахин үнэ цэнэ x 1, м 2дахин үнэ цэнэ x 2, …, м кдахин үнэ цэнэ х к. Дараа нь бүх утгуудын нийлбэр nтуршилтууд тэнцүү байна:

x 1 м 1 +x 2 м 2 +…+x k m k.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний авсан бүх утгын арифметик дундажийг олцгооё.

Утга - утга үүсэх харьцангуй давтамж x i (i=1, …, k). Хэрэв nхангалттай том (n®¥), тэгвэл эдгээр давтамжууд нь магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна: . Харин дараа нь

=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).

Тиймээс математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна (илүү нарийвчлалтай, тестийн тоо их байх болно). Энэ бол математикийн хүлээлтийн магадлалын утга юм.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд

1. Тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна.

M(C)=C×1=C.

2. Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж авч болно

M(CX)=C×M(X).

Баталгаа. Хуваарилалтын хуулиа гаргая Xхүснэгтээр өгсөн:

Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн CXүнэт зүйлсийг авдаг Cx 1, Cx 2, …, Сх n ижил магадлалтай, өөрөөр хэлбэл хуваарилалтын хууль CXхэлбэртэй байна:

M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =

=C(x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n)=CM(X).

3. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

M(XY)=M(X)×M(Y).

Энэ мэдэгдлийг нотлох баримтгүйгээр өгсөн (баталгаа нь математикийн хүлээлтийн тодорхойлолт дээр үндэслэсэн).

Үр дагавар. Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Ялангуяа гурван бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

Жишээ. Хоёр шоо шидэх үед гарч болох онооны тооны үржвэрийн математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл. Болъё X i- онооны тоо бияс. Энэ нь тоо байж болно 1 , 2 , …, 6 магадлал бүхий. Дараа нь

M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

Болъё X=X 1 ×X 2. Дараа нь

M(X)=M(X 1)×M(X 2)= =12.25.

4. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (бие даасан эсвэл хамааралтай) нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Энэ шинж чанарыг дурын тооны нэр томъёоны хувьд ерөнхийд нь авч үздэг.

Жишээ. 3 удаагийн буудлага нь бай онох магадлалтай тэнцүү байна p 1 =0.4, p 2 =0.3Тэгээд p 3 =0.6. Нийт цохилтын тооны математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл. Болъё X i- цохилтын тоо би--р цохилт. Дараа нь

М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.

Тиймээс,

M(X 1 +X 2 +X 3)= =0.4+0.3+0.6=1.3.

Математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг үхэл шидэх жишээн дээр авч үзэж болно. Шидэх болгонд унасан оноог бүртгэнэ. Тэдгээрийг илэрхийлэхийн тулд 1-6 хүртэлх байгалийн утгыг ашигладаг.

Тодорхой тооны шидэлтийн дараа энгийн тооцооллыг ашиглан өнхрүүлсэн онооны арифметик дундажийг олох боломжтой.

Муж дахь утгуудын аль нэг нь тохиолдохтой адил энэ утга нь санамсаргүй байх болно.

Хэрэв та шидэлтийн тоог хэд дахин нэмэгдүүлбэл яах вэ? Олон тооны шидэлтийн үед онооны арифметик дундаж нь тодорхой тоонд ойртох бөгөөд үүнийг магадлалын онолоор математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг.

Тиймээс математикийн хүлээлт гэж бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгыг хэлж байна. Энэ үзүүлэлтийг мөн боломжит утгын жигнэсэн нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ ойлголт нь хэд хэдэн ижил утгатай:

  • дундаж үнэ цэнэ;
  • дундаж үнэ цэнэ;
  • төв хандлагын үзүүлэлт;
  • эхний мөч.

Өөрөөр хэлбэл, энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд тархсан тооноос өөр зүйл биш юм.

Хүний үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт математикийн хүлээлтийг ойлгох хандлага арай өөр байх болно.

Үүнийг дараах байдлаар авч үзэж болно.

  • Ийм шийдвэрийг олон тооны онолын үүднээс авч үзвэл шийдвэр гаргаснаас олж авсан дундаж ашиг;
  • бооцоо тус бүрээр дунджаар тооцсон хожих, ялагдах боломжит хэмжээ (мөрийтэй тоглоомын онол). Сленг хэлээр тэд "тоглогчийн давуу тал" (тоглогчийн хувьд эерэг) эсвэл "казиногийн давуу тал" (тоглогчийн хувьд сөрөг) мэт сонсогддог;
  • ялалтаас авсан ашгийн хувь.

Бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд хүлээлт заавал байх албагүй. Харгалзах нийлбэр эсвэл интегралын зөрүүтэй хүмүүст энэ нь байхгүй.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд

Аливаа статистик үзүүлэлтийн нэгэн адил математикийн хүлээлт нь дараахь шинж чанартай байдаг.


Математикийн хүлээлтийн үндсэн томъёо

Математикийн хүлээлтийн тооцоог тасралтгүй (томьёо А) ба салангид (томьёо В) хоёуланг нь тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хийж болно.

  1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, энд xi нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга, pi нь магадлал:
  2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, энд f(x) нь өгөгдсөн магадлалын нягт юм.

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох жишээ

Жишээ А.

Цасан цагааны тухай үлгэрийн одойнуудын дундаж өндрийг олж мэдэх боломжтой юу? 7 одой тус бүр тодорхой өндөртэй байсан нь мэдэгдэж байна: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 ба 0.81 м.

Тооцооллын алгоритм нь маш энгийн:

  • Бид өсөлтийн үзүүлэлтийн бүх утгын нийлбэрийг олдог (санамсаргүй хувьсагч):
    1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
  • Үүссэн дүнг гномуудын тоонд хуваа.
    6,31:7=0,90.

Тиймээс үлгэрт гардаг гномуудын дундаж өндөр нь 90 см байдаг.Өөрөөр хэлбэл энэ нь гномуудын өсөлтийн математикийн хүлээлт юм.

Ажлын томъёо - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

Математикийн хүлээлтийн практик хэрэгжилт

Математикийн хүлээлтийн статистик үзүүлэлтийг тооцоолохдоо практик үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт ашигладаг. Юуны өмнө бид арилжааны салбарын тухай ярьж байна. Эцсийн эцэст, Гюйгенс энэ үзүүлэлтийг нэвтрүүлсэн нь ямар нэгэн үйл явдлын хувьд таатай, эсвэл эсрэгээрээ тааламжгүй байх боломжийг тодорхойлохтой холбоотой юм.

Энэ параметрийг эрсдэлийг үнэлэх, ялангуяа санхүүгийн хөрөнгө оруулалт хийхэд өргөн хэрэглэгддэг.
Тиймээс бизнест математикийн хүлээлтийг тооцоолох нь үнийг тооцоолохдоо эрсдлийг үнэлэх арга хэрэгсэл болдог.

Энэ үзүүлэлтийг мөн тодорхой арга хэмжээний үр нөлөөг тооцоолоход ашиглаж болно, жишээлбэл, хөдөлмөр хамгаалал. Үүний ачаар та ямар нэгэн үйл явдал болох магадлалыг тооцоолж болно.

Энэ параметрийн хэрэглээний өөр нэг талбар бол менежмент юм. Үүнийг мөн бүтээгдэхүүний чанарын хяналтын үед тооцоолж болно. Жишээлбэл, дэвсгэр ашиглах. хүлээлт, та үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй хэсгүүдийн боломжит тоог тооцоолж болно.

Шинжлэх ухааны судалгааны явцад олж авсан үр дүнг статистик боловсруулахад математикийн хүлээлт зайлшгүй шаардлагатай болдог. Энэ нь зорилгодоо хүрэх түвшингээс хамааран туршилт, судалгааны үр дүнд хүссэн эсвэл хүсээгүй үр дүнгийн магадлалыг тооцоолох боломжийг олгодог. Эцсийн эцэст түүний ололт нь ашиг, ашиг тустай холбоотой байж болох бөгөөд түүний бүтэлгүйтэл нь алдагдал эсвэл алдагдалтай холбоотой байж болно.

Форекс дахь математикийн хүлээлтийг ашиглах

Валютын зах зээл дээр гүйлгээ хийхдээ энэхүү статистик үзүүлэлтийг практикт ашиглах боломжтой. Түүний тусламжтайгаар та худалдааны гүйлгээний амжилтыг шинжлэх боломжтой. Түүгээр ч зогсохгүй хүлээлтийн үнэ цэнэ өсөх нь тэдний амжилт нэмэгдэж байгааг илтгэнэ.

Математикийн хүлээлтийг арилжаачдын гүйцэтгэлд дүн шинжилгээ хийхэд ашигладаг цорын ганц статистик үзүүлэлт гэж үзэх ёсгүй гэдгийг санах нь чухал юм. Дундаж утгын хамт хэд хэдэн статистик үзүүлэлтийг ашиглах нь шинжилгээний нарийвчлалыг ихээхэн нэмэгдүүлдэг.

Энэ параметр нь арилжааны дансны ажиглалтыг хянахад сайнаар нотлогдсон. Үүний ачаар хадгаламжийн дансанд хийгдсэн ажлын үнэлгээг хурдан хийдэг. Худалдаачны үйл ажиллагаа амжилттай болж, алдагдлаас зайлсхийсэн тохиолдолд зөвхөн математикийн хүлээлтийн тооцоог ашиглахыг зөвлөдөггүй. Эдгээр тохиолдолд эрсдлийг тооцдоггүй бөгөөд энэ нь шинжилгээний үр нөлөөг бууруулдаг.

Худалдаачдын тактикийн судалгаа нь дараахь зүйлийг харуулж байна.

  • Хамгийн үр дүнтэй тактикууд нь санамсаргүй оруулгад суурилсан тактикууд юм;
  • Хамгийн бага үр дүнтэй нь бүтэцтэй орцод суурилсан тактикууд юм.

Эерэг үр дүнд хүрэхийн тулд дараахь зүйлс чухал юм.

  • мөнгөний менежментийн тактик;
  • гарах стратеги.

Математикийн хүлээлт гэх мэт үзүүлэлтийг ашигласнаар та 1 долларын хөрөнгө оруулалт хийхэд ямар ашиг, алдагдал гарахыг урьдчилан таамаглах боломжтой. Казинод тоглодог бүх тоглоомд тооцсон энэ үзүүлэлт нь байгууллагыг дэмжиж байгаа нь мэдэгдэж байна. Энэ нь танд мөнгө олох боломжийг олгодог. Урт цуврал тоглоомуудын хувьд үйлчлүүлэгч мөнгө алдах магадлал эрс нэмэгддэг.

Мэргэжлийн тоглогчдын тоглодог тоглоомууд богино хугацаанд хязгаарлагддаг бөгөөд энэ нь ялах магадлалыг нэмэгдүүлж, хожигдох эрсдэлийг бууруулдаг. Хөрөнгө оруулалтын үйл ажиллагаа явуулахад ижил хэв маяг ажиглагдаж байна.

Хөрөнгө оруулагч эерэг хүлээлттэй байж, богино хугацаанд олон тооны гүйлгээ хийснээр ихээхэн хэмжээний орлого олох боломжтой.

Хүлээлтийг дундаж ашиг (AW)-д үржүүлсэн ашгийн хувь (PW) ба алдагдлын магадлалыг (PL) дундаж алдагдал (AL)-д үржүүлсэн зөрүү гэж үзэж болно.

Жишээлбэл, бид дараахь зүйлийг авч үзэж болно: албан тушаал - 12.5 мянган доллар, багц - 100 мянган доллар, хадгаламжийн эрсдэл - 1%. Гүйлгээний ашиг нь 20% -ийн дундаж ашиг бүхий тохиолдлын 40% байдаг. Алдагдсан тохиолдолд дундаж алдагдал 5% байна. Гүйлгээний математикийн хүлээлтийг тооцоолоход 625 долларын утгыг гаргана.

Санамсаргүй хувьсагчТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. салангидТэгээд Үргэлжилсэн.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн- энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд утга нь тоолж болох, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй эсвэл тоолох боломжтой. Тооцооллын хувьд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг дугаарлаж болно гэсэн үг юм.

Жишээ 1 . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ энд байна:

a) $n$ шидэлтээр байг онох тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэгүүд,\n$ байна.

б) зоос шидэх үед буурсан бэлгэ тэмдгийн тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна.

в) онгоцонд ирж буй хөлөг онгоцны тоо (тооцоох утгын багц).

d) PBX-д ирж буй дуудлагын тоо (тоолох утгуудын багц).

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль.

$X$ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ магадлалтайгаар авч болно. Эдгээр утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын уялдаа холбоог нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгтээр зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\ p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(массив)$

Жишээ 2 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь үхрийг шидэх үед авсан онооны тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ дараах утгуудыг авч болно: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Эдгээр бүх утгын магадлал 1/6 доллартай тэнцүү байна. Тэгвэл $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(массив)$

Сэтгэгдэл. $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульд $1,\ 2,\ \цэг,\ 6$ үйл явдлууд нь бүхэл бүтэн үйл явдлын бүлгийг бүрдүүлдэг тул магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $. \нийлбэр(p_i)=1$.

2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлттүүний "төв" утгыг тогтоодог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математик хүлээлтийг $x_1,\dots,\ x_n$ утгууд болон эдгээр утгуудад харгалзах $p_1,\dots,\ p_n$ магадлалуудын үржвэрийн нийлбэрээр тооцдог. : $ M \ зүүн (X \ баруун) = \ нийлбэр ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Англи хэл дээрх уран зохиолд $E\left(X\right)$ гэсэн өөр тэмдэглэгээг ашигладаг.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд$M\зүүн(X\баруун)$:

  1. $M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ба хамгийн том утгуудын хооронд оршдог.
  2. Тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү, i.e. $M\зүүн(C\баруун)=C$.
  3. Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж авч болно: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
  4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
  5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Жишээ 3 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олъё.

$$M\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+2\cdot ((1)\(6) )+3\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+4\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+5\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+6\cdot ((1) )\ дээш (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ($1$) ба хамгийн том ($6$) утгуудын хооронд байрлаж байгааг бид анзаарч болно.

Жишээ 4 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $3X+5$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\-г авна. cdot 2 +5=$11.

Жишээ 5 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=4$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $2X-9$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\-г авна. cdot 4 -9=-1$.

3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс.

Математикийн ижил хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь дундаж утгуудын эргэн тойронд өөр өөрөөр тархаж болно. Жишээлбэл, хоёр оюутны бүлэгт магадлалын онолын шалгалтын дундаж оноо 4 байсан ч нэг бүлэгт бүгд сайн сурагчид, нөгөө бүлэгт зөвхөн С, онц сурлагатанууд байсан. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар нь түүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг харуулах шаардлагатай байна. Энэ шинж чанар нь тархалт юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс$X$ нь дараахтай тэнцүү:

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2).\ $$

Англи хэлний уран зохиолд $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг. Ихэнхдээ $D\left(X\right)$ хэлбэлзлийг $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) томъёогоор тооцдог. зүүн(X \баруун)\баруун))^2$.

Тархалтын шинж чанарууд$D\зүүн(X\баруун)$:

  1. Дисперс нь үргэлж тэгээс их буюу тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(X\баруун)\ge 0$.
  2. Тогтмолын хэлбэлзэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(C\баруун)=0$.
  3. Тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар хуваасан тохиолдолд тархалтын тэмдгээс гаргаж болно, өөрөөр хэлбэл. $D \ зүүн (CX \ баруун) = C ^ 2D \ зүүн (X \ баруун) $.
  4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X+Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.
  5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ялгааны дисперс нь тэдгээрийн хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X-Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.

Жишээ 6 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолъё.

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2)=((1)\ дээш (6))\cdot (\зүүн(1-3.5\баруун))^2+((1)\(6) дээр)\cdot (\зүүн(2-3.5\баруун))^2+ \цэг +( (1)\(6)-аас дээш)\cdot (\зүүн(6-3,5\баруун))^2=((35)\(12))\ойролцоогоор 2,92.$$

Жишээ 7 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. $4X+1$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=-г олно. 16D\ зүүн(X\баруун)=16\cdot 2=32$.

Жишээ 8 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=3$-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг. $3-2X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=-г олно. 4D\ зүүн(X\баруун)=4\cdot 3=12$.

4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх арга нь цорын ганц арга биш бөгөөд хамгийн чухал нь тархалтын цуваа ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжгүй тул бүх нийтийнх биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх өөр нэг арга байдаг - түгээлтийн функц.

Түгээлтийн функц$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $F\left(x\right)$ функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x$, өөрөөр хэлбэл $F\-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог. зүүн(x\баруун)=P\зүүн(X< x\right)$

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

  1. $0\le F\left(x\баруун)\le 1$.
  2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалаас утгыг авах магадлал нь түүний төгсгөлд байгаа түгээлтийн функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. интервал: $P\left(\альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
  3. $F\left(x\right)$ - буурахгүй.
  4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x) \баруун)=1\ )$.

Жишээ 9 . $2$ жишээнээс $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн $F\left(x\right)$ тархалтын функцийг олцгооё.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(массив)$

Хэрэв $x\le 1$ бол мэдээж $F\left(x\right)=0$ (үүнд $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Хэрэв 1 доллар< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Хэрэв 2 доллар< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Хэрэв 3 доллар< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Хэрэв 4 доллар< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Хэрэв 5 доллар< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Хэрэв $x > 6$ бол $F\left(x\right)=P\left(X=1\баруун)+P\left(X=2\баруун)+P\зүүн(X=3\баруун) +P\зүүн(X=4\баруун)+P\зүүн(X=5\баруун)+P\зүүн(X=6\баруун)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Тэгэхээр $F(x)=\left\(\эхлэх(матриц))
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, at\ 1< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, at\ 3< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\төгсгөл(матриц)\баруун.$

Хуваалцах: