इस पाठ में, हर कोई "आयताकार समानांतर चतुर्भुज" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। पाठ की शुरुआत में, हम दोहराएंगे कि मनमाना और सीधा समांतर चतुर्भुज क्या हैं, उनके विपरीत फलकों और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद रखें। फिर हम देखेंगे कि घनाभ क्या है और इसके मूल गुणों पर चर्चा करेंगे।

विषय: रेखाओं और तलों की लंबवतता

पाठ: घनाकार

दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 तथा चार समांतर चतुर्भुज ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 से बनी सतह कहलाती है समानांतर खात(चित्र .1)।

चावल। 1 समांतर चतुर्भुज

अर्थात्: हमारे पास दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 (आधार) हैं, वे समानांतर विमानों में स्थित हैं ताकि पार्श्व किनारे AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 समानांतर हों। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज से बनी सतह कहलाती है समानांतर खात.

इस प्रकार, एक समांतर चतुर्भुज की सतह उन सभी समांतर चतुर्भुजों का योग है जो समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

1. समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समान्तर और बराबर होते हैं।

(आकृतियाँ समान हैं, अर्थात, उन्हें ओवरलैपिंग द्वारा जोड़ा जा सकता है)

उदाहरण के लिए:

एबीसीडी = ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समान समांतर चतुर्भुज),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (चूंकि AA 1 B 1 B और DD 1 C 1 C समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक हैं),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (चूंकि AA 1 D 1 D और BB 1 C 1 C समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक हैं)।

2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

समांतर चतुर्भुज AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B के विकर्ण एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और प्रत्येक विकर्ण इस बिंदु से आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)।

चावल। 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं।

3. एक समान्तर चतुर्भुज के समान और समानांतर किनारों के तीन चतुर्भुज होते हैं: 1 - एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी, 2 - एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, 3 - एए 1, बीबी 1, СС 1, डीडी 1।

परिभाषा। एक समान्तर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हों।

मान लीजिए कि पार्श्व किनारा AA 1 आधार के लंबवत है (चित्र 3)। इसका मतलब यह है कि सीधी रेखा AA 1 सीधी रेखाओं AD और AB पर लंबवत है, जो आधार के तल में स्थित हैं। इसका मतलब यह है कि पार्श्व फलकों में आयतें हैं। और आधारों में मनमाने समांतर चतुर्भुज होते हैं। आइए हम ∠BAD = φ को निरूपित करें, कोण φ कोई भी हो सकता है।

चावल। 3 दायां समान्तर चतुर्भुज

तो, एक समकोण चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें पार्श्व किनारे समान्तर चतुर्भुज के आधारों के लंबवत होते हैं।

परिभाषा। समांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है,यदि इसके पार्श्व किनारे आधार से लंबवत हैं। आधार आयताकार हैं.

समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 आयताकार है (चित्र 4), यदि:

1. एए 1 ⊥ एबीसीडी (आधार के तल पर लंबवत पार्श्व किनारा, यानी एक सीधा समानांतर चतुर्भुज)।

2. ∠BAD = 90°, अर्थात् आधार एक आयत है।

चावल। 4 आयताकार समान्तर चतुर्भुज

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में एक मनमाना समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं।लेकिन ऐसे अतिरिक्त गुण भी हैं जो घनाभ की परिभाषा से प्राप्त होते हैं।

इसलिए, घनाभएक समांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व किनारे आधार से लंबवत हैं। घनाभ का आधार एक आयत है.

1. एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं।

परिभाषा के अनुसार ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 आयत हैं।

2. पार्श्व पसलियाँ आधार से लंबवत होती हैं. इसका मतलब यह है कि एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के सभी पार्श्व फलक आयत हैं।

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।

आइए, उदाहरण के लिए, AB किनारे वाले एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के डायहेड्रल कोण पर विचार करें, यानी, समतल ABC 1 और ABC के बीच का डायहेड्रल कोण।

AB एक किनारा है, बिंदु A 1 एक तल में स्थित है - समतल ABB 1 में, और बिंदु D दूसरे तल में - समतल A 1 B 1 C 1 D 1 में स्थित है। फिर विचाराधीन डायहेड्रल कोण को निम्नानुसार भी दर्शाया जा सकता है: ∠A 1 ABD।

आइए किनारे AB पर बिंदु A लें। AA 1 समतल АВВ-1 में किनारे AB पर लंबवत है, AD समतल ABC में किनारे AB पर लंबवत है। इसका मतलब यह है कि ∠A 1 AD किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। ∠A 1 AD = 90°, जिसका अर्थ है कि किनारे AB पर डायहेड्रल कोण 90° है।

∠(एबीबी 1, एबीसी) = ∠(एबी) = ∠ए 1 एबीडी= ∠ए 1 एडी = 90°.

इसी प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि आयताकार समांतर चतुर्भुज का कोई भी द्विफलकीय कोण समकोण होता है।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

टिप्पणी। घनाभ के एक शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की लंबाई घनाभ की माप होती है। इन्हें कभी-कभी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई भी कहा जाता है।

दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।

सिद्ध करना: ।

चावल। 5 आयताकार समान्तर चतुर्भुज

सबूत:

सीधी रेखा CC 1 समतल ABC पर लंबवत है, और इसलिए सीधी रेखा AC पर लंबवत है। इसका मतलब है कि त्रिभुज CC 1 A समकोण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

लेकिन BC और AD आयत की विपरीत भुजाएँ हैं। अतः BC = AD. तब:

क्योंकि , ए , वह। चूँकि CC 1 = AA 1, इसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

आइए हम समांतर चतुर्भुज ABC के आयामों को a, b, c के रूप में निरूपित करें (चित्र 6 देखें), तो AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

अध्याय तीन

बहुकोणीय आकृति

1. समांतर चतुर्भुज और पिरामिड

समांतर चतुर्भुज के फलकों और विकर्णों के गुण

72. प्रमेय. एक समान्तर चतुर्भुज में:

1)विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर हैं;

2) सभी चार विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और वहां समद्विभाजित होते हैं।

1) फलक (चित्र 80) बीबी 1 सी 1 सी और एए 1 डी 1 डी समानांतर हैं, क्योंकि एक चेहरे की दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएं बीबी 1 और बी 1 सी 1 दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं एए 1 और ए 1 के समानांतर हैं। अन्य का डी 1 (§ 15 ); ये फलक बराबर हैं, क्योंकि B 1 C 1 = A 1 D 1, B 1 B = A 1 A (समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की तरह) और / बीबी 1 सी 1 = / एए 1 डी 1 .

2) (चित्र 81) कुछ दो विकर्ण लें, उदाहरण के लिए AC 1 और ВD 1, और सहायक रेखाएँ AD 1 और ВС 1 खींचें।

चूँकि किनारे AB और D 1 C 1 क्रमशः किनारे DC के बराबर और समानांतर हैं, वे एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं; परिणामस्वरूप, आकृति AD 1 C 1 B एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सीधी रेखाएँ C 1 A और BD 1 विकर्ण हैं, और एक समांतर चतुर्भुज में विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं।

आइए अब इनमें से एक विकर्ण लें, उदाहरण के लिए एसी 1, तीसरे विकर्ण के साथ, मान लीजिए, बी 1 डी के साथ। ठीक उसी तरह हम साबित कर सकते हैं कि वे चौराहे के बिंदु पर आधे में विभाजित हैं। नतीजतन, विकर्ण बी 1 डी और एसी 1 और विकर्ण एसी 1 और बीडी 1 (जिसे हमने पहले लिया था) एक ही बिंदु पर, विकर्ण के ठीक बीच में प्रतिच्छेद करते हैं।
एसी 1. अंत में, चौथे विकर्ण A 1 C के साथ समान विकर्ण AC 1 लेते हुए, हम यह भी सिद्ध करते हैं कि वे द्विभाजित हैं। इसका मतलब यह है कि विकर्णों की इस जोड़ी का प्रतिच्छेदन बिंदु विकर्ण AC 1 के मध्य में स्थित है। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज के सभी चार विकर्ण एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

73. प्रमेय. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, किसी भी विकर्ण का वर्ग (एएस 1, ड्राइंग 82) इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर .

आधार AC का विकर्ण खींचने पर, हमें त्रिभुज AC 1 C और ACB प्राप्त होते हैं। वे दोनों आयताकार हैं: पहला क्योंकि समांतर चतुर्भुज सीधा है और इसलिए, किनारा CC 1 आधार के लंबवत है; दूसरा, क्योंकि समांतर चतुर्भुज आयताकार है और इसलिए, इसके आधार पर एक आयत स्थित है। इन त्रिभुजों से हम पाते हैं:

एसी 1 2 = एसी 2 + सीसी 1 2 और एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2

इस तरह,

एसी 1 2 = एबी 2 + बीसी 2 + सीसी 1 2 = एबी 2 + एडी 2 + एए 1 2।

परिणाम।एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, सभी विकर्ण बराबर होते हैं।

प्रिज्म कहा जाता है समानांतर खात, यदि इसके आधार समांतर चतुर्भुज हैं। सेमी। चित्र .1.

समांतर चतुर्भुज के गुण:

समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समांतर होते हैं (अर्थात, वे समांतर तलों में स्थित होते हैं) और बराबर होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के निकटवर्ती फलक- दो चेहरे जिनमें एक समान किनारा है।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक- ऐसे चेहरे जिनमें समान किनारे नहीं हैं।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्ष- दो शीर्ष जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं।

समांतर चतुर्भुज का विकर्ण– एक खंड जो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।

यदि पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत हों, तो समांतर चतुर्भुज कहलाता है प्रत्यक्ष.

एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार आयत हो, कहलाता है आयताकार. प्रिज्म, जिसके सभी फलक वर्ग हों, कहलाता है घनक्षेत्र.

समानांतर खात- एक प्रिज्म जिसका आधार समांतर चतुर्भुज हैं।

दायां समान्तर चतुर्भुज- एक समांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधार के तल के लंबवत होते हैं।

आयताकार समान्तर चतुर्भुजएक समकोण चतुर्भुज है जिसके आधार आयत हैं।

घनक्षेत्र- समान किनारों वाला एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज।

समानांतर खातप्रिज्म कहलाता है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है; इस प्रकार, एक समांतर चतुर्भुज के छह फलक होते हैं और वे सभी समांतर चतुर्भुज हैं।

विपरीत फलक जोड़ीवार बराबर और समानांतर हैं। समांतर चतुर्भुज में चार विकर्ण होते हैं; वे सभी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस पर आधे में विभाजित हो जाते हैं। किसी भी चेहरे को आधार बनाया जा सकता है; आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है: V = Sh।

एक समान्तर चतुर्भुज जिसके चारों पार्श्व फलक आयत हों, एक सीधा समान्तर चतुर्भुज कहलाता है।

एक समकोण चतुर्भुज जिसके छह फलक आयत हों, आयताकार कहलाता है। सेमी। अंक 2.

एक समांतर चतुर्भुज का आयतन (V) आधार क्षेत्र (S) और ऊँचाई (h) के गुणनफल के बराबर है: व = श .

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के लिए, इसके अतिरिक्त, सूत्र मान्य है वी=एबीसी, जहां ए, बी, सी किनारे हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण (डी) उसके किनारों से संबंध द्वारा संबंधित होता है डी 2 = ए 2 + बी 2 + सी 2 .

आयताकार समान्तर चतुर्भुज- एक समांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं, और आधार आयताकार हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गुण:

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग इसके तीन आयामों (एक सामान्य शीर्ष वाले तीन किनारों की लंबाई) के वर्गों के योग के बराबर होता है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज, जिसके सभी फलक वर्ग हों, घन कहलाता है। घन के सभी किनारे बराबर हैं; एक घन का आयतन (V) सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है व=ए 3, जहां a घन का किनारा है।

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याद रखने योग्य मुख्य बिंदु

• जो समांतर चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज बनाते हैं वे इसके चेहरे हैं, उनकी भुजाएँ इसके किनारे हैं। इन आकृतियों के शीर्षों को बहुफलक का शीर्ष ही माना जाता है।
• एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के सभी विकर्ण बराबर होते हैं। चूँकि यह एक सीधा बहुफलक है, इसके पार्श्व फलक आयताकार हैं।
• चूँकि समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज है, इस आकृति में एक प्रिज्म के सभी गुण हैं।
• एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के पार्श्व किनारे आधार के लंबवत होते हैं। अत: वे इसकी ऊँचाइयाँ हैं।

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एक आयताकार समांतर चतुर्भुज (पीपी) एक प्रिज्म से अधिक कुछ नहीं है, जिसका आधार एक आयत है। पीपी के लिए, सभी विकर्ण समान हैं, जिसका अर्थ है कि इसके किसी भी विकर्ण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

• ए, पीपी के आधार की ओर;

  इसकी ऊंचाई के साथ.

कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार करके एक और परिभाषा दी जा सकती है:

पीपी विकर्ण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में x, y और z निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु का त्रिज्या वेक्टर है। बिंदु का यह त्रिज्या सदिश मूल बिंदु से खींचा गया है। और बिंदु के निर्देशांक समन्वय अक्षों पर त्रिज्या वेक्टर (पीपी के विकर्ण) के प्रक्षेपण होंगे। प्रक्षेपण इस समान्तर चतुर्भुज के शीर्षों से मेल खाते हैं।



एक आयताकार समांतर चतुर्भुज एक प्रकार का बहुफलक है जिसमें 6 फलक होते हैं, जिसके आधार पर एक आयत होता है। विकर्ण एक रेखाखंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।

विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र यह है कि विकर्ण का वर्ग समांतर चतुर्भुज के तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।



मुझे इंटरनेट पर एक अच्छी आरेख-तालिका मिली जिसमें समांतर चतुर्भुज में मौजूद हर चीज की पूरी सूची थी। विकर्ण ज्ञात करने का एक सूत्र है, जिसे d से दर्शाया जाता है।

समांतर चतुर्भुज के लिए किनारे, शीर्ष और अन्य महत्वपूर्ण चीजों की एक छवि है।



यदि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की लंबाई, ऊंचाई और चौड़ाई (ए, बी, सी) ज्ञात है, तो विकर्ण की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:



आमतौर पर, शिक्षक अपने छात्रों को कोई साधारण फॉर्मूला नहीं देते हैं, बल्कि प्रयास करते हैं ताकि वे प्रमुख प्रश्न पूछकर इसे स्वयं प्राप्त कर सकें:

• हमें क्या जानने की आवश्यकता है, हमारे पास कौन सा डेटा है?
• एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में क्या गुण होते हैं?
• क्या पाइथागोरस प्रमेय यहाँ लागू होता है? कैसे?
• क्या पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने के लिए पर्याप्त डेटा है, या कुछ अन्य गणनाओं की आवश्यकता है?

आमतौर पर, पूछे गए प्रश्नों का उत्तर देने के बाद, छात्र आसानी से इस सूत्र को स्वयं प्राप्त कर सकते हैं।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं। साथ ही इसके विपरीत फलकों के विकर्ण भी। विकर्ण की लंबाई की गणना एक शीर्ष से निकलने वाले समांतर चतुर्भुज के किनारों की लंबाई जानकर की जा सकती है। यह लंबाई इसके किनारों की लंबाई के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है।



घनाभ तथाकथित बहुफलक में से एक है, जिसमें 6 फलक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है। विकर्ण एक ऐसा खंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। यदि एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः a, b, c मानी जाए, तो इसके विकर्ण (D) का सूत्र इस तरह दिखेगा: D^2=a^2+b^2+c ^2.



एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का विकर्णइसके विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है। तो हमारे पास घनाभविकर्ण d और भुजाओं a, b, c के साथ। समांतर चतुर्भुज के गुणों में से एक यह है कि वर्ग विकर्ण लंबाई d इसके तीन आयामों a, b, c के वर्गों के योग के बराबर है। अत: निष्कर्ष यह है विकर्ण लंबाईनिम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है:



भी:

समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

• विकर्ण वर्गएक वर्ग समान्तर चतुर्भुज का (एक वर्ग समान्तर चतुर्भुज के गुण देखें) इसकी तीन अलग-अलग भुजाओं (चौड़ाई, ऊँचाई, मोटाई) के वर्गों के योग के बराबर होता है, और, तदनुसार, एक वर्ग समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण मूल के बराबर होते हैं यह राशि.

  मुझे ज्यामिति में स्कूली पाठ्यक्रम याद है, हम यह कह सकते हैं: एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसकी तीन भुजाओं के योग से प्राप्त वर्गमूल के बराबर होता है (उन्हें छोटे अक्षरों ए, बी, सी द्वारा दर्शाया जाता है)।

  एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।

  जहां तक ​​मैं स्कूल के पाठ्यक्रम, ग्रेड 9 से जानता हूं, अगर मैं गलत नहीं हूं, और यदि स्मृति काम करती है, तो एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण तीनों भुजाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

  विकर्ण का वर्ग चौड़ाई, ऊंचाई और लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है, इस सूत्र के आधार पर हमें उत्तर मिलता है, विकर्ण अपने तीन अलग-अलग आयामों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है, अक्षरों के साथ वे एनसीजेड एबीसी को निरूपित करें