किसी फ़ंक्शन की समता कैसे सिद्ध करें. सम और विषम कार्य. एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़

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ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

लक्ष्य:

• सम और विषम कार्यों की अवधारणा तैयार करना, कार्यों का अध्ययन करते समय और ग्राफ़ बनाते समय इन गुणों को निर्धारित करने और उपयोग करने की क्षमता सिखाना;
• छात्रों की रचनात्मक गतिविधि, तार्किक सोच, तुलना करने और सामान्यीकरण करने की क्षमता विकसित करना;
• कड़ी मेहनत और गणितीय संस्कृति विकसित करें; संचार कौशल विकसित करें .

उपकरण:मल्टीमीडिया इंस्टॉलेशन, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड, हैंडआउट्स।

कार्य के रूप:खोज और अनुसंधान गतिविधियों के तत्वों के साथ ललाट और समूह।

सूत्रों की जानकारी:

1. बीजगणित 9वीं कक्षा ए.जी. मोर्दकोविच। पाठ्यपुस्तक।
2. बीजगणित 9वीं कक्षा ए.जी. मोर्दकोविच। समस्या पुस्तक.
3. बीजगणित 9वीं कक्षा। विद्यार्थियों के सीखने और विकास के लिए कार्य। बेलेंकोवा ई.यू. लेबेडिंटसेवा ई.ए.

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

पाठ के लिए लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना।

2. होमवर्क की जाँच करना

क्रमांक 10.17 (9वीं कक्षा की समस्या पुस्तक। ए.जी. मोर्दकोविच)।

ए) पर = एफ(एक्स), एफ(एक्स) =

बी) एफ (–2) = –3; एफ (0) = –1; एफ(5) = 69;

ग) 1. डी( एफ) = [– 2; + ∞)
2. ई( एफ) = [– 3; + ∞)
3. एफ(एक्स) = 0 पर एक्स ~ 0,4
4. एफ(एक्स) >0 पर एक्स > 0,4 ; एफ(एक्स) < 0 при – 2 < एक्स < 0,4.
5. से कार्य बढ़ता है एक्स € [– 2; + ∞)
6. फ़ंक्शन नीचे से सीमित है.
7. परनईम = – 3, परनायब मौजूद नहीं है
8. फलन सतत है।

(क्या आपने फ़ंक्शन एक्सप्लोरेशन एल्गोरिदम का उपयोग किया है?) फिसलना।

2. आइए स्लाइड से उस तालिका की जाँच करें जो आपसे पूछी गई थी।

तालिका भरें
	कार्यक्षेत्र	फ़ंक्शन शून्य	संकेत स्थिरता के अंतराल		ओए के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक
		एक्स = -5, एक्स = 2	x € (–5;3) यू यू(2;∞)	x € (–∞;–5) यू यू (-3;2)
	एक्स ∞ -5, एक्स ≠ 2		x € (–5;3) यू यू(2;∞)	x € (–∞;–5) यू यू (-3;2)
	एक्स ≠ -5, एक्स ≠ 2		x € (–∞; –5) यू यू(2;∞)	x € (–5; 2)

3. ज्ञान को अद्यतन करना

- फ़ंक्शन दिए गए हैं.
- प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए परिभाषा का दायरा निर्दिष्ट करें।
- तर्क मानों की प्रत्येक जोड़ी के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन के मान की तुलना करें: 1 और - 1; 2 और - 2.
- परिभाषा के क्षेत्र में इनमें से किस कार्य के लिए समानताएं हैं एफ(– एक्स) = एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स)? (प्राप्त डेटा को तालिका में दर्ज करें) फिसलना

		एफ(1) और एफ(– 1)	एफ(2) और एफ(– 2)	GRAPHICS	एफ(– एक्स) = –एफ(एक्स)	एफ(– एक्स) = एफ(एक्स)
1. एफ(एक्स) =
2. एफ(एक्स) = एक्स 3
3. एफ(एक्स) = | एक्स |
4.एफ(एक्स) = 2एक्स – 3
5. एफ(एक्स) =	एक्स ≠ 0
6. एफ(एक्स)=	एक्स > –1		और परिभाषित नहीं

4. नई सामग्री

- इस काम को करते समय, दोस्तों, हमने फ़ंक्शन की एक और संपत्ति की पहचान की, जो आपके लिए अपरिचित है, लेकिन दूसरों से कम महत्वपूर्ण नहीं है - यह फ़ंक्शन की समरूपता और विषमता है। पाठ का विषय लिखें: "सम और विषम कार्य", हमारा कार्य किसी फ़ंक्शन की समता और विषमता को निर्धारित करना सीखना है, कार्यों के अध्ययन और ग्राफ़ बनाने में इस संपत्ति के महत्व का पता लगाना है।
तो, आइए पाठ्यपुस्तक में परिभाषाएँ खोजें और पढ़ें (पृष्ठ 110) . फिसलना

हार। 1समारोह पर = एफ (एक्स), सेट पर परिभाषित एक्स कहा जाता है यहां तक ​​की, यदि किसी भी मूल्य के लिए एक्सЄ एक्स निष्पादित किया गया है समानता f(-x)= f(x). उदाहरण दो।

हार। 2समारोह वाई = एफ(एक्स), सेट पर परिभाषित एक्स कहा जाता है विषम, यदि किसी भी मूल्य के लिए एक्सЄ एक्स समानता f(–х)= –f(х) कायम है। उदाहरण दो।

हमें "सम" और "विषम" शब्द कहां से मिले?
क्या आपको लगता है कि इनमें से कौन सा फलन सम होगा? क्यों? कौन से अजीब हैं? क्यों?
प्रपत्र के किसी भी कार्य के लिए पर= एक्स एन, कहाँ एन- एक पूर्णांक, यह तर्क दिया जा सकता है कि फ़ंक्शन विषम है जब एन- विषम और फलन सम है जब एन- यहां तक ​​की।
- कार्य देखें पर= और पर = 2एक्स– 3 न तो सम हैं और न ही विषम, क्योंकि समानताएं संतुष्ट नहीं हैं एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = एफ(एक्स)

कोई फलन सम है या विषम, इसका अध्ययन फलन की समता का अध्ययन कहलाता है।फिसलना

परिभाषा 1 और 2 में हम x और -x पर फ़ंक्शन के मानों के बारे में बात कर रहे थे, जिससे यह माना जाता है कि फ़ंक्शन को मान पर भी परिभाषित किया गया है एक्स, और कम से - एक्स.

डेफ़ 3.यदि किसी संख्यात्मक समुच्चय में, उसके प्रत्येक अवयव x के साथ, विपरीत अवयव -x भी हो, तो समुच्चय एक्ससममित समुच्चय कहा जाता है।

उदाहरण:

(-2;2), [-5;5]; (∞;∞) सममित समुच्चय हैं, और, [–5;4] असममित समुच्चय हैं।

- क्या सम फलनों की परिभाषा का एक क्षेत्र होता है जो एक सममित सेट होता है? अजीब वाले?
– यदि डी( एफ) एक असममित समुच्चय है, तो इसका फलन क्या है?
- इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन पर = एफ(एक्स) - सम या विषम, तो इसकी परिभाषा का क्षेत्र D है( एफ) एक सममित समुच्चय है। क्या विपरीत कथन सत्य है: यदि किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र एक सममित सेट है, तो क्या यह सम या विषम है?
- इसका मतलब यह है कि परिभाषा के क्षेत्र के सममित सेट की उपस्थिति एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है।
– तो आप समता के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करते हैं? आइए एक एल्गोरिदम बनाने का प्रयास करें।

फिसलना

समता के लिए किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम

1. निर्धारित करें कि फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सममित है या नहीं। यदि नहीं, तो फलन न तो सम है और न ही विषम है। यदि हां, तो एल्गोरिथम के चरण 2 पर जाएं।

2. के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें एफ(–एक्स).

3. तुलना करें एफ(–एक्स)।और एफ(एक्स):

• अगर एफ(–एक्स).= एफ(एक्स), तो फलन सम है;
• अगर एफ(–एक्स).= – एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन विषम है;
• अगर एफ(–एक्स) ≠ एफ(एक्स) और एफ(–एक्स) ≠ –एफ(एक्स), तो फलन न तो सम है और न ही विषम है।

उदाहरण:

समानता के लिए फ़ंक्शन ए) की जांच करें पर= x 5 +; बी) पर= ; वी) पर= .

समाधान।

ए) एच(एक्स) = एक्स 5 +,

1) डी(एच) = (-∞; 0) यू (0; +∞), सममित सेट।

2) एच (- एक्स) = (-एक्स) 5 + - एक्स5 -= - (एक्स 5 +),

3) h(- x) = - h (x) => फ़ंक्शन एच(एक्स)= x 5 + विषम.

बी) वाई =,

पर = एफ(एक्स), डी(एफ) = (–∞; –9)? (-9; +∞), एक असममित समुच्चय, जिसका अर्थ है कि फलन न तो सम है और न ही विषम है।

वी) एफ(एक्स) = , वाई = एफ (एक्स),

1)डी( एफ) = (–∞; 3] ≠ ; बी) (∞; –2), (–4; 4]?

विकल्प 2

1. क्या दिया गया सेट सममित है: a) [-2;2]; बी) (∞; 0], (0; 7) ?

ए); बी) वाई = एक्स (5 - एक्स 2)। 2. समता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें:

ए) वाई = एक्स 2 (2एक्स - एक्स 3), बी) वाई =

3. चित्र में। एक ग्राफ बनाया गया है पर = एफ(एक्स), सभी के लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना एक्स? 0.
फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं पर = एफ(एक्स), अगर पर = एफ(एक्स) एक सम फलन है.

3. चित्र में। एक ग्राफ बनाया गया है पर = एफ(एक्स), शर्त x को संतुष्ट करने वाले सभी x के लिए? 0.
फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं पर = एफ(एक्स), अगर पर = एफ(एक्स) एक अजीब कार्य है.

आपसी जांच जारी है फिसलना।

6. गृहकार्य: №11.11, 11.21,11.22;

समता गुण के ज्यामितीय अर्थ का प्रमाण।

***(एकीकृत राज्य परीक्षा विकल्प का असाइनमेंट)।

1. विषम फलन y = f(x) को संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है। वेरिएबल x के किसी भी गैर-नकारात्मक मान के लिए, इस फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन g के मान से मेल खाता है( एक्स) = एक्स(एक्स + 1)(एक्स + 3)(एक्स– 7). फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें h( एक्स) = पर एक्स = 3.

7. सारांश

जिनसे आप किसी न किसी हद तक परिचित थे। वहां यह भी नोट किया गया कि फ़ंक्शन संपत्तियों का स्टॉक धीरे-धीरे फिर से भर दिया जाएगा। इस अनुभाग में दो नई संपत्तियों पर चर्चा की जाएगी।

परिभाषा 1.

फ़ंक्शन y = f(x), x є

परिभाषा 2.

फ़ंक्शन y = f(x), x є X, को विषम कहा जाता है यदि सेट

सिद्ध कीजिए कि y = x 4 एक सम फलन है।

समाधान। हमारे पास है: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. लेकिन(-x) 4 = x 4. इसका मतलब यह है कि किसी भी x के लिए समानता f(-x) = f(x) कायम है, यानी। फ़ंक्शन सम है.

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y - x 2, y = x 6, y - x 8 सम हैं।

सिद्ध कीजिए कि y = x 3 ~ एक विषम फलन है।

समाधान। हमारे पास है: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. लेकिन (-x) 3 = -x 3. इसका मतलब यह है कि किसी भी x के लिए समानता f (-x) = -f (x) कायम है, यानी। कार्य अजीब है.

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y = x, y = x 5, y = x 7 विषम हैं।

आप और मैं पहले ही एक से अधिक बार आश्वस्त हो चुके हैं कि गणित में नए शब्दों का मूल अक्सर "पृथ्वी" होता है, अर्थात। उन्हें किसी तरह समझाया जा सकता है. यह सम और विषम दोनों प्रकार के कार्यों का मामला है। देखें: y - x 3, y = x 5, y = x 7 विषम फलन हैं, जबकि y = x 2, y = x 4, y = x 6 सम फलन हैं। और सामान्य तौर पर, फॉर्म y = x" के किसी भी फ़ंक्शन के लिए (नीचे हम विशेष रूप से इन फ़ंक्शन का अध्ययन करेंगे), जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि n एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन y = x" है विषम; यदि n एक सम संख्या है, तो फलन y = xn सम है।

ऐसे भी फलन हैं जो न तो सम हैं और न ही विषम। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = 2x + 3 ऐसा है। वास्तव में, f(1) = 5, और f (-1) = 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, इसलिए, यहां न तो पहचान f(-x) = f ( x), न ही पहचान f(-x) = -f(x).

तो, एक फ़ंक्शन सम, विषम या कुछ भी नहीं हो सकता है।

कोई दिया गया फलन सम है या विषम, इसका अध्ययन आमतौर पर समता का अध्ययन कहा जाता है।

परिभाषाएँ 1 और 2 बिंदु x और -x पर फ़ंक्शन के मानों को संदर्भित करती हैं। यह मानता है कि फ़ंक्शन को बिंदु x और बिंदु -x दोनों पर परिभाषित किया गया है। इसका मतलब यह है कि बिंदु -x, बिंदु x के साथ-साथ फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है। यदि किसी संख्यात्मक समुच्चय X में उसके प्रत्येक अवयव x के साथ विपरीत अवयव -x भी हो, तो मान लीजिए, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) सममित सेट हैं, जबकि)