आव्यूहों को विभिन्न आकारों से गुणा करना। मैट्रिक्स के साथ क्रियाएँ। एक मैट्रिक्स को एक वेक्टर से गुणा करना

कुछ ही सेकंड में सर्वर सटीक समाधान प्रदान करेगा। ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणनहोगा आव्यूह, जिसके प्रत्येक तत्व की गणना एक अदिश राशि के रूप में की जाती है कामनियम के अनुसार पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों को दूसरे मैट्रिक्स के संगत कॉलम से जोड़ें मैट्रिक्स गुणन. पर ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणन, परिणामी मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व परिणाम होगा गुणानियम के अनुसार एक मैट्रिक्स की पंक्तियों को दूसरे मैट्रिक्स के कॉलम से मैट्रिक्स का उत्पाद. खोजो ऑनलाइन कामदो मैट्रिक्सस्वीकार्य आयाम खोजने के लिए नीचे आते हैं मैट्रिक्सउनके संगत आयाम. संचालन ऑनलाइन गुणादो मैट्रिक्सआयाम NxK और KxM खोजने में कम हो जाते हैं मैट्रिक्सआयाम एमएक्सएन. इसके तत्व मैट्रिक्सएक अदिश राशि का गठन करें काम गुणित आव्यूह, यह परिणाम है ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणन. खोजने का कार्य ऑनलाइन मैट्रिक्स उत्पादया सर्जरी ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणनहै गुणापंक्तियों से स्तंभों तक मैट्रिक्सनियम के अनुसार मैट्रिक्स गुणन. www.साइटढूंढता है मैट्रिक्स का उत्पादमोड में निर्दिष्ट आयाम ऑनलाइन. ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणनकिसी दिए गए आयाम का मैट्रिक्स का संगत आयाम ज्ञात करना है, जिसके तत्व अदिश होंगे काम करता हैसंगत पंक्तियाँ और स्तंभ गुणित आव्यूह. खोज ऑनलाइन मैट्रिक्स उत्पादसिद्धांत रूप में व्यापक रूप से स्वीकार किया गया मैट्रिक्स, साथ ही रैखिक बीजगणित। ऑनलाइन मैट्रिक्स उत्पादपरिणामी मैट्रिक्स को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है गुणादिया गया मैट्रिक्स. गणना करने के लिए मैट्रिक्स का उत्पादया निर्धारित करें ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणन, आपको बहुत समय खर्च करना होगा, जबकि हमारा सर्वर इसे कुछ ही सेकंड में ढूंढ लेगा ऑनलाइन मैट्रिक्स उत्पादसे गुणादो दिए गए मैट्रिसेस ऑनलाइन. इस मामले में, खोजने का उत्तर मैट्रिक्स का उत्पादसही और पर्याप्त सटीकता के साथ होगा, भले ही संख्याएँ हों ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणनतर्कहीन होगा. स्थल पर www.साइटतत्वों में वर्ण प्रविष्टियों की अनुमति है मैट्रिक्स, वह है ऑनलाइन मैट्रिक्स उत्पादके साथ सामान्य प्रतीकात्मक रूप में दर्शाया जा सकता है ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणन. किसी समस्या को हल करते समय प्राप्त उत्तर की जाँच करना उपयोगी होता है ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणनसाइट का उपयोग करना www.साइट. लेन-देन करते समय ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणनकिसी समस्या को हल करते समय आपको सावधान रहने और अत्यधिक ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता है। बदले में, हमारी साइट आपको विषय पर अपना निर्णय जांचने में मदद करेगी ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणन. यदि आपके पास हल की गई समस्याओं की लंबी जांच के लिए समय नहीं है, तो www.साइटजाँच के लिए निश्चित रूप से एक सुविधाजनक उपकरण होगा ऑनलाइन मैट्रिक्स गुणन.

मैट्रिक्स जोड़:

आव्यूहों का घटाव और जोड़उनके तत्वों पर संगत संचालन को कम करता है। मैट्रिक्स जोड़ ऑपरेशनके लिए ही दर्ज किया गया है मैट्रिक्सएक ही आकार, यानी के लिए मैट्रिक्स, जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या क्रमशः बराबर होती है। आव्यूहों का योगए और बी को बुलाया जाता है आव्यूह C, जिसके तत्व संगत तत्वों के योग के बराबर हैं। सी = ए + बी सी आईजे = ए आईजे + बी आईजे समान रूप से परिभाषित मैट्रिक्स अंतर.

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना:

मैट्रिक्स गुणन (विभाजन) ऑपरेशनप्रत्येक तत्व को एक मनमानी संख्या से गुणा (विभाजित) करने के लिए किसी भी आकार को कम किया जाता है मैट्रिक्सइस नंबर के लिए. मैट्रिक्स उत्पादऔर संख्या k को कहा जाता है आव्यूहबी, ऐसे कि

बी आईजे = के × ए आईजे। बी = के × ए बी आईजे = के × ए आईजे। आव्यूह- A = (-1) × A को विपरीत कहा जाता है आव्यूहएक।

आव्यूहों को जोड़ने और किसी आव्यूह को किसी संख्या से गुणा करने के गुण:

मैट्रिक्स जोड़ संचालनऔर मैट्रिक्स गुणनकिसी संख्या में निम्नलिखित गुण होते हैं: 1. ए + बी = बी + ए; 2. ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी; 3. ए + 0 = ए; 4. ए - ए = 0; 5. 1 × ए = ए; 6. α × (ए + बी) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , जहां A, B और C आव्यूह हैं, α और β संख्याएं हैं।

मैट्रिक्स गुणन (मैट्रिक्स उत्पाद):

दो आव्यूहों को गुणा करने की संक्रियाकेवल उस स्थिति के लिए दर्ज किया जाता है जब पहले के कॉलमों की संख्या मैट्रिक्ससेकंड की पंक्तियों की संख्या के बराबर मैट्रिक्स. मैट्रिक्स उत्पादऔर एम×एन चालू आव्यूह n×p में, कहा जाता है आव्यूह m×p के साथ इस प्रकार कि ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk के साथ, यानी, i-वीं पंक्ति के तत्वों के उत्पादों का योग पाया जाता है मैट्रिक्सऔर jth कॉलम के संगत तत्वों के लिए मैट्रिक्सबी. अगर मैट्रिक्स A और B एक ही आकार के वर्ग हैं, तो उत्पाद AB और BA हमेशा मौजूद रहते हैं। यह दिखाना आसान है कि A × E = E × A = A, जहाँ A वर्ग है आव्यूह, ई - इकाई आव्यूहसमान आकार।

मैट्रिक्स गुणन के गुण:

मैट्रिक्स गुणनक्रमविनिमेय नहीं, अर्थात AB ≠ BA भले ही दोनों उत्पाद परिभाषित हों। हालाँकि, यदि किसी के लिए मैट्रिक्ससंबंध AB=BA संतुष्ट है, तो ऐसा मैट्रिक्सक्रमविनिमेय कहलाते हैं। सबसे विशिष्ट उदाहरण एकल है आव्यूह, जो किसी अन्य के साथ आवागमन करता है आव्यूहसमान आकार। केवल वर्गाकार वाले ही क्रमपरिवर्तनीय हो सकते हैं मैट्रिक्सउसी क्रम का. ए × ई = ई × ए = ए

मैट्रिक्स गुणननिम्नलिखित गुण हैं: 1. ए × (बी × सी) = (ए × बी) × सी; 2. ए × (बी + सी) = एबी + एसी; 3. (ए + बी) × सी = एसी + बीसी; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. ए × 0 = 0; 0 × ए = 0; 6. (एबी) टी = बी टी ए टी; 7. (एबीसी) टी = सी टी वी टी ए टी; 8. (ए + बी) टी = ए टी + बी टी;

2. दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारक। निर्धारकों के गुण.

मैट्रिक्स निर्धारकदूसरा आदेश, या सिद्धदूसरा क्रम एक संख्या है जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

मैट्रिक्स निर्धारकतीसरा क्रम, या सिद्धतीसरा क्रम एक संख्या है जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

यह संख्या छह पदों से युक्त बीजगणितीय योग का प्रतिनिधित्व करती है। प्रत्येक पद में प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से बिल्कुल एक तत्व होता है मैट्रिक्स. प्रत्येक पद तीन कारकों के गुणनफल से बना होता है।

किन सदस्यों के साथ संकेत मैट्रिक्स का निर्धारकसूत्र में सम्मिलित किया गया है मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात करनादी गई योजना का उपयोग करके तीसरा क्रम निर्धारित किया जा सकता है, जिसे त्रिभुजों का नियम या सारस का नियम कहा जाता है। पहले तीन पद धन चिह्न के साथ लिए गए हैं और बाएँ अंक से निर्धारित किए गए हैं, और अगले तीन पद ऋण चिह्न के साथ लिए गए हैं और दाएँ अंक से निर्धारित किए गए हैं।

खोजने हेतु पदों की संख्या निर्धारित करें मैट्रिक्स का निर्धारक, बीजगणितीय योग में, आप भाज्य की गणना कर सकते हैं: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

मैट्रिक्स निर्धारकों के गुण

मैट्रिक्स निर्धारकों के गुण:

संपत्ति #1:

मैट्रिक्स निर्धारकयदि इसकी पंक्तियों को स्तंभों से बदल दिया जाए, प्रत्येक पंक्ति को समान संख्या वाले स्तंभ से बदल दिया जाए, और इसके विपरीत (ट्रांसपोज़िशन) नहीं बदलेगा। |ए| = |ए| टी

परिणाम:

कॉलम और पंक्तियाँ मैट्रिक्स का निर्धारकसमान हैं, इसलिए पंक्तियों में निहित गुण स्तंभों पर भी लागू होते हैं।

संपत्ति #2:

2 पंक्तियों या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते समय मैट्रिक्स निर्धारकपूर्ण मान बनाए रखते हुए चिह्न को विपरीत में बदल देगा, अर्थात:

संपत्ति #3:

मैट्रिक्स निर्धारकदो समान पंक्तियों का होना शून्य के बराबर है।

संपत्ति #4:

किसी भी श्रृंखला के तत्वों का सामान्य गुणनखंड मैट्रिक्स का निर्धारकएक संकेत के रूप में लिया जा सकता है सिद्ध.

संपत्ति संख्या 3 और संख्या 4 से परिणाम:

यदि किसी निश्चित श्रृंखला (पंक्ति या स्तंभ) के सभी तत्व समानांतर श्रृंखला के संगत तत्वों के समानुपाती हों, तो ऐसा मैट्रिक्स निर्धारकशून्य के बराबर.

संपत्ति #5:

मैट्रिक्स का निर्धारकतो फिर शून्य के बराबर हैं मैट्रिक्स निर्धारकशून्य के बराबर.

संपत्ति #6:

यदि किसी पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्व सिद्धफिर, 2 पदों के योग के रूप में प्रस्तुत किया गया सिद्ध मैट्रिक्स 2 के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है निर्धारकोंसूत्र के अनुसार:

संपत्ति #7:

यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के लिए सिद्धफिर, किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संबंधित तत्वों को उसी संख्या से गुणा करके जोड़ें मैट्रिक्स निर्धारकइसका मूल्य नहीं बदलेगा.

गणना के लिए गुणों का उपयोग करने का उदाहरण मैट्रिक्स का निर्धारक:

को मिलाकर टीलाइनें और पीकॉलम को आकार मैट्रिक्स कहा जाता है एन× एम. नंबर ए 11 , ए 12 , ..., ए एम.एन.उसे कहा जाता है तत्व.मैट्रिक्स को दर्शाने वाली तालिका कोष्ठक में लिखी गई है और निरूपित की गई है ए = (ए आईजे ).

यदि किसी मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या उसके स्तंभों की संख्या के बराबर है, तो मैट्रिक्स कहा जाता है वर्ग,और इसकी पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर है - क्रम मेंवर्ग मैट्रिक्स.

एक वर्ग मैट्रिक्स के सभी तत्वों का समूह जो ऊपरी बाएँ कोने को निचले दाएँ कोने से जोड़ने वाले खंड पर स्थित होता है, कहलाता है मुख्य विकर्ण,और ऊपरी दाएं कोने को निचले बाएं कोने से जोड़ने वाले खंड पर - पार्श्व विकर्ण.

वर्गाकार मैट्रिक्स को कहा जाता है विकर्ण,यदि इसके सभी तत्व जो मुख्य विकर्ण पर नहीं हैं, शून्य के बराबर हैं। एक वर्ग मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण के साथ तत्व एक के बराबर होते हैं, और बाकी शून्य होते हैं, कहलाते हैं अकेलाऔर नामित किया गया है इ।

दो मैट्रिक्स कहलाते हैं बराबरयदि उनकी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान है और यदि इन आव्यूहों के संगत स्थानों में तत्व समान हैं।

वह मैट्रिक्स जिसके सभी अवयव शून्य हों, कहलाता है व्यर्थऔर द्वारा दर्शाया गया है एन.

परिभाषा के अनुसार, एक मैट्रिक्स को गुणा करना एसंख्या r के लिए, आपको मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व की आवश्यकता है ए r से गुणा करें.

उदाहरण। एक मैट्रिक्स दिया गया ए =
, मैट्रिक्स 3 खोजें ए.

3 ए = 3
=

आव्यूहों का योग एऔर मेंमैट्रिक्स C कहा जाता है, जिसके अवयव आव्यूहों के संगत तत्वों के योग के बराबर होते हैं एऔर में. केवल समान संख्या में पंक्तियों और स्तंभों वाले मैट्रिक्स जोड़े जा सकते हैं।

उदाहरण। दिए गए आव्यूह ए =
और में =
. मैट्रिक्स खोजें सी = ए + बी.

सी=

मैट्रिक्स जोड़ के गुण:

ए+बी=बी+ए

(ए+बी)+ सी = ए+ (बी + सी)

ए + एन = ए

मैट्रिक्स उत्पाद एमैट्रिक्स के लिए मेंमैट्रिक्स कॉलम की संख्या केवल तभी परिभाषित होती है एमैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर में।गुणन का परिणाम मैट्रिक्स है एबी,जिसमें पंक्तियों की संख्या उतनी ही है जितनी मैट्रिक्स में है ए, और कॉलमों की संख्या उतनी ही है जितनी मैट्रिक्स में हैं में।

दो आव्यूहों का गुणनफल ए (एम× पी) और में(पी× एन) मैट्रिक्स कहा जाता है साथ (एम× एन), जिसके तत्व नियम द्वारा निर्धारित होते हैं

साथ आईजे =

टिप्पणी. दो आव्यूहों को गुणा करने के लिए आपको तत्वों की आवश्यकता होती है मैंपहले मैट्रिक्स की पंक्ति को तत्वों से गुणा करें जेदूसरे मैट्रिक्स का वां कॉलम और परिणामी उत्पाद जोड़ें। आइए सूचकांक के साथ नए मैट्रिक्स का तत्व प्राप्त करें आईजे.

उदाहरण। दिए गए मैट्रिक्स ए और बी। ;. आव्यूह ab का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

एबी=

=
=

उदाहरण। दिए गए आव्यूह एऔर में. ए=
और बी = .

समाधान: ए =(2X3), में= (3X2) => एबी =(2X2)

एबी=
 =
=

मैट्रिक्स गुणन के गुण:

अब वीए;

(एबी)सी=ए(बीसी);

ऐ= ईए= ए

(अब)के = (एबी)के= ए(बीके)

(ए+बी)सी = एबी +बीसी

ए(बी+सी) = एबी + एसी/

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टीएक मैट्रिक्स है जिसमें कॉलम के बजाय पंक्तियाँ लिखी जाती हैं, और पंक्तियों के बजाय कॉलम लिखे जाते हैं।

उदाहरण। मैट्रिक्स दिया जाए ए=
, तब

ए टी =

निर्धारक।

द्वितीय क्रम निर्धारकमैट्रिक्स के अनुरूप ए =
, नंबर पर कॉल किया
=ए 11 ए 22 - ए 12 ए 21 .

उदाहरण। दूसरे क्रम के निर्धारक का उपयोग करके गणना करें।

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

तृतीय क्रम निर्धारकमैट्रिक्स के अनुरूप

ए =
, नंबर पर कॉल किया
=ए 11 ए 22 ए 33 +ए 12 ए 23 ए 31 + ए 13 ए 21 ए 32 - ए 13 ए 22 ए 31 - ए 12 ए 21 ए 33 -ए 11 ए 23 ए 32.

यह याद रखने के लिए कि समानता के दाईं ओर कौन से उत्पाद को "+" चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए और कौन सा "-" चिह्न के साथ, एक उपयोगी नियम को त्रिकोण नियम कहा जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1.

« + » « - »

चित्र 1।

उदाहरण। निर्धारक की गणना करें

तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने का दूसरा तरीका पहले दो स्तंभों को जोड़ना, मुख्य विकर्ण और उसके समानांतर और द्वितीयक विकर्ण और उसके समानांतर के साथ उत्पाद ढूंढना है।

= ए 11 ए 22 ए 33 +ए 12 ए 23 ए 31 + ए 13 ए 21 ए 32 - ए 13 ए 22 ए 31 - ए 12 ए 21 ए 33 -ए 11 ए 23 ए 32.

निर्धारकों के गुण:

यदि सारणिक में दो पंक्तियों (स्तंभों) की अदला-बदली कर दी जाए तो इसका चिह्न विपरीत दिशा में बदल जाएगा।

यदि सारणिक में पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली कर दी जाए तो उसका चिह्न और परिमाण नहीं बदलेगा।

यदि सारणिक में दो रेखाएँ आनुपातिक (बराबर) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

यदि सारणिक में किसी पंक्ति (स्तंभ) को एक निश्चित संख्या से गुणा करके दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में जोड़ दिया जाए तो उसका मान नहीं बदलेगा।

यदि सारणिक में किसी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उसे सारणिक के चिह्न से बाहर किया जा सकता है।

यदि निर्धारक में शून्य पंक्ति या स्तंभ है, तो यह शून्य के बराबर है।

माइनर एम आईजेनिर्धारक तत्व ए आईजे मूल से हटाकर प्राप्त किया गया एक निर्धारक है मैं- ओह लाइनें और जेवह स्तंभ जिस पर यह तत्व स्थित है।

बीजगणितीय पूरक ए आईजेनिर्धारक तत्व ए आईजेलघु को (-1) से गुणा करने पर कहा जाता है मैं + जे .

निर्धारकों की गणना करने का तीसरा तरीका अपघटन प्रमेय का उपयोग करना है।

अपघटन प्रमेय:सारणिक किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों और उनके बीजगणितीय पूरकों के उत्पादों के योग के बराबर है।

उदाहरण। तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करें , निर्धारक को पहली पंक्ति के तत्वों में विस्तारित करना।

= 5· (-1) 1+1 · + 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.

समान निर्धारक की गणना संपत्ति 4) का उपयोग करके की जा सकती है, और फिर अपघटन प्रमेय लागू किया जा सकता है। हमारे उदाहरण में, हम पहले कॉलम में शून्य बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के तत्वों को 5 से गुणा करके जोड़ते हैं, और तीसरी पंक्ति के तत्वों में हम दूसरी पंक्ति के तत्वों को 7 से गुणा करके जोड़ते हैं। और हम परिणामी को विघटित करते हैं पहले कॉलम के तत्वों में मैट्रिक्स।

=
= 0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.

सबसे पहले, तीन आव्यूहों को गुणा करने का परिणाम क्या होना चाहिए? बिल्ली चूहे को जन्म नहीं देगी. यदि मैट्रिक्स गुणन संभव है, तो परिणाम भी एक मैट्रिक्स होगा। हम्म्म, ठीक है, मेरे बीजगणित शिक्षक को यह समझ में नहीं आता कि मैं उसके तत्वों के सापेक्ष बीजगणितीय संरचना की बंदता को कैसे समझाता हूँ =)

तीन मैट्रिक्स के उत्पाद की गणना दो तरीकों से की जा सकती है:

1) खोजें और फिर मैट्रिक्स "सीई" से गुणा करें: ;

2) या तो पहले खोजें, फिर गुणा करें।

परिणाम निश्चित रूप से मेल खाएंगे, और सिद्धांत रूप में इस गुण को मैट्रिक्स गुणन की साहचर्यता कहा जाता है:

उदाहरण 6

आव्यूहों को दो प्रकार से गुणा करें

कलन विधि समाधानदो-चरण: हम दो आव्यूहों का गुणनफल पाते हैं, फिर हम दो आव्यूहों का गुणनफल पाते हैं।

1) सूत्र का प्रयोग करें

क्रिया एक:

अधिनियम दो:

2) सूत्र का प्रयोग करें

क्रिया एक:

अधिनियम दो:

उत्तर:

पहला समाधान, निश्चित रूप से, अधिक परिचित और मानक है, जहां "सब कुछ क्रम में लगता है।" वैसे, आदेश के संबंध में। विचाराधीन कार्य में अक्सर यह भ्रम उत्पन्न हो जाता है कि हम आव्यूहों के किसी प्रकार के क्रमपरिवर्तन के बारे में बात कर रहे हैं। वे यहाँ नहीं हैं। मैं तुम्हें वह फिर याद दिलाता हूं सामान्य तौर पर, मैट्रिक्स स्थायी रूप से स्थायी नहीं हो सकते. तो, दूसरे पैराग्राफ में, दूसरे चरण में, हम गुणा करते हैं, लेकिन किसी भी स्थिति में नहीं करते हैं। साधारण संख्याओं के साथ ऐसी संख्या काम करेगी, लेकिन आव्यूहों के साथ ऐसा नहीं होगा।

साहचर्य गुणन का गुण न केवल वर्ग के लिए, बल्कि मनमाने आव्यूहों के लिए भी सत्य है - जब तक कि उन्हें गुणा किया जाता है:

उदाहरण 7

तीन आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। नमूना समाधान में, गणना दो तरीकों से की जाती है; विश्लेषण करें कि कौन सा पथ अधिक लाभदायक और छोटा है।

मैट्रिक्स गुणन की साहचर्यता संपत्ति बड़ी संख्या में कारकों पर भी लागू होती है।

अब मैट्रिक्स की शक्तियों पर लौटने का समय आ गया है। मैट्रिक्स के वर्ग पर शुरुआत में ही विचार किया जाता है और यह एजेंडे में है।

हम क्रमिक रूप से अज्ञात को "बहिष्कृत" करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम के पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देंगे, और दूसरे और तीसरे को बदल देंगे:

1) दूसरे समीकरण में हम पहले वाले को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं, और इसे -3 के रूप में लाते हैं एक्स 2 –2एक्स 3 = –2;

2) तीसरे समीकरण में हम पहले वाले को -4 से गुणा करके जोड़ते हैं, और इसे -3 के रूप में लाते हैं एक्स 2 – 4एक्स 3 = 2.

परिणामस्वरूप, अज्ञात को दूसरे और तीसरे समीकरण से बाहर रखा जाएगा एक्स 1 और सिस्टम फॉर्म ले लेगा

हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण को -1 से गुणा करते हैं, हमें मिलता है

पहले अज्ञात के लिए पहले समीकरण में गुणांक 1 एक्स 1 कहा जाता है अग्रणी तत्वउन्मूलन का पहला चरण.

दूसरे चरण में, पहला और दूसरा समीकरण अपरिवर्तित रहता है, और चर को खत्म करने की वही विधि तीसरे समीकरण पर लागू होती है एक्स 2 . अग्रणी तत्वदूसरे चरण का गुणांक 3 है। तीसरे समीकरण में हम दूसरा जोड़ते हैं, -1 से गुणा करते हैं, फिर सिस्टम फॉर्म में बदल जाता है

(1.2)

सिस्टम (1.1) को घटाकर (1.2) बनाने की प्रक्रिया को प्रत्यक्ष कहा जाता है विधि की प्रगतिगॉस।

सिस्टम को हल करने की प्रक्रिया (1.2) कहलाती है उलटे हुए।अंतिम समीकरण से हमें प्राप्त होता है एक्स 3 = -2. इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है एक्स 2 = 2. इसके बाद पहला समीकरण देता है एक्स 1 = 1. इस प्रकार, सिस्टम (1.1) का एक समाधान है।

मैट्रिक्स अवधारणा

आइए सिस्टम (1.1) में शामिल मात्राओं पर विचार करें। समीकरणों में अज्ञात से पहले प्रदर्शित होने वाले नौ संख्यात्मक गुणांकों का एक सेट संख्याओं की एक तालिका बनाता है जिसे कहा जाता है आव्यूह:

तालिका संख्याएँ कहलाती हैं तत्वों matrices. तत्व बनते हैं पंक्तियाँ और स्तंभ matrices. पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या से बनता है आयाम matrices. आव्यूह एइसका आयाम 3´3 ("तीन बटा तीन") है, जिसमें पहली संख्या पंक्तियों की संख्या दर्शाती है, और दूसरी स्तंभों की संख्या दर्शाती है। अक्सर एक मैट्रिक्स को उसके आयाम A (3 ´ 3) को इंगित करके दर्शाया जाता है। चूंकि मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या एवही, मैट्रिक्स कहा जाता है वर्ग।एक वर्ग मैट्रिक्स में पंक्तियों (और स्तंभों) की संख्या को इसकी कहा जाता है क्रम में, इसीलिए ए- आव्यूह तीसरा क्रम.

समीकरणों के दाएँ पक्ष भी संख्याओं की एक तालिका बनाते हैं, अर्थात। आव्यूह:

इस मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति एक एकल तत्व द्वारा बनाई गई है, इसलिए बी(3 ´ 1) कहा जाता है मैट्रिक्स-कॉलम, इसका आयाम 3´1 है। अज्ञात के सेट को कॉलम मैट्रिक्स के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

एक वर्ग मैट्रिक्स को एक कॉलम मैट्रिक्स से गुणा करना

आप मैट्रिसेस के साथ विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं, जिस पर बाद में विस्तार से चर्चा की जाएगी। यहां हम केवल वर्ग मैट्रिक्स को कॉलम मैट्रिक्स से गुणा करने के नियम का विश्लेषण करेंगे। द्वारा परिभाषा, मैट्रिक्स गुणन का परिणाम ए(3 ´ 3) प्रति कॉलम में(3 ´ 1) स्तम्भ है डी(3 ´ 1) , जिनके तत्व मैट्रिक्स पंक्तियों के तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर हैं एस्तंभ तत्वों के लिए में:

2)दूसरास्तंभ तत्व डीतत्वों के उत्पादों के योग के बराबर दूसरामैट्रिक्स पंक्तियाँ एस्तंभ तत्वों के लिए में:

उपरोक्त सूत्रों से यह स्पष्ट है कि एक मैट्रिक्स को एक कॉलम से गुणा करना मेंमैट्रिक्स कॉलम की संख्या होने पर ही संभव है एकॉलम में तत्वों की संख्या के बराबर में.

आइए मैट्रिक्स गुणन के दो और संख्यात्मक उदाहरण देखें (3 ´3) प्रति कॉलम (3 ´1) :

उदाहरण 1.1

अब = .

उदाहरण 1.2

अब= .