हॉर्नर योजना के अनुसार विभाजन। "हॉर्नर की योजना, बेज़ौट का प्रमेय और एक कोने से विभाजन" विषय को पढ़ाने की पद्धति। एक गणित शिक्षक के ट्रिक्स के थैले से

वगैरह। सामान्य शैक्षिक प्रकृति का है और उच्च गणित के संपूर्ण पाठ्यक्रम के अध्ययन के लिए इसका बहुत महत्व है। आज हम "स्कूल" समीकरणों को दोहराएंगे, लेकिन केवल "स्कूल" वाले ही नहीं - बल्कि वे भी जो विभिन्न विषम समस्याओं में हर जगह पाए जाते हैं। हमेशा की तरह, कहानी को व्यावहारिक तरीके से बताया जाएगा, यानी। मैं परिभाषाओं और वर्गीकरणों पर ध्यान केंद्रित नहीं करूंगा, बल्कि इसे हल करने का अपना व्यक्तिगत अनुभव आपके साथ साझा करूंगा। जानकारी मुख्य रूप से शुरुआती लोगों के लिए है, लेकिन अधिक उन्नत पाठकों को अपने लिए कई दिलचस्प बिंदु भी मिलेंगे। और निःसंदेह ऐसी नई सामग्री होगी जो हाई स्कूल से आगे बढ़ेगी।

तो समीकरण... कई लोग इस शब्द को सिहर कर याद करते हैं। जड़ों वाले "परिष्कृत" समीकरणों का मूल्य क्या है... ...उनके बारे में भूल जाओ! क्योंकि तब आप इस प्रजाति के सबसे हानिरहित "प्रतिनिधियों" से मिलेंगे। या दर्जनों समाधान विधियों के साथ उबाऊ त्रिकोणमितीय समीकरण। सच कहूँ तो, मैं स्वयं उन्हें वास्तव में पसंद नहीं करता था... घबड़ाएं नहीं! - तो अधिकतर "डंडेलियंस" 1-2 चरणों में एक स्पष्ट समाधान के साथ आपका इंतजार करते हैं। हालाँकि "बोझ" निश्चित रूप से चिपक जाता है, आपको यहाँ वस्तुनिष्ठ होने की आवश्यकता है।

अजीब तरह से, उच्च गणित में बहुत ही आदिम समीकरणों से निपटना बहुत आम है रेखीयसमीकरण

इस समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? इसका मतलब है "x" (रूट) का ऐसा मान खोजना जो इसे वास्तविक समानता में बदल दे। आइए चिह्न परिवर्तन के साथ "तीन" को दाईं ओर फेंकें:

और "दो" को दाहिनी ओर छोड़ें (या, एक ही बात - दोनों पक्षों को गुणा करें) :

जाँच करने के लिए, आइए जीती हुई ट्रॉफी को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि पाया गया मान वास्तव में इस समीकरण का मूल है। या, जैसा कि वे भी कहते हैं, इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

कृपया ध्यान दें कि मूल को दशमलव भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है:
और कोशिश करें कि इस ख़राब शैली पर अड़े न रहें! मैंने कारण को एक से अधिक बार दोहराया, विशेष रूप से, पहले पाठ में उच्चतर बीजगणित.

वैसे, समीकरण को "अरबी में" भी हल किया जा सकता है:

और सबसे दिलचस्प बात यह है कि यह रिकॉर्डिंग पूरी तरह से कानूनी है! लेकिन अगर आप शिक्षक नहीं हैं तो ऐसा न करना ही बेहतर है, क्योंकि यहां मौलिकता दंडनीय है=)

और अब थोड़ा इसके बारे में

ग्राफ़िकल समाधान विधि

समीकरण का रूप और उसका मूल है "एक्स" समन्वय प्रतिच्छेदन बिंदु रैखिक फ़ंक्शन ग्राफ़एक रैखिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ (एक्स अक्ष):

ऐसा प्रतीत होता है कि उदाहरण इतना प्राथमिक है कि यहां विश्लेषण करने के लिए और कुछ नहीं है, लेकिन एक और अप्रत्याशित बारीकियों को इसमें से "निचोड़" लिया जा सकता है: आइए उसी समीकरण को रूप में प्रस्तुत करें और कार्यों के ग्राफ़ बनाएं:

वहीं, कृपया दोनों अवधारणाओं को भ्रमित न करें: एक समीकरण एक समीकरण है, और समारोह- यह एक फ़ंक्शन है! कार्य केवल मददसमीकरण की जड़ें खोजें. जिनमें से दो, तीन, चार या यहां तक ​​कि अनंत रूप से कई भी हो सकते हैं। इस अर्थ में निकटतम उदाहरण प्रसिद्ध है द्विघात समीकरण, समाधान एल्गोरिथ्म जिसके लिए एक अलग पैराग्राफ प्राप्त हुआ "हॉट" स्कूल सूत्र. और यह कोई संयोग नहीं है! यदि आप द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं और जान सकते हैं पाइथागोरस प्रमेय, तो, कोई कह सकता है, "उच्च गणित का आधा हिस्सा पहले से ही आपकी जेब में है" =) अतिरंजित, निश्चित रूप से, लेकिन सच्चाई से इतना दूर नहीं!

इसलिए, आइए आलसी न बनें और कुछ द्विघात समीकरण का उपयोग करके हल करें मानक एल्गोरिदम:

, जिसका अर्थ है कि समीकरण में दो भिन्न हैं वैधजड़:

यह सत्यापित करना आसान है कि दोनों पाए गए मान वास्तव में इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

यदि आप अचानक समाधान एल्गोरिदम भूल गए, और हाथ में कोई साधन/मदद करने वाला हाथ नहीं है तो क्या करें? यह स्थिति उत्पन्न हो सकती है, उदाहरण के लिए, किसी परीक्षण या परीक्षा के दौरान। हम ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करते हैं! और दो तरीके हैं: आप कर सकते हैं बिंदु दर बिंदु निर्माण करेंपरवलय , जिससे यह पता चलता है कि यह अक्ष को कहां काटता है (यदि यह बिल्कुल भी पार हो जाए). लेकिन कुछ और चालाकी करना बेहतर है: फॉर्म में समीकरण की कल्पना करें, सरल कार्यों के ग्राफ़ बनाएं - और "एक्स" निर्देशांकउनके प्रतिच्छेदन बिंदु स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहे हैं!


यदि यह पता चलता है कि सीधी रेखा परवलय को छूती है, तो समीकरण के दो मेल खाने वाले (एकाधिक) मूल हैं। यदि यह पता चलता है कि सीधी रेखा परवलय को नहीं काटती है, तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

ऐसा करने के लिए, निश्चित रूप से, आपको निर्माण करने में सक्षम होने की आवश्यकता है प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़, लेकिन दूसरी ओर, एक स्कूली बच्चा भी ये कौशल कर सकता है।

और फिर - एक समीकरण एक समीकरण है, और फ़ंक्शन, फ़ंक्शन हैं केवल मदद कीप्रश्न हल करें!

और यहाँ, वैसे, एक और बात याद रखना उचित होगा: यदि किसी समीकरण के सभी गुणांकों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाए, तो उसके मूल नहीं बदलेंगे.

तो, उदाहरण के लिए, समीकरण जड़ें समान हैं. एक सरल "प्रमाण" के रूप में, मैं कोष्ठक से स्थिरांक निकालूंगा:
और मैं इसे बिना किसी दर्द के हटा दूँगा (मैं दोनों भागों को "शून्य से दो" से विभाजित करूंगा):

लेकिन!यदि हम फ़ंक्शन पर विचार करें , तो आप यहां स्थिरांक से छुटकारा नहीं पा सकते! गुणक को केवल कोष्ठक से बाहर निकालना अनुमत है: .

बहुत से लोग ग्राफ़िकल समाधान पद्धति को "अपमानजनक" मानते हुए इसे कम आंकते हैं, और कुछ तो इस संभावना के बारे में पूरी तरह से भूल भी जाते हैं। और यह मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि ग्राफ़ बनाने से कभी-कभी स्थिति बच जाती है!

एक अन्य उदाहरण: मान लीजिए कि आपको सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ें याद नहीं हैं:। सामान्य सूत्र स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, प्रारंभिक गणित की सभी संदर्भ पुस्तकों में है, लेकिन वे आपके लिए उपलब्ध नहीं हैं। हालाँकि, समीकरण को हल करना महत्वपूर्ण है (उर्फ "दो")। वहाँ एक निकास है! - कार्यों के ग्राफ बनाएं:


जिसके बाद हम शांति से उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के "X" निर्देशांक लिखते हैं:

जड़ें अनंत रूप से अनेक हैं, और बीजगणित में उनका संक्षिप्त संकेतन स्वीकार किया जाता है:
, कहाँ ( – पूर्णांकों का समुच्चय) .

और, "दूर जाए बिना", एक चर के साथ असमानताओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि के बारे में कुछ शब्द। सिद्धांत वही है. इसलिए, उदाहरण के लिए, असमानता का समाधान कोई "x" है, क्योंकि साइनसॉइड लगभग पूरी तरह से सीधी रेखा के नीचे स्थित होता है। असमानता का समाधान अंतरालों का वह सेट है जिसमें साइनसॉइड के टुकड़े सीधी रेखा से बिल्कुल ऊपर स्थित होते हैं (एक्स-अक्ष):

या, संक्षेप में:

लेकिन यहां असमानता के कई समाधान हैं: खाली, चूँकि साइनसॉइड का कोई भी बिंदु सीधी रेखा के ऊपर नहीं होता है।

क्या कोई ऐसी बात है जो तुम्हें समझ में नहीं आ रही? के बारे में पाठों का तत्काल अध्ययन करें सेटऔर फ़ंक्शन ग्राफ़!

थोड़ी गर्मी आये:

अभ्यास 1

निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों को आलेखीय रूप से हल करें:

पाठ के अंत में उत्तर

जैसा कि आप देख सकते हैं, सटीक विज्ञान का अध्ययन करने के लिए सूत्रों और संदर्भ पुस्तकों को रटना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है! इसके अलावा, यह एक मौलिक रूप से त्रुटिपूर्ण दृष्टिकोण है।

जैसा कि मैंने आपको पाठ की शुरुआत में ही आश्वस्त किया था, उच्च गणित के मानक पाठ्यक्रम में जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को बहुत कम ही हल करना पड़ता है। सभी जटिलताएँ, एक नियम के रूप में, जैसे समीकरणों के साथ समाप्त होती हैं, जिसका समाधान सरलतम समीकरणों से उत्पन्न जड़ों के दो समूह हैं और . उत्तरार्द्ध को हल करने के बारे में बहुत अधिक चिंता न करें - किसी पुस्तक में देखें या इंटरनेट पर खोजें =)

ग्राफिकल समाधान विधि कम मामूली मामलों में भी मदद कर सकती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित "रैगटैग" समीकरण पर विचार करें:

इसके समाधान की संभावनाएं दिखती हैं... बिल्कुल नहीं दिखतीं, लेकिन आपको बस समीकरण के रूप में कल्पना करनी है, निर्माण करना है फ़ंक्शन ग्राफ़और सब कुछ अविश्वसनीय रूप से सरल हो जाएगा। के बारे में लेख के मध्य में एक चित्र है अतिसूक्ष्म कार्य (अगले टैब में खुलेगा).

उसी ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि समीकरण में पहले से ही दो जड़ें हैं, और उनमें से एक शून्य के बराबर है, और दूसरा, जाहिरा तौर पर, तर्कहीनऔर खंड के अंतर्गत आता है. इस मूल की गणना लगभग की जा सकती है, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा विधि. वैसे, कुछ समस्याओं में ऐसा होता है कि आपको जड़ें ढूंढने की नहीं, बल्कि खोजने की जरूरत होती है क्या वे बिल्कुल मौजूद हैं?. और यहां भी, एक चित्र मदद कर सकता है - यदि ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो कोई जड़ें नहीं हैं।

पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों की परिमेय जड़ें।
हॉर्नर योजना

और अब मैं आपको अपना ध्यान मध्य युग की ओर मोड़ने और शास्त्रीय बीजगणित के अनूठे माहौल को महसूस करने के लिए आमंत्रित करता हूं। सामग्री की बेहतर समझ के लिए, मेरा सुझाव है कि आप कम से कम थोड़ा पढ़ें जटिल आंकड़े.

वे अच्छे हैं। बहुपद.

हमारी रुचि का उद्देश्य फॉर्म के सबसे सामान्य बहुपद होंगे साबुतगुणांकों प्राकृतिक संख्या कहलाती है बहुपद की डिग्री, संख्या - उच्चतम डिग्री का गुणांक (या सिर्फ उच्चतम गुणांक), और गुणांक है स्वतंत्र सदस्य.

मैं इस बहुपद को संक्षेप में से निरूपित करूंगा।

एक बहुपद की जड़ेंसमीकरण की जड़ों को बुलाओ

मुझे लौह तर्क पसंद है =)

उदाहरण के लिए, लेख की शुरुआत में जाएँ:

पहली और दूसरी डिग्री के बहुपदों की जड़ों को खोजने में कोई समस्या नहीं है, लेकिन जैसे-जैसे आप बढ़ते हैं यह कार्य और अधिक कठिन होता जाता है। हालाँकि दूसरी ओर, सब कुछ अधिक दिलचस्प है! और पाठ का दूसरा भाग बिल्कुल इसी के लिए समर्पित होगा।

सबसे पहले, वस्तुतः सिद्धांत की आधी स्क्रीन:

1)परिणाम के अनुसार बीजगणित का मौलिक प्रमेय, डिग्री बहुपद बिल्कुल है जटिलजड़ें. कुछ जड़ें (या यहां तक ​​कि सभी) विशेष रूप से हो सकती हैं वैध. इसके अलावा, वास्तविक जड़ों के बीच समान (एकाधिक) जड़ें हो सकती हैं (न्यूनतम दो, अधिकतम टुकड़े).

यदि कोई सम्मिश्र संख्या किसी बहुपद का मूल है, तो संयुग्मइसकी संख्या भी आवश्यक रूप से इस बहुपद का मूल है (संयुग्मित जटिल जड़ों का रूप होता है ).

सबसे सरल उदाहरण एक द्विघात समीकरण है, जिसका पहली बार सामना 8 में हुआ था (पसंद करना)कक्षा, और जिसे हमने अंततः विषय में "समाप्त" कर दिया जटिल आंकड़े. मैं आपको याद दिला दूं: एक द्विघात समीकरण में या तो दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें होती हैं, या कई जड़ें होती हैं, या संयुग्मित जटिल जड़ें होती हैं।

2)से बेज़ाउट का प्रमेयइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि कोई संख्या किसी समीकरण का मूल है, तो संबंधित बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है:
, डिग्री का बहुपद कहां है .

और फिर, हमारा पुराना उदाहरण: चूँकि समीकरण का मूल है, तो। जिसके बाद सुप्रसिद्ध "स्कूल" विस्तार प्राप्त करना कठिन नहीं है।

बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम का बहुत व्यावहारिक महत्व है: यदि हम तीसरी डिग्री के समीकरण की जड़ जानते हैं, तो हम इसे इस रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं और द्विघात समीकरण से शेष मूल ज्ञात करना आसान है। यदि हम चौथी डिग्री के समीकरण का मूल जानते हैं, तो बाईं ओर को उत्पाद आदि में विस्तारित करना संभव है।

और यहाँ दो प्रश्न हैं:

प्रश्न एक. इसी मूल को कैसे खोजें? सबसे पहले, आइए इसकी प्रकृति को परिभाषित करें: उच्च गणित की कई समस्याओं में इसे खोजना आवश्यक है तर्कसंगत, विशेष रूप से साबुतबहुपदों की जड़ें, और इस संबंध में, आगे हम मुख्य रूप से उनमें रुचि लेंगे.... ...वे इतने अच्छे, इतने रोएंदार हैं कि आप बस उन्हें ढूंढना चाहेंगे! =)

पहली बात जो मन में आती है वह चयन पद्धति है। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें। यहाँ समस्या मुक्त पद में है - यदि यह शून्य के बराबर होती, तो सब कुछ ठीक होता - हम "x" को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं और जड़ें स्वयं सतह पर "गिर जाती हैं":

लेकिन हमारा स्वतंत्र पद "तीन" के बराबर है, और इसलिए हम समीकरण में विभिन्न संख्याओं को प्रतिस्थापित करना शुरू करते हैं जो "मूल" होने का दावा करते हैं। सबसे पहले, एकल मानों का प्रतिस्थापन स्वयं सुझाता है। आइए स्थानापन्न करें:

प्राप्त गलतसमानता, इस प्रकार, इकाई "फिट नहीं हुई।" अच्छा, ठीक है, चलो प्रतिस्थापित करें:

प्राप्त सत्यसमानता! अर्थात् मान ही इस समीकरण का मूल है।

तृतीय डिग्री के बहुपद के मूल ज्ञात करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि है (तथाकथित कार्डानो सूत्र), लेकिन अब हम थोड़े अलग कार्य में रुचि रखते हैं।

चूँकि - हमारे बहुपद का मूल है, बहुपद को रूप में दर्शाया जा सकता है और उत्पन्न होता है दूसरा सवाल: "छोटा भाई" कैसे खोजें?

सबसे सरल बीजगणितीय विचार सुझाते हैं कि ऐसा करने के लिए हमें से भाग देना होगा। एक बहुपद को एक बहुपद से कैसे विभाजित करें? वही स्कूल पद्धति जो सामान्य संख्याओं को विभाजित करती है - "कॉलम"! मैंने पाठ के पहले उदाहरणों में इस विधि पर विस्तार से चर्चा की है। जटिल सीमाएँ, और अब हम एक और विधि देखेंगे, जिसे कहा जाता है हॉर्नर योजना.

सबसे पहले हम "उच्चतम" बहुपद लिखते हैं हर किसी के साथ , शून्य गुणांक सहित:
, जिसके बाद हम इन गुणांकों को (सख्ती से क्रम में) तालिका की शीर्ष पंक्ति में दर्ज करते हैं:

हम बाईं ओर मूल लिखते हैं:

मैं तुरंत आरक्षण कर दूंगा कि हॉर्नर की योजना "लाल" संख्या होने पर भी काम करती है नहींबहुपद का मूल है. हालाँकि, आइए चीजों में जल्दबाजी न करें।

हम ऊपर से अग्रणी गुणांक हटाते हैं:

निचली कोशिकाओं को भरने की प्रक्रिया कुछ हद तक कढ़ाई की याद दिलाती है, जहां "माइनस वन" एक प्रकार की "सुई" है जो बाद के चरणों में प्रवेश करती है। हम "कैरीड डाउन" संख्या को (-1) से गुणा करते हैं और शीर्ष सेल से संख्या को उत्पाद में जोड़ते हैं:

हम पाए गए मान को "लाल सुई" से गुणा करते हैं और उत्पाद में निम्नलिखित समीकरण गुणांक जोड़ते हैं:

और अंत में, परिणामी मान को फिर से "सुई" और ऊपरी गुणांक के साथ "संसाधित" किया जाता है:

अंतिम सेल में शून्य हमें बताता है कि बहुपद को विभाजित किया गया है एक का पता लगाए बिना (जैसा होना चाहिए), जबकि विस्तार गुणांक सीधे तालिका की निचली रेखा से "हटा दिए" जाते हैं:

इस प्रकार, हम समीकरण से समतुल्य समीकरण की ओर बढ़ गए और शेष दो जड़ों के साथ सब कुछ स्पष्ट है (इस मामले में हमें संयुग्मित जटिल जड़ें मिलती हैं).

वैसे, समीकरण को ग्राफ़िक तरीके से भी हल किया जा सकता है: प्लॉट "बिजली चमकना" और देखें कि ग्राफ़ x-अक्ष को पार करता है () बिंदु पर. या वही "चालाक" चाल - हम फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखते हैं, प्राथमिक ग्राफ़ बनाते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु के "एक्स" समन्वय का पता लगाते हैं।

वैसे, तीसरी डिग्री के किसी भी फ़ंक्शन-बहुपद का ग्राफ़ अक्ष को कम से कम एक बार काटता है, जिसका अर्थ है कि संबंधित समीकरण है कम से कमएक वैधजड़। यह तथ्य विषम डिग्री वाले किसी भी बहुपद फलन के लिए सत्य है।

और यहाँ मैं भी ध्यान केन्द्रित करना चाहूँगा महत्वपूर्ण बिंदुजो शब्दावली से संबंधित है: बहुपदऔर बहुपदीय फलन – यह वही बात नहीं है! लेकिन व्यवहार में वे अक्सर बात करते हैं, उदाहरण के लिए, "बहुपद के ग्राफ" के बारे में, जो निस्संदेह लापरवाही है।

हालाँकि, आइए हॉर्नर की योजना पर वापस लौटें। जैसा कि मैंने हाल ही में उल्लेख किया है, यह योजना अन्य नंबरों के लिए काम करती है, लेकिन यदि नंबर नहींसमीकरण का मूल है, तो हमारे सूत्र में एक गैर-शून्य जोड़ (शेष) दिखाई देता है:

आइए हॉर्नर की योजना के अनुसार "असफल" मान को "चलाएँ"। इस मामले में, उसी तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक है - बाईं ओर एक नई "सुई" लिखें, ऊपर से अग्रणी गुणांक को स्थानांतरित करें (बायां हरा तीर), और हम चले गए:

जाँच करने के लिए, आइए कोष्ठक खोलें और समान शब्द प्रस्तुत करें:
, ठीक है।

यह देखना आसान है कि शेषफल ("छह") बिल्कुल बहुपद का मान है। और वास्तव में - यह कैसा है:
, और इससे भी अच्छा - इस तरह:

उपरोक्त गणनाओं से यह समझना आसान है कि हॉर्नर की योजना न केवल बहुपद का गुणनखंड करने की अनुमति देती है, बल्कि मूल का "सभ्य" चयन करने की भी अनुमति देती है। मेरा सुझाव है कि आप एक छोटे से कार्य के साथ गणना एल्गोरिथ्म को स्वयं समेकित करें:

कार्य 2

हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, समीकरण का पूर्णांक मूल ज्ञात करें और संबंधित बहुपद का गुणनखंड करें

दूसरे शब्दों में, यहां आपको क्रमिक रूप से संख्याओं 1, -1, 2, -2, ... की जांच करने की आवश्यकता है जब तक कि अंतिम कॉलम में शून्य शेष "खींचा" न जाए। इसका अर्थ यह होगा कि इस रेखा की "सुई" बहुपद का मूल है

गणनाओं को एक ही तालिका में व्यवस्थित करना सुविधाजनक है। पाठ के अंत में विस्तृत समाधान और उत्तर।

जड़ों को चुनने की विधि अपेक्षाकृत सरल मामलों के लिए अच्छी है, लेकिन यदि बहुपद के गुणांक और/या डिग्री बड़ी हैं, तो प्रक्रिया में लंबा समय लग सकता है। या हो सकता है कि एक ही सूची 1, -1, 2, -2 से कुछ मान हों और उन पर विचार करने का कोई मतलब नहीं है? और, इसके अलावा, जड़ें आंशिक हो सकती हैं, जिससे पूरी तरह से अवैज्ञानिक पोकिंग हो जाएगी।

सौभाग्य से, दो शक्तिशाली प्रमेय हैं जो तर्कसंगत जड़ों के लिए "उम्मीदवार" मूल्यों की खोज को काफी कम कर सकते हैं:

प्रमेय 1चलो गौर करते हैं अलघुकरणीयअंश , कहाँ . यदि संख्या समीकरण का मूल है, तो मुक्त पद को विभाजित किया जाता है और अग्रणी गुणांक को विभाजित किया जाता है।

विशेष रूप से, यदि अग्रणी गुणांक है, तो यह तर्कसंगत मूल एक पूर्णांक है:

और हम इस स्वादिष्ट विवरण के साथ प्रमेय का उपयोग करना शुरू करते हैं:

आइए समीकरण पर वापस लौटें। चूँकि इसका अग्रणी गुणांक है, तो काल्पनिक तर्कसंगत जड़ें विशेष रूप से पूर्णांक हो सकती हैं, और मुक्त पद को आवश्यक रूप से बिना किसी अवशेष के इन जड़ों में विभाजित किया जाना चाहिए। और "तीन" को केवल 1, -1, 3 और -3 में विभाजित किया जा सकता है। यानी, हमारे पास केवल 4 "रूट उम्मीदवार" हैं। और, के अनुसार प्रमेय 1, सिद्धांततः अन्य परिमेय संख्याएँ इस समीकरण के मूल नहीं हो सकतीं।

समीकरण में कुछ और "दावेदार" हैं: मुक्त पद को 1, -1, 2, - 2, 4 और -4 में विभाजित किया गया है।

कृपया ध्यान दें कि संख्याएँ 1, -1 संभावित मूलों की सूची की "नियमित" हैं (प्रमेय का एक स्पष्ट परिणाम)और प्राथमिकता परीक्षण के लिए सर्वोत्तम विकल्प।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर आगे बढ़ें:

समस्या 3

समाधान: चूंकि अग्रणी गुणांक है, तो काल्पनिक तर्कसंगत जड़ें केवल पूर्णांक हो सकती हैं, और वे आवश्यक रूप से मुक्त पद के विभाजक होने चाहिए। "माइनस चालीस" को संख्याओं के निम्नलिखित युग्मों में विभाजित किया गया है:
- कुल 16 "उम्मीदवार"।

और यहां एक आकर्षक विचार तुरंत प्रकट होता है: क्या सभी नकारात्मक या सभी सकारात्मक जड़ों को खत्म करना संभव है? कुछ मामलों में यह संभव है! मैं दो संकेत तैयार करूंगा:

1) यदि सभीयदि बहुपद के गुणांक गैर-ऋणात्मक हैं, तो इसके धनात्मक मूल नहीं हो सकते। दुर्भाग्य से, यह हमारा मामला नहीं है (अब, यदि हमें एक समीकरण दिया गया है - तो हाँ, बहुपद के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करते समय, बहुपद का मान सख्ती से सकारात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि सभी सकारात्मक संख्याएं (और तर्कहीन भी)समीकरण की जड़ें नहीं हो सकतीं।

2) यदि विषम घातों के लिए गुणांक गैर-ऋणात्मक हैं, और सभी सम घातों के लिए (निःशुल्क सदस्य सहित)ऋणात्मक हैं, तो बहुपद के मूल ऋणात्मक नहीं हो सकते। यह हमारा मामला है! थोड़ा करीब से देखने पर, आप देख सकते हैं कि समीकरण में किसी भी नकारात्मक "X" को प्रतिस्थापित करने पर, बाईं ओर का पक्ष सख्ती से नकारात्मक होगा, जिसका अर्थ है कि नकारात्मक जड़ें गायब हो जाती हैं

इस प्रकार, शोध के लिए 8 संख्याएँ शेष हैं:

हम हॉर्नर की योजना के अनुसार उन्हें क्रमिक रूप से "चार्ज" करते हैं। मुझे आशा है कि आप पहले से ही मानसिक गणना में महारत हासिल कर चुके हैं:

"दो" का परीक्षण करते समय भाग्य हमारा इंतजार कर रहा था। इस प्रकार, विचाराधीन समीकरण का मूल है, और

यह समीकरण का अध्ययन करना बाकी है . विवेचक के माध्यम से ऐसा करना आसान है, लेकिन मैं उसी योजना का उपयोग करके एक सांकेतिक परीक्षण आयोजित करूंगा। सबसे पहले, आइए ध्यान दें कि मुक्त पद 20 के बराबर है, जिसका अर्थ है प्रमेय 1संख्याएँ 8 और 40 संभावित जड़ों की सूची से बाहर हो जाती हैं, जिससे मान अनुसंधान के लिए रह जाते हैं (हॉर्नर की योजना के अनुसार एक को हटा दिया गया).

हम त्रिपद के गुणांकों को नई तालिका की शीर्ष पंक्ति में लिखते हैं और हम उसी "दो" से जाँच शुरू करते हैं. क्यों? और क्योंकि जड़ें एकाधिक हो सकती हैं, कृपया: - इस समीकरण में 10 समान जड़ें हैं। लेकिन आइए विचलित न हों:

और यहाँ, निस्संदेह, मैं थोड़ा झूठ बोल रहा था, यह जानते हुए कि जड़ें तर्कसंगत हैं। आख़िरकार, यदि वे तर्कहीन या जटिल होते, तो मुझे शेष सभी संख्याओं की असफल जाँच का सामना करना पड़ता। इसलिए, व्यवहार में, विवेचक द्वारा निर्देशित रहें।

उत्तर: तर्कसंगत जड़ें: 2, 4, 5

जिस समस्या का हमने विश्लेषण किया, उसमें हम भाग्यशाली थे, क्योंकि: ए) नकारात्मक मान तुरंत गायब हो गए, और बी) हमें जड़ बहुत जल्दी मिल गई (और सैद्धांतिक रूप से हम पूरी सूची की जांच कर सकते थे)।

लेकिन हकीकत में हालात काफी बदतर हैं. मैं आपको "द लास्ट हीरो" नामक एक रोमांचक गेम देखने के लिए आमंत्रित करता हूं:

समस्या 4

समीकरण के तर्कसंगत मूल ज्ञात कीजिए

समाधान: द्वारा प्रमेय 1काल्पनिक तर्कसंगत जड़ों के अंशों को शर्त को पूरा करना होगा (हम पढ़ते हैं "बारह को एल से विभाजित किया जाता है"), और हर स्थिति के अनुरूप हैं . इसके आधार पर, हमें दो सूचियाँ मिलती हैं:

"सूची एल":
और "सूची उम": (सौभाग्य से, यहाँ संख्याएँ प्राकृतिक हैं).

आइए अब सभी संभावित जड़ों की एक सूची बनाएं। सबसे पहले, हम "एल सूची" को विभाजित करते हैं। यह बिल्कुल साफ है कि वही नंबर मिलेंगे. सुविधा के लिए, आइए उन्हें एक तालिका में रखें:

कई अंशों को कम कर दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप वे मान पहले से ही "हीरो सूची" में हैं। हम केवल "नौसिखिया" जोड़ते हैं:

इसी प्रकार, हम उसी "सूची" को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

और अंत में आगे

इस प्रकार, हमारे खेल में प्रतिभागियों की टीम पूरी हो गई है:


दुर्भाग्य से, इस समस्या में बहुपद "सकारात्मक" या "नकारात्मक" मानदंड को पूरा नहीं करता है, और इसलिए हम ऊपर या नीचे की पंक्ति को नहीं छोड़ सकते। आपको सभी नंबरों के साथ काम करना होगा।

तुम कैसा महसूस कर रहे हो? आइए, अपना सिर ऊपर उठाएं - एक और प्रमेय है जिसे लाक्षणिक रूप से "हत्यारा प्रमेय" कहा जा सकता है... ..."उम्मीदवार", बिल्कुल =)

लेकिन पहले आपको कम से कम एक के लिए हॉर्नर के आरेख को स्क्रॉल करना होगा पूरानंबर. परंपरागत रूप से, आइए एक लेते हैं। शीर्ष पंक्ति में हम बहुपद के गुणांक लिखते हैं और सब कुछ हमेशा की तरह है:

चूँकि चार स्पष्ट रूप से शून्य नहीं है, मान प्रश्न में बहुपद का मूल नहीं है। लेकिन वह हमारी बहुत मदद करेगी.

प्रमेय 2अगर कुछ के लिए सामान्य रूप मेंबहुपद का मान शून्येतर है: , तो इसकी तर्कसंगत जड़ें (अगर वे हैं)शर्त पूरी करो

हमारे मामले में और इसलिए सभी संभावित जड़ों को शर्त पूरी करनी चाहिए (चलिए इसे शर्त संख्या 1 कहते हैं). ये चार कई "उम्मीदवारों" के "हत्यारे" होंगे। प्रदर्शन के तौर पर, मैं कुछ जाँचें देखूँगा:

आइए "उम्मीदवार" की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, आइए इसे कृत्रिम रूप से एक अंश के रूप में प्रस्तुत करें, जिससे यह स्पष्ट रूप से देखा जा सके। आइए परीक्षण अंतर की गणना करें: . चार को "माइनस दो" से विभाजित किया गया है:, जिसका अर्थ है कि संभावित रूट ने परीक्षण पास कर लिया है।

आइए मूल्य की जाँच करें। यहाँ परीक्षण अंतर है: . बेशक, और इसलिए दूसरा "विषय" भी सूची में बना हुआ है।

हॉर्नर की योजना - एक बहुपद को विभाजित करने की एक विधि

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

द्विपद $x-a$ पर। आपको एक तालिका के साथ काम करना होगा, जिसकी पहली पंक्ति में किसी दिए गए बहुपद के गुणांक शामिल हैं। दूसरी पंक्ति का पहला तत्व संख्या $a$ होगा, जो द्विपद $x-a$ से लिया गया है:

nवीं घात वाले बहुपद को द्विपद $x-a$ से विभाजित करने पर, हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जिसकी घात मूल से एक कम होती है, अर्थात। $n-1$ के बराबर है। हॉर्नर की योजना का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग उदाहरणों के साथ प्रदर्शित करना सबसे आसान है।

उदाहरण क्रमांक 1

हॉर्नर की योजना का उपयोग करके $5x^4+5x^3+x^2-11$ को $x-1$ से विभाजित करें।

आइए दो पंक्तियों की एक तालिका बनाएं: पहली पंक्ति में हम बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ के गुणांकों को लिखते हैं, जो चर $x$ की शक्तियों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित होते हैं। ध्यान दें कि इस बहुपद में पहली डिग्री तक $x$ शामिल नहीं है, यानी। पहली घात के लिए $x$ का गुणांक 0 है। चूँकि हम $x-1$ से विभाजित कर रहे हैं, हम दूसरी पंक्ति में एक लिखते हैं:

आइए दूसरी पंक्ति में रिक्त कक्षों को भरना शुरू करें। दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या $5$ लिखते हैं, बस इसे पहली पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाते हैं:

आइए अगले सेल को इस सिद्धांत के अनुसार भरें: $1\cdot 5+5=10$:

आइए दूसरी पंक्ति के चौथे सेल को इसी तरह भरें: $1\cdot 10+1=11$:

पांचवें सेल के लिए हमें मिलता है: $1\cdot 11+0=11$:

और अंत में, अंतिम, छठे सेल के लिए, हमारे पास है: $1\cdot 11+(-11)=0$:

समस्या हल हो गई है, जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति में स्थित संख्याएँ (एक और शून्य के बीच) $5x^4+5x^3+x^2-11$ को $x-1$ से विभाजित करने के बाद प्राप्त बहुपद के गुणांक हैं। स्वाभाविक रूप से, चूंकि मूल बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ की डिग्री चार के बराबर थी, परिणामी बहुपद $5x^3+10x^2+11x+11$ की डिग्री एक है कम, यानी. तीन के बराबर है. दूसरी पंक्ति में अंतिम संख्या (शून्य) का अर्थ बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ को $x-1$ से विभाजित करने पर शेषफल है। हमारे मामले में, शेषफल शून्य है, अर्थात। बहुपद समान रूप से विभाज्य होते हैं। इस परिणाम को इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है: $x=1$ के लिए बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ का मान शून्य के बराबर है।

निष्कर्ष इस रूप में भी तैयार किया जा सकता है: चूँकि $x=1$ पर बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ का मान शून्य के बराबर है, तो एकता बहुपद का मूल है $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

उदाहरण क्रमांक 2

हॉर्नर की योजना का उपयोग करके बहुपद $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ को $x+3$ से विभाजित करें।

आइए हम तुरंत यह निर्धारित करें कि अभिव्यक्ति $x+3$ को $x-(-3)$ के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। हॉर्नर की योजना में बिल्कुल $-3$ शामिल होंगे। चूँकि मूल बहुपद $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ की डिग्री चार के बराबर है, तो विभाजन के परिणामस्वरूप हमें तीसरी डिग्री का बहुपद प्राप्त होता है:

परिणाम का मतलब यही है

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

इस स्थिति में, $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ को $x+3$ से विभाजित करने पर शेषफल $4$ होता है। या, वही, $x=-3$ के लिए बहुपद $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ का मान $4$ के बराबर है। वैसे, दिए गए बहुपद में सीधे $x=-3$ प्रतिस्थापित करके इसे दोबारा जांचना आसान है:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

वे। यदि आपको किसी चर के दिए गए मान के लिए बहुपद का मान ज्ञात करना हो तो हॉर्नर की योजना का उपयोग किया जा सकता है। यदि हमारा लक्ष्य एक बहुपद के सभी मूल ज्ञात करना है, तो हॉर्नर की योजना को लगातार कई बार लागू किया जा सकता है जब तक कि हम सभी मूल समाप्त नहीं कर लेते, जैसा कि उदाहरण संख्या 3 में चर्चा की गई है।

उदाहरण संख्या 3

हॉर्नर की योजना का उपयोग करके बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ के सभी पूर्णांक मूल ज्ञात करें।

प्रश्न में बहुपद के गुणांक पूर्णांक हैं, और चर की उच्चतम शक्ति का गुणांक (यानी, $x^6$) एक के बराबर है। इस मामले में, बहुपद की पूर्णांक जड़ों को मुक्त पद के विभाजकों के बीच खोजा जाना चाहिए, अर्थात। संख्या 45 के विभाजकों के बीच। किसी दिए गए बहुपद के लिए, ऐसी जड़ें संख्या $45 हो सकती हैं; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ और $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. आइए, उदाहरण के लिए, संख्या $1$ की जाँच करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, $x=1$ के साथ बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ का मान $192$ के बराबर है (अंतिम संख्या दूसरी पंक्ति में), और $0 $ नहीं, इसलिए एकता इस बहुपद का मूल नहीं है। चूँकि एक की जाँच विफल हो गई, आइए मूल्य $x=-1$ की जाँच करें। हम इसके लिए कोई नई तालिका नहीं बनाएंगे, लेकिन तालिका का उपयोग जारी रखेंगे। क्रमांक 1, इसमें एक नई (तीसरी) पंक्ति जोड़ रहे हैं। दूसरी पंक्ति, जिसमें $1$ का मूल्य जांचा गया था, लाल रंग में हाइलाइट की जाएगी और आगे की चर्चाओं में इसका उपयोग नहीं किया जाएगा।

बेशक, आप तालिका को दोबारा लिख ​​सकते हैं, लेकिन इसे मैन्युअल रूप से भरने में बहुत समय लगेगा। इसके अलावा, ऐसे कई नंबर हो सकते हैं जिनका सत्यापन विफल हो जाएगा, और हर बार एक नई तालिका लिखना मुश्किल होगा। "कागज पर" गणना करते समय, लाल रेखाओं को आसानी से पार किया जा सकता है।

तो, $x=-1$ पर बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ का मान शून्य के बराबर है, यानी। संख्या $-1$ इस बहुपद का मूल है। बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ को द्विपद $x-(-1)=x+1$ से विभाजित करने के बाद हमें बहुपद $x प्राप्त होता है ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, जिसके गुणांक तालिका की तीसरी पंक्ति से लिए गए हैं। क्रमांक 2 (उदाहरण क्रमांक 1 देखें)। गणना का परिणाम इस रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है:

\begin(समीकरण)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(समीकरण)

आइए पूर्णांक मूलों की खोज जारी रखें। अब हमें बहुपद $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ के मूल खोजने होंगे। पुनः, इस बहुपद के पूर्णांक मूलों को इसके मुक्त पद के विभाजकों, संख्याओं $45$ के बीच खोजा जाता है। आइए $-1$ संख्या को फिर से जाँचने का प्रयास करें। हम कोई नई तालिका नहीं बनाएंगे, लेकिन पिछली तालिका का उपयोग जारी रखेंगे। नंबर 2, यानी आइए इसमें एक और पंक्ति जोड़ें:

तो, संख्या $-1$ बहुपद $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ का मूल है। यह परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\begin(समीकरण)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(समीकरण)

समानता (2) को ध्यान में रखते हुए, समानता (1) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

\begin(समीकरण)\begin(संरेखित) और x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(संरेखित)\end(समीकरण)

अब हमें बहुपद $x^4-22x^2+24x+45$ के मूलों की तलाश करनी होगी - स्वाभाविक रूप से, इसके मुक्त पद के विभाजकों (संख्या $45$) के बीच। आइए संख्या $-1$ को फिर से जांचें:

संख्या $-1$ बहुपद $x^4-22x^2+24x+45$ का मूल है। यह परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\begin(समीकरण)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(समीकरण)

समानता (4) को ध्यान में रखते हुए, हम समानता (3) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखते हैं:

\begin(समीकरण)\begin(संरेखित) और x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(संरेखित)\end(समीकरण)

अब हम बहुपद $x^3-x^2-21x+45$ के मूलों की तलाश कर रहे हैं। आइए संख्या $-1$ को फिर से जांचें:

चेक विफलता में समाप्त हो गया. आइए छठी पंक्ति को लाल रंग से हाइलाइट करें और किसी अन्य संख्या की जांच करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, संख्या $3$:

शेषफल शून्य है, इसलिए संख्या $3$ विचाराधीन बहुपद का मूल है। तो, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. अब समानता (5) को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है।

एल्गोरिथम का विवरण

एक बहुपद दिया गया है:

.

मान लीजिए किसी निश्चित मान के लिए किसी दिए गए बहुपद के मान की गणना करना आवश्यक है। आइए बहुपद को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत करें:

.

आइए निम्नलिखित अनुक्रम को परिभाषित करें:

… …

खोज मूल्य. आइए हम दिखाते हैं कि ऐसा ही है.

आइए परिणामी नोटेशन फॉर्म को प्रतिस्थापित करें और आंतरिक कोष्ठक से शुरू करके अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम उप-अभिव्यक्तियों को इसके माध्यम से प्रतिस्थापित करेंगे:

एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने के लिए हॉर्नर के आरेख का उपयोग करना

जब एक बहुपद को विभाजित किया जाता है, तो परिणाम शेषफल वाला एक बहुपद होता है।

इस मामले में, परिणामी बहुपद के गुणांक पुनरावृत्ति संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

, .

उसी तरह, आप जड़ों की बहुलता निर्धारित कर सकते हैं (नए बहुपद के लिए हॉर्नर की योजना का उपयोग करें)। इस योजना का उपयोग घातों में बहुपद का विस्तार करते समय गुणांक खोजने के लिए भी किया जा सकता है:

टिप्पणियाँ

यह सभी देखें

साहित्य

• अनानी वी. लेविटिन अध्याय 6. रूपांतरण विधि: हॉर्नर की योजना और घातांक// एल्गोरिदम: डिजाइन और विश्लेषण का परिचय = एगोरिथम के डिजाइन और विश्लेषण का परिचय। - एम.: "विलियम्स", 2006. - पी. 284-291. - आईएसबीएन 0-201-74395-7
• वोल्कोव ई. ए.§ 2. बहुपद मानों की गणना। हॉर्नर योजना // संख्यात्मक विधियाँ। - पाठ्यपुस्तक विश्वविद्यालयों के लिए मैनुअल. - दूसरा संस्करण, रेव। - एम.: नौका, 1987. - 248 पी।
• एस बी गश्कोव§14. हॉर्नर की योजना और एक स्थिति प्रणाली से दूसरे में अनुवाद // संख्या प्रणाली और उनका अनुप्रयोग। - एम.: एमटीएसएनएमओ, 2004. - पीपी 37-39। - (पुस्तकालय "गणितीय शिक्षा")। - आईएसबीएन 5-94057-146-8

लिंक

• बहुआयामी बहुपदों की गणना - कई चर वाले बहुपद के मामले में हॉर्नर की योजना का सामान्यीकरण।

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

• क्लोरक्विनाल्डोल
• श्टिलमार्क, अलेक्जेंडर रॉबर्टोविच

देखें अन्य शब्दकोशों में "हॉर्नर स्कीम" क्या है:

गॉर्नर योजना- एक बहुपद को द्विपद से विभाजित करते समय अपूर्ण भागफल और शेषफल ज्ञात करने की एक तकनीक, जहां सभी गुणांक एक निश्चित क्षेत्र में होते हैं, उदाहरण के लिए, जटिल संख्याओं के क्षेत्र में। हम किसी भी बहुपद को केवल उसी रूप में निरूपित कर सकते हैं जहाँ अपूर्ण भागफल हो,... ... गणितीय विश्वकोश

हॉर्नर विधि- हॉर्नर की योजना (या हॉर्नर का नियम, हॉर्नर की विधि) एक बहुपद के मान की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम है, जिसे एक चर के दिए गए मान के लिए एकपदी के योग के रूप में लिखा जाता है। हॉर्नर की विधि आपको एक बहुपद की जड़ें ढूंढने की अनुमति देती है, साथ ही डेरिवेटिव की गणना भी करती है... विकिपीडिया

बहुपद का मूल- इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, रूट (अर्थ) देखें। फ़ील्ड k पर एक बहुपद (समानतः शून्य नहीं) का मूल एक तत्व है जिससे निम्नलिखित दो समतुल्य स्थितियाँ संतुष्ट होती हैं: दिया गया बहुपद एक बहुपद से विभाज्य है; ... विकिपीडिया

बहुपदों का स्तम्भ विभाजन- बीजगणित में, बहुपद को एक स्तंभ द्वारा विभाजित करना एक बहुपद को ऐसे बहुपद से विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिदम है जिसकी डिग्री बहुपद की डिग्री से कम या उसके बराबर होती है। एल्गोरिदम संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने का एक सामान्यीकृत रूप है, जिसे आसानी से मैन्युअल रूप से कार्यान्वित किया जा सकता है। के लिए... ...विकिपीडिया

हॉर्नर, विलियम जॉर्ज- विलियम जॉर्ज हॉर्नर (1786, ब्रिस्टल 22 सितंबर, 1837) ब्रिटिश गणितज्ञ। 1786 में इंग्लैंड के ब्रिस्टल शहर में जन्म। उनकी शिक्षा ब्रिस्टल के किंग्सवुड स्कूल में हुई। 14 साल की उम्र में, वह विकिपीडिया में सहायक निदेशक बन गए

ब्रकीयल प्लेक्सुस- I ब्रैचियल प्लेक्सस (प्लेक्सस ब्रैचियालिस) 4 8 ग्रीवा और 1 2 वक्ष रीढ़ की हड्डी की पूर्वकाल शाखाओं के तंत्रिका तंतुओं का जाल कई ट्रंक और बंडलों में, जिसके बाद के विभाजन के परिणामस्वरूप छोटी और लंबी नसें बनती हैं... ... चिकित्सा विश्वकोश

रेडिकुलिटिस- (लैटिन रेडिक्स रूट से), रीढ़ की हड्डी की नसों की जड़ों के रोग, 20वीं सदी की शुरुआत में स्थापित एक शब्द। डीजेरिन और उनके स्कूल के काम के लिए धन्यवाद। आर. जड़ों में एक सूजन संबंधी अपक्षयी प्रक्रिया पर आधारित है [देखें। अलग तालिका (अनुच्छेद 255... ...

थाइरोइड- (gl. thyreoidea, syn. corpus thyreoideum), कशेरुकियों की सबसे महत्वपूर्ण अंतःस्रावी ग्रंथियों में से एक। Shch के भ्रूणीय विकास में। आंत के गिल भाग की निचली दीवार के उपकला से उत्पन्न होता है; साइक्लोस्टोम मछली के लार्वा में भी इसका रूप होता है... ... महान चिकित्सा विश्वकोश

रेडिकुलिटिस- I रेडिकुलिटिस (रेडिकुलिटिस; लैट। रेडिकुला रूट + आईटीआईएस) रीढ़ की हड्डी की नसों की जड़ों को सूजन और संपीड़न क्षति। एक सामान्य कॉर्ड (चित्र) में उनके कनेक्शन के स्तर पर पूर्वकाल और पीछे की जड़ों को संयुक्त क्षति पहले निर्दिष्ट की गई थी... ... चिकित्सा विश्वकोश

स्पाइनल सर्कुलेशन- (सेरेब्रोस्पाइनल सर्कुलेशन का पर्यायवाची) यह स्थापित किया गया है कि रीढ़ की हड्डी के कई ऊपरी ग्रीवा खंडों को पूर्वकाल और पीछे की रीढ़ की धमनियों द्वारा रक्त की आपूर्ति की जाती है, जो कशेरुका धमनियों से निकलती हैं। खंड CIII CIV के नीचे स्थित खंड... ... चिकित्सा विश्वकोश

समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय, अक्सर उस बहुपद का गुणनखंड करना आवश्यक होता है जिसकी डिग्री तीन या अधिक होती है। इस लेख में हम ऐसा करने का सबसे आसान तरीका देखेंगे।

हमेशा की तरह, आइए मदद के लिए सिद्धांत की ओर रुख करें।

बेज़ाउट का प्रमेयबताता है कि एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने पर शेषफल होता है।

लेकिन हमारे लिए जो महत्वपूर्ण है वह प्रमेय नहीं है, बल्कि है इसका परिणाम:

यदि संख्या किसी बहुपद का मूल है, तो बहुपद बिना किसी शेषफल के द्विपद से विभाज्य होता है।

हमारे सामने यह कार्य है कि किसी तरह बहुपद का कम से कम एक मूल ज्ञात किया जाए, फिर बहुपद को इससे विभाजित किया जाए कि बहुपद का मूल कहां है। परिणामस्वरूप, हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जिसकी घात मूल घात से एक कम होती है। और फिर, यदि आवश्यक हो, तो आप प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं।

यह कार्य दो भागों में टूट जाता है: बहुपद का मूल कैसे ज्ञात करें, और बहुपद को द्विपद से कैसे विभाजित करें.

आइए इन बिंदुओं पर बारीकी से नजर डालें।

1. बहुपद का मूल कैसे ज्ञात करें।

सबसे पहले, हम जाँचते हैं कि क्या संख्याएँ 1 और -1 बहुपद के मूल हैं।

निम्नलिखित तथ्य यहां हमारी सहायता करेंगे:

यदि किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग शून्य हो, तो वह संख्या बहुपद का मूल होती है।

उदाहरण के लिए, एक बहुपद में गुणांकों का योग शून्य होता है:। यह जांचना आसान है कि बहुपद का मूल क्या है।

यदि किसी बहुपद के सम घातों वाले गुणांकों का योग विषम घातों वाले गुणांकों के योग के बराबर है, तो वह संख्या बहुपद का मूल है।मुक्त पद को सम डिग्री के लिए गुणांक माना जाता है, क्योंकि, a एक सम संख्या है।

उदाहरण के लिए, एक बहुपद में सम घातों के लिए गुणांकों का योग है:, और विषम घातों के लिए गुणांकों का योग है:। यह जांचना आसान है कि बहुपद का मूल क्या है।

यदि न तो 1 और न ही -1 बहुपद की जड़ें हैं, तो हम आगे बढ़ते हैं।

डिग्री के कम बहुपद के लिए (अर्थात, एक बहुपद जिसमें अग्रणी गुणांक - पर गुणांक - एकता के बराबर है), विएटा सूत्र मान्य है:

बहुपद की जड़ें कहाँ हैं.

बहुपद के शेष गुणांकों से संबंधित विएटा सूत्र भी हैं, लेकिन हम इसमें रुचि रखते हैं।

विएटा के इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है यदि किसी बहुपद के मूल पूर्णांक हैं, तो वे उसके मुक्त पद के विभाजक हैं, जो एक पूर्णांक भी है।

इस पर आधारित, हमें बहुपद के मुक्त पद को गुणनखंडों में विभाजित करने की आवश्यकता है, और क्रमिक रूप से, सबसे छोटे से सबसे बड़े तक, यह जांचने की आवश्यकता है कि कौन सा गुणनखंड बहुपद का मूल है।

उदाहरण के लिए, बहुपद पर विचार करें

मुक्त पद के विभाजक: ; ; ;

एक बहुपद के सभी गुणांकों का योग बराबर होता है, इसलिए संख्या 1 बहुपद का मूल नहीं है।

सम घातों के लिए गुणांकों का योग:

विषम घातों के लिए गुणांकों का योग:

इसलिए, संख्या -1 भी बहुपद का मूल नहीं है।

आइए जाँच करें कि क्या संख्या 2 बहुपद का मूल है: इसलिए, संख्या 2 बहुपद का मूल है। इसका मतलब है, बेज़ौट के प्रमेय के अनुसार, बहुपद बिना किसी शेषफल के द्विपद से विभाज्य है।

2. एक बहुपद को द्विपद में कैसे विभाजित करें।

एक बहुपद को एक स्तम्भ द्वारा द्विपद में विभाजित किया जा सकता है।

एक स्तंभ का उपयोग करके बहुपद को द्विपद से विभाजित करें:

एक बहुपद को द्विपद से विभाजित करने का एक और तरीका है - हॉर्नर की योजना।

समझने के लिए ये वीडियो देखें एक बहुपद को एक स्तम्भ वाले द्विपद से कैसे विभाजित करें, और हॉर्नर की योजना का उपयोग करें।

मैं ध्यान देता हूं कि यदि, किसी कॉलम से विभाजित करते समय, मूल बहुपद में अज्ञात की कुछ डिग्री गायब है, तो हम उसके स्थान पर 0 लिखते हैं - उसी तरह जैसे हॉर्नर की योजना के लिए एक तालिका संकलित करते समय।

इसलिए, यदि हमें एक बहुपद को द्विपद से विभाजित करने की आवश्यकता है और विभाजन के परिणामस्वरूप हमें एक बहुपद मिलता है, तो हम हॉर्नर की योजना का उपयोग करके बहुपद के गुणांक पा सकते हैं:

हम भी उपयोग कर सकते हैं हॉर्नर योजनायह जांचने के लिए कि क्या दी गई संख्या बहुपद का मूल है: यदि संख्या बहुपद का मूल है, तो बहुपद को विभाजित करने पर शेषफल शून्य के बराबर होता है, अर्थात दूसरी पंक्ति के अंतिम कॉलम में हॉर्नर का आरेख हमें 0 मिलता है।

हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, हम "एक पत्थर से दो पक्षियों को मारते हैं": हम एक साथ जांचते हैं कि क्या संख्या एक बहुपद का मूल है और इस बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करते हैं।

उदाहरण।प्रश्न हल करें:

1. आइए मुक्त पद के विभाजकों को लिखें और मुक्त पद के विभाजकों के बीच बहुपद के मूलों को खोजें।

24 के विभाजक:

2. आइए जाँच करें कि क्या संख्या 1 बहुपद का मूल है।

बहुपद के गुणांकों का योग, इसलिए, संख्या 1 बहुपद का मूल है।

3. हॉर्नर योजना का उपयोग करके मूल बहुपद को द्विपद में विभाजित करें।

ए) आइए तालिका की पहली पंक्ति में मूल बहुपद के गुणांक लिखें।

चूंकि युक्त पद गायब है, तालिका के कॉलम में जिसमें गुणांक लिखा जाना चाहिए, हम 0 लिखते हैं। बाईं ओर हम पाया गया मूल लिखते हैं: संख्या 1।

बी) तालिका की पहली पंक्ति भरें।

अंतिम कॉलम में, जैसा कि अपेक्षित था, हमें शून्य मिला; हमने मूल बहुपद को बिना किसी शेषफल के द्विपद से विभाजित किया। विभाजन से उत्पन्न बहुपद के गुणांक तालिका की दूसरी पंक्ति में नीले रंग में दिखाए गए हैं:

यह जाँचना आसान है कि संख्याएँ 1 और -1 बहुपद के मूल नहीं हैं

बी) आइए तालिका जारी रखें। आइए जाँचें कि क्या संख्या 2 बहुपद का मूल है:

अतः बहुपद की घात, जो एक से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, मूल बहुपद की घात से कम होती है, इसलिए गुणांकों की संख्या और स्तंभों की संख्या एक कम होती है।

अंतिम कॉलम में हमें -40 मिला - एक संख्या जो शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए, बहुपद एक शेषफल के साथ द्विपद से विभाज्य है, और संख्या 2 बहुपद का मूल नहीं है।

सी) आइए जाँच करें कि क्या संख्या -2 बहुपद का मूल है। चूंकि पिछला प्रयास विफल रहा, इसलिए गुणांकों के साथ भ्रम से बचने के लिए, मैं इस प्रयास से संबंधित पंक्ति को मिटा दूंगा:

महान! हमें शेषफल के रूप में शून्य मिला, इसलिए, बहुपद को बिना किसी शेषफल के द्विपद में विभाजित किया गया, इसलिए, संख्या -2 बहुपद का मूल है। एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने पर प्राप्त बहुपद के गुणांक तालिका में हरे रंग में दिखाए गए हैं।

विभाजन के परिणामस्वरूप हमें एक द्विघात त्रिपद प्राप्त होता है , जिनकी जड़ें विएटा के प्रमेय का उपयोग करके आसानी से पाई जा सकती हैं:

तो, मूल समीकरण की जड़ें हैं:

{}

उत्तर: ( }

पीछे की ओर आगे की ओर

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पाठ का प्रकार: प्राथमिक ज्ञान में महारत हासिल करने और उसे समेकित करने का एक पाठ।

पाठ का उद्देश्य:

• विद्यार्थियों को बहुपद की जड़ों की अवधारणा से परिचित कराएं और उन्हें उन्हें खोजना सिखाएं। एक बहुपद को घातों द्वारा विस्तारित करने और एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने के लिए हॉर्नर की योजना का उपयोग करने में कौशल में सुधार करें।
• हॉर्नर योजना का उपयोग करके समीकरण के मूल ज्ञात करना सीखें।
• अमूर्त सोच विकसित करें.
• कंप्यूटिंग संस्कृति को बढ़ावा दें।
• अंतःविषय संबंधों का विकास.

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण.

पाठ का विषय बताएं, लक्ष्य बनाएं।

2. होमवर्क जाँचना।

3. नई सामग्री का अध्ययन.

मान लीजिए Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - घात n वाले x के लिए एक बहुपद, जहाँ a 0 , a 1 ,...,a n संख्याएँ दी गई हैं, और a 0, 0 के बराबर नहीं है। यदि बहुपद F n (x) को द्विपद x-a द्वारा शेषफल से विभाजित किया जाता है , तो भागफल (अपूर्ण भागफल) घात n-1 का बहुपद Q n-1 (x) है, शेष R एक संख्या है, और समानता सत्य है F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.बहुपद F n (x) केवल R=0 की स्थिति में द्विपद (x-a) से विभाज्य है।

बेज़ाउट का प्रमेय: बहुपद F n (x) को द्विपद (x-a) से विभाजित करने पर शेष R, x=a पर बहुपद F n (x) के मान के बराबर होता है, अर्थात। आर=पीएन(ए)।

थोड़ा इतिहास. बेज़ाउट का प्रमेय, अपनी स्पष्ट सरलता और स्पष्टता के बावजूद, बहुपद के सिद्धांत के मूलभूत प्रमेयों में से एक है। यह प्रमेय बहुपदों के बीजगणितीय गुणों (जो बहुपदों को पूर्णांकों के रूप में मानने की अनुमति देता है) को उनके कार्यात्मक गुणों (जो बहुपदों को कार्यों के रूप में मानने की अनुमति देता है) से संबंधित करता है। उच्च डिग्री समीकरणों को हल करने का एक तरीका समीकरण के बाईं ओर बहुपद का गुणनखंड करना है। बहुपद और शेषफल के गुणांकों की गणना एक तालिका के रूप में लिखी जाती है जिसे हॉर्नर योजना कहा जाता है।

हॉर्नर की योजना बहुपदों को विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिदम है, जिसे विशेष मामले के लिए लिखा जाता है जब भागफल एक द्विपद के बराबर होता है एक्स-ए.

हॉर्नर विलियम जॉर्ज (1786 - 1837), अंग्रेजी गणितज्ञ। मुख्य शोध बीजगणितीय समीकरणों के सिद्धांत से संबंधित है। किसी भी डिग्री के समीकरणों के अनुमानित समाधान के लिए एक विधि विकसित की। 1819 में उन्होंने बीजगणित के लिए एक बहुपद को द्विपद x - a (हॉर्नर की योजना) से विभाजित करने की एक महत्वपूर्ण विधि पेश की।

हॉर्नर की योजना के लिए सामान्य सूत्र की व्युत्पत्ति।

एक बहुपद f(x) को शेषफल के साथ एक द्विपद (x-c) से विभाजित करने का अर्थ है एक बहुपद q(x) और एक संख्या r ज्ञात करना जैसे कि f(x)=(x-c)q(x)+r

आइए इस समानता को विस्तार से लिखें:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

आइए हम गुणांकों को समान डिग्री पर बराबर करें:

एक्सएन:	एफ 0 = क्यू 0	=> क्यू 0 = एफ 0
xn-1:	एफ 1 = क्यू 1 - सी क्यू 0	=> क्यू 1 = एफ 1 + सी क्यू 0
xn-2:	एफ 2 = क्यू 2 - सी क्यू 1	=> क्यू 2 = एफ 2 + सी क्यू 1
...		...
x0:	एफ एन = क्यू एन - सी क्यू एन-1	=> क्यू एन = एफ एन + सी क्यू एन-1।

एक उदाहरण का उपयोग करके हॉर्नर सर्किट का प्रदर्शन।

अभ्यास 1।हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, हम बहुपद f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 को शेषफल के साथ द्विपद x-2 से विभाजित करते हैं।

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, जहां g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 शेषफल।

एक द्विपद की घातों में एक बहुपद का विस्तार।

हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, हम बहुपद f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 को द्विपद (x+2) की घातों में विस्तारित करते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें विस्तार f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) प्राप्त करना चाहिए )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

हॉर्नर की योजना का उपयोग अक्सर तीसरे, चौथे और उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करते समय किया जाता है, जब बहुपद को द्विपद एक्स-ए में विस्तारित करना सुविधाजनक होता है। संख्या एबुलाया बहुपद की जड़एफ एन (एक्स) = एफ 0 एक्स एन + एफ 1 एक्स एन-1 + एफ 2 एक्स एन-2 + ...+एफ एन-1 एक्स + एफ एन, यदि पर एक्स=एबहुपद F n (x) का मान शून्य के बराबर है: F n (a)=0, अर्थात। यदि बहुपद द्विपद x-a से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए, संख्या 2 बहुपद F 3 (x)=3x 3 -2x-20 का मूल है, क्योंकि F 3 (2)=0. इसका मतलब है। कि इस बहुपद के गुणनखंडन में एक गुणनखंड x-2 होता है।

एफ 3 (एक्स)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

डिग्री का कोई भी बहुपद F n(x)। एन 1 से अधिक कुछ नहीं हो सकता एनअसली जड़ें.

पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण का कोई भी पूर्णांक मूल उसके मुक्त पद का विभाजक होता है।

यदि किसी समीकरण का अग्रणी गुणांक 1 है, तो समीकरण की सभी तर्कसंगत जड़ें, यदि वे मौजूद हैं, पूर्णांक हैं।

अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

नई सामग्री को समेकित करने के लिए, छात्रों को पाठ्यपुस्तक 2.41 और 2.42 (पृष्ठ 65) से संख्याओं को पूरा करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।

(2 छात्र बोर्ड पर हल करते हैं, और बाकी, निर्णय लेने के बाद, बोर्ड पर उत्तरों के साथ नोटबुक में असाइनमेंट की जाँच करते हैं)।

संक्षेपण।

हॉर्नर योजना की संरचना और संचालन के सिद्धांत को समझने के बाद, इसका उपयोग कंप्यूटर विज्ञान के पाठों में भी किया जा सकता है, जब पूर्णांकों को दशमलव संख्या प्रणाली से बाइनरी प्रणाली में और इसके विपरीत परिवर्तित करने के मुद्दे पर विचार किया जाता है। एक संख्या प्रणाली से दूसरी संख्या प्रणाली में स्थानांतरण का आधार निम्नलिखित सामान्य प्रमेय है

प्रमेय.किसी पूर्ण संख्या को परिवर्तित करने के लिए एपीसे पी-एरी संख्या प्रणाली से आधार संख्या प्रणाली डीज़रूरी एपीशेषफल को संख्या से क्रमिक रूप से विभाजित करें डी, उसी में लिखा है पी-एरी प्रणाली जब तक कि परिणामी भागफल शून्य के बराबर न हो जाए। विभाजन से शेष रहेगा डी-संख्यात्मक अंक विज्ञापन, सबसे छोटी श्रेणी से लेकर सबसे वरिष्ठ तक। सभी क्रियाएं अंदर ही की जानी चाहिए पी-एरी संख्या प्रणाली. किसी व्यक्ति के लिए यह नियम तभी सुविधाजनक होता है जब पी= 10, यानी अनुवाद करते समय सेदशमलव प्रणाली। जहां तक ​​कंप्यूटर की बात है, इसके विपरीत, उसके लिए बाइनरी सिस्टम में गणना करना "अधिक सुविधाजनक" है। इसलिए, "2 से 10" को परिवर्तित करने के लिए, बाइनरी प्रणाली में दस से अनुक्रमिक विभाजन का उपयोग किया जाता है, और "10 से 2" दस की शक्तियों का योग है। "10 इन 2" प्रक्रिया की गणनाओं को अनुकूलित करने के लिए, कंप्यूटर हॉर्नर की किफायती कंप्यूटिंग योजना का उपयोग करता है।

गृहकार्य। दो कार्यों को पूरा करने का प्रस्ताव है.

प्रथम. हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, बहुपद f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 को द्विपद (x-3) से विभाजित करें।

दूसरा. बहुपद f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 के पूर्णांक मूल ज्ञात कीजिए। (यह मानते हुए कि पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण का कोई भी पूर्णांक मूल उसके मुक्त पद का भाजक होता है)

साहित्य।

1. कुरोश ए.जी. "उच्च बीजगणित का पाठ्यक्रम।"
2. निकोल्स्की एस.एम., पोटापोव एम.के. और अन्य। ग्रेड 10 "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत।"
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907।