घर » साहित्य » ज्या और कोज्या उदाहरण जोड़ने के लिए सूत्र। अतिरिक्त सूत्र: प्रमाण, उदाहरण। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जोड़ने के सूत्र

ज्या और कोज्या उदाहरण जोड़ने के लिए सूत्र। अतिरिक्त सूत्र: प्रमाण, उदाहरण। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जोड़ने के सूत्र

मैं आपको धोखा देने वाली शीट न लिखने के लिए मनाने की कोशिश नहीं करूंगा। लिखना! त्रिकोणमिति पर चीट शीट सहित। बाद में मैंने यह समझाने की योजना बनाई कि चीट शीट की आवश्यकता क्यों है और चीट शीट उपयोगी क्यों हैं। और यहां इस बात की जानकारी दी गई है कि कैसे सीखें नहीं, बल्कि कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों को कैसे याद रखें। तो - बिना चीट शीट के त्रिकोणमिति! हम याद रखने के लिए संघों का उपयोग करते हैं।

1. अतिरिक्त सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में आते हैं": कोसाइन-कोसाइन, साइन-साइन। और एक और बात: कोसाइन "अपर्याप्त" हैं। उनके लिए "सबकुछ सही नहीं है", इसलिए वे संकेतों को बदल देते हैं: "-" से "+", और इसके विपरीत।

साइनस - "मिश्रण": साइन-कोसाइन, कोसाइन-साइन।

2. योग और अंतर सूत्र:

कोसाइन हमेशा "जोड़े में आते हैं"। दो कोसाइन - "कोलोबोक" जोड़ने पर, हमें कोसाइन की एक जोड़ी मिलती है - "कोलोबोक"। और घटाने पर, हमें निश्चित रूप से कोई कोलोबोक नहीं मिलेगा। हमें कुछ साइन मिलते हैं। इसके अलावा आगे एक माइनस भी है।

साइनस - "मिश्रण" :

3. किसी उत्पाद को योग और अंतर में बदलने के सूत्र।

हमें कोज्या युग्म कब मिलता है? जब हम कोसाइन जोड़ते हैं. इसीलिए

हमें कुछ साइन कब मिलते हैं? कोसाइन घटाते समय. यहाँ से:

साइन को जोड़ने और घटाने पर "मिश्रण" प्राप्त होता है। अधिक मज़ेदार क्या है: जोड़ना या घटाना? यह सही है, मोड़ो। और सूत्र के लिए वे अतिरिक्त लेते हैं:

पहले और तीसरे सूत्र में योग कोष्ठक में है। पदों के स्थानों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है। क्रम केवल दूसरे सूत्र के लिए महत्वपूर्ण है। लेकिन, भ्रमित न होने के लिए, याद रखने में आसानी के लिए, पहले कोष्ठक में तीनों सूत्रों में हम अंतर लेते हैं

और दूसरी बात - राशि

आपकी जेब में चीट शीट आपको मानसिक शांति देती है: यदि आप फॉर्मूला भूल जाते हैं, तो आप इसे कॉपी कर सकते हैं। और वे आपको विश्वास दिलाते हैं: यदि आप चीट शीट का उपयोग करने में विफल रहते हैं, तो आप आसानी से सूत्र याद रख सकते हैं।

हम त्रिकोणमिति में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्रों के बारे में अपनी बातचीत जारी रखते हैं। उनमें से सबसे महत्वपूर्ण हैं जोड़ सूत्र.

परिभाषा 1

जोड़ सूत्र आपको उन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके दो कोणों के अंतर या योग के कार्यों को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

आरंभ करने के लिए, हम जोड़ सूत्रों की एक पूरी सूची देंगे, फिर हम उन्हें सिद्ध करेंगे और कई उदाहरणात्मक उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

त्रिकोणमिति में मूल जोड़ सूत्र

आठ मूल सूत्र हैं: योग की ज्या और दो कोणों के अंतर की ज्या, योग और अंतर की कोज्या, योग और अंतर की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट। नीचे उनके मानक सूत्रीकरण और गणनाएँ दी गई हैं।

1. दो कोणों के योग की ज्या इस प्रकार प्राप्त की जा सकती है:

हम पहले कोण की ज्या और दूसरे की कोज्या के गुणनफल की गणना करते हैं;

पहले कोण की कोज्या को पहले कोण की ज्या से गुणा करें;

परिणामी मान जोड़ें.

सूत्र का ग्राफिकल लेखन इस तरह दिखता है: पाप (α + β) = पाप α · कॉस β + कॉस α · पाप β

2. अंतर की ज्या की गणना लगभग उसी तरह की जाती है, केवल परिणामी उत्पादों को जोड़ने की आवश्यकता नहीं होती है, बल्कि एक दूसरे से घटाई जाती है। इस प्रकार, हम पहले कोण की ज्या के गुणनफल की गणना दूसरे कोण की कोज्या से और पहले कोण की कोज्या के गुणनफल की गणना दूसरे कोण की ज्या से करते हैं और उनका अंतर ज्ञात करते हैं। सूत्र इस प्रकार लिखा गया है: पाप (α - β) = पाप α · कॉस β + पाप α · पाप β

3. योग की कोज्या. इसके लिए, हम पहले कोण की कोज्या का गुणनफल दूसरे कोण की कोज्या से और पहले कोण की ज्या का गुणनफल क्रमशः दूसरे कोण की ज्या से ज्ञात करते हैं, और उनका अंतर ज्ञात करते हैं: cos (α + β) = cos α · क्योंकि β - पाप α · पाप β

4. अंतर की कोज्या: पहले की तरह इन कोणों की ज्याओं और कोज्याओं के गुणनफल की गणना करें और उन्हें जोड़ें। सूत्र: cos (α - β) = cos α cos β + पाप α पाप β

5. योग का स्पर्शरेखा. यह सूत्र एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका अंश आवश्यक कोणों की स्पर्शरेखाओं का योग होता है, और हर एक इकाई है जिसमें से वांछित कोणों की स्पर्शरेखाओं का गुणनफल घटाया जाता है। इसके ग्राफिकल नोटेशन से सब कुछ स्पष्ट है: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. अंतर की स्पर्शरेखा. हम इन कोणों की स्पर्शरेखाओं के अंतर और गुणनफल के मान की गणना करते हैं और उनके साथ समान तरीके से आगे बढ़ते हैं। हर में हम एक जोड़ते हैं, इसके विपरीत नहीं: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. योग का कोटैंजेंट. इस सूत्र का उपयोग करके गणना करने के लिए, हमें उत्पाद और इन कोणों के कोटैंजेंट के योग की आवश्यकता होगी, जिसे हम निम्नानुसार आगे बढ़ाते हैं: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. अंतर का कोटैंजेंट . सूत्र पिछले वाले के समान है, लेकिन अंश और हर ऋणात्मक हैं, प्लस नहीं c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β।

आपने शायद देखा होगा कि ये सूत्र जोड़े में समान हैं। संकेतों ± (प्लस-माइनस) और ∓ (माइनस-प्लस) का उपयोग करके, हम रिकॉर्डिंग में आसानी के लिए उन्हें समूहित कर सकते हैं:

पाप (α ± β) = पाप α · क्योंकि β ± क्योंकि α · पाप β क्योंकि (α ± β) = क्योंकि α · क्योंकि β ∓ पाप α · पाप β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

तदनुसार, हमारे पास प्रत्येक मान के योग और अंतर के लिए एक रिकॉर्डिंग सूत्र है, केवल एक मामले में हम ऊपरी चिह्न पर ध्यान देते हैं, दूसरे में - निचले वाले पर।

परिभाषा 2

हम कोई भी कोण α और β ले सकते हैं, और कोसाइन और साइन के लिए योग सूत्र उनके लिए काम करेंगे। यदि हम इन कोणों की स्पर्शरेखाओं और कोटैंजेंटों का मान सही ढंग से निर्धारित कर सकें, तो स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के योग सूत्र भी उनके लिए मान्य होंगे।

बीजगणित की अधिकांश अवधारणाओं की तरह, जोड़ सूत्र भी सिद्ध किए जा सकते हैं। पहला सूत्र जिसे हम सिद्ध करेंगे वह अंतर कोज्या सूत्र है। इससे बाकी सबूत आसानी से निकाले जा सकते हैं।

आइए बुनियादी अवधारणाओं को स्पष्ट करें। हमें एक यूनिट सर्कल की आवश्यकता होगी. यदि हम एक निश्चित बिंदु A लेते हैं और केंद्र (बिंदु O) के चारों ओर कोण α और β घुमाते हैं तो यह काम करेगा। तब सदिश O A 1 → और O A → 2 के बीच का कोण (α - β) + 2 π · z या 2 π - (α - β) + 2 π · z (z कोई पूर्णांक है) के बराबर होगा। परिणामी वैक्टर एक कोण बनाते हैं जो α - β या 2 π - (α - β) के बराबर होता है, या यह पूर्ण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से इन मानों से भिन्न हो सकता है। तस्वीर को जरा देखिए:

हमने कटौती सूत्रों का उपयोग किया और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

कॉस ((α - β) + 2 π z) = कॉस (α - β) कॉस (2 π - (α - β) + 2 π z) = कॉस (α - β)

परिणाम: सदिश O A 1 → और O A 2 → के बीच के कोण की कोज्या कोण α - β की कोज्या के बराबर है, इसलिए, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β)।

आइए हम साइन और कोसाइन की परिभाषाओं को याद करें: साइन कोण का एक कार्य है, जो विपरीत कोण के पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है, कोसाइन पूरक कोण की साइन है। इसलिए, अंक ए 1और ए 2निर्देशांक (cos α, syn α) और (cos β, syn β) हैं।

हमें निम्नलिखित मिलता है:

O A 1 → = (cos α, syn α) और O A 2 → = (cos β, syn β)

यदि यह स्पष्ट नहीं है, तो सदिशों के आरंभ और अंत में स्थित बिंदुओं के निर्देशांक देखें।

सदिशों की लंबाई 1 के बराबर होती है, क्योंकि हमारे पास एक यूनिट सर्कल है।

आइए अब हम सदिश O A 1 → और O A 2 → के अदिश गुणनफल का विश्लेषण करें। निर्देशांक में यह इस तरह दिखता है:

(ओ ए 1 → , ओ ए 2) → = कॉस α · कॉस β + पाप α · पाप β

इससे हम समानता प्राप्त कर सकते हैं:

cos (α - β) = cos α cos β + पाप α पाप β

इस प्रकार, अंतर कोसाइन सूत्र सिद्ध होता है।

अब हम निम्नलिखित सूत्र को सिद्ध करेंगे - योग की कोज्या। यह आसान है क्योंकि हम पिछली गणनाओं का उपयोग कर सकते हैं। आइए निरूपण α + β = α - (- β) लें। हमारे पास है:

कॉस (α + β) = कॉस (α - (- β)) = = कॉस α कॉस (- β) + सिन α सिन (- β) = = कॉस α कॉस β + सिन α सिन β

यह कोज्या योग सूत्र का प्रमाण है। अंतिम पंक्ति विपरीत कोणों की ज्या और कोज्या के गुण का उपयोग करती है।

किसी योग की ज्या का सूत्र अंतर की कोज्या के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। आइए इसके लिए कमी का फॉर्मूला लें:

पाप (α + β) = cos (π 2 (α + β)) के रूप का। इसलिए
पाप (α + β) = क्योंकि (π 2 (α + β)) = क्योंकि ((π 2 - α) - β) = = क्योंकि (π 2 - α) क्योंकि β + पाप (π 2 - α) पाप β = = पाप α क्योंकि β + क्योंकि α पाप β

और यहाँ अंतर ज्या सूत्र का प्रमाण है:

पाप (α - β) = पाप (α + (- β)) = पाप α क्योंकि (- β) + क्योंकि α पाप (- β) = = पाप α क्योंकि β - क्योंकि α पाप β
पिछली गणना में विपरीत कोणों की ज्या और कोज्या गुणों के उपयोग पर ध्यान दें।

आगे हमें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के योग सूत्रों के प्रमाण की आवश्यकता है। आइए मूल परिभाषाओं को याद रखें (स्पर्शरेखा साइन और कोसाइन का अनुपात है, और कोटैंजेंट इसके विपरीत है) और पहले से प्राप्त सूत्रों को लें। हमने इसे बनाया:

टी जी (α + β) = पाप (α + β) क्योंकि (α + β) = पाप α क्योंकि β + क्योंकि α पाप β क्योंकि α क्योंकि β - पाप α पाप β

हमारे पास एक जटिल भिन्न है. इसके बाद, हमें इसके अंश और हर को cos α · cos β से विभाजित करना होगा, यह देखते हुए कि cos α ≠ 0 और cos β ≠ 0, हमें मिलता है:
सिन α · कॉस β + कॉस α · सिन β कॉस α · कॉस β कॉस α · कॉस β - सिन α · सिन β कॉस α · कॉस β = सिन α · कॉस β कॉस α · कॉस β + कॉस α · सिन β कॉस α · कॉस β कॉस α · कॉस β कॉस α · कॉस β - पाप α · पाप β कॉस α · कॉस β

अब हम भिन्नों को कम करते हैं और निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करते हैं: पाप α क्योंकि α + पाप β क्योंकि β 1 - पाप α क्योंकि α · s i n β क्योंकि β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
हमें t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β मिला। यह स्पर्शरेखा योग सूत्र का प्रमाण है।

अगला सूत्र जिसे हम सिद्ध करेंगे वह अंतर सूत्र की स्पर्शरेखा है। गणना में सब कुछ स्पष्ट रूप से दिखाया गया है:

टी जी (α - β) = टी जी (α + (- β)) = टी जी α + टी जी (- β) 1 - टी जी α टी जी (- β) = टी जी α - टी जी β 1 + टी जी α टी जी β

कोटैंजेंट के सूत्र इसी प्रकार सिद्ध किए जाते हैं:
सी टी जी (α + β) = कॉस (α + β) पाप (α + β) = कॉस α · कॉस β - पाप α · पाप β पाप α · कॉस β + कॉस α · पाप β = = कॉस α · कॉस β - पाप α · पाप β पाप α · पाप β पाप α · क्योंकि β + क्योंकि α · पाप β पाप α · पाप β = क्योंकि α · क्योंकि β पाप α · पाप β - 1 पाप α · क्योंकि β पाप α · पाप β + cos α · पाप β पाप α · पाप β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
आगे:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

कोण ए और बी के साइन और कोसाइन के माध्यम से, फ़ंक्शन कॉस (ए + बी), कॉस (ए-बी), साइन (ए + बी), साइन (ए-बी) के मूल्यों को व्यक्त करने के लिए अतिरिक्त सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

ज्या और कोज्या के लिए योग सूत्र

प्रमेय: किसी भी ए और बी के लिए, निम्नलिखित समानता सत्य है: कॉस (ए + बी) = कॉस (ए) * कॉस (बी) - पाप (ए) * पाप (बी)।

आइए इस प्रमेय को सिद्ध करें। निम्नलिखित चित्र पर विचार करें:

इस पर बिंदु Mo को क्रमशः a, -b, तथा a+b कोणों द्वारा घुमाने पर बिंदु Ma, M-b, M(a+b) प्राप्त होते हैं। साइन और कोसाइन की परिभाषा से, इन बिंदुओं के निर्देशांक निम्नलिखित होंगे: मा(कॉस(ए); पाप(ए)), एम-बी (कॉस(-बी); पाप(-बी)), एम(ए+ बी) (cos(a+ b); पाप(a+b)). AngleMoOM(a+b) = कोणM-bOMa, इसलिए त्रिकोण MoOM(a+b) और M-bOMa बराबर हैं, और वे समद्विबाहु हैं। इसका मतलब है कि आधार MoM(a-b) और M-bMa बराबर हैं। इसलिए, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - syn(a) )^2.

पाप(-ए) = -पाप(ए) और कॉस(-ए) = कॉस(ए)। आइए इन सूत्रों और योग तथा अंतर के वर्ग को ध्यान में रखते हुए अपनी समानता को रूपांतरित करें, फिर:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (ए) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

अब हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान लागू करते हैं:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b)।

आइए ऐसे ही कुछ दें और उन्हें -2 से कम करें:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - पाप(a)*sin(b). क्यू.ई.डी.

निम्नलिखित सूत्र भी मान्य हैं:

cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + पाप(a)*sin(b);
पाप(ए+बी) = पाप(ए)*कॉस(बी) + कॉस(ए)*पाप(बी);
पाप(ए-बी) = पाप(ए)*कॉस(बी) - कॉस(ए)*पाप(बी)।

इन सूत्रों को उपरोक्त सिद्ध सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें कटौती सूत्रों का उपयोग करके और बी को -बी के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए अतिरिक्त सूत्र भी हैं, लेकिन वे सभी तर्कों के लिए मान्य नहीं होंगे।