संख्या की अवधारणा, संख्याओं के प्रकार। प्रक्रियाएँ और कार्य वर्ग विधियाँ हैं। वास्तविक संख्या प्रतिनिधित्व

*मिस डेविस की मांगों के आदी छात्र, ब्रेक खत्म होने से कुछ मिनट पहले कक्षा में उपस्थित हुए। किसी को भी चर्मपत्र और कलम निकालने की जल्दी नहीं थी, यह जानते हुए कि जब व्याख्यान शुरू होगा तो वे उनकी मेज पर दिखाई देंगे। इसके बजाय, छात्रों ने यह देखना शुरू कर दिया कि कैसे सुश्री डेविस ने जादू का उपयोग करके बोर्ड पर कई ग्राफ़, टेबल और आरेख लटका दिए, जिन्हें देखने मात्र से निराशा और उदासी पैदा हो सकती थी*
- मैं देख रहा हूं कि आप में से कई लोग पहले से ही व्याख्यान की सामग्री से खुद को परिचित करने में कामयाब रहे हैं - *जादूगरनी ने दर्शकों का संक्षिप्त अभिवादन करने के बाद जारी रखा* - आज आपके लिए हमारा काम यह सुनिश्चित करना है कि यह सामग्री केवल आपके द्वारा ही न देखी जाए, लेकिन यह भी समझ आया - *स्कूल की घंटी बजने से रुकावट आ गई, यहां तक ​​कि झुंझलाहट में आंख भी सिकोड़ ली*
//वहाँ, हमेशा की तरह, बहुत सारी सामग्री है, लेकिन, हमेशा की तरह, पर्याप्त समय नहीं है। और अंक ज्योतिष पर स्कूल के पाठ्यक्रमइतने कम घंटे आवंटित//
- आइए समय बर्बाद न करें और अभी शुरू करें।
*कुछ विद्यार्थियों के चेहरों पर जमे डर ने साफ संकेत दिया कि वे अब बोझिल और जटिल गणनाओं के अलावा कुछ और करने में प्रसन्न होंगे। लेकिन प्रोफेसर अथक थे*
- पिछले पाठों में हम विभिन्न वर्णमाला संख्याओं से परिचित हुए। और आज से हम अंकशास्त्रीय गणनाओं में इनके उपयोग से परिचित होना शुरू करेंगे। और आइए उनमें से शुरू करें जो प्राचीन ग्रीस के अंकशास्त्रियों द्वारा विकसित किए गए थे।
- उदाहरण के लिए, पाइथागोरस के साइकोमेट्रिक्स से? - *पहले डेस्क पर लाल बालों वाले वरिष्ठ छात्र ने स्पष्टीकरण दिया*
- भ्रमित न हों, मिस गैरेट - *प्रोफेसर ने उसे चेतावनी दी* - साइकोमेट्रिक्स और पाइथागोरस वर्ग पूरी तरह से अलग चीजें हैं। साइकोमेट्रिक्स पाइथागोरस वर्ग पर आधारित है, न कि इसके विपरीत। यह बहुत बाद में प्रकट हुआ और आधुनिक ग्रीस के क्षेत्र से दूर रूसी अंकशास्त्रियों द्वारा विकसित किया गया था। दोनों मामलों में परिणामों की गणना और विश्लेषण करने की विधियाँ इतनी भिन्न हैं कि साइकोमेट्रिक्स और पाइथागोरस वर्ग के विलय के बारे में बात करने की कोई आवश्यकता नहीं है। और, चूँकि हम पाइथागोरस के बारे में बात कर रहे हैं, तो, शायद, हम उसके साथ शुरुआत करेंगे। जिन लोगों को यह याद नहीं है कि यह प्राचीन विद्वान कैसा दिखता था, मैं आपको याद दिला दूं - बिल्कुल इस तरह - *जादूगरनी की छड़ी की हल्की सी तरंग का पालन करते हुए, एक बड़ा चित्र बोर्ड पर चढ़ गया*

उनका जन्म 570 ईसा पूर्व में समोस द्वीप पर मेन्सार्कस और पार्थेनाइड्स के परिवार में हुआ था। पाइथागोरस के माता-पिता वास्तव में क्या करते थे, इसके बारे में कोई सटीक जानकारी नहीं है। कुछ लोग मेनेसारकस को सैमियन पत्थर काटने वाला कहते हैं, अन्य उसे टायर का फोनीशियन व्यापारी कहते हैं, जो समोस चला गया और एक कुलीन यूनानी महिला से शादी कर ली। पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी डेल्फ़िक भविष्यवक्ता पाइथिया ने की थी। जादूगरनी ने कहा कि मेन्सार्कस का बेटा "लोगों के लिए इतना लाभ और अच्छाई लाएगा जितना कोई और नहीं लाया होगा या भविष्य में लाएगा।" खुश पिता ने नवजात शिशु का नाम पाइथागोरस रखने का फैसला किया, और यहां तक ​​कि अपनी पत्नी का नाम भी पाइफैडास रखा। लड़का वास्तव में बहुत प्रतिभाशाली निकला - 18 साल की उम्र में वह अपने साथ पॉलीक्रेट्स का एक सिफ़ारिश पत्र लेकर मिस्र गया। वहां पाइथागोरस ने सामान्य अजनबियों के लिए दुर्गम ज्ञान प्राप्त किया और उस पर 22 साल बिताए। अध्ययन के अन्य 12 वर्ष बेबीलोन में व्यतीत हुए, जहाँ राजा कैंबिस द्वारा मिस्र की विजय के बाद वैज्ञानिक का अंत हुआ। मिस्र और बेबीलोनियाई ग्रंथों का अध्ययन करते समय पाइथागोरस को अंकशास्त्र में रुचि हो गई। 56 वर्षीय व्यक्ति के रूप में अपने मूल स्थान समोस में लौटते हुए, उन्हें आश्चर्य हुआ कि उनके शिक्षकों ने लोगों की नियति पर संख्याओं के प्रभाव का अध्ययन करते समय नामों के प्रभाव को क्यों नजरअंदाज कर दिया। आख़िरकार, किसी भी नाम को संख्याओं के एक निश्चित अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है। और आयोनियन नंबरिंग, जो हम सभी से परिचित है, वैज्ञानिक के लिए उनकी परिकल्पना का परीक्षण करने में एक अच्छी मदद थी। पाइथागोरस ने उस समय विद्यमान संख्याओं के वर्गीकरण की अपूर्णता के बारे में भी सोचा। या यों कहें, इसकी लगभग पूर्ण अनुपस्थिति के बारे में। पाइथागोरस के विचार उस समय के लोगों को साहसिक और असामान्य लगे, लेकिन फिर भी वह समान विचारधारा वाले लोगों को ढूंढने में कामयाब रहे। पाइथागोरस के शिष्य और अनुयायी बाद में एक प्रकार के क्रम में एकजुट हो गए और पाइथागोरस कहलाने लगे। यह पाइथागोरस ही थे जिन्होंने संख्याओं का मौलिक रूप से नया वर्गीकरण बनाया, जिसका उपयोग आज कई अंकशास्त्रियों द्वारा किया जाता है - *लड़की ने एक पोस्टर पर अपनी छड़ी घुमाई, और छवि थोड़ी उज्ज्वल हो गई, जिससे गैलरी के छात्र भी आसानी से पढ़ सकें क्या लिखा था*

यहां तक ​​की	विषम
सम-सम	कम्पोजिट
और भी अजीब	अमिश्रित
सम-विषम (विषम-विषम)	अमिश्रित-मिश्रित
उत्तम
सुपर परफेक्ट
अपूर्ण

- विषम संख्या - ये दो भागों से बनी संख्याएँ हैं, जिनमें से एक सम और दूसरा विषम है। उदाहरण के लिए: 4 (सम भाग) + 3 (विषम भाग) = 7. एक विषम संख्या को m=2k+1 के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहां k € Z. यानी, k पूर्णांकों के सेट से संबंधित है, और इसमें यदि हम भिन्नों का उपयोग नहीं करते हैं तो हम विचार कर रहे हैं।
सम संख्यावे संख्याएँ हैं जिनमें दो भाग होते हैं, जिनमें से दोनों या तो सम या विषम होते हैं। उदाहरण के लिए: 4 (सम भाग) + 4 (सम भाग) = 8 = 5 (विषम भाग) + 3 (विषम भाग)। एक सम संख्या को m=2k के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहां k € Z. और यहां k भी पूर्णांकों के सेट का हिस्सा है।
मुगल्स पाइथागोरस की तुलना में समता की थोड़ी अलग परिभाषा देंगे। उनके दृष्टिकोण से समानतापूर्णांक की एक विशेषता है. ए सम संख्या- ये पूर्णांक हैं जिन्हें बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, विषम संख्याएँ 2 से समान रूप से विभाज्य नहीं होती हैं।
*एइन ने पोस्टर के नीचे अपनी छड़ी घुमाई*
(6 + 6) = 12 = (7 + 5) - पाइथागोरस के अनुसार भी
12:2 = 6 – सम
12 = 2*6, जहाँ m=12, k=6
(10 + 5) = 15 - पाइथागोरस के अनुसार विषम
15:2 = 7.5 - विषम
15 = (2*7) + 1, जहाँ m=15, k=7
- अंकशास्त्र में, पाइथागोरस द्वारा दी गई सम और विषम संख्याओं की परिभाषा का अधिक बार उपयोग किया जाता है।
समग्र संख्या- ये वे संख्याएँ हैं जो स्वयं, एक और कुछ अन्य भाजक द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य हैं। उदाहरण के लिए: 9 (1; 3; 9), 15 (1; 3; 5; 15) 27 (1; 3; 9; 27), 33 (1; 3; 11; 33) इत्यादि।
गैर-मिश्रित संख्याएँवे संख्याएँ हैं जो स्वयं से विभाज्य होती हैं और बिना किसी शेषफल के एक होती हैं। उदाहरण के लिए: 3 (1 और 3), 5 (1 और 5), 7 (1 और 7), 11 (1 और 11), 13 (1 और 13) इत्यादि। कुछ अंकशास्त्री ऐसे अंकों को रैखिक भी कहते हैं। पाइथागोरस के दृष्टिकोण से, उन्हें एक रेखा के रूप में चित्रित किया जा सकता है जिसमें एक के बाद एक क्रमिक रूप से खड़े बिंदु शामिल हैं।
गैर-मिश्रित संख्याएँ- ये वे संख्याएँ हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, लेकिन इनमें से प्रत्येक अपने आप में विभाज्य है। उदाहरण के लिए: 9 (1; 3; 9) और 25 (1; 5; 25)। जैसा कि आप देख सकते हैं, वास्तव में ऐसी कोई सामान्य संख्या नहीं है जिससे 9 और 25 दोनों बिना किसी शेषफल के विभाज्य हों। इन संख्याओं को हमेशा जोड़े में माना जाता है।
सम संख्याओं के साथ चीजें थोड़ी अधिक जटिल होती हैं।
सम-सम संख्याएँवे संख्याएँ हैं जो एक से शुरू करके दोगुनी करके प्राप्त की जाती हैं। उदाहरण के लिए: 1, 2, 4, 8 इत्यादि। पाइथागोरस ने इन संख्याओं को पूर्ण माना, क्योंकि उनमें से प्रत्येक को 2 से एक या अधिक बार विभाजित किया जा सकता था, और इसी तरह जब तक 1 प्राप्त नहीं हो जाता, तब तक सम-सम संख्याओं में कई अद्वितीय गुण होते हैं। इस प्रकार, अंतिम को छोड़कर, पदों 1 की किसी भी संख्या का योग हमेशा अंतिम शून्य से एक के बराबर होता है। डरावना? - *छात्रों से पूछा ईन* - बिल्कुल नहीं। आइए एक उदाहरण देखें: (1+2+4+8)=(16-1)। पहले हम पहले ही बात कर चुके हैं कि सम-सम संख्याएँ क्या होती हैं। और यदि हम इन संख्याओं का क्रम लिखना चाहें तो हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होंगे: 1, 2, 4, 8, 16, 32... इसका मतलब है कि 8 के बाद संख्या 16 होनी चाहिए। सम-सम संख्याओं के गुणों के साथ, पहली चार संख्याओं को जोड़ने पर हमें 16 नहीं, बल्कि 15 प्राप्त होता है। एक संख्या जो सम-सम संख्याओं के अनुक्रम को देखने पर हमारी अपेक्षा से एक कम है। ऐसी संख्याओं से युक्त एक संख्या श्रृंखला में एक दिलचस्प गुण भी होता है: पहला पद, अंतिम से गुणा करने पर, अंतिम तब तक प्राप्त होता है जब तक कि विषम संख्या वाले पदों वाली श्रृंखला में एक संख्या शेष न रह जाए। और यदि आप इस संख्या को स्वयं से गुणा करते हैं, तो आपको श्रृंखला में अंतिम संख्या मिलती है।
सम-विषम संख्याएँ- ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें बिना किसी शेषफल के केवल एक बार 2 से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: 2, 6, 10, 14 इत्यादि। यदि हम 2 से विभाजित करने का प्रयास करते हैं, उदाहरण के लिए, 10, तो हमें 5 प्राप्त होगा। लेकिन यदि हम 5 को दो से विभाजित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें पूर्णांक नहीं मिलेगा। इसी प्रकार श्रृंखला की अन्य सभी सम-विषम संख्याओं को केवल एक बार ही 2 से पूर्णतः विभाजित किया जा सकता है। विषम संख्याओं को 2 से गुणा करने पर सम-विषम संख्याएँ प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए: 2 (1*2), 6 (3*2), 10 (5*2), 14 (7*2)। सम-विषम संख्याओं की भी अपनी-अपनी विशेषताएँ होती हैं अद्वितीय गुण. इसलिए, यदि ऐसी संख्या को विषम भाजक से विभाजित किया जाता है, तो भागफल किसी भी स्थिति में सम होगा। और यदि ऐसी संख्या का भाजक सम है, तो भागफल विषम होगा। उदाहरण के लिए:
14:7 (विषम भाजक)=2 (सम भागफल)
14:2 (सम भाजक) = 7 (विषम भागफल)
ऐसे अंकों की संख्या श्रृंखला के भी अपने गुण होते हैं। इस प्रकार, किसी श्रृंखला में कोई भी संख्या उसके दोनों पक्षों के पदों के योग का आधा होती है। आइए इस ज्ञान को समझें. उदाहरण के लिए, संख्याएँ 10, 14 और 18 लें। सम-विषम संख्याओं की हमारी संख्या श्रृंखला में, 10 और 18 संख्या 14 के दोनों ओर दिखाई देंगे: 2, 6, 10 , 14, 18 , 22. इसके अलावा, 10+18=28. ए 28:2=14. अर्थात्, 14 वास्तव में पंक्ति में उसके पड़ोसियों के योग का आधा है।
पाइथागोरस वर्गीकरण के तीसरे बिंदु के साथ, चीजें कुछ हद तक बदतर हैं। वैज्ञानिक अभी भी इस बात पर बहस कर रहे हैं कि संख्याओं के इस समूह को वास्तव में क्या कहा जाए: विषम-सम या विषम-विषम। विभिन्न साहित्य में आप दोनों नाम पा सकते हैं। इसलिए, दोनों को याद रखना बेहतर है, लेकिन यह जान लें कि मूलतः वे एक ही चीज़ हैं। विषम समसंख्याएँ सम-सम और सम-विषम संख्याओं के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति रखती हैं। जब आप उन्हें क्रमिक रूप से 2 से विभाजित करते हैं, तो आपको एक नहीं मिल सकता है, हाँ, लेकिन उन्हें एक से अधिक बार 2 से पूर्ण रूप से विभाजित किया जा सकता है। 2 से बड़ी सम-सम संख्याओं को विषम संख्याओं से गुणा करने पर विषम-सम संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कुछ विषम-सम संख्याएँ विषम संख्याओं की एक श्रृंखला को 4 से गुणा करके और फिर सम-सम संख्याओं की पूरी श्रृंखला को गुणा करके बनाई जाती हैं।
यह समझने के लिए कि कोई विशेष सम संख्या किस प्रकार की है, उसे उसके घटकों में विभाजित करने की आवश्यकता है। इस मामले में, जिन भागों में संख्या विघटित होगी उनकी संख्या उसके विभाजकों की संख्या के अनुरूप होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, संख्या 6. यह 2, 3, 1 और स्वयं से विभाज्य है। इसलिए, 2+3+1=6; 6/6=1. इससे हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि:
बिल्कुल सही संख्या- ये वे संख्याएँ हैं जिनके भागों का योग पूर्णांक के बराबर होता है।
लेकिन अन्य संख्याएँ भी हैं। जैसे, उदाहरण के लिए, 18. यह 2, 9, 6, 3, 1 और स्वयं से विभाज्य है। अत: 2+9+3+6+1= 21; 18/18 =1. भागों का योग स्पष्ट रूप से संपूर्ण से अधिक है। इस मामले में, संख्या को अति उत्तम माना जाता है।
अति उत्तम संख्याएँ- ये वे संख्याएँ हैं जिनके भागों का योग पूर्ण से अधिक है।
आइए एक और उदाहरण देखें. संख्या 8 है। यह 2, 4, 1 और स्वयं से विभाज्य है। इसलिए, 2+4+1=7; 8/8=1. भागों का योग पूर्ण से कम है। इसका मतलब यह है कि हम अपूर्ण संख्याओं की अवधारणा पर आ गये हैं।
अपूर्ण संख्याएँ- ये वे संख्याएँ हैं जिनके भागों का योग पूर्ण से कम है।
- प्रोफेसर, क्या विषम संख्याएँ पूर्ण हो सकती हैं? - *अपने लबादे पर हफलपफ कोट ऑफ आर्म्स के साथ एक गंभीर लड़की ने स्पष्ट किया*
*कक्षा में दबी-दबी हँसी सुनाई दे रही थी*
"आपको हँसना नहीं चाहिए," *जादूगरनी ने हँसमुख साथियों पर पलटवार किया* "मिस टायलर ने बहुत सही सवाल पूछा।" वास्तव में, एक विषम संख्या पूर्ण हो सकती है। सच है, अब तक केवल सिद्धांत में - *लड़की आह भरती है* - अंकशास्त्री निश्चित रूप से जानते हैं कि बहुलता को ध्यान में रखते हुए ऐसी संख्या में 9 अभाज्य गुणनखंड और 75 अभाज्य गुणनखंड होने चाहिए। यह संख्या अभी तक खोजी नहीं गई है, लेकिन किसी ने यह साबित नहीं किया है कि इसका अस्तित्व नहीं है। अब कुछ अंकशास्त्री ऐसे अंक की खोज कर रहे हैं। शायद आपमें से कोई इतना भाग्यशाली होगा कि भविष्य में इसका खोजकर्ता बन सके।
- यह इस बात पर निर्भर करता है कि कोई विशेष संख्या किस समूह से संबंधित है, इसमें कुछ गुण होते हैं - *जादूगरनी ने अपना व्याख्यान जारी रखा* - और ये गुण ही हैं जो किसी व्यक्ति के भाग्य को प्रभावित करते हैं। पाइथागोरस ने सम संख्याओं को निष्क्रिय स्त्री सिद्धांत से जोड़ा। ये संख्याएँ प्रकृति और स्वयं मनुष्य में बंद प्रक्रियाओं, एक पूरे के भीतर चक्रीय परिवर्तनों का प्रतिबिंब हैं। सम संख्याएँ किसी चीज़ को मात्रात्मक रूप से प्रभावित कर सकती हैं, लेकिन गुणात्मक रूप से नहीं। इसके विपरीत, विषम संख्याएँ आमतौर पर सक्रिय पुरुषत्व से जुड़ी होती हैं। वे खुली प्रणालियों और क्षणिक प्रक्रियाओं का प्रतिबिंब हैं। विषम संख्याएँ गुणात्मक रूप से कुछ बदलती हैं, मात्रात्मक रूप से नहीं।
"परफेक्ट नंबर सबसे अच्छे होते हैं," *अपने लबादे पर लाल पैच लगाए घुंघराले बालों वाला एक छात्र चिल्लाया*
*प्रोफेसर डेविस ने भौंहें चढ़ा दीं: उन्हें यह छात्र याद नहीं था, वह पहली बार व्याख्यान में था*
- यह सही है, श्रीमान... वाल्टन - *पत्रिका की जांच करते हुए, उसने उत्तर दिया* - लेकिन भविष्य में, इसे परेशानी के रूप में न लें, अपना हाथ उठाएं। दरअसल, पाइथागोरस ने पूर्ण संख्याओं को सद्गुण के प्रतीक के रूप में देखा, कमी और अधिकता के बीच का सुनहरा मतलब। जिस व्यक्ति के आस-पास जितनी अधिक उत्तम संख्याएँ होंगी, उसमें उतने ही अधिक गुण होंगे। पाइथागोरस ने अपूर्ण संख्याओं को बुराई का प्रतीक कहा। तदनुसार, एक व्यक्ति जितना बुरा होता है, उतनी ही अधिक अपूर्ण संख्याएँ उसे घेर लेती हैं। लेकिन हम अपने पहले पाठ में भाग्य पर संख्याओं के कुछ हद तक प्रभाव के बारे में पहले ही बात कर चुके हैं। भाग्य बहुभिन्नरूपी है और चुनाव अक्सर हम पर ही निर्भर करता है। अंक हमारे मार्गदर्शक सितारे हैं, लेकिन रास्ता हम स्वयं चुनते हैं। इसलिए, यह कहना असंभव है कि कोई व्यक्ति केवल भाग्यशाली जन्मतिथि के कारण सफल हुआ, जबकि कोई व्यक्ति किसी अशुभ नक्षत्र में पैदा हुआ और इसलिए बड़ा होकर बदमाश बन गया। लेकिन आइए अपने वर्गीकरण पर वापस लौटें। इसके बाद, पाइथागोरस ने इसे महत्वपूर्ण रूप से पूरक और विस्तारित किया। इस मामले में विशेष रूप से प्रतिष्ठित मेटापोंटस के हिप्पासस, पाइथागोरस और थीनो की काल्पनिक बेटी दामो, कैडिज़ के मॉडरेटस, लोकेरिया के टिमियस, पाइथागोरस की पत्नी थीनो, सिरैक्यूज़ के फिलोलॉस और एक्फ़ैंटस थे। इन पाइथागोरस के कार्यों के अनुसार, संख्याएँ इस प्रकार हो सकती हैं - *प्रोफेसर ने अपनी छड़ी को दूसरे पोस्टर पर घुमाया, और यह तुरंत बहुत उज्ज्वल और अधिक ध्यान देने योग्य हो गया*

महान वैज्ञानिक के काम के उत्तराधिकारियों ने लंबे समय तक इस बात पर बहस की कि क्या शून्य को एक संख्या माना जा सकता है, साथ ही इसे कैसे वर्गीकृत किया जाए और इसे किस समूह में सौंपा जाए। इस यूनिट ने काफी विवाद भी पैदा किया. परिणामस्वरूप, इसे प्राथमिक सम-विषम संख्या की महत्वपूर्ण भूमिका सौंपी गई। यह वह था जिसने पुरातनता के प्रतिभाशाली अंकशास्त्रियों द्वारा बनाए गए पूरक वर्गीकरण का आधार बनाया। इस वर्गीकरण के अनुसार:
वर्ग संख्या- ये विषम संख्याओं को जोड़ने पर प्राप्त संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए: 1+3=4; 1+3+5+7=16; 1+3+5=9; 3+13=16. पाइथागोरस ने कभी-कभी इन संख्याओं को वर्गों के रूप में दर्शाया।
आयताकार संख्याएँ- ये सम संख्याओं को जोड़ने पर प्राप्त संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए: 2+4=6; 2+4+6=12.
त्रिकोणीय संख्याएँ- ये सम और विषम संख्याओं को क्रम से जोड़ने पर प्राप्त संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए: 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10. पाइथागोरस के दृष्टिकोण से, इन संख्याओं को त्रिभुजों द्वारा दर्शाया जा सकता है।
पंचकोणीय संख्याएँ- पाइथागोरस के अनुसार, इन संख्याओं को पंचकोणों द्वारा दर्शाया जा सकता है। पंचकोणीय संख्याओं में 5, 12 और 22 शामिल हैं।
लगभग कोई भी संख्या तीनों श्रेणियों में आ सकती है। कुछ गणनाओं के आधार पर, यह वर्गाकार, त्रिकोणीय, साथ ही आयताकार और पंचकोणीय भी हो सकता है।
- अब बात करते हैं कि पहले शोधकर्ताओं ने संख्याओं को किन गुणों से संपन्न किया - *जादूगरनी ने संख्याओं और उनकी व्याख्याओं से भरे एक बड़े पोस्टर की ओर अपनी छड़ी से इशारा किया*

संख्या	नाम	छवि	गुण
			प्राथमिक सम-विषम संख्या, सभी चीजों का आधार। शुरुआतों की संख्या, सकारात्मक गतिशीलता और ताकत। डायोजनीज लैर्टियस ने कहा कि सब कुछ मोनाड से बहता है। संख्या श्रृंखला. मोनाड से डायड आता है, डायड से अन्य सभी संख्याएँ आती हैं, और उनसे बिंदु, रेखाएँ, "द्वि-आयामी" और "त्रि-आयामी इकाइयाँ" और शरीर आते हैं। सीधेपन, स्वतंत्रता, नेतृत्व और साहस का प्रतीक है; अपने अपूर्ण रूप में यह आक्रामकता और स्वार्थ का प्रतीक हो सकता है।
			सभी चीज़ों के द्वंद्व के सिद्धांत को व्यक्त करने वाली एक द्वितीयक संख्या। "सबसे नरम" संख्या, सहयोग और कूटनीति का प्रतीक। आमतौर पर, डायड जन्म तिथि या भविष्य के गुरु और सलाहकार के नाम में पाया जाता है। यह अतिरिक्त जीवन शक्ति देता है; कई लंबे समय तक रहने वाले और स्वस्थ लोगों को यह भी संदेह नहीं है कि यह न केवल एक स्वस्थ जीवन शैली और नियमित शारीरिक गतिविधि के कारण है।
			पाइथागोरस के दृष्टिकोण से, सबसे सुंदर संख्या। सभी में से एकमात्र प्राकृतिक संख्यायह अपने पूर्ववर्तियों का योग है। विलक्षण, जिसके लिए इसके पूर्ववर्तियों का योग उनके उत्पाद के बराबर है। त्रय जादू की संख्याओं में से एक है। परंपरागत रूप से, जादुई शक्ति की संख्या 3, 7 और 11 मानी जाती है। यह एक बहुत शक्तिशाली रचनात्मक और प्रेरक संख्या है। आशावाद, आत्म-अभिव्यक्ति और सौभाग्य का प्रतीक है।
			पाइथागोरस की एक और पसंदीदा संख्या। जोड़ और गुणा से प्राप्त पहली संख्या समान संख्या. न्याय, सुव्यवस्था, सटीकता और विश्वसनीयता का प्रतीक। यह एक व्यक्ति में आदेश और नियमों, विश्लेषण और व्यवस्थितकरण के प्रति प्रेम पैदा करता है और लक्ष्यों को प्राप्त करने में दृढ़ता, ईमानदारी और ईमानदारी को बढ़ाता है।
			सभी पाइथागोरसवासी इस प्रतीक को अपने साथ रखते थे। उनके लिए धन्यवाद, उन्होंने समान विचारधारा वाले लोगों को पहचाना। जीवन, शक्ति और अजेयता की संख्या. अपने लेखन में, निकोमाचस ने लिखा: "न्याय एक पंचकोण है।" पाइथागोरस ने पेंटाड को एक पवित्र संख्या माना, जो मर्दाना और स्त्री सिद्धांतों, प्रेम और विवाह के एकीकरण का प्रतीक था।
			ब्रह्माण्ड की शेष संख्या. स्वास्थ्य और अटूट महत्वपूर्ण ऊर्जा का प्रतीक।
			पाइथागोरस ने एननेड को "क्षितिज संख्या" कहा, जो पहले और बाद के सभी दहाई की संख्याओं का परिसीमन करता है। पूर्णता, प्रतिभा, कलात्मकता, आदर्शवाद और परोपकारिता का प्रतीक।
			अभिसरण की संख्या, पाइथागोरस ने इसे पृथ्वी और आकाश के संबंध के प्रतीक के रूप में देखा। दशक को टेट्राक्सिस के पवित्र प्रतीक के रूप में चित्रित करने की प्रथा थी।

*जादूगरनी ने अपनी छड़ी मेज से एक छवि की ओर घुमाई*

बहुत बार, दशक की छवि के बजाय, जो तालिका में दी गई है, पाइथागोरस ने इस पवित्र संकेत, टेट्राक्सिस, सद्भाव और ब्रह्मांड का प्रतीक लिखा है। बेशक, उनकी व्याख्या को एकमात्र सही और सही नहीं माना जा सकता। अन्य देशों के अंकशास्त्री इन अंकों को पूरी तरह से अलग विशेषताएँ दे सकते हैं। फिर भी अंकशास्त्रियों के बीच पायथागॉरियन विशेषताओं का अत्यधिक सम्मान किया जाता है। कुछ मामलों में, वे अधिकांश संख्याओं के वास्तविक सार को पूरी तरह और सटीक रूप से दर्शाते हैं। और…
*लेकिन स्कूल की घंटी ने प्रोफेसर को फिर से सबसे अहंकारी और बेशर्म तरीके से बाधित किया*
//पहले से?//
*लड़की ने अपने बागे की जेब से एक पतली चेन वाली चांदी की घड़ी निकाली और सुनिश्चित किया कि समय हो गया है और व्याख्यान समाप्त करने का वास्तव में समय हो गया है*
- यह सभी आज के लिए है। हम अगले व्याख्यान में पायथागॉरियन वर्ग और अन्य समान रूप से दिलचस्प चीजों के बारे में बात करेंगे। गृहकार्यबोर्ड पर - *ईन ने कई पोस्टरों को अलग कर दिया और कुछ जगह खाली कर दी। अपनी जादू की छड़ी से बोर्ड को छूकर, उन्होंने विद्यार्थियों को वहां दिखाई देने वाले कार्य को फिर से लिखने का अवसर दिया*

कार्य

1. व्याख्यान में एक छात्र आलस्य का शिकार हो गया और उसने मिस डेविस द्वारा दी गई जानकारी को विस्तार से नहीं लिखा। और अब वो खुद अपने ही सुरों में उलझे हुए हैं. आपको क्या लगता है कि हम यहां किस पाइथागोरस संख्या के बारे में बात कर रहे हैं? अपने कारण दें।
   - प्राथमिक सर्व-देखने वाली आँख
   - दो स्वास्थ्य वलय
   - आदेश की नोटबुक
   -न्याय के दानव को बुलाओ
   - संतुलन का सितारा
   - सेज हेड में मनोगाउग्लॉफ़
   - पहली घन वस्तु
   - आदर्शवादी कमल
   - एक वृत्त में तीन स्वर्गीय और सांसारिक साहुल
2. मानव शरीर में बंद मात्रात्मक प्रक्रियाओं और मानव वातावरण में खुली गुणात्मक प्रक्रियाओं का कम से कम एक उदाहरण दीजिए। उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति की 1 वर्ष की वार्षिक वृद्धि/उम्र बढ़ने एक चक्रीय बंद मात्रात्मक प्रक्रिया है।

अतिरिक्त काम

1. 1. संघटन। आप एक कठिन परीक्षा का सामना कर रहे हैं जिसके लिए आप बहुत अच्छी तरह से तैयार नहीं हैं। सहपाठियों से सुना है कि चर्मपत्र पर पायथागॉरियन संख्याओं में से एक की छवि परीक्षण करते समय सौभाग्य लाती है। आप प्रयास करने का निर्णय लेते हैं। आप अपने परीक्षा चर्मपत्र पर कौन सा चिह्न लगाएंगे और क्यों?
2. 1. रिपोर्ट "यह चिन्ह उतना डरावना नहीं है जितना इसे चित्रित किया गया है।" पेंटाग्राम हमेशा एक नकारात्मक प्रतीक नहीं था - सिकंदर महान ने इसे अपनी मुहरों पर चित्रित किया था, और महान सर गवेन ने इसे अपनी ढाल पर पहना था। हमें उस जटिल ऐतिहासिक और सांस्कृतिक पथ के बारे में बताएं जिससे यह उभयलिंगी प्रतीक गुजरा है। (1000 अक्षर)
3. 1. भूमिका निभाना "पारिवारिक मेलोड्रामा"। तुम बहुत बदकिस्मत थे - तुम्हारी छोटी बहन एक कुरूप पैदा हुई थी। जब तक आपके माता-पिता को पता नहीं चला कि क्या हो रहा है, आपने स्थिति को अपने हाथों में लेने और इसे ठीक करने का निर्णय लिया। आप जानते हैं कि पाइथागोरस के दृष्टिकोण से, 3 जादू की संख्या है। इसका मतलब यह है कि यदि आप दुर्भाग्यपूर्ण महिला को तीन से घेरते हैं, तो सैद्धांतिक रूप से, उसमें पूर्ण जादू जागना चाहिए। मदद करने के अपने प्रयासों को अनदेखा करें और कोशिश करें कि आप अपने माता-पिता की नज़रों में न आएँ, ताकि सारे रहस्य उजागर न हो जाएँ।
4. 1. काल्पनिक कार्य. आप बहुत भाग्यशाली हैं - आप वोल्डेमॉर्ट/हैरी पॉटर के व्यक्तिगत अंकशास्त्री हैं (पात्र का चुनाव आपके विवेक पर है)। आपने अपने संरक्षक को सलाह दी कि वह हमेशा अपने साथ टेट्राक्सिस का चिन्ह रखें - इससे किसी भी व्यवसाय में सफलता सुनिश्चित होनी चाहिए। हालाँकि, किसी कारण से अपेक्षित सफलता नहीं मिल रही है, आपका संरक्षक असंतुष्ट है और आपको कागज़ पर या अवाडा के माध्यम से नौकरी से निकालने का इरादा रखता है। न केवल अपना स्थान, बल्कि अपना जीवन भी बचाने का प्रयास करें। कार्य को भूमिका-निभाने के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है।
5. (यह व्याख्यान केवल 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 पाठ्यक्रम के लिए है)

सभी प्रकार की विशाल विविधता से सेटविशेष रुचि तथाकथित हैं संख्या सेट, अर्थात् वे समुच्चय जिनके अवयव संख्याएँ हैं। यह स्पष्ट है कि उनके साथ आराम से काम करने के लिए आपको उन्हें लिखने में सक्षम होना होगा। हम इस लेख की शुरुआत संख्यात्मक सेट लिखने के संकेतन और सिद्धांतों से करेंगे। इसके बाद, आइए देखें कि समन्वय रेखा पर संख्यात्मक सेट कैसे दर्शाए जाते हैं।

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संख्यात्मक सेट लिखना

आइए स्वीकृत संकेतन से शुरू करें। जैसा कि आप जानते हैं, लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों का उपयोग सेट को दर्शाने के लिए किया जाता है। संख्या सेट की तरह विशेष मामलासेट भी दर्शाए गए हैं। उदाहरण के लिए, हम संख्या समुच्चय A, H, W आदि के बारे में बात कर सकते हैं। प्राकृतिक, पूर्णांक, तर्कसंगत, वास्तविक, के सेट विशेष महत्व के हैं जटिल आंकड़ेआदि, उनके लिए उनके अपने पदनाम अपनाए गए:

• एन - सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट;
• Z - पूर्णांकों का समुच्चय;
• क्यू - तर्कसंगत संख्याओं का सेट;
• जे - अपरिमेय संख्याओं का सेट;
• आर - वास्तविक संख्याओं का सेट;
• C सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

यहां से यह स्पष्ट है कि आपको उदाहरण के लिए, दो संख्याओं 5 और −7 वाले समुच्चय को Q के रूप में निरूपित नहीं करना चाहिए, यह पदनाम भ्रामक होगा, क्योंकि अक्षर Q आमतौर पर सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। निर्दिष्ट संख्यात्मक सेट को दर्शाने के लिए, किसी अन्य "तटस्थ" अक्षर का उपयोग करना बेहतर है, उदाहरण के लिए, ए।

चूंकि हम अंकन के बारे में बात कर रहे हैं, आइए यहां एक खाली सेट के अंकन के बारे में भी याद रखें, यानी एक ऐसा सेट जिसमें तत्व शामिल नहीं हैं। इसे ∅ चिन्ह से दर्शाया जाता है।

आइए हम इस पदनाम को भी याद करें कि कोई तत्व किसी सेट से संबंधित है या नहीं। ऐसा करने के लिए, संकेतों का उपयोग करें ∈ - संबंधित है और ∉ - संबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, अंकन 5∈N का अर्थ है कि संख्या 5 प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित है, और 5,7∉Z - दशमलव 5,7 पूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित नहीं है।

और आइए हम एक सेट को दूसरे में शामिल करने के लिए अपनाए गए नोटेशन को भी याद करें। यह स्पष्ट है कि सेट N के सभी तत्व सेट Z में शामिल हैं, इस प्रकार संख्या सेट N Z में शामिल है, इसे N⊂Z के रूप में दर्शाया गया है। आप नोटेशन Z⊃N का भी उपयोग कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि सभी पूर्णांक Z के सेट में सेट N शामिल है। शामिल नहीं किए गए और शामिल नहीं किए गए संबंध क्रमशः ⊄ और द्वारा दर्शाए गए हैं। फॉर्म ⊆ और ⊇ के गैर-सख्त समावेशन संकेतों का भी उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ क्रमशः शामिल या मेल खाता है और शामिल या मेल खाता है।

हमने अंकन के बारे में बात की है, आइए संख्यात्मक सेटों के विवरण पर आगे बढ़ें। इस मामले में, हम केवल उन मुख्य मामलों पर बात करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

आइए तत्वों की एक सीमित और छोटी संख्या वाले संख्यात्मक सेट से शुरू करें। तत्वों की एक सीमित संख्या से युक्त संख्यात्मक सेटों का उनके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके वर्णन करना सुविधाजनक है। सभी संख्या तत्व अल्पविराम से अलग करके लिखे गए हैं और इसमें संलग्न हैं, जो सामान्य के अनुरूप है सेट का वर्णन करने के नियम. उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं 0, −0.25 और 4/7 से युक्त एक सेट को (0, −0.25, 4/7) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

कभी-कभी, जब संख्यात्मक सेट के तत्वों की संख्या काफी बड़ी होती है, लेकिन तत्व एक निश्चित पैटर्न का पालन करते हैं, तो विवरण के लिए दीर्घवृत्त का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 से 99 तक की सभी विषम संख्याओं के समुच्चय को (3, 5, 7, ..., 99) के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए हमने आसानी से संख्यात्मक सेटों का वर्णन किया, जिनमें से तत्वों की संख्या अनंत है। कभी-कभी उन्हें सभी समान दीर्घवृत्तों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट का वर्णन करें: N=(1, 2. 3,…) ।

वे इसके तत्वों के गुणों को इंगित करके संख्यात्मक सेटों के विवरण का भी उपयोग करते हैं। इस मामले में, अंकन (x| गुण) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, नोटेशन (n| 8·n+3, n∈N) प्राकृतिक संख्याओं के सेट को निर्दिष्ट करता है, जिन्हें 8 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है। इसी सेट को (11,19, 27,...) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

विशेष मामलों में, तत्वों की अनंत संख्या वाले संख्यात्मक सेट ज्ञात सेट N, Z, R, आदि होते हैं। या संख्या अंतराल. मूल रूप से, संख्यात्मक सेटों को इस प्रकार दर्शाया जाता है मिलनउनके घटक व्यक्तिगत संख्यात्मक अंतराल और तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ संख्यात्मक सेट (जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी)।

चलिए एक उदाहरण दिखाते हैं. मान लें कि संख्या सेट में संख्याएँ −10, −9, −8.56, 0, खंड की सभी संख्याएँ [−5, −1,3] और खुली संख्या रेखा (7, +∞) की संख्याएँ शामिल हैं। समुच्चयों के संघ की परिभाषा के कारण निर्दिष्ट संख्यात्मक समुच्चय को इस प्रकार लिखा जा सकता है {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . इस अंकन का वास्तव में मतलब एक सेट है जिसमें सेट के सभी तत्व (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] और (7, +∞) शामिल हैं।

इसी प्रकार, विभिन्न संख्या अंतरालों और व्यक्तिगत संख्याओं के सेटों को मिलाकर, किसी भी संख्या सेट (वास्तविक संख्याओं से युक्त) का वर्णन किया जा सकता है। यहां यह स्पष्ट हो जाता है कि अंतराल, अर्ध-अंतराल, खंड, खुली संख्यात्मक किरण और संख्यात्मक किरण जैसे संख्यात्मक अंतराल क्यों पेश किए गए थे: ये सभी, व्यक्तिगत संख्याओं के सेट के लिए नोटेशन के साथ मिलकर, किसी भी संख्यात्मक सेट का वर्णन करना संभव बनाते हैं उनका मिलन.

कृपया ध्यान दें कि किसी संख्या समूह को लिखते समय, उसके घटक संख्याओं और संख्यात्मक अंतरालों को आरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। यह एक आवश्यक लेकिन वांछनीय शर्त नहीं है, क्योंकि एक क्रमबद्ध संख्यात्मक सेट की कल्पना करना और समन्वय रेखा पर चित्रित करना आसान है। यह भी ध्यान दें कि ऐसे रिकॉर्ड में संख्यात्मक अंतराल का उपयोग नहीं किया जाता है सामान्य तत्व, क्योंकि ऐसे रिकॉर्ड को सामान्य तत्वों के बिना संख्यात्मक अंतरालों के संयोजन से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य तत्वों [−10, 0] और (−5, 3) के साथ संख्यात्मक सेटों का मिलन अर्ध-अंतराल [−10, 3) है। यही बात समान सीमा संख्याओं के साथ संख्यात्मक अंतरालों के मिलन पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए, संघ (3, 5]∪(5, 7] एक समुच्चय (3, 7] है, जब हम सीखेंगे तो हम इस पर अलग से ध्यान देंगे। संख्यात्मक सेटों का प्रतिच्छेदन और संघ खोजें

एक समन्वय रेखा पर संख्या सेटों का प्रतिनिधित्व

व्यवहार में, संख्यात्मक सेटों की ज्यामितीय छवियों का उपयोग करना सुविधाजनक है - उनकी छवियां। उदाहरण के लिए, जब असमानताओं को हल करना, जिसमें ODZ को ध्यान में रखना आवश्यक है, उनके प्रतिच्छेदन और/या संघ को खोजने के लिए संख्यात्मक सेटों को चित्रित करना आवश्यक है। इसलिए एक समन्वय रेखा पर संख्यात्मक सेटों को चित्रित करने की सभी बारीकियों की अच्छी समझ होना उपयोगी होगा।

यह ज्ञात है कि निर्देशांक रेखा के बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, जिसका अर्थ है कि समन्वय रेखा स्वयं सभी वास्तविक संख्याओं आर के सेट का एक ज्यामितीय मॉडल है। इस प्रकार, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को चित्रित करने के लिए, आपको इसकी पूरी लंबाई के साथ छायांकन के साथ एक समन्वय रेखा खींचने की आवश्यकता है:

और अक्सर वे मूल और इकाई खंड का भी संकेत नहीं देते हैं:

अब संख्यात्मक सेटों की छवि के बारे में बात करते हैं, जो व्यक्तिगत संख्याओं की एक निश्चित सीमित संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, आइए संख्या सेट (−2, −0.5, 1.2) को चित्रित करें। इस सेट की ज्यामितीय छवि, जिसमें तीन संख्याएं -2, -0.5 और 1.2 शामिल हैं, संबंधित निर्देशांक के साथ समन्वय रेखा के तीन बिंदु होंगे:

ध्यान दें कि आमतौर पर व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए ड्राइंग को सटीक रूप से पूरा करने की कोई आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर एक योजनाबद्ध चित्रण पर्याप्त होता है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में पैमाने को बनाए रखना आवश्यक नहीं है, केवल एक-दूसरे के सापेक्ष बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति को बनाए रखना महत्वपूर्ण है: छोटे समन्वय वाला कोई भी बिंदु होना चाहिए; बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर। पिछली ड्राइंग योजनाबद्ध रूप से इस तरह दिखेगी:

अलग-अलग, सभी प्रकार के संख्यात्मक सेटों से, संख्यात्मक अंतराल (अंतराल, अर्ध-अंतराल, किरणें, आदि) प्रतिष्ठित हैं, जो उनकी ज्यामितीय छवियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, हमने अनुभाग में उनकी विस्तार से जांच की है; हम यहां खुद को नहीं दोहराएंगे.

और यह केवल संख्यात्मक सेटों की छवि पर ध्यान केंद्रित करने के लिए ही रहता है, जो कई संख्यात्मक अंतरालों और व्यक्तिगत संख्याओं से युक्त सेटों का एक संघ है। यहां कुछ भी मुश्किल नहीं है: इन मामलों में संघ के अर्थ के अनुसार, समन्वय रेखा पर किसी दिए गए संख्यात्मक सेट के सभी घटकों को चित्रित करना आवश्यक है। उदाहरण के तौर पर, आइए एक संख्या सेट की एक छवि दिखाएं (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (लॉग 2 5, 5)∪(17, +∞) :

और आइए हम काफी सामान्य मामलों पर ध्यान दें जब दर्शाया गया संख्यात्मक सेट एक या कई बिंदुओं को छोड़कर, वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है। ऐसे सेट अक्सर x≠5 या x≠−1, x≠2, x≠3.7, आदि जैसी शर्तों द्वारा निर्दिष्ट होते हैं। इन मामलों में, ज्यामितीय रूप से वे संबंधित बिंदुओं को छोड़कर, संपूर्ण समन्वय रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरे शब्दों में, इन बिंदुओं को समन्वय रेखा से "बाहर निकालने" की आवश्यकता है। उन्हें एक खाली केंद्र वाले वृत्तों के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टता के लिए, आइए हम शर्तों के अनुरूप एक संख्यात्मक सेट चित्रित करें (यह सेट अनिवार्य रूप से मौजूद है):

संक्षेप। आदर्श रूप से, पिछले पैराग्राफ की जानकारी को व्यक्तिगत संख्यात्मक अंतराल के दृश्य के रूप में संख्यात्मक सेटों की रिकॉर्डिंग और चित्रण का एक ही दृश्य बनाना चाहिए: एक संख्यात्मक सेट की रिकॉर्डिंग को तुरंत समन्वय रेखा पर और छवि से अपनी छवि देनी चाहिए समन्वय रेखा में हमें अलग-अलग अंतरालों और अलग-अलग संख्याओं से युक्त सेटों के संयोजन के माध्यम से संबंधित संख्यात्मक सेट का आसानी से वर्णन करने के लिए तैयार होना चाहिए।

ग्रंथ सूची.

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संख्या एक अमूर्तता है जिसका उपयोग वस्तुओं को मापने के लिए किया जाता है। संख्याएँ वापस आ गईं आदिम समाजलोगों की वस्तुओं को गिनने की आवश्यकता के कारण। समय के साथ, जैसे-जैसे विज्ञान विकसित हुआ, संख्या सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा में बदल गई।

समस्याओं को हल करने और विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि संख्याएँ किस प्रकार की होती हैं। संख्याओं के मूल प्रकारों में शामिल हैं: प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ।

पूर्णांकों- ये वस्तुओं की प्राकृतिक गिनती से, या यूं कहें कि उन्हें क्रमांकित करके ("पहला", "दूसरा", "तीसरा"...) प्राप्त संख्याएँ हैं। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है एन (आप इसके आधार पर याद कर सकते हैं अंग्रेज़ी शब्दप्राकृतिक)। ऐसा कहा जा सकता है की एन ={1,2,3,....}

पूर्ण संख्याएं- ये सेट (0, 1, -1, 2, -2, ....) से संख्याएँ हैं। इस सेट में तीन भाग होते हैं - प्राकृतिक संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) और संख्या 0 (शून्य)। पूर्णांकों को लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है जेड . ऐसा कहा जा सकता है की जेड ={1,2,3,....}.

भिन्नात्मक संख्याएंसंख्याएँ भिन्न के रूप में दर्शायी जाती हैं, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है। तर्कसंगत संख्याओं को दर्शाने के लिए लैटिन अक्षर का उपयोग किया जाता है क्यू . सभी प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्णांक परिमेय हैं।

वास्तविक संख्यावे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग निरंतर मात्राएँ मापने के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर R द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। तर्कहीन संख्या- ये वे संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याओं के साथ विभिन्न संक्रियाएँ करने (उदाहरण के लिए, मूल निकालना, लघुगणक की गणना करना) के परिणामस्वरूप प्राप्त होती हैं, लेकिन परिमेय नहीं हैं।

1. संख्या प्रणाली.

संख्या प्रणाली संख्याओं के नामकरण और लेखन का एक तरीका है। संख्याओं को निरूपित करने की विधि के आधार पर, उन्हें स्थितिगत - दशमलव और गैर-स्थितीय - रोमन में विभाजित किया जाता है।

पीसी 2-अंकीय, 8-अंकीय और 16-अंकीय संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं।

अंतर: 16वीं संख्या प्रणाली में किसी संख्या की रिकॉर्डिंग दूसरी रिकॉर्डिंग की तुलना में बहुत कम होती है, यानी। कम बिट गहराई की आवश्यकता होती है.

एक स्थितीय संख्या प्रणाली में, प्रत्येक अंक संख्या में अपनी स्थिति की परवाह किए बिना अपना स्थिर मान बनाए रखता है। स्थितीय संख्या प्रणाली में, प्रत्येक अंक न केवल अपना अर्थ निर्धारित करता है, बल्कि संख्या में उसके स्थान पर भी निर्भर करता है। प्रत्येक संख्या प्रणाली की विशेषता एक आधार होती है। आधार विभिन्न अंकों की संख्या है जिसका उपयोग किसी दी गई संख्या प्रणाली में संख्याएँ लिखने के लिए किया जाता है। आधार दर्शाता है कि आसन्न स्थिति में जाने पर एक ही अंक का मान कितनी बार बदलता है। कंप्यूटर 2-नंबर प्रणाली का उपयोग करता है। सिस्टम का आधार कोई भी संख्या हो सकता है। किसी भी स्थिति में संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएं 10 संख्या प्रणाली के समान नियमों के अनुसार की जाती हैं। नंबर 2 बाइनरी अंकगणित का उपयोग करता है, जिसे अंकगणितीय गणना करने के लिए कंप्यूटर में लागू किया जाता है।

द्विआधारी संख्याओं का योग:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

घटाव:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

गुणन:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

कंप्यूटर व्यापक रूप से 8 संख्या प्रणाली और 16 संख्या प्रणाली का उपयोग करता है। इनका उपयोग बाइनरी संख्याओं को छोटा करने के लिए किया जाता है।

2. सेट की अवधारणा.

"सेट" की अवधारणा गणित में एक मौलिक अवधारणा है और इसकी कोई परिभाषा नहीं है। किसी भी सेट की पीढ़ी की प्रकृति विविध है, विशेष रूप से, आसपास की वस्तुएं, प्रकृति को जियोऔर आदि।

परिभाषा 1: वे वस्तुएँ जिनसे समुच्चय बनता है, कहलाती हैं इस सेट के तत्व. किसी सेट को दर्शाने के लिए, लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों का उपयोग किया जाता है: उदाहरण के लिए, एक्स, वाई, जेड, और इसके तत्वों को घुंघराले कोष्ठक में लिखा जाता है, अल्पविराम से अलग किया जाता है। छोटे अक्षर, उदाहरण के लिए: (x,y,z).

किसी सेट और उसके तत्वों के लिए संकेतन का एक उदाहरण:

एक्स = (एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एन) - एन तत्वों से युक्त एक सेट। यदि तत्व x सेट X से संबंधित है, तो इसे लिखा जाना चाहिए: xÎX, अन्यथा तत्व x सेट X से संबंधित नहीं है, जो लिखा गया है: xÏX। एक अमूर्त सेट के तत्व, उदाहरण के लिए, संख्याएं, फ़ंक्शन, अक्षर, आकार आदि हो सकते हैं। गणित में, किसी भी अनुभाग में, सेट की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, हम वास्तविक संख्याओं के कुछ विशिष्ट सेट दे सकते हैं। असमानताओं को संतुष्ट करने वाली वास्तविक संख्याओं x का समुच्चय:

· a ≤ x ≤ b कहा जाता है खंडऔर द्वारा निरूपित किया जाता है;

ए ≤ एक्स< b или а < x ≤ b называется आधा खंडऔर द्वारा निरूपित किया जाता है: ;

· ए< x < b называется मध्यान्तरऔर (ए,बी) द्वारा दर्शाया गया है।

परिभाषा 2: वह समुच्चय जिसमें तत्वों की संख्या सीमित होती है, परिमित कहलाता है। उदाहरण। एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ).

परिभाषा 3: सेट कहा जाता है अनंत, यदि इसमें अनंत संख्या में तत्व शामिल हैं। उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अनंत है। उदाहरण प्रविष्टि. एक्स = (एक्स 1, एक्स 2, ...).

परिभाषा 4: वह समुच्चय जिसमें एक भी अवयव नहीं है, रिक्त समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक Æ द्वारा दर्शाया जाता है।

समुच्चय की एक विशेषता शक्ति की अवधारणा है। शक्ति उसके तत्वों की संख्या है। सेट Y=(y 1 , y 2 ,...) में सेट के समान कार्डिनैलिटी है X=(x 1 , x 2 ,...) यदि एक-से-एक पत्राचार है y= f(x ) इन सेटों के तत्वों के बीच। ऐसे सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है या समान कार्डिनैलिटी होती है। एक खाली सेट में शून्य कार्डिनैलिटी होती है।

3. सेट निर्दिष्ट करने की विधियाँ।

ऐसा माना जाता है कि एक समुच्चय को उसके तत्वों द्वारा परिभाषित किया जाता है, अर्थात। सेट दिया गया है,यदि हम किसी वस्तु के बारे में कह सकें: वह इस सेट से संबंधित है या नहीं। आप निम्नलिखित तरीकों से एक सेट निर्दिष्ट कर सकते हैं:

1) यदि कोई समुच्चय परिमित है, तो उसे उसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके परिभाषित किया जा सकता है। तो, यदि सेट एतत्वों से मिलकर बनता है 2, 5, 7, 12 , फिर वे लिखते हैं ए = (2, 5, 7, 12).सेट के तत्वों की संख्या एके बराबर होती है 4 , वे लिखते हैं एन(ए) = 4.

लेकिन यदि समुच्चय अनंत है तो उसके तत्वों की गणना नहीं की जा सकती। गणना द्वारा एक समुच्चय और बड़ी संख्या में तत्वों वाले एक परिमित समुच्चय को परिभाषित करना कठिन है। ऐसे मामलों में, सेट को निर्दिष्ट करने की एक अन्य विधि का उपयोग किया जाता है।

2) किसी समुच्चय को उसके तत्वों के विशिष्ट गुण को इंगित करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। विशेषता संपत्ति- यह एक ऐसी संपत्ति है जो सेट से संबंधित प्रत्येक तत्व के पास है, और एक भी तत्व ऐसा नहीं है जो इससे संबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, दो अंकों की संख्याओं के एक सेट X पर विचार करें: इस सेट के प्रत्येक तत्व का गुण "होना" है दोहरे अंक वाली संख्या" यह विशिष्ट गुण यह तय करना संभव बनाता है कि कोई वस्तु समुच्चय X से संबंधित है या नहीं। उदाहरण के लिए, संख्या 45 इस सेट में निहित है, क्योंकि यह दो अंकों का है, और संख्या 4 समुच्चय X से संबंधित नहीं है, क्योंकि यह असंदिग्ध है और दो-मूल्य वाला नहीं है। ऐसा होता है कि एक ही समुच्चय को उसके तत्वों के विभिन्न विशिष्ट गुणों को इंगित करके परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वर्गों के एक सेट को समान भुजाओं वाले आयतों के एक सेट और समकोण वाले समचतुर्भुज के एक सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

ऐसे मामलों में जहां किसी सेट के तत्वों की विशेषता संपत्ति का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है प्रतीकात्मक रूप, तदनुरूपी प्रविष्टि संभव है। यदि सेट मेंसे कम सभी प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं 10, फिर वे लिखते हैं बी = (एक्स एन| एक्स<10}.

दूसरी विधि अधिक सामान्य है और आपको परिमित और अनंत दोनों सेट निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है।

4. संख्यात्मक समुच्चय.

संख्यात्मक - एक समुच्चय जिसके अवयव संख्याएँ हैं। वास्तविक संख्या R के अक्ष पर संख्यात्मक सेट निर्दिष्ट किए जाते हैं। इस अक्ष पर, पैमाना चुना जाता है और मूल और दिशा का संकेत दिया जाता है। सबसे आम संख्या सेट:

· - प्राकृतिक संख्याओं का सेट;

· - पूर्णांकों का समुच्चय;

· - परिमेय या भिन्नात्मक संख्याओं का सेट;

· - वास्तविक संख्याओं का समुच्चय.

5. सेट की शक्ति. परिमित और अनंत समुच्चयों के उदाहरण दीजिए।

समुच्चयों को समान रूप से शक्तिशाली या समतुल्य कहा जाता है यदि उनके बीच एक-से-एक या एक-से-एक पत्राचार होता है, अर्थात जोड़ीदार पत्राचार होता है। जब एक सेट का प्रत्येक तत्व दूसरे सेट के एक ही तत्व से जुड़ा होता है और इसके विपरीत, जबकि एक सेट के विभिन्न तत्व दूसरे सेट के अलग-अलग तत्वों से जुड़े होते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए तीस छात्रों का एक समूह लें और परीक्षा टिकट जारी करें, तीस टिकटों वाले ढेर में से प्रत्येक छात्र को एक टिकट, इस तरह 30 छात्रों और 30 टिकटों का जोड़ीवार पत्राचार एक-से-एक होगा।

एक ही तीसरे सेट के साथ समान कार्डिनैलिटी के दो सेट समान कार्डिनैलिटी के होते हैं। यदि सेट एम और एन समान कार्डिनैलिटी के हैं, तो इनमें से प्रत्येक सेट एम और एन के सभी उपसमुच्चय भी समान कार्डिनैलिटी के हैं।

किसी दिए गए समुच्चय का उपसमुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसका प्रत्येक अवयव दिए गए समुच्चय का एक अवयव होता है। तो कारों का सेट और ट्रकों का सेट कारों के सेट का उपसमुच्चय होगा।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की शक्ति को सातत्य की शक्ति कहा जाता है और इसे "एलेफ़" अक्षर से दर्शाया जाता है। א . सबसे छोटा अनंत डोमेन प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी है। सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता को आमतौर पर (एलेफ़-शून्य) द्वारा दर्शाया जाता है।

घातों को अक्सर कार्डिनल संख्याएँ कहा जाता है। यह अवधारणा जर्मन गणितज्ञ जी कैंटर द्वारा प्रस्तुत की गई थी। यदि सेट को प्रतीकात्मक अक्षरों एम, एन द्वारा दर्शाया जाता है, तो कार्डिनल संख्याओं को एम, एन द्वारा दर्शाया जाता है। जी. कैंटर ने सिद्ध किया कि किसी दिए गए समुच्चय M के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय की प्रमुखता समुच्चय M से अधिक है।

सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बराबर समुच्चय को गणनीय समुच्चय कहा जाता है।

6. निर्दिष्ट समुच्चय के उपसमुच्चय।

यदि हम अपने समुच्चय से कई तत्वों का चयन करें और उन्हें अलग-अलग समूहित करें, तो यह हमारे समुच्चय का एक उपसमुच्चय होगा। ऐसे कई संयोजन हैं जिनसे एक उपसमुच्चय प्राप्त किया जा सकता है; संयोजनों की संख्या केवल मूल सेट में तत्वों की संख्या पर निर्भर करती है।

मान लीजिए हमारे पास दो समुच्चय A और B हैं। यदि समुच्चय B का प्रत्येक अवयव समुच्चय A का एक अवयव है, तो समुच्चय B को A का उपसमुच्चय कहा जाता है। इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: B ⊂ A. उदाहरण।

समुच्चय A=1;2;3 के कितने उपसमुच्चय हैं?

समाधान। हमारे सेट के तत्वों से युक्त उपसमुच्चय। फिर हमारे पास उपसमुच्चय में तत्वों की संख्या के लिए 4 विकल्प हैं:

एक उपसमूह में 1 तत्व, 2, 3 तत्व शामिल हो सकते हैं और यह खाली हो सकता है। आइये अपने तत्वों को क्रमानुसार लिखें।

1 तत्व का उपसमुच्चय: 1,2,3

2 तत्वों का उपसमुच्चय: 1,2,1,3,2,3.

3 तत्वों का उपसमुच्चय: 1;2;3

आइए यह न भूलें कि खाली सेट भी हमारे सेट का एक उपसमुच्चय है। तब हम पाते हैं कि हमारे पास 3+3+1+1=8 उपसमुच्चय हैं।

7. सेट पर संचालन.

कुछ कार्यों को सेट पर निष्पादित किया जा सकता है, कुछ मामलों में बीजगणित में वास्तविक संख्याओं पर संचालन के समान। इसलिए, हम सेट बीजगणित के बारे में बात कर सकते हैं।

संगठन(कनेक्शन) सेट का एऔर मेंएक समुच्चय है (प्रतीकात्मक रूप से इसे द्वारा दर्शाया जाता है), जिसमें वे सभी तत्व शामिल हैं जो कम से कम एक समुच्चय से संबंधित हैं एया में. से रूप में एक्ससमुच्चयों का संघ इस प्रकार लिखा गया है

प्रविष्टि में लिखा है: “एकीकरण एऔर में" या " ए, के साथ संयुक्त में».

सेट ऑपरेशंस को यूलर सर्कल का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है (कभी-कभी "वेन-यूलर आरेख" शब्द का उपयोग किया जाता है)। यदि सेट के सभी तत्व एवृत्त के भीतर संकेंद्रित हो जाएगा ए, और सेट के तत्व में- एक घेरे के भीतर मेंयूलर सर्कल का उपयोग करके एकीकरण ऑपरेशन को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है

उदाहरण 1. बहुतों का मिलन ए= (0, 2, 4, 6, 8) सम अंक और समुच्चय में= (1, 3, 5, 7, 9) विषम अंक दशमलव संख्या प्रणाली के सभी अंकों का समुच्चय = = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) है।

8. सेट का ग्राफिक प्रतिनिधित्व। यूलर-वेन आरेख।

यूलर-वेन आरेख सेटों का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व हैं। आरेख के निर्माण में सार्वभौमिक सेट का प्रतिनिधित्व करने वाला एक बड़ा आयत बनाना शामिल है यू, और इसके अंदर - सेट का प्रतिनिधित्व करने वाले वृत्त (या कुछ अन्य बंद आंकड़े)। आकृतियों को समस्या के लिए आवश्यक सबसे सामान्य तरीके से प्रतिच्छेद करना चाहिए और तदनुसार लेबल किया जाना चाहिए। आरेख के विभिन्न क्षेत्रों के अंदर स्थित बिंदुओं को संबंधित सेट के तत्वों के रूप में माना जा सकता है। आरेख के निर्माण के साथ, आप नवगठित सेटों को इंगित करने के लिए कुछ क्षेत्रों को छायांकित कर सकते हैं।

मौजूदा सेट से नए सेट प्राप्त करने के लिए सेट ऑपरेशन पर विचार किया जाता है।

परिभाषा। संगठनसेट ए और बी एक सेट है जिसमें वे सभी तत्व शामिल हैं जो सेट ए, बी में से कम से कम एक से संबंधित हैं (चित्र 1):

परिभाषा। पार करकेसेट ए और बी एक सेट है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व शामिल हैं जो सेट ए और सेट बी दोनों से एक साथ संबंधित हैं (चित्र 2):

परिभाषा। अंतर सेसमुच्चय A और B, A के उन सभी और केवल उन तत्वों का समुच्चय है जो B में समाहित नहीं हैं (चित्र 3):

परिभाषा। सममितीय अंतरसेटए और बी इन सेटों के तत्वों का सेट है जो या तो केवल सेट ए से संबंधित हैं या केवल सेट बी से संबंधित हैं (चित्र 4):

सेट का कार्टेशियन (या प्रत्यक्ष) उत्पादएऔर बीफॉर्म के जोड़े का ऐसा परिणामी सेट ( एक्स,य) इस तरह से निर्मित किया गया है कि सेट से पहला तत्व ए, और जोड़ी का दूसरा तत्व सेट से है बी. सामान्य पदनाम:

ए× बी={(एक्स,य)|एक्स∈ए,य∈बी}

तीन या अधिक सेटों के उत्पाद निम्नानुसार बनाए जा सकते हैं:

ए× बी× सी={(एक्स,य,जेड)|एक्स∈ए,य∈बी,जेड∈सी}

प्रपत्र के उत्पाद ए× ए,ए× ए× ए,ए× ए× ए× एवगैरह। इसे डिग्री के रूप में लिखने की प्रथा है: ए 2 ,ए 3 ,ए 4 (डिग्री का आधार गुणक सेट है, घातांक उत्पादों की संख्या है)। वे ऐसी प्रविष्टि को "कार्टेशियन वर्ग" (घन, आदि) के रूप में पढ़ते हैं। मुख्य सेटों के लिए अन्य रीडिंग भी हैं। उदाहरण के लिए, आर एनइसे "er nnoe" के रूप में पढ़ने की प्रथा है।

गुण

आइए कार्टेशियन उत्पाद के कई गुणों पर विचार करें:

1. यदि ए,बीतो, ये परिमित समुच्चय हैं ए× बी- अंतिम। और इसके विपरीत, यदि कारक सेटों में से एक अनंत है, तो उनके उत्पाद का परिणाम एक अनंत सेट है।

2. कार्टेशियन उत्पाद में तत्वों की संख्या कारक सेट के तत्वों की संख्या के उत्पाद के बराबर होती है (यदि वे निश्चित रूप से परिमित हैं): | ए× बी|=|ए|⋅|बी| .

3. एक एन.पी ≠(एक) पी- पहले मामले में, कार्टेशियन उत्पाद के परिणाम को 1× आयामों के मैट्रिक्स के रूप में मानने की सलाह दी जाती है एन.पी., दूसरे में - आकार के मैट्रिक्स के रूप में एन× पी .

4. क्रमविनिमेय नियम संतुष्ट नहीं है, क्योंकि कार्टेशियन उत्पाद के परिणाम के तत्वों के जोड़े का आदेश दिया गया है: ए× बी≠बी× ए .

5. सहयोगी कानून पूरा नहीं हुआ है: ( ए× बी)× सी≠ए×( बी× सी) .

6. सेट पर बुनियादी संचालन के संबंध में वितरण है: ( ए∗बी)× सी=(ए× सी)∗(बी× सी),∗∈{∩,∪,∖}

10. उच्चारण की अवधारणा. प्राथमिक और यौगिक कथन.

कथनएक कथन या घोषणात्मक वाक्य है जिसे सत्य (I-1) या गलत (F-0) कहा जा सकता है, लेकिन दोनों नहीं।

उदाहरण के लिए, "आज बारिश हो रही है," "इवानोव ने भौतिकी में प्रयोगशाला का काम नंबर 2 पूरा किया।"

यदि हमारे पास कई प्रारंभिक कथन हैं, तो उनका उपयोग करके तार्किक संघ या कण हम नए कथन बना सकते हैं, जिनका सत्य मूल्य केवल मूल कथनों के सत्य मूल्यों और नए कथन के निर्माण में भाग लेने वाले विशिष्ट संयोजनों और कणों पर निर्भर करता है। शब्द और अभिव्यक्तियाँ "और", "या", "नहीं", "यदि..., तो", "इसलिए", "तब और केवल तब" ऐसे संयोजनों के उदाहरण हैं। मूल कथन कहलाते हैं सरल , और कुछ तार्किक संयोजनों की सहायता से उनसे निर्मित नए कथन - कम्पोजिट . बेशक, "सरल" शब्द का मूल कथनों के सार या संरचना से कोई लेना-देना नहीं है, जो स्वयं काफी जटिल हो सकते हैं। इस संदर्भ में, "सरल" शब्द "मूल" शब्द का पर्याय है। जो बात मायने रखती है वह यह है कि साधारण कथनों के सत्य मूल्यों को ज्ञात या दिया हुआ मान लिया जाता है; किसी भी स्थिति में, उन पर किसी भी तरह से चर्चा नहीं की जाती है।

यद्यपि "आज गुरुवार नहीं है" जैसा कथन दो अलग-अलग सरल कथनों से बना नहीं है, निर्माण की एकरूपता के लिए इसे एक यौगिक के रूप में भी माना जाता है, क्योंकि इसका सत्य मूल्य दूसरे कथन "आज गुरुवार है" के सत्य मूल्य से निर्धारित होता है। ”

उदाहरण 2.निम्नलिखित कथनों को घटक माना जाता है:

मैंने मोस्कोवस्की कोम्सोमोलेट्स पढ़ा और मैंने कोमर्सेंट पढ़ा।

अगर उन्होंने ऐसा कहा है तो ये सच है.

सूर्य कोई तारा नहीं है.

यदि धूप है और तापमान 25 0 से अधिक है, तो मैं ट्रेन या कार से पहुँचूँगा

यौगिकों में शामिल सरल कथन स्वयं पूर्णतः मनमाना हो सकते हैं। विशेष रूप से, वे स्वयं समग्र हो सकते हैं। नीचे वर्णित मिश्रित कथनों के मूल प्रकार उन्हें बनाने वाले सरल कथनों से स्वतंत्र रूप से परिभाषित किए गए हैं।

11. कथनों पर संचालन।

1. निषेध संक्रिया.

कथन का खंडन करके ए (पढ़ता है "नहीं ए", "यह सच नहीं है ए"), जो सच है जब एझूठ और झूठ जब ए- सत्य।

ऐसे बयान जो एक दूसरे को नकारते हैं एऔर कहा जाता है विलोम।

2. संयोजक संक्रिया.

संयोजककथन एऔर मेंद्वारा निरूपित कथन कहलाता है ए बी(पढ़ता है " एऔर में"), जिसका सही मान निर्धारित किया जाता है यदि और केवल यदि दोनों कथन एऔर मेंसच हैं।

कथनों के संयोजन को तार्किक उत्पाद कहा जाता है और इसे अक्सर दर्शाया जाता है एबी.

एक बयान दिया जाए ए- “मार्च में हवा का तापमान है 0 सीसे + तक 7 सी"और कह रहे हैं में- "विटेबस्क में बारिश हो रही है।" तब ए बीइस प्रकार होगा: “मार्च में हवा का तापमान है 0 सीसे + तक 7 सीऔर विटेब्स्क में बारिश हो रही है।" यदि कथन हों तो यह संयोजन सत्य होगा एऔर मेंसत्य। पता चला तो तापमान कम था 0 सीया तब विटेबस्क में बारिश नहीं हुई थी ए बीझूठा होगा.

3 . विच्छेदन संक्रिया.

अलगावकथन एऔर मेंएक बयान कहा जाता है ए बी (एया में), जो सत्य है यदि और केवल यदि कम से कम एक कथन सत्य है और गलत है - जब दोनों कथन गलत हैं।

कथनों के विच्छेद को तार्किक योग भी कहा जाता है ए+बी.

कथन " 4<5 या 4=5 " क्या सच है। बयान के बाद से " 4<5 "सत्य है, और कथन" 4=5 »- तो फिर झूठ ए बीसत्य कथन का प्रतिनिधित्व करता है" 4 5 ».

4 . निहितार्थ का संचालन.

मतलबकथन एऔर मेंएक बयान कहा जाता है ए बी("अगर ए, वह में", "से एचाहिए में"), जिसका मान गलत है यदि और केवल यदि एसच है, लेकिन मेंअसत्य।

निहितार्थ में ए बीकथन एबुलाया आधार,या आधार, और कथन में – परिणाम,या निष्कर्ष।

12. कथनों की सत्यता की तालिकाएँ।

सत्य तालिका एक तालिका है जो तार्किक फ़ंक्शन में शामिल तार्किक चर के सभी संभावित सेट और फ़ंक्शन के मूल्यों के बीच एक पत्राचार स्थापित करती है।

सत्य तालिकाओं का उपयोग इसके लिए किया जाता है:

जटिल कथनों की सत्यता की गणना करना;

कथनों की तुल्यता स्थापित करना;

टॉटोलॉजी की परिभाषाएँ.

संख्याओं को समझना, विशेषकर प्राकृतिक संख्याओं को, सबसे पुराने गणित "कौशलों" में से एक है। कई सभ्यताओं, यहाँ तक कि आधुनिक सभ्यताओं ने, प्रकृति का वर्णन करने में उनके अत्यधिक महत्व के कारण संख्याओं में कुछ रहस्यमय गुणों को जिम्मेदार ठहराया है। हालाँकि आधुनिक विज्ञान और गणित इन "जादुई" गुणों की पुष्टि नहीं करते हैं, लेकिन संख्या सिद्धांत का महत्व निर्विवाद है।

ऐतिहासिक रूप से, पहले विभिन्न प्रकार की प्राकृतिक संख्याएँ सामने आईं, फिर उनमें काफी तेजी से भिन्न और सकारात्मक अपरिमेय संख्याएँ जोड़ी गईं। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के इन उपसमुच्चयों के बाद शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ प्रस्तुत की गईं। अंतिम सेट, सम्मिश्र संख्याओं का सेट, आधुनिक विज्ञान के विकास के साथ ही सामने आया।

आधुनिक गणित में, संख्याओं को ऐतिहासिक क्रम में प्रस्तुत नहीं किया जाता है, हालाँकि यह इसके काफी करीब है।

प्राकृतिक संख्याएँ $\mathbb(N)$

प्राकृतिक संख्याओं के सेट को अक्सर $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ के रूप में दर्शाया जाता है, और $\mathbb(N)_0$ को दर्शाने के लिए अक्सर इसे शून्य से जोड़ा जाता है।

$\mathbb(N)$ किसी भी $a,b,c\in \mathbb(N)$ के लिए निम्नलिखित गुणों के साथ जोड़ (+) और गुणा ($\cdot$) के संचालन को परिभाषित करता है:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ सेट $\mathbb(N)$ जोड़ और गुणा के संचालन के तहत बंद है
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ कम्यूटेटिविटी
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ साहचर्य
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ वितरण
5. $a\cdot 1=a$ गुणन के लिए एक तटस्थ तत्व है

चूँकि सेट $\mathbb(N)$ में गुणन के लिए एक तटस्थ तत्व शामिल है लेकिन जोड़ के लिए नहीं, इस सेट में एक शून्य जोड़ने से यह सुनिश्चित होता है कि इसमें जोड़ के लिए एक तटस्थ तत्व शामिल है।

इन दो परिचालनों के अलावा, "से कम" संबंध ($

1. $a b$ ट्राइकोटॉमी
2. यदि $a\leq b$ और $b\leq a$, तो $a=b$ एंटीसिममेट्री
3. यदि $a\leq b$ और $b\leq c$, तो $a\leq c$ सकर्मक है
4. यदि $a\leq b$ तो $a+c\leq b+c$
5. यदि $a\leq b$ तो $a\cdot c\leq b\cdot c$

पूर्णांक $\mathbb(Z)$

पूर्णांकों के उदाहरण:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

समीकरण $a+x=b$ को हल करने के लिए, जहां $a$ और $b$ ज्ञात प्राकृतिक संख्याएं हैं, और $x$ एक अज्ञात प्राकृतिक संख्या है, एक नए ऑपरेशन - घटाव (-) की शुरूआत की आवश्यकता है। यदि कोई प्राकृतिक संख्या $x$ है जो इस समीकरण को संतुष्ट करती है, तो $x=b-a$। हालाँकि, इस विशेष समीकरण का आवश्यक रूप से सेट $\mathbb(N)$ पर कोई समाधान नहीं है, इसलिए व्यावहारिक विचारों के लिए ऐसे समीकरण के समाधान को शामिल करने के लिए प्राकृतिक संख्याओं के सेट का विस्तार करने की आवश्यकता होती है। इससे पूर्णांकों के एक सेट का परिचय मिलता है: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ के बाद से, यह मान लेना तर्कसंगत है कि पहले शुरू किए गए ऑपरेशन $+$ और $\cdot$ और संबंध $ 1. $0+a=a+0=a$ जोड़ के लिए एक तटस्थ तत्व है
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ के लिए एक विपरीत संख्या $-a$ है

संपत्ति 5.:
5. यदि $0\leq a$ और $0\leq b$, तो $0\leq a\cdot b$

सेट $\mathbb(Z)$ को घटाव ऑपरेशन के तहत भी बंद किया जाता है, यानी, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$।

परिमेय संख्याएँ $\mathbb(Q)$

परिमेय संख्याओं के उदाहरण:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

अब $a\cdot x=b$ के रूप के समीकरणों पर विचार करें, जहां $a$ और $b$ ज्ञात पूर्णांक हैं, और $x$ अज्ञात है। समाधान संभव होने के लिए, डिवीज़न ऑपरेशन ($:$) को प्रस्तुत करना आवश्यक है, और समाधान $x=b:a$ का रूप लेता है, अर्थात, $x=\frac(b)(a)$ . फिर से समस्या उत्पन्न होती है कि $x$ हमेशा $\mathbb(Z)$ से संबंधित नहीं होता है, इसलिए पूर्णांकों के सेट को विस्तारित करने की आवश्यकता है। यह तत्वों $\frac(p)(q)$ के साथ तर्कसंगत संख्याओं $\mathbb(Q)$ के सेट का परिचय देता है, जहां $p\in \mathbb(Z)$ और $q\in \mathbb(N)$। सेट $\mathbb(Z)$ एक उपसमुच्चय है जिसमें प्रत्येक तत्व $q=1$ है, इसलिए $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ और जोड़ और गुणा के संचालन इस सेट तक विस्तारित होते हैं निम्नलिखित नियम, जो सेट $\mathbb(Q)$ पर उपरोक्त सभी गुणों को संरक्षित करते हैं:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

विभाजन इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

सेट $\mathbb(Q)$ पर, समीकरण $a\cdot x=b$ में प्रत्येक $a\neq 0$ के लिए एक अद्वितीय समाधान है (शून्य से विभाजन अपरिभाषित है)। इसका मतलब है कि एक उलटा तत्व $\frac(1)(a)$ या $a^(-1)$ है:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (ए)\cdot a=a)$

सेट $\mathbb(Q)$ का क्रम निम्नानुसार विस्तारित किया जा सकता है:
$\frac(p_1)(q_1)

सेट $\mathbb(Q)$ में एक महत्वपूर्ण गुण है: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत रूप से कई अन्य परिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए, प्राकृतिक संख्याओं और पूर्णांकों के सेट के विपरीत, कोई भी दो आसन्न परिमेय संख्याएँ नहीं होती हैं।

अपरिमेय संख्याएँ $\mathbb(I)$

अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण:
$\sqrt(2) \लगभग 1.41422135...$
$\pi\लगभग 3.1415926535...$

चूँकि किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमित रूप से कई अन्य परिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए ग़लती से यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय इतना सघन है कि इसे और विस्तारित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पाइथागोरस ने भी अपने समय में ऐसी गलती की थी। हालाँकि, उनके समकालीनों ने तर्कसंगत संख्याओं के सेट पर समीकरण $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) के समाधान का अध्ययन करते समय पहले ही इस निष्कर्ष का खंडन कर दिया था। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, वर्गमूल की अवधारणा को प्रस्तुत करना आवश्यक है, और फिर इस समीकरण के समाधान का रूप $x=\sqrt(2)$ होता है। $x^2=a$ जैसा समीकरण, जहां $a$ एक ज्ञात परिमेय संख्या है और $x$ एक अज्ञात है, हमेशा परिमेय संख्याओं के सेट पर कोई समाधान नहीं होता है, और फिर से इसका विस्तार करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है तय करना। अपरिमेय संख्याओं का एक सेट उत्पन्न होता है, और $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... जैसी संख्याएँ इस सेट से संबंधित होती हैं।

वास्तविक संख्याएँ $\mathbb(R)$

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का मिलन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ के बाद से, यह मान लेना फिर से तर्कसंगत है कि शुरू किए गए अंकगणितीय संचालन और संबंध नए सेट पर अपने गुणों को बनाए रखते हैं। इसका औपचारिक प्रमाण बहुत कठिन है, इसलिए वास्तविक संख्याओं के सेट पर अंकगणितीय संक्रियाओं और संबंधों के उपर्युक्त गुणों को स्वयंसिद्धों के रूप में पेश किया जाता है। बीजगणित में, ऐसी वस्तु को फ़ील्ड कहा जाता है, इसलिए वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को एक क्रमित फ़ील्ड कहा जाता है।

वास्तविक संख्याओं के सेट की परिभाषा पूरी होने के लिए, एक अतिरिक्त सिद्धांत प्रस्तुत करना आवश्यक है जो सेट $\mathbb(Q)$ और $\mathbb(R)$ को अलग करता है। मान लीजिए कि $S$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है। एक तत्व $b\in \mathbb(R)$ को सेट $S$ की ऊपरी सीमा कहा जाता है यदि $\forall x\in S$ $x\leq b$ रखता है। तब हम कहते हैं कि समुच्चय $S$ ऊपर परिबद्ध है। सेट $S$ की सबसे छोटी ऊपरी सीमा को सुप्रीम कहा जाता है और इसे $\sup S$ से दर्शाया जाता है। निचली सीमा, नीचे सीमाबद्ध सेट और अनंत $\inf S$ की अवधारणाओं को इसी तरह पेश किया गया है। अब लुप्त अभिगृहीत इस प्रकार तैयार किया गया है:

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के किसी भी गैर-रिक्त और ऊपरी सीमा वाले उपसमुच्चय में सर्वोच्चता होती है।
यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि उपरोक्त तरीके से परिभाषित वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र अद्वितीय है।

सम्मिश्र संख्याएँ$\mathbb(C)$

सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ जहां $i = \sqrt(-1)$ या $i^2 = -1$

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के सभी क्रमित युग्मों का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात्, $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, जिस पर संक्रियाएँ जोड़ और गुणा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$(ए,बी)+(सी,डी)=(ए+बी,सी+डी)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

जटिल संख्याएँ लिखने के कई रूप हैं, जिनमें से सबसे आम $z=a+ib$ है, जहाँ $(a,b)$ वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी है, और संख्या $i=(0,1)$ काल्पनिक इकाई कहलाती है.

यह दिखाना आसान है कि $i^2=-1$। सेट $\mathbb(R)$ को सेट $\mathbb(C)$ तक विस्तारित करने से हमें नकारात्मक संख्याओं का वर्गमूल निर्धारित करने की अनुमति मिलती है, जो जटिल संख्याओं के सेट को पेश करने का कारण था। यह दिखाना भी आसान है कि $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ द्वारा दिए गए सेट $\mathbb(C)$ का एक उपसमुच्चय, वास्तविक संख्याओं के लिए सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करता है, इसलिए $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, या $R\subset\mathbb(C)$।

जोड़ और गुणा के संचालन के संबंध में सेट $\mathbb(C)$ की बीजगणितीय संरचना में निम्नलिखित गुण हैं:
1. जोड़ और गुणा की क्रमपरिवर्तनशीलता
2. जोड़ और गुणा की साहचर्यता
3. $0+i0$ - जोड़ के लिए तटस्थ तत्व
4. $1+i0$ - गुणन के लिए तटस्थ तत्व
5. जोड़ के संबंध में गुणन वितरणात्मक है
6. जोड़ और गुणा दोनों के लिए एक ही व्युत्क्रम है।

पूर्णांकों

गिनती में प्रयुक्त संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, $1,2,3$, आदि। प्राकृतिक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं का समूह बनाती हैं, जिसे $N$ द्वारा दर्शाया जाता है। यह पदनाम लैटिन शब्द से आया है प्राकृतिक-प्राकृतिक।

विपरीत संख्याएँ

परिभाषा 1

यदि दो संख्याएँ केवल चिन्हों में भिन्न हों तो उन्हें गणित में कहा जाता है विपरीत संख्याएँ.

उदाहरण के लिए, संख्याएँ $5$ और $-5$ विपरीत संख्याएँ हैं, क्योंकि वे केवल संकेतों में भिन्न हैं।

नोट 1

किसी भी संख्या के लिए एक विपरीत संख्या होती है, और केवल एक।

नोट 2

शून्य संख्या स्वयं के विपरीत है।

पूर्ण संख्याएं

परिभाषा 2

साबुतसंख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत और शून्य हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं और उनके विपरीत संख्याओं का समुच्चय शामिल होता है।

पूर्णांकों को निरूपित करें $Z.$

भिन्नात्मक संख्याएँ

$\frac(m)(n)$ के रूप की संख्याओं को भिन्न या आंशिक संख्या कहा जाता है। भिन्नात्मक संख्याओं को दशमलव रूप में भी लिखा जा सकता है, अर्थात्। दशमलव भिन्न के रूप में.

उदाहरण के लिए: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ आदि।

पूर्ण संख्याओं की तरह, भिन्नात्मक संख्याएँ भी धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं।

भिन्नात्मक संख्याएं

परिभाषा 3

भिन्नात्मक संख्याएंसंख्याओं का एक समूह है जिसमें पूर्णांकों और भिन्नों का एक समूह होता है।

किसी भी परिमेय संख्या, दोनों पूर्णांक और भिन्नात्मक, को भिन्न $\frac(a)(b)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां $a$ एक पूर्णांक है और $b$ एक प्राकृतिक संख्या है।

इस प्रकार, एक ही परिमेय संख्या को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए,

इससे पता चलता है कि किसी भी परिमेय संख्या को एक परिमित दशमलव अंश या अनंत दशमलव आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को $Q$ से दर्शाया जाता है।

परिमेय संख्याओं पर कोई अंकगणितीय संक्रिया करने के परिणामस्वरूप, परिणामी उत्तर एक परिमेय संख्या होगी। यह आसानी से सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य के कारण कि साधारण भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने पर, आपको एक साधारण भिन्न प्राप्त होता है

तर्कहीन संख्या

गणित पाठ्यक्रम का अध्ययन करते समय, आपको अक्सर उन संख्याओं से जूझना पड़ता है जो तर्कसंगत नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, तर्कसंगत संख्याओं के अलावा अन्य संख्याओं के समूह के अस्तित्व को सत्यापित करने के लिए, आइए समीकरण $x^2=6$ को हल करें। इस समीकरण की जड़ें $\surd 6$ और -$\surd 6$ होंगी . ये संख्याएँ तर्कसंगत नहीं होंगी.

साथ ही, $3$ भुजा वाले वर्ग का विकर्ण ज्ञात करते समय, हम पायथागॉरियन प्रमेय लागू करते हैं और पाते हैं कि विकर्ण $\surd 18$ के बराबर होगा। यह संख्या भी तर्कसंगत नहीं है.

ऐसे नंबरों को कहा जाता है तर्कहीन.

तो, एक अपरिमेय संख्या एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश है।

अक्सर सामने आने वाली अपरिमेय संख्याओं में से एक संख्या $\pi $ है

अपरिमेय संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ करते समय, परिणामी परिणाम या तो परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकता है।

आइए अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके इसे सिद्ध करें। पता लगाते हैं:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

निर्णय से

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

यह उदाहरण दर्शाता है कि परिणाम या तो एक परिमेय या एक अपरिमेय संख्या हो सकता है।

यदि परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ एक ही समय में अंकगणितीय संक्रियाओं में शामिल होती हैं, तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या होगी (बेशक, $0$ से गुणा को छोड़कर)।

वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय एक ऐसा समुच्चय है जिसमें परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय होता है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को $R$ से दर्शाया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को $(-?;+?).$ द्वारा दर्शाया जा सकता है

हमने पहले कहा था कि एक अपरिमेय संख्या एक अनंत दशमलव गैर-आवधिक अंश है, और किसी भी तर्कसंगत संख्या को एक परिमित दशमलव अंश या अनंत दशमलव आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए कोई भी परिमित और अनंत दशमलव अंश एक वास्तविक संख्या होगी।

बीजीय संक्रियाएँ निष्पादित करते समय निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाएगा:

1. धनात्मक संख्याओं को गुणा और भाग करने पर परिणामी संख्या धनात्मक होगी
2. ऋणात्मक संख्याओं को गुणा और भाग करने पर परिणामी संख्या धनात्मक होगी
3. ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं को गुणा और भाग करने पर परिणामी संख्या ऋणात्मक होगी

वास्तविक संख्याओं की एक दूसरे से तुलना भी की जा सकती है।