अपरिमेय संख्या क्या है उदाहरण सहित. अपरिमेय संख्या। अपरिमेय संख्याओं के गुण

अपरिमेय संख्याएँ क्या हैं? उन्हें ऐसा क्यों कहा जाता है? इनका उपयोग कहां किया जाता है और ये क्या हैं? बहुत कम लोग बिना सोचे-समझे इन सवालों का जवाब दे सकते हैं। लेकिन वास्तव में, उनके उत्तर काफी सरल हैं, हालाँकि हर किसी को उनकी ज़रूरत नहीं होती और बहुत ही दुर्लभ स्थितियों में

सार और पदनाम

अपरिमेय संख्याएँ अनंत गैर-आवधिक संख्याएँ हैं। इस अवधारणा को पेश करने की आवश्यकता इस तथ्य के कारण है कि उत्पन्न होने वाली नई समस्याओं को हल करने के लिए, वास्तविक या वास्तविक, पूर्णांक, प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्याओं की पहले से मौजूद अवधारणाएँ अब पर्याप्त नहीं थीं। उदाहरण के लिए, यह गणना करने के लिए कि कौन सी मात्रा 2 का वर्ग है, आपको गैर-आवधिक अनंत दशमलव का उपयोग करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, कई सरल समीकरणों का भी अपरिमेय संख्या की अवधारणा को प्रस्तुत किए बिना कोई समाधान नहीं होता है।

इस सेट को I के रूप में दर्शाया गया है। और, जैसा कि पहले से ही स्पष्ट है, इन मानों को एक साधारण अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जिसका अंश एक पूर्णांक होगा, और हर होगा

पहली बार, किसी न किसी तरह, भारतीय गणितज्ञों को 7वीं शताब्दी में इस घटना का सामना करना पड़ा जब यह पता चला कि कुछ मात्राओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया जा सकता है। और ऐसी संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण पाइथागोरस हिप्पासस को दिया जाता है, जिन्होंने एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का अध्ययन करते समय ऐसा किया था। हमारे युग से पहले रहने वाले कुछ अन्य वैज्ञानिकों ने इस सेट के अध्ययन में गंभीर योगदान दिया। अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा की शुरूआत में मौजूदा गणितीय प्रणाली का संशोधन शामिल है, यही कारण है कि वे इतने महत्वपूर्ण हैं।

नाम की उत्पत्ति

यदि लैटिन से अनुवादित अनुपात "अंश", "अनुपात" है, तो उपसर्ग "आईआर" है
इस शब्द को विपरीत अर्थ देता है। इस प्रकार, इन संख्याओं के समुच्चय का नाम इंगित करता है कि इन्हें किसी पूर्णांक या भिन्न के साथ सहसंबंधित नहीं किया जा सकता है और इनका एक अलग स्थान है। यह उनके सार से पता चलता है.

सामान्य वर्गीकरण में स्थान

अपरिमेय संख्याएँ, परिमेय संख्याओं के साथ, वास्तविक या वास्तविक संख्याओं के समूह से संबंधित होती हैं, जो बदले में जटिल संख्याओं से संबंधित होती हैं। कोई उपसमुच्चय नहीं हैं, लेकिन बीजगणितीय और पारलौकिक किस्में हैं, जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी।

गुण

चूँकि अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का हिस्सा होती हैं, उनके सभी गुण जिनका अंकगणित में अध्ययन किया जाता है (इन्हें बुनियादी बीजगणितीय नियम भी कहा जाता है) उन पर लागू होते हैं।

ए + बी = बी + ए (कम्यूटेटिविटी);

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (सहयोगिता);

ए + (-ए) = 0 (विपरीत संख्या का अस्तित्व);

एबी = बीए (विनिमेय कानून);

(एबी)सी = ए(बीसी) (वितरण);

ए(बी+सी) = एबी + एसी (वितरण कानून);

a x 1/a = 1 (पारस्परिक संख्या का अस्तित्व);

तुलना सामान्य कानूनों और सिद्धांतों के अनुसार भी की जाती है:

यदि a > b और b > c, तो a > c (संबंध की परिवर्तनशीलता) और। वगैरह।

बेशक, सभी अपरिमेय संख्याओं को बुनियादी अंकगणित का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है। इसके लिए कोई विशेष नियम नहीं हैं.

इसके अलावा, आर्किमिडीज़ स्वयंसिद्ध अपरिमेय संख्याओं पर भी लागू होता है। इसमें कहा गया है कि किन्हीं दो मात्राओं a और b के लिए, यह सत्य है कि यदि आप a को एक पद के रूप में पर्याप्त बार लेते हैं, तो आप b को हरा सकते हैं।

प्रयोग

इस तथ्य के बावजूद कि रोजमर्रा की जिंदगी में आपका सामना अक्सर नहीं होता है, अतार्किक संख्याओं की गिनती नहीं की जा सकती। इनकी संख्या बहुत बड़ी है, लेकिन ये लगभग अदृश्य हैं। अपरिमेय संख्याएँ हमारे चारों ओर हैं। ऐसे उदाहरण जिनसे हर कोई परिचित है, वे संख्या पाई हैं, जो 3.1415926..., या ई के बराबर है, जो अनिवार्य रूप से प्राकृतिक लघुगणक का आधार है, 2.718281828... बीजगणित, त्रिकोणमिति और ज्यामिति में, उन्हें लगातार उपयोग करना पड़ता है। वैसे, "सुनहरा अनुपात" का प्रसिद्ध अर्थ, यानी बड़े हिस्से का छोटे हिस्से से अनुपात, और इसके विपरीत भी,

इस सेट से संबंधित है. कम ज्ञात "रजत" वाला भी।

संख्या रेखा पर वे बहुत सघनता से स्थित होते हैं, इसलिए परिमेय के रूप में वर्गीकृत किन्हीं दो मात्राओं के बीच एक अपरिमेय राशि का आना निश्चित होता है।

इस सेट से अभी भी बहुत सारी अनसुलझी समस्याएं जुड़ी हुई हैं। अतार्किकता की माप और किसी संख्या की सामान्यता जैसे मानदंड हैं। गणितज्ञ यह निर्धारित करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं कि वे एक समूह से संबंधित हैं या किसी अन्य से। उदाहरण के लिए, यह माना जाता है कि ई एक सामान्य संख्या है, यानी, इसके अंकन में अलग-अलग अंक आने की संभावना समान है। जहाँ तक पाई की बात है तो इसे लेकर अभी भी शोध चल रहा है। अतार्किकता का माप एक ऐसा मान है जो दर्शाता है कि किसी दी गई संख्या का तर्कसंगत संख्याओं द्वारा कितनी अच्छी तरह अनुमान लगाया जा सकता है।

बीजगणितीय और पारलौकिक

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, अपरिमेय संख्याओं को पारंपरिक रूप से बीजगणितीय और अनुवांशिक में विभाजित किया गया है। सशर्त रूप से, चूंकि, कड़ाई से बोलते हुए, इस वर्गीकरण का उपयोग सेट सी को विभाजित करने के लिए किया जाता है।

यह पदनाम जटिल संख्याओं को छुपाता है, जिसमें वास्तविक या वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं।

तो, बीजीय एक ऐसा मान है जो एक बहुपद का मूल है जो शून्य के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, 2 का वर्गमूल इस श्रेणी में होगा क्योंकि यह समीकरण x 2 - 2 = 0 का समाधान है।

अन्य सभी वास्तविक संख्याएँ जो इस शर्त को पूरा नहीं करतीं, पारलौकिक कहलाती हैं। इस विविधता में सबसे प्रसिद्ध और पहले से ही उल्लेखित उदाहरण शामिल हैं - संख्या पाई और प्राकृतिक लघुगणक ई का आधार।

दिलचस्प बात यह है कि न तो किसी को और न ही दूसरे को मूल रूप से गणितज्ञों द्वारा इस क्षमता में विकसित किया गया था; उनकी अतार्किकता और उत्कृष्टता उनकी खोज के कई वर्षों बाद सिद्ध हुई थी। पाई के लिए, प्रमाण 1882 में दिया गया और 1894 में इसे सरल बनाया गया, जिससे वृत्त का वर्ग करने की समस्या के बारे में 2,500 साल की बहस समाप्त हो गई। इसका अभी भी पूरी तरह से अध्ययन नहीं किया गया है, इसलिए आधुनिक गणितज्ञों के पास इस पर काम करने के लिए कुछ है। वैसे, इस मान की पहली सटीक गणना आर्किमिडीज़ द्वारा की गई थी। उनसे पहले, सभी गणनाएँ बहुत अनुमानित थीं।

ई (यूलर या नेपियर संख्या) के लिए, इसके उत्कृष्टता का प्रमाण 1873 में मिला था। इसका उपयोग लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

अन्य उदाहरणों में किसी भी बीजगणितीय गैर-शून्य मान के लिए साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के मान शामिल हैं।

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है मैं (\displaystyle \mathbb (I) )बिना शेडिंग के बोल्ड अंदाज में। इस प्रकार: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )अर्थात्, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच का अंतर है।

अपरिमेय संख्याओं का अस्तित्व, अधिक सटीक रूप से, इकाई लंबाई के एक खंड के साथ असंगत खंड, प्राचीन गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात था: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, एक वर्ग के विकर्ण और पक्ष की असंगतता, जो कि अतार्किकता के बराबर है जो नंबर।

विश्वकोश यूट्यूब

• 1 / 5

  तर्कहीन हैं:

  अतार्किकता के प्रमाण के उदाहरण

  2 की जड़

  आइए इसके विपरीत मान लें: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))तर्कसंगत, अर्थात, भिन्न के रूप में दर्शाया गया है m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), कहाँ एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)एक पूर्णांक है, और एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)- प्राकृतिक संख्या ।

  आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\राइटएरो m^(2)=2n^(2)).

  कहानी

  प्राचीन काल

  अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से अपनाया गया था, जब मानव (लगभग 750 ईसा पूर्व - लगभग 690 ईसा पूर्व) ने पता लगाया कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं, जैसे 2 और 61 के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। [ ] .

  अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आम तौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (लगभग 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, जो एक पायथागॉरियन था। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई थी, जो काफी छोटी और अविभाज्य थी, जिसमें किसी भी खंड में कई बार पूर्णांक संख्या शामिल होती थी [ ] .

  इस बात का कोई सटीक डेटा नहीं है कि हिप्पासस ने किस संख्या को तर्कहीन साबित किया था। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने इसे पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके पाया। इसलिए, यह मान लेना उचित है कि यह स्वर्णिम अनुपात था [ ] .

  यूनानी गणितज्ञों ने इस अनुपात को असंगत मात्राओं का अनुपात कहा है alogos(अकथनीय), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार उन्होंने हिप्पासस को उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान यह खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा उसे "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए फेंक दिया गया था जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में कम किया जा सकता है।" हिप्पासस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या खड़ी कर दी, जिससे यह अंतर्निहित धारणा नष्ट हो गई कि संख्याएँ और ज्यामितीय वस्तुएँ एक और अविभाज्य थीं।

  गणितीय अवधारणाओं की अमूर्तता कभी-कभी इतनी वैराग्य उत्पन्न करती है कि अनायास ही यह विचार उठता है: "यह सब क्यों है?" लेकिन, पहली धारणा के बावजूद, सभी प्रमेय, अंकगणितीय संचालन, कार्य इत्यादि। - बुनियादी जरूरतों को पूरा करने की इच्छा से ज्यादा कुछ नहीं। इसे विभिन्न सेटों की उपस्थिति के उदाहरण में विशेष रूप से स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

  यह सब प्राकृतिक संख्याओं के उद्भव के साथ शुरू हुआ। और, हालांकि यह संभावना नहीं है कि अब कोई भी इसका उत्तर देने में सक्षम होगा कि यह वास्तव में कैसा था, सबसे अधिक संभावना है, विज्ञान की रानी के पैर गुफा में कहीं से बढ़ते हैं। यहां, खालों, पत्थरों और आदिवासियों की संख्या का विश्लेषण करते हुए, एक व्यक्ति के पास "गिनने के लिए कई संख्याएं" हैं। और उसके लिए इतना ही काफी था. कुछ बिंदु तक, अवश्य।

  फिर खालों और पत्थरों को बाँटकर ले जाना पड़ा। इस प्रकार अंकगणितीय संक्रियाओं और उनके साथ तर्कसंगत संक्रियाओं की आवश्यकता उत्पन्न हुई, जिन्हें m/n जैसे अंश के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां, उदाहरण के लिए, m खाल की संख्या है, n साथी आदिवासियों की संख्या है।

  ऐसा प्रतीत होता है कि पहले से खोजा गया गणितीय उपकरण जीवन का आनंद लेने के लिए काफी है। लेकिन जल्द ही यह स्पष्ट हो गया कि ऐसे मामले भी हैं जब परिणाम न केवल पूर्णांक होता है, बल्कि अंश भी नहीं होता है! और, वास्तव में, दो के वर्गमूल को अंश और हर का उपयोग करके किसी अन्य तरीके से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। या, उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक आर्किमिडीज़ द्वारा खोजी गई सुप्रसिद्ध संख्या पाई भी तर्कसंगत नहीं है। और समय के साथ, ऐसी खोजें इतनी अधिक हो गईं कि वे सभी संख्याएँ जिन्हें "तर्कसंगत" नहीं किया जा सकता था, संयुक्त कर दी गईं और उन्हें अपरिमेय कहा जाने लगा।

  गुण

  पहले माने गए सेट गणित की मूलभूत अवधारणाओं के एक सेट से संबंधित हैं। इसका मतलब यह है कि उन्हें सरल गणितीय वस्तुओं के माध्यम से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। लेकिन यह श्रेणियों (ग्रीक "कथनों" से) या अभिधारणाओं की सहायता से किया जा सकता है। इस मामले में, इन सेटों के गुणों को इंगित करना सबसे अच्छा था।

  o अपरिमेय संख्याएँ उन परिमेय संख्याओं के सेट में डेडेकाइंड कट्स को परिभाषित करती हैं जिनकी निचली संख्या में सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है और ऊपरी संख्या में सबसे छोटी संख्या नहीं होती है।

  o प्रत्येक पारलौकिक संख्या अपरिमेय है।

  o प्रत्येक अपरिमेय संख्या या तो बीजगणितीय या पारलौकिक होती है।

  o अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या रेखा पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।

  o अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है तथा द्वितीय बेयर श्रेणी का समुच्चय है।

  o यह सेट क्रमबद्ध है, अर्थात, प्रत्येक दो अलग-अलग परिमेय संख्याओं a और b के लिए, आप संकेत कर सकते हैं कि कौन सी संख्या दूसरे से कम है।
  o प्रत्येक दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कम से कम एक और परिमेय संख्या होती है, और इसलिए परिमेय संख्याओं की एक अनंत संख्या होती है।

  o किन्हीं दो परिमेय संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएं (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) हमेशा संभव होती हैं और परिणामस्वरूप एक निश्चित परिमेय संख्या प्राप्त होती है। अपवाद शून्य से विभाजन है, जो असंभव है।

  o प्रत्येक परिमेय संख्या को दशमलव अंश (परिमित या अनंत आवधिक) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

  एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा

  अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो दशमलव अंकन में अंतहीन गैर-आवधिक दशमलव अंशों का प्रतिनिधित्व करती हैं।

  
  
  

  इसलिए, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का वर्गमूल निकालने से प्राप्त संख्याएँ अपरिमेय होती हैं और प्राकृतिक संख्याओं का वर्ग नहीं होती हैं। लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ वर्गमूल निकालने से प्राप्त नहीं होती हैं, क्योंकि विभाजन से प्राप्त संख्या पाई भी अपरिमेय होती है, और किसी प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल निकालने का प्रयास करके आपको यह प्राप्त होने की संभावना नहीं है।

  अपरिमेय संख्याओं के गुण

  अनंत दशमलव के रूप में लिखी गई संख्याओं के विपरीत, केवल अपरिमेय संख्याओं को गैर-आवधिक अनंत दशमलव के रूप में लिखा जाता है।
  दो गैर-ऋणात्मक अपरिमेय संख्याओं का योग अंततः एक परिमेय संख्या बन सकता है।
  अपरिमेय संख्याएँ तर्कसंगत संख्याओं के सेट में डेडेकाइंड कटौती को परिभाषित करती हैं, जिसके निचले वर्ग में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है, और उच्च वर्ग में कोई छोटी संख्या नहीं होती है।
  कोई भी वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय होती है।
  सभी अपरिमेय संख्याएँ या तो बीजगणितीय या पारलौकिक हैं।
  एक रेखा पर अपरिमेय संख्याओं का समूह सघन रूप से स्थित होता है, और इसकी किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होना निश्चित है।
  अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अनंत, बेशुमार तथा द्वितीय श्रेणी का समुच्चय है।
  परिमेय संख्याओं पर कोई भी अंकगणितीय संक्रिया करते समय, 0 से भाग देने के अलावा, परिणाम एक परिमेय संख्या होगी।
  किसी अपरिमेय संख्या में परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।
  अपरिमेय संख्याओं को जोड़ने पर, हम एक परिमेय संख्या प्राप्त कर सकते हैं।
  अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय सम नहीं है।
  

  संख्याएँ अतार्किक नहीं हैं

  कभी-कभी इस प्रश्न का उत्तर देना काफी कठिन होता है कि क्या कोई संख्या अपरिमेय है, विशेषकर ऐसे मामलों में जहां संख्या दशमलव अंश के रूप में या संख्यात्मक अभिव्यक्ति, मूल या लघुगणक के रूप में है।

  इसलिए, यह जानना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय नहीं हैं। यदि हम अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा का पालन करें, तो हम पहले से ही जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ अपरिमेय नहीं हो सकतीं।

  अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं:

  सबसे पहले, सभी प्राकृतिक संख्याएँ;
  दूसरे, पूर्णांक;
  तीसरा, साधारण भिन्न;
  चौथा, विभिन्न मिश्रित संख्याएँ;
  पाँचवें, ये अनंत आवर्त दशमलव भिन्न हैं।
  

  उपरोक्त सभी के अलावा, एक अपरिमेय संख्या तर्कसंगत संख्याओं का कोई संयोजन नहीं हो सकती है जो अंकगणितीय परिचालनों के संकेतों द्वारा की जाती है, जैसे कि +, -, , :, क्योंकि इस मामले में दो तर्कसंगत संख्याओं का परिणाम भी होगा एक तर्कसंगत संख्या.

  अब आइए देखें कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं:

  
  
  

  क्या आप किसी फैन क्लब के अस्तित्व के बारे में जानते हैं जहां इस रहस्यमय गणितीय घटना के प्रशंसक पाई के बारे में अधिक से अधिक जानकारी की तलाश में हैं, इसके रहस्य को जानने की कोशिश कर रहे हैं? कोई भी व्यक्ति जो दशमलव बिंदु के बाद पाई की एक निश्चित संख्या को याद करता है, वह इस क्लब का सदस्य बन सकता है;

  क्या आप जानते हैं कि जर्मनी में, यूनेस्को के संरक्षण में, कास्टाडेल मोंटे महल है, जिसके अनुपात की बदौलत आप पाई की गणना कर सकते हैं। राजा फ्रेडरिक द्वितीय ने पूरा महल इस नंबर को समर्पित कर दिया।

  यह पता चला है कि उन्होंने टॉवर ऑफ़ बैबेल के निर्माण में पाई संख्या का उपयोग करने का प्रयास किया था। लेकिन दुर्भाग्य से, इससे परियोजना विफल हो गई, क्योंकि उस समय पाई के मूल्य की सटीक गणना का पर्याप्त अध्ययन नहीं किया गया था।

  गायिका केट बुश ने अपनी नई डिस्क में "पाई" नामक एक गाना रिकॉर्ड किया, जिसमें प्रसिद्ध नंबर श्रृंखला 3, 141... के एक सौ चौबीस नंबर सुने गए।

  उदाहरण:
  \(4\) एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे \(\frac(4)(1)\) के रूप में लिखा जा सकता है;
  \(0.0157304\) तर्कसंगत भी है, क्योंकि इसे \(\frac(157304)(10000000)\) के रूप में लिखा जा सकता है;
  \(0.333(3)...\) - और यह एक परिमेय संख्या है: इसे \(\frac(1)(3)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है;
  \(\sqrt(\frac(3)(12))\) तर्कसंगत है, क्योंकि इसे \(\frac(1)(2)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है। वास्तव में, हम परिवर्तनों की एक श्रृंखला को अंजाम दे सकते हैं \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

  
  

  अपरिमेय संख्याएक संख्या है जिसे पूर्णांक अंश और हर के साथ भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

  यह असंभव है क्योंकि यह है अनंतभिन्न, और यहां तक ​​कि गैर-आवधिक भी। इसलिए, ऐसे कोई पूर्णांक नहीं हैं, जिन्हें एक-दूसरे से विभाजित करने पर एक अपरिमेय संख्या प्राप्त हो।

  उदाहरण:
  \(\sqrt(2)≈1.414213562…\) एक अपरिमेय संख्या है;
  \(π≈3.1415926... \) एक अपरिमेय संख्या है;
  \(\log_(2)(5)≈2.321928…\) एक अपरिमेय संख्या है।

  
  

  उदाहरण (OGE से असाइनमेंट). इनमें से किस अभिव्यक्ति का अर्थ एक परिमेय संख्या है?
  1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
  2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

  समाधान:

  1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) - \(14\) का मूल नहीं लिया जा सकता, जिसका अर्थ है कि किसी संख्या को पूर्णांकों के साथ भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना भी असंभव है, इसलिए वह संख्या अपरिमेय है।

  2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - कोई मूल नहीं बचा है, संख्या को आसानी से भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए \(\frac(-5)(1)\), जिसका अर्थ है कि यह तर्कसंगत है।

  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) - मूल नहीं निकाला जा सकता - संख्या अपरिमेय है।

  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) भी तर्कहीन है।