चेकमेट अपेक्षा की गणना कैसे करें. असतत यादृच्छिक चर

अपेक्षा और विचरण किसी यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएँ हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता बताते हैं: इसकी स्थिति और बिखरने की डिग्री। कई व्यावहारिक समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर की पूर्ण, विस्तृत विशेषता - वितरण कानून - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं की जा सकती है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, कोई संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित है।

अपेक्षित मान को अक्सर यादृच्छिक चर का औसत मान कहा जाता है। एक यादृच्छिक चर का फैलाव फैलाव की एक विशेषता है, एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास फैलाव।

एक असतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा

आइए पहले असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या के आधार पर गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर विचार करें। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया गया है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का एक संगत द्रव्यमान होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. भौतिक बिंदुओं की संपूर्ण प्रणाली की स्थिति को दर्शाते हुए, उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए, एब्सिस्सा अक्ष पर एक बिंदु का चयन करना आवश्यक है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिससे प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंगत संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का औसत मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है:

उदाहरण 1।जीत-जीत लॉटरी का आयोजन किया गया है. 1000 जीतें हैं, जिनमें से 400 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक। 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?

समाधान। यदि हम जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित करने पर हमें औसत जीत मिलेगी। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत जीत की गणना के लिए अभिव्यक्ति निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत की जा सकती है:

दूसरी ओर, इन स्थितियों में, जीतने वाला आकार एक यादृच्छिक चर है, जो 10, 20, 100 और 200 रूबल का मान ले सकता है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत जीत जीत के आकार और उन्हें प्राप्त करने की संभावना के उत्पादों के योग के बराबर है।

उदाहरण 2.प्रकाशक ने एक नई पुस्तक प्रकाशित करने का निर्णय लिया। वह किताब को 280 रूबल में बेचने की योजना बना रहा है, जिसमें से वह खुद 200, 50 - किताबों की दुकान और 30 - लेखक को प्राप्त करेगा। तालिका किसी पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियां बेचने की संभावना के बारे में जानकारी प्रदान करती है।

प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात करें।

समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल का नुकसान हुआ। निम्न तालिका यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों का सारांश प्रस्तुत करती है - लाभ:

संख्या	लाभ एक्समैं	संभावना पीमैं	एक्समैं पीमैं
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
कुल:		1,00	25000

इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 3.एक ही बार में मारने की संभावना पी= 0.2. प्रोजेक्टाइल की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करती है।

समाधान। उसी गणितीय अपेक्षा सूत्र से जिसे हमने अब तक उपयोग किया है, हम व्यक्त करते हैं एक्स- शैल खपत:

.

उदाहरण 4.एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ एक हिट की संभावना पी = 0,4 .

संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली का सूत्र .

गणितीय अपेक्षा के गुण

आइए गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:

संपत्ति 2.स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

संपत्ति 3.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

संपत्ति 5.यदि एक यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सउसी संख्या से कमी (वृद्धि)। साथ, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (बढ़ेगी):

जब आप खुद को केवल गणितीय अपेक्षा तक सीमित नहीं रख सकते

ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चित्रित नहीं कर सकती है।

चलो यादृच्छिक चर एक्सऔर वाईनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

अर्थ एक्स	संभावना
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

अर्थ वाई	संभावना
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

इन मात्राओं की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:

हालाँकि, उनके वितरण पैटर्न भिन्न हैं। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़ा भिन्न होते हैं वाईऐसे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हों। एक समान उदाहरण: औसत वेतन उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों की हिस्सेदारी का आकलन करना संभव नहीं बनाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह अनुमान नहीं लगा सकता कि इससे क्या विचलन, कम से कम औसतन, संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात करना होगा।

असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण

झगड़ाअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके प्रसरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान कहलाता है:

.

उदाहरण 5.यादृच्छिक चर के प्रसरण और मानक विचलन की गणना करें एक्सऔर वाई, जिसके वितरण नियम ऊपर तालिका में दिए गए हैं।

समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएँ एक्सऔर वाई, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(य)=0 हमें मिलता है:

फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सऔर वाईपूरा करना

.

इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का विचरण एक्सबहुत छोटा, लेकिन एक यादृच्छिक चर वाई- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।

उदाहरण 6.निवेशक के पास 4 वैकल्पिक निवेश परियोजनाएं हैं। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ को संबंधित संभावना के साथ सारांशित करती है।

प्रोजेक्ट 1	प्रोजेक्ट 2	प्रोजेक्ट 3	प्रोजेक्ट 4
500, पी=1	1000, पी=0,5	500, पी=0,5	500, पी=0,5
	0, पी=0,5	1000, पी=0,25	10500, पी=0,25
		0, पी=0,25	9500, पी=0,25

प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।

समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मानों की गणना कैसे की जाती है:

तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों का सारांश प्रस्तुत करती है।

सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं। इसका मतलब यह है कि लंबे समय में सभी की आय समान होगी। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना अधिक होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है वह प्रोजेक्ट 1 चुनेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक छोटी अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न पसंद करता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना - परियोजना 4 का चयन करेगा।

फैलाव गुण

आइए हम फैलाव के गुण प्रस्तुत करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का प्रसरण शून्य है:

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है:

.

संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का प्रसरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटा दिया जाता है:

,

कहाँ .

संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

उदाहरण 7.यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: -3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4 . एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए हम इसे निरूपित करें पीवह संभाव्यता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर एक मान लेता है एक्स1 = −3 . फिर मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 होगा - पी. आइए हम गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:

इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,

जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	−3	7
पी	0,3	0,7

हम फैलाव की संपत्ति 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के विचरण की गणना करते हैं:

डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

किसी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं ज्ञात करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 8.असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह प्रायिकता 0.4 के साथ 3 के बड़े मान को स्वीकार करता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का विचरण ज्ञात होता है डी(एक्स) = 6 . एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9.कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें निकाली जाती हैं। निकाली गई गेंदों में से सफेद गेंदों की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक मूल्य एक्समान 0, 1, 2, 3 ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना इससे की जा सकती है संभाव्यता गुणन नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	0	1	2	3
पी	1/30	3/10	1/2	1/6

इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

किसी दिए गए यादृच्छिक चर का विचरण है:

डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

एक सतत यादृच्छिक चर की अपेक्षा और विचरण

एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ बनाए रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स). एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसका कार्य तर्क एक्समैंअचानक बदलता है; एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके औसत मूल्य से भी संबंधित है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित अभिन्न अंग खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया गया है, तो यह सीधे इंटीग्रैंड में प्रवेश करता है। यदि एक संभाव्यता वितरण फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।

किसी सतत् यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों का अंकगणितीय औसत उसका कहलाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।

असतत संभाव्यता स्थान पर दिए गए एक यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा (औसत मान) संख्या m =M[X]=∑x i p i है यदि श्रृंखला बिल्कुल परिवर्तित होती है।

सेवा का उद्देश्य. ऑनलाइन सेवा का उपयोग करना गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना की जाती है(उदाहरण देखें). इसके अलावा, वितरण फ़ंक्शन F(X) का एक ग्राफ़ प्लॉट किया गया है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण

1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं के बराबर है: एम[सी]=सी, सी - स्थिरांक;
2. एम=सी एम[एक्स]
3. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: M=M[X]+M[Y]
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: M=M[X] M[Y], यदि X और Y स्वतंत्र हैं।

फैलाव गुण

1. स्थिर मान का प्रसरण शून्य है: D(c)=0.
2. फैलाव चिह्न के नीचे से स्थिर कारक को इसका वर्ग करके निकाला जा सकता है: D(k*X)= k 2 D(X)।
3. यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो योग का प्रसरण प्रसरण के योग के बराबर है: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. यदि यादृच्छिक चर X और Y निर्भर हैं: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल सूत्र फैलाव के लिए मान्य है:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

उदाहरण। दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ और प्रसरण ज्ञात हैं: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6। यादृच्छिक चर Z=9X-8Y+7 की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। गणितीय अपेक्षा के गुणों के आधार पर: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
फैलाव के गुणों के आधार पर: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिदम

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मानों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा पुनः क्रमांकित किया जा सकता है; प्रत्येक मान को एक गैर-शून्य संभावना निर्दिष्ट करें।

1. हम जोड़ियों को एक-एक करके गुणा करते हैं: x i को p i से।
2. प्रत्येक जोड़ी x i p i का गुणनफल जोड़ें।
   उदाहरण के लिए, n = 4 के लिए: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यचरणबद्ध रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाएँ सकारात्मक होती हैं।

उदाहरण क्रमांक 1.

एक्स मैं	1	3	4	7	9
पी मैं	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

हम सूत्र m = ∑x i p i का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा पाते हैं।
उम्मीद एम[एक्स].
एम[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
हम सूत्र d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 का उपयोग करके विचरण ज्ञात करते हैं।
वेरिएंस डी[एक्स].
डी[एक्स] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
मानक विचलन σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

उदाहरण क्रमांक 2. एक असतत यादृच्छिक चर में निम्नलिखित वितरण श्रृंखला होती है:

एक्स	-10	-5	0	5	10
आर	ए	0,32	2ए	0,41	0,03

इस यादृच्छिक चर का मान, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन ज्ञात करें।

समाधान। a का मान संबंध से पाया जाता है: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 ए = 1 या 0.24=3 ए, जहां से ए = 0.08

उदाहरण संख्या 3. एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम निर्धारित करें यदि इसका विचरण ज्ञात हो, और x 1 एक्स 1 =6; एक्स 2 =9; एक्स 3 =एक्स; x 4 =15
पी 1 =0.3; पी 2 =0.3; पी 3 =0.1; पी 4 =0.3
d(x)=12.96

समाधान।
यहां आपको प्रसरण d(x) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र बनाने की आवश्यकता है:
डी(एक्स) = एक्स 1 2 पी 1 +एक्स 2 2 पी 2 +एक्स 3 2 पी 3 +एक्स 4 2 पी 4 -एम(एक्स) 2
जहां अपेक्षा m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
हमारे डेटा के लिए
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
या -9/100 (x 2 -20x+96)=0
तदनुसार, हमें समीकरण की जड़ें ढूंढने की आवश्यकता है, और उनमें से दो होंगे।
x 3 =8, x 3 =12
वह चुनें जो शर्त x 1 को पूरा करता हो x 3 =12

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक्स 1 =6; एक्स 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
पी 1 =0.3; पी 2 =0.3; पी 3 =0.1; पी 4 =0.3

किसी यादृच्छिक चर की सबसे पूर्ण विशेषता उसका वितरण नियम है। हालाँकि, यह हमेशा ज्ञात नहीं होता है और इन मामलों में व्यक्ति को कम जानकारी से ही संतुष्ट रहना पड़ता है। ऐसी जानकारी में शामिल हो सकते हैं: एक यादृच्छिक चर के परिवर्तन की सीमा, इसका सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मूल्य, कुछ अन्य विशेषताएं जो कुछ सारांश तरीके से यादृच्छिक चर का वर्णन करती हैं। ये सभी मात्राएँ कहलाती हैं संख्यात्मक विशेषताएँअनियमित परिवर्तनशील वस्तु। आमतौर पर ये कुछ हैं गैर यादृच्छिकसंख्याएँ जो किसी तरह एक यादृच्छिक चर की विशेषता बताती हैं। संख्यात्मक विशेषताओं का मुख्य उद्देश्य किसी विशेष वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को संक्षिप्त रूप में व्यक्त करना है।

यादृच्छिक चर की सबसे सरल संख्यात्मक विशेषता एक्सउसे बुलाया अपेक्षित मूल्य:

एम(एक्स)=एक्स 1 पी 1 +एक्स 2 पी 2 +…+एक्स एन पी एन. (1.3.1)

यहाँ एक्स 1, एक्स 2, …, एक्स एन– यादृच्छिक चर के संभावित मान एक्स, ए पी 1, पी 2, …, आरपी एन– उनकी संभावनाएँ.

उदाहरण 1।यदि किसी यादृच्छिक चर का वितरण नियम ज्ञात हो तो उसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें:

समाधान. एम(एक्स)=2×0.3+3×0.1+5×0.6=3.9.

उदाहरण 2. किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एएक परीक्षण में, यदि इस घटना की संभावना बराबर है आर.

समाधान. अगर एक्स– घटना के घटित होने की संख्या एएक परीक्षण में, तो, जाहिर है, वितरण कानून एक्सइसका रूप है:

तब M(X)=0×(1–р)+1×р=р.

तो: एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा उसकी संभावना के बराबर है।

गणितीय अपेक्षा का संभाव्य अर्थ

इसका उत्पादन होने दीजिए एनपरीक्षण जिसमें यादृच्छिक चर एक्सस्वीकृत मी 1गुना मूल्य एक्स 1, मी 2गुना मूल्य एक्स 2, …, एम केगुना मूल्य एक्स क. फिर सभी मूल्यों का योग एनपरीक्षण इसके बराबर है:

x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.

आइए यादृच्छिक चर द्वारा लिए गए सभी मानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें:

मान - मानों के घटित होने की सापेक्ष आवृत्तियाँ x i (i=1, …, k). अगर एनकाफी बड़ा (एन®¥), तो ये आवृत्तियाँ लगभग संभावनाओं के बराबर हैं: . परन्तु फिर

=एक्स 1 पी 1 +एक्स 2 पी 2 +…+एक्स के पी के =एम(एक्स).

इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर (जितना अधिक सटीक, परीक्षणों की संख्या उतनी ही अधिक) है। यह गणितीय अपेक्षा का संभाव्य अर्थ है।

गणितीय अपेक्षा के गुण

1. किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है।

एम(सी)=सी×1=सी.

2. अचर कारक को गणितीय अपेक्षा चिन्ह से निकाला जा सकता है

एम(सीएक्स)=सी×एम(एक्स).

सबूत. चलो वितरण कानून एक्सतालिका द्वारा दिया गया:

फिर यादृच्छिक चर सीएक्समान लेता है सीएक्स 1, सीएक्स 2, …, Сх n समान संभावनाओं के साथ, अर्थात। वितरण कानून सीएक्सइसका रूप है:

M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =

=सी(एक्स 1 पी 1 +एक्स 2 पी 2 +…+एक्स एन पी एन)=सीएम(एक्स)।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

एम(एक्सवाई)=एम(एक्स)×एम(वाई).

यह कथन बिना प्रमाण के दिया गया है (प्रमाण गणितीय अपेक्षा की परिभाषा पर आधारित है)।

परिणाम. कई परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर होती है।

विशेष रूप से, तीन स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए

M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

उदाहरण. दो पासे फेंकने पर आने वाले अंकों की संख्या के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान. होने देना क्सी– प्रति अंक की संख्या मैंवें हड्डियाँ. यह संख्याएं हो सकती हैं 1 , 2 , …, 6 संभावनाओं के साथ. तब

M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

होने देना एक्स=एक्स 1 ×एक्स 2. तब

एम(एक्स)=एम(एक्स 1)×एम(एक्स 2)= =12.25.

4. दो यादृच्छिक चर (स्वतंत्र या आश्रित) के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

एम(एक्स+वाई)=एम(एक्स)+एम(वाई).

इस संपत्ति को शर्तों की मनमानी संख्या के मामले में सामान्यीकृत किया गया है।

उदाहरण. लक्ष्य पर प्रहार करने की संभावनाओं के बराबर 3 गोलियाँ चलाई जाती हैं पी 1 =0.4, पी 2 =0.3और पी 3 =0.6. हिट की कुल संख्या की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

समाधान. होने देना क्सी- हिट्स की संख्या मैं-वां शॉट. तब

М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.

इस प्रकार,

एम(एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3)= =0.4+0.3+0.6=1.3.

गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को पासा फेंकने के उदाहरण का उपयोग करके माना जा सकता है। प्रत्येक थ्रो के साथ, गिराए गए अंक रिकॉर्ड किए जाते हैं। इन्हें व्यक्त करने के लिए 1 – 6 श्रेणी के प्राकृतिक मूल्यों का उपयोग किया जाता है।

एक निश्चित संख्या में थ्रो के बाद, सरल गणनाओं का उपयोग करके, आप रोल किए गए अंकों का अंकगणितीय औसत पा सकते हैं।

श्रेणी में किसी भी मान के घटित होने की तरह, यह मान भी यादृच्छिक होगा।

यदि आप थ्रो की संख्या कई गुना बढ़ा दें तो क्या होगा? बड़ी संख्या में थ्रो के साथ, अंकों का अंकगणितीय औसत एक विशिष्ट संख्या तक पहुंच जाएगा, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

तो, गणितीय अपेक्षा से हमारा तात्पर्य एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य से है। इस सूचक को संभावित मूल्य मानों के भारित योग के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है।

इस अवधारणा के कई पर्यायवाची शब्द हैं:

• औसत मूल्य;
• औसत मूल्य;
• केंद्रीय प्रवृत्ति का सूचक;
• पहला क्षण.

दूसरे शब्दों में, यह एक संख्या से अधिक कुछ नहीं है जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मान वितरित होते हैं।

मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में, गणितीय अपेक्षा को समझने के दृष्टिकोण कुछ भिन्न होंगे।

इसे इस प्रकार माना जा सकता है:

• निर्णय लेने से प्राप्त औसत लाभ, जब ऐसे निर्णय पर बड़ी संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार किया जाता है;
• जीतने या हारने की संभावित राशि (जुआ सिद्धांत), प्रत्येक दांव के लिए औसत पर गणना की जाती है। कठबोली भाषा में, वे "खिलाड़ी का लाभ" (खिलाड़ी के लिए सकारात्मक) या "कैसीनो लाभ" (खिलाड़ी के लिए नकारात्मक) जैसे लगते हैं;
• जीत से प्राप्त लाभ का प्रतिशत.

अपेक्षा बिल्कुल सभी यादृच्छिक चर के लिए अनिवार्य नहीं है। यह उन लोगों के लिए अनुपस्थित है जिनके पास संबंधित योग या अभिन्न में विसंगति है।

गणितीय अपेक्षा के गुण

किसी भी सांख्यिकीय पैरामीटर की तरह, गणितीय अपेक्षा में निम्नलिखित गुण होते हैं:

गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र

गणितीय अपेक्षा की गणना निरंतरता (सूत्र ए) और विसंगति (सूत्र बी) दोनों की विशेषता वाले यादृच्छिक चर दोनों के लिए की जा सकती है:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, जहां xi यादृच्छिक चर के मान हैं, pi संभावनाएं हैं:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, जहां f(x) दिया गया संभाव्यता घनत्व है।

गणितीय अपेक्षा की गणना के उदाहरण

उदाहरण ए.

क्या स्नो व्हाइट की परी कथा में बौनों की औसत ऊंचाई का पता लगाना संभव है? यह ज्ञात है कि 7 बौनों में से प्रत्येक की एक निश्चित ऊंचाई थी: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 और 0.81 मी.

गणना एल्गोरिथ्म काफी सरल है:

• हम विकास संकेतक (यादृच्छिक चर) के सभी मूल्यों का योग पाते हैं:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• परिणामी राशि को सूक्ति की संख्या से विभाजित करें:
  6,31:7=0,90.

इस प्रकार, एक परी कथा में सूक्ति की औसत ऊंचाई 90 सेमी है। दूसरे शब्दों में, यह सूक्ति की वृद्धि की गणितीय अपेक्षा है।

कार्य सूत्र - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

गणितीय अपेक्षा का व्यावहारिक कार्यान्वयन

व्यावहारिक गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय अपेक्षा के सांख्यिकीय संकेतक की गणना का सहारा लिया जाता है। सबसे पहले, हम वाणिज्यिक क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। आखिरकार, ह्यूजेन्स द्वारा इस सूचक का परिचय उन संभावनाओं को निर्धारित करने से जुड़ा है जो किसी घटना के लिए अनुकूल, या, इसके विपरीत, प्रतिकूल हो सकती हैं।

जोखिमों का आकलन करने के लिए इस पैरामीटर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, खासकर जब वित्तीय निवेश की बात आती है।
इस प्रकार, व्यवसाय में, गणितीय अपेक्षा की गणना कीमतों की गणना करते समय जोखिम का आकलन करने की एक विधि के रूप में कार्य करती है।

इस सूचक का उपयोग कुछ उपायों की प्रभावशीलता की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, श्रम सुरक्षा। इसके लिए धन्यवाद, आप किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना कर सकते हैं।

इस पैरामीटर के अनुप्रयोग का एक अन्य क्षेत्र प्रबंधन है। इसकी गणना उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, मैट का उपयोग करना। अपेक्षाओं के अनुसार, आप उत्पादित दोषपूर्ण भागों की संभावित संख्या की गणना कर सकते हैं।

वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान प्राप्त परिणामों का सांख्यिकीय प्रसंस्करण करते समय गणितीय अपेक्षा भी अपरिहार्य हो जाती है। यह आपको लक्ष्य की उपलब्धि के स्तर के आधार पर किसी प्रयोग या अध्ययन के वांछित या अवांछनीय परिणाम की संभावना की गणना करने की अनुमति देता है। आख़िरकार, इसकी उपलब्धि लाभ और लाभ से जुड़ी हो सकती है, और इसकी विफलता हानि या हानि से जुड़ी हो सकती है।

विदेशी मुद्रा में गणितीय अपेक्षा का उपयोग करना

विदेशी मुद्रा बाजार पर लेनदेन करते समय इस सांख्यिकीय पैरामीटर का व्यावहारिक अनुप्रयोग संभव है। इसकी सहायता से आप व्यापार लेनदेन की सफलता का विश्लेषण कर सकते हैं। इसके अलावा, अपेक्षा मूल्य में वृद्धि उनकी सफलता में वृद्धि का संकेत देती है।

यह याद रखना भी महत्वपूर्ण है कि गणितीय अपेक्षा को किसी व्यापारी के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एकमात्र सांख्यिकीय पैरामीटर नहीं माना जाना चाहिए। औसत मूल्य के साथ कई सांख्यिकीय मापदंडों के उपयोग से विश्लेषण की सटीकता काफी बढ़ जाती है।

ट्रेडिंग खातों की निगरानी में इस पैरामीटर ने खुद को अच्छी तरह साबित कर दिया है। इसके लिए धन्यवाद, जमा खाते पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन किया जाता है। ऐसे मामलों में जहां व्यापारी की गतिविधि सफल होती है और वह घाटे से बचता है, केवल गणितीय अपेक्षा की गणना का उपयोग करने की अनुशंसा नहीं की जाती है। इन मामलों में, जोखिमों पर ध्यान नहीं दिया जाता है, जिससे विश्लेषण की प्रभावशीलता कम हो जाती है।

व्यापारियों की रणनीति के अध्ययन से संकेत मिलता है कि:

• सबसे प्रभावी रणनीति वे हैं जो यादृच्छिक प्रविष्टि पर आधारित हैं;
• संरचित इनपुट पर आधारित रणनीतियाँ सबसे कम प्रभावी हैं।

सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने में, ये भी कम महत्वपूर्ण नहीं हैं:

• धन प्रबंधन रणनीति;
• बाहर निकलने की रणनीतियाँ।

गणितीय अपेक्षा जैसे संकेतक का उपयोग करके, आप अनुमान लगा सकते हैं कि 1 डॉलर का निवेश करने पर क्या लाभ या हानि होगी। यह ज्ञात है कि कैसीनो में प्रचलित सभी खेलों के लिए गणना किया गया यह संकेतक प्रतिष्ठान के पक्ष में है। यही आपको पैसा कमाने की अनुमति देता है। खेलों की लंबी श्रृंखला के मामले में, ग्राहक के पैसे खोने की संभावना काफी बढ़ जाती है।

पेशेवर खिलाड़ियों द्वारा खेले जाने वाले खेल कम समय तक सीमित होते हैं, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है और हारने का जोखिम कम हो जाता है। निवेश संचालन करते समय भी यही पैटर्न देखा जाता है।

एक निवेशक सकारात्मक उम्मीदें रखकर और कम समय में बड़ी संख्या में लेनदेन करके अच्छी खासी रकम कमा सकता है।

उम्मीद को लाभ के प्रतिशत (पीडब्ल्यू) को औसत लाभ (एडब्ल्यू) से गुणा करने और हानि की संभावना (पीएल) को औसत हानि (एएल) से गुणा करने के बीच के अंतर के रूप में सोचा जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, हम निम्नलिखित पर विचार कर सकते हैं: स्थिति - 12.5 हजार डॉलर, पोर्टफोलियो - 100 हजार डॉलर, जमा जोखिम - 1%। लेन-देन की लाभप्रदता 20% के औसत लाभ के साथ 40% मामलों में है। हानि की स्थिति में औसत हानि 5% है। लेन-देन के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करने पर $625 का मूल्य मिलता है।

अनियमित परिवर्तनशील वस्तुएक चर को एक चर कहा जाता है, जो प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक कारणों के आधार पर, पहले से अज्ञात एक मान लेता है। यादृच्छिक चर को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ उनके प्रकार के अनुसार, यादृच्छिक चर हो सकते हैं अलगऔर निरंतर.

असतत यादृच्छिक चर- यह एक यादृच्छिक चर है जिसका मान गणनीय से अधिक नहीं हो सकता है, अर्थात परिमित या गणनीय। गणनीयता से हमारा तात्पर्य यह है कि एक यादृच्छिक चर के मानों को क्रमांकित किया जा सकता है।

उदाहरण 1 . यहां असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण दिए गए हैं:

a) $n$ शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।

बी) सिक्का उछालते समय गिराए गए प्रतीकों की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।

ग) बोर्ड पर आने वाले जहाजों की संख्या (मूल्यों का एक गणनीय सेट)।

घ) पीबीएक्स पर आने वाली कॉलों की संख्या (मूल्यों का गणनीय सेट)।

1. असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम।

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ संभावनाओं $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ के साथ मान $x_1,\dots ,\ x_n$ ले सकता है। इन मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच के पत्राचार को कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम. एक नियम के रूप में, यह पत्राचार एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति मानों को इंगित करती है $x_1,\dots ,\ x_n$, और दूसरी पंक्ति में संभावनाएं शामिल हैं $p_1,\dots ,\ p_n$ के अनुरूप ये मूल्य.

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
X_i और x_1 और x_2 और \dots और x_n \\
\hline
p_i और p_1 और p_2 और \dots और p_n \\
\hline
\end(सरणी)$

उदाहरण 2 . मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ एक पासा उछालने पर प्राप्त अंकों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मान ले सकता है: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$। इन सभी मानों की संभावनाएँ $1/6$ के बराबर हैं। फिर यादृच्छिक चर $X$ के संभाव्यता वितरण का नियम:

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(सरणी)$

टिप्पणी. चूँकि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण नियम में घटनाएँ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, तो संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, अर्थात $ \sum(p_i)=1$.

2. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।

एक यादृच्छिक चर की अपेक्षाइसका "केंद्रीय" अर्थ निर्धारित करता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना $x_1,\dots ,\ x_n$ मानों और इन मानों के अनुरूप संभावनाओं $p_1,\dots ,\ p_n$ के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है, अर्थात : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. अंग्रेजी भाषा के साहित्य में, एक अन्य संकेतन $E\left(X\right)$ का उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण$M\बाएं(X\दाएं)$:

1. $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों के बीच स्थित है।
2. किसी स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है, अर्थात। $M\left(C\right)=C$.
3. स्थिर कारक को गणितीय अपेक्षा के चिह्न से निकाला जा सकता है: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

उदाहरण 3 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\ओवर (6))+4\cdot ((1)\ओवर (6))+5\cdot ((1)\ओवर (6))+6\cdot ((1) )\ओवर (6))=3.5.$$

हम देख सकते हैं कि $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे ($1$) और सबसे बड़े ($6$) मानों के बीच स्थित है।

उदाहरण 4 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3X+5$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ मिलता है cdot 2 +5=$11.

उदाहरण 5 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=4$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $2X-9$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ मिलता है cdot 4 -9=-1$.

3. असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।

समान गणितीय अपेक्षाओं वाले यादृच्छिक चर के संभावित मान उनके औसत मूल्यों के आसपास अलग-अलग तरीके से फैल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो छात्र समूहों में संभाव्यता सिद्धांत में परीक्षा का औसत स्कोर 4 निकला, लेकिन एक समूह में सभी अच्छे छात्र निकले, और दूसरे समूह में केवल सी छात्र और उत्कृष्ट छात्र थे। इसलिए, एक यादृच्छिक चर की एक संख्यात्मक विशेषता की आवश्यकता है जो यादृच्छिक चर के मूल्यों के गणितीय अपेक्षा के आसपास प्रसार को दिखाएगी। यह विशेषता है फैलाव.

असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण$X$ इसके बराबर है:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

अंग्रेजी साहित्य में $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ का प्रयोग किया जाता है। बहुत बार विचरण $D\left(X\right)$ की गणना सूत्र $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) का उपयोग करके की जाती है बाएँ(X \दाएँ)\दाएँ))^2$।

फैलाव गुण$D\left(X\right)$:

1. विचरण हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X\right)\ge 0$.
2. स्थिरांक का प्रसरण शून्य है, अर्थात $D\left(C\right)=0$.
3. स्थिरांक गुणनखंड को विचरण के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है, बशर्ते कि वह वर्गांकित हो, अर्थात। $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के बीच अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

उदाहरण 6 . आइए उदाहरण $2$ से यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना करें।

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\ओवर (6))\cdot (\left(6-3.5\दाएं))^2=((35)\ओवर (12))\लगभग 2.92.$$

उदाहरण 7 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $4X+1$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= पाते हैं 16D\ बाएँ(X\दाएँ)=16\cdot 2=32$.

उदाहरण 8 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=3$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3-2X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हम $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= पाते हैं 4D\ बाएँ(X\दाएँ)=4\cdot 3=12$.

4. असतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन।

वितरण श्रृंखला के रूप में एक असतत यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने की विधि एकमात्र नहीं है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है - वितरण फ़ंक्शन।

वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ को एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ कहा जाता है, जो यह संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेगा, अर्थात, $F\ बाएँ(x\दाएँ )=P\बाएँ(X< x\right)$

वितरण फलन के गुण:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. संभावना है कि यादृच्छिक चर $X$ अंतराल $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ से मान लेगा, इसके अंत में वितरण फ़ंक्शन के मानों के बीच अंतर के बराबर है अंतराल: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - न घटने वाला।
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \दाएं)=1\ )$.

उदाहरण 9 . आइए उदाहरण $2$ से असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून के लिए वितरण फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ ढूंढें।

$\begin(सरणी)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(सरणी)$

यदि $x\le 1$, तो, जाहिर है, $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X सहित)< 1\right)=0$).

यदि $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

यदि $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

यदि $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

यदि $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

यदि $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

यदि $x > 6$, तो $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

तो $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,पर\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ पर\ 2< x\le 3,\\
1/2,पर\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ पर\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ के लिये\ x > 6.
\end(मैट्रिक्स)\right.$