बिंदु m से समतल तक की दूरी. एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी. रास्ता। वेक्टर विधि

, प्रतियोगिता "पाठ के लिए प्रस्तुति"

कक्षा: 11

पाठ के लिए प्रस्तुति

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लक्ष्य:

• छात्रों के ज्ञान और कौशल का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण;
• विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने के कौशल का विकास।

उपकरण:

• मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर;
• कंप्यूटर;
• समस्याग्रस्त पाठों वाली शीटें

कक्षा की प्रगति

I. संगठनात्मक क्षण

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन करने का चरण(स्लाइड 2)

हम दोहराते हैं कि एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी कैसे निर्धारित की जाती है

तृतीय. भाषण(स्लाइड्स 3-15)

इस पाठ में हम एक बिंदु से एक तल तक की दूरी ज्ञात करने के विभिन्न तरीकों पर गौर करेंगे।

पहली विधि: चरण-दर-चरण कम्प्यूटेशनल

बिंदु M से समतल α तक की दूरी:
- सीधी रेखा a पर स्थित एक मनमाना बिंदु P से समतल α की दूरी के बराबर, जो बिंदु M से होकर गुजरती है और समतल α के समानांतर है;
- समतल β पर स्थित एक मनमाना बिंदु P से समतल α की दूरी के बराबर है, जो बिंदु M से होकर गुजरता है और समतल α के समानांतर है।

हम निम्नलिखित समस्याओं का समाधान करेंगे:

№1. घन A...D 1 में, बिंदु C 1 से समतल AB 1 C तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

यह खंड O 1 N की लंबाई के मान की गणना करना बाकी है।

№2. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म A...F 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु A से समतल DEA 1 तक की दूरी ज्ञात करें।

अगली विधि: वॉल्यूम विधि.

यदि पिरामिड ABCM का आयतन V के बराबर है, तो बिंदु M से ∆ABC वाले समतल α तक की दूरी सूत्र ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = द्वारा गणना की जाती है।
समस्याओं को हल करते समय, हम एक आकृति के आयतन की समानता का उपयोग करते हैं, जिसे दो अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जाता है।

आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:

№3. पिरामिड DABC का किनारा AD आधार तल ABC पर लंबवत है। यदि, किनारों AB, AC और AD के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरने वाले समतल की A से दूरी ज्ञात कीजिए।

समस्याओं का समाधान करते समय समन्वय विधिबिंदु M से समतल α तक की दूरी की गणना सूत्र ρ(M; α) = का उपयोग करके की जा सकती है , जहाँ M(x 0; y 0; z 0), और समतल समीकरण ax + by + cz + d = 0 द्वारा दिया गया है

आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:

№4. एक इकाई घन A...D 1 में, बिंदु A 1 से समतल BDC 1 तक की दूरी ज्ञात करें।

आइए बिंदु A पर मूल के साथ एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें, y-अक्ष किनारे AB के साथ, x-अक्ष किनारे AD के साथ, और z-अक्ष किनारे AA 1 के साथ चलेगा। फिर बिंदुओं के निर्देशांक B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
आइए बिंदु बी, डी, सी 1 से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण बनाएं।

तब – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. इसलिए, ρ =

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है समर्थन समस्याओं की विधि.

इस पद्धति के अनुप्रयोग में ज्ञात संदर्भ समस्याओं का उपयोग शामिल है, जिन्हें प्रमेय के रूप में तैयार किया जाता है।

आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:

№5. एक इकाई घन A...D 1 में, बिंदु D 1 से समतल AB 1 C तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

आइए आवेदन पर विचार करें वेक्टर विधि.

№6. एक इकाई घन A...D 1 में, बिंदु A 1 से समतल BDC 1 तक की दूरी ज्ञात करें।

इसलिए, हमने विभिन्न तरीकों पर गौर किया जिनका उपयोग इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है। एक या दूसरे तरीके का चुनाव विशिष्ट कार्य और आपकी प्राथमिकताओं पर निर्भर करता है।

चतुर्थ. सामूहिक कार्य

समस्या को विभिन्न तरीकों से हल करने का प्रयास करें।

№1. घन का किनारा A...D 1 के बराबर है। शीर्ष C से समतल BDC 1 तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

№2. एक किनारे वाले नियमित चतुष्फलक ABCD में, बिंदु A से समतल BDC तक की दूरी ज्ञात कीजिए

№3. एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, A से समतल BCA 1 की दूरी ज्ञात कीजिए।

№4. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, A से समतल SCD तक की दूरी ज्ञात करें।

वी. पाठ सारांश, गृहकार्य, चिंतन

एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात करने के लिए गणित में एकसमान राज्य परीक्षा की समस्याएँ C2

कुलिकोवा अनास्तासिया युरेविना

5वें वर्ष का छात्र, गणित विभाग। विश्लेषण, बीजगणित और ज्यामिति ईआई केएफयू, रूसी संघ, तातारस्तान गणराज्य, इलाबुगा

गनीवा ऐगुल रिफोवना

वैज्ञानिक पर्यवेक्षक, पीएच.डी. पेड. विज्ञान, एसोसिएट प्रोफेसर ईआई केएफयू, रूसी संघ, तातारस्तान गणराज्य, इलाबुगा

हाल के वर्षों में, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी की गणना करने के कार्य सामने आए हैं। इस आलेख में, एक समस्या के उदाहरण का उपयोग करके, एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी ज्ञात करने की विभिन्न विधियों पर विचार किया गया है। विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए सबसे उपयुक्त विधि का उपयोग किया जा सकता है। एक विधि का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने के बाद, आप किसी अन्य विधि का उपयोग करके परिणाम की शुद्धता की जांच कर सकते हैं।

परिभाषा।एक बिंदु से उस तल तक की दूरी जिसमें यह बिंदु नहीं है, इस बिंदु से दिए गए तल पर खींचे गए लंबवत खंड की लंबाई है।

काम।एक आयताकार समांतर चतुर्भुज दिया गया है एबीसाथडी.ए. 1 बी 1 सी 1 डी 1 भुजाओं सहित अब=2, ईसा पूर्व=4, ए.ए. 1=6. बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए डीशीर्ष लेन एसीडी 1 .

1 रास्ता. का उपयोग करते हुए परिभाषा. दूरी ज्ञात कीजिए r( डी, एसीडी 1)बिंदु से डीशीर्ष लेन एसीडी 1 (चित्र 1)।

चित्र 1. पहली विधि

आइए अमल करें डी.एच.⊥एसी, इसलिए, तीन लंबों के प्रमेय द्वारा डी 1 एच⊥एसीऔर (डीडी 1 एच)⊥एसी. आइए अमल करें प्रत्यक्ष डी.टी.सीधा डी 1 एच. सीधा डी.टी.एक विमान में पड़ा है डीडी 1 एच, इस तरह डी.टी.⊥एसी।. इस तरह, डी.टी.⊥एसीडी 1.

एडीसीआइये कर्ण ज्ञात करें एसीऔर ऊंचाई डी.एच.

एक समकोण त्रिभुज से डी 1 डी.एच. आइये कर्ण ज्ञात करें डी 1 एचऔर ऊंचाई डी.टी.

उत्तर: ।

विधि 2.वॉल्यूम विधि (सहायक पिरामिड का उपयोग). इस प्रकार की समस्या को पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने की समस्या तक कम किया जा सकता है, जहां पिरामिड की ऊंचाई एक बिंदु से एक विमान तक की आवश्यक दूरी है। साबित करें कि यह ऊंचाई आवश्यक दूरी है; इस पिरामिड का आयतन दो प्रकार से ज्ञात कीजिए तथा इस ऊँचाई को व्यक्त कीजिए।

ध्यान दें कि इस विधि से किसी दिए गए बिंदु से दिए गए तल पर लंब बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है।

घनाभ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी फलक आयताकार होते हैं।

अब=सीडी=2, ईसा पूर्व=विज्ञापन=4, ए.ए. 1 =6.

आवश्यक दूरी ऊंचाई होगी एचपिरामिड एसीडी 1 डी, ऊपर से नीचे उतारा गया डीआधार पर एसीडी 1 (चित्र 2)।

आइए पिरामिड के आयतन की गणना करें एसीडी 1 डीदो रास्ते हैं।

गणना करते समय सबसे पहले हम ∆ को आधार मानते हैं एसीडी 1 तो

दूसरे तरीके से गणना करते समय हम ∆ को आधार मानते हैं एसीडी, तब

आइए हम अंतिम दो समानताओं के दाएँ हाथ की तुलना करें और प्राप्त करें

चित्र 2. दूसरी विधि

समकोण त्रिभुज से एसीडी, जोड़ना 1 , सीडीडी 1 पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण ज्ञात कीजिए

एसीडी

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें एसीडी 1 हेरोन के सूत्र का उपयोग करना

उत्तर: ।

3 रास्ता. समन्वय विधि.

एक बिंदु दिया जाए एम(एक्स 0 ,य 0 ,जेड 0) और विमान α , समीकरण द्वारा दिया गया कुल्हाड़ी+द्वारा+सी.जे+डी=0 एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में। बिंदु से दूरी एमसमतल α की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें (चित्र 3)। एक बिंदु पर निर्देशांक की उत्पत्ति में;

सीधा अब- एक्सिस एक्स, सीधा सूरज- एक्सिस य, सीधा बी बी 1 - अक्ष जेड.

चित्र 3. तीसरी विधि

बी(0,0,0), ए(2,0,0), साथ(0,4,0), डी(2,4,0), डी 1 (2,4,6).

होने देना एएक्स+द्वारा+ सी.जे+ डी=0 – समतल समीकरण एसीडी 1 . इसमें बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करना ए, सी, डी 1 हमें मिलता है:

समतल समीकरण एसीडी 1 फॉर्म लेगा

उत्तर: ।

4 तरफा। वेक्टर विधि.

आइए आधार का परिचय दें (चित्र 4), .

चित्र 4. चौथी विधि

आइए हम अंतरिक्ष में एक निश्चित समतल π और एक मनमाना बिंदु M 0 पर विचार करें। आइए विमान के लिए चयन करें इकाई सामान्य वेक्टरएन के साथ शुरुआतकिसी बिंदु M 1 ∈ π पर, और मान लीजिए p(M 0 ,π) बिंदु M 0 से समतल π की दूरी है। फिर (चित्र 5.5)

р(М 0 ,π) = | पीआर एन एम 1 एम 0 | = |एनएम 1 एम 0 |, (5.8)

चूँकि |n| = 1.

यदि π समतल दिया गया है अपने सामान्य समीकरण के साथ आयताकार समन्वय प्रणाली Ax + By + Cz + D = 0, तो इसका सामान्य वेक्टर निर्देशांक (A; B; C) वाला वेक्टर है और हम चुन सकते हैं

मान लीजिए (x 0 ; y 0 ; z 0) और (x 1 ; y 1 ; z 1) बिंदु M 0 और M 1 के निर्देशांक हैं। तब समानता Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 कायम रहती है, क्योंकि बिंदु M 1 समतल से संबंधित है, और वेक्टर M 1 M 0 के निर्देशांक पाए जा सकते हैं: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). रिकॉर्डिंग अदिश उत्पादएनएम 1 एम 0 समन्वय रूप में और रूपांतरित (5.8) हम प्राप्त करते हैं

चूँकि Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. इसलिए, एक बिंदु से एक विमान की दूरी की गणना करने के लिए, आपको बिंदु के निर्देशांक को विमान के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा, और फिर पूर्ण मान को विभाजित करना होगा संबंधित सामान्य वेक्टर की लंबाई के बराबर एक सामान्यीकरण कारक द्वारा परिणाम।

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