त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन.
समाधान के उदाहरण

इस पाठ में हम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलों को देखेंगे, अर्थात् समाकलों की पूर्ति विभिन्न संयोजनों में ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट से होगी। सभी उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण किया जाएगा, एक चायदानी के लिए भी सुलभ और समझने योग्य।

त्रिकोणमितीय कार्यों के इंटीग्रल्स का सफलतापूर्वक अध्ययन करने के लिए, आपको सबसे सरल इंटीग्रल्स की अच्छी समझ होनी चाहिए, साथ ही कुछ एकीकरण तकनीकों में भी महारत हासिल होनी चाहिए। आप व्याख्यानों में इन सामग्रियों से परिचित हो सकते हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान के उदाहरणऔर ।

और अब हमें चाहिए: अभिन्नों की तालिका, व्युत्पन्न तालिकाऔर त्रिकोणमितीय सूत्रों की निर्देशिका. सभी शिक्षण सहायक सामग्री पृष्ठ पर पाई जा सकती है गणितीय सूत्र और तालिकाएँ. मैं सब कुछ प्रिंट करने की सलाह देता हूं। मैं विशेष रूप से त्रिकोणमितीय सूत्रों पर ध्यान केंद्रित करता हूँ, वे आपकी आंखों के सामने होने चाहिए- इसके बिना, कार्य कुशलता में उल्लेखनीय कमी आएगी।

लेकिन पहले, इस लेख में इंटीग्रल क्या हैं इसके बारे में नहीं. प्रपत्र का कोई अभिन्न अंग नहीं हैं, - कोज्या, ज्या, कुछ बहुपद से गुणा (कम अक्सर स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के साथ कुछ)। ऐसे अभिन्नों को भागों द्वारा एकीकृत किया जाता है, और विधि सीखने के लिए, भागों द्वारा एकीकरण पाठ पर जाएँ। समाधान के उदाहरण। इसके अलावा यहां "मेहराब" के साथ कोई अभिन्न अंग नहीं हैं - आर्कटेंजेंट, आर्कसाइन इत्यादि, वे भी अक्सर भागों द्वारा एकीकृत होते हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन ज्ञात करते समय, कई विधियों का उपयोग किया जाता है:

(4) हम सारणीबद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं अंतर केवल इतना है कि "X" के स्थान पर हमारे पास एक जटिल अभिव्यक्ति है।

उदाहरण 2

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

उन लोगों के लिए शैली का एक क्लासिक जो प्रतिस्पर्धा में डूब रहे हैं। जैसा कि आपने शायद देखा होगा, अभिन्नों की तालिका में स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का कोई अभिन्न अंग नहीं है, लेकिन, फिर भी, ऐसे अभिन्न पाए जा सकते हैं।

(1) हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं

(2) हम फ़ंक्शन को विभेदक चिह्न के अंतर्गत लाते हैं।

(3) हम तालिका अभिन्न का उपयोग करते हैं .

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, पूर्ण समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

हमारी डिग्रियाँ धीरे-धीरे बढ़ेंगी =)।
सबसे पहले समाधान:

(1) हम सूत्र का उपयोग करते हैं

(2) हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं , जिससे यह अनुसरण होता है .

(3) अंश को हर से विभाजित करें, पद दर पद।

(4) हम अनिश्चितकालीन अभिन्न की रैखिकता संपत्ति का उपयोग करते हैं।

(5) हम तालिका का उपयोग करके एकीकृत करते हैं।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, पूर्ण समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के अभिन्न अंग भी होते हैं, जो उच्च घात में होते हैं। पाठ में स्पर्शरेखा घन के समाकलन पर चर्चा की गई है एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें?चौथी और पाँचवीं घात की स्पर्शरेखा (कोटेंजेंट) का समाकलन पृष्ठ पर प्राप्त किया जा सकता है जटिल अभिन्न अंग.

इंटीग्रैंड की डिग्री को कम करना

यह तकनीक तब काम करती है जब इंटीग्रैंड फ़ंक्शन साइन और कोसाइन से भरे होते हैं यहां तक ​​कीडिग्री. डिग्री को कम करने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करें , और, और अंतिम सूत्र अक्सर विपरीत दिशा में प्रयोग किया जाता है: .

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

समाधान:

सिद्धांत रूप में, यहां कुछ भी नया नहीं है, सिवाय इसके कि हमने सूत्र लागू किया है (इंटीग्रैंड की डिग्री कम करना)। कृपया ध्यान दें कि मैंने समाधान छोटा कर दिया है। जैसे-जैसे आप अनुभव प्राप्त करते हैं, का अभिन्न अंग मौखिक रूप से पाया जा सकता है; इससे समय की बचत होती है और कार्य पूरा करते समय यह काफी स्वीकार्य है। इस मामले में, नियम का वर्णन न करने की सलाह दी जाती है , पहले हम मौखिक रूप से 1 का अभिन्न अंग लेते हैं, फिर का।

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, पूर्ण समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

यह वादा किया गया डिग्री वृद्धि है:

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

पहले समाधान, फिर टिप्पणियाँ:

(1) सूत्र को लागू करने के लिए इंटीग्रैंड तैयार करें .

(2) हम वास्तव में सूत्र लागू करते हैं।

(3) हम हर का वर्ग करते हैं और अचर को पूर्ण चिह्न से बाहर निकालते हैं। इसे थोड़ा अलग तरीके से किया जा सकता था, लेकिन, मेरी राय में, यह अधिक सुविधाजनक था।

(4) हम सूत्र का उपयोग करते हैं

(5) तीसरे पद में हम फिर से डिग्री कम करते हैं, लेकिन सूत्र का उपयोग करके .

(6) हम समान पद प्रस्तुत करते हैं (यहां मैंने पद को पद से विभाजित किया है और जोड़ दिया)।

(7) दरअसल, हम अभिन्न, रैखिकता नियम लेते हैं और किसी फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत समाहित करने की विधि मौखिक रूप से की जाती है।

(8) उत्तर मिलाना।

! अनिश्चितकालीन अभिन्न में, उत्तर अक्सर कई तरीकों से लिखा जा सकता है

अभी विचार किए गए उदाहरण में, अंतिम उत्तर अलग तरीके से लिखा जा सकता था - कोष्ठक खोलना और यहां तक ​​कि अभिव्यक्ति को एकीकृत करने से पहले ऐसा करना, यानी, उदाहरण का निम्नलिखित अंत काफी स्वीकार्य है:

यह बहुत संभव है कि यह विकल्प और भी अधिक सुविधाजनक हो, मैंने इसे वैसे ही समझाया जैसे मैं स्वयं इसे हल करने का आदी हूँ)। स्वतंत्र समाधान के लिए यहां एक और विशिष्ट उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

इस उदाहरण को दो तरीकों से हल किया जा सकता है, और आप सफल हो सकते हैं दो बिल्कुल अलग उत्तर(अधिक सटीक रूप से, वे पूरी तरह से अलग दिखेंगे, लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से वे समतुल्य होंगे)। सबसे अधिक संभावना है, आपको सबसे तर्कसंगत विधि नहीं दिखेगी और कोष्ठक खोलने और अन्य त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करने में परेशानी होगी। सबसे प्रभावी समाधान पाठ के अंत में दिया गया है।

अनुच्छेद को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: प्रपत्र का कोई भी अभिन्न अंग , और कहां - यहां तक ​​कीसंख्याओं को समाकलन की डिग्री को कम करने की विधि द्वारा हल किया जाता है।
व्यवहार में, मुझे 8 और 10 डिग्री वाले इंटीग्रल मिले और मुझे डिग्री को कई बार कम करके उनकी भयानक गड़बड़ी को हल करना पड़ा, जिसके परिणामस्वरूप लंबे, लंबे उत्तर मिले।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

जैसा कि लेख में बताया गया है अनिश्चितकालीन अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए मुख्य शर्त यह तथ्य है कि इंटीग्रैंड में एक निश्चित फ़ंक्शन और उसका व्युत्पन्न होता है:
(कार्य आवश्यक रूप से उत्पाद में नहीं हैं)

उदाहरण 11

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

हम डेरिवेटिव की तालिका को देखते हैं और सूत्रों पर ध्यान देते हैं, , अर्थात्, हमारे इंटीग्रैंड में एक फ़ंक्शन और उसका व्युत्पन्न है। हालाँकि, हम देखते हैं कि विभेदन के दौरान, कोसाइन और साइन परस्पर एक-दूसरे में बदल जाते हैं, और सवाल उठता है: चर में परिवर्तन कैसे करें और साइन या कोसाइन से हमारा क्या मतलब है?! प्रश्न को वैज्ञानिक प्रहार द्वारा हल किया जा सकता है: यदि हम प्रतिस्थापन गलत तरीके से करते हैं, तो इससे कुछ भी अच्छा नहीं होगा।

एक सामान्य दिशानिर्देश: समान मामलों में, आपको उस फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जो हर में है।

हम समाधान को बाधित करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं

हर में सब कुछ ठीक है, सब कुछ केवल पर निर्भर करता है, अब यह पता लगाना बाकी है कि यह क्या बनेगा।
ऐसा करने के लिए, हम अंतर पाते हैं:

या, संक्षेप में:
परिणामी समानता से, अनुपात के नियम का उपयोग करके, हम वह अभिव्यक्ति व्यक्त करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है:

इसलिए:

अब हमारा पूरा इंटीग्रैंड पर ही निर्भर है और हम समाधान जारी रख सकते हैं

तैयार। मैं आपको याद दिला दूं कि प्रतिस्थापन का उद्देश्य इंटीग्रैंड को सरल बनाना है; इस मामले में, सब कुछ तालिका के अनुसार पावर फ़ंक्शन को एकीकृत करने के लिए नीचे आया।

यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने इस उदाहरण का इतने विस्तार से वर्णन किया; यह पाठ सामग्री की पुनरावृत्ति और सुदृढीकरण के उद्देश्य से किया गया था अनिश्चितकालीन अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि.

और अब आपके अपने समाधान के लिए दो उदाहरण:

उदाहरण 12

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

उदाहरण 13

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

पाठ के अंत में संपूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 14

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

यहां फिर से, इंटीग्रैंड में, साइन और कोसाइन (व्युत्पन्न के साथ एक फ़ंक्शन) हैं, लेकिन उत्पाद में, और एक दुविधा उत्पन्न होती है - साइन या कोसाइन से हमारा क्या मतलब है?

आप वैज्ञानिक पद्धति का उपयोग करके प्रतिस्थापन करने का प्रयास कर सकते हैं, और यदि कुछ भी काम नहीं करता है, तो इसे किसी अन्य फ़ंक्शन के रूप में नामित करें, लेकिन यह है:

सामान्य दिशानिर्देश: आपको उस फ़ंक्शन को नामित करने की आवश्यकता है, जो आलंकारिक रूप से बोल रहा है, "असुविधाजनक स्थिति" में है.

हम देखते हैं कि इस उदाहरण में, छात्र कोसाइन डिग्री से "पीड़ित" होता है, और साइन अपने आप स्वतंत्र रूप से बैठता है।

इसलिए, आइए एक प्रतिस्थापन करें:

यदि किसी को अभी भी किसी चर को बदलने और अंतर खोजने के एल्गोरिदम में कठिनाई हो रही है, तो आपको पाठ पर वापस लौटना चाहिए अनिश्चितकालीन अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि.

उदाहरण 15

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

आइए इंटीग्रैंड का विश्लेषण करें, इसे किससे दर्शाया जाना चाहिए?
आइए हमारे दिशानिर्देश याद रखें:
1) फ़ंक्शन हर में सबसे अधिक संभावित है;
2) फ़ंक्शन "असुविधाजनक स्थिति" में है।

वैसे, ये दिशानिर्देश न केवल त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए मान्य हैं।

साइन दोनों मानदंडों (विशेषकर दूसरे) पर फिट बैठता है, इसलिए प्रतिस्थापन स्वयं ही सुझाता है। सिद्धांत रूप में, प्रतिस्थापन पहले से ही किया जा सकता है, लेकिन पहले यह पता लगाना अच्छा होगा कि क्या करना है? सबसे पहले, हम एक कोसाइन को "चुटकी" देते हैं:

हम अपने "भविष्य" अंतर के लिए आरक्षित रखते हैं

और हम इसे मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके साइन के माध्यम से व्यक्त करते हैं:

अब यहाँ प्रतिस्थापन है:

सामान्य नियम: यदि समाकलन में त्रिकोणमितीय फलनों (साइन या कोसाइन) में से एक है विषमडिग्री, तो आपको विषम डिग्री से एक फ़ंक्शन को "काटना" होगा, और इसके पीछे एक और फ़ंक्शन नामित करना होगा।हम केवल अभिन्नों के बारे में बात कर रहे हैं जहां कोसाइन और साइन हैं।

विचारित उदाहरण में, हमारे पास विषम घात पर एक कोज्या थी, इसलिए हमने घात से एक कोज्या को हटा दिया, और इसे एक ज्या के रूप में नामित किया।

उदाहरण 16

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

डिग्रियाँ ख़त्म हो रही हैं =)।
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि का एक सामान्य मामला है। आप इसका उपयोग तब करने का प्रयास कर सकते हैं जब आप "नहीं जानते कि क्या करना है।" लेकिन वास्तव में इसके आवेदन के लिए कुछ दिशानिर्देश हैं। विशिष्ट इंटीग्रल जहां सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन को लागू करने की आवश्यकता होती है, वे निम्नलिखित इंटीग्रल हैं: , , , वगैरह।

उदाहरण 17

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

इस मामले में सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन निम्नलिखित तरीके से लागू किया गया है। आइए प्रतिस्थापित करें: . मैं पत्र का उपयोग नहीं करता, बल्कि पत्र का उपयोग करता हूं, यह किसी प्रकार का नियम नहीं है, यह सिर्फ इतना है कि, मैं चीजों को इस तरह से हल करने का आदी हूं।

यहां अंतर ढूंढना अधिक सुविधाजनक है; इसके लिए, समानता से, मैं व्यक्त करता हूं:
मैं दोनों भागों में एक चापस्पर्शज्या जोड़ता हूँ:

आर्कटैन्जेंट और टैन्जेंट एक दूसरे को रद्द करते हैं:

इस प्रकार:

व्यवहार में, आपको इसका इतने विस्तार से वर्णन करने की ज़रूरत नहीं है, बल्कि केवल तैयार परिणाम का उपयोग करें:

! अभिव्यक्ति केवल तभी मान्य है जब साइन और कोसाइन के तहत हमारे पास अभिन्न के लिए बस "एक्स" है (जिसके बारे में हम बाद में बात करेंगे) सब कुछ थोड़ा अलग होगा!

प्रतिस्थापित करते समय, साइन और कोसाइन निम्नलिखित भिन्नों में बदल जाते हैं:
, , ये समानताएं प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्रों पर आधारित हैं: ,

तो, अंतिम डिज़ाइन इस तरह दिख सकता है:

आइए एक सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन करें:

भागों द्वारा अभिन्नों के समाधान के उदाहरणों पर विस्तार से विचार किया गया है, जिसका समाकलन एक बहुपद का गुणनफल एक घातांक (e से x घात) या एक ज्या (sin x) या एक कोज्या (cos x) द्वारा होता है।

सामग्री

यह सभी देखें: भागों द्वारा एकीकरण की विधि
अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका
अनिश्चितकालीन अभिन्नों की गणना के लिए तरीके
बुनियादी प्राथमिक कार्य और उनके गुण

भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र

इस खंड में उदाहरणों को हल करते समय, भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग किया जाता है:
;
.

एक बहुपद और पाप x, cos x या e x के गुणनफल वाले अभिन्नों के उदाहरण

यहां ऐसे अभिन्नों के उदाहरण दिए गए हैं:
, , .

ऐसे अभिन्नों को एकीकृत करने के लिए, बहुपद को u से और शेष भाग को v dx से दर्शाया जाता है। इसके बाद, भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण लागू करें।

नीचे इन उदाहरणों का विस्तृत समाधान दिया गया है।

अभिन्नों को हल करने के उदाहरण

एक्स की घात के लिए घातांक, ई के साथ उदाहरण

अभिन्न का निर्धारण करें:
.

आइए हम विभेदक चिह्न के अंतर्गत घातांक का परिचय दें:
ई - एक्स डीएक्स = - ई - एक्स डी(-एक्स) = - डी(ई - एक्स).

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें।

यहाँ
.
हम शेष अभिन्न को भी भागों द्वारा एकीकृत करते हैं।
.
.
.
अंततः हमारे पास है:
.

साइन के साथ इंटीग्रल को परिभाषित करने का एक उदाहरण

अभिन्न की गणना करें:
.

आइए अंतर चिह्न के अंतर्गत साइन का परिचय दें:

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें।

यहाँ u = x 2 , v = क्योंकि(2 x+3), डु = ( एक्स 2 )′ डीएक्स

हम शेष अभिन्न को भी भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। ऐसा करने के लिए, अंतर चिह्न के नीचे कोसाइन का परिचय दें।


यहाँ u = x, v = पाप(2 x+3), डु = डीएक्स

अंततः हमारे पास है:

बहुपद और कोज्या के गुणनफल का उदाहरण

अभिन्न की गणना करें:
.

आइए अंतर चिह्न के अंतर्गत कोज्या का परिचय दें:

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें।

यहाँ u = x 2 + 3 एक्स + 5, वी = पाप 2 एक्स, डु = ( एक्स 2 + 3 एक्स + 5 )′ डीएक्स

फॉर्म R(sin x, cos x) के तर्कसंगत कार्यों को एकीकृत करने के लिए, एक प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है, जिसे सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन कहा जाता है। तब । सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप अक्सर बड़ी गणनाएँ होती हैं। इसलिए, जब भी संभव हो, निम्नलिखित प्रतिस्थापनों का उपयोग करें।

कार्यों का एकीकरण तर्कसंगत रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों पर निर्भर करता है

1. फॉर्म के इंटीग्रल ∫ syn n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
ए) यदि n विषम है, तो अंतर के चिह्न के तहत synx (या cosx) की एक शक्ति दर्ज की जानी चाहिए, और शेष सम शक्ति से विपरीत फ़ंक्शन को पारित किया जाना चाहिए।
बी) यदि n सम है, तो हम डिग्री को कम करने के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं
2. फॉर्म का इंटीग्रल ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , जहां n एक पूर्णांक है।
सूत्रों का प्रयोग अवश्य करना चाहिए

3. फॉर्म का इंटीग्रल ∫ syn n x cos m x dx
a) मान लीजिए कि m और n अलग-अलग समता वाले हैं। यदि n विषम है तो हम प्रतिस्थापन t=sin x का उपयोग करते हैं या यदि m विषम है तो t=cos x का उपयोग करते हैं।
बी) यदि एम और एन सम हैं, तो हम डिग्री को कम करने के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. रूप का अभिन्न अंग
यदि संख्याएँ m और n समान समता के हैं, तो हम प्रतिस्थापन t=tg x का उपयोग करते हैं। त्रिकोणमितीय इकाई तकनीक का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है।
5. ∫ पाप(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ पाप(mx) पाप(nx)dx

आइए त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल को उनके योग में बदलने के लिए सूत्रों का उपयोग करें:

• पाप α क्योंकि β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• पाप α पाप β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

उदाहरण
1. समाकलन ∫ cos 4 x·sin 3 xdx की गणना करें।
हम प्रतिस्थापन cos(x)=t बनाते हैं। तब ∫ cos 4 x पाप 3 xdx =
2. अभिन्न की गणना करें.
प्रतिस्थापन पाप x=t करने पर, हमें प्राप्त होता है

3. अभिन्न का पता लगाएं.
हम प्रतिस्थापन tg(x)=t करते हैं। प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

फॉर्म R(sinx, cosx) के भावों को एकीकृत करना

उदाहरण क्रमांक 1. अभिन्नों की गणना करें:

समाधान।
ए) फॉर्म आर (sinx, cosx) के भावों का एकीकरण, जहां R, syn x और cos x का एक तर्कसंगत कार्य है, सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन tg (x/2) = t का उपयोग करके तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग में परिवर्तित किया जाता है।
तो हमारे पास हैं

एक सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन फॉर्म ∫ R(sinx, cosx) dx के अभिन्न अंग से भिन्नात्मक तर्कसंगत फ़ंक्शन के अभिन्न अंग तक जाना संभव बनाता है, लेकिन अक्सर ऐसे प्रतिस्थापन से बोझिल अभिव्यक्तियां होती हैं। कुछ शर्तों के तहत, सरल प्रतिस्थापन प्रभावी होते हैं:

• यदि समानता R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx संतुष्ट है, तो प्रतिस्थापन cos x = t लागू किया जाता है।
• यदि समानता R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx कायम है, तो प्रतिस्थापन पाप x = t है।
• यदि समानता R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx कायम है, तो प्रतिस्थापन tgx = t या ctg x = t है।

इस मामले में, अभिन्न को खोजने के लिए
आइए हम सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन tg(x/2) = t लागू करें।
उत्तर दो:

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। अभिन्नों की तालिका. सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन समाकलन। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र.

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन समाकलन। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)।
पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग।	पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग।
एक इंटीग्रल जो पावर फ़ंक्शन के इंटीग्रल को कम कर देता है यदि x को अंतर चिह्न के तहत संचालित किया जाता है।
	एक घातांक का अभिन्न अंग, जहां a एक स्थिर संख्या है।
एक जटिल घातांकीय फलन का अभिन्न अंग।	एक घातांकीय फलन का अभिन्न अंग.
प्राकृतिक लघुगणक के बराबर एक अभिन्न अंग।	अभिन्न: "लंबा लघुगणक"।
	अभिन्न: "लंबा लघुगणक"।
अभिन्न: "उच्च लघुगणक"।	एक अभिन्न, जहां अंश में x को अंतर चिह्न के नीचे रखा जाता है (चिह्न के नीचे स्थिरांक को या तो जोड़ा या घटाया जा सकता है), अंततः प्राकृतिक लघुगणक के बराबर एक अभिन्न अंग के समान होता है।
अभिन्न: "उच्च लघुगणक"।
कोसाइन अभिन्न.	साइन इंटीग्रल.
स्पर्शरेखा के बराबर अभिन्न.	कोटैंजेंट के बराबर अभिन्न।
आर्कसाइन और आर्ककोसाइन दोनों के बराबर अभिन्न
आर्कसाइन और आर्ककोसाइन दोनों के बराबर एक अभिन्न अंग।	आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट दोनों के बराबर एक अभिन्न अंग।
सहसंयोजक के बराबर समाकलन.	इंटीग्रल सेकेंट के बराबर।
आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।	आर्कोसेसेंट के बराबर इंटीग्रल।
आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।	आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।
अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या के बराबर समाकलन.	हाइपरबोलिक कोसाइन के बराबर इंटीग्रल।
हाइपरबोलिक साइन के बराबर इंटीग्रल, जहां अंग्रेजी संस्करण में cinx हाइपरबोलिक साइन है।	हाइपरबोलिक कोसाइन के बराबर इंटीग्रल, जहां अंग्रेजी संस्करण में cinx हाइपरबोलिक साइन है।
अतिपरवलयिक स्पर्शज्या के बराबर समाकलन.	हाइपरबोलिक कोटैंजेंट के बराबर इंटीग्रल।
अतिशयोक्तिपूर्ण सेकेंट के बराबर अभिन्न।	अतिपरवलयिक सहसंयोजक के बराबर समाकलन।

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। एकीकरण नियम.

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र। एकीकरण के नियम।
किसी उत्पाद (फ़ंक्शन) को एक स्थिरांक द्वारा एकीकृत करना:
कार्यों का योग एकीकृत करना:
अनिश्चितकालीन अभिन्न:
भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र निश्चित अभिन्न:
न्यूटन-लीबनिज सूत्र निश्चित अभिन्न:	जहाँ F(a),F(b) क्रमशः बिंदु b और a पर प्रतिअवकलन के मान हैं।

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न। उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

यदि x एक स्वतंत्र चर है, तो:

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न।"तालिका व्युत्पन्न" - हाँ, दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर उन्हें इसी प्रकार खोजा जाता है
	एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न
	प्रतिपादक की व्युत्पत्ति
एक जटिल घातीय फलन का व्युत्पन्न	घातीय फलन का व्युत्पन्न
लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न	प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
	किसी फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
साइन का व्युत्पन्न	कोसाइन का व्युत्पन्न
सहसंयोजक का व्युत्पन्न	सेकेंट का व्युत्पन्न
आर्कसीन का व्युत्पन्न	आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
आर्कसीन का व्युत्पन्न	आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
स्पर्शरेखा व्युत्पन्न	कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न	चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न	चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्सेकेंट का व्युत्पन्न	आर्कोसेक्टेंट का व्युत्पन्न
आर्सेकेंट का व्युत्पन्न	आर्कोसेक्टेंट का व्युत्पन्न
हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न अंग्रेजी संस्करण में हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न	हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न अंग्रेजी संस्करण में हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न
अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या का व्युत्पन्न	हाइपरबोलिक कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
अतिपरवलयिक छेदक का व्युत्पन्न	अतिपरवलयिक सहसंयोजक का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम. उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.
किसी स्थिरांक द्वारा किसी उत्पाद (फ़ंक्शन) का व्युत्पन्न:
योग का व्युत्पन्न (कार्य):
उत्पाद का व्युत्पन्न (कार्य):
भागफल का व्युत्पन्न (कार्यों का):
एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

लघुगणक के गुण. लघुगणक के लिए मूल सूत्र. दशमलव (एलजी) और प्राकृतिक लघुगणक (एलएन)।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान
आइए दिखाते हैं कि a b के रूप के किसी भी फ़ंक्शन को घातांकीय कैसे बनाया जा सकता है। चूँकि e x के रूप का एक फलन घातांकीय कहलाता है
a b के रूप के किसी भी फ़ंक्शन को दस की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है

प्राकृतिक लघुगणक ln (आधार e का लघुगणक = 2.718281828459045...) ln(e)=1; एलएन(1)=0

टेलर श्रृंखला. किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला विस्तार।

इससे पता चलता है कि बहुमत व्यावहारिक रूप से सामना करना पड़ागणितीय कार्यों को किसी निश्चित बिंदु के आसपास किसी भी सटीकता के साथ बढ़ते क्रम में एक चर की शक्तियों वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बिंदु x=1 के आसपास:

श्रृंखला का उपयोग करते समय कहा जाता है टेलर की पंक्तियाँबीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय कार्यों वाले मिश्रित कार्यों को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। श्रृंखला का उपयोग करके, आप अक्सर जल्दी से भेदभाव और एकीकरण कर सकते हैं।

बिंदु a के पड़ोस में टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

1) , जहां f(x) एक फ़ंक्शन है जिसमें x = a पर सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं। आर एन - टेलर श्रृंखला में शेष पद अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

2)

श्रृंखला का k-वें गुणांक (x k पर) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3) टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला मैकलॉरिन (=मैकलारेन) श्रृंखला है (विस्तार बिंदु a=0 के आसपास होता है)

a=0 पर

श्रृंखला के सदस्यों का निर्धारण सूत्र द्वारा किया जाता है

टेलर श्रृंखला का उपयोग करने की शर्तें।

1. फ़ंक्शन f(x) को अंतराल (-R;R) पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके लिए टेलर (मैकलॉरिन (=मैकलारेन)) सूत्र में शेष पद फ़ंक्शन निर्दिष्ट अंतराल (-R;R) पर k →∞ के रूप में शून्य हो जाता है।

2. यह आवश्यक है कि जिस बिंदु के आसपास हम टेलर श्रृंखला का निर्माण करने जा रहे हैं, उस बिंदु पर किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हों।

टेलर श्रृंखला के गुण.

यदि f एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है, तो इसकी टेलर श्रृंखला f की परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर a के कुछ पड़ोस में f में परिवर्तित हो जाती है।

ऐसे अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न कार्य हैं जिनकी टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, लेकिन साथ ही ए के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन से भिन्न होती है। उदाहरण के लिए:

टेलर श्रृंखला का उपयोग बहुपदों द्वारा किसी फ़ंक्शन के सन्निकटन में किया जाता है (अनुमान एक वैज्ञानिक विधि है जिसमें कुछ वस्तुओं को दूसरों के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है, एक अर्थ में या मूल के करीब, लेकिन सरल)। विशेष रूप से, रैखिककरण ((रैखिक से - रैखिक), बंद गैर-रेखीय प्रणालियों के अनुमानित प्रतिनिधित्व के तरीकों में से एक, जिसमें एक गैर-रेखीय प्रणाली के अध्ययन को एक रैखिक प्रणाली के विश्लेषण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, कुछ अर्थों में मूल के बराबर .) टेलर श्रृंखला में विस्तार करके और पहले क्रम से ऊपर के सभी पदों को काटकर समीकरण बनते हैं।

इस प्रकार, लगभग किसी भी फ़ंक्शन को दी गई सटीकता के साथ बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=मैकलारेन, टेलर बिंदु 0 के आसपास) और टेलर बिंदु 1 के आसपास। टेलर और मैकलारेन श्रृंखला में मुख्य कार्यों के विस्तार की पहली शर्तें।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=बिंदु 0 के आसपास मैकलेरन, टेलर)

बिंदु 1 के आसपास कुछ सामान्य टेलर श्रृंखला विस्तार के उदाहरण