द्विघात समीकरणों को ऑनलाइन हल करें। समीकरण का समाधान x2 = a समीकरण के समाधान की जाँच करना

7वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में हमारा पहली बार सामना होता है दो चर वाले समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात वाले समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला जिसमें समीकरण के गुणांकों पर कुछ शर्तें पेश की जाती हैं जो उन्हें सीमित करती हैं, दृष्टि से ओझल हो जाती हैं। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्णांक संख्याओं में एक समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीकों को भी नजरअंदाज कर दिया जाता है, हालांकि इस तरह की समस्याएं एकीकृत राज्य परीक्षा सामग्री और प्रवेश परीक्षाओं में अधिक से अधिक बार पाई जाती हैं।

किस समीकरण को दो चर वाला समीकरण कहा जाएगा?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, या xy = 12 दो चर वाले समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y = 1 पर विचार करें। यह तब सत्य हो जाता है जब x = 2 और y = 3 होता है, इसलिए चर मानों की यह जोड़ी प्रश्न में समीकरण का एक समाधान है।

इस प्रकार, दो चर वाले किसी भी समीकरण का समाधान क्रमित जोड़े (x; y) का एक सेट है, चर के मान जो इस समीकरण को वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

दो अज्ञात के साथ एक समीकरण हो सकता है:

ए) एक समाधान है.उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 का एक अद्वितीय समाधान है (0; 0);

बी) अनेक समाधान हैं.उदाहरण के लिए, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 के 4 समाधान हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

वी) कोई समाधान नहीं है.उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 = 0 का कोई समाधान नहीं है;

जी) अनंत रूप से कई समाधान हैं.उदाहरण के लिए, x + y = 3. इस समीकरण के समाधान वे संख्याएँ होंगी जिनका योग 3 के बराबर है। इस समीकरण के समाधानों का सेट (k; 3 - k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई वास्तविक है संख्या।

दो चर वाले समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ गुणनखंडन अभिव्यक्तियों पर आधारित विधियाँ हैं, एक पूर्ण वर्ग को अलग करना, द्विघात समीकरण के गुणों, सीमित अभिव्यक्तियों और अनुमान विधियों का उपयोग करना। समीकरण को आमतौर पर एक ऐसे रूप में बदल दिया जाता है जिससे अज्ञात को खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।

गुणन

उदाहरण 1।

समीकरण हल करें: xy – 2 = 2x – y.

समाधान।

हम गुणनखंडन के उद्देश्य से शब्दों को समूहित करते हैं:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. प्रत्येक कोष्ठक से हम एक सामान्य गुणनखंड निकालते हैं:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. हमारे पास है:

y = 2, x - कोई वास्तविक संख्या या x = -1, y - कोई वास्तविक संख्या।

इस प्रकार, उत्तर फॉर्म (x; 2), x € R और (-1; y), y € R के सभी जोड़े हैं।

गैर-ऋणात्मक संख्याओं की शून्य से समानता

उदाहरण 2.

समीकरण हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

समाधान।

समूहन:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. अब प्रत्येक ब्रैकेट को वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है।

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

दो गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियों का योग केवल तभी शून्य होता है जब 3x - 2 = 0 और 2y - 3 = 0 हो।

इसका मतलब है x = 2/3 और y = 3/2.

उत्तर: (2/3; 3/2).

आकलन विधि

उदाहरण 3.

समीकरण हल करें: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

समाधान।

प्रत्येक कोष्ठक में हम एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2। आइए अनुमान लगाएं कोष्ठक में भावों का अर्थ.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 और (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, तो समीकरण का बायां पक्ष हमेशा कम से कम 2 होता है। समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 = 1 और (y – 2) 2 + 2 = 2, जिसका अर्थ है x = -1, y = 2।

उत्तर: (-1; 2).

आइए दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों को हल करने की एक अन्य विधि से परिचित हों। इस पद्धति में समीकरण को इस प्रकार मानना ​​शामिल है कुछ चर के संबंध में वर्ग.

उदाहरण 4.

समीकरण हल करें: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

समाधान।

आइए समीकरण को x के द्विघात समीकरण के रूप में हल करें। आइए विभेदक खोजें:

डी = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2. समीकरण का हल केवल तभी होगा जब D = 0, अर्थात यदि y = 4 हो। हम मूल समीकरण में y का मान प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं कि x = 3 है।

उत्तर: (3; 4).

अक्सर दो अज्ञात वाले समीकरणों में वे संकेत देते हैं चर पर प्रतिबंध.

उदाहरण 5.

समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

समाधान।

आइए समीकरण को x 2 = -5y 2 + 20x + 2 के रूप में फिर से लिखें। परिणामी समीकरण का दाहिना पक्ष 5 से विभाजित करने पर 2 शेषफल देता है। इसलिए, x 2, 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन a का वर्ग 5 से विभाज्य न होने वाली संख्या 1 या 4 का शेषफल देती है। इस प्रकार, समानता असंभव है और इसका कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

उदाहरण 6.

समीकरण हल करें: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

समाधान।

आइए प्रत्येक कोष्ठक में पूर्ण वर्गों को उजागर करें:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 3 से बड़ा या उसके बराबर होता है। समानता संभव है बशर्ते |x| – 2 = 0 और y + 3 = 0. इस प्रकार, x = ± 2, y = -3.

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7.

समीकरण को संतुष्ट करने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों (x;y) के प्रत्येक जोड़े के लिए
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, योग (x + y) की गणना करें। कृपया अपने उत्तर में सबसे छोटी राशि बताएं।

समाधान।

आइए पूर्ण वर्ग चुनें:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. चूँकि x और y पूर्णांक हैं, उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। यदि हम 1 + 36 जोड़ते हैं तो हमें दो पूर्णांकों के वर्गों का योग 37 के बराबर मिलता है। इसलिए:

(x – y) 2 = 36 और (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 और (y + 2) 2 = 36.

इन प्रणालियों को हल करते हुए और यह ध्यान में रखते हुए कि x और y नकारात्मक हैं, हम समाधान ढूंढते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर:-17.

यदि आपको दो अज्ञात लोगों के साथ समीकरण हल करने में कठिनाई हो तो निराश न हों। थोड़े से अभ्यास से आप किसी भी समीकरण को संभाल सकते हैं।

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I. रैखिक समीकरण

द्वितीय. द्विघातीय समीकरण

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स +सी= 0, ए≠ 0, अन्यथा समीकरण रैखिक हो जाता है

द्विघात समीकरण के मूलों की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है, उदाहरण के लिए:

हम द्विघात समीकरणों को हल करने में अच्छे हैं। उच्च डिग्री के कई समीकरणों को द्विघात समीकरणों में घटाया जा सकता है।

तृतीय. समीकरण द्विघात में सिमट गये।

चर का परिवर्तन: ए) द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2एन+ बीएक्सएन+ सी = 0,ए ≠ 0,एन ≥ 2

2) डिग्री 3 का सममित समीकरण - रूप का समीकरण

3) डिग्री 4 का सममित समीकरण - रूप का समीकरण

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 +बीएक्स + ए = 0, ए≠ 0, गुणांक ए बी सी बी ए या

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 –बीएक्स + ए = 0, ए≠ 0, गुणांक ए बी सी (-बी) ए

क्योंकि एक्स= 0 समीकरण का मूल नहीं है, तो समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करना संभव है एक्स 2, तो हमें मिलता है: .

प्रतिस्थापन करके हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं ए(टी 2 – 2) + बीटी + सी = 0

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण को हल करें एक्स 4 – 2एक्स 3 – एक्स 2 – 2एक्स+ 1 = 0, दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें एक्स 2 ,

, प्रतिस्थापन के बाद हमें समीकरण मिलता है टी 2 – 2टी – 3 = 0

– समीकरण की कोई जड़ नहीं है.

4) फॉर्म का समीकरण ( एक्स-ए)(एक्सबी)(एक्स-सी)(एक्स-डी) = कुल्हाड़ी 2, गुणांक एबी = सीडी

उदाहरण के लिए, ( एक्स+2)(एक्स +3)(एक्स+8)(x+12) = 4 एक्स 2. 1-4 और 2-3 कोष्ठकों को गुणा करने पर, हमें मिलता है ( एक्स 2 + 14एक्स+ 24)(एक्स 2 +11एक्स + 24) = 4एक्स 2, समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें एक्स 2, हमें मिलता है:

हमारे पास है ( टी+ 14)(टी + 11) = 4.

5) घात 2 का सजातीय समीकरण - P(x,y) = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ P(x,y) एक बहुपद है, जिसके प्रत्येक पद की घात 2 है।

उत्तर:-2; -0.5; 0

चतुर्थ. उपरोक्त सभी समीकरण पहचानने योग्य और विशिष्ट हैं, लेकिन मनमाना रूप के समीकरणों के बारे में क्या?

मान लीजिए एक बहुपद दिया गया है पीएन ( एक्स) = एएन एक्सएन+ एएन-1 एक्स n-1 + ...+ ए 1x+ ए 0 , कहाँ एएन ≠ 0

आइए समीकरण की डिग्री कम करने की विधि पर विचार करें।

यह ज्ञात है कि यदि गुणांक एपूर्णांक हैं और ए n = 1, तो समीकरण के पूर्णांक मूल पीएन ( एक्स) = 0 मुक्त पद के विभाजकों में से हैं ए 0 . उदाहरण के लिए, एक्स 4 + 2एक्स 3 – 2एक्स 2 – 6एक्स+5 = 0, संख्या 5 के भाजक संख्या 5 हैं; -5; 1; -1. तब पी 4 (1) = 0, अर्थात एक्स= 1 समीकरण का मूल है. आइए समीकरण की डिग्री कम करें पी 4 (एक्स) = 0 "कोने" वाले बहुपद को गुणनखंड x -1 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

पी 4 (एक्स) = (एक्स – 1)(एक्स 3 + 3एक्स 2 + एक्स – 5).

वैसे ही, पी 3 (1) = 0, फिर पी 4 (एक्स) = (एक्स – 1)(एक्स – 1)(एक्स 2 + 4एक्स+5), अर्थात्। समीकरण पी 4 (x) = 0 के मूल हैं एक्स 1 = एक्स 2 = 1. आइए इस समीकरण का एक छोटा समाधान दिखाएं (हॉर्नर की योजना का उपयोग करके)।

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

मतलब, एक्स 1 = 1 का मतलब है एक्स 2 = 1.

इसलिए, ( एक्स– 1) 2 (एक्स 2 + 4एक्स + 5) = 0

हमने क्या किया? हमने समीकरण की डिग्री कम कर दी।

V. डिग्री 3 और 5 के सममित समीकरणों पर विचार करें।

ए) कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + बीएक्स + ए= 0, जाहिर है एक्स= -1 समीकरण का मूल है, तो हम समीकरण की घात को घटाकर दो कर देते हैं।

बी) कुल्हाड़ी 5 + बीएक्स 4 + सीएक्स 3 + सीएक्स 2 + बीएक्स + ए= 0, जाहिर है एक्स= -1 समीकरण का मूल है, तो हम समीकरण की घात को घटाकर दो कर देते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण 2 का हल दिखाएं एक्स 5 + 3एक्स 4 – 5एक्स 3 – 5एक्स 2 + 3एक्स + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

एक्स = –1

हम पाते हैं ( एक्स – 1) 2 (एक्स + 1)(2एक्स 2 + 5एक्स+ 2) = 0. इसका मतलब है कि समीकरण की जड़ें हैं: 1; 1; -1; -2; –0.5.

VI. यहां कक्षा और घर पर हल करने के लिए विभिन्न समीकरणों की एक सूची दी गई है।

मेरा सुझाव है कि पाठक स्वयं समीकरण 1-7 हल करें और उत्तर प्राप्त करें...

द्विघात समीकरणों का अध्ययन 8वीं कक्षा में किया जाता है, इसलिए यहां कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता नितांत आवश्यक है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a, b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a ≠ 0 है।

विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. बिलकुल एक जड़ हो;
3. उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात समीकरणों और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। यह कैसे निर्धारित करें कि किसी समीकरण के कितने मूल हैं? इसके लिए एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है। तब विभेदक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।

आपको इस सूत्र को दिल से जानना होगा। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है. एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. यदि डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0, तो वास्तव में एक ही मूल है;
3. यदि D > 0, तो दो जड़ें होंगी।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, उनके संकेतों को बिल्कुल नहीं, जैसा कि किसी कारण से कई लोग मानते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप स्वयं सब कुछ समझ जाएंगे:

काम। द्विघात समीकरण के कितने मूल होते हैं:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

आइए पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखें और विवेचक खोजें:
ए = 1, बी = −8, सी = 12;
डी = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

इसलिए विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण के दो अलग-अलग मूल हैं। हम दूसरे समीकरण का विश्लेषण इसी प्रकार करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

विवेचक नकारात्मक है, कोई जड़ें नहीं हैं। शेष अंतिम समीकरण है:
ए = 1; बी = −6; सी = 9;
डी = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

विभेदक शून्य है - जड़ एक होगी।

कृपया ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हाँ, यह लंबा है, हाँ, यह थकाऊ है, लेकिन आप बाधाओं को मिश्रित नहीं करेंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप इसे समझ लें, तो कुछ समय बाद आपको सभी गुणांकों को लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने दिमाग में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। अधिकांश लोग 50-70 समीकरण हल करने के बाद कहीं न कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, उतना नहीं।

द्विघात समीकरण की जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर ही बढ़ते हैं। यदि विवेचक D > 0 है, तो मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूलों के लिए मूल सूत्र

जब D = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलेगी, जो उत्तर होगी। अंततः, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; बी = −2; सी = −3;
डी = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें खोजें:

दूसरा समीकरण:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; बी = −2; सी = 15;
डी = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ समीकरण के फिर से दो मूल हैं। आइए उन्हें खोजें

\[\begin(संरेखित करें) और ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(संरेखित करें)\]

अंत में, तीसरा समीकरण:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ समीकरण का एक मूल है। कोई भी फार्मूला इस्तेमाल किया जा सकता है. उदाहरण के लिए, पहला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनती कर सकते हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित करते समय त्रुटियाँ होती हैं। यहां फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को लिखें - और बहुत जल्द आपको गलतियों से छुटकारा मिल जाएगा।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि एक द्विघात समीकरण परिभाषा में दिए गए समीकरण से थोड़ा अलग होता है। उदाहरण के लिए:

1. एक्स 2 + 9एक्स = 0;
2. एक्स 2 − 16 = 0.

यह नोटिस करना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। ऐसे द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान होता है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं होती है। तो, आइए एक नई अवधारणा का परिचय दें:

समीकरण ax 2 + bx + c = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि b = 0 या c = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b = c = 0. इस मामले में, समीकरण ax 2 = 0 का रूप लेता है। जाहिर है, ऐसे समीकरण का एक ही मूल होता है: x = 0.

आइए शेष मामलों पर विचार करें। मान लीजिए b = 0, तो हमें ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

चूँकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मौजूद होता है, अंतिम समानता केवल (−c /a) ≥ 0 के लिए समझ में आती है। निष्कर्ष:

1. यदि ax 2 + c = 0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण में असमानता (−c /a) ≥ 0 संतुष्ट है, तो दो जड़ें होंगी। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. यदि (−c /a)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं होती है। वास्तव में, असमानता (−c /a) ≥ 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और यह देखने के लिए पर्याप्त है कि समान चिह्न के दूसरी तरफ क्या है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो जड़ें होंगी। यदि यह नकारात्मक है, तो कोई जड़ें नहीं होंगी।

अब आइए ax 2 + bx = 0 के रूप के समीकरण देखें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

जब कम से कम एक कारक शून्य हो तो उत्पाद शून्य होता है। यहीं से जड़ें आती हैं। अंत में, आइए इनमें से कुछ समीकरणों पर नजर डालें:

काम। द्विघात समीकरण हल करें:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि एक वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 = −1.5.

आइए समीकरण x^2=a पर विचार करें, जहां a एक मनमाना संख्या हो सकता है। इस समीकरण को हल करने के तीन मामले हैं, जो संख्या a (a0) द्वारा लिए गए मान पर निर्भर करता है।

आइए प्रत्येक मामले पर अलग से विचार करें।

समीकरण x^2=a के विभिन्न मामलों के उदाहरण

x^2=a, a के लिए<0

चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकता, a के लिए समीकरण x^2=a

x^2=a, a=0 के साथ

इस स्थिति में, समीकरण का एक मूल है। यह मूल संख्या 0 है। चूँकि समीकरण को x*x=0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, इसलिए कभी-कभी यह भी कहा जाता है कि इस समीकरण की दो जड़ें हैं जो एक दूसरे के बराबर हैं और 0 के बराबर हैं।

x^2=a, a>0 के लिए

इस मामले में, समीकरण x^2=a, a के लिए, इसे निम्नानुसार हल किया जाता है। सबसे पहले हम a को बाईं ओर ले जाते हैं।

वर्गमूल की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि a को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: a=(√a)^2. फिर समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

x^2 - (√a)^2 = 0.

बाईं ओर हम वर्गों के अंतर का सूत्र देखते हैं; आइए इसका विस्तार करें।

(x+√a)*(x-√a)=0;

दो कोष्ठकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो। इस तरह,

इसलिए, x1=√a x2=-√a.

इस समाधान को एक ग्राफ बनाकर जांचा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण x^2 = 4 के लिए ऐसा करें।

ऐसा करने के लिए, आपको दो ग्राफ़ y=x^2 और y=4 बनाने होंगे। और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के x निर्देशांक को देखें। जड़ें 2 और -2 होनी चाहिए. तस्वीर में सबकुछ साफ नजर आ रहा है.

क्या आपको अपनी पढ़ाई में मदद चाहिए?

पिछला विषय:

((3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

यहाँ से हम देखते हैं कि एक समीकरण 3 * x – 1 = 0 है।

हमें 3 * x – 1 = 0 के रूप में एक रैखिक समीकरण प्राप्त हुआ

समीकरण को हल करने के लिए, हम यह निर्धारित करते हैं कि समीकरण में कौन से गुण हैं:

• समीकरण रैखिक है, और इसे a * x + b = 0 के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a और b कोई संख्याएँ हैं;
• जब a = b = 0, समीकरण में अनंत संख्या में समाधान होते हैं;
• यदि a = 0, b ≠ 0, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;
• यदि a ≠ 0, b = 0, तो समीकरण का एक हल है: x = 0;
• यदि a और b 0 के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो मूल निम्नलिखित सूत्र x = - b/a का उपयोग करके पाया जाता है।

यहां से हमें पता चलता है कि a = 3, b = - 1, जिसका अर्थ है कि समीकरण का एक मूल है।

समीकरण के हल की जाँच करना

आइए पाए गए मान x = 1/3 को मूल अभिव्यक्ति |3 * x - 1| में प्रतिस्थापित करें = 0, तो हमें मिलता है:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

किसी व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए हम पहले बारी-बारी से गुणा या भाग की गणना करते हैं, फिर जोड़ते या घटाते हैं। अर्थात्, हमें मिलता है:

इसका मतलब है कि x = 1/3 समीकरण का मूल है |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

मॉड्यूल प्लस और माइनस चिह्न के साथ खुलता है। हमें 2 समीकरण मिलते हैं:

1) 3 * एक्स - 1 = 0;

हम ज्ञात मानों को एक तरफ और अज्ञात मानों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करते हैं। मूल्यों को स्थानांतरित करते समय, उनके चिह्न विपरीत चिह्न में बदल जाते हैं। अर्थात्, हमें मिलता है:
3 * एक्स = 0 + 1;
3 * एक्स = 1;
एक्स = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

कोष्ठक खोलना. चूँकि कोष्ठक के सामने ऋण चिह्न होता है, जब उन्हें विस्तारित किया जाता है, तो मानों के चिह्न विपरीत चिह्न में बदल जाते हैं। अर्थात्, हमें मिलता है:
- 3 * एक्स + 1 = 0;
- 3 * एक्स = - 1;
एक्स = - 1/(- 3);
एक्स = 1/3;
उत्तर: x = 1/3.