गति की तात्कालिक गति किसे कहते हैं. मुक्त रूप से गिरते पिंडों से जुड़ी समस्याएं: गतिकी में समस्याओं को हल करने के उदाहरण। कोणीय त्वरण। सूत्र. एस.आई

यह एक सदिश भौतिक मात्रा है, जो संख्यात्मक रूप से उस सीमा के बराबर है, जिस तक औसत गति अनंत समय में चलती है:

दूसरे शब्दों में, तात्कालिक गति समय के साथ त्रिज्या वेक्टर है।

तात्कालिक वेग वेक्टर हमेशा शरीर की गति की दिशा में शरीर के प्रक्षेप पथ पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है।

तात्कालिक गति किसी विशिष्ट समय पर गति के बारे में सटीक जानकारी प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, किसी समय कार चलाते समय, ड्राइवर स्पीडोमीटर को देखता है और देखता है कि डिवाइस 100 किमी/घंटा दिखाता है। कुछ समय बाद, स्पीडोमीटर सुई 90 किमी/घंटा की ओर इशारा करती है, और कुछ मिनट बाद - 110 किमी/घंटा की ओर। सभी सूचीबद्ध स्पीडोमीटर रीडिंग समय के कुछ बिंदुओं पर कार की तात्कालिक गति के मान हैं। अंतरिक्ष स्टेशनों को डॉक करते समय, विमान को उतारते समय, आदि समय के प्रत्येक क्षण और प्रक्षेप पथ के प्रत्येक बिंदु पर गति ज्ञात होनी चाहिए।

क्या "तात्कालिक गति" की अवधारणा का कोई भौतिक अर्थ है? वेग अंतरिक्ष में परिवर्तन की एक विशेषता है। हालाँकि, यह निर्धारित करने के लिए कि आंदोलन कैसे बदल गया है, कुछ समय के लिए आंदोलन का निरीक्षण करना आवश्यक है। यहां तक ​​कि गति को मापने के लिए सबसे उन्नत उपकरण, जैसे कि रडार इंस्टॉलेशन, समय की अवधि में गति को मापते हैं - यद्यपि काफी छोटा है, लेकिन यह अभी भी एक सीमित समय अंतराल है, और समय में एक क्षण नहीं है। यह अभिव्यक्ति "किसी निश्चित समय पर किसी पिंड का वेग" भौतिकी के दृष्टिकोण से सही नहीं है। हालाँकि, तात्कालिक गति की अवधारणा गणितीय गणनाओं में बहुत सुविधाजनक है, और इसका लगातार उपयोग किया जाता है।

"तात्कालिक गति" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

3.1. एक सीधी रेखा में एकसमान गति.

3.1.1. एक सीधी रेखा में एकसमान गति- परिमाण और दिशा में स्थिर त्वरण के साथ एक सीधी रेखा में गति:

3.1.2. त्वरण()- एक भौतिक सदिश राशि जो दर्शाती है कि 1 सेकंड में गति कितनी बदलेगी।

वेक्टर रूप में:

शरीर की प्रारंभिक गति कहां है, समय के क्षण में शरीर की गति क्या है टी.

अक्ष पर प्रक्षेपण में बैल:

अक्ष पर प्रारंभिक वेग का प्रक्षेपण कहां है बैल, - अक्ष पर शरीर के वेग का प्रक्षेपण बैलएक समय में टी.

प्रक्षेपणों के चिह्न सदिशों और अक्ष की दिशा पर निर्भर करते हैं बैल.

3.1.3. समय बनाम त्वरण का प्रक्षेपण ग्राफ।

समान रूप से वैकल्पिक गति के साथ, त्वरण स्थिर होता है, इसलिए यह समय अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देगा (आंकड़ा देखें):

3.1.4. एकसमान गति के दौरान गति.

वेक्टर रूप में:

अक्ष पर प्रक्षेपण में बैल:

समान रूप से त्वरित गति के लिए:

एकसमान धीमी गति के लिए:

3.1.5. गति बनाम समय का प्रक्षेपण ग्राफ.

गति बनाम समय के प्रक्षेपण का ग्राफ एक सीधी रेखा है।

गति की दिशा: यदि ग्राफ़ (या उसका भाग) समय अक्ष से ऊपर है, तो पिंड अक्ष की सकारात्मक दिशा में गति कर रहा है बैल.

त्वरण मान: झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा जितना अधिक होगा (जितना अधिक यह ऊपर या नीचे जाता है), त्वरण मॉड्यूल उतना ही अधिक होगा; समय के साथ गति में परिवर्तन कहां होता है

समय अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: यदि ग्राफ समय अक्ष को प्रतिच्छेद करता है, तो प्रतिच्छेदन बिंदु से पहले शरीर धीमा हो जाता है (समान रूप से धीमी गति), और प्रतिच्छेदन बिंदु के बाद यह विपरीत दिशा में तेजी लाने लगता है (समान रूप से त्वरित गति)।

3.1.6. अक्षों में ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र का ज्यामितीय अर्थ

अक्ष पर ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्र ओएगति विलंबित है, और अक्ष पर है बैल- समय शरीर द्वारा तय किया गया मार्ग है।

चित्र में. 3.5 समान रूप से त्वरित गति का मामला दिखाता है। इस मामले में पथ समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होगा: (3.9)

3.1.7. पथ की गणना के लिए सूत्र

तालिका में प्रस्तुत सभी सूत्र केवल तभी काम करते हैं जब गति की दिशा बनाए रखी जाती है, अर्थात, जब तक सीधी रेखा वेग प्रक्षेपण बनाम समय के ग्राफ पर समय अक्ष के साथ प्रतिच्छेद नहीं करती।

यदि चौराहा हो गया है, तो आंदोलन को दो चरणों में विभाजित करना आसान है:

पार करने से पहले (ब्रेक लगाना):

चौराहे के बाद (त्वरण, विपरीत दिशा में गति)

उपरोक्त सूत्रों में - गति की शुरुआत से समय अक्ष के साथ चौराहे तक का समय (रोकने से पहले का समय), - वह पथ जो शरीर ने गति की शुरुआत से समय अक्ष के साथ चौराहे तक यात्रा की है, - बीता हुआ समय समय अक्ष को पार करने के क्षण से लेकर इस क्षण तक टी, - समय अक्ष को पार करने के क्षण से लेकर इस क्षण तक बीते समय के दौरान शरीर ने जिस पथ पर विपरीत दिशा में यात्रा की है टी, - आंदोलन के पूरे समय के लिए विस्थापन वेक्टर का मॉड्यूल, एल- संपूर्ण गति के दौरान शरीर द्वारा तय किया गया पथ।

3.1.8. वें सेकंड में मूवमेंट.

इस दौरान शरीर निम्नलिखित दूरी तय करेगा:

इस दौरान शरीर निम्नलिखित दूरी तय करेगा:

फिर वें अंतराल के दौरान शरीर निम्नलिखित दूरी तय करेगा:

समय की किसी भी अवधि को अंतराल के रूप में लिया जा सकता है। अक्सर साथ.

फिर 1 सेकंड में शरीर निम्नलिखित दूरी तय करता है:

2 सेकंड में:

3 सेकंड में:

अगर हम ध्यान से देखेंगे तो हमें वो वगैरह दिख जाएगा.

इस प्रकार, हम सूत्र पर पहुंचते हैं:

शब्दों में: समय की क्रमिक अवधियों में किसी पिंड द्वारा तय किए गए पथ एक-दूसरे से विषम संख्याओं की श्रृंखला के रूप में संबंधित होते हैं, और यह उस त्वरण पर निर्भर नहीं करता है जिसके साथ शरीर चलता है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि यह संबंध वैध है

3.1.9. एकसमान गति के लिए पिंड निर्देशांक का समीकरण

समन्वय समीकरण

प्रारंभिक वेग और त्वरण के प्रक्षेपण के संकेत संबंधित वैक्टर और अक्ष की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करते हैं बैल.

समस्याओं को हल करने के लिए, अक्ष पर वेग प्रक्षेपण को बदलने के लिए समीकरण को जोड़ना आवश्यक है:

3.2. सीधीरेखीय गति के लिए गतिक मात्राओं के रेखांकन

3.3. मुक्त पतन शरीर

मुक्त गिरावट से हमारा तात्पर्य निम्नलिखित भौतिक मॉडल से है:

1) गिरावट गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होती है:

2) कोई वायु प्रतिरोध नहीं है (समस्याओं में वे कभी-कभी "वायु प्रतिरोध की उपेक्षा" लिखते हैं);

3) सभी पिंड, द्रव्यमान की परवाह किए बिना, समान त्वरण के साथ गिरते हैं (कभी-कभी वे "शरीर के आकार की परवाह किए बिना" जोड़ते हैं, लेकिन हम केवल एक भौतिक बिंदु की गति पर विचार कर रहे हैं, इसलिए शरीर का आकार अब नहीं लिया जाता है) खाते में);

4) गुरुत्वाकर्षण का त्वरण सख्ती से नीचे की ओर निर्देशित होता है और पृथ्वी की सतह पर बराबर होता है (समस्याओं में हम अक्सर गणना की सुविधा के लिए मान लेते हैं);

3.3.1. अक्ष पर प्रक्षेपण में गति के समीकरण ओए

क्षैतिज सीधी रेखा के साथ गति के विपरीत, जब सभी कार्यों में गति की दिशा में बदलाव शामिल नहीं होता है, तो मुक्त गिरावट में अक्ष पर अनुमानों में लिखे गए समीकरणों का तुरंत उपयोग करना सबसे अच्छा होता है ओए.

शारीरिक समन्वय समीकरण:

वेग प्रक्षेपण समीकरण:

एक नियम के रूप में, समस्याओं में अक्ष का चयन करना सुविधाजनक होता है ओएइस अनुसार:

एक्सिस ओएलंबवत ऊपर की ओर निर्देशित;

उद्गम पृथ्वी के स्तर या प्रक्षेपवक्र के निम्नतम बिंदु से मेल खाता है।

इस विकल्प के साथ, समीकरणों को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जाएगा:

3.4. एक विमान में आंदोलन ऑक्सी.

हमने एक सीधी रेखा में त्वरण के साथ एक पिंड की गति पर विचार किया। हालाँकि, समान रूप से परिवर्तनशील गति यहीं तक सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, क्षैतिज से एक कोण पर फेंका गया पिंड। ऐसी समस्याओं में, एक साथ दो अक्षों पर गति को ध्यान में रखना आवश्यक है:

या वेक्टर रूप में:

और दोनों अक्षों पर गति का प्रक्षेपण बदल रहा है:

3.5. व्युत्पन्न और अभिन्न की अवधारणा का अनुप्रयोग

हम यहां व्युत्पन्न और अभिन्न की विस्तृत परिभाषा नहीं देंगे। समस्याओं को हल करने के लिए हमें केवल सूत्रों के एक छोटे से सेट की आवश्यकता है।

व्युत्पन्न:

कहाँ ए, बीऔर वह है, स्थिर मान।

अभिन्न:

अब आइए देखें कि व्युत्पन्न और अभिन्न की अवधारणाएँ भौतिक राशियों पर कैसे लागू होती हैं। गणित में, व्युत्पन्न को "" द्वारा दर्शाया जाता है, भौतिकी में, समय के संबंध में व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के ऊपर "∙" द्वारा दर्शाया जाता है।

रफ़्तार:

अर्थात्, गति त्रिज्या वेक्टर का व्युत्पन्न है।

वेग प्रक्षेपण के लिए:

त्वरण:

अर्थात्, त्वरण गति का व्युत्पन्न है।

त्वरण प्रक्षेपण के लिए:

इस प्रकार, यदि गति का नियम ज्ञात हो, तो हम वस्तु की गति और त्वरण दोनों आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

आइए अब अभिन्न की अवधारणा का उपयोग करें।

रफ़्तार:

अर्थात्, गति को त्वरण के समय अभिन्न अंग के रूप में पाया जा सकता है।

त्रिज्या वेक्टर:

अर्थात्, त्रिज्या सदिश को वेग फलन का समाकलन लेकर पाया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन ज्ञात है, तो हम शरीर की गति और गति के नियम दोनों को आसानी से पा सकते हैं।

सूत्रों में स्थिरांक प्रारंभिक स्थितियों - मूल्यों और समय के क्षण से निर्धारित होते हैं

3.6. वेग त्रिकोण और विस्थापन त्रिकोण

3.6.1. गति त्रिकोण

स्थिर त्वरण के साथ सदिश रूप में, गति परिवर्तन के नियम का रूप (3.5) है:

इस सूत्र का अर्थ है कि एक सदिश सदिशों के सदिश योग के बराबर होता है और सदिश योग को हमेशा एक आकृति में दर्शाया जा सकता है (चित्र देखें)।

प्रत्येक समस्या में, स्थितियों के आधार पर, वेग त्रिकोण का अपना रूप होगा। यह प्रतिनिधित्व समाधान में ज्यामितीय विचारों के उपयोग की अनुमति देता है, जो अक्सर समस्या के समाधान को सरल बनाता है।

3.6.2. आंदोलनों का त्रिकोण

सदिश रूप में, स्थिर त्वरण के साथ गति के नियम का रूप इस प्रकार है:

किसी समस्या को हल करते समय, आप संदर्भ प्रणाली को सबसे सुविधाजनक तरीके से चुन सकते हैं, इसलिए, व्यापकता खोए बिना, हम संदर्भ प्रणाली को इस तरह से चुन सकते हैं, यानी, हम समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को उस बिंदु पर रखते हैं जहां शरीर प्रारंभिक क्षण में स्थित है। तब

अर्थात्, सदिश सदिशों के सदिश योग के बराबर है और आइए इसे चित्र में दर्शाते हैं (चित्र देखें)।

पिछले मामले की तरह, स्थितियों के आधार पर, विस्थापन त्रिभुज का अपना आकार होगा। यह प्रतिनिधित्व समाधान में ज्यामितीय विचारों के उपयोग की अनुमति देता है, जो अक्सर समस्या के समाधान को सरल बनाता है।

तत्काल गति किसी निश्चित समय पर या प्रक्षेपवक्र में किसी दिए गए बिंदु पर शरीर की गति है। यह एक सदिश भौतिक मात्रा है, जो संख्यात्मक रूप से उस सीमा के बराबर है, जिस तक औसत गति अनंत समय में चलती है:

दूसरे शब्दों में, तात्कालिक गति समय के संबंध में त्रिज्या वेक्टर का पहला व्युत्पन्न है।

2. औसत गति.

मध्यम गति एक निश्चित क्षेत्र में, उस मान को उस समय की अवधि के लिए आंदोलन के अनुपात के बराबर कहा जाता है जिसके दौरान यह आंदोलन हुआ था।

3. कोणीय वेग. सूत्र. एस.आई.

कोणीय वेग एक वेक्टर भौतिक मात्रा है जो समय के संबंध में किसी पिंड के घूर्णन कोण के पहले व्युत्पन्न के बराबर है। [रेड/एस]

4. कोणीय वेग और घूर्णन अवधि के बीच संबंध।

एकसमान घूर्णन की विशेषता घूर्णन अवधि और घूर्णन आवृत्ति है।

5. कोणीय त्वरण. सूत्र. एस.आई.

यह समय के संबंध में कोणीय वेग के पहले व्युत्पन्न या शरीर के घूर्णन कोण के दूसरे व्युत्पन्न के बराबर एक भौतिक मात्रा है। [रेड/एस 2 ]

6. कोणीय वेग/कोणीय त्वरण सदिश की दिशा क्या है?

कोणीय वेग वेक्टर को घूर्णन अक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है ताकि कोणीय वेग वेक्टर के अंत से देखा गया घूर्णन वामावर्त (दाएं हाथ का नियम) हो।

त्वरित घूर्णन के दौरान, कोणीय त्वरण वेक्टर कोणीय वेग वेक्टर के साथ सह-निर्देशित होता है, और धीमी गति से घूमने के दौरान, यह इसके विपरीत होता है।

7/8. सामान्य त्वरण और कोणीय वेग के बीच संबंध/स्पर्शरेखीय और कोणीय त्वरण के बीच संबंध।

9. कुल त्वरण के सामान्य घटक की दिशा क्या निर्धारित करती है और कैसी होती है? सामान्य एसआई त्वरण.सामान्य त्वरण दिशा में गति में परिवर्तन की दर निर्धारित करता है और प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

एसआई में, सामान्य त्वरण [एम/एस 2]

10. कुल त्वरण के स्पर्शरेखा घटक की दिशा क्या निर्धारित करती है और कैसे निर्धारित करती है।

स्पर्शरेखीय त्वरण वेग मापांक के पहली बार व्युत्पन्न के बराबर है और वेग मापांक में परिवर्तन की दर निर्धारित करता है, और प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है।

11. एसआई में स्पर्शरेखीय त्वरण।

12. पूर्ण शरीर त्वरण. इस त्वरण का मापांक.

13.मास. बल। न्यूटन के नियम.

वज़न − एक भौतिक मात्रा है जो किसी पिंड के जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण गुणों का माप है। द्रव्यमान की एसआई इकाई [ एम] = किग्रा.

बल − यह एक वेक्टर भौतिक मात्रा है, जो अन्य पिंडों या क्षेत्रों से शरीर पर यांत्रिक प्रभाव का एक माप है, जिसके परिणामस्वरूप शरीर विकृत या त्वरित होता है। बल की SI इकाई न्यूटन है; किग्रा*एम/एस 2

न्यूटन का पहला नियम (या जड़ता का नियम): यदि शरीर पर कोई बल कार्य नहीं करता है या उनकी कार्रवाई की भरपाई नहीं की जाती है, तो यह शरीर आराम या एकसमान रैखिक गति की स्थिति में है।

न्यूटन का दूसरा नियम : किसी पिंड का त्वरण उस पर लागू परिणामी बलों के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है। न्यूटन का दूसरा नियम हमें यांत्रिकी की मूल समस्या को हल करने की अनुमति देता है। इसीलिए इसे कहा जाता है अनुवादात्मक गति गतिशीलता का मूल समीकरण.

न्यूटन का तीसरा नियम : जिस बल से एक पिंड दूसरे पिंड पर कार्य करता है वह परिमाण में बराबर होता है और दिशा में उस बल के विपरीत होता है जिसके साथ दूसरा पिंड पहले पर कार्य करता है।

भाग ---- पहला

1. एक समीकरण से प्रारंभ करें.तात्कालिक गति की गणना करने के लिए, आपको उस समीकरण को जानना होगा जो किसी पिंड की गति (समय में एक निश्चित क्षण में उसकी स्थिति) का वर्णन करता है, अर्थात, एक समीकरण जिसके एक तरफ s (पिंड की गति) है, और दूसरी ओर चर t (समय) वाले पद हैं। उदाहरण के लिए:
   

   s = -1.5t 2 + 10t + 4

   • इस समीकरण में: विस्थापन = s. विस्थापन किसी वस्तु द्वारा तय किया गया पथ है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु 10 मीटर आगे और 7 मीटर पीछे चलती है, तो वस्तु का कुल विस्थापन 10 - 7 = होता है 3मी(और 10 + 7 = 17 मीटर पर)। समय = टी. आमतौर पर सेकंड में मापा जाता है.

2. समीकरण के व्युत्पन्न की गणना करें.किसी पिंड की तात्कालिक गति ज्ञात करने के लिए जिसकी गति उपरोक्त समीकरण द्वारा वर्णित है, आपको इस समीकरण के व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है। व्युत्पन्न एक समीकरण है जो आपको किसी भी बिंदु पर (किसी भी समय) ग्राफ़ के ढलान की गणना करने की अनुमति देता है। व्युत्पन्न खोजने के लिए, फ़ंक्शन को इस प्रकार अलग करें: यदि y = a*x n , तो व्युत्पन्न = a*n*x n-1. यह नियम बहुपद के प्रत्येक पद पर लागू होता है।

   • दूसरे शब्दों में, चर t के साथ प्रत्येक पद का व्युत्पन्न कारक के उत्पाद (चर के सामने) और चर की शक्ति के बराबर होता है, जिसे चर से गुणा करके मूल शक्ति शून्य 1 के बराबर शक्ति प्राप्त की जाती है। मुक्त पद (बिना चर वाला पद, यानी संख्या) गायब हो जाता है क्योंकि इसे 0 से गुणा किया जाता है। हमारे उदाहरण में:
     

     s = -1.5t 2 + 10t + 4
     (2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3टी 1 + 10टी 0
     -3t+10

3. यह दिखाने के लिए कि नया समीकरण मूल समीकरण का व्युत्पन्न है (अर्थात, t के साथ s का व्युत्पन्न है) "s" को "ds/dt" से बदलें। व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु पर (समय में एक निश्चित बिंदु पर) ग्राफ़ का ढलान है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन s = -1.5t 2 + 10t + 4 द्वारा t = 5 पर वर्णित रेखा का ढलान खोजने के लिए, बस व्युत्पन्न समीकरण में 5 प्रतिस्थापित करें।

   • हमारे उदाहरण में, व्युत्पन्न समीकरण इस तरह दिखना चाहिए:
     

     डीएस/डीटी = -3टी + 10

4. किसी निश्चित समय पर तात्कालिक गति ज्ञात करने के लिए व्युत्पन्न समीकरण में उचित t मान रखें। उदाहरण के लिए, यदि आप t = 5 पर तात्कालिक गति ज्ञात करना चाहते हैं, तो बस व्युत्पन्न समीकरण ds/dt = -3 + 10 में 5 (t के लिए) प्रतिस्थापित करें। फिर समीकरण को हल करें:
   

   डीएस/डीटी = -3टी + 10
   डीएस/डीटी = -3(5) + 10
   डीएस/डीटी = -15 + 10 = -5 मी/से

   • कृपया तात्कालिक गति के लिए माप की इकाई पर ध्यान दें: मी/से. चूँकि हमें विस्थापन का मान मीटर में और समय को सेकंड में दिया गया है, और गति विस्थापन और समय के अनुपात के बराबर है, तो माप की इकाई m/s सही है।

   भाग 2

   तात्कालिक गति का चित्रमय मूल्यांकन

   1. पिंड के विस्थापन का एक ग्राफ़ बनाएं।पिछले अध्याय में, आपने एक सूत्र (एक व्युत्पन्न समीकरण जो आपको एक विशिष्ट बिंदु पर ग्राफ़ का ढलान खोजने की अनुमति देता है) का उपयोग करके तात्कालिक वेग की गणना की थी। किसी पिंड की गति का ग्राफ बनाकर, आप किसी भी बिंदु पर उसका झुकाव ज्ञात कर सकते हैं, और इसलिए किसी निश्चित समय पर तात्कालिक गति निर्धारित करें.

      • Y अक्ष विस्थापन है, और X अक्ष समय है। बिंदुओं (x, y) के निर्देशांक t के विभिन्न मानों को मूल विस्थापन समीकरण में प्रतिस्थापित करके और s के संगत मानों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं।
      • ग्राफ एक्स-अक्ष से नीचे गिर सकता है। यदि शरीर की गति का ग्राफ एक्स-अक्ष से नीचे गिरता है, तो इसका मतलब है कि शरीर उस बिंदु से विपरीत दिशा में आगे बढ़ रहा है जहां से गति शुरू हुई थी। आमतौर पर ग्राफ़ Y अक्ष (नकारात्मक x मान) से आगे नहीं बढ़ता है - हम समय में पीछे की ओर जाने वाली वस्तुओं की गति को नहीं माप रहे हैं!

   2. ग्राफ़ (वक्र) पर उसके निकट बिंदु P और बिंदु Q का चयन करें।बिंदु P पर ग्राफ़ का ढलान ज्ञात करने के लिए, हम सीमा की अवधारणा का उपयोग करते हैं। सीमा - एक ऐसी स्थिति जिसमें वक्र पर स्थित 2 बिंदुओं P और Q से होकर खींचे गए छेदक का मान शून्य हो जाता है।

      • उदाहरण के लिए, बिंदुओं पर विचार करें पी(1,3)और क्यू(4,7)और बिंदु P पर तात्कालिक गति की गणना करें।

   3. खंड PQ का ढलान ज्ञात कीजिए।खंड PQ का ढलान बिंदु P और Q के y-निर्देशांक मानों में अंतर और बिंदु P और Q के x-निर्देशांक मानों में अंतर के अनुपात के बराबर है। दूसरे शब्दों में, एच = (वाई क्यू - वाई पी)/(एक्स क्यू - एक्स पी), जहां H खंड PQ का ढलान है। हमारे उदाहरण में, खंड PQ का ढलान है:
      

      एच = (वाई क्यू - वाई पी)/(एक्स क्यू - एक्स पी)
      एच = (7 - 3)/(4 - 1)
      एच = (4)/(3) = 1.33

   4. प्रक्रिया को कई बार दोहराएं, बिंदु Q को बिंदु P के करीब लाएं।दो बिंदुओं के बीच की दूरी जितनी कम होगी, परिणामी खंडों का ढलान बिंदु P पर ग्राफ़ के ढलान के उतना ही करीब होगा। हमारे उदाहरण में, हम निर्देशांक (2,4.8), (1.5,3.95) के साथ बिंदु Q के लिए गणना करेंगे। ) और (1.25,3.49) (बिंदु P के निर्देशांक समान रहते हैं):
      

      क्यू = (2,4.8):एच = (4.8 - 3)/(2 - 1)
      एच = (1.8)/(1) = 1.8

      क्यू = (1.5,3.95):एच = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
      एच = (.95)/(.5) = 1.9

      क्यू = (1.25,3.49):एच = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
      एच = (.49)/(.25) = 1.96

   5. बिंदु P और Q के बीच की दूरी जितनी कम होगी, H का मान बिंदु P पर ग्राफ़ के ढलान के उतना ही करीब होगा। यदि बिंदु P और Q के बीच की दूरी बेहद कम है, तो H का मान ग्राफ़ के ढलान के बराबर होगा। बिंदु P पर ग्राफ़। चूँकि हम दो बिंदुओं के बीच की अत्यंत छोटी दूरी को माप या गणना नहीं कर सकते हैं, ग्राफ़िकल विधि बिंदु P पर ग्राफ़ की ढलान का अनुमान देती है।

      • हमारे उदाहरण में, जैसे ही Q, P के पास पहुंचा, हमें H के निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 1.8; 1.9 और 1.96. चूँकि ये संख्याएँ 2 की ओर प्रवृत्त होती हैं, हम कह सकते हैं कि बिंदु P पर ग्राफ़ का ढलान बराबर है 2 .
      • याद रखें कि किसी दिए गए बिंदु पर ग्राफ़ का ढलान उस बिंदु पर फ़ंक्शन (जिससे ग्राफ़ खींचा गया है) के व्युत्पन्न के बराबर है। ग्राफ़ समय के साथ किसी पिंड की गति को प्रदर्शित करता है और, जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, किसी पिंड की तात्कालिक गति इस पिंड के विस्थापन के समीकरण के व्युत्पन्न के बराबर है। इस प्रकार, हम बता सकते हैं कि t = 2 पर तात्कालिक गति है 2 मी/से(यह एक अनुमान है).

   भाग 3

   उदाहरण

   1. यदि शरीर की गति समीकरण s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9 द्वारा वर्णित है तो t = 4 पर तात्कालिक गति की गणना करें।यह उदाहरण पहले खंड की समस्या के समान है, एकमात्र अंतर यह है कि यहां हमारे पास तीसरे क्रम का समीकरण है (दूसरे के बजाय)।

      • सबसे पहले, आइए इस समीकरण के व्युत्पन्न की गणना करें:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15टी (2) - 6टी (1) + 2टी (0)
        15टी (2) - 6टी + 2

      • आइए अब मान t = 4 को व्युत्पन्न समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
        

        s = 15t (2) - 6t + 2
        15(4) (2) - 6(4) + 2
        15(16) - 6(4) + 2
        240 - 24 + 2 = 22 मी/से

   2. आइए फ़ंक्शन s = 4t 2 - t के ग्राफ़ पर निर्देशांक (1,3) वाले बिंदु पर तात्कालिक गति के मान का अनुमान लगाएं।इस मामले में, बिंदु P में निर्देशांक (1,3) हैं और बिंदु Q के कई निर्देशांक ढूंढना आवश्यक है, जो बिंदु P के करीब स्थित है। फिर हम H की गणना करते हैं और तात्कालिक गति के अनुमानित मान ज्ञात करते हैं।

      • सबसे पहले, आइए t = 2, 1.5, 1.1 और 1.01 पर Q के निर्देशांक ज्ञात करें।
        

        एस = 4टी 2 - टी

        टी = 2:एस = 4(2) 2 - (2)
        4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, इसलिए क्यू = (2.14)

        टी = 1.5:एस = 4(1.5) 2 - (1.5)
        4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, इसलिए क्यू = (1.5,7.5)

        टी = 1.1:एस = 4(1.1) 2 - (1.1)
        4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, इसलिए क्यू = (1.1,3.74)

        टी = 1.01:एस = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, इसलिए क्यू = (1.01,3.0704)

शरीर को एक झुके हुए तल पर नीचे की ओर लुढ़काना (चित्र 2);

चावल। 2. शरीर को एक झुके हुए तल पर नीचे की ओर लुढ़काना ()

मुक्त गिरावट (चित्र 3)।

ये तीनों प्रकार की गति एक समान नहीं होती अर्थात इनकी गति में परिवर्तन होता है। इस पाठ में हम असमान गति को देखेंगे।

एकसमान आंदोलन -यांत्रिक गति जिसमें कोई पिंड किसी भी समान समयावधि में समान दूरी तय करता है (चित्र 4)।

चावल। 4. एकसमान गति

गति को असमान कहा जाता है, जिसमें शरीर समान समयावधियों में असमान पथों पर यात्रा करता है।

चावल। 5. असमान गति

यांत्रिकी का मुख्य कार्य किसी भी समय शरीर की स्थिति निर्धारित करना है। जब शरीर असमान रूप से चलता है, तो शरीर की गति बदल जाती है, इसलिए शरीर की गति में परिवर्तन का वर्णन करना सीखना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, दो अवधारणाएँ पेश की गई हैं: औसत गति और तात्कालिक गति।

असमान गति के दौरान किसी पिंड की गति में परिवर्तन के तथ्य को हमेशा ध्यान में रखने की आवश्यकता नहीं होती है; पथ के एक बड़े हिस्से पर किसी पिंड की गति पर विचार करते समय (समय के प्रत्येक क्षण में गति होती है) हमारे लिए महत्वपूर्ण नहीं), औसत गति की अवधारणा को पेश करना सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, स्कूली बच्चों का एक प्रतिनिधिमंडल नोवोसिबिर्स्क से सोची तक ट्रेन से यात्रा करता है। रेल द्वारा इन शहरों के बीच की दूरी लगभग 3,300 किमी है। जब ट्रेन नोवोसिबिर्स्क से रवाना हुई तो उसकी गति क्या थी, क्या इसका मतलब यह है कि यात्रा के बीच में गति ऐसी थी? वही, लेकिन सोची के प्रवेश द्वार पर [एम1]? क्या यह संभव है कि केवल इन आंकड़ों के आधार पर यह कहा जा सके कि यात्रा में कितना समय लगेगा (चित्र 6)। बिल्कुल नहीं, क्योंकि नोवोसिबिर्स्क के निवासी जानते हैं कि सोची पहुंचने में लगभग 84 घंटे लगते हैं।

चावल। 6. उदाहरण के लिए चित्रण

पथ के एक बड़े हिस्से पर किसी वस्तु की गति पर समग्र रूप से विचार करते समय, औसत गति की अवधारणा को पेश करना अधिक सुविधाजनक होता है।

मध्यम गतिवे शरीर द्वारा की गई कुल गति का उस समय से अनुपात कहते हैं जिसके दौरान यह गति हुई थी (चित्र 7)।

चावल। 7. औसत गति

यह परिभाषा सदैव सुविधाजनक नहीं होती. उदाहरण के लिए, एक एथलीट 400 मीटर दौड़ता है - बिल्कुल एक चक्कर। एथलीट का विस्थापन 0 है (चित्र 8), लेकिन हम समझते हैं कि उसकी औसत गति शून्य नहीं हो सकती।

चावल। 8. विस्थापन 0 है

व्यवहार में, औसत ज़मीनी गति की अवधारणा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

औसत ज़मीनी गतिशरीर द्वारा तय किए गए कुल पथ और उस समय के दौरान पथ की यात्रा का अनुपात है (चित्र 9)।

चावल। 9. औसत ज़मीनी गति

औसत गति की एक और परिभाषा है.

औसत गति- यह वह गति है जिसके साथ किसी पिंड को एक निश्चित दूरी को उसी समय में तय करने के लिए समान रूप से चलना चाहिए जिसमें वह इसे पार कर गया है, असमान रूप से चलते हुए।

गणित पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि अंकगणितीय माध्य क्या है। संख्या 10 और 36 के लिए यह बराबर होगा:

औसत गति ज्ञात करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करने की संभावना जानने के लिए, आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें।

काम

एक साइकिल चालक 0.5 घंटे खर्च करके 10 किमी/घंटा की गति से ढलान पर चढ़ता है। फिर यह 10 मिनट में 36 किमी/घंटा की गति से नीचे चली जाती है। साइकिल चालक की औसत गति ज्ञात कीजिए (चित्र 10)।

चावल। 10. समस्या के लिए चित्रण

दिया गया:; ; ;

खोजो:

समाधान:

चूँकि इन गतियों की माप की इकाई किमी/घंटा है, हम औसत गति किमी/घंटा में ज्ञात करेंगे। इसलिए, हम इन समस्याओं को SI में नहीं बदलेंगे। आइए घंटों में बदलें.

औसत गति है:

पूर्ण पथ () में ढलान के ऊपर () और ढलान के नीचे () का मार्ग शामिल है:

ढलान पर चढ़ने का मार्ग है:

ढलान से नीचे का रास्ता है:

पूरा रास्ता तय करने में लगने वाला समय है:

उत्तर:.

समस्या के उत्तर के आधार पर, हम देखते हैं कि औसत गति की गणना के लिए अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करना असंभव है।

यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल करने के लिए औसत गति की अवधारणा हमेशा उपयोगी नहीं होती है। ट्रेन के बारे में समस्या पर लौटते हुए, यह नहीं कहा जा सकता है कि यदि ट्रेन की पूरी यात्रा के दौरान औसत गति के बराबर है, तो 5 घंटे के बाद वह दूरी पर होगी नोवोसिबिर्स्क से.

समय की अतिसूक्ष्म अवधि में मापी गई औसत गति कहलाती है शरीर की तात्कालिक गति(उदाहरण के लिए: एक कार का स्पीडोमीटर (चित्र 11) तात्कालिक गति दिखाता है)।

चावल। 11. कार स्पीडोमीटर तात्कालिक गति दिखाता है

तात्कालिक गति की एक और परिभाषा है.

तत्काल गति- किसी निश्चित समय पर शरीर की गति की गति, प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर शरीर की गति (चित्र 12)।

चावल। 12. त्वरित गति

इस परिभाषा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें।

कार को राजमार्ग के एक हिस्से पर सीधा चलने दें। हमारे पास किसी दिए गए आंदोलन के लिए विस्थापन बनाम समय के प्रक्षेपण का एक ग्राफ है (चित्र 13), आइए इस ग्राफ का विश्लेषण करें।

चावल। 13. समय बनाम विस्थापन प्रक्षेपण का ग्राफ

ग्राफ दर्शाता है कि कार की गति स्थिर नहीं है। मान लीजिए कि आपको अवलोकन शुरू होने के 30 सेकंड बाद (बिंदु पर) कार की तात्कालिक गति ज्ञात करने की आवश्यकता है ए). तात्कालिक गति की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम समय अंतराल पर औसत गति का परिमाण ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, इस ग्राफ़ के एक टुकड़े पर विचार करें (चित्र 14)।

चावल। 14. समय बनाम विस्थापन प्रक्षेपण का ग्राफ

तात्कालिक गति ज्ञात करने की शुद्धता की जांच करने के लिए, आइए समय अंतराल के लिए औसत गति मॉड्यूल खोजें, इसके लिए हम ग्राफ के एक टुकड़े पर विचार करते हैं (चित्र 15)।

चावल। 15. समय बनाम विस्थापन प्रक्षेपण का ग्राफ

हम किसी निश्चित समयावधि में औसत गति की गणना करते हैं:

अवलोकन शुरू होने के 30 सेकंड बाद हमें कार की तात्कालिक गति के दो मान प्राप्त हुए। वह मान अधिक सटीक होगा जहां समय अंतराल छोटा है, यानी। यदि हम विचाराधीन समय अंतराल को और अधिक दृढ़ता से कम करते हैं, तो बिंदु पर कार की तात्कालिक गति एअधिक सटीक रूप से निर्धारित किया जाएगा.

तात्क्षणिक गति एक सदिश राशि है. इसलिए, इसे खोजने (इसके मॉड्यूल को खोजने) के अलावा, यह जानना आवश्यक है कि यह कैसे निर्देशित है।

(पर) - तात्कालिक गति

तात्कालिक वेग की दिशा पिंड की गति की दिशा से मेल खाती है।

यदि कोई पिंड वक्ररेखीय रूप से चलता है, तो तात्कालिक गति किसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है (चित्र 16)।

अभ्यास 1

क्या तात्कालिक गति () परिमाण में परिवर्तन किए बिना केवल दिशा में बदल सकती है?

समाधान

इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। शरीर एक घुमावदार रास्ते पर चलता है (चित्र 17)। आइए गति के पथ पर एक बिंदु चिह्नित करें एऔर अवधि बी. आइए हम इन बिंदुओं पर तात्कालिक वेग की दिशा पर ध्यान दें (तात्कालिक वेग प्रक्षेपवक्र बिंदु पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है)। माना कि वेग परिमाण में समान और 5 मीटर/सेकेंड के बराबर हैं।

उत्तर: शायद।

कार्य 2

क्या तात्कालिक गति बिना दिशा बदले केवल परिमाण में बदल सकती है?

समाधान

चावल। 18. समस्या के लिए चित्रण

चित्र 10 उस बिंदु को दर्शाता है एऔर बिंदु पर बीतात्कालिक गति एक ही दिशा में होती है। यदि कोई पिंड समान रूप से त्वरित गति से चलता है, तो।

उत्तर:शायद।

इस पाठ में, हमने असमान गति, यानी अलग-अलग गति वाली गति का अध्ययन करना शुरू किया। असमान गति की विशेषताएँ औसत और तात्कालिक गति हैं। औसत गति की अवधारणा असमान गति को एकसमान गति से मानसिक रूप से बदलने पर आधारित है। कभी-कभी औसत गति की अवधारणा (जैसा कि हमने देखा है) बहुत सुविधाजनक है, लेकिन यह यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है। इसलिए, तात्कालिक गति की अवधारणा पेश की गई है।

ग्रन्थसूची

1. जी.या. मयाकिशेव, बी.बी. बुखोवत्सेव, एन.एन. सोत्स्की। भौतिकी 10. - एम.: शिक्षा, 2008।
2. ए.पी. रिमकेविच। भौतिक विज्ञान। समस्या पुस्तक 10-11. - एम.: बस्टर्ड, 2006।
3. ओ.या. सवचेंको। भौतिक विज्ञान की समस्याएँ. - एम.: नौका, 1988।
4. ए.वी. पेरीश्किन, वी.वी. क्राउक्लिस। भौतिकी पाठ्यक्रम. टी. 1. - एम.: राज्य. अध्यापक ईडी। मि. आरएसएफएसआर की शिक्षा, 1957।

1. इंटरनेट पोर्टल "School-collection.edu.ru" ()।
2. इंटरनेट पोर्टल "Virtulab.net" ()।

गृहकार्य

1. अनुच्छेद 9 (पृष्ठ 24) के अंत में प्रश्न (1-3, 5); जी.या. मयाकिशेव, बी.बी. बुखोवत्सेव, एन.एन. सोत्स्की। भौतिकी 10 (अनुशंसित पाठ्य सामग्री की सूची देखें)
2. क्या किसी निश्चित अवधि में औसत गति को जानकर, इस अंतराल के किसी भी भाग के दौरान किसी पिंड द्वारा किए गए विस्थापन का पता लगाना संभव है?
3. एक समान रैखिक गति के दौरान तात्कालिक गति और असमान गति के दौरान तात्कालिक गति के बीच क्या अंतर है?
4. कार चलाते समय स्पीडोमीटर की रीडिंग हर मिनट ली जाती थी। क्या इन आंकड़ों से कार की औसत गति निर्धारित करना संभव है?
5. साइकिल चालक ने मार्ग के पहले तीसरे भाग को 12 किमी प्रति घंटे की गति से, दूसरे तीसरे को 16 किमी प्रति घंटे की गति से और अंतिम तीसरे को 24 किमी प्रति घंटे की गति से चलाया। पूरी यात्रा के दौरान बाइक की औसत गति ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर किमी/घंटा में दें