परीक्षा में लघुगणक हल करें. समस्या C1 में लघुगणकीय समीकरण

लघुगणकीय अभिव्यक्तियाँ, उदाहरण हल करना। इस लेख में हम लघुगणक को हल करने से संबंधित समस्याओं पर गौर करेंगे। कार्य किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजने का प्रश्न पूछते हैं। ज्ञात हो कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना बेहद महत्वपूर्ण है। एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए, लघुगणक का उपयोग समीकरणों को हल करते समय, लागू समस्याओं में और कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी किया जाता है।

आइए लघुगणक के अर्थ को समझने के लिए उदाहरण दें:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जिन्हें हमेशा याद रखना चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है।

* * *

*भागफल (अंश) का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है।

* * *

*किसी घातांक का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है।

* * *

*एक नई नींव में परिवर्तन

* * *

अधिक गुण:

* * *

लघुगणक की गणना का घातांक के गुणों के उपयोग से गहरा संबंध है।

आइए उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करें:

इस गुण का सार यह है कि जब अंश को हर में स्थानांतरित किया जाता है और इसके विपरीत, तो घातांक का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति से एक परिणाम:

* * *

किसी घात को घात तक बढ़ाने पर आधार वही रहता है, लेकिन घातांक कई गुना बढ़ जाते हैं।

* * *

जैसा कि आपने देखा, लघुगणक की अवधारणा स्वयं सरल है। मुख्य बात यह है कि आपको अच्छे अभ्यास की आवश्यकता है, जो आपको एक निश्चित कौशल प्रदान करता है। निःसंदेह, सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है। यदि प्राथमिक लघुगणक को परिवर्तित करने का कौशल विकसित नहीं किया गया है, तो सरल कार्यों को हल करते समय आप आसानी से गलती कर सकते हैं।

अभ्यास करें, पहले गणित पाठ्यक्रम के सबसे सरल उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "डरावने" लघुगणक कैसे हल किए जाते हैं; वे एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल नहीं होंगे, लेकिन वे रुचिकर हैं, उन्हें देखने से न चूकें!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

लघुगणकीय समीकरण. हम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग बी की समस्याओं पर विचार करना जारी रखते हैं। हम पहले ही लेख "", "" में कुछ समीकरणों के समाधान की जांच कर चुके हैं। इस लेख में हम लघुगणकीय समीकरणों को देखेंगे। मैं तुरंत कहूंगा कि एकीकृत राज्य परीक्षा में ऐसे समीकरणों को हल करते समय कोई जटिल परिवर्तन नहीं होगा। वे सरल हैं.

लघुगणक के गुणों को जानने के लिए, मूल लघुगणकीय पहचान को जानना और समझना पर्याप्त है। कृपया ध्यान दें कि इसे हल करने के बाद, आपको एक जांच अवश्य करनी चाहिए - परिणामी मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और गणना करें, अंत में आपको सही समानता मिलनी चाहिए।

परिभाषा:

आधार b पर किसी संख्या का लघुगणक घातांक है।जिसे a प्राप्त करने के लिए b को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए:

लॉग 3 9 = 2, चूँकि 3 2 = 9

लघुगणक के गुण:

लघुगणक के विशेष मामले:

आइए समस्याओं का समाधान करें. पहले उदाहरण में हम एक जाँच करेंगे. भविष्य में आप स्वयं इसकी जाँच करें।

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 (4-x) = 4

चूँकि log b a = x b x = a, तो

3 4 = 4 – एक्स

एक्स = 4 – 81

एक्स = – 77

इंतिहान:

लॉग 3 (4–(–77)) = 4

लॉग 3 81 = 4

3 4 = 81 सही।

उत्तर:-77

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 (4 – x) = 7

समीकरण लॉग 5 का मूल ज्ञात कीजिए(4 + एक्स) = 2

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं।

चूँकि log a b = x b x = a, तो

5 2 = 4 + एक्स

एक्स =5 2 – 4

एक्स = 21

इंतिहान:

लघुगणक 5 (4 + 21) = 2

लॉग 5 25 = 2

5 2 = 25 सही।

उत्तर: 21

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए log 3 (14 – x) = log 3 5.

निम्नलिखित गुण घटित होता है, इसका अर्थ इस प्रकार है: यदि समीकरण के बायीं और दायीं ओर समान आधार वाले लघुगणक हैं, तो हम लघुगणक के चिह्नों के अंतर्गत भावों को बराबर कर सकते हैं।

14 – एक्स = 5

एक्स=9

जांच करो.

उत्तर: 9

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए log 5 (5 – x) = log 5 3.

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 4 (x + 3) = लघुगणक 4 (4x – 15)।

यदि लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

एक्स=6

जांच करो.

उत्तर: 6

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – एक्स

8 2 = 13 – एक्स

एक्स = 13 – 64

एक्स = – 51

जांच करो.

एक छोटा सा जोड़ - संपत्ति का उपयोग यहां किया जाता है

डिग्री ()।

उत्तर:-51

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 1/7 (7 – x) = – 2

समीकरण लॉग 2 (4 - x) = 2 लॉग 2 5 का मूल ज्ञात कीजिए।

आइये दाहिनी ओर परिवर्तन करें। आइए संपत्ति का उपयोग करें:

लॉग ए बी एम = एम∙लॉग ए बी

लॉग 2 (4 - एक्स) = लॉग 2 5 2

यदि लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

4 – एक्स = 5 2

4 – एक्स = 25

एक्स = – 21

जांच करो.

उत्तर:- 21

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 (5 - x) = 2 लघुगणक 5 3

समीकरण को हल करें लॉग 5 (x 2 + 4x) = लॉग 5 (x 2 + 11)

यदि लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

एक्स = 2.75

जांच करो.

उत्तर: 2.75

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 5 (x 2 + x) = लॉग 5 (x 2 + 10)।

समीकरण लॉग 2 (2 - x) = लॉग 2 (2 - 3x) +1 को हल करें।

समीकरण के दाईं ओर प्रपत्र की अभिव्यक्ति प्राप्त करना आवश्यक है:

लॉग 2 (......)

हम 1 को आधार 2 लघुगणक के रूप में दर्शाते हैं:

1 = लॉग 2 2

लॉग सी (एबी) = लॉग सी ए + लॉग सी बी

लॉग 2 (2 - एक्स) = लॉग 2 (2 - 3x) + लॉग 2 2

हम पाते हैं:

लॉग 2 (2 - x) = लॉग 2 2 (2 - 3x)

यदि लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी, फिर

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

एक्स = 0.4

जांच करो.

उत्तर: 0.4

अपने लिए तय करें: इसके बाद आपको द्विघात समीकरण को हल करना होगा। वैसे,

जड़ें 6 और -4 हैं।

जड़ "-4" कोई समाधान नहीं है, क्योंकि लघुगणक का आधार शून्य से अधिक होना चाहिए, और " के साथ– 4" यह बराबर है" – 5'' समाधान जड़ 6 है.जांच करो.

उत्तर: 6.

आर स्वयं खाएं:

समीकरण लॉग x -5 49 = 2 को हल करें। यदि समीकरण में एक से अधिक मूल हैं, तो छोटे से उत्तर दें।

जैसा कि आपने देखा, लघुगणकीय समीकरणों में कोई जटिल परिवर्तन नहीं होतानहीं। लघुगणक के गुणों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना ही पर्याप्त है। लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से संबंधित यूएसई समस्याओं में, अधिक गंभीर परिवर्तन किए जाते हैं और हल करने में अधिक गहन कौशल की आवश्यकता होती है। हम ऐसे उदाहरण देखेंगे, उन्हें चूकें नहीं!मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!!!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

जैसा कि आप जानते हैं, जब भावों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जुड़ते हैं (a b *a c = a b+c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज़ द्वारा तैयार किया गया था, और बाद में, 8वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक घातांक की एक तालिका बनाई। यह वे ही थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए काम किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां आपको सरल जोड़ द्वारा बोझिल गुणन को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट बिताते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे काम करना है। सरल एवं सुलभ भाषा में.

गणित में परिभाषा

एक लघुगणक निम्नलिखित रूप की एक अभिव्यक्ति है: log a b=c, अर्थात, किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या (अर्थात, कोई भी सकारात्मक) का लघुगणक "b" से उसके आधार "a" को घात "c" माना जाता है। ” जिसके लिए अंततः मूल्य “बी” प्राप्त करने के लिए आधार “ए” को ऊपर उठाया जाना चाहिए। आइए उदाहरणों का उपयोग करके लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक अभिव्यक्ति है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत सरल है, आपको ऐसी शक्ति ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक शक्ति तक आपको 8 प्राप्त हो। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें संख्या 3 मिलती है! और यह सच है, क्योंकि 2 की घात 3 का उत्तर 8 होता है।

लघुगणक के प्रकार

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना है। लघुगणकीय अभिव्यक्ति के तीन अलग-अलग प्रकार हैं:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव ए, जहां आधार 10 है।
3. किसी भी संख्या b से आधार a>1 का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लघुगणक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एकल लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें हल करते समय उनके गुणों और क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में कई नियम-बाधाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा का विषय नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं का सम मूल निकालना भी असंभव है। लघुगणक के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप लंबी और क्षमता वाले लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के साथ भी आसानी से काम करना सीख सकते हैं:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि किसी भी डिग्री पर "1" और "0" हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b >0, तो यह पता चलता है कि "c" भी शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, कार्य समीकरण 10 x = 100 का उत्तर खोजने के लिए दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको संख्या दस को बढ़ाकर एक घात चुननी होगी जिससे हमें 100 प्राप्त होगा। यह, निश्चित रूप से, 10 2 = है 100.

आइए अब इस अभिव्यक्ति को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करें। हमें लघुगणक 10 100 = 2 प्राप्त होता है। लघुगणक को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस शक्ति को खोजने के लिए एकत्रित होती हैं जिस तक किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लघुगणक के आधार में प्रवेश करना आवश्यक होता है।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपके पास तकनीकी दिमाग और गुणन सारणी का ज्ञान है तो कुछ घातांकों का सहज अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, बड़े मूल्यों के लिए आपको एक पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल गणितीय विषयों के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है जिससे संख्या a बढ़ा दी गई है। चौराहे पर, कोशिकाओं में संख्या मान होते हैं जो उत्तर (एसी = बी) होते हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 वाली पहली सेल लें और इसे वर्गित करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारी दो कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे सच्चा मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानताएँ

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति को लघुगणकीय समानता के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को चार के बराबर 81 के आधार 3 लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक घातों के लिए नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम इसे लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लघुगणक 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक अनुभागों में से एक "लघुगणक" का विषय है। हम उनके गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, नीचे दिए गए समीकरणों के उदाहरण और समाधान देखेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1) > 3 - यह एक लघुगणकीय असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है। और अभिव्यक्ति में दो मात्राओं की तुलना भी की गई है: वांछित संख्या का आधार दो का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणक समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 x = √9) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों स्वीकार्य की सीमा इस फ़ंक्शन को तोड़कर मान और अंक निर्धारित किए जाते हैं। परिणामस्वरूप, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि किसी समीकरण के उत्तर में होता है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट होता है।

लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेय

लघुगणक के मान ज्ञात करने की आदिम समस्याओं को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल पाता है। हालाँकि, जब लघुगणक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लघुगणक के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम समीकरणों के उदाहरण बाद में देखेंगे; आइए पहले प्रत्येक संपत्ति को अधिक विस्तार से देखें।

1. मुख्य पहचान इस तरह दिखती है: एक logaB =B. यह तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद का लघुगणक निम्नलिखित सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2। इस मामले में, अनिवार्य शर्त है: डी, ​​एस 1 और एस 2 > 0; a≠1. आप उदाहरण और समाधान सहित इस लघुगणकीय सूत्र का प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए कि log a s 1 = f 1 है और log a s 2 = f 2 है, तो a f1 = s 1, a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (के गुण डिग्री ), और फिर परिभाषा के अनुसार: लॉग ए (एस 1 * एस 2) = एफ 1 + एफ 2 = लॉग ए एस 1 + लॉग ए एस 2, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1/ एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: लॉग ए क्यू बी एन = एन/क्यू लॉग ए बी।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित प्राकृतिक अभिधारणाओं पर आधारित हैं। आइए सबूत देखें.

मान लीजिए a b = t लॉग करें, तो यह a t = b निकलता है। यदि हम दोनों भागों को घात m तक बढ़ाएँ: a tn = b n ;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n, इसलिए log a q b n = (n*t)/t, फिर log a q b n = n/q log a b। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

लघुगणक पर सबसे आम प्रकार की समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित परीक्षा का एक आवश्यक हिस्सा भी हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने या गणित में प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही ढंग से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मान को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, लेकिन प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है या सामान्य रूप में कम किया जा सकता है। यदि आप लंबी लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के गुणों का सही ढंग से उपयोग करते हैं तो आप उन्हें सरल बना सकते हैं। आइए जल्दी से उनके बारे में जानें।

लघुगणक समीकरणों को हल करते समय, हमें यह निर्धारित करना होगा कि हमारे पास किस प्रकार का लघुगणक है: एक उदाहरण अभिव्यक्ति में प्राकृतिक लघुगणक या दशमलव हो सकता है।

यहां उदाहरण हैं एलएन100, एलएन1026। उनका समाधान इस तथ्य पर आधारित है कि उन्हें उस शक्ति को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसके लिए आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणक को हल करने के लिए, आपको लघुगणकीय पहचान या उनके गुणों को लागू करने की आवश्यकता है। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेयों का उपयोग करने के उदाहरण देखें।

1. किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक शक्ति की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम एक जटिल और अघुलनशील अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। आपको बस आधार का गुणनखंड करना होगा और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना होगा।

एकीकृत राज्य परीक्षा से असाइनमेंट

लघुगणक अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में कई लघुगणक समस्याएं। आमतौर पर, ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे जटिल और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा के लिए "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और पूर्ण ज्ञान आवश्यक है।

समस्याओं के उदाहरण और समाधान एकीकृत राज्य परीक्षा के आधिकारिक संस्करणों से लिए गए हैं। आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लॉग 2 (2x-1) = 4. समाधान:
आइए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सरल बनाएं लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें पता चलता है कि 2x-1 = 2 4, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5.

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर कम करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित करने वाला न हो।
• लघुगणक चिह्न के अंतर्गत सभी भावों को सकारात्मक के रूप में दर्शाया गया है, इसलिए, जब किसी अभिव्यक्ति का घातांक जो लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है और उसका आधार गुणक के रूप में निकाला जाता है, तो लघुगणक के अंतर्गत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

इस वीडियो ट्यूटोरियल में हम एक गंभीर लघुगणकीय समीकरण को हल करने पर ध्यान देंगे, जिसमें आपको न केवल जड़ों को ढूंढना होगा, बल्कि उन्हें भी चुनना होगा जो किसी दिए गए खंड पर स्थित हैं।

समस्या C1. प्रश्न हल करें। इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो अंतराल से संबंधित हैं।

लघुगणकीय समीकरणों के बारे में एक नोट

हालाँकि, साल-दर-साल छात्र मेरे पास आते हैं जो इस तरह के समाधान करने की कोशिश कर रहे हैं, स्पष्ट रूप से, कठिन समीकरण, लेकिन साथ ही वे समझ नहीं पाते हैं: उन्हें कहां से शुरू करना चाहिए और लघुगणक तक कैसे पहुंचना चाहिए? यह समस्या मजबूत, अच्छी तरह से तैयार छात्रों में भी उत्पन्न हो सकती है।

परिणामस्वरूप, कई लोग इस विषय से डरने लगते हैं, या यहाँ तक कि स्वयं को मूर्ख समझने लगते हैं। तो, याद रखें: यदि आप ऐसे समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं, तो इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि आप मूर्ख हैं। क्योंकि, उदाहरण के लिए, आप इस समीकरण को लगभग मौखिक रूप से संभाल सकते हैं:

लॉग 2 एक्स = 4

और यदि ऐसा नहीं है, तो आप अभी यह पाठ नहीं पढ़ रहे होंगे, क्योंकि आप सरल और अधिक सांसारिक कार्यों में व्यस्त थे। बेशक, अब कोई आपत्ति करेगा: "इस सरलतम समीकरण का हमारी स्वस्थ संरचना से क्या लेना-देना है?" मैं उत्तर देता हूं: कोई भी लघुगणकीय समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, अंततः इन सरलतम संरचनाओं तक पहुंचता है जिन्हें मौखिक रूप से हल किया जा सकता है।

निःसंदेह, किसी को जटिल लघुगणकीय समीकरणों से सरल समीकरणों की ओर बढ़ना चाहिए, न कि चयन या तंबूरा के साथ नृत्य के माध्यम से, बल्कि स्पष्ट, लंबे-परिभाषित नियमों के अनुसार, जिन्हें कहा जाता है - लघुगणकीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के नियम. उन्हें जानकर, आप गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में सबसे परिष्कृत समीकरणों से भी आसानी से निपट सकते हैं।

और इन्हीं नियमों के बारे में हम आज के पाठ में बात करेंगे। जाना!

समस्या C1 में लघुगणकीय समीकरण को हल करना

तो, हम समीकरण हल करते हैं:

सबसे पहले, जब लॉगरिदमिक समीकरणों की बात आती है, तो हम बुनियादी रणनीति को याद करते हैं - बोलने के लिए, लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने का मूल नियम। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं:

विहित रूप प्रमेय. कोई भी लघुगणकीय समीकरण, चाहे उसमें कुछ भी शामिल हो, चाहे कोई भी लघुगणक हो, चाहे कोई भी आधार हो, और चाहे उसमें कुछ भी हो, आवश्यक रूप से इस रूप के समीकरण में घटाया जाना चाहिए:

लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए जी (एक्स)

यदि हम अपने समीकरण को देखें, तो हमें तुरंत दो समस्याएं नज़र आती हैं:

1. बाईं ओर हमारे पास है दो संख्याओं का योग, जिनमें से एक बिल्कुल भी लघुगणक नहीं है।
2. दाईं ओर काफी लघुगणक है, लेकिन इसके आधार पर एक जड़ है। और बायीं ओर लघुगणक केवल 2 है, अर्थात्। बाएँ और दाएँ लघुगणक के आधार भिन्न-भिन्न हैं।

इसलिए, हमने उन समस्याओं की यह सूची तैयार की है जो हमारे समीकरण को उससे अलग करती हैं विहित समीकरण, जिसमें समाधान प्रक्रिया के दौरान किसी भी लघुगणकीय समीकरण को कम किया जाना चाहिए। इस प्रकार, इस स्तर पर हमारे समीकरण को हल करने से ऊपर वर्णित दो समस्याएं समाप्त हो जाती हैं।

किसी भी लघुगणकीय समीकरण को जल्दी और आसानी से हल किया जा सकता है यदि आप इसे इसके विहित रूप में छोटा कर दें।

लघुगणक और उत्पाद के लघुगणक का योग

आइए क्रम से आगे बढ़ें। सबसे पहले, आइए बाईं ओर की संरचना को देखें। हम दो लघुगणक के योग के बारे में क्या कह सकते हैं? आइए याद रखें अद्भुत सूत्र:

लॉग ए एफ (एक्स) + लॉग ए जी (एक्स) = लॉग ए एफ (एक्स) जी (एक्स)

लेकिन यह विचार करने योग्य है कि हमारे मामले में पहला पद बिल्कुल भी लघुगणक नहीं है। इसका मतलब यह है कि हमें इकाई को आधार 2 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है (सटीक रूप से 2, क्योंकि आधार 2 का लघुगणक बाईं ओर है)। इसे कैसे करना है? आइए फिर से याद करें वह अद्भुत सूत्र:

ए = लॉग बी बी ए

यहां आपको यह समझने की आवश्यकता है: जब हम कहते हैं "कोई आधार बी", तो हमारा मतलब है कि बी अभी भी एक मनमाना संख्या नहीं हो सकता है। यदि हम लघुगणक में एक संख्या डालते हैं, तो निश्चित प्रतिबंध, अर्थात्: लघुगणक का आधार 0 से अधिक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। अन्यथा, लघुगणक का कोई मतलब ही नहीं बनता। आइए इसे लिखें:

0 < b ≠ 1

आइए देखें हमारे मामले में क्या होता है:

1 = लॉग 2 2 1 = लॉग 2 2

आइए अब इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अपने पूरे समीकरण को फिर से लिखें। और हम तुरंत एक और नियम लागू करते हैं: लघुगणक का योग तर्कों के उत्पाद के लघुगणक के बराबर होता है। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

हमारे पास एक नया समीकरण है. जैसा कि हम देखते हैं, यह पहले से ही उस विहित समीकरण के बहुत करीब है जिसके लिए हम प्रयास करते हैं। लेकिन एक समस्या है, हमने इसे दूसरे बिंदु के रूप में लिखा है: हमारे लघुगणक, जो बाएँ और दाएँ हैं, विभिन्न कारणों से. चलिए अगले चरण पर चलते हैं।

लघुगणक से घात घटाने के नियम

तो बाईं ओर के लघुगणक का आधार केवल 2 है, और दाईं ओर के लघुगणक के आधार पर एक जड़ है। लेकिन यह कोई समस्या नहीं है अगर हम याद रखें कि लघुगणक के तर्कों के आधार को घातों तक बढ़ाया जा सकता है। आइए इनमें से एक नियम लिखें:

लॉग ए बी एन = एन लॉग ए बी

मानव भाषा में अनुवादित: आप लघुगणक के आधार से शक्ति निकाल सकते हैं और इसे गुणक के रूप में सामने रख सकते हैं। संख्या n लघुगणक से बाहर की ओर "स्थानांतरित" हुई और सामने एक गुणांक बन गई।

हम लघुगणक के आधार से उतनी ही आसानी से शक्ति प्राप्त कर सकते हैं। यह इस तरह दिखेगा:

दूसरे शब्दों में, यदि आप लघुगणक के तर्क से डिग्री हटा दें, तो यह डिग्री भी लघुगणक से पहले एक कारक के रूप में लिखी जाती है, लेकिन एक संख्या के रूप में नहीं, बल्कि पारस्परिक संख्या 1/k के रूप में।

हालाँकि, इतना ही नहीं! हम इन दोनों सूत्रों को जोड़ सकते हैं और निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

जब लघुगणक के आधार और तर्क दोनों में कोई शक्ति दिखाई देती है, तो हम समय बचा सकते हैं और आधार और तर्क दोनों से तुरंत शक्तियाँ निकालकर गणना को सरल बना सकते हैं। इस मामले में, तर्क में क्या था (हमारे मामले में, यह गुणांक n है) अंश में दिखाई देगा। और आधार पर डिग्री क्या थी, एके, हर में जाएगी।

और ये वे सूत्र हैं जिनका उपयोग अब हम अपने लघुगणक को उसी आधार पर कम करने के लिए करेंगे।

सबसे पहले, आइए अधिक या कम सुंदर आधार चुनें। जाहिर है, जड़ की तुलना में आधार पर दो के साथ काम करना अधिक सुखद है। तो आइए दूसरे लघुगणक को आधार 2 तक कम करने का प्रयास करें। आइए इस लघुगणक को अलग से लिखें:

हम यहाँ क्या कर सकते हैं? आइए परिमेय घातांक वाले घात सूत्र को याद करें। दूसरे शब्दों में, हम जड़ों को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक घात के रूप में लिख सकते हैं। और फिर हम तर्क और लघुगणक के आधार दोनों में से 1/2 की शक्ति लेते हैं। हम लघुगणक के सामने अंश और हर में गुणांकों में दो को कम करते हैं:

अंत में, आइए नए गुणांकों को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखें:

लघुगणक 2 2(9x 2 + 5) = लघुगणक 2 (8x 4 + 14)

हमने विहित लघुगणकीय समीकरण प्राप्त कर लिया है। बायीं ओर और दायीं ओर दोनों पर समान आधार 2 का लघुगणक है। इन लघुगणक के अलावा, बायीं ओर या दायीं ओर कोई गुणांक, कोई पद नहीं है।

परिणामस्वरूप, हम लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पा सकते हैं। बेशक, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए। लेकिन ऐसा करने से पहले, आइए वापस जाएं और भिन्नों के बारे में थोड़ा स्पष्टीकरण दें।

किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करना: अतिरिक्त विचार

सभी छात्र यह नहीं समझते हैं कि सही लघुगणक के सामने वाले कारक कहाँ से आते हैं और कहाँ जाते हैं। आइए इसे फिर से लिखें:

आइए जानें कि भिन्न क्या है। आइए लिखें:

आइए अब भिन्नों को विभाजित करने के नियम को याद रखें: 1/2 से विभाजित करने के लिए आपको उल्टे भिन्न से गुणा करना होगा:

बेशक, आगे की गणना की सुविधा के लिए, हम दो को 2/1 के रूप में लिख सकते हैं - और इसे हम समाधान प्रक्रिया में दूसरे गुणांक के रूप में देखते हैं।

मुझे आशा है कि अब हर कोई समझ गया है कि दूसरा गुणांक कहाँ से आता है, तो चलिए सीधे अपने विहित लघुगणक समीकरण को हल करने की ओर बढ़ते हैं।

लघुगणक चिन्ह से छुटकारा पाना

मैं आपको याद दिला दूं कि अब हम लघुगणक से छुटकारा पा सकते हैं और निम्नलिखित अभिव्यक्ति छोड़ सकते हैं:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

आइए बाईं ओर के कोष्ठक खोलें। हम पाते हैं:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

आइए सब कुछ बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं:

8x 4 + 14 - 18x 2 - 10 = 0

आइए ऐसे ही कुछ लेकर आएं और पाएं:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

गुणांकों को सरल बनाने के लिए हम इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित कर सकते हैं, और हमें मिलता है:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

हमसे पहले सामान्य है द्विघात समीकरण, और इसकी जड़ों की गणना विवेचक के माध्यम से आसानी से की जाती है। तो, आइए विभेदक को लिखें:

डी = 81 - 4 4 2 = 81 - 32 = 49

बढ़िया, विभेदक "सुंदर" है, इसका मूल 7 है। बस इतना ही, आइए एक्स को स्वयं गिनें। लेकिन इस मामले में, मूल x नहीं, बल्कि x 2 होंगे, क्योंकि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है। तो, हमारे विकल्प:

कृपया ध्यान दें: हमने जड़ें निकालीं, इसलिए दो उत्तर होंगे, क्योंकि... वर्ग - यहां तक ​​कि समारोह. और यदि हम केवल दो का मूल लिखेंगे तो हम दूसरा मूल खो देंगे।

अब हम अपने द्विघात समीकरण का दूसरा मूल लिखते हैं:

फिर से, हम अपने समीकरण के दोनों पक्षों का अंकगणितीय वर्गमूल लेते हैं और दो मूल प्राप्त करते हैं। हालाँकि, याद रखें:

केवल लघुगणक के तर्कों को विहित रूप में समान करना पर्याप्त नहीं है। परिभाषा का क्षेत्र याद रखें!

कुल मिलाकर हमें चार जड़ें मिलीं। ये सभी वास्तव में हमारे मूल समीकरण के समाधान हैं। एक नज़र डालें: हमारे मूल लघुगणक समीकरण में, अंदर के लघुगणक या तो 9x 2 + 5 हैं (यह फ़ंक्शन हमेशा सकारात्मक है) या 8x 4 + 14 - जो हमेशा सकारात्मक भी होता है। इसलिए, लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र किसी भी मामले में संतुष्ट है, चाहे हमें कोई भी मूल मिले, जिसका अर्थ है कि सभी चार मूल हमारे समीकरण के समाधान हैं।

बढ़िया, अब समस्या के दूसरे भाग पर चलते हैं।

एक खंड पर लघुगणकीय समीकरण की जड़ों का चयन

अपनी चार जड़ों में से हम उन जड़ों का चयन करते हैं जो खंड [−1; 8/9]। हम अपनी जड़ों की ओर लौटते हैं, और अब हम उनका चयन करेंगे। आरंभ करने के लिए, मैं एक समन्वय अक्ष बनाने और उस पर खंड के सिरों को चिह्नित करने का सुझाव देता हूं:

दोनों बिंदुओं को छायांकित किया जाएगा। वे। समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम छायांकित खंड में रुचि रखते हैं। अब आइए जड़ों पर नजर डालें।

तर्कहीन जड़ें

आइए अपरिमेय जड़ों से शुरू करें। ध्यान दें कि 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

इससे यह पता चलता है कि दो की जड़ हमारी रुचि के खंड में नहीं आती है। इसी तरह, हम एक नकारात्मक मूल प्राप्त करेंगे: यह -1 से कम है, यानी, यह हमारे लिए रुचि के खंड के बाईं ओर स्थित है।

तर्कसंगत जड़ें

दो मूल बचे हैं: x = 1/2 और x = −1/2। आइए ध्यान दें कि खंड का बायां सिरा (−1) नकारात्मक है, और दायां सिरा (8/9) सकारात्मक है। इसलिए, इन सिरों के बीच कहीं संख्या 0 है। मूल x = −1/2, −1 और 0 के बीच होगा, यानी। अंतिम उत्तर में समाप्त होगा. हम मूल x = 1/2 के साथ भी ऐसा ही करते हैं। यह जड़ भी विचाराधीन खंड पर स्थित है।

आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि 8/9, 1/2 से बड़ा है। आइए इन संख्याओं को एक दूसरे से घटाएँ:

हमें भिन्न 7/18 > 0 मिला, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ 8/9 > 1/2 है।

आइए निर्देशांक अक्ष पर उपयुक्त मूलों को चिह्नित करें:

अंतिम उत्तर दो मूल होंगे: 1/2 और -1/2।

अपरिमेय संख्याओं की तुलना: एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म

अंत में, मैं एक बार फिर अपरिमेय संख्याओं पर लौटना चाहूँगा। उनके उदाहरण का उपयोग करते हुए, अब हम देखेंगे कि गणित में तर्कसंगत और अपरिमेय मात्राओं की तुलना कैसे करें। आरंभ करने के लिए, उनके बीच ऐसा एक टिक है - एक "अधिक" या "कम" चिह्न, लेकिन हम अभी तक नहीं जानते कि यह किस दिशा में निर्देशित है। आइए लिखें:

हमें किसी तुलना एल्गोरिदम की आवश्यकता क्यों है? तथ्य यह है कि इस समस्या में हम बहुत भाग्यशाली थे: विभाजन को हल करने की प्रक्रिया में संख्या 1 उत्पन्न हुई, जिसके बारे में हम निश्चित रूप से कह सकते हैं:

हालाँकि, आपको हमेशा ऐसी संख्या तुरंत नहीं दिखेगी। तो आइए सीधे अपनी संख्याओं की तुलना करने का प्रयास करें।

यह कैसे किया है? हम सामान्य असमानताओं के समान ही करते हैं:

1. सबसे पहले, यदि हमारे पास कहीं नकारात्मक गुणांक है, तो हम असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करेंगे। बिल्कुल चिन्ह बदलना. यह चेकमार्क V इस में बदल जाएगा - Λ.
2. लेकिन हमारे मामले में दोनों पक्ष पहले से ही सकारात्मक हैं, इसलिए कुछ भी बदलने की जरूरत नहीं है। जिसकी वास्तव में आवश्यकता है दोनों तरफ चौकोरकट्टरपंथी से छुटकारा पाने के लिए.

यदि, अपरिमेय संख्याओं की तुलना करते समय, अलग करने वाले तत्व का तुरंत चयन करना संभव नहीं है, तो मैं ऐसी तुलना "सिर पर" करने की सलाह देता हूं - इसे एक सामान्य असमानता के रूप में वर्णित करता हूं।

इसे हल करते समय इसे इस प्रकार औपचारिक रूप दिया जाता है:

अब तुलना करना आसान है. बात ये है कि 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

बस, हमें इस बात का पुख्ता प्रमाण मिल गया है कि सभी संख्याएँ संख्या रेखा x पर सही ढंग से और ठीक उसी क्रम में अंकित हैं जिस क्रम में उन्हें वास्तव में होना चाहिए। कोई भी इस समाधान में गलती नहीं ढूंढेगा, इसलिए याद रखें: यदि आपको तुरंत विभाजन संख्या दिखाई नहीं देती है (हमारे मामले में यह 1 है), तो बेझिझक उपरोक्त निर्माण को लिखें, गुणा करें, वर्ग करें - और अंत में आप पाएंगे एक सुंदर असमानता प्राप्त करें. इस असमानता से यह स्पष्ट हो जाएगा कि कौन सी संख्या अधिक है और कौन सी कम है।

अपनी समस्या पर लौटते हुए, मैं एक बार फिर आपका ध्यान इस ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि हमने अपने समीकरण को हल करते समय शुरुआत में क्या किया था। अर्थात्: हमने अपने मूल लघुगणकीय समीकरण पर बारीकी से नज़र डाली और इसे कम करने का प्रयास किया कैनन कालघुगणकीय समीकरण. जहां बायीं और दायीं ओर केवल लघुगणक हैं - बिना किसी अतिरिक्त पद, सामने गुणांक आदि के। हमें ए या बी पर आधारित दो लघुगणक की आवश्यकता नहीं है, बल्कि दूसरे लघुगणक के बराबर एक लघुगणक की आवश्यकता है।

इसके अतिरिक्त, लघुगणक के आधार भी बराबर होने चाहिए। इसके अलावा, यदि समीकरण सही ढंग से बनाया गया है, तो प्राथमिक लघुगणकीय परिवर्तनों (लघुगणक का योग, किसी संख्या का लघुगणक में परिवर्तन, आदि) की सहायता से हम इस समीकरण को विहित में कम कर देंगे।

इसलिए, अब से, जब आप एक लघुगणकीय समीकरण देखते हैं जिसे तुरंत हल नहीं किया जा सकता है, तो आपको भ्रमित नहीं होना चाहिए या उत्तर जानने का प्रयास नहीं करना चाहिए। आपको बस इन चरणों का पालन करना है:

1. सभी मुक्त तत्वों को लघुगणक में बदलें;
2. फिर इन लघुगणक को जोड़ें;
3. परिणामी निर्माण में, सभी लघुगणक को एक ही आधार पर कम करें।

परिणामस्वरूप, आपको एक सरल समीकरण मिलेगा जिसे ग्रेड 8-9 सामग्री से प्राथमिक बीजगणित उपकरणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, मेरी वेबसाइट पर जाएं, लघुगणक हल करने का अभ्यास करें, मेरी तरह लघुगणक समीकरण हल करें, उन्हें मुझसे बेहतर तरीके से हल करें। और मेरे लिए बस इतना ही है. पावेल बर्डोव आपके साथ थे। फिर मिलेंगे!