Тодорхой үйлчилгээ. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга. Шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ
ХАМТ nүл мэдэгдэх нь дараах хэлбэрийн систем юм.
Хаана a ijТэгээд b i (i=1,…,m; b=1,…,n)- зарим мэдэгдэж байгаа тоо, ба x 1 ,…,x n- үл мэдэгдэх тоо. Коэффициентийг тодорхойлохдоо a ijиндекс битэгшитгэлийн тоог тодорхойлдог ба хоёр дахь j- энэ коэффициент байрладаг үл мэдэгдэх тоо.
Нэг төрлийн систем -системийн бүх чөлөөт нөхцөл тэгтэй тэнцүү байх үед ( b 1 = b 2 = … = b m = 0), нөхцөл байдал эсрэгээрээ байна гетероген систем.
Дөрвөлжин систем -хэзээ тоо мтэгшитгэл нь тоотой тэнцүү байна nүл мэдэгдэх.
Системийн шийдэл- нийт nтоо c 1, c 2, …, c n,бүх зүйлийг орлуулах тийм в биоронд нь x iсистем болгон бүх тэгшитгэлээ таних тэмдэг болгон хувиргадаг.
Хамтарсан систем -систем нь дор хаяж 1 шийдэлтэй үед, ба хоршооллын бус тогтолцоосистемд шийдэл байхгүй үед.
Энэ төрлийн хамтарсан систем (дээр дурдсанчлан (1)) нэг буюу хэд хэдэн шийдэлтэй байж болно.
Шийдэл c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1)Тэгээд c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)(1) төрлийн хамтарсан системүүд байх болно янз бүрийн, тэгшитгэлийн 1 нь ч хангагдаагүй үед:
c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .
(1) төрлийн хамтарсан систем байх болно тодорхойтүүнд ганцхан шийдэл байгаа үед; систем нь дор хаяж 2 өөр шийдэлтэй бол энэ нь болдог дутуу тодорхойлсон. Үл мэдэгдэхээс олон тэгшитгэл байгаа бол систем нь байна дахин тодорхойлсон.
Үл мэдэгдэх коэффициентийг матриц хэлбэрээр бичнэ.
гэж нэрлэдэг системийн матриц.
Тэгшитгэлийн баруун талд гарч буй тоонууд нь байна b 1 ,…,b мбайна чөлөөт гишүүд.
Нийтлэг байдал nтоо c 1 ,…,c nнь тоонуудыг орлуулсны дараа системийн бүх тэгшитгэлүүд тэнцүү болох үед энэ системийн шийдэл юм c 1 ,…,c nхаргалзах үл мэдэгдэхийн оронд x 1 ,…,x n.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ 3 сонголт гарч ирж болно.
1. Систем нь ганцхан шийдэлтэй.
2. Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй. Жишээлбэл, . Энэ системийн шийдэл нь тэмдгээр ялгаатай бүх хос тоонууд байх болно.
3. Системд ямар ч шийдэл байхгүй. Жишээлбэл.. Хэрэв шийдэл байсан бол x 1 + x 2нэгэн зэрэг 0 ба 1-тэй тэнцүү байх болно.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга.
Шууд аргуудяг шийдлийг олох алгоритмыг өг SLAU(шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем). Хэрэв нарийвчлал үнэмлэхүй байсан бол тэд үүнийг олох байсан. Жинхэнэ цахилгаан компьютер мэдээж алдаатай ажилладаг тул шийдэл нь ойролцоо байх болно.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) шийдвэрлэх нь шугаман алгебрийн хичээлийн хамгийн чухал сэдэв болох нь дамжиггүй. Математикийн бүх салбараас асар олон тооны асуудлууд шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ирдэг. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэ нийтлэлийн шалтгааныг тайлбарладаг. Өгүүллийн материалыг сонгож, зохион бүтээсэн бөгөөд ингэснээр түүний тусламжтайгаар та боломжтой болно
- шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх оновчтой аргыг сонгох;
- сонгосон аргын онолыг судлах,
- ердийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан шийдлүүдийг авч үзэх замаар шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдээрэй.
Өгүүллийн материалын товч тайлбар.
Нэгдүгээрт, бид шаардлагатай бүх тодорхойлолт, ойлголтыг өгч, тэмдэглэгээг нэвтрүүлдэг.
Дараа нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өвөрмөц шийдэлтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх аргуудыг авч үзэх болно. Нэгдүгээрт, бид Крамерын аргад анхаарлаа хандуулах болно, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуулах болно, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга) шинжлэх болно. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE-ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.
Үүний дараа бид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь дан хэлбэртэй байдаг ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжих болно. SLAE-ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог Кронекер-Капелли теоремыг томъёолъё. Матрицын минор суурь гэсэн ойлголтыг ашиглан системийн шийдлийг (хэрэв тэдгээр нь нийцтэй бол) дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид мөн Гауссын аргыг авч үзэж, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийн бүтцэд бид заавал анхаарлаа хандуулах болно. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан SLAE-ийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичихийг харуулъя. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.
Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулж болох тэгшитгэлийн системүүд, түүнчлэн шийдвэрлэхэд нь SLAE үүсдэг янз бүрийн асуудлуудыг авч үзэх болно.
Хуудасны навигаци.
Тодорхойлолт, ойлголт, тэмдэглэгээ.
Бид хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.
Үл мэдэгдэх хувьсагч, - коэффициент (зарим бодит эсвэл нийлмэл тоо), - чөлөөт нэр томъёо (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).
SLAE бичлэгийн энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.
IN матриц хэлбэрЭнэ тэгшитгэлийн системийг бичих нь дараах хэлбэртэй байна.
Хаана 
- системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчийн баганын матриц, - чөлөөт нэр томъёоны баганын матриц.
Хэрэв бид чөлөөт нөхцлүүдийн матриц баганыг А матрицад (n+1)-р багана болгон нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг T үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны баганыг үлдсэн баганаас босоо шугамаар тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл, 
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхсистемийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц гэж нэрлэдэг. Үл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгуудын матрицын тэгшитгэл нь мөн адил болно.
Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.
Хэрэв тэгшитгэлийн систем шийдэлгүй бол түүнийг дуудна хамтарсан бус.
Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.
Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол 
, дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - гетероген.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг шийдвэрлэх.
Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол ийм SLAE-г нэрлэнэ. анхан шатны. Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг ба нэгэн төрлийн системийн хувьд үл мэдэгдэх бүх хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байна.
Бид ахлах сургуульд байхдаа ийм SLAE-г судалж эхэлсэн. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэл авч, нэг үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусдаар нь илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь дараагийн тэгшитгэлийг авч, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмсэн. Эдгээр аргууд нь үндсэндээ Гауссын аргын өөрчлөлтүүд учраас бид тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.
Шугаман тэгшитгэлийн энгийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэднийг цэгцэлье.
Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё 
тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү байх ба системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл, .
Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч байг, ба 
- орлуулах замаар А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч 1, 2, …, nthбагана нь чөлөөт гишүүдийн баганад: 
Энэхүү тэмдэглэгээний тусламжтайгаар үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёог ашиглан тооцдог 
. Крамерын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг ингэж олдог.
Жишээ.
Крамерын арга 
.
Шийдэл.
Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна 
. Тодорхойлогчийг тооцоолъё (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү): 
Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул систем нь Крамерын аргаар олох боломжтой өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.
Шаардлагатай тодорхойлогчдыг бүрдүүлж, тооцоолъё 
(бид А матрицын эхний баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, тодорхойлогчийг хоёр дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар солих замаар тодорхойлогчийг авна) : 
Томъёо ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олох 
:
Хариулт:
Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болох юм бол) систем дэх тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, үүнд А матриц нь n-ээс n хэмжээтэй, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.
А матриц нь урвуу байдаг тул урвуу матриц байдаг. Хэрэв тэгш байдлын хоёр талыг зүүн тийш үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн матриц-баганыг олох томьёо гарна. Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг ингэж олж авсан юм.
Жишээ.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд матрицын арга.
Шийдэл.
Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье. 
Учир нь
дараа нь SLAE-ийг матрицын аргыг ашиглан шийдэж болно. Урвуу матрицыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно 
.
А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдээс матрицыг ашиглан урвуу матрицыг байгуулъя (шаардлагатай бол өгүүллийг үзнэ үү): 
Урвуу матрицыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэх хувьсагчдын матрицыг тооцоолоход л үлддэг 
чөлөөт гишүүдийн матриц баганад (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү): 
Хариулт:
эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход тулгардаг гол асуудал бол урвуу матрицыг олоход төвөгтэй байдаг, ялангуяа 3-аас дээш дарааллын квадрат матрицын хувьд.
Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
Үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё. 
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.
Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан хасахаас бүрдэнэ: нэгдүгээрт, x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт, дараа нь x 2-ыг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасна, зөвхөн үл мэдэгдэх хувьсагч x n хүртэл. сүүлчийн тэгшитгэлд хэвээр байна. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах энэ үйл явц гэж нэрлэгддэг шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш харвалт хийж дууссаны дараа сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг олж, эцсийн өмнөх тэгшитгэлийн энэ утгыг ашиглан x n-1-ийг тооцоолж, эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. Гауссын аргын урвуу.
Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.
Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Хоёр дахьээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэл дээр бид эхнийхийг нэмж, үржүүлж, n-р тэгшитгэлд бид эхнийхийг нэмээд үржүүлнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно 
хаана ба 
.
Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан бол ижил үр дүнд хүрэх байсан. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.
Дараа нь бид ижил төстэй арга замаар явна, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үр дүнд бий болсон системийн нэг хэсгийг л хийнэ 
Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь тэгшитгэлээр үржүүлж, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр бид хоёр дахь, үржүүлсэн, гэх мэт, n-р тэгшитгэлд бид хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмж, үржүүлсэн үржвэрийг нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно 
хаана ба 
. Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.
Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгахын зэрэгцээ зурагт тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийнэ. 
Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ 
Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. .
Жишээ.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд Гауссын арга.
Шийдэл.
Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч х 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр талд бид эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тус тус нэмж, үржүүлж нэмнэ. 
Одоо бид гурав дахь тэгшитгэлээс x 2-ыг хасч, түүний зүүн ба баруун талд хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэмж, дараах байдлаар үржүүлэв. 
Энэ нь Гауссын аргын урагшлах цохилтыг дуусгаж, бид урвуу цохилтыг эхлүүлнэ.
Үүссэн тэгшитгэлийн системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид x 3-ийг олно. 
Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.
Эхний тэгшитгэлээс үлдэгдэл үл мэдэгдэх хувьсагчийг олж, улмаар Гауссын аргын урвуу үйлдлийг гүйцээнэ.
Хариулт:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
Ерөнхийдөө p системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх n хувьсагчийн тоотой давхцдаггүй.
Ийм SLAE нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь дөрвөлжин ба дан хэлбэртэй тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.
Кронекер-Капелли теорем.
Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. SLAE нь хэзээ нийцдэг, хэзээ нийцэхгүй вэ гэсэн асуултын хариултыг өгсөн Кронекер-Капелли теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. , Зэрэг(A)=Зэрэглэл(T).
Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлохын тулд Кронекер-Капелли теоремыг жишээ болгон авч үзье.
Жишээ.
Шугаман тэгшитгэлийн систем байгаа эсэхийг олж мэд 
шийдлүүд.
Шийдэл.
. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг хэрэглэцгээе. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага 
тэгээс ялгаатай. Түүнтэй хиллэдэг гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг харцгаая. 
Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.
Эргээд өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл 
насанд хүрээгүй нь гурав дахь зэрэгтэй тул гуравтай тэнцүү байна 
тэгээс ялгаатай.
Тиймээс, Rang(A), тиймээс Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нийцэхгүй байна гэж дүгнэж болно.
Хариулт:
Системд ямар ч шийдэл байхгүй.
Тиймээс бид Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан системийн үл нийцэлийг тогтоож сурсан.
Гэхдээ SLAE-ийн нийцтэй байдал тогтоогдвол хэрхэн шийдлийг олох вэ?
Үүний тулд бидэнд матрицын минор суурь гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн тухай теорем хэрэгтэй.
Тэгээс ялгаатай А матрицын хамгийн дээд эрэмбийн минорыг гэнэ үндсэн.
Минор суурь гэсэн тодорхойлолтоос үзэхэд түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна. Тэг биш А матрицын хувьд хэд хэдэн суурь минор байж болно; үргэлж нэг суурь минор байдаг.
Жишээлбэл, матрицыг авч үзье 
.
Энэ матрицын гурав дахь эгнээний элементүүд нь эхний болон хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна.
Дараах 2-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэг биш тул үндсэн юм 
Насанд хүрээгүй хүмүүс 
тэгтэй тэнцүү тул үндсэн биш.
Матрицын зэрэглэлийн теорем.
Хэрэв p-ээс n дарааллын матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү бол матрицын сонгосон минор суурь үүсгэдэггүй бүх мөр (ба багана) элементүүдийг шугаман байдлаар харгалзах мөр (ба багана) элементүүдээр илэрхийлнэ. суурь бага.
Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу хэлэх вэ?
Хэрэв Кронекер-Капелли теоремын дагуу бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч бага баазыг (түүний дараалал нь r-тэй тэнцүү) сонгож, бүх тэгшитгэлийг системээс хасна. сонгосон үндэслэлийг бүрдүүлэхгүй. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь хасагдсан тэгшитгэлүүд илүүдэл хэвээр байна (матрицын эрэмбийн теоремын дагуу тэдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).
Үүний үр дүнд системийн шаардлагагүй тэгшитгэлийг устгасны дараа хоёр тохиолдол гарч болно.
Хэрэв үүссэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олох боломжтой.
Жишээ.
.
Шийдэл.
Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл 
насанд хүрээгүй нь хоёрдугаар зэрэглэлийнх тул хоёртой тэнцүү байна 
тэгээс ялгаатай. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл 
Гурав дахь зэрэглэлийн цорын ганц минор нь тэг учраас мөн хоёртой тэнцүү байна 
мөн дээр авч үзсэн хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэгээс ялгаатай. Rank(A)=Rank(T)=2 тул Кронекер-Капелли теорем дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж чадна.
Бага зэрэг үндэслэл болгон бид авдаг . Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентээр үүсгэгддэг. 
Системийн гурав дахь тэгшитгэл нь суурь минор үүсэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн бид үүнийг системээс хасдаг. 
Ингэж бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг олж авсан. Үүнийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье. 
Хариулт:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Хэрэв үүссэн SLAE дахь r тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоо n-ээс бага байвал тэгшитгэлийн зүүн талд бид үндсэн суурь бүрдүүлэгч нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн гишүүдийг баруун тал руу шилжүүлнэ. эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэл.
Тэгшитгэлийн зүүн талд үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r) гэж нэрлэдэг гол.
Баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (n - r хэсэг) гэж нэрлэдэг үнэгүй.
Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч нь дур зоргоороо утгыг авч чаддаг бол үл мэдэгдэх үндсэн r хувьсагч нь үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчаар өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэх болно гэж бид үзэж байна. Тэдний илэрхийлэлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргыг ашиглан үүссэн SLAE-ийг шийдэх замаар олж болно.
Үүнийг жишээгээр харцгаая.
Жишээ.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийд 
.
Шийдэл.
Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё 
насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргаар. 1 1 = 1-ийг эхний эрэмбийн 0 биш минор гэж үзье. Энэ насанд хүрээгүй хоёр дахь зэрэглэлийн 0-ээс бага насны хүүхдийг хайж эхэлцгээе. 
Ингэж бид хоёр дахь зэрэглэлийн 0 биш минорыг олсон. Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс өөр хил хязгаарыг хайж эхэлцгээе. 
Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурван байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл систем нь тогтвортой байна.
Гурав дахь эрэмбийн олдсон тэг биш минорыг бид суурь болгон авдаг.
Тодорхой болгохын тулд бид минорын үндэс суурийг бүрдүүлдэг элементүүдийг харуулав. 
Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн суурьт хамаарах нэр томъёог орхиж, үлдсэнийг нь эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлнэ. 
Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчид x 2 ба x 5 дурын утгыг өгье, өөрөөр хэлбэл бид хүлээн зөвшөөрнө. 
, дурын тоо хаана байна. Энэ тохиолдолд SLAE нь маягтыг авна 
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн үндсэн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье. 
Тиймээс, .
Хариултдаа үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг зааж өгөхөө бүү мартаарай.
Хариулт:
Дурын тоонууд хаана байна.
Дүгнэж хэлье.
Ерөнхий шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан түүний нийцтэй байдлыг тодорхойлно. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.
Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол бид минор суурь сонгож, сонгосон минорыг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг устгана.
Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олж болно.
Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлж, дурын утгыг өгнө. үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргыг ашиглан үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олдог.
Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.
Гауссын аргыг ямар ч төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг эхлээд тууштай эсэхийг шалгахгүйгээр шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах үйл явц нь SLAE-ийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжтой бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжтой болгодог.
Тооцооллын үүднээс Гауссын аргыг илүүд үздэг.
Ерөнхий шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга гэсэн өгүүлэлд түүний дэлгэрэнгүй тайлбар, дүн шинжилгээ хийсэн жишээг үзнэ үү.
Уусмалын үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бичих.
Энэ хэсэгт бид хязгааргүй тооны шийдтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системүүдийн талаар ярих болно.
Эхлээд нэгэн төрлийн системийг авч үзье.
Шийдлийн үндсэн систем n үл мэдэгдэх хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн (n – r) шугаман бие даасан шийдлүүдийн цуглуулга бөгөөд r нь системийн үндсэн матрицын суурь минорын дараалал юм.
Хэрэв бид нэгэн төрлийн SLAE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) гэж тэмдэглэвэл багана хэлбэртэй байна. n хэмжээсийн матрицууд 1) , дараа нь энэхүү нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийг дурын тогтмол C 1, C 2, ..., C (n-r) коэффициент бүхий шийдлүүдийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослолоор илэрхийлнэ. байна, .
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (орослау) гэдэг нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ?
Утга нь энгийн: томьёо нь анхны SLAE-ийн бүх боломжит шийдлүүдийг зааж өгсөн бөгөөд өөрөөр хэлбэл C 1, C 2, ..., C (n-r) дурын тогтмолуудын утгуудын багцыг авч, томъёог ашиглан бид үүнийг хийх болно. анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн аль нэгийг олж авна.
Тиймээс, хэрэв бид шийдлүүдийн үндсэн системийг олвол энэ нэгэн төрлийн SLAE-ийн бүх шийдлүүдийг гэж тодорхойлж болно.
Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.
Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх хувьсагч агуулсан бүх нэр томъёог эсрэг тэмдэг бүхий системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлдэг. Чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 1,0,0,...,0 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх утгыг тооцоолж, шугаман тэгшитгэлийн үндсэн системийг ямар ч аргаар, жишээлбэл, Крамерын аргыг ашиглан шийдье. Үүний үр дүнд үндсэн системийн эхний шийдэл болох X (1) гарч ирнэ. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,1,0,0,…,0 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (2) болно. гэх мэт. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0.0,…,0.1 утгыг оноож, үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (n-r) -ийг авна. Ийм байдлаар нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулж, түүний ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системүүдийн хувьд ерөнхий шийд нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл бөгөөд чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудыг өгөх замаар олж авсан анхны нэгэн төрлийн бус SLAE-ийн тодорхой шийдэл юм. 0,0,…,0 ба үндсэн үл мэдэгдэх утгуудыг тооцоолох.
Жишээнүүдийг харцгаая.
Жишээ.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг олох 
.
Шийдэл.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэг нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй үргэлж тэнцүү байна. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё. Нэгдүгээр эрэмбийн тэг биш минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын 1 1 = 9 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн хилийн тэг биш минорыг олъё: 
Хоёр дахь эрэмбийн минор, тэгээс ялгаатай нь олдсон. Тэг биш нэгийг хайж олохын тулд түүнтэй хиллэдэг гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье. 
Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна. Авцгаая . Тодорхой болгохын тулд үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэе. 
Анхны SLAE-ийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн суурь үүсэхэд оролцдоггүй тул дараахь зүйлийг хасч болно. 
Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх нэр томъёог үлдээж, чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлнэ.
Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя. Энэхүү SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн систем нь хоёр шийдлээс бүрдэнэ, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний суурь минорын дараалал нь хоёртой тэнцүү байна. X (1) -ийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад x 2 = 1, x 4 = 0 утгуудыг өгч, дараа нь тэгшитгэлийн системээс үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олно. 
.
Эдийн засгийн салбарт янз бүрийн үйл явцыг математик загварчлахад тэгшитгэлийн системийг өргөн ашигладаг. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.
Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.
Шугаман тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдлийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл юм. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.
Шугаман тэгшитгэл
ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. x, y тэмдэглэгээ нь утгыг нь олох ёстой үл мэдэгдэх зүйлс, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг зурах замаар шийдэх нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.
Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд
Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.
F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.
Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг (x, y) олох эсвэл x ба y-ийн тохирох утгууд байхгүй болохыг тогтооно гэсэн үг юм.
Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.
Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв тэнцүү тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.
Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.
Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй бөгөөд тэдгээрийн тоо хүссэн хэмжээгээр байж болно.
Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд
Ийм системийг шийдэх ерөнхий аналитик арга байхгүй, бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. Сургуулийн математикийн хичээлд орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах аргууд, түүнчлэн график, матрицын аргууд, Гауссын аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан тайлбарласан болно.
Шийдлийн аргуудыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг ашиглах зарчмуудыг ойлгох явдал юм.
Ерөнхий боловсролын 7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Аливаа математикийн сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээг дээд боловсролын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалдаг.
Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх
Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсагчаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэрт буулгана. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана
Орлуулах аргыг ашиглан 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.
Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь X-ийн оронд системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Энэ жишээг шийдэх нь хялбар бөгөөд Y утгыг авах боломжийг олгодог.Сүүлийн алхам бол олж авсан утгуудыг шалгах явдал юм.
Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас тохиромжгүй.
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:
Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл
Нэмэх аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг хайхдаа тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, янз бүрийн тоогоор үржүүлнэ. Математик үйлдлүүдийн эцсийн зорилго нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.
Энэ аргыг хэрэглэх нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай үед шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэл нь бутархай ба аравтын бутархайг агуулсан үед алгебрийн нэмэлтийг ашиглахад тохиромжтой.
Шийдлийн алгоритм:
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
- Үүссэн илэрхийллийн гишүүнийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
- Үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулж, үлдсэн хувьсагчийг ол.
Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга
Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олох шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно; үл мэдэгдэх тоо хоёроос илүүгүй байх ёстой.
Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Шинэ тэгшитгэлийг танилцуулсан үл мэдэгдэх зүйлийг шийдэж, үр дүнгийн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.
Шинэ хувьсагч t-г оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.
Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. Өгөгдсөн жишээнд a=1, b=16, c=39, тиймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол нэг шийдэл байна: x = -b / 2*a.
Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.
Системийг шийдвэрлэх харааны арга
3 тэгшитгэлийн системд тохиромжтой. Энэ арга нь координатын тэнхлэг дээр системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикийг байгуулахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.
График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.
Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэгийг байгуулж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.
Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.
Дараах жишээнд шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдийг олох шаардлагатай: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.
Графикууд нь параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.
2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг хэлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг тул график байгуулах шаардлагатай байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй.
Матриц ба түүний сортууд
Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Матриц бол тоогоор дүүргэсэн тусгай төрлийн хүснэгт юм. n*m нь n - мөр, m - баганатай.
Матриц нь багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед квадрат болно. Матриц-вектор гэдэг нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганын матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементүүдийн дагуу нэг нь бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.
Урвуу матриц нь матрицыг үржүүлбэл анхных нь нэгж матриц болж хувирдаг бөгөөд ийм матриц нь зөвхөн анхны квадратын хувьд л байдаг.
Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм
Тэгшитгэлийн системтэй холбоотойгоор тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт гишүүдийг матрицын тоогоор бичдэг бөгөөд нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ юм.
Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент тэг биш байвал матрицын мөрийг тэгээс өөр гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.
Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.
Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.
Урвуу матрицыг олох сонголтууд
Урвуу матрицыг олох томьёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, K -1 нь урвуу матриц ба |K| матрицын тодорхойлогч юм. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.
Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог тул та диагональ элементүүдийг бие биенээр нь үржүүлэхэд л хангалттай. “Гурав гурваар” гэсэн хувилбарын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c гэсэн томъёо байна. 3 + a 3 b 2 c 1 . Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл ажил дээр багана, мөрийн элементийн тоо давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.
Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх
Шийдвэр олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог.
Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.
Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх
Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдлийн арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олон тооны шугаман тэгшитгэл бүхий системийн хувьсагчдыг олоход ашигладаг.
Гауссын арга нь орлуулалт болон алгебрийн нэмэлтээр шийдлүүдтэй маш төстэй боловч илүү системтэй байдаг. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын аргын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Алгебрийн хувиргалт ба орлуулалтын тусламжтайгаар нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл бөгөөд 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай байна.
Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.
7-р ангийн сургуулийн сурах бичигт Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.
Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарсан. Аливаа тэгшитгэлийг шийдэх нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг олгоно.
Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.
Гауссын арга нь дунд ангийн сурагчдад ойлгоход хэцүү ч математик, физикийн ангиудад гүнзгийрүүлсэн сургалтын хөтөлбөрт хамрагдаж буй хүүхдүүдийн оюун ухааныг хөгжүүлэх хамгийн сонирхолтой аргуудын нэг юм.
Бичлэг хийхэд хялбар байх үүднээс тооцооллыг ихэвчлэн дараах байдлаар хийдэг.
Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ромын тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.
Эхлээд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.
Үр дүн нь диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгж хэлбэрээр бууруулна. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.
Энэхүү бичлэг хийх арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.
Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй ашиглах нь анхаарал халамж, зарим туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.
Хичээлийн агуулгаХоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл
Сургуулийн хүүхэд сургуульд үдийн хоол идэхийн тулд 200 рубльтэй байдаг. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. 200 рублиэр хэдэн бялуу, аяга кофе авах боломжтой вэ?
Бялууны тоог үүгээр тэмдэглэе x, мөн аяга кофе уух тоо y. Дараа нь бялууны үнийг 25 гэсэн илэрхийллээр тэмдэглэнэ x, мөн аяга кофены үнэ 10 y .
25х—Үнэ xбялуу
10у -Үнэ yаяга кофе
Нийт дүн нь 200 рубль байх ёстой. Дараа нь бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг авна xТэгээд y
25x+ 10y= 200
Энэ тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?
Энэ бүхэн оюутны хоолны дуршилаас хамаарна. Хэрэв тэр 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авбал тэгшитгэлийн үндэс нь 6 ба 5 тоо байх болно.
6 ба 5-ын хос утгыг 25-р тэгшитгэлийн үндэс гэнэ x+ 10y= 200. Эхний тоо нь хувьсагчийн утгыг (6; 5) гэж бичнэ x, хоёр дахь нь - хувьсагчийн утга y .
6 ба 5 нь 25-р тэгшитгэлийг буцаах цорын ганц үндэс биш юм x+ 10y= 200 нь таних. Хэрэв хүсвэл 200 рубльд оюутан 4 бялуу, 10 аяга кофе худалдаж авах боломжтой.
Энэ тохиолдолд 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь хос утгууд (4; 10).
Түүгээр ч барахгүй сургуулийн сурагч кофе огт худалдаж авахгүй байж магадгүй, гэхдээ бүхэл бүтэн 200 рубльд бялуу худалдаж авдаг. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь 8 ба 0 утгууд болно
Эсвэл эсрэгээр, бялуу худалдаж авахгүй, харин бүхэл бүтэн 200 рубльд кофе худалдаж аваарай. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 утгууд нь 0 ба 20 байх болно
25-р тэгшитгэлийн бүх боломжит язгууруудыг жагсаахыг хичээцгээе x+ 10y= 200. Үнэт зүйл гэдэгтэй санал нийлэе xТэгээд yбүхэл тоонуудын багцад хамаарна. Мөн эдгээр утгууд нь тэгээс их буюу тэнцүү байна:
x∈З, у∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Энэ нь оюутан өөрөө өөртөө тохиромжтой байх болно. Жишээлбэл, хэд хэдэн бүхэл бүтэн бялуу, хагас бялууг бодвол бүхэл бүтэн бялуу худалдаж авах нь илүү тохиромжтой. Жишээлбэл, хэд хэдэн бүтэн аяга, хагас аяга гэхээсээ илүү бүх аяганд кофе уух нь илүү тохиромжтой.
Хачирхалтай гэдгийг анхаарна уу xямар ч нөхцөлд тэгш байдлыг хангах боломжгүй y. Дараа нь үнэт зүйлс xдараах тоонууд 0, 2, 4, 6, 8 байх болно. Мөн мэдэх xамархан тодорхойлж болно y
Тиймээс бид дараах хос утгыг хүлээн авлаа (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эдгээр хосууд нь 25-р тэгшитгэлийн шийдэл буюу үндэс юм x+ 10y= 200. Тэд энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.
Маягтын тэгшитгэл сүх + by = cдуудсан хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл үндэс нь хос утгууд юм ( x; y), энэ нь түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.
Мөн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичсэн бол анхаарна уу ax + b y = c ,тэгээд дотор нь бичигдсэн гэж хэлдэг каноник(хэвийн) хэлбэр.
Хоёр хувьсагчийн зарим шугаман тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулж болно.
Жишээлбэл, тэгшитгэл 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) санаанд оруулж болно сүх + by = c. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талын хаалтыг онгойлгоод авцгаая 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Бид тэгшитгэлийн зүүн талд үл мэдэгдэх нэр томъёог, баруун талд үл мэдэгдэх нэр томъёог бүлэглэдэг. Дараа нь бид авна 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Бид хоёр талдаа ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж, 16-р тэгшитгэлийг авна x+ 8y= 32. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулав сүх + by = cба каноник юм.
25-р тэгшитгэлийг өмнө нь авч үзсэн x+ 10y= 200 нь мөн каноник хэлбэрийн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлд параметрүүд а , бТэгээд в 25, 10, 200 гэсэн утгатай тэнцүү байна.
Үнэндээ тэгшитгэл сүх + by = cтоо томшгүй олон шийдэлтэй. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 25x+ 10y= 200, бид түүний үндсийг зөвхөн бүхэл тооны олонлогоос хайсан. Үүний үр дүнд бид энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргасан хэд хэдэн хос утгыг олж авлаа. Харин рационал тоонуудын олонлог дээр тэгшитгэл 25 x+ 10y= 200 нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байх болно.
Шинэ хос утгыг олж авахын тулд та дурын утгыг авах хэрэгтэй x, дараа нь илэрхийлнэ үү y. Жишээлбэл, хувьсагчийг авч үзье xутга 7. Дараа нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна 25×7 + 10y= 200 илэрхийлэх боломжтой y
Болъё x= 15. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × 15 болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −17,5
Болъё x= −3. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × (−3) болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −27,5
Хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем
Тэгшитгэлийн хувьд сүх + by = cта дур зоргоороо утгыг хэдэн ч удаа авах боломжтой xболон утгыг олох y. Тус тусад нь авч үзвэл ийм тэгшитгэл нь тоо томшгүй олон шийдтэй байх болно.
Гэхдээ энэ нь бас хувьсагчид тохиолддог xТэгээд yнэг биш, хоёр тэгшитгэлээр холбогдсон. Энэ тохиолдолд тэд гэж нэрлэгддэг үүсгэдэг хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем. Ийм тэгшитгэлийн систем нь нэг хос утгатай байж болно (эсвэл өөрөөр хэлбэл: "нэг шийдэл").
Мөн системд ямар ч шийдэл байхгүй байж магадгүй юм. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь ховор, онцгой тохиолдлуудад тоо томшгүй олон шийдэлтэй байж болно.
Хоёр шугаман тэгшитгэл нь утгууд нь системийг үүсгэдэг xТэгээд yэдгээр тэгшитгэл бүрд оруулна уу.
Эхний тэгшитгэл 25 руу буцаж орцгооё x+ 10y= 200. Энэ тэгшитгэлийн хос утгуудын нэг нь хос (6; 5) байв. Энэ нь 200 рубльд 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авах боломжтой тохиолдол юм.
Хос (6; 5) нь 25-р тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл болохын тулд асуудлыг томьёолъё. x+ 10y= 200. Үүнийг хийхийн тулд ижил зүйлийг холбох өөр тэгшитгэл үүсгэцгээе xбялуу болон yаяга кофе.
Асуудлын текстийг дараах байдлаар бичье.
“Оюутан 200 рублиэр хэд хэдэн бялуу, хэдэн аяга кофе худалдаж авсан. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэг нэгжээр их байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол оюутан хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсан бэ?
Бидэнд эхний тэгшитгэл аль хэдийн байна. Энэ бол 25-р тэгшитгэл юм x+ 10y= 200. Одоо нөхцөлийн тэгшитгэлийг байгуулъя "Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэг нэгжээр их байна" .
Бялууны тоо x, мөн аяга кофены тоо байна y. Та тэгшитгэлийг ашиглан энэ хэллэгийг бичиж болно x−y= 1. Энэ тэгшитгэл нь бялуу ба кофены ялгаа 1 байна гэсэн үг юм.
x = y+ 1. Энэ тэгшитгэл нь бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэгээр илүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс тэгш байдлыг хангахын тулд аяга кофены тоонд нэгийг нэмнэ. Хэрэв бид хамгийн энгийн асуудлыг судлахдаа авч үзсэн масштабын загварыг ашиглавал үүнийг хялбархан ойлгож болно.
Бид хоёр тэгшитгэл авсан: 25 x+ 10y= 200 ба x = y+ 1. утгуудаас хойш xТэгээд y, тухайлбал 6 ба 5 нь эдгээр тэгшитгэл тус бүрт багтсан бөгөөд дараа нь тэд хамтдаа систем үүсгэдэг. Энэ системийг бичье. Хэрэв тэгшитгэлүүд нь системийг бүрдүүлдэг бол тэдгээр нь системийн тэмдгээр хүрээлэгдсэн байна. Системийн тэмдэг нь буржгар хаалт юм:
Энэ системийг шийдье. Энэ нь 6 ба 5 гэсэн утгуудад хэрхэн хүрч байгааг харах боломжийг бидэнд олгоно. Ийм системийг шийдэх олон арга байдаг. Тэдгээрээс хамгийн алдартайг нь авч үзье.
Орлуулах арга
Энэ аргын нэр нь өөрөө ярьдаг. Үүний мөн чанар нь хувьсагчийн аль нэгийг өмнө нь илэрхийлсэн нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулах явдал юм.
Манай системд юу ч илэрхийлэх шаардлагагүй. Хоёр дахь тэгшитгэлд x = y+ 1 хувьсагч xаль хэдийн илэрхийлсэн. Энэ хувьсагч нь илэрхийлэлтэй тэнцүү байна y+ 1. Дараа нь та энэ илэрхийллийг хувьсагчийн оронд эхний тэгшитгэлд орлуулж болно x
Илэрхийллийг орлуулсны дараа yОронд нь эхний тэгшитгэлд + 1 x, бид тэгшитгэлийг авна 25(y+ 1) + 10y= 200 . Энэ бол нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш хялбар:
Бид хувьсагчийн утгыг олсон y. Одоо энэ утгыг нэг тэгшитгэлд орлуулж утгыг олъё x. Үүний тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x = y+ 1. Үүний утгыг орлуулъя y
Энэ нь (6; 5) хос нь бидний бодож байсанчлан тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэсэн үг юм. Бид (6; 5) хос системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгаж, шалгана.
Жишээ 2
Эхний тэгшитгэлийг орлуулъя x= 2 + yХоёр дахь тэгшитгэлд 3 x− 2y= 9. Эхний тэгшитгэлд хувьсагч x 2 + илэрхийлэлтэй тэнцүү y. Энэ илэрхийллийг оронд нь хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё x
Одоо утгыг нь олъё x. Үүнийг хийхийн тулд утгыг орлуулъя yэхний тэгшитгэлд оруулна x= 2 + y
Энэ нь системийн шийдэл нь хос утга (5; 3) гэсэн үг юм.
Жишээ 3. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.
Энд өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь хувьсагчийн аль нэг нь тодорхой илэрхийлэгдээгүй байна.
Нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулахын тулд эхлээд .
Нэг коэффициенттэй хувьсагчийг илэрхийлэхийг зөвлөж байна. Хувьсагч нь нэг коэффициенттэй байна x, энэ нь эхний тэгшитгэлд агуулагддаг x+ 2y= 11. Энэ хувьсагчийг илэрхийлье.
Хувьсагчийн илэрхийллийн дараа x, манай систем дараах хэлбэрийг авна.
Одоо эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж утгыг олъё y
Орлуулж үзье y x
Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (3; 4) гэсэн үг юм.
Мэдээжийн хэрэг та хувьсагчийг бас илэрхийлж болно y. Энэ нь үндсийг өөрчлөхгүй. Гэхдээ илэрхийлбэл у,Үр дүн нь тийм ч энгийн тэгшитгэл биш бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд илүү их цаг хугацаа шаардагдана. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.
Энэ жишээн дээр бид илэрхийлж байгааг харж байна xилэрхийлэхээс хамаагүй илүү тохиромжтой y .
Жишээ 4. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.
Эхний тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.
y
Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол x. Та анхны тэгшитгэл 7-г ашиглаж болно x+ 9y= 8, эсвэл хувьсагчийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг ашиглана x. Энэ нь тохиромжтой тул бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно:
Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (5; -3) гэсэн үг юм.
Нэмэх арга
Нэмэх арга нь системийн гишүүнчлэлд орсон тэгшитгэлүүдийг гишүүнээр нь нэмэхээс бүрдэнэ. Энэ нэмэлт нь нэг хувьсагчтай шинэ тэгшитгэлийг бий болгодог. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн.
Дараахь тэгшитгэлийн системийг шийдье.
Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмье. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай. Бид дараахь тэгш байдлыг олж авна.
Үүнтэй төстэй нэр томъёог авч үзье:
Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 3-р тэгшитгэлийг авсан x= 27 язгуур нь 9. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулъя xхоёр дахь тэгшитгэлд оруулна x−y= 3 . Бид 9-ийг авна y= 3 . Эндээс y= 6 .
Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (9; 6) гэсэн үг юм.
Жишээ 2
Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмье. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай. Үүний үр дүнд бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна:
Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 5-р тэгшитгэлийг авсан x= 20, язгуур нь 4. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулъя xэхний тэгшитгэлд 2 x+y= 11. 8+ авцгаая y= 11. Эндээс y= 3 .
Энэ нь системийн шийдэл нь хос утгууд (4;3) гэсэн үг юм.
Нэмэх үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлаагүй болно. Үүнийг сэтгэлзүйн хувьд хийх ёстой. Нэмэхдээ хоёр тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах ёстой. Гэж хэлэх ac + by = c .
Үзсэн жишээнүүдээс харахад тэгшитгэл нэмэх гол зорилго нь аль нэг хувьсагчаас салах явдал юм. Гэхдээ нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй байдаг. Ихэнх тохиолдолд системийг эхлээд энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэмж болох хэлбэрт оруулдаг.
Жишээлбэл, систем 
нэмэх замаар шууд шийдэж болно. Хоёр тэгшитгэлийг нэмэхдээ нөхцөл yТэгээд −yТэдний нийлбэр тэг учраас алга болно. Үүний үр дүнд хамгийн энгийн тэгшитгэл 11 үүснэ x= 22, язгуур нь 2. Дараа нь тодорхойлох боломжтой болно y 5-тай тэнцүү.
Мөн тэгшитгэлийн систем 
Нэмэх аргыг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй, учир нь энэ нь хувьсагчийн аль нэг нь алга болоход хүргэхгүй. Нэмэлт хийснээр 8-р тэгшитгэл гарч ирнэ x+ y= 28, энэ нь хязгааргүй олон шийдтэй.
Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна. Энэ дүрэм нь хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьд бас үнэн юм. Тэгшитгэлийн аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) дурын тоогоор үржүүлж болно. Үүний үр дүнд үндэс нь өмнөхтэй давхцах ижил төстэй систем байх болно.
Сургуулийн хүүхэд хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсныг тодорхойлсон анхны систем рүүгээ буцъя. Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд байв (6; 5).
Энэ системд багтсан хоёр тэгшитгэлийг хэдэн тоогоор үржүүлье. Эхний тэгшитгэлийг 2, хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье гэж бодъё
Үүний үр дүнд бид системтэй болсон 
Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд хэвээр байна (6; 5)
Энэ нь системд орсон тэгшитгэлийг нэмэх аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулж болно гэсэн үг юм.
Систем рүүгээ буцаж орцгооё , бид нэмэх аргыг ашиглан шийдэж чадаагүй.
Эхний тэгшитгэлийг 6-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлнэ
Дараа нь бид дараах системийг авна.
Энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэгтгэж үзье. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх 12 xба -12 xүр дүнд нь 0, нэмэх 18 болно yболон 4 y 22 өгнө y, мөн 108 ба −20-ыг нэмбэл 88 болно. Дараа нь 22-р тэгшитгэл гарна. y= 88, эндээс y = 4 .
Хэрэв эхлээд толгойдоо тэгшитгэл нэмэхэд хэцүү байвал та эхний тэгшитгэлийн зүүн тал хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талтай, эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь баруун талтай хэрхэн нийлдэгийг бичиж болно. Хоёр дахь тэгшитгэл:
Хувьсагчийн утгыг мэдэх нь y 4-тэй тэнцүү бол та утгыг олох боломжтой x. Орлуулж үзье yтэгшитгэлийн аль нэгэнд, жишээлбэл, эхний тэгшитгэл 2 руу x+ 3y= 18. Дараа нь бид нэг хувьсагч 2-той тэгшитгэлийг авна x+ 12 = 18. Тэмдгийг өөрчилснөөр 12-ыг баруун тийш шилжүүлье, бид 2-ыг авна x= 6, эндээс x = 3 .
Жишээ 4. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.
Хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх xТэгээд −x 0, нэмэх 5 гарна yба 3 y 8 өгнө y, 7 ба 1-ийг нэмбэл 8 гарна. Үр дүн нь тэгшитгэл 8 болно y= 8 язгуур нь 1. Утга гэдгийг мэдэх y 1-тэй тэнцүү бол та утгыг олох боломжтой x .
Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд бид олж авна x+ 5 = 7, тиймээс x= 2
Жишээ 5. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.
Ижил хувьсагч агуулсан нэр томьёо нэг дор байрлах нь зүйтэй. Тиймээс хоёр дахь тэгшитгэлд 5-р нөхцлүүд байна yба -2 xБайр сольцгооё. Үүний үр дүнд систем нь дараах хэлбэртэй болно.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.
Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд бид 8-р тэгшитгэлийг олж авна y= 16, үндэс нь 2.
Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд бид 6-г авна x− 14 = 40. Тэмдгийг өөрчилснөөр −14 гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж, 6-г авцгаая x= 54. Эндээс x= 9.
Жишээ 6. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.
Бутархай хэсгүүдээс салцгаая. Эхний тэгшитгэлийг 36, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлнэ
Үүссэн системд 
Эхний тэгшитгэлийг -5, хоёр дахь нь 8-аар үржүүлж болно
Гарсан систем дэх тэгшитгэлүүдийг нэмье. Дараа нь бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж авна -13 y= -156. Эндээс y= 12. Орлуулж үзье yЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол x
Жишээ 7. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.
Хоёр тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулъя. Энд хоёр тэгшитгэлд пропорциональ дүрмийг хэрэглэх нь тохиромжтой. Хэрэв эхний тэгшитгэлд баруун тал нь , хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун тал нь -ээр дүрслэгдсэн бол систем дараах хэлбэрийг авна.
Бидэнд хувь хэмжээ бий. Түүний туйл ба дунд гишүүнийг үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.
Эхний тэгшитгэлийг −3-аар үржүүлж, хоёр дахь хаалтыг нээцгээе.
Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Эдгээр тэгшитгэлийг нэмсний үр дүнд бид хоёр талдаа тэгтэй тэнцүү байна.
Энэ систем нь тоо томшгүй олон шийдэлтэй болох нь харагдаж байна.
Гэхдээ бид тэнгэрээс дур зоргоороо үнэ цэнийг авч чадахгүй xТэгээд y. Бид утгуудын аль нэгийг нь зааж өгч болох ба нөгөө нь бидний зааж өгсөн утгаас хамаарч тодорхойлогдоно. Жишээлбэл, үзье x= 2 . Энэ утгыг системд орлуулъя:
Тэгшитгэлийн аль нэгийг шийдсэний үр дүнд утгыг y, энэ нь хоёр тэгшитгэлийг хангана:
Үр дүнгийн хос утгууд (2; -2) нь системийг хангана:
Өөр нэг хос утгыг олъё. Болъё x= 4. Энэ утгыг системд орлуулъя:
Үнэ цэнийг нүдээр харж болно yтэгтэй тэнцүү. Дараа нь бид системд нийцсэн хос утгыг (4; 0) авна.
Жишээ 8. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.
Эхний тэгшитгэлийг 6, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлнэ
Үлдсэн зүйлийг дахин бичье:
Эхний тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.
Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд 6-р тэгшитгэл үүснэ б= 48, язгуур нь 8. Орлуулах бЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол а
Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем
Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд коэффициент бүхий гурван хувьсагч, түүнчлэн таслах гишүүн орно. Каноник хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
ax + by + cz = d
Энэ тэгшитгэл тоо томшгүй олон шийдэлтэй. Хоёр хувьсагчид өөр утгыг өгснөөр гурав дахь утгыг олж болно. Энэ тохиолдолд шийдэл нь утгын гурав дахин юм ( x; y; z) нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.
Хэрэв хувьсагч x, y, zгурван тэгшитгэлээр хоорондоо холбогдож, гурван хувьсагчтай гурван шугаман тэгшитгэлийн систем үүснэ. Ийм системийг шийдэхийн тулд та хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд хамаарах аргуудыг ашиглаж болно: орлуулах арга ба нэмэх арга.
Жишээ 1. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.
Гурав дахь тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.
Одоо орлуулалт хийцгээе. Хувьсагч xилэрхийлэлтэй тэнцүү байна 3 − 2y − 2z . Энэ илэрхийллийг эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё.
Хоёр тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье.
Бид хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системд хүрлээ. Энэ тохиолдолд нэмэлт аргыг ашиглах нь тохиромжтой. Үүний үр дүнд хувьсагч yалга болох ба бид хувьсагчийн утгыг олж чадна z
Одоо утгыг нь олъё y. Үүнийг хийхийн тулд - тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой y+ z= 4. Түүнд утгыг орлуулна z
Одоо утгыг нь олъё x. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x= 3 − 2y − 2z . Үүн дээр утгыг орлуулж үзье yТэгээд z
Тиймээс гурвалсан утгууд (3; −2; 2) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.
Жишээ 2. Нэмэх аргыг ашиглан системийг шийднэ
Эхний тэгшитгэлийг −2-оор үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмье.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −6x+ 6y − 4z = −4 . Одоо үүнийг эхний тэгшитгэлд нэмье:
Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд хувьсагчийн утгыг тодорхойлсон болохыг бид харж байна x. Энэ нь нэгтэй тэнцүү байна.
Үндсэн систем рүүгээ буцъя. Гурав дахь тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмье. Гурав дахь тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −4x + 5y − 2z = −1 . Одоо үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд нэмье:
Бид тэгшитгэлийг авсан x− 2y= −1. Үүний утгыг орлуулъя xБидний өмнө нь олж мэдсэн. Дараа нь бид утгыг тодорхойлж болно y
Одоо бид утгыг нь мэдэж байна xТэгээд y. Энэ нь үнэ цэнийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно z. Системд багтсан тэгшитгэлүүдийн аль нэгийг ашиглая:
Тиймээс гурвалсан утгууд (1; 1; 1) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх асуудал
Тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх ажлыг хэд хэдэн хувьсагч оруулах замаар шийддэг. Дараа нь асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн тэгшитгэлийг эмхэтгэдэг. Эмхэтгэсэн тэгшитгэлээс тэд систем үүсгэж, үүнийг шийддэг. Системийг шийдсэний дараа түүний шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.
Асуудал 1. Волга машин хотоос гарч нэгдэл рүү явав. Тэр эхнийхээсээ 5 км богино байсан өөр замаар буцаж ирэв. Нийтдээ машин хоёр талдаа 35 км явсан. Зам тус бүрийн урт нь хэдэн км вэ?
Шийдэл
Болъё х—эхний замын урт, y- секундын урт. Хэрэв машин хоёр талдаа 35 км явсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+ y= 35. Энэ тэгшитгэл нь хоёр замын уртын нийлбэрийг тодорхойлдог.
Эхнийхээсээ 5 км-ээр богино замаар машин буцаж ирсэн гэдэг. Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно x− y= 5. Энэхүү тэгшитгэлээс харахад замын уртын зөрүү 5 км байна.
Эсвэл хоёр дахь тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x= y+ 5. Бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно.
Учир нь хувьсагчид xТэгээд yХоёр тэгшитгэлд ижил тоог зааж өгсөн бол бид тэдгээрээс систем үүсгэж болно.
Өмнө нь судалж байсан зарим аргуудыг ашиглан энэ системийг шийдье. Энэ тохиолдолд хоёр дахь тэгшитгэлд хувьсагч байгаа тул орлуулах аргыг ашиглах нь тохиромжтой xаль хэдийн илэрхийлсэн.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь орлуулан ол y
Олдсон утгыг орлуулъя yхоёр дахь тэгшитгэлд x= y+ 5, бид олох болно x
Эхний замын уртыг хувьсагчаар зааж өгсөн x. Одоо бид түүний утгыг олсон. Хувьсагч x 20-той тэнцүү байна.Энэ нь эхний замын урт 20 км гэсэн үг.
Мөн хоёр дахь замын уртыг зааж өгсөн y. Энэ хувьсагчийн утга нь 15. Энэ нь хоёр дахь замын урт нь 15 км гэсэн үг юм.
Шалгацгаая. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгая:
Одоо (20; 15) шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.
Машин хоёр тийшээ нийтдээ 35 км зам туулсан гэж байсан. Бид хоёр замын уртыг нэмж, шийдэл (20; 15) нь энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай. 20 км + 15 км = 35 км
Дараах нөхцөл: машин өөр замаар буцаж буцаж ирсэн нь эхнийхээсээ 5 км богино байв . 15 км нь 20 км-ээс 5 км-ээс богино тул (20; 15) шийдэл нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 20 км - 15 км = 5 км
Системийг зохиохдоо хувьсагч нь энэ системд багтсан бүх тэгшитгэлийн ижил тоог илэрхийлэх нь чухал юм.
Тэгэхээр манай систем хоёр тэгшитгэлтэй. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь эргээд хувьсагчдыг агуулдаг xТэгээд y, энэ нь хоёр тэгшитгэлд ижил тоог илэрхийлдэг, тухайлбал 20 км ба 15 км замын урт.
Асуудал 2. Платформ дээр царс мод, нарс мод, нийт 300 дэр ачсан. Бүх царс моднууд нь бүх нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй байсан нь мэдэгдэж байна. Царс мод дэр тус бүр 46 кг, нарс дэр тус бүр 28 кг жинтэй байсан бол тус тусад нь хэдэн царс, нарс дэр байсныг тодорхойл.
Шийдэл
Болъё xцарс ба yнарс дэрнүүд тавцан дээр ачигдсан. Хэрэв нийт 300 унтагч байсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+y = 300 .
Бүх царс мод 46 жинтэй байв xкг, нарс нь 28 жинтэй байв yкг. Царс моднууд нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй тул хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно 28y − 46x= 1000 . Энэ тэгшитгэлээс харахад царс ба нарс модны хоорондох массын зөрүү 1000 кг байна.
Царс, нарс модны жинг килограммаар хэмжсэнээс хойш тонныг килограмм болгон хөрвүүлэв.
Үүний үр дүнд бид системийг бүрдүүлдэг хоёр тэгшитгэлийг олж авдаг
Энэ системийг шийдье. Эхний тэгшитгэлээр илэрхийлье x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.
Эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж ол y
Орлуулж үзье yтэгшитгэлд оруулна x= 300 − yтэгээд юу болохыг олж мэдээрэй x
Энэ нь тавцан дээр 100 царс, 200 нарс дэр ачсан гэсэн үг юм.
Шийдэл (100; 200) асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгацгаая:
Нийтдээ 300 унтдаг гэж байсан. Бид царс, нарс дэрний тоог нэмж, уусмал (100; 200) энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай. 100 + 200 = 300.
Дараах нөхцөл: бүх царс моднууд нь бүх нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй байв . 46х100 кг царс мод нь 28х200 кг нарс модноос хөнгөн тул шийдэл (100; 200) нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 5600 кг - 4600 кг = 1000 кг.
Асуудал 3. Бид жингээр 2: 1, 3: 1, 5: 1 харьцаатай гурван ширхэг зэс-никель хайлш авав. Тэднээс 12 кг жинтэй хэсгийг зэс, никелийн 4: 1 харьцаатай хайлуулсан. Эхнийх нь масс хоёр дахь массаас хоёр дахин их байвал анхны хэсэг бүрийн массыг ол.
Шугаман тэгшитгэлийн системүүд. Лекц 6.
Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.
Үндсэн ойлголтууд.
Системийг харах
дуудсан систем - үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл.
, , тоонуудыг дууддаг системийн коэффициентүүд.
Тоонуудыг дуудаж байна системийн чөлөөт гишүүд, – системийн хувьсагч. Матриц
дуудсан системийн үндсэн матриц, болон матриц
– Өргөтгөсөн матрицын систем. Матрицууд - баганууд
Мөн үүний дагуу системийн чөлөөт нөхцөл ба үл мэдэгдэх матрицууд. Дараа нь матриц хэлбэрээр тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар бичиж болно. Системийн шийдэлХувьсагчийн утгууд гэж нэрлэгддэг бөгөөд тэдгээрийг орлуулснаар системийн бүх тэгшитгэлүүд зөв тоон тэгшитгэл болж хувирдаг. Системийн аливаа шийдлийг матриц багана хэлбэрээр илэрхийлж болно. Тэгвэл матрицын тэгш байдал үнэн болно.
Тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг хамтарсанхэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол ба хамтарсан бусхэрэв шийдэл байхгүй бол.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь нийцэж байгаа эсэхийг олж мэдэх, хэрэв байгаа бол ерөнхий шийдлийг олох гэсэн үг юм.
систем гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийнхэрэв түүний бүх чөлөөт нөхцөл нь тэгтэй тэнцүү бол. Нэг төрлийн систем нь шийдэлтэй тул үргэлж тогтвортой байдаг
Кронекер-Копелли теорем.
Шугаман системийн шийдлүүд байгаа эсэх, тэдгээрийн өвөрмөц байдлын талаархи асуултын хариулт нь тодорхойгүй шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи дараахь мэдэгдлийн хэлбэрээр томьёолж болох дараах үр дүнг авах боломжийг бидэнд олгодог.
(1)
Теорем 2. Шугаман тэгшитгэлийн систем (1) нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй (.
Теорем 3. Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Теорем 4. Хэрэв хамтарсан системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байвал систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна.
Системийг шийдвэрлэх дүрэм.
3. Үндсэн хувьсагчдын илэрхийллийг чөлөөт хувьсагчаар олж, системийн ерөнхий шийдийг ол.
4. Чөлөөт хувьсагчдад дурын утгыг өгснөөр үндсэн хувьсагчдын бүх утгыг олж авна.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга.
Урвуу матрицын арга.
ба , өөрөөр хэлбэл систем нь өвөрмөц шийдэлтэй. Системийг матриц хэлбэрээр бичье
Хаана 
,
,
.
Зүүн талд байгаа матрицын тэгшитгэлийн хоёр талыг матрицаар үржүүлье
-ээс хойш бид үл мэдэгдэхийг олох тэгш байдлыг олж авдаг
Жишээ 27.Шугаман тэгшитгэлийн системийг урвуу матрицын аргаар шийд 
Шийдэл. Системийн үндсэн матрицаар тэмдэглэе
.
Дараа нь бид томъёог ашиглан шийдлийг олоорой.
Тооцоолъё.
-ээс хойш систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болсон. Бүх алгебрийн нэмэлтүүдийг олцгооё
,
,
,
,
,
,
,
,
Тиймээс
.
Шалгацгаая
.
Урвуу матрицыг зөв олсон. Эндээс томьёог ашиглан хувьсагчдын матрицыг олно.
.
Матрицуудын утгыг харьцуулж үзвэл бид дараах хариултыг авна.
Крамерын арга.
Мэдэгдэхгүй шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье
ба , өөрөөр хэлбэл систем нь өвөрмөц шийдэлтэй. Системийн шийдийг матриц хэлбэрээр эсвэл хэлбэрээр бичье
гэж тэмдэглэе
. . . . . . . . . . . . . . ,
Тиймээс бид үл мэдэгдэх утгыг олох томъёог олж авдаг Крамерын томъёо.
Жишээ 28.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийд 
.
Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олъё
.
-ээс хойш систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болсон.
Крамерын томъёоны үлдэгдэл тодорхойлогчдыг олцгооё
,
,
.
Крамерын томъёог ашиглан бид хувьсагчдын утгыг олдог
Гауссын арга.
Арга нь хувьсагчдыг дараалан арилгахаас бүрдэнэ.
Мэдэгдэхгүй шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье.
Гауссын шийдлийн процесс нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.
Эхний шатанд системийн өргөтгөсөн матрицыг энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.
,
хаана , систем тохирох
Үүний дараа хувьсагчид 
үнэ төлбөргүй гэж тооцогддог бөгөөд тэгшитгэл бүрт баруун тал руу шилждэг.
Хоёр дахь шатанд хувьсагчийг сүүлчийн тэгшитгэлээс илэрхийлж, үр дүнгийн утгыг тэгшитгэлд орлуулна. Энэ тэгшитгэлээс
хувьсагчийг илэрхийлнэ. Энэ процесс эхний тэгшитгэл хүртэл үргэлжилнэ. Үр дүн нь чөлөөт хувьсагчаар дамжуулан үндсэн хувьсагчдын илэрхийлэл юм 
.
Жишээ 29.Дараах системийг Гауссын аргаар шийд
Шийдэл. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичээд алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя
.
Учир нь 
үл мэдэгдэх тооноос их бол систем тогтвортой бөгөөд хязгааргүй тооны шийдтэй байна. Алхам матрицын системийг бичье
Эхний гурван баганаас бүрдэх энэ системийн өргөтгөсөн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тул бид үүнийг үндсэн гэж үзэж байна. Хувьсагч
Тэдгээр нь үндсэн байх ба хувьсагч нь үнэ төлбөргүй байх болно. Үүнийг бүх тэгшитгэлийн зүүн тал руу шилжүүлье
Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ
Энэ утгыг эцсийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна
хаана 
. Хувьсагчдын утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулснаар бид олдог 
. Хариултыг дараах хэлбэрээр бичье