Мэдээжийн хэрэг, энэ ерөнхий хүчийг тооцоолохдоо боломжит энергийг ерөнхий координатын функцээр тодорхойлох хэрэгтэй.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Тэмдэглэл.

Эхлээд. Ерөнхий урвалын хүчийг тооцоолохдоо хамгийн тохиромжтой холболтыг тооцдоггүй.

Хоёрдугаарт. Ерөнхий хүчний хэмжээс нь ерөнхий координатын хэмжээнээс хамаарна. Хэрэв хэмжээс нь [ q] – метр, дараа нь хэмжээс

[Q]= Нм/м = Ньютон, хэрэв [ q] – радиан, дараа нь [Q] = Нм; Хэрэв [ q] = m 2, дараа нь [Q] = H/m гэх мэт.

Жишээ 4.Бөгж нь босоо хавтгайд дүүжин саваа дагуу гулсдаг. Мжин Р(Зураг 10). Бид савааг жингүй гэж үздэг. Ерөнхий хүчийг тодорхойлъё.

Зураг 10

Шийдэл.Систем нь эрх чөлөөний хоёр зэрэгтэй. Бид хоёр ерөнхий координатыг өгдөг сМөн .

Координатад тохирох ерөнхий хүчийг олъё с.Бид энэ координатын өсөлтийг өгч, координатыг хэвээр үлдээж, цорын ганц идэвхтэй хүчний ажлыг тооцоолно. Р, бид ерөнхий хүчийг олж авдаг

Дараа нь бид координатыг нэмэгдүүлнэ гэж таамаглаж байна с= const. Саваа өнцгөөр эргүүлэх үед хүч хэрэглэх цэг Р, бөгж М, руу шилжих болно. Ерөнхий хүч нь байх болно

Систем нь консерватив тул боломжит энергийг ашиглан ерөнхий хүчийг олж болно. Бид авдаг Тэгээд . Энэ нь илүү энгийн болж хувирдаг.

Лагранжийн тэнцвэрийн тэгшитгэл

Тодорхойлолтоор (7) ерөнхий хүч , к = 1,2,3,…,с, Хаана с- эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо.

Хэрэв систем тэнцвэрт байдалд байгаа бол боломжит шилжилтийн зарчмын дагуу (1) . Энд холболтоор зөвшөөрөгдсөн хөдөлгөөн, боломжит хөдөлгөөнүүд байна. Тиймээс материаллаг систем тэнцвэрт байдалд байх үед түүний бүх ерөнхий хүч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Q k= 0, (к=1,2,3,…, с). (10)

Эдгээр тэгшитгэлүүд ерөнхий координат дахь тэнцвэрийн тэгшитгэлэсвэл Лагранжийн тэнцвэрийн тэгшитгэл , Статикийн асуудлыг шийдэх өөр нэг аргыг зөвшөөрнө үү.

Хэрэв систем нь консерватив бол . Энэ нь тэнцвэрт байдалд байна гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, ийм материаллаг системийн тэнцвэрт байдалд түүний боломжит энерги нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага байдаг, өөрөөр хэлбэл. П(q) функц нь экстремумтай байна.

Энэ нь хамгийн энгийн жишээний (Зураг 11) шинжилгээнээс тодорхой харагдаж байна. Байрлал дахь бөмбөгний боломжит энерги М 1 нь хамгийн бага, байрлалд байна М 2 - дээд тал нь. байрлалд байгааг анзаарч болно М 1 тэнцвэр тогтвортой байх болно; жирэмсэн М 2 - тогтворгүй.

Зураг.11

Хэрэв энэ байрлалд байгаа биеийг бага хурдтай эсвэл бага зайд нүүлгэн шилжүүлж, ирээдүйд эдгээр хазайлт нэмэгдэхгүй бол тэнцвэрт байдал тогтвортой гэж тооцогддог.

Хэрэв консерватив системийн тэнцвэрт байдалд түүний потенциал энерги хамгийн бага байвал энэ тэнцвэрийн байрлал тогтвортой байна гэдгийг баталж болно (Лагранж-Дирихлет теорем).

Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий консерватив системийн хувьд хамгийн бага боломжит энергийн нөхцөл, улмаар тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдлыг хоёр дахь дериватив, түүний тэнцвэрийн байрлал дахь үнэ цэнэ,

Жишээ 5.Цөм О.Ажин Ртэнхлэгийг тойрон босоо хавтгайд эргэлдэж болно ТУХАЙ(Зураг 12). Тэнцвэрийн байрлалын тогтвортой байдлыг олж, судалцгаая.

Зураг.12

Шийдэл.Саваа нь нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй байдаг. Ерөнхий координат - өнцөг.

Доод, тэг байрлалтай харьцуулахад боломжит энерги P = Phэсвэл

Тэнцвэрийн байрлалд байх ёстой . Тиймээс бид өнцөг болон (байрлал О.А 1 ба О.А 2). Тэдний тогтвортой байдлыг судалж үзье. Хоёр дахь деривативыг олох. Мэдээжийн хэрэг, -тэй хамт. Тэнцвэрийн байрлал тогтвортой байна. , . Хоёр дахь тэнцвэрийн байрлал тогтворгүй байна. Үр дүн нь ойлгомжтой.

Ерөнхий инерцийн хүч.

Ерөнхий хүчийг тооцоолох ижил аргыг (8) ашиглана Q k, идэвхтэй, заасан, хүч, ерөнхий хүчинд харгалзах нь мөн тодорхойлогддог С к, системийн цэгүүдийн инерцийн хүчинд харгалзах:

Тэгээд тэрнээс хойш Тэр

Цөөн тооны математик хувиргалт.

Мэдээжийн хэрэг,

a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s) тул

Энэ нь хурдны хэсэгчилсэн дериватив гэсэн үг юм

Нэмж дурдахад, сүүлийн үед (14) та ялгах дарааллыг өөрчилж болно:

(15) ба (16)-г (14), дараа нь (14)-ийг (13)-д орлуулснаар бид гарна.

Сүүлийн нийлбэрийг хоёр хувааж, деривативын нийлбэр нь нийлбэрийн деривативтай тэнцүү гэдгийг санаарай.

системийн кинетик энерги хаана байна, ерөнхий хурд.

Лагранжийн тэгшитгэл.

Тодорхойлолтоор (7) ба (12) ерөнхий хүч

Харин динамикийн ерөнхий тэгшитгэл (3) дээр үндэслэн тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгтэй тэнцүү байна. Тэгээд бүх зүйлээс хойш ( к = 1,2,3,…,с) тэгээс ялгаатай байвал . Ерөнхий инерцийн хүчний утгыг (17) орлуулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна

Эдгээр тэгшитгэлүүд ерөнхий координат дахь хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл, хоёр дахь төрлийн Лагранжийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг эсвэл зүгээр л – Лагранжийн тэгшитгэл.

Эдгээр тэгшитгэлийн тоо нь материаллаг системийн эрх чөлөөний зэрэгтэй тэнцүү байна.

Хэрэв систем нь консерватив бөгөөд боломжит талбайн хүчний нөлөөн дор хөдөлдөг бол ерөнхий хүч нь .

Хаана Л = Т- P гэж нэрлэдэг Лагранж функц (потенциал энерги P нь ерөнхийлсөн хурдаас хамаарахгүй гэж үздэг).

Ихэнхдээ материаллаг системийн хөдөлгөөнийг судлахдаа зарим ерөнхий координатууд гарч ирдэг q jЛагранж функцэд (эсвэл Тба P). Ийм координатуудыг нэрлэдэг мөчлөгийн. Эдгээр координатуудад тохирох Лагранжийн тэгшитгэлийг илүү хялбар аргаар олж авдаг.

Ийм тэгшитгэлийн эхний интегралыг нэн даруй олж болно. Үүнийг мөчлөгийн интеграл гэж нэрлэдэг:

Лагранжийн тэгшитгэлийн цаашдын судалгаа, хувиргалт нь онолын механикийн тусгай хэсэг болох "Аналитик механик" сэдвийг бүрдүүлдэг.

Лагранжийн тэгшитгэл нь системийн хөдөлгөөнийг судлах бусад аргуудтай харьцуулахад хэд хэдэн давуу талтай байдаг. Гол давуу талууд: тэгшитгэл зохиох арга нь бүх асуудалд ижил байдаг, асуудлыг шийдвэрлэхдээ хамгийн тохиромжтой холболтын хариу урвалыг тооцдоггүй.

Бас нэг зүйл бол эдгээр тэгшитгэлийг зөвхөн механик төдийгүй бусад физик системийг (цахилгаан, цахилгаан соронзон, оптик гэх мэт) судлахад ашиглаж болно.

Жишээ 6.Бөгжний хөдөлгөөний талаархи судалгаагаа үргэлжлүүлье Мдүүжин саваа дээр (жишээ 4).

Ерөнхий координатуудыг оноож өгсөн - ба s (Зураг 13). Ерөнхий хүчийг тодорхойлсон: ба .

Зураг.13

Шийдэл.Бөгжний кинетик энерги Энд a ба .

Бид хоёр Лагранжийн тэгшитгэл зохио

Дараа нь тэгшитгэлүүд дараах байдалтай байна.

Бид хоёр шугаман бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь тусгай арга шаарддаг.

Жишээ 7.Цацрагийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг байгуулъя AB, цилиндр гадаргуугийн дагуу гулсуулахгүйгээр эргэлддэг (Зураг 14). Цацрагийн урт AB = л, жин - Р.

Тэнцвэрийн байрлалд цацраг нь хэвтээ, хүндийн төв байв ХАМТЭнэ нь цилиндрийн дээд цэгт байрладаг байв. Цацраг нь нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй байдаг. Түүний байрлалыг ерөнхий координат - өнцгөөр тодорхойлно (Зураг 76).

Зураг.14

Шийдэл.Систем нь консерватив. Иймд бид хэвтээ байрлалтай харьцуулахад тооцоолсон P=mgh потенциал энергийг ашиглан Лагранжийн тэгшитгэлийг зохиох болно. Холбоо барих цэг дээр хурдны агшин зуурын төв байдаг ба (өнцөгтэй дугуй нумын урттай тэнцүү).

Тиймээс (76-р зургийг үз) ба .

Кинетик энерги (цацраг нь хавтгай параллель хөдөлгөөнд ордог)

Бид тэгшитгэлд шаардлагатай деривативуудыг олдог

Тэгшитгэл хийцгээе

эсвэл эцэст нь,

Өөрийгөө шалгах асуултууд

Хязгаарлагдмал механик системийн боломжит хөдөлгөөнийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Системийн боломжит болон бодит хөдөлгөөнүүд хоорондоо хэрхэн холбоотой вэ?

Ямар холболтууд гэж нэрлэдэг вэ: a) хөдөлгөөнгүй; б) хамгийн тохиромжтой?

Боломжит хөдөлгөөний зарчмыг томъёол. Түүний томьёоны илэрхийлэлийг бич.

Виртуал хөдөлгөөний зарчмыг оновчтой бус холболттой системд ашиглах боломжтой юу?

Механик системийн ерөнхий координат гэж юу вэ?

Механик системийн чөлөөт байдлын зэрэг хэд вэ?

Ямар тохиолдолд системийн цэгүүдийн декарт координатууд нь зөвхөн ерөнхий координатаас гадна цаг хугацаанаас хамаардаг вэ?

Механик системийн боломжит хөдөлгөөнийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Боломжит хөдөлгөөнүүд нь системд нөлөөлж буй хүчнээс хамаардаг уу?

Механик системийн ямар холболтыг идеал гэж нэрлэдэг вэ?

Яагаад үрэлтээр хийгдсэн холбоо нь хамгийн тохиромжтой холбоо биш юм бэ?

Боломжит хөдөлгөөний зарчмыг хэрхэн томъёолсон бэ?

Ажлын тэгшитгэл ямар төрлүүдтэй байж болох вэ?

Боломжит шилжилтийн зарчим нь яагаад олон тооны биеэс бүрдэх хязгаарлагдмал системд үйлчлэх хүчний тэнцвэрийн нөхцлүүдийг гаргахыг хялбаршуулдаг вэ?

Хэд хэдэн зэрэгтэй эрх чөлөө бүхий механик системд үйлчлэх хүчний ажлын тэгшитгэлийг хэрхэн байгуулах вэ?

Энгийн машинуудын хөдөлгөгч хүч ба эсэргүүцэх хүчний хооронд ямар хамаарал байдаг вэ?

Механикийн алтан дүрмийг хэрхэн томъёолсон бэ?

Боломжит хөдөлгөөний зарчмыг ашиглан холболтын урвалыг хэрхэн тодорхойлдог вэ?

Ямар холболтыг голономик гэж нэрлэдэг вэ?

Механик системийн чөлөөт байдлын зэрэг хэд вэ?

Системийн ерөнхий координатууд юу вэ?

Чөлөөт бус механик систем хэдэн ерөнхий координаттай вэ?

Машины жолооны хүрд хэдэн зэрэг чөлөөтэй байдаг вэ?

Ерөнхий хүч гэж юу вэ?

Ерөнхий координатаар системд хэрэглэсэн бүх хүчний нийт энгийн ажлыг илэрхийлсэн томьёог бич.

Ерөнхий хүчний хэмжээсийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Консерватив системд ерөнхий хүчийг хэрхэн тооцдог вэ?

Идеал холболттой системийн динамикийн ерөнхий тэгшитгэлийг илэрхийлсэн томъёоны аль нэгийг бич. Энэ тэгшитгэлийн физик утга нь юу вэ?

Системд үйлчлэх идэвхтэй хүчний ерөнхий хүч гэж юу вэ?

Ерөнхий инерцийн хүч гэж юу вэ?

Д'Аламберын зарчмыг ерөнхий хүчинд томъёол.

Динамикийн ерөнхий тэгшитгэл гэж юу вэ?

Системийн зарим нэг ерөнхий координатад тохирох ерөнхий хүч гэж юу вэ, ямар хэмжээстэй вэ?

Идеал бондын ерөнхий урвалууд юу вэ?

Ерөнхий хүчний динамикийн ерөнхий тэгшитгэлийг гарга.

Ерөнхий хүчний динамикийн ерөнхий тэгшитгэлээс олж авсан механик системд үйлчлэх хүчний тэнцвэрийн нөхцөл нь ямар хэлбэртэй вэ?

Декартын координатын тогтмол тэнхлэг дээрх хүчний проекцоор ерөнхий хүчийг ямар томъёогоор илэрхийлдэг вэ?

Консерватив болон консерватив бус хүчний хувьд ерөнхий хүчийг хэрхэн тодорхойлдог вэ?

Ямар холболтыг геометр гэж нэрлэдэг вэ?

Боломжит шилжилтийн зарчмын вектор дүрслэлийг өг.

Тохиромжтой хөдөлгөөнгүй геометрийн холболттой механик системийн тэнцвэрт байдалд шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийг нэрлэнэ үү.

Консерватив системийн хүчний функц нь тэнцвэрт байдалд ямар шинж чанартай байдаг вэ?

Хоёр дахь төрлийн Лагранжийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг бич.

Хязгаарлагдмал механик системд хоёр дахь төрлийн хэдэн Лагранж тэгшитгэлийг байгуулж болох вэ?

Механик системийн Лагранжийн тэгшитгэлийн тоо нь системд орсон биеийн тооноос хамаардаг уу?

Системийн кинетик потенциал гэж юу вэ?

Лагранжийн функц ямар механик системд байдаг вэ?

Механик системд хамаарах цэгийн хурдны векторын функц ямар аргументууд вэ сэрх чөлөөний зэрэг?

Системийн цэгийн хурдны векторын зарим ерөнхийлсөн хурдтай харьцуулсан хэсэгчилсэн дериватив нь юу вэ?

Голономик суурин бус хязгаарлалтад хамаарах системийн кинетик энерги нь ямар аргументуудын үүрэг вэ?

Хоёр дахь төрлийн Лагранжийн тэгшитгэл ямар хэлбэртэй вэ? Механик систем бүрийн хувьд эдгээр тэгшитгэлийн тоо хэд вэ?

Системд консерватив болон консерватив бус хүч нэгэн зэрэг үйлчилж байгаа тохиолдолд хоёр дахь төрлийн Лагранжийн тэгшитгэл ямар хэлбэртэй байх вэ?

Лагранжийн функц буюу кинетик потенциал гэж юу вэ?

Хоёр дахь төрлийн Лагранжийн тэгшитгэл нь консерватив системийн хувьд ямар хэлбэртэй байна вэ?

Лагранжийн тэгшитгэлийг зохиохдоо механик системийн кинетик энергийг ямар хувьсагчаас хамааран илэрхийлэх ёстой вэ?

Механик системийн уян харимхай хүчний нөлөөн дэх потенциал энерги хэрхэн тодорхойлогддог вэ?

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

Даалгавар 1.Боломжит шилжилтийн зарчмыг ашиглан нийлмэл байгууламжийн холболтын урвалыг тодорхойлно. Бүтцийн диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 15, шийдэлд шаардлагатай өгөгдлийг хүснэгтэд үзүүлэв. 1. Зурган дээр бүх хэмжээсийг метрээр харуулсан.

Хүснэгт 1

Р 1, кН Р 2, кН q, кН/м М, кНм Р 1, кН Р 2, кН q, кН/м М, кНм

Сонголт 1 Сонголт 2

Сонголт 3 Сонголт 4

Сонголт 5 Сонголт 6

Сонголт 7 Сонголт 8

Зураг.16 Зураг.17

Шийдэл.Энэ асуудалд Лагранжийн зарчмыг хэрэгжүүлэх бүх нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (систем тэнцвэрт байдалд байна, холболтууд нь хөдөлгөөнгүй, голономик, хязгаарлагдмал, хамгийн тохиромжтой).

Урвалын харгалзах холбооноос өөрсдийгөө чөлөөлье X A (Зураг 17). Үүнийг хийхийн тулд А цэг дээр тогтмол нугасыг жишээлбэл, саваа тулгуураар солих шаардлагатай бөгөөд энэ тохиолдолд систем нь нэг зэрэг эрх чөлөөг хүлээн авдаг. Өмнө дурьдсанчлан, системийн боломжит хөдөлгөөн нь түүнд тавигдсан хязгаарлалтаар тодорхойлогддог бөгөөд хэрэглэсэн хүчнээс хамаардаггүй. Тиймээс боломжит шилжилтийг тодорхойлох нь кинематик асуудал юм. Энэ жишээнд хүрээ нь зөвхөн зургийн хавтгайд хөдөлж чаддаг тул түүний боломжит хөдөлгөөнүүд нь мөн хавтгай байна. Хавтгай хөдөлгөөнд биеийн хөдөлгөөнийг хурдны агшин зуурын төвийн эргэн тойрон дахь эргэлт гэж үзэж болно. Хэрэв хурдны агшин зуурын төв нь хязгааргүйд оршдог бол энэ нь биеийн бүх цэгүүдийн нүүлгэн шилжүүлэлт ижил байх агшин зуурын хөрвүүлэх хөдөлгөөнтэй тохирно.

Хурдны агшин зуурын төвийг олохын тулд биеийн аль ч хоёр цэгийн хурдны чиглэлийг мэдэх шаардлагатай. Иймд нийлмэл бүтцийн боломжит шилжилтийг тодорхойлохдоо ийм хурдыг мэддэг элементийн боломжит шилжилтийг олохоос эхлэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд та хүрээнээс эхлэх хэрэгтэй CDB, цэгээс хойш INхөдөлгөөнгүй тул энэ хүрээний боломжит хөдөлгөөн нь нугас B-ээр дамжин өнгөрөх тэнхлэгийг тойрон өнцгөөр эргүүлэх явдал юм. Одоо цэгийн боломжит хөдөлгөөнийг мэдэж байгаа. ХАМТ(энэ нь системийн хоёр хүрээнд нэгэн зэрэг хамаарна) болон цэгийн боломжит хөдөлгөөн А(А цэгийн боломжит хөдөлгөөн нь тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн юм X), хүрээний агшин зуурын хурдны C 1 төвийг ол AES. Тиймээс хүрээний хөдөлгөөн хийх боломжтой AESтүүний С 1 цэгийг тойрон өнцгөөр эргүүлэх нь . Өнцөг хоорондын холболтыг C цэгийн хөдөлгөөнөөр тодорхойлно (17-р зургийг үз).

EC 1 C ба BCD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас бид байна

Үүний үр дүнд бид хамаарлыг олж авна:

Боломжит хөдөлгөөний зарчмын дагуу

Энд багтсан боломжит ажлуудыг дараалан тооцоолъё.

Q=2q – тархсан ачааллын үр дүн, хэрэглэх цэгийг Зураг дээр үзүүлэв. 79; түүний хийж болох ажил тэнцүү байна.

Аналитик механикт хүчний тухай ойлголтыг бусад материаллаг биетүүдээс тухайн биед үзүүлэх нөлөөллийг тодорхойлдог вектор хэмжигдэхүүн болгон ашигладаг. ерөнхий хүч. Тодорхойлохын тулд ерөнхий хүчСистемийн цэгүүдэд үйлчлэх хүчний виртуал ажлыг авч үзье.

Хэрэв голономик хязгаарлах хүч бүхий механик систем түүнд ногдуулсан hхолболтуудтай s =3n-цагэрх чөлөөний зэрэг , дараа нь энэ системийн байрлал тодорхойлогдоно (би = s)

ерөнхий координат ба (2.11) : (2.13), (2.14)-ийн дагуу виртуал шилжилт к -р цэг

(2.13)

(2.14)

Орлуулах (2.14): хүчний виртуал ажлын томъёонд

(2.24), бид олж авна

Скаляр хэмжигдэхүүн = (2.26)

дуудсан ерөнхий хүч, харгалзах биерөнхий координат.

Ерөнхий хүчi-д тохирох-th ерөнхий координат нь механик системд үйлчлэх хүчний виртуал ажлын илэрхийлэлд өгөгдсөн ерөнхий координатын өөрчлөлтийн үржүүлэгчтэй тэнцүү хэмжигдэхүүн юм.

Виртуал ажил-аас тодорхойлсон

¾ хязгаарлалтаас үл хамааран тодорхойлогдсон идэвхтэй хүч

¾ холболтын урвал (хэрэв холбогч нь тохиромжгүй бол асуудлыг шийдэхийн тулд физик хамаарлыг нэмэлтээр тохируулах шаардлагатай. Т j from Н j , ( Т j ¾ Эдгээр нь дүрмээр бол үрэлтийн хүч эсвэл гулсмал үрэлтийн эсэргүүцлийн моментууд бөгөөд бидний тодорхойлж болно).

Ерөнхийдөө ерөнхий хүчнь ерөнхий координат, системийн цэгүүдийн хурд, цаг хугацааны функц юм. Тодорхойлолтоос харахад ийм байна ерөнхий хүч¾ нь тухайн механик системд сонгосон ерөнхий координатаас хамаарах скаляр хэмжигдэхүүн юм. Энэ нь тухайн системийн байрлалыг тодорхойлох ерөнхий координатын багц өөрчлөгдөхөд ерөнхий хүч.

Жишээ 2.10. Радиустай дискний хувьд rба масс м, налуу хавтгай дээр гулсахгүйгээр эргэлддэг (Зураг 2.9) -ийг ерөнхий координат болгон авч болно.

¾ эсвэл q = s¾ дискний массын төвийн хөдөлгөөн,

¾ аль нь ч q= j ¾ дискний эргэлтийн өнцөг. Хэрэв бид өнхрөх эсэргүүцлийг үл тоомсорловол:

¾эхний тохиолдолд ерөнхий хүчболно

Цагаан будаа. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ хоёр дахь тохиолдолд ¾ Q j = mg r cosa.

Ерөнхий координат нь харгалзах хэмжлийн нэгжийг мөн тодорхойлдог ерөнхий хүч.Илэрхийлэлээс (2.25)

(2.27)

хэмжилтийн нэгж гэсэн үг ерөнхий хүчерөнхий координатын нэгжид хуваасан ажлын нэгжтэй тэнцүү.

Хэрэв ерөнхий координатын хувьд qхүлээн зөвшөөрөх q = s¾ аль ч цэгийн хөдөлгөөн, дараа нь хэмжих нэгж ерөнхий хүч Q s ¾ байх болно [Ньютон] ,

Хэрэв, a q= j ¾ биеийн эргэлтийн өнцгийг (радианаар), дараа нь хэмжих нэгжийг авна. ерөнхий хүч Q j 2 нь [ байх болно Ньютон метр].

Массын төвийн хөдөлгөөний тухай, материаллаг цэгүүдийн системийн импульс ба өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремууд.

Материаллаг цэгүүдийн системийн массын төв, импульс ба өнцгийн импульсийн хурдыг хадгалах хуулиуд. Жишээ.

Хүчний ажил ба хүчний момент. Кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теорем.

Боломжит хүчний талбар. Системийн боломжит энерги ба түүнийг тооцоолох жишээ. Нийт механик энерги хадгалагдах хууль.

Аналитик механик. Холболтын ангилал. Жишээ. Боломжит хөдөлгөөнүүд.

Хамгийн тохиромжтой холболтууд. Боломжит хөдөлгөөний зарчим.

Ерөнхий координатууд. Системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо. Ерөнхий хүч, тэдгээрийг тооцоолох арга. Голономик хязгаарлалттай системийн тэнцвэрийн нөхцөл, ерөнхийлсөн хүчээр илэрхийлэгдэнэ.

Хоёр дахь төрлийн Лагранжийн тэгшитгэлүүд. Хатуу биеийн хавтгай параллель хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл.

Гурван градусын хүнд гироскопын шинж чанарууд.

Хоёр градусын гироскопын шинж чанарууд. Гироскопийн мөч. Жуковскийн засаглал. Гироскопыг технологид ашиглах.

Аналитик механик. Холболтын ангилал. Жишээ. Боломжит хөдөлгөөнүүд.

Холболт- энэ нь тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлын хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн системийн цэгүүдийн координат ба хурдны хоорондын хамаарал юм.

Ангилал:

Геометр- зөвхөн системийн цэгүүдийн координатад хязгаарлалт тавьдаг (хурдыг оруулаагүй болно)

Кинематик– хурдыг тэгшитгэлд оруулна. Хэрэв та хурдаас салж чадвал холболтыг нэгтгэсэн болно.

Голономик холболтууд– геометрийн болон интегралдах дифференциал холболтууд.

Холболт гэж нэрлэдэг барьж байна(тогтоосон эсвэл хязгаарлалт нь системийн аль ч байрлалд хэвээр байна) болон хязгаарлалтгүй, энэ өмчийг эзэмшдэггүй (ийм холболтуудаас, тэдний хэлснээр системийг "чөлөөлөх" боломжтой)

Нүүлгэн шилжүүлэх боломжтой

Аливаа сэтгэцийн

Хязгааргүй жижиг

Системийн цэгүүдийг шилжүүлэхийг зөвшөөрнө

Энэ цаг мөчид

Системд ногдуулсан холболтууд.

Бодит хөдөлгөөн- хүч, цаг хугацаа, холболт, анхны нөхцлөөс хамаарна.

Боломжит хөдөлгөөн нь зөвхөн холболтоос хамаарна.

Хөдөлгөөнгүй холболтын хувьд бодит хөдөлгөөн нь боломжит хөдөлгөөнүүдийн нэг юм.

Хамгийн тохиромжтой холболтууд. Боломжит хөдөлгөөний зарчим.

ТохиромжтойАль ч боломжит шилжилтийн үед үзүүлэх бүх урвалын үндсэн ажлын нийлбэр нь 0-тэй тэнцүү байх холболтууд гэж нэрлэгддэг.

Боломжит хөдөлгөөний зарчим.

Тохиромжтой хөдөлгөөнгүй холболттой механик системийг тэнцвэржүүлэхийн тулд аливаа боломжит шилжилт дээрх бүх идэвхтэй хүчний үндсэн ажлын нийлбэр нь 0-тэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Энэ тохиолдолд хангалттай байхын тулд анхны хурд нь тэнцүү байх ёстой. тэг хүртэл. Шаардлагатай тэнцэл => Хангалттай => тэнцэл.

Ерөнхий координатууд. Системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо. Ерөнхий хүч, тэдгээрийг тооцоолох арга. Голономик хязгаарлалттай системийн тэнцвэрийн нөхцөл, ерөнхийлсөн хүчээр илэрхийлэгдэнэ.

Ерөнхий координатууд- системийн байрлалыг бүрэн тодорхойлдог бие даасан параметр бөгөөд үүгээр дамжуулан системийн бүх цэгүүдийн декартын координатыг илэрхийлэх боломжтой.

Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог ерөнхий координатын тоогоор тодорхойлно

Механик системийн орон зай дахь байрлалыг онцгойлон тодорхойлдог харилцан бие даасан скаляр хэмжигдэхүүнүүдийн тоог эрх чөлөөний зэрэг гэж нэрлэдэг.

Механик системийн ерөнхий координатууд нь бие биенээсээ хамааралгүй аливаа геометрийн хэмжигдэхүүн бөгөөд системийн орон зай дахь байрлалыг онцгойлон тодорхойлдог.

Q i = δA j /δq j эсвэл δA j = Q i ⋅ δq j .

Ерөнхий хүч- энэ нь ерөнхий координатын дагуух боломжит шилжилт дээр системд хэрэглэж буй бүх хүчнүүд тэдгээрийн хэрэглээний цэгүүдийн харгалзах шилжилт дээр ижил ажил хийдэг хүч юм.

Ерөнхий хүчийг олохын тулд бид түүний ерөнхий координатын дагуу боломжит шилжилтийг өгч, бусад координатуудыг өөрчлөхгүй. Дараа нь бид системд хэрэглэсэн бүх хүчний хийсэн ажлыг олж, боломжит шилжилтээр хуваана.

Ерөнхий хүчний хувьд боломжит шилжилтийн зарчим.

Тэнцвэрт байгаа тул аливаа боломжит шилжилтийн үндсэн ажлын нийлбэр ( bA=бq j , бие биенээсээ хамааралгүй бол үүний тулд дараах үнэн байх ёстой: Q 1 =0; Q 2 =0; Q K =0

Хамгийн тохиромжтой холболттой механик системийг авч үзье. Системийн идэвхтэй хүчнүүд байцгаая. Механик системд виртуал шилжилтийг өгч, энэ шилжилт дээрх системийн хүчний үндсэн ажлыг тооцоолъё.

.

Тэгш байдлыг (17.2) ашиглан бид өөрчлөлтийг илэрхийлнэ
радиус вектор оноо М кхувилбаруудаар дамжуулан
ерөнхий координатууд:

тиймээс,

. (17.6)

Тэнцвэрт нийлбэрийн дарааллыг өөрчилье (17.6):

. (17.7)

(17.7) илэрхийллээр тэмдэглэе.

. (17.8)

.

Ерөнхий хүчээр Q j системийн хүчний энгийн ажлын илэрхийлэл дэх ерөнхий координатын өөрчлөлтийн коэффициентийг нэрлэнэ.

Ерөнхий координатын өөрчлөлтийн хэмжээнээс хамаарна
ерөнхий хүч Q jхүч, момент гэх мэт хэмжээстэй байж болно.

Ерөнхий хүчийг тооцоолох арга

Ерөнхий хүчийг тооцоолох гурван аргыг авч үзье.

1. Үндсэн томъёог ашиглан ерөнхий хүчийг тодорхойлох(17.8)

. (17.9)

Формула (17.9) практикт ховор хэрэглэгддэг. Асуудлыг шийдвэрлэхдээ хоёр дахь аргыг ихэвчлэн ашигладаг.

2. Ерөнхий координатыг "хөлдөх" арга.

Механик системд ерөнхий координатаас бусад бүх өөрчлөлтүүд байхаар виртуал шилжилтийг өгье
тэгтэй тэнцүү байна:

Энэ хөдөлгөөний ажлыг тооцоод үзье
системд хэрэглэсэн бүх идэвхтэй хүч

.

Тодорхойлолтоор хэлбэлзлийн үржүүлэгч
анхны ерөнхий хүчинтэй тэнцүү байна Q 1 .

хоёр дахь ерөнхий хүчийг тодорхойлно Q 2, системийн бүх хүчний виртуал ажлыг тооцоолсны дараа

.

Системийн бусад бүх ерөнхий хүчийг ижил төстэй байдлаар тооцоолъё.

3. Боломжит хүчний талбайн тохиолдол.

Механик системийн потенциал энерги мэдэгдэж байна гэж бодъё

Дараа нь
(32.8) томъёоны дагуу

Ерөнхий координат дахь статикийн виртуал хөдөлгөөний зарчим

Статикийн виртуал шилжилтийн зарчмын дагуу голономик, суурин холболттой системийг тэнцвэржүүлэхийн тулд дараахь нөхцөл шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

тэг анхны хурдтай үед.

Ерөнхий координат руу шилжихэд бид олж авна

. (17.11)

Ерөнхий координатын өөрчлөлтүүд нь бие даасан байдаг тул илэрхийлэл (17.11) тэгтэй тэнцүү байх нь зөвхөн ерөнхий координатын өөрчлөлтийн бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л боломжтой болно.

Тиймээс, Тохиромжтой, голономик, хөдөлгөөнгүй, хязгаарлагдмал холболттой механик систем тэнцвэрт байдалд байхын тулд системийн бүх ерөнхий хүчнүүд тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай (системийн анхны хурд тэг байх үед).

Ерөнхий координат дахь Лагранжийн тэгшитгэл (хоёр дахь төрлийн Лагранжийн тэгшитгэл)

Лагранжийн тэгшитгэлүүд нь динамикийн ерөнхий тэгшитгэлээс виртуаль шилжилтийг тэдгээрийн илэрхийллээр орлуулах замаар ерөнхий координатын өөрчлөлтөөр гаргаж авдаг. Эдгээр нь ерөнхий координат дахь механик системийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийн системийг төлөөлдөг.

. (17.13)

Хаана
- ерөнхий хурд,

Т системийн кинетик энерги нь ерөнхий координат ба ерөнхий хурдны функцээр илэрхийлэгддэг.

Q j- ерөнхий хүч.

Системийн тэгшитгэлийн тоо (17.13) нь эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоогоор тодорхойлогддог бөгөөд системд багтсан биеийн тооноос хамаардаггүй. Тохиромжтой холболттой бол тэгшитгэлийн баруун талд зөвхөн идэвхтэй хүч орно. Хэрэв холболтууд нь тохиромжгүй бол тэдгээрийн урвалыг идэвхтэй хүч гэж ангилах хэрэгтэй.

Механик системд үйлчлэх боломжит хүчний хувьд тэгшитгэл (17.13) хэлбэрийг авна

.

Хэрэв бид Лагранжийн функцийг танилцуулбал Л = Т  П, дараа нь боломжит энерги нь ерөнхийлсөн хурдаас хамаардаггүй гэдгийг харгалзан бид потенциал хүчний хувьд хоёр дахь төрлийн Лагранжийн тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр олно.

.

Хоёр дахь төрлийн Лагранж тэгшитгэлийг зохиохдоо та дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Механик системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог тогтоож, түүний ерөнхий координатыг сонго.

Системийн кинетик энергийн илэрхийлэл зохиож, ерөнхий координат ба ерөнхий хурдны функцээр илэрхийлнэ үү.

Дээр дурдсан аргуудыг ашиглан системийн ерөнхий идэвхтэй хүчийг ол.

Лагранжийн тэгшитгэлд шаардлагатай бүх ялгах үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

Жишээ.

Хаана Ж z эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад биеийн инерцийн момент z,
- биеийн өнцгийн хурд.

3. Ерөнхий хүчийг тодорхойлъё. Биед виртуал шилжилтийг  өгч системийн бүх идэвхтэй хүчний виртуал ажлыг тооцоолъё.

Тиймээс, Q = М z биеийн эргэлтийн тэнхлэгтэй харьцуулахад системийн идэвхтэй хүчний гол момент.

4. Лагранжийн тэгшитгэлд ялгах үйлдлийг хийцгээе

: (17.14)

. (17.15)

Тэгшитгэлийг (17.15) (173) тэгшитгэлд орлуулах

14) биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг олж авна

.

1. Ерөнхий хүчийг (227) томъёогоор тооцоолж болно, энэ нь үүнийг тодорхойлдог, i.e.

2. Энгийн ажлын (226") илэрхийлэл дэх ерөнхийлсөн координатын харгалзах өөрчлөлтийн коэффициентээр ерөнхий хүчийг тооцоолж болно, i.e.

3. (226 "") -аас олж авсан ерөнхий хүчийг тооцоолох хамгийн тохиромжтой арга бол системд ийм боломжит хөдөлгөөн өгөгдсөн бол зөвхөн нэг ерөнхий координат өөрчлөгдөж байхад бусад нь өөрчлөгддөггүй. Тэгэхээр, хэрэв , болон бусад нь , дараа нь (179") бид байна

.

Индекс нь үндсэн ажлын нийлбэрийг боломжит шилжилтээр тооцдог бөгөөд энэ үед зөвхөн координат өөрчлөгддөг (өөрчлөгддөг) болохыг харуулж байна. Хэрэв хувьсагчийн координат нь

. (227")

Ерөнхий хүчний хувьд хүчний системийн тэнцвэрийн нөхцөл

Системийн тэнцвэрт байдлын нөхцөл боломжит хөдөлгөөний зарчмаас гаралтай. Эдгээр нь энэ зарчим хүчинтэй байгаа системд хамаарна: Холономик, суурин, идеал болон сулрахгүй хязгаарлалттай механик системийн тэнцвэрт байдлын хувьд системийн бүх цэгүүдийн хурд тэгтэй тэнцүү байх үед бүх ерөнхий хүч тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

. (228")

Динамикийн ерөнхий тэгшитгэл

Аливаа холболттой системийн динамикийн ерөнхий тэгшитгэл (Д'Аламбер-Лагранжийн хосолсон зарчимэсвэл механикийн ерөнхий тэгшитгэл):

, (229)

системийн 3-р цэгт үйлчлэх идэвхтэй хүч хаана байна; - бондын урвалын хүч; - цэгийн инерцийн хүч; - боломжтой хөдөлгөөн.

Системийн тэнцвэрт байдлын хувьд системийн цэгүүдийн бүх инерцийн хүч алга болох үед энэ нь боломжит шилжилтийн зарчим болж хувирдаг. Энэ нь ихэвчлэн нөхцөл хангагдсан хамгийн тохиромжтой холболттой системд ашиглагддаг

Энэ тохиолдолд (229) дараах хэлбэрүүдийн аль нэгийг авна.

,

,

. (230)

Тиймээс, Динамикийн ерөнхий тэгшитгэлийн дагуу хамгийн тохиромжтой холболттой системийн хөдөлгөөний аль ч мөчид системийн цэгүүдийн бүх идэвхтэй хүч ба инерцийн хүчний үндсэн ажлын нийлбэр нь системийн зөвшөөрөгдөх аливаа хөдөлгөөнд тэгтэй тэнцүү байна. холболтоор.

Динамикийн ерөнхий тэгшитгэлийг бусад ижил төстэй хэлбэрээр өгч болно. Векторуудын скаляр үржвэрийг тэлэхдээ үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

системийн 3-р цэгийн координатууд хаана байна. Эдгээр тэнхлэгүүд дээрх хурдатгалын проекцуудаар дамжуулан координатын тэнхлэгүүд дээрх инерцийн хүчний проекцууд нь харьцаагаар илэрхийлэгдэнэ гэж үзвэл

,

динамикийн ерөнхий тэгшитгэлийг хэлбэрээр өгч болно

Энэ хэлбэрээр үүнийг нэрлэдэг аналитик хэлбэрээр динамикийн ерөнхий тэгшитгэл.

Динамикийн ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглахдаа боломжит шилжилт дээр системийн инерцийн хүчний үндсэн ажлыг тооцоолох чадвартай байх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд энгийн хүчний хувьд олж авсан энгийн ажилд тохирох томъёог хэрэглэнэ. Хатуу биетийн хөдөлгөөний тодорхой тохиолдлуудад тэдгээрийн инерцийн хүчнүүдийн хэрэглээг авч үзье.

Урагшлах хөдөлгөөний үед. Энэ тохиолдолд бие нь эрх чөлөөний гурван зэрэгтэй бөгөөд тогтоосон хязгаарлалтын улмаас зөвхөн орчуулгын хөдөлгөөнийг гүйцэтгэх боломжтой. Холболтыг зөвшөөрдөг биеийн боломжит хөдөлгөөнүүд нь мөн орчуулгатай байдаг.

Хөрвүүлэлтийн хөдөлгөөний үед инерцийн хүчийг үр дүнд хүртэл бууруулна . Биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний боломжит инерцийн хүчний үндсэн ажлын нийлбэрийг бид олж авна

Биеийн бүх цэгүүдийн шилжилт хөдөлгөөний боломжит шилжилт ижил тул массын төв ба биеийн аль ч цэгийн боломжит шилжилт хаана байна: хурдатгал нь мөн адил байна, өөрөөр хэлбэл.

Хатуу бие нь тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх үед. Энэ тохиолдолд бие нь нэг зэрэг эрх чөлөөтэй байдаг. Энэ нь тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж болно. Давхардсан холболтоор зөвшөөрөгдөх боломжтой хөдөлгөөн нь тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд биеийг энгийн өнцгөөр эргүүлэх явдал юм.

Эргэлтийн тэнхлэг дээрх цэг хүртэл бууруулсан инерцийн хүчийг үндсэн вектор ба гол момент хүртэл бууруулна. Инерцийн хүчний гол векторыг тогтмол цэгт хэрэглэх ба боломжит шилжилтийн үндсэн ажил нь тэг байна. Инерцийн хүчний гол моментийн хувьд тэгээс өөр энгийн ажил нь зөвхөн түүний эргэлтийн тэнхлэгт проекцоор хийгдэнэ. Тиймээс авч үзэх боломжтой шилжилт хөдөлгөөн дээрх инерцийн хүчний ажлын нийлбэрийн хувьд бид байна

,

өнцгийн хурдатгалын нумын сумны чиглэлд өнцгийг мэдээлсэн бол.

Хавтгай хөдөлгөөнд. Энэ тохиолдолд хатуу биед тавигдах хязгаарлалт нь зөвхөн хавтгай хөдөлгөөнийг л зөвшөөрдөг. Ерөнхий тохиолдолд энэ нь туйлын хамт хөрвүүлэх боломжтой хөдөлгөөнөөс бүрдэх ба үүний тулд бид массын төвийг сонгох ба массын төвийг дайран өнгөрөх тэнхлэгийг тойрон энгийн өнцгөөр эргүүлэх ба үүнтэй параллель хавтгайд перпендикуляр хийхээс бүрдэнэ. бие нь хавтгай хөдөлгөөн хийх боломжтой.