Зааварчилгаа

Орлуулах буюу дараалсан арилгах арга.Орлуулахыг цөөн тооны үл мэдэгдэх системд ашигладаг. Энэ бол энгийн асуудлыг шийдэх хамгийн энгийн арга юм. Нэгдүгээрт, эхний тэгшитгэлээс бид нэг үл мэдэгдэхийг бусадтай нь илэрхийлж, энэ илэрхийллийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Бид хувиргасан хоёр дахь тэгшитгэлээс хоёр дахь үл мэдэгдэхийг илэрхийлж, үр дүнг гурав дахь тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Бид сүүлчийн үл мэдэгдэхийг тооцоолох хүртэл. Дараа нь бид түүний утгыг өмнөх тэгшитгэлд орлуулж, эцсийн өмнөх үл мэдэгдэх гэх мэтийг олно. Үл мэдэгдэх тоогоор авч үзье.x + y - 3 = 0
2х - у - 3 = 0
Эхний тэгшитгэлээс х-г илэрхийлье: x = 3 - y. Хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2ж - у - 3 = 0
3 - 3y = 0
y = 1
Эхний тэгшитгэлд орлуулна уу системүүд(эсвэл ижил зүйл болох x-ийн илэрхийлэлд): x + 1 - 3 = 0. Бид x = 2 гэсэн утгыг авна.

Хугацаа хасах (эсвэл нэмэх) арга.Энэ арга нь ихэвчлэн шийдлийг багасгадаг системүүдболон тооцооллыг хялбарчлах. Энэ нь тэгшитгэлийг нэмэх (эсвэл хасах) тулд үл мэдэгдэх зүйлсийг шинжлэхээс бүрдэнэ системүүдтэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зарим зүйлийг арилгах. Нэг жишээг авч үзье, эхний аргын адил системийг ав.
x + y - 3 = 0
2х - у - 3 = 0
y-ийн хувьд коэффициентүүд нь ижил хэмжээтэй боловч тэмдэгтэй байдаг тул хэрэв бид хоёр тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмбэл у-г арилгах боломжтой болно. Нэмэлтийг хийцгээе: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 эсвэл 3x - 6 = 0. Иймд x = 2. Энэ утгыг дурын тэгшитгэлд орлуулахад у-г олно.
Та эсрэгээрээ x-г хасч болно. x-ийн коэффициентүүд ижил тэмдэгтэй тул бид нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасах болно. Гэхдээ эхний тэгшитгэлд x-ийн коэффициент 1, хоёр дахь нь 2 байгаа тул х-г арилгах боломжгүй юм. Эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлснээр бид дараах системийг авна.
2x + 2y - 6 = 0
2х - у - 3 = 0
Одоо эхний тэгшитгэлийн гишүүнээс хоёр дахьыг гишүүнээр хасъя: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 буюу ижил төстэйгүүдийг авчрахад 3y - 3 = 0. Тиймээс у = 1. Орлуулах Аливаа тэгшитгэлд бид x-г олно.

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 2: Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг хэрхэн батлах вэ

Дээд математикийн ажлын нэг бол шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг батлах явдал юм. Баталгаажуулалтыг Кронкер-Капелли теоремыг ашиглан хийх ёстой бөгөөд үүний дагуу түүний үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байвал систем тогтвортой байна.

Зааварчилгаа

Системийн үндсэн матрицыг бичнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр байрлуул (өөрөөр хэлбэл бүх коэффициентийг ижил дарааллаар байрлуул, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь байхгүй бол тэдгээрийг "0" тоон коэффициентээр бичнэ үү). Бүх коэффициентийг хүснэгт хэлбэрээр бичиж, хаалтанд бичнэ үү (баруун талд шилжүүлсэн чөлөөт нэр томъёог бүү тооц).

Системийн өргөтгөсөн матрицыг ижил аргаар бичнэ үү, зөвхөн энэ тохиолдолд баруун талд босоо зураас тавьж, чөлөөт нэр томъёоны баганыг бичнэ үү.

Үндсэн матрицын зэрэглэлийг тооцоол, энэ нь тэг биш хамгийн том минор юм. Нэгдүгээр эрэмбийн минор гэдэг нь матрицын дурын цифр бөгөөд тэгтэй тэнцүү биш нь ойлгомжтой. Хоёрдахь эрэмбийн минорыг тооцоолохын тулд дурын хоёр мөр, дурын хоёр баганыг авна уу (та дөрвөн оронтой болно). Тодорхойлогчийг тооцоолж, зүүн дээд тоог баруун доод талд үржүүлж, үүссэн тооноос зүүн доод ба баруун дээд хэсгийн үржвэрийг хасна. Та хоёр дахь зэрэгтэй насанд хүрээгүй хүүхэдтэй болсон.

Гурав дахь эрэмбийн минорыг тооцоолоход илүү хэцүү байдаг. Үүнийг хийхийн тулд дурын гурван мөр, гурван баганыг авбал та есөн тооны хүснэгтийг авах болно. Тодорхойлогчийг томъёогоор тооцоолно: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (коэффициентийн эхний орон нь мөрийн дугаар, хоёр дахь орон нь баганын дугаар). Танд гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэд байна.

Үүний нэгэн адил нэмэгдүүлсэн матрицын зэрэглэлийг ол. Хэрэв таны систем дэх тэгшитгэлийн тоо зэрэглэлд таарч байвал (жишээлбэл, гурван тэгшитгэл, зэрэглэл нь 3) бол өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг тооцоолох нь утгагүй бөгөөд энэ нь мөн энэ тоотой тэнцүү байх болно гэдгийг анхаарна уу. . Энэ тохиолдолд шугаман тэгшитгэлийн систем тогтвортой байна гэж бид итгэлтэйгээр дүгнэж болно.

Сэдвийн талаархи видео

Асуулт нь "Шугаман алгебр" хичээлийн үндсэн зорилгыг бүрэн хамарч байна. Тиймээс хариултыг нарийн тооцоолол, тайлбаргүйгээр зөвхөн хураангуй хэлбэрээр өгөх боломжтой. Ер нь шугаман тэгшитгэлийг цэвэр алгоритмын аргаар шийдэж болохоор сонирхолтой байдаг.

Зааварчилгаа

n үл мэдэгдэх m шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй байна (1-р зургийг үз).
Үүнд aij нь системийн коэффициент, xj нь үл мэдэгдэх, bi нь чөлөөт гишүүн (i=1, 2, ... , t; j=1, 2, ... , n) юм. Ийм систем нь түүний тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл m≤n үед практик утгатай болно. Гол нь "нэмэлт" тэгшитгэлүүд нь бусад тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх ёстой. Тэд зүгээр л давтдаг. Хэрэв тийм биш бол шийдэл байхгүй (систем тохирохгүй).

Ийм системийг AX=B матриц хэлбэрээр авсаархан бичиж болно. Энд А нь системийн коэффициентууд, X нь үл мэдэгдэх матриц-багана, В нь чөлөөт гишүүдийн матриц-багана (2-р зургийг үз). Хэрэв m=n бол өөрөөр хэлбэл. үл мэдэгдэх тоо байгаа ба тэгшитгэлийн тоо ижил байвал А матриц квадрат болно. Иймд түүнд зориулж ∆=|A| матрицын тодорхойлогчийн ойлголтыг тодорхойлсон. |A|≠0-ийн хувьд урвуу матриц A⁻¹ байна. Энэ нь AA⁻¹= A⁻¹A=E тэгшитгэл дээр суурилдаг (E нь таних матриц). Тооцооллын томъёог Зураг 2-т мөн үзүүлэв. Зөвхөн А матрицын aij элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд гэж нэрлэгддэг Aij à элементүүдийг дараах байдлаар тооцдог гэдгийг нэмж хэлэх хэрэгтэй. Тодорхойлогч |A|-г авч, aij элементийг агуулсан мөр ба баганыг зур. Үлдсэн коэффициентүүдийг тодорхойлогч болгон бич, хэрэв i+j тэгш биш бол (-1)-ээр үржүүлнэ. Харгалзах тоо нь Айж юм. Алгебрийн нэмэлтүүдийг хавсаргасан матрицын баганын дагуу бичнэ.

Матрицын аргыг ашиглан системийн шийдийг ол. Үүнийг хийхийн тулд AX=B системийн хоёр талыг зүүн талд байгаа A⁻¹-ээр үржүүлнэ. (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B эсвэл X=A⁻¹B авна. Бүх дэлгэрэнгүй мэдээллийг Зураг дээр үзүүлэв. 3. Үүнтэй ижил зураг харагдаж байна

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем. Үндсэн нэр томъёо. Матрицын бичлэгийн хэлбэр.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолт. Системийн шийдэл. Системийн ангилал.

Доод шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем(SLAE) нь системийг илэрхийлдэг

aij параметрүүдийг дууддаг коэффициентүүд, мөн би - чөлөөт гишүүд SLAU. Заримдаа тэгшитгэл болон үл мэдэгдэх тоог онцлохын тулд тэд "шугаман тэгшитгэлийн m × n систем" гэж хэлдэг бөгөөд ингэснээр SLAE нь m тэгшитгэл, n үл мэдэгдэхийг агуулж байгааг харуулж байна.

Хэрэв бүх чөлөөт нөхцөл bi=0 байвал SLAE-г дуудна нэгэн төрлийн. Хэрэв чөлөөт гишүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр гишүүн байвал SLAE гэж нэрлэдэг нэг төрлийн бус.

SLAU-ийн уусмалаар(1) хэрэв энэ цуглуулгын элементүүдийг x1,x2,...,xn үл мэдэгдэх хэсгүүдэд өгөгдсөн дарааллаар орлуулж байвал SLAE тэгшитгэл бүрийг хувиргавал (α1,α2,...,αn) гэж нэрлэнэ үү. таних тэмдэг.

Аливаа нэгэн төрлийн SLAE нь дор хаяж нэг шийдэлтэй байдаг: тэг(бусад нэр томъёонд - өчүүхэн), i.e. x1=x2=…=xn=0.

Хэрэв SLAE (1) дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан, хэрэв шийдэл байхгүй бол - хамтарсан бус. Хэрэв хамтарсан SLAE нь яг нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой, хэрэв хязгааргүй олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг бичих матриц хэлбэр.

SLAE бүртэй хэд хэдэн матрицыг холбож болно; Түүнээс гадна SLAE-г өөрөө матрицын тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно. SLAE (1)-ийн хувьд дараах матрицуудыг анхаарч үзээрэй.

Матрицыг А гэж нэрлэдэг системийн матриц. Энэ матрицын элементүүд нь өгөгдсөн SLAE-ийн коэффициентүүдийг илэрхийлдэг.

A˜ матриц гэж нэрлэгддэг Өргөтгөсөн матрицын систем. Үүнийг системийн матрицад b1,b2,...,bm чөлөөт нөхцлүүдийг агуулсан баганыг нэмснээр олж авна. Ихэвчлэн энэ баганыг тодорхой болгохын тулд босоо шугамаар тусгаарладаг.

В баганын матрицыг нэрлэнэ чөлөөт гишүүдийн матриц, ба баганын матриц X нь байна үл мэдэгдэх матриц.

Дээр дурдсан тэмдэглэгээг ашиглан SLAE (1)-ийг матрицын тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно: A⋅X=B.

Анхаарна уу

Системтэй холбоотой матрицуудыг янз бүрийн аргаар бичиж болно: бүх зүйл нь авч үзэж буй SLAE-ийн хувьсагч ба тэгшитгэлийн дарааллаас хамаарна. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд өгөгдсөн SLAE-ийн тэгшитгэл бүрийн үл мэдэгдэхүүдийн дараалал ижил байх ёстой

Кронекер-Капелли теорем. Тууштай байдлын шугаман тэгшитгэлийн системийг судлах.

Кронекер-Капелли теорем

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь системийн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л нийцтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл. rangA=rangA˜.

Хэрэв систем нь ядаж нэг шийдэлтэй бол түүнийг тогтвортой гэж нэрлэдэг. Кронекер-Капелли теорем үүнийг хэлж байна: хэрвээ rangA=rangA˜ бол шийдэл байна; хэрэв rangA≠rangA˜ бол энэ SLAE шийдэл байхгүй (зөрчил). Эдгээр шийдлүүдийн тооны талаархи асуултын хариултыг Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд өгсөн болно. Үр дүнгийн томъёололд n үсгийг ашигласан бөгөөд энэ нь өгөгдсөн SLAE-ийн хувьсагчийн тоотой тэнцүү байна.

Кронекер-Капелли теоремын үр дүн

Хэрэв rangA≠rangA˜ бол SLAE нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).

Хэрэв rangA=rangA˜

RangA=rangA˜=n бол SLAE нь тодорхой байна (яг нэг шийдэлтэй).

Томъёолсон теорем ба түүний үр дагавар нь SLAE-ийн шийдлийг хэрхэн олохыг заагаагүй болохыг анхаарна уу. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та эдгээр шийдлүүд байгаа эсэх, мөн хэрэв байгаа бол хэдэн болохыг олж мэдэх боломжтой.

SLAE-ийг шийдвэрлэх аргууд

Крамер арга

Крамерын арга нь системийн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь системийн матрицыг квадрат гэж үздэг (тодорхойлогч гэсэн ойлголт зөвхөн квадрат матрицад л байдаг). Крамерын аргын мөн чанарыг гурван зүйлээр илэрхийлж болно.

Системийн матрицын тодорхойлогчийг (үүнийг мөн системийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг) зохиож, энэ нь тэгтэй тэнцүү биш эсэхийг шалгаарай, өөрөөр хэлбэл. Δ≠0.

xi хувьсагч бүрийн хувьд i-р баганыг өгөгдсөн SLAE-ийн чөлөөт нөхцлийн баганаар сольж Δ тодорхойлогчоос олж авсан Δ X i тодорхойлогчийг байгуулах шаардлагатай.

xi= Δ X i /Δ томъёог ашиглан үл мэдэгдэх утгыг ол

Урвуу матриц ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг урвуу матриц ашиглан шийдвэрлэх нь (заримдаа энэ аргыг матрицын арга эсвэл урвуу матрицын арга гэж нэрлэдэг) SLAE-ийн тэмдэглэгээний матриц хэлбэрийн тухай ойлголттой урьдчилан танилцахыг шаарддаг. Урвуу матрицын арга нь системийн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь системийн матрицыг квадрат гэж үздэг (тодорхойлогч гэсэн ойлголт зөвхөн квадрат матрицад л байдаг). Урвуу матрицын аргын мөн чанарыг гурван цэгээр илэрхийлж болно.

А системийн матриц, үл мэдэгдэх X матриц, чөлөөт гишүүний матриц В гэсэн гурван матрицыг бич.

А -1 урвуу матрицыг ол.

X=A -1 ⋅B тэгшитгэлийг ашиглан өгөгдсөн SLAE-ийн шийдийг ол.

Гауссын арга. Гауссын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ.

Гауссын арга бол шийдвэрлэх хамгийн хялбар, ойлгомжтой аргуудын нэг юм шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем(SLAU): нэгэн төрлийн ба гетероген аль аль нь. Товчхондоо, энэ аргын мөн чанар нь үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах явдал юм.

Гауссын аргын зөвшөөрөгдсөн хувиргалтыг:

Хоёр шугамын байрлалыг өөрчлөх;

Мөрний бүх элементүүдийг тэгтэй тэнцүү биш тоогоор үржүүлэх.

Нэг эгнээний элементүүдэд өөр эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дурын хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Элементүүд нь бүгд тэгтэй мөрийг гаталж байна.

Давхардсан мөрүүдийг таслах.

Сүүлийн хоёр цэгийн тухайд: давтагдах шугамыг Гауссын аргыг ашиглан шийдлийн аль ч үе шатанд хөндлөн гаргаж болно - мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийн аль нэгийг нь үлдээж болно. Жишээлбэл, №2, №5, 6-р мөрүүд давтагдсан бол тэдгээрийн аль нэгийг нь, жишээлбэл, 5-р мөрийг үлдээж болно. Энэ тохиолдолд 2, 6 дугаар мөрийг устгана.

Өргөтгөсөн системийн матрицаас тэг мөр гарч ирэх үед хасагдана.

Шугаман агебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) тууштай байдлын үүднээс судлах нь энэ системд шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдэх гэсэн үг юм. За, хэрэв шийдэл байгаа бол хэд байгааг зааж өгнө үү.

"Шугаман алгебр тэгшитгэлийн систем. Үндсэн нэр томьёо. Тэмдэглэгээний матриц хэлбэр" сэдвээс мэдээлэл хэрэгтэй болно. Ялангуяа Кронекер-Капелли теоремыг томъёолохдоо тэдгээрт үндэслэсэн тул системийн матриц, өргөтгөсөн системийн матриц гэх мэт ойлголтууд хэрэгтэй. Ердийнх шигээ бид системийн матрицыг $A$ үсгээр, системийн өргөтгөсөн матрицыг $\widetilde(A)$ үсгээр тэмдэглэнэ.

Кронекер-Капелли теорем

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь системийн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л нийцтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл. $\rang A =\rang\widetilde(A)$.

Хэрэв систем нь ядаж нэг шийдэлтэй бол түүнийг хамтарсан гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя. Кронекер-Капелли теорем ингэж өгүүлдэг: хэрэв $\rang A=\rang\widetilde(A)$ бол шийдэл байна; хэрэв $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ бол энэ SLAE шийдэл байхгүй (зөрчил). Эдгээр шийдлүүдийн тооны талаархи асуултын хариултыг Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд өгсөн болно. Үр дүнгийн томъёололд $n$ үсгийг ашигласан бөгөөд энэ нь өгөгдсөн SLAE-ийн хувьсагчдын тоотой тэнцүү байна.

Кронекер-Капелли теоремын үр дүн

1. Хэрэв $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ байвал SLAE нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).
2. Хэрэв $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Хэрэв $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ бол SLAE нь тодорхой байна (яг нэг шийдэлтэй).

Томъёолсон теорем ба түүний үр дагавар нь SLAE-ийн шийдлийг хэрхэн олохыг заагаагүй болохыг анхаарна уу. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та эдгээр шийдлүүд байгаа эсэх, мөн хэрэв байгаа бол хэдэн болохыг олж мэдэх боломжтой.

Жишээ №1

SLAE $ \left \(\begin(зэрэгцүүлсэн) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42) судлах. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) )\right.$ нийцтэй байх. Хэрэв SLAE нийцтэй бол шийдлийн тоог зааж өгнө үү.

Өгөгдсөн SLAE-ийн шийдлүүд байгаа эсэхийг мэдэхийн тулд бид Кронекер-Капелли теоремыг ашигладаг. Бидэнд $A$ системийн матриц ба $\widetilde(A)$ системийн өргөтгөсөн матриц хэрэгтэй болно, бид тэдгээрийг бичих болно:

$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(массив) \баруун);\; \widetilde(A)=\left(\begin(массив) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(массив) \баруун). $$

Бид $\rang A$ болон $\rang\widetilde(A)$ олох хэрэгтэй. Үүнийг хийх олон арга байдаг бөгөөд тэдгээрийн заримыг нь Матрицын зэрэглэл хэсэгт жагсаасан болно. Ийм системийг судлахын тулд ихэвчлэн хоёр аргыг ашигладаг: "Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлолтоор тооцоолох" эсвэл "Матрицын зэрэглэлийг энгийн хувиргалтаар тооцоолох".

Аргын дугаар 1. Тодорхойлолтоор зэрэглэлийг тооцоолох.

Тодорхойлолтын дагуу зэрэглэл нь матрицын насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд эрэмб бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг нь тэгээс ялгаатай байдаг. Ихэвчлэн нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдээс судалгаа эхэлдэг боловч энд $A$ матрицын гуравдахь эрэмбийн минорыг шууд тооцоолж эхлэх нь илүү тохиромжтой. Гурав дахь эрэмбийн жижиг элементүүд нь тухайн матрицын гурван мөр, гурван баганын огтлолцол дээр байрладаг. $A$ матриц нь зөвхөн 3 мөр, 3 багана агуулсан тул $A$ матрицын гуравдугаар эрэмбийн минор нь $A$ матрицын тодорхойлогч, өөрөөр хэлбэл. $\Дельта A$. Тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд "Хоёр ба гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох томъёо" сэдвийн 2-р томъёог ашиглана.

$$ \Дельта А=\зүүн| \begin(массив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(массив) \right|=-21. $$

Тэгэхээр $A$ матрицын гуравдахь эрэмбийн минор байгаа бөгөөд энэ нь тэгтэй тэнцүү биш юм. Дөрөвдүгээр эрэмбийн минорыг бүтээх боломжгүй, учир нь 4 мөр, 4 багана шаардлагатай бөгөөд $A$ матриц нь ердөө 3 мөр, 3 баганатай. Тэгэхээр $A$ матрицын миноруудын хамгийн дээд эрэмбэ нь 0-тэй тэнцүү биш ядаж нэг байгаа нь 3-тай тэнцүү байна.Тиймээс $\rang A=3$.

Мөн бид $\rang\widetilde(A)$ олох хэрэгтэй. $\widetilde(A)$ матрицын бүтцийг авч үзье. $\widetilde(A)$ матрицын мөр хүртэл $A$ матрицын элементүүд байдаг бөгөөд бид $\Delta A\neq 0$ болохыг олж мэдсэн. Иймээс $\widetilde(A)$ матриц нь 0-тэй тэнцүү биш гуравдахь эрэмбийн минортой байна. Бид $\widetilde(A)$ матрицын дөрөв дэх эрэмбийн миноруудыг бүтээж чадахгүй тул $\rang\widetilde(A)=3$ гэж дүгнэж байна.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем тогтвортой байна, өөрөөр хэлбэл. шийдэлтэй (дор хаяж нэг). Шийдлийн тоог зааж өгөхийн тулд манай SLAE нь $x_1$, $x_2$ болон $x_3$ гэсэн 3 үл мэдэгдэх зүйлийг агуулна. Үл мэдэгдэх тоо $n=3$ байгаа тул бид дүгнэж байна: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, тиймээс Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд систем нь тодорхой, өөрөөр хэлбэл. өвөрмөц шийдэлтэй.

Асуудал шийдэгдсэн. Энэ арга нь ямар сул тал, давуу талтай вэ? Эхлээд давуу талуудын талаар ярилцъя. Нэгдүгээрт, бид зөвхөн нэг тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй байв. Үүний дараа бид нэн даруй шийдлийн тооны талаар дүгнэлт хийсэн. Ерөнхийдөө стандарт стандарт тооцоолол нь гурван үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийн системийг өгдөг бөгөөд өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Ийм системүүдийн хувьд энэ арга нь маш тохиромжтой, учир нь бид шийдэл байгаа гэдгийг урьдчилан мэддэг (өөрөөр бол жишээ нь стандарт тооцоонд байхгүй байсан). Тэдгээр. Бидний хийх ёстой зүйл бол шийдэл байгаа эсэхийг хамгийн хурдан харуулах явдал юм. Хоёрдугаарт, системийн матрицын тодорхойлогчийн тооцоолсон утга (жишээ нь $\Delta A$) нь хожим хэрэг болно: өгөгдсөн системийг Крамерын арга эсвэл урвуу матриц ашиглан шийдэж эхлэхэд.

Гэсэн хэдий ч $A$ системийн матриц тэгш өнцөгт хэлбэртэй байвал зэрэглэлийг тооцоолох аргыг хэрэглэх нь тодорхойгүй байна. Энэ тохиолдолд доор хэлэлцэх хоёр дахь аргыг ашиглах нь дээр. Нэмж дурдахад, хэрэв $\Delta A=0$ бол өгөгдсөн нэгэн төрлийн бус SLAE-ийн шийдлийн тооны талаар бид юу ч хэлж чадахгүй. Магадгүй SLAE нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байж магадгүй, эсвэл үгүй ​​ч байж магадгүй. Хэрэв $\Delta A=0$ бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай бөгөөд энэ нь ихэвчлэн төвөгтэй байдаг.

Хэлсэн зүйлийг нэгтгэн дүгнэхийн тулд эхний арга нь системийн матриц нь квадрат хэлбэртэй SLAE-д тохиромжтой гэдгийг би тэмдэглэж байна. Түүнчлэн, SLAE нь өөрөө гурав, дөрвөн үл мэдэгдэх зүйлийг агуулдаг бөгөөд стандарт тооцоолол эсвэл туршилтаас авсан болно.

Аргын дугаар 2. Анхан шатны хувиргалтын аргаар зэрэглэлийг тооцоолох.

Энэ аргыг холбогдох сэдвээр дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Бид $\widetilde(A)$ матрицын зэрэглэлийг тооцоолж эхэлнэ. Яагаад $A$ биш $\widetilde(A)$ матрицууд вэ? Баримт нь $A$ матриц нь $\widetilde(A)$ матрицын нэг хэсэг тул $\widetilde(A)$ матрицын зэрэглэлийг тооцоолсноор бид $A$ матрицын зэрэглэлийг нэгэн зэрэг олох болно. .

\begin(зэрэгцүүлсэн) &\widetilde(A) =\left(\begin(массив) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(массив) \баруун) \баруун сум \зүүн|\text(эхний болон хоёр дахь мөрийг солих)\баруун| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(массив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(массив) \баруун) \эхлэх(массив) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(массив) \баруун сум \зүүн(\эхлэх) (массив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(массив) \баруун) \эхлэх(массив) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \төгсгөл(массив)\баруун сум\\ &\баруун сум \зүүн(\эхлэх(массив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(массив) \баруун) \төгсгөл(зохицуулсан)

Бид $\widetilde(A)$ матрицыг трапец хэлбэртэй болгож багасгасан. Үүссэн матрицын үндсэн диагональ дээр $\left(\begin(массив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ нь -1, 3 ба -7 гэсэн 0 биш гурван элементийг агуулна. Дүгнэлт: $\widetilde(A)$ матрицын зэрэглэл нь 3, i.e. $\rang\widetilde(A)=3$. $\widetilde(A)$ матрицын элементүүдээр хувиргалт хийхдээ бид $A$ матрицын шугам хүртэл байрлах элементүүдийг нэгэн зэрэг хувиргасан. Мөн $A$ матрицыг трапец хэлбэрт оруулав: $\left(\begin(массив) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(массив) \right )$. Дүгнэлт: $A$ матрицын зэрэглэл нь мөн 3, i.e. $\rang A=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем тогтвортой байна, өөрөөр хэлбэл. шийдэлтэй. Шийдлийн тоог зааж өгөхийн тулд манай SLAE нь $x_1$, $x_2$ болон $x_3$ гэсэн 3 үл мэдэгдэх зүйлийг агуулна. Үл мэдэгдэх тоо $n=3$ тул бид дүгнэж байна: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, тиймээс Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд үндэслэн системийг тодорхойлсон, өөрөөр хэлбэл. өвөрмөц шийдэлтэй.

Хоёрдахь аргын давуу тал юу вэ? Гол давуу тал нь олон талт байдал юм. Системийн матриц квадрат байх эсэх нь бидэнд хамаагүй. Нэмж дурдахад бид Гауссын аргын цаашдын өөрчлөлтийг хийсэн. Хэдхэн алхам үлдсэн бөгөөд бид энэхүү SLAE-ийн шийдлийг олж авах боломжтой. Үнэнийг хэлэхэд, би хоёр дахь арга нь эхнийхээсээ илүү дуртай, гэхдээ сонголт нь амт юм.

Хариулт: Өгөгдсөн SLAE нь тууштай бөгөөд тодорхойлогдсон.

Жишээ №2

SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1--г судлах Тохиромжтой болгохын тулд 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(зэрэгцүүлсэн) \баруун.$.

Бид системийн матриц болон өргөтгөсөн системийн матрицын зэрэглэлийг энгийн хувиргалтуудын аргыг ашиглан олох болно. Өргөтгөсөн системийн матриц: $\widetilde(A)=\left(\begin(массив) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(массив) \баруун)$. Системийн өргөтгөсөн матрицыг хувиргах замаар шаардлагатай зэрэглэлүүдийг олцгооё.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулав. Хэрэв матрицыг эшелон хэлбэрт оруулбал түүний зэрэглэл нь тэгээс өөр эгнээний тоотой тэнцүү байна. Тиймээс $\rang A=3$. $A$ матриц (мөр хүртэл) трапец хэлбэрт орж, зэрэглэл нь 2, $\rang A=2$ байна.

$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем нь нийцэхгүй байна (өөрөөр хэлбэл шийдэл байхгүй).

Хариулт: Систем нь тогтворгүй байна.

Жишээ №3

SLAE $ \left\( \begin(зэрэгцүүлсэн) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=6-г судлах ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. Тохиромжтой болгохын тулд \end(aligned) \right.$.

Системийн өргөтгөсөн матриц нь дараах хэлбэртэй байна: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$. Эхний эгнээний эхний элемент нэг болохын тулд энэ матрицын эхний болон хоёр дахь мөрийг сольж үзье: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Бид системийн өргөтгөсөн матриц болон системийн матрицыг трапец хэлбэрийн хэлбэр болгон бууруулсан. Системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гурав, системийн матрицын зэрэглэл нь мөн гуравтай тэнцүү байна. Систем нь $n=5$ үл мэдэгдэхийг агуулж байгаа тул i.e. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Хариулт: Систем тодорхойгүй байна.

Хоёрдахь хэсэгт бид стандарт тооцоолол эсвэл дээд математикийн тестүүдэд ихэвчлэн багтдаг жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно: үүнд багтсан параметрүүдийн утгуудаас хамааран SLAE-ийн тууштай байдлын судалгаа, шийдэл.

Шийдэл. A= . r(A)-г олъё. Учир нь матрицМөн 3х4 дараалалтай, дараа нь насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хамгийн дээд эрэмб нь 3 байна. Түүнээс гадна, бүх гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна (өөрийгөө шалгаарай). гэсэн үг, r(A)< 3. Возьмем главный үндсэн бага = -5-4 = -9 ≠ 0. Иймд r(A) =2.

Ингээд авч үзье матриц ХАМТ = .

Бага гурав дахь захиалга ≠ 0. Тэгэхээр r(C) = 3 байна.

r(A)-аас хойш ≠ r(C) , тэгвэл систем нь нийцэхгүй байна.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлох

Хэрэв энэ систем тогтвортой байвал шийднэ үү.

Шийдэл.

A =, C = . r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4 гэдэг нь ойлгомжтой. detC = 0 тул r(C) болно.< 4. Ингээд авч үзье бага гурав дахь захиалга, А ба С матрицын зүүн дээд буланд байрладаг: = -23 ≠ 0. Тэгэхээр r(A) = r(C) = 3 байна.

Тоо үл мэдэгдэх системд n=3. Энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд дөрөв дэх тэгшитгэл нь эхний гурвын нийлбэрийг илэрхийлэх бөгөөд үүнийг үл тоомсорлож болно.

Крамерын томъёоны дагуубид x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 болно.

2.4. Матрицын арга. Гауссын арга

систем nшугаман тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх асуудлыг шийдэж болно матрицын аргатомъёоны дагуу X = A -1 B (Δ үед ≠ 0), энэ нь (2)-аас хоёр хэсгийг A -1-ээр үржүүлснээр гарна.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийн системийг шийд

матрицын арга (2.2-р хэсэгт энэ системийг Крамерын томъёогоор шийдсэн)

Шийдэл. Δ = 10 ≠ 0 A = - доройтдоггүй матриц.

= (шаардлагатай тооцоог хийх замаар үүнийг өөрөө шалгана уу).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Хариулт: .

Практик талаас нь авч үзвэлматрицын арга ба томъёо Крамерих хэмжээний тооцоололтой холбоотой тул давуу эрх олгодог Гауссын арга, энэ нь үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгахаас бүрддэг. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн системийг гурвалжин өргөтгөсөн матрицтай эквивалент систем болгон бууруулсан (үндсэн диагональаас доош бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү). Эдгээр үйлдлийг урагшлах хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Үүссэн гурвалжин системээс хувьсагчдыг дараалсан орлуулалтыг (урвуу) ашиглан олно.

Жишээ 2. Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд

(Дээрх нь энэ системийг Крамерын томъёо болон матрицын аргыг ашиглан шийдсэн).

Шийдэл.

Шууд шилжих. Өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан гурвалжин хэлбэрт оруулцгаая.

~ ~ ~ ~ .

Бид авдаг систем

Урвуу хөдөлгөөн.Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог X 3 = -6 ба энэ утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Хариулт: .

2.5. Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл

Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье = б би(би=). r(A) = r(C) = r, i.e. систем нь хамтын ажиллагаа юм. r-ийн тэгээс бусад бага зэрэг нь үндсэн бага.Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид суурь минор нь А матрицын эхний r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) мөр, баганад байрлана гэж үзнэ. Системийн сүүлийн m-r тэгшитгэлүүдийг хасаад бид a бичнэ. богиносгосон систем:

Энэ нь анхныхтай тэнцүү юм. Үл мэдэгдэх хүмүүсийг нэрлэе x 1 ,….x rүндсэн, ба x r +1 ,…, x rчөлөөтэй ба чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог таслагдсан системийн тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ. Бид үндсэн үл мэдэгдэх системийг олж авдаг.

чөлөөт үл мэдэгдэх утгын багц бүрийн хувьд x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rганцхан шийдэлтэй x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),Крамерын дүрмээр олдсон.

Холбогдох шийдэлбогиносгосон тул анхны систем нь дараах хэлбэртэй байна.

X(C 1 ,…, C n-r) = - системийн ерөнхий шийдэл.

Хэрэв ерөнхий шийдэлд бид чөлөөт үл мэдэгдэх тоон утгыг оноож өгвөл хэсэгчилсэн шийдэл гэж нэрлэгддэг шугаман системийн шийдлийг олж авна.

Жишээ. Тохиромжтой байдлыг бий болгож, системийн ерөнхий шийдлийг олох

Шийдэл. A = , C = .

Тэгэхээр Хэрхэн r(A)= r(C) = 2 (үүнийг өөрөө харна уу), тэгвэл анхны систем нь тууштай бөгөөд хязгааргүй тооны шийдэлтэй (r-ээс хойш)< 4).

Жишээ 1. Системийн ерөнхий шийдэл болон тодорхой шийдлийг ол

ШийдэлБид үүнийг тооцоолуур ашиглан хийдэг. Өргөтгөсөн болон үндсэн матрицуудыг бичье.

Үндсэн А матриц нь тасархай шугамаар тусгаарлагддаг.Бид системийн тэгшитгэлийн нэр томьёоны дахин зохион байгуулалтыг санаж, дээд талд үл мэдэгдэх системүүдийг бичдэг. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох замаар бид нэгэн зэрэг үндсэн матрицын зэрэглэлийг олдог. В матрицын эхний ба хоёр дахь багана нь пропорциональ байна. Хоёр пропорциональ баганаас зөвхөн нэг нь үндсэн баганад орох боломжтой тул жишээлбэл, эхний баганыг эсрэг тэмдэгтэй тасархай шугамын цаана шилжүүлье. Системийн хувьд энэ нь x 1-ээс тэгшитгэлийн баруун тал руу нэр томъёог шилжүүлэх гэсэн үг юм.

Матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Матрицын мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, системийн өөр мөрөнд нэмэх нь тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлж, өөр тэгшитгэлээр нэмнэ гэсэн үг тул бид зөвхөн мөрүүдтэй ажиллах болно. систем. Бид эхний эгнээтэй ажилладаг: матрицын эхний эгнээ (-3) -аар үржүүлж, хоёр, гурав дахь эгнээнд ээлжлэн нэмнэ. Дараа нь эхний мөрийг (-2) үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ.

Хоёр ба гурав дахь мөр нь пропорциональ тул тэдгээрийн аль нэгийг нь, жишээлбэл, хоёр дахь мөрийг нь хасаж болно. Гурав дахь тэгшитгэлийн үр дагавар учраас энэ нь системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг хасахтай тэнцүү юм.

Одоо бид хоёр дахь мөрөнд ажиллаж байна: үүнийг (-1) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ.

Тасалсан шугамаар дугуйлсан минор нь хамгийн өндөр дараалалтай (боломжтой жижиг хэсгүүдийн тоо) бөгөөд тэгээс ялгаатай (энэ нь үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү), энэ минор нь үндсэн матриц болон өргөтгөсөн аль алинд нь хамаарна. RangA = RangB = 3.
Бага суурь юм. Үүнд x 2 , x 3 , x 4 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 2 , x 3 , x 4 нь хамааралтай, x 1 , x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.
Матрицыг хувиргаж, зүүн талд зөвхөн минорын суурийг үлдээе (энэ нь дээрх шийдлийн алгоритмын 4-р цэгт тохирч байна).

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд хэлбэртэй байна

Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
, ,

Бид x 2, x 3, x 4 хамааралтай хувьсагчдыг x 1 ба x 5 чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдлийг олсон.

Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлд ямар ч утгыг оноож өгснөөр бид тодорхой шийдлүүдийг олж авдаг. Хоёр тодорхой шийдлийг олцгооё:
1) x 1 = x 5 = 0, тэгвэл x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, дараа нь x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Ийнхүү хоёр шийдэл олдлоо: (0,1,-3,3,0) – нэг шийдэл, (1,4,-7,7,-1) – өөр шийдэл.

Жишээ 2. Тохиромжтой байдлыг судалж, системийн ерөнхий болон нэг тодорхой шийдлийг олоорой

Шийдэл. Эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлд нэг байхаар дахин цэгцэлж, В матрицыг бичье.

Эхний мөртэй ажиллах замаар бид дөрөв дэх баганад тэгийг авна.

Одоо бид хоёр дахь мөрийг ашиглан гурав дахь баганад тэгийг авна.

Гурав, дөрөв дэх мөр нь пропорциональ тул тэдгээрийн аль нэгийг нь зэрэглэлийг өөрчлөхгүйгээр зурж болно.
Гурав дахь мөрийг (-2)-оор үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ:

Үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэл нь 4-тэй тэнцүү бөгөөд зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байгааг бид харж байна, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
;
x 4 = 10- 3х 1 – 3х 2 – 2х 3 = 11.

Жишээ 3. Системийн нийцтэй байдлыг шалгаж, хэрэв байгаа бол шийдлийг олоорой.

Шийдэл. Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бүрдүүлдэг.

Бид эхний хоёр тэгшитгэлийг зүүн дээд буланд 1 байхаар өөрчлөнө.
Эхний мөрийг (-1) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ:

Хоёр дахь мөрийг (-2)-оор үржүүлээд гурав дахь мөрөнд нэмнэ.

Үндсэн матрицад бид тэгээс бүрдэх мөрийг хүлээн авсан бөгөөд эрэмбэ олдох үед таслагдах боловч өргөтгөсөн матрицад сүүлчийн эгнээ хэвээр байна, өөрөөр хэлбэл r B > r A .

Дасгал хийх. Энэ тэгшитгэлийн системийг нийцтэй эсэхийг судалж, матрицын тооцоолол ашиглан шийд.
Шийдэл

Жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг баталж, үүнийг хоёр аргаар шийд: 1) Гауссын аргаар; 2) Крамерын арга. (хариултыг x1,x2,x3 хэлбэрээр оруулна уу)
Шийдэл :doc :doc :xls
Хариулт: 2,-1,3.

Жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгөв. Түүний нийцтэй байдлыг нотлох. Системийн ерөнхий шийдэл ба нэг тодорхой шийдлийг ол.
Шийдэл
Хариулт: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Дасгал хийх. Систем бүрийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох.
Шийдэл.Бид энэ системийг Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан судалдаг.
Өргөтгөсөн болон үндсэн матрицуудыг бичье.

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Энд А матрицыг тодоор тодруулсан.
Матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Матрицын мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, системийн өөр мөрөнд нэмэх нь тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлж, өөр тэгшитгэлээр нэмнэ гэсэн үг тул бид зөвхөн мөрүүдтэй ажиллах болно. систем.
1-р мөрийг (3) үржүүлье. 2-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

2-р мөрийг (2) үржүүлье. 3-р мөрийг (-3) үржүүлнэ. 3-р мөрийг 2-т нэмье:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

2-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Сонгосон минор нь хамгийн өндөр эрэмбтэй (боломжтой насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн тоо) бөгөөд тэг биш (урвуу диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү) бөгөөд энэ минор нь үндсэн болон өргөтгөсөн матрицад хоёуланд нь хамаарах тул rang( A) = rang(B) = 3 Үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү тул систем нь хамтын ажиллагаа юм.
Энэ насанд хүрээгүй хүүхэд бол үндсэн юм. Үүнд x 1 , x 2 , x 3 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 1 , x 2 , x 3 нь хамааралтай (үндсэн), x 4 , x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.
Матрицыг хувиргаж, зүүн талд зөвхөн минор суурь үлдээе.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.
27х 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2х 1 + 3х 2 - 3х 3 = 1 - 3х 4 + 2х 5
Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
Бид x 1 , x 2 , x 3 хамааралтай хувьсагчдыг x 4 , x 5 чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл бид олсон. нийтлэг шийдвэр:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
тодорхойгүй, учир нь нэгээс олон шийдэлтэй.

Дасгал хийх. Тэгшитгэлийн системийг шийд.
Хариулт:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлд ямар ч утгыг оноож өгснөөр бид тодорхой шийдлүүдийг олж авдаг. Систем нь тодорхойгүй