Эсрэг дериватив функцийг олох асуудал үргэлж шийдэлтэй байдаггүй, гэхдээ бид ямар ч функцийг ялгаж чаддаг. Энэ нь бүх нийтийн интеграцийн арга байхгүй байгааг тайлбарлаж байна.

Энэ нийтлэлд бид тодорхойгүй интегралыг олох үндсэн аргуудыг дэлгэрэнгүй шийдэл бүхий жишээнүүдийг ашиглан авч үзэх болно. Мөн бид интеграцийн арга тус бүрийн шинж чанартай интеграл функцүүдийн төрлийг бүлэглэх болно.

Хуудасны навигаци.

Шууд нэгтгэх.

Эсрэг дериватив функцийг олох гол арга бол эсрэг деривативын хүснэгт ба тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглан шууд интегралчлал юм. Бусад бүх аргыг зөвхөн анхны интегралыг хүснэгт хэлбэрт оруулахад ашигладаг.

Жишээ.

Функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг ол.

Шийдэл.

Функцийг хэлбэрээр бичье.

Функцийн нийлбэрийн интеграл нь интегралын нийлбэртэй тэнцүү тул

Тоон коэффициентийг интеграл тэмдгээс хасаж болно.

Интегралуудын эхнийх нь хүснэгтийн хэлбэрт орсон тул экспоненциал функцийн эсрэг деривативын хүснэгтээс бидэнд байна. .

Хоёр дахь интегралыг олохын тулд бид чадлын функцийн эсрэг деривативуудын хүснэгтийг ашиглана ба дүрэм . Тэр бол, .

Тиймээс,

Хаана

Орлуулах аргаар нэгтгэх.

Аргын мөн чанар нь бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, энэ хувьсагчаар дамжуулан интегралыг илэрхийлж, үр дүнд нь интегралын хүснэгтэн (эсвэл энгийн) хэлбэрт хүрдэгт оршино.

Тригонометрийн функц, функцийг радикалуудтай нэгтгэх үед орлуулах арга нь ихэвчлэн аврах ажилд ирдэг.

Жишээ.

Тодорхой бус интегралыг ол .

Шийдэл.

Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя. x-ээр z-г илэрхийлье:

Бид үүссэн илэрхийлэлүүдийг анхны интеграл болгон орлуулна.

Антидеривативуудын хүснэгтээс бид байна .

Анхны x хувьсагч руу буцах нь хэвээр байна:

Хариулт:

Тригонометрийн функцийг нэгтгэхдээ орлуулах аргыг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглах нь интегралыг бутархай оновчтой хэлбэр болгон хувиргах боломжийг олгодог.

Орлуулах арга нь интеграцийн дүрмийг тайлбарлах боломжийг олгодог .

Тэгвэл бид шинэ хувьсагчийг танилцуулж байна

Бид үүссэн илэрхийлэлүүдийг анхны интеграл болгон орлуулна.

Хэрэв бид хүлээн зөвшөөрөөд анхны х хувьсагч руу буцвал бид авна

Дифференциал тэмдгийг илгээж байна.

Дифференциал тэмдгийг оруулах арга нь интегралыг хэлбэрт оруулахад суурилдаг . Дараа нь орлуулах аргыг ашигладаг: шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, шинэ хувьсагчийн эсрэг деривативыг олсны дараа бид анхны хувьсагч руу буцна.

Тохиромжтой болгох үүднээс интегралыг хөрвүүлэхэд хялбар болгохын тулд дифференциал хэлбэрээр нүднийхээ өмнө байрлуулж, мөн интегралыг ямар хэлбэрт хөрвүүлэхийг харахын тулд эсрэг деривативуудын хүснэгтийг хараарай.

Жишээлбэл, котангентын функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг олъё.

Жишээ.

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Шийдэл.

Тригонометрийн томъёог ашиглан интегралыг өөрчилж болно:

Деривативын хүснэгтийг хараад бид тоологч дахь илэрхийллийг дифференциал тэмдгийн дор нэгтгэж болно гэж дүгнэж байна. , Тийм учраас

Тэр бол .

Тэгээд байг . Антидеривативуудын хүснэгтээс бид үүнийг харж байна . Анхны хувьсагч руу буцах .

Тайлбаргүйгээр шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх.

Хэсэгчилсэн интеграци нь интегралыг бүтээгдэхүүн болгон төлөөлж, дараа нь томъёог хэрэглэхэд суурилдаг. Энэ арга нь маш хүчирхэг нэгтгэх хэрэгсэл юм. Интегралаас хамааран хэсэгчлэн нэгтгэх аргыг заримдаа үр дүнд хүрэхийн өмнө хэд хэдэн удаа дараалан хэрэглэх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, артангенсийн функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг олъё.

Жишээ.

Тодорхой бус интегралыг тооцоол.

Шийдэл.

Тэгээд байг

v(x) функцийг олохдоо дурын тогтмол С-г нэмж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Одоо бид интеграцийг хэсгүүдийн томъёогоор ашиглана:

Бид сүүлчийн интегралыг дифференциал тэмдгийн доор оруулах аргыг ашиглан тооцоолно.

Түүнээс хойш . Тийм ч учраас

Тиймээс,

Хаана.

Хариулт:

Хэсэгээр интегралдах гол бэрхшээл нь интегралын аль хэсгийг u(x) функцээр, аль хэсгийг d(v(x)) дифференциал болгон авах вэ гэсэн сонголтоос үүсдэг. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн стандарт зөвлөмжүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийг хэсэгчлэн нэгтгэх хэсэгт танилцахыг зөвлөж байна.

Хүч чадлын илэрхийллүүдийг нэгтгэхдээ, жишээ нь, эсвэл гэх мэт, үе шатнаас шат дамжлагаар зэрэглэлийг багасгах боломжийг олгодог давтагдах томъёог ашиглана. Эдгээр томъёог хэсгүүдээр дараалан давтан нэгтгэх замаар олж авдаг. Дахин давтагдах томьёо ашиглан хэсгийн интеграцчлалтай танилцахыг бид зөвлөж байна.

Эцэст нь хэлэхэд би энэ нийтлэл дэх бүх материалыг нэгтгэн дүгнэхийг хүсч байна. Үндсэн суурь нь шууд нэгтгэх арга юм. Орлуулах арга, дифференциал тэмдгийн дор орлуулах, хэсгүүдээр нэгтгэх арга нь анхны интегралыг хүснэгт болгон бууруулах боломжийг олгодог.

Шууд интеграл гэдэг нь өгөгдсөн интегралыг нэг буюу хэд хэдэн хүснэгтийн интеграл болгон бууруулж, интегралын ижил хувиргалт ба тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглах арга гэж ойлгодог.

Жишээ 1. Хай.

 Тоолуурыг хуваарьт хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

=
.

Тэдний нийлбэр нь мөн дурын тогтмол бөгөөд бид төгсгөлд нь бичдэг учраас гишүүн бүрийн дараа дурын тогтмолыг тавих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 2. Хай
.

 Бид интегралыг дараах байдлаар хувиргана.

.

Хүснэгтийн интеграл 1-ийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Жишээ 3.

Жишээ 4.

Жишээ 5.

=
.

Зарим тохиолдолд интегралыг олох нь хиймэл техник ашиглан хялбаршуулсан байдаг.

Жишээ 6. Хай
.

 Интегралыг үржүүлнэ
бид олдог

=
.

Жишээ 7.

Жишээ 8 .

2. Хувьсах аргыг өөрчлөх замаар нэгтгэх

Өгөгдсөн интегралыг шууд интегралаар тооцоолох нь үргэлж боломжгүй байдаг бөгөөд заримдаа энэ нь ихээхэн бэрхшээлтэй холбоотой байдаг. Эдгээр тохиолдолд бусад техникийг ашигладаг. Хамгийн үр дүнтэй аргуудын нэг бол хувьсах солих арга юм. Үүний мөн чанар нь шинэ интегралын хувьсагчийг нэвтрүүлснээр өгөгдсөн интегралыг шинэ болгон бууруулах боломжтой бөгөөд үүнийг шууд авахад харьцангуй хялбар байдаг. Энэ аргын хоёр хувилбар байдаг.

a) Дифференциал тэмдгийн дор функцийг нэгтгэх арга

Функцийн дифференциалын тодорхойлолтоор
.

Энэ тэгш байдлын зүүнээс баруун тийш шилжих шилжилтийг "хүчин зүйлийг нэгтгэн дүгнэх" гэж нэрлэдэг.
дифференциал тэмдгийн дор."

Интегралчлалын томъёоны инвариант байдлын тухай теорем

Аливаа интегралчлалын томъёо нь бие даасан хувьсагчийг түүнээс ялгах функцээр солих үед хэлбэрээ хадгалдаг.

, дараа нь
,

Хаана
-ийн аливаа дифференциалагдах функц x. Үүний утга нь функцийн интервалд хамаарах ёстой тодорхойлсон ба тасралтгүй.

Нотолгоо:

Юунаас
, байх ёстой
. Одоо функцийг авч үзье
. Түүний дифференциалын хувьд  функцийн эхний дифференциал хэлбэрийн инвариантын шинж чанараас шалтгаалан бид дараах байдалтай байна.

Интегралыг тооцоолох шаардлагатай байг
. Дифференциалагдах функц байгаа гэж үзье
болон функц
Ингэснээр интеграл
гэж бичиж болно

тэдгээр. интеграл тооцоо
интегралыг тооцоолох хүртэл бууруулна
ба дараагийн орлуулалт
.

Жишээ 1. .

Жишээ 2. .

Жишээ 3 . .

Жишээ 4 . .

Жишээ 5 .
.

Жишээ 6 . .

Жишээ 7 . .

Жишээ 8. .

Жишээ 9. .

Жишээ 10 . .

Жишээ 11.

Жишээ 12 . FindI=
(0).

 Интеграл функцийг дараах хэлбэрээр илэрхийлье.

Тиймээс,

Тиймээс,
.

Жишээ 12a. Хай I=
,
.

 Түүнээс хойш
,

тиймээс I= . 

Жишээ 13. Хай
(0).

 Энэхүү интегралыг хүснэгтэн хэлбэрт оруулахын тулд интегралын хүртэгч ба хуваагчийг дараах байдлаар хуваана. :

.

Бид дифференциал тэмдгийн дор тогтмол хүчин зүйлийг байрлуулсан. Үүнийг шинэ хувьсагч гэж үзвэл бид дараахь зүйлийг авна.

.

Иррационал функцүүдийг нэгтгэхэд чухал ач холбогдолтой интегралыг мөн тооцъё.

Жишээ 14. FindI=
( X А,А0).

 Бидэнд байна
.

Тэгэхээр,

( X А,А0).

Өгөгдсөн зүйлийг танилцуулах чадварын чухлыг танилцуулсан жишээнүүд харуулж байна

дифференциал илэрхийлэл
оюун ухаанд нь
, Хаана -аас зарим функц байдаг xТэгээд g–аас интеграцлахад хялбар функц е.

Эдгээр жишээнүүдэд дифференциал хувиргалт, тухайлбал

Хаана б- тогтмол утга

,

,

,

интеграл олоход ихэвчлэн ашиглагддаг.

Үндсэн интегралын хүснэгтэд үүнийг тооцсон xбие даасан хувьсагч байна. Гэсэн хэдий ч, дээрх хүснэгтээс харахад энэ хүснэгт нь доор байгаа бол утгыг бүрэн хадгална xбие даасан хувьсагчийн тасралтгүй дифференциалагдах аливаа функцийг ойлгох. Үндсэн интегралын хүснэгтээс хэд хэдэн томъёог ерөнхийд нь авч үзье.

3а.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
( X А,А0).

9.
(А0).

Функцийг нэгтгэн дүгнэх үйл ажиллагаа
дифференциал тэмдгийн дор байгаа нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй тэнцүү байна Xшинэ хувьсагч руу
. Дараах жишээнүүд энэ санааг харуулж байна.

Жишээ 15. FindI=
.

 Томъёог ашиглан хувьсагчийг орлъё
, Дараа нь
, өөрөөр хэлбэл
мөн би =
.

Солих утүүний илэрхийлэл
, бид эцэст нь авдаг

би =
.

Гүйцэтгэсэн хувиргалт нь функцийн дифференциал тэмдгийг оруулахтай тэнцүү байна
.

Жишээ 16. Хай
.

 Тавьцгаая
, Дараа нь
, хаана
. Тиймээс,

Жишээ 17. Хай
.

 Болъё
, Дараа нь
, эсвэл
. Тиймээс,

Дүгнэж хэлэхэд, ижил функцийг нэгтгэх янз бүрийн арга замууд заримдаа гадаад төрхөөрөө ялгаатай функцүүдэд хүргэдэг гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Хэрэв бид олж авсан функцүүдийн хоорондын ялгаа нь тогтмол утгатай болохыг харуулбал энэ илэрхий зөрчилдөөнийг арилгаж болно (1-р лекц дээр батлагдсан теоремыг үзнэ үү).

Жишээ нь:

Үр дүн нь тогтмол хэмжээгээр ялгаатай бөгөөд энэ нь хоёр хариулт зөв гэсэн үг юм.

б) би =
.

Хариултуудын аль нэг нь бие биенээсээ зөвхөн тогтмол хэмжээгээр ялгаатай эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

б) Орлуулах арга (шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга)

Интеграл байг
(
- тасралтгүй) хүснэгт хэлбэрт шууд хөрвүүлэх боломжгүй. Сэлгээ хийцгээе
, Хаана
- тасралтгүй деривативтай функц. Дараа нь
,
Тэгээд

. (3)

Томъёо (3) нь тодорхойгүй интеграл дахь хувьсагчийн томьёоны өөрчлөлт гэж нэрлэгддэг.

Хэрхэн зөв орлуулалтыг сонгох вэ? Интеграцчлалд дадлага хийснээр үүнд хүрдэг. Гэхдээ интеграцийн онцгой тохиолдлуудад хэд хэдэн ерөнхий дүрэм, зарим арга техникийг бий болгох боломжтой.

Орлуулах замаар нэгтгэх дүрэм дараах байдалтай байна.

Энэ интегралыг аль хүснэгтийн интеграл болгон бууруулж байгааг тодорхойлох (шаардлагатай бол эхлээд интегралыг хувиргасны дараа).

Интегралын аль хэсгийг шинэ хувьсагчаар солихыг тодорхойлж, энэ орлуулалтыг бич.

Бичлэгийн хоёр хэсгийн дифференциалыг олж хуучин хувьсагчийн дифференциалыг (эсвэл энэ дифференциал агуулсан илэрхийлэл) шинэ хувьсагчийн дифференциалаар илэрхийлнэ.

Интеграл дор орлуулалт хий.

Үүссэн интегралыг ол.

Урвуу орлуулалт хийгдсэн, өөрөөр хэлбэл. хуучин хувьсагч руу оч.

Дүрмийг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 18. Хай
.

Жишээ 19. Хай
.

=
.

Бид энэ интегралыг нийлбэрээр олдог
дифференциал тэмдгийн дор.

=.

Жишээ 20. Хай
(
).

, өөрөөр хэлбэл
, эсвэл
. Эндээс
, өөрөөр хэлбэл
.

Бид ийм байна
. Солих дамжуулан түүний илэрхийлэл x, бид эцэст нь иррационал функцүүдийн интегралд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг интегралыг оллоо.
(
).

Сурагчид энэ интегралыг "урт логарифм" гэж хочилдог.

Заримдаа орлуулахын оронд
маягтыг хувьсах солих ажлыг гүйцэтгэх нь дээр
.

Жишээ 21. Хай
.

Жишээ 22. Хай
.

 Орлуулахыг ашиглацгаая
. Дараа нь
,
,
.

Иймд .

Хэд хэдэн тохиолдолд интегралыг олох нь шууд интеграл, функцийг дифференциал тэмдгийн дор нэгтгэх аргыг нэгэн зэрэг ашиглахад суурилдаг (жишээ 12-ыг үз).

Тригонометрийн функцүүдийн интегралд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг интегралыг тооцоолох энэхүү хосолсон аргыг жишээ болгон үзүүлье.

Жишээ 23. Хай
.

=
.

Тэгэхээр,
.

Энэ интегралыг тооцоолох өөр нэг арга:

.

Жишээ 24. Хай
.

Амжилттай орлуулахыг сонгох нь ихэвчлэн хэцүү байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тэдгээрийг даван туулахын тулд ялгах техникийг эзэмшиж, хүснэгтийн интегралын талаар сайн мэдлэгтэй байх хэрэгтэй.

Энэ сэдвээр бид тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудын талаар, мөн дурдсан шинж чанаруудыг ашиглан интегралуудыг өөрсдөө олох талаар дэлгэрэнгүй ярих болно. Мөн бид тодорхойгүй интегралын хүснэгттэй ажиллах болно. Энд толилуулж буй материал бол "Тодорхойгүй интеграл. Эхлэл" сэдвийн үргэлжлэл юм. Үнэнийг хэлэхэд, тестийн баримтууд нь ердийн хүснэгтүүд болон/эсвэл энгийн шинж чанаруудыг ашиглан авч болох интегралуудыг агуулдаггүй. Эдгээр шинж чанаруудыг цагаан толгойтой харьцуулж болох бөгөөд мэдлэг, ойлголт нь бусад сэдвүүдэд интегралыг шийдвэрлэх механизмыг ойлгоход шаардлагатай байдаг. Интегралын хүснэгт, тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглан интеграцийг ихэвчлэн нэрлэдэг шууд интеграци.

Миний ойлгож байгаа зүйл: функцүүд өөрчлөгдөж байгаа ч деривативыг олох томъёо нь интегралаас ялгаатай нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд үүний тулд бид хоёр аргыг аль хэдийн жагсаасан байсан.

Цаашаа явцгаая. $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ деривативыг олохын тулд бүх $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$ ижил томъёонд хамаарах бөгөөд үүнд та $u=x^(-\frac(1)(2)) гэж орлуулах шаардлагатай болно. $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$. Харин интегралыг олохын тулд $\int x^(-\frac(1)( 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ шинэ аргыг ашиглах шаардлагатай болно - Чебышевын орлуулалт.

Эцэст нь: $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ функцийн деривативыг олохын тулд $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" томъёог бичнэ. $ дахин хэрэгжиж байгаа бөгөөд үүнд $u$ ба $v$-ын оронд $\sin x$ болон $\frac(1)(x)$-г тус тус орлоно. Гэхдээ $\int \sin x\cdot\frac(1) )(x) dx$-г аваагүй, эсвэл бүр тодорхой хэлбэл, хязгаарлагдмал тооны энгийн функцээр илэрхийлэгдээгүй.

Дүгнэж хэлье: деривативыг олохын тулд нэг томьёо шаардлагатай байсан бол интегралд дөрөв (мөн энэ нь хязгаар биш) шаардлагатай байсан бөгөөд сүүлийн тохиолдолд интегралыг олохоос огт татгалзав. Функц өөрчлөгдсөн - интеграцийн шинэ арга хэрэгтэй болсон. Энд бид лавлах номонд олон хуудастай хүснэгтүүд байдаг. Ерөнхий арга байхгүй ("гараар" шийдвэрлэхэд тохиромжтой) нь зөвхөн өөрийн, маш хязгаарлагдмал функцүүдийн ангиллыг нэгтгэхэд зориулагдсан олон тооны хувийн аргуудыг бий болгодог (цаашид бид эдгээр аргуудыг нарийвчлан авч үзэх болно). Хэдийгээр би Risch алгоритм байгааг анзаарахгүй байхын аргагүй (Би танд Википедиа дээрх тайлбарыг уншихыг зөвлөж байна) энэ нь зөвхөн тодорхой бус интегралыг боловсруулахад тохиромжтой.

Асуулт №3

Гэхдээ ийм олон шинж чанарууд байгаа бол би яаж интеграл авч сурах вэ? Деривативтай бол илүү хялбар байсан!

Хүний хувьд нэг л арга зам бий: янз бүрийн интеграцийн аргуудыг ашиглан аль болох олон жишээг шийдэх, ингэснээр шинэ тодорхойгүй интеграл гарч ирэхэд та өөрийн туршлага дээр үндэслэн түүнийг шийдэх аргыг сонгох боломжтой. Хариулт нь тийм ч тайвшрахгүй гэдгийг ойлгож байна, гэхдээ өөр арга байхгүй.

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Өмч No1

Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү, i.e. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Интеграл ба дериватив нь харилцан урвуу үйлдлүүд тул энэ шинж чанар нь нэлээд байгалийн юм. Жишээ нь, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ гэх мэт.

Өмч No2

Зарим функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функцтэй тэнцүү, i.e. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Интеграл дор "юу ч байхгүй" мэт санагддаг тул энэ өмчийг ихэвчлэн хэцүү гэж үздэг. Үүнээс зайлсхийхийн тулд та заасан шинж чанарыг дараах байдлаар бичиж болно: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Энэ өмчийг ашиглах жишээ: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ эсвэл хэрэв хүсвэл энэ хэлбэрээр: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Өмч No3

Тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно, i.e. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (бид $a\neq 0$ гэж үздэг).

Үл хөдлөх хөрөнгө нь маш энгийн бөгөөд магадгүй тайлбар шаарддаггүй. Жишээ нь: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Өмч No4

Хоёр функцийн нийлбэрийн (ялгаа) интеграл нь эдгээр функцүүдийн интегралуудын нийлбэр (ялгаа) -тай тэнцүү байна.

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Жишээ нь: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

Стандарт туршилтуудад №3 ба 4-р шинж чанаруудыг ихэвчлэн ашигладаг тул бид тэдгээрийг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

Жишээ №3

$\int 3 e^x dx$-г ол.

3-р өмчийг ашиглаад тогтмолыг гаргацгаая, i.e. тоо $3$, салшгүй тэмдгийн хувьд: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Одоо интегралын хүснэгтийг нээж, $u=x$-г 4-р томьёонд орлуулснаар бид дараахийг олж авна: $\int e^x dx=e^x+C$. Эндээс $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$ байна. Уншигчид тэр даруй асуулт асуух болно гэж би бодож байна, тиймээс би энэ асуултыг тусад нь томъёолох болно.

Асуулт №4

Хэрэв $\int e^x dx=e^x+C$ бол $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\баруун) =3e^x+3C$! Тэд яагаад $3e^x+3C$-ийн оронд $3e^x+C$ гэж бичсэн юм бэ?

Асуулт нь бүрэн үндэслэлтэй юм. Гол нь интеграл тогтмолыг (жишээ нь, ижил тооны $C$) ямар ч илэрхийлэл хэлбэрээр илэрхийлж болно: гол зүйл бол энэ илэрхийлэл нь бүхэл бүтэн бодит тоонуудыг "дагадаг" явдал юм. $-\infty$-с $+\infty$ хооронд хэлбэлздэг. Жишээ нь $-\infty≤ C ≤ +\infty$ байвал $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$ байх тул $C$ тогтмолыг $\ хэлбэрээр илэрхийлж болно. frac(C)( 3)$. Бид $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$, дараа нь $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left гэж бичиж болно. (e^x+\frac(C)(3)\баруун)=3e^x+C$. Таны харж байгаагаар энд ямар ч зөрчил байхгүй, гэхдээ интеграл тогтмолын хэлбэрийг өөрчлөхдөө болгоомжтой байх хэрэгтэй. Жишээлбэл, $C$ тогтмолыг $C^2$ гэж илэрхийлэх нь алдаа болно. Гол нь $C^2 ≥ 0$, i.e. $C^2$ нь $-\infty$-с $+\infty$ болж өөрчлөгддөггүй бөгөөд бүх бодит тоогоор "гүйдэггүй". Үүний нэгэн адил тогтмолыг $\sin C$ гэж илэрхийлэх нь алдаа болно, учир нь $-1≤ \sin C ≤ 1$, өөрөөр хэлбэл. $\sin C$ нь бодит тэнхлэгийн бүх утгыг "гүйж" чаддаггүй. Дараах зүйлд бид энэ асуудлыг нэг бүрчлэн авч үзэхгүй бөгөөд тодорхойгүй интеграл бүрийн хувьд тогтмол $C$-г бичих болно.

Жишээ № 4

$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$-г ол.

4-р өмчийг ашиглая:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \баруун) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Одоо интеграл тэмдгийн гаднах тогтмолуудыг (тоо) авч үзье.

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^) 2+9)-8\int x^3dx$$

Дараа нь бид олж авсан интеграл бүртэй тус тусад нь ажиллах болно. Эхний интеграл, i.e. $\int \sin x dx$-г №5-ийн интегралын хүснэгтээс хялбархан олж болно. №5 томьёонд $u=x$-г орлуулснаар бид: $\int \sin x dx=-\cos x+C$ болно.

$\int\frac(dx)(x^2+9)$ хоёр дахь интегралыг олохын тулд интегралын хүснэгтээс 11-р томьёог хэрэглэх шаардлагатай. Үүнд $u=x$, $a=3$-ийг орлуулснаар бид дараахийг авна: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

Эцэст нь, $\int x^3dx$-г олохын тулд хүснэгтээс №1 томьёог ашиглан $u=x$, $\alpha=3$ гэж орлуулна: $\int x^3dx=\frac(x^) (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ илэрхийлэлд орсон бүх интеграл олдсон. Үлдсэн зүйл бол тэдгээрийг орлуулах явдал юм:

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3) )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Асуудал шийдэгдсэн, хариулт нь: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Би энэ асуудалд нэг жижиг тэмдэглэл нэмэх болно:

Жижигхэн тэмдэглэл

Энэ оруулга хэнд ч хэрэггүй байж магадгүй, гэхдээ би $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$ гэдгийг дурдах болно. Тэдгээр. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2) +9)$.

Интегралын хүснэгтээс 1-р томьёог ашиглаж иррациональ (үндэс, өөрөөр хэлбэл) оруулах жишээг авч үзье.

Жишээ №5

$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$-г олоорой.

Эхлэхийн тулд бид №3 жишээн дээрхтэй ижил үйлдлүүдийг хийх болно, тухайлбал: бид интегралыг хоёр болгон задалж, тогтмолуудыг интегралын тэмдгүүдээс цааш шилжүүлнэ.

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

$\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$ тул $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Энэ интегралыг олохын тулд бид №1 томьёог хэрэглэж, $u=x$, $\alpha=\frac(4)(7)$ орлуулна: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Хэрэв та хүсвэл $\sqrt(x^(11))$-г $x\cdot\sqrt(x^(4))$ хэлбэрээр илэрхийлж болно, гэхдээ энэ шаардлагагүй.

Одоо хоёр дахь интеграл руу орцгооё, өөрөөр хэлбэл. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Учир нь $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $ байвал авч үзэж буй интегралыг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Үүссэн интегралыг олохын тулд бид интегралын хүснэгтээс №1 томьёог хэрэглэж, түүнд $u=x$, $\alpha=-\frac(6)(11)$ орлуулна: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x) ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)(5)+C$.

Хүлээн авсан үр дүнг орлуулснаар бид дараах хариултыг авна.

$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^() 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Хариулт: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Эцэст нь интегралын хүснэгтийн 9-р томьёонд багтах интегралыг авч үзье. Одоо бидний үргэлжлүүлэх 6-р жишээг өөр аргаар шийдэж болох ч дараагийн сэдвүүдэд үүнийг хэлэлцэх болно. Одоогоор бид хүснэгтийг ашиглах хүрээнд үлдэх болно.

Жишээ № 6

$\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$-г олоорой.

Эхлээд өмнөхтэй ижил үйлдлийг хийцгээе: тогтмолыг ($12$ тоо) интеграл тэмдгийн гадна шилжүүлнэ:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Үүссэн интеграл $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ нь $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) хүснэгтэд аль хэдийн ойрхон байна. )$ (томьёо No9 интегралын хүснэгт). Бидний интегралын ялгаа нь $x^2$-ын өмнө язгуур дор $7$ коэффициент байгаа бөгөөд үүнийг хүснэгтийн интеграл зөвшөөрөхгүй. Иймд бид энэ долоог язгуур тэмдгээс цааш хөдөлгөж арилгах хэрэгтэй.

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\баруун)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Хэрэв бид хүснэгтийн интеграл $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ ба $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ нь ижил бүтэцтэй болох нь тодорхой болно. Зөвхөн $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ интегралд $u$-ын оронд $x$, $a^2$-ын оронд байна. $\frac (15)(7)$ байна. За, хэрэв $a^2=\frac(15)(7)$ бол $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. $u=x$ болон $a=\sqrt(\frac(15)(7))$-г $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin томьёонд орлуулж байна. \ frac(u)(a)+C$, бид дараах үр дүнг авна.

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Хэрэв бид $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$ гэдгийг харгалзан үзвэл үр дүнг “гурван давхар”гүйгээр дахин бичиж болно. ” бутархай:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Асуудал шийдэгдсэн, хариултыг хүлээн авсан.

Хариулт: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Жишээ № 7

$\int\tg^2xdx$-г олоорой.

Тригонометрийн функцийг нэгтгэх аргууд байдаг. Гэсэн хэдий ч, энэ тохиолдолд та энгийн тригонометрийн томъёоны мэдлэгийг олж авах боломжтой. $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$ тул $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ баруун)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. $\sin^2x=1-\cos^2x$-г авч үзвэл бид дараахыг авна.

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Тиймээс $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Үүссэн интегралыг интегралын нийлбэр болгон өргөжүүлж, хүснэгтийн томъёог ашигласнаар бид дараах байдалтай болно.

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Хариулт: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

1. Нэг хувьсагчийн функцүүдийн интеграл тооцоо

2. Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интеграл.

3. Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд.

4. Интегралын хүснэгт

Функцийн ялгааг судлахдаа өгөгдсөн функцийн хувьд түүний дериватив эсвэл дифференциалыг олоорой. Шинжлэх ухаан, технологийн олон асуултууд нь өгөгдсөн функцийн хувьд урвуу асуудлыг боловсруулахад хүргэдэг f(x)ийм функцийг ол F(x),үүсмэл буюу дифференциал нь тус тус тэнцүү байна f(x)эсвэл f(x)dx.

Тодорхойлолт 1.Чиг үүрэг F(x)дуудсан эсрэг дериватив функцтэй холбоотой f(x)тодорхой интервалаар (а, б),Хэрэв энэ интервал дээр функц F(x)ялгах боломжтой бөгөөд тэгшитгэлийг хангана

Ф′ (x) = f(x)

эсвэл юу нь адилхан, хамаарал

dF(x) = f(x)dx.

Жишээлбэл, sin 5 функц x- функцийн хувьд дурын интервал дээр эсрэг дериватив е(x) = 5cos5 x, оноос хойш (sin5 x)′ = 5cos5 x.

Нэг эсрэг дериватив байгаа нь хязгааргүй олонлогт ийм функц байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Үнэндээ бол F(x)- функцийн эсрэг дериватив f(x), Тэр

Ф(x) = F(x) + C,

Хаана ХАМТ- аливаа тогтмол нь мөн эсрэг дериватив, учир нь

Ф′( X) = (Ф(x) + C)′ = Ф′( x) + 0 = е(x).

Дараах теорем нь өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын аль нэг нь мэдэгдэж байгаа бол хэрхэн олох вэ гэсэн асуултын хариултыг өгнө.

Теорем 1(командуудын тухай). Хэрэв Ф(x) − функцийн зарим эсрэг дериватив е(x) интервал дээр ( а, б), тэгвэл түүний бүх эсрэг деривативууд нь хэлбэртэй байна Ф(x) + C, Хаана ХАМТ- дурын тогтмол.

Геометрийн хувьд y = F(x) + Cгэдэг нь тухайн функцийн графикаас аливаа эсрэг дериватив функцийн графикийг гаргана гэсэн үг y = F(x) зүгээр л хэмжээгээр Ой тэнхлэгтэй параллель шилжүүлснээр ХАМТ(зураг харна уу). Үүнтэй ижил функцтэй учраас е(x) нь хязгааргүй олон антидеривативтай тул нэг буюу өөр практик асуудлыг шийддэг эсрэг деривативыг сонгох асуудал үүсдэг.

Цаг хугацаатай холбоотой замын дериватив нь цэгийн хурдтай тэнцүү гэдгийг мэддэг. С′( т) = В(т), тиймээс хурдны өөрчлөлтийн хууль мэдэгдэж байгаа бол V(t), цэгийн хөдөлгөөний зам нь цэгийн хурдны эсрэг дериватив, i.e. С(т) =Ф(т) +C.

Замын өөрчлөлтийн хуулийг олохын тулд S(t)Та анхны нөхцлүүдийг ашиглах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл туулсан зай ямар байхыг мэдэх хэрэгтэй S0цагт t = t0. Зөвшөөрөх t = t0бидэнд байгаа S = S0. Дараа нь

S(t 0 ) = С 0 = F(t 0 ) + C. C = S 0 - Ф(т 0 ) Тэгээд S(t) = F(t) + S 0 - Ф(т 0 ).

Тодорхойлолт 2.Хэрэв F(x)- функцийн зарим эсрэг дериватив f(x),дараа нь илэрхийлэл F(x) + C,Хаана ХАМТ- дурын тогтмол, гэж нэрлэдэг тодорхойгүй интегралболон томилогдсон

∫е(x)dx= Ф(x) + C,

өөрөөр хэлбэл функцийн тодорхойгүй интеграл f(x)түүний бүх командуудын багц байдаг.

Энэ тохиолдолд функц f(x)дуудсан интеграл, болон ажил f(x)dx- интеграл; F(x)- прототипүүдийн нэг; X- интеграцийн хувьсагч. Эсрэг деривативыг олох үйл явц гэж нэрлэдэг интеграци.

Жишээ 1. Тодорхой бус интегралыг ол:

Теорем 2(тодорхойгүй интеграл байгаа эсэх). Хэрэв функц f(x)тасралтгүй дээр (а, б),тэгвэл эсрэг дериватив, улмаар интеграл ∫ байна е(x)dx.

Тодорхой бус интегралын шинж чанарууд:

1. (∫е(x)dx)′ = е(x), өөрөөр хэлбэл тодорхойгүй интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

2. г(∫е(x)dx) = е(x)dx, өөрөөр хэлбэл тодорхойгүй интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү байна.

3. ∫dF(x) = Ф(x) + C.

4. ∫(C 1 е 1(x) + C 2 е 2 (x))dx= C 1∫е 1(x)dx+ C 2∫е 2(x)dx− шугаман байдлын шинж чанар; C1, C2- байнгын.

5. Хэрэв ∫ е(x)dx= Ф(x) + C, Тэр

Эхний гурван шинж чанар нь тодорхойгүй интегралын тодорхойлолтоос үүдэлтэй. Бид тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг ялгах замаар 4 ба 5 шинж чанарыг олж авдаг X, интегралын 1-р шинж чанар, деривативын шинж чанарыг ашиглан.

Жишээ 2. Тодорхой бус интегралыг ол: a) ∫( e x+cos5 x)dx.

Шийдэл. 4 ба 5-р шинж чанаруудыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Дээд математикт арифметикийн үржүүлэх хүснэгттэй ижил үүрэг гүйцэтгэдэг үндсэн интегралын хүснэгтийг танилцуулъя.

Интеграцийн үндсэн аргууд

Гурав байна голнэгтгэх арга.

1. Шууд нэгтгэх− интегралын хүснэгт болон тодорхойгүй интегралын үндсэн шинж чанарыг ашиглан интегралыг тооцоолох.

Жишээ 3. Интегралыг тооцоол: ∫ тг 2 xdx.

2. Орлуулах арга . Ихэнх тохиолдолд интегралын шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх нь өгөгдсөн интегралын тооцооллыг багасгах боломжийг олгодог бөгөөд хүснэгтэн хувилбарыг олох боломжийг олгодог. Энэ аргыг бас нэрлэдэг хувьсах солих арга.

Теорем 3.Функцийг зөвшөөр x = φ(t)тодорхой интервалаар тодорхойлогдсон, тасралтгүй, ялгах боломжтой Торхи X- энэ функцийн утгуудын багц, үүн дээр, өөрөөр хэлбэл дээр Тнарийн төвөгтэй функцийг тодорхойлсон f(φ(t)).Дараа нь хэрэв ∫ f(x)dx= F(x)+ C,Тэр

∫f(x)dx=∫f(φ(t)) φ ′ (t)dt. (1)

Формула (1)-ийг томъёо гэж нэрлэдэг тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх.

Сэтгэгдэл.∫ интегралыг тооцоолсны дараа f(φ(t)) φ ′ (t)dtхувьсагч руу буцах хэрэгтэй X.

Жишээ 4.Интегралыг ол: ∫cos 3 xнүгэл xdx.

a) Нүглийг солих xdxдээр (− г cos x), өөрөөр хэлбэл бид cos функцийг танилцуулж байна xдифференциал тэмдгийн дор. Бид авдаг

3. Хэсэгээр нь нэгтгэх арга

Теорем 4.Функцуудыг зөвшөөр u(x)Тэгээд v(x)тодорхой интервалаар тодорхойлогдох ба ялгах боломжтой Xорхи у′ (x)v(x)Энэ интервал дээр эсрэг дериватив байна, өөрөөр хэлбэл интеграл ∫ байна у′( x)v(x)dx.

Дараа нь энэ интервал дээр функц нь эсрэг дериватив ба байна u(x)v′ (x)мөн томъёо зөв:

∫у(x)v′( x)dx= у(x)v(x) −∫v(x)у′( x)dx(2)

∫udv= uv−∫vdu.(2′)

Томъёо (2) ба (2′) гэж нэрлэдэг тодорхойгүй интеграл дахь хэсгүүдээр интегралчлах томьёо.

Хэсэгчилсэн интегралчлалын аргыг ашиглан дараах функцүүдийн интегралуудыг тооцоолно. П(x)арксин( сүх),П(x)arccos( сүх), П(x)arctg( сүх), П(x)arcctg( сүх),П(x)ln x, П(x)e kx, П(x) нүгэл kx, П(x) cos kx, Энд P(x)- олон гишүүнт; e сүх cos bx, e сүхнүгэл bx.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр функцууд нь хэсгүүдээр нэгтгэх аргыг ашиглан тооцоолсон бүх интегралуудыг шавхдаггүй.

Жишээ 6.Интегралыг ол: ∫ arctg 3xdx.

Шийдэл. тавья у= arctg 3x; dv= dx. Дараа нь

(2) томъёоны дагуу бид байна

Одооноос бид зөвхөн тодорхойгүй интегралын тухай ярих болно, товч байхын тулд бид "тодорхойгүй" гэсэн нэр томъёог орхих болно.

Интегралыг хэрхэн тооцоолохыг сурахын тулд (эсвэл тэдний хэлснээр функцийг нэгтгэх) та эхлээд интегралын хүснэгтийг сурах хэрэгтэй.

Хүснэгт 1. Интегралын хүснэгт

2. ( ), у>0. 2а. (α=0); 2б. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3а. 4. 5. 5а) 6а. 7. 7а.

8. 9. 10. 10а. 11. 11а. 12. 13. 13а.

Нэмж дурдахад, танд өгөгдсөн функцийн деривативыг тооцоолох чадвар хэрэгтэй бөгөөд энэ нь үндсэн үндсэн функцүүдийн үүсмэлүүдийн хүснэгт, ялгах дүрэм зэргийг санах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Хүснэгт 2. Дериватив ба ялгах дүрмийн хүснэгт:

6.а .

(нүгэл Тэгээд) = cos Тэгээд  Тэгээд (cos у) = – гэм Тэгээд Тэгээд

Бидэнд функцийн дифференциалыг олох чадвар бас хэрэгтэй. Функцийн дифференциал гэдгийг санаарай
томъёогоор олно
, өөрөөр хэлбэл функцийн дифференциал нь энэ функцийн дериватив ба түүний аргументийн дифференциалын үржвэртэй тэнцүү байна. Дараах мэдэгдэж буй харилцааг санах нь зүйтэй.

Хүснэгт 3. Дифференциал хүснэгт

1. (б= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (б= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Түүнээс гадна эдгээр томъёог зүүнээс баруун тийш эсвэл баруунаас зүүн тийш унших замаар ашиглаж болно.

Интегралыг тооцоолох үндсэн гурван аргыг дараалан авч үзье. Тэдний эхнийх нь гэж нэрлэгддэг шууд интеграцийн аргаар.Энэ нь тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглахад суурилдаг бөгөөд үндсэн хоёр аргыг агуулдаг. интегралыг алгебрийн нийлбэр болгон өргөтгөхилүү энгийн ба дифференциал тэмдгийг бүртгүүлэх, эдгээр техникийг бие даан болон хослуулан хэрэглэж болно.

A)Ингээд авч үзье алгебрийн нийлбэр тэлэлт- энэ техник нь интегралын ижил хувиргалт ба тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашиглахыг агуулдаг.
Мөн .

Жишээ 1. Интегралуудыг ол:

A)
; б)
;

V)
G)

г)
.

Шийдэл.

A)Тоолуурын гишүүнийг гишүүнд хуваах замаар интегралыг хувиргая:

Эрх мэдлийн өмчийг энд ашигладаг:
.

б) Эхлээд бид бутархайн тоог хувиргаж, дараа нь тоологч гишүүнийг хуваагчаар хуваана.

Зэрэглэлийн шинж чанарыг энд бас ашигладаг:
.

Энд ашигласан өмч нь:
,
.

.

Энд Хүснэгт 1-ийн 2 ба 5-р томъёог ашигласан болно.

Жишээ 2. Интегралуудыг ол:

A)
; б)
;

V)
G)

г)
.

Шийдэл.

A)Тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан интегралыг хувиргацгаая.

.

Энд бид 1-р хүснэгтийн 8 ба 9-р томьёог хуваагчаар хуваахыг дахин ашигладаг.

б) Бид таних тэмдэг ашиглан ижил төстэй байдлаар хувирдаг
:

.

в) Эхлээд тоологч гишүүнийг хуваагчаар хувааж, интеграл тэмдгээс тогтмолуудыг авч, дараа нь тригонометрийн ижилсэлтийг ашиглана.
:

d) Зэрэг бууруулах томъёог хэрэглэнэ.

,

e) Тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан бид дараахь зүйлийг хувиргана.

B) n гэж нэрлэгддэг интеграцийн техникийг авч үзье дифференциал тэмдгийн доор байрлуулах замаар. Энэ техник нь тодорхойгүй интегралын хувьсах шинж чанарт суурилдаг:

Хэрэв
, дараа нь аливаа дифференциалагдах функцийн хувьд Тэгээд = Тэгээд(X) тохиолддог:
.

Энэ шинж чанар нь энгийн интегралуудын хүснэгтийг ихээхэн өргөжүүлэх боломжийг олгодог, учир нь энэ шинж чанараас шалтгаалан Хүснэгт 1-ийн томъёонууд нь зөвхөн бие даасан хувьсагчийн хувьд хүчинтэй биш юм. Тэгээд, гэхдээ бас хэзээ тохиолдолд Тэгээднь бусад хувьсагчийн ялгах функц юм.

Жишээлбэл,
, Гэхдээ бас
, Мөн
, Мөн
.

Эсвэл
Тэгээд
, Мөн
.

Аргын мөн чанар нь өгөгдсөн интеграл дахь тодорхой функцийн дифференциалыг тусгаарлахад оршино, ингэснээр энэ тусгаарлагдсан дифференциал бусад илэрхийллийн хамт энэ функцийн хүснэгтийн томьёог бүрдүүлнэ. Шаардлагатай бол ийм хөрвүүлэлтийн үед тогтмолуудыг зохих хэмжээгээр нэмж болно. Жишээлбэл:

(сүүлийн жишээнд ln (3 +) гэж бичсэн x 2) ln|3 +-ийн оронд x 2 | , илэрхийлэл нь 3 + тул x 2 нь үргэлж эерэг байдаг).

Жишээ 3. Интегралуудыг ол:

A)
; б)
; V)
;

G)
; г)
; д)
;

ба)
; h)
.

Шийдэл.

A) .

Хүснэгт 1-ийн 2a, 5a, 7a томъёог энд ашигласан бөгөөд сүүлийн хоёрыг нь дифференциал тэмдгийг нэгтгэн гаргаж авна.

Харах функцүүдийг нэгтгэх
илүү төвөгтэй функцүүдийн интегралыг тооцоолох хүрээнд ихэвчлэн тохиолддог. Дээр дурдсан алхмуудыг давтахгүйн тулд 1-р хүснэгтэд өгөгдсөн харгалзах томъёог санаж байхыг зөвлөж байна.

.

Энд 1-р хүснэгтийн 3-р томъёог ашигласан болно.

в) Үүний нэгэн адил, бид үүнийг харгалзан дараахь зүйлийг өөрчилнө.

.

Хүснэгт 1-д заасан Формула 2c-ийг энд ашигласан болно.

G)

.

г);

д)

.

болон);

h)

.

Жишээ 4. Интегралуудыг ол:

A)
б)

V)
.

Шийдэл.

a) Хувиргая:

1-р хүснэгтийн 3-р томъёог энд бас ашигладаг.

б) Бид градусыг бууруулах томъёог ашигладаг
:

Хүснэгт 1-ийн 2а ба 7а томъёог энд ашигласан болно.

Энд 1-р хүснэгтийн 2 ба 8-р томьёоны хамт 3-р хүснэгтийн томъёог ашиглана.
,
.

Жишээ 5. Интегралуудыг ол:

A)
; б)

V)
; G)
.

Шийдэл.

a) Ажил
функцийн дифференциал дээр нэмж болно (хүснэгт 3-ын 4, 5-р томъёог үзнэ үү)
, Хаана АТэгээд б- аливаа тогтмол,
. Нээрээ хаанаас
.

Дараа нь бидэнд байна:

.

б) 3-р хүснэгтийн 6-р томьёог ашиглан бид байна
, ба
, энэ нь бүтээгдэхүүний нэгдмэл байдалд байгаа гэсэн үг юм
зөвлөгөө гэсэн үг: дифференциал тэмдгийн доор та илэрхийллийг оруулах хэрэгтэй
. Тиймээс бид авдаг

в) b)-д заасантай ижил бүтээгдэхүүн
дифференциал функцүүдэд өргөтгөж болно
. Дараа нь бид:

.

d) Эхлээд бид интегралын шугаман шинж чанарыг ашиглана:

Жишээ 6. Интегралуудыг ол:

A)
; б)
;

V)
; G)
.

Шийдэл.

A)Үүнийг харгалзан үзвэл
(хүснэгт 3-ын томъёо 9) бид дараахыг хувиргана.

б) 3-р хүснэгтийн 12-р томъёог ашиглан бид олж авна

в) 3-р хүснэгтийн 11-р томъёог харгалзан бид хувиргана

d) Хүснэгт 3-ын 16-р томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Жишээ 7. Интегралуудыг ол:

A)
; б)
;

V)
; G)
.

Шийдэл.

A)Энэ жишээнд үзүүлсэн бүх интеграл нь нийтлэг шинж чанартай байдаг: Интеграл нь квадрат гурвалжин гишүүнийг агуулна. Тиймээс эдгээр интегралуудыг тооцоолох арга нь ижил хувиргалт дээр суурилна - энэ квадрат гурвалжин дахь бүтэн квадратыг тусгаарлах.

.

б)

.

V)

G)

Дифференциал тэмдгийг орлуулах арга нь орлуулах арга буюу хувьсагчийн өөрчлөлт гэж нэрлэгддэг интегралыг тооцоолох илүү ерөнхий аргын аман хэрэгжилт юм. Үнэн хэрэгтээ функцийн дифференциал тэмдгийг оруулсны үр дүнд 1-р хүснэгтэд тохирох томъёог сонгох бүрт бид үсгийг оюун ухаанаараа сольсон. Тэгээддифференциал тэмдгийн дор нэвтрүүлсэн функц. Тиймээс хэрэв дифференциал тэмдгийг нэгтгэх замаар интеграл нь тийм ч сайн үр дүнд хүрэхгүй бол та хувьсагчийг шууд өөрчилж болно. Энэ тухай дэлгэрэнгүй мэдээллийг дараагийн догол мөрөнд оруулна.