Хорнер схемийн дагуу хуваах. "Хорнерын схем, Безутын теорем ба буланд хуваах" сэдвийг заах арга зүй. Математикийн багшийн заль мэхний цүнхнээс
гэх мэт. ерөнхий боловсролын шинж чанартай бөгөөд дээд математикийн БҮХЭЛДСЭН хичээлийг судлахад чухал ач холбогдолтой. Өнөөдөр бид "сургуулийн" тэгшитгэлийг давтах болно, гэхдээ зөвхөн "сургуулийн" тэгшитгэл биш, харин янз бүрийн вишматтай холбоотой асуудлуудад хаа сайгүй байдаг. Ердийнх шигээ түүхийг хэрэглээний аргаар ярих болно, өөрөөр хэлбэл. Би тодорхойлолт, ангилалд анхаарлаа хандуулахгүй, харин үүнийг шийдвэрлэх хувийн туршлагаа тантай хуваалцах болно. Мэдээлэл нь анхлан суралцагчдад зориулагдсан боловч ахисан түвшний уншигчид өөрсдөдөө сонирхолтой олон зүйлийг олох болно. Мэдээжийн хэрэг ахлах сургуулиас давсан шинэ материалууд байх болно.
Тэгэхээр тэгшитгэл .... Энэ үгийг олон хүн чичирсээр санаж байна. Үндэстэй "боловсронгуй" тэгшитгэл гэж юу вэ... ... тэдгээрийг март! Учир нь та энэ зүйлийн хамгийн хор хөнөөлгүй "төлөөлөгчид" -тэй уулзах болно. Эсвэл олон арван шийдлийн аргуудтай уйтгартай тригонометрийн тэгшитгэлүүд. Үнэнийг хэлэхэд би тэдэнд үнэхээр дургүй байсан ... Бүү сандар! - тэгвэл ихэвчлэн 1-2 алхамаар тодорхой шийдэл бүхий "данделионууд" таныг хүлээж байна. Хэдийгээр "burdock" наалддаг ч гэсэн та энд бодитой хандах хэрэгтэй.
Хачирхалтай нь, дээд математикийн хувьд маш энгийн тэгшитгэлтэй харьцах нь илүү түгээмэл байдаг шугамантэгшитгэл
Энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь "x" (үндэс)-ийн ИЙМ утгыг олох бөгөөд үүнийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргана гэсэн үг юм. Тэмдгийг өөрчилснөөр "гурвыг" баруун тийш шидье.
"хоёр"-ыг баруун тал руу нь буулгана (эсвэл ижил зүйл - хоёр талыг үржүүлнэ)
:
Шалгахын тулд хожсон цомыг анхны тэгшитгэлд орлъё: 
Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь олсон утга нь үнэхээр энэ тэгшитгэлийн үндэс юм гэсэн үг юм. Эсвэл тэдний хэлснээр энэ тэгшитгэлийг хангадаг.
Үндэсийг аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарна уу.
Мөн энэ муу хэв маягийг баримтлахгүй байхыг хичээгээрэй! Би шалтгааныг нэгээс олон удаа давтсан, ялангуяа эхний хичээл дээр дээд алгебр.
Дашрамд хэлэхэд тэгшитгэлийг "араб хэлээр" шийдэж болно.
Хамгийн сонирхолтой нь энэ бичлэг бүрэн хууль ёсных! Гэхдээ хэрэв та багш биш бол үүнийг хийхгүй байх нь дээр, учир нь оригинал нь энд шийтгэгддэг =)
Тэгээд одоо бага зэрэг
график шийдлийн арга
Тэгшитгэл нь хэлбэртэй, үндэс нь байна "X" координат уулзвар цэгүүд шугаман функцийн графикшугаман функцийн графиктай (x тэнхлэг):
Жишээ нь маш энгийн тул энд задлан шинжлэх зүйл байхгүй, гэхдээ үүнээс өөр нэг гэнэтийн нюансыг "шахаж" болно: ижил тэгшитгэлийг хэлбэрээр танилцуулж, функцүүдийн графикийг байгуулъя. 
Үүнд, Энэ хоёр ойлголтыг битгий хольж хутгаарай: тэгшитгэл нь тэгшитгэл бөгөөд функц- энэ бол функц! Функцүүд зөвхөн туслахтэгшитгэлийн язгуурыг ол. Үүнээс хоёр, гурав, дөрөв, бүр хязгааргүй олон байж болно. Энэ утгаараа хамгийн ойрын жишээ бол олны танил юм квадрат тэгшитгэл, тусдаа догол мөрийг хүлээн авсан шийдлийн алгоритм "халуун" сургуулийн томъёо. Мөн энэ нь санамсаргүй биш юм! Хэрэв та квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадвал мэдэж байгаа бол Пифагорын теорем, тэгвэл "дээд математикийн тал нь таны халаасанд байна" гэж хэлж болно =) Мэдээжийн хэрэг хэтрүүлсэн, гэхдээ үнэнээс тийм ч хол биш!
Тиймээс залхуу байж, квадрат тэгшитгэлийг ашиглан шийдье стандарт алгоритм:
, энэ нь тэгшитгэл нь хоёр өөр байна гэсэн үг юм хүчинтэйүндэс: 
Олдсон утгууд хоёулаа энэ тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. 
Хэрэв та шийдлийн алгоритмаа гэнэт мартаж, туслах хэрэгсэл байхгүй бол яах вэ? Ийм нөхцөл байдал, жишээлбэл, шалгалт эсвэл шалгалтын үеэр үүсч болно. Бид график аргыг ашигладаг! Мөн хоёр арга бий: та чадна цэгээр барихпарабол 
, ингэснээр тэнхлэгтэй хаана огтлолцож байгааг олж мэднэ (хэрэв огт гаталж байвал). Гэхдээ илүү зальтай зүйл хийх нь дээр: тэгшитгэлийг хэлбэрээр төсөөлж, илүү энгийн функцуудын графикийг зур. "X" координатТэдний огтлолцох цэгүүд тод харагдаж байна! 
Хэрэв шулуун шугам параболд хүрч байгаа бол тэгшитгэл нь хоёр тохирох (олон) үндэстэй байна. Хэрэв шулуун шугам нь параболыг огтлолцоогүй бол жинхэнэ үндэс байхгүй болно.
Үүнийг хийхийн тулд мэдээж бүтээн байгуулалт хийх чадвартай байх хэрэгтэй энгийн функцүүдийн графикууд, гэхдээ нөгөө талаас сургуулийн хүүхэд хүртэл эдгээр чадварыг хийж чадна.
Мөн дахин - тэгшитгэл нь тэгшитгэл бөгөөд функцууд нь функцууд юм зөвхөн тусалсантэгшитгэлийг шийд!
Энд, дашрамд хэлэхэд, бас нэг зүйлийг санах нь зүйтэй болов уу. Хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлбэл түүний үндэс өөрчлөгдөхгүй..
Жишээлбэл, тэгшитгэл 
ижил үндэстэй. Энгийн "баталгаа" болгон би тогтмолыг хаалтнаас гаргана: 
мөн би үүнийг өвдөлтгүй арилгах болно (Би хоёр хэсгийг "хасах хоёр" гэж хуваана):
ГЭХДЭЭ!Хэрэв бид функцийг авч үзвэл 
, тэгвэл та энд тогтмол байдлаас салж чадахгүй! Зөвхөн үржүүлэгчийг хаалтнаас гаргахыг зөвшөөрнө. 
.
Олон хүмүүс график шийдлийн аргыг дутуу үнэлж, үүнийг "үнэгүй" гэж үздэг бөгөөд зарим нь энэ боломжийг бүрмөсөн мартдаг. График зурах нь заримдаа нөхцөл байдлыг авардаг тул энэ нь үндсэндээ буруу юм!
Өөр нэг жишээ: та хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсийг санахгүй байна гэж бодъё: . Ерөнхий томъёо нь сургуулийн сурах бичиг, бага ангийн математикийн бүх лавлах номонд байдаг, гэхдээ тэдгээр нь танд байхгүй. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш чухал ("хоёр"). Гарах гарц байна! - функцүүдийн графикийг бүтээх: 
Үүний дараа бид тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийн "X" координатыг тайвнаар бичнэ. 
Хязгааргүй олон үндэс байдаг бөгөөд алгебрт тэдгээрийн хураангуй тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрдөг:
, Хаана ( – бүхэл тоонуудын багц)
.
"Явахгүйгээр" нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргын талаар хэдэн үг хэлье. Энэ зарчим нь адилхан. Жишээлбэл, тэгш бус байдлын шийдэл нь дурын "x" юм, учир нь Синусоид нь шулуун шугамын доор бараг бүрэн байрладаг. Тэгш бус байдлын шийдэл нь синусоидын хэсгүүд шулуун шугамаас яг дээгүүр байрлах интервалуудын багц юм. (х тэнхлэг):
эсвэл товчхондоо:
Гэхдээ тэгш бус байдлын олон шийдэл энд байна: хоосон, учир нь синусоидын ямар ч цэг шулуун шугамаас дээгүүр оршдоггүй.
Ойлгохгүй байгаа зүйл байна уу? тухай хичээлүүдийг яаралтай судлаарай багцТэгээд функцын графикууд!
Дулааццгаая:
Дасгал 1
Дараах тригонометрийн тэгшитгэлийг графикаар шийд.
Хичээлийн төгсгөлд хариултууд
Таны харж байгаагаар нарийн шинжлэх ухааныг судлахын тулд томьёо, лавлах номыг хавчих шаардлагагүй! Түүнээс гадна энэ нь үндсэндээ алдаатай арга юм.
Хичээлийн эхэнд би таныг тайвшруулж хэлсэнчлэн дээд математикийн стандарт курст тригонометрийн нийлмэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш ховор байдаг. Бүх нарийн төвөгтэй байдал нь дүрмээр бол тэгшитгэлээр төгсдөг бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь хамгийн энгийн тэгшитгэлээс гаралтай хоёр бүлэг үндэс юм. 
. Сүүлчийн асуудлыг шийдэх гэж бүү санаа зов - номноос хайж эсвэл интернетээс олоорой =)
График шийдлийн арга нь өчүүхэн жижиг тохиолдлуудад тусалж чадна. Жишээлбэл, дараах "ragtag" тэгшитгэлийг авч үзье.
Үүний шийдлийн хэтийн төлөв нь ... огтхон ч харагдахгүй байна, гэхдээ та тэгшитгэлийг хэлбэрээр төсөөлж, бүтээх хэрэгтэй. функцын графикуудтэгээд бүх зүйл гайхалтай энгийн болж хувирах болно. Өгүүллийн дундуур зураг байна хязгааргүй жижиг функцууд (дараагийн таб дээр нээгдэнэ).
Ижил график аргыг ашигласнаар та тэгшитгэл нь аль хэдийн хоёр үндэстэй болохыг олж мэдэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь, бололтой, үндэслэлгүйсегментэд хамаарах ба . Энэ үндсийг ойролцоогоор тооцоолж болно, жишээлбэл, шүргэгч арга. Дашрамд хэлэхэд, зарим асуудалд үндсийг нь олох шаардлагагүй, харин олж мэдээрэй тэд ерөөсөө байдаг уу?. Энд ч гэсэн зураг нь тусалж чадна - хэрвээ графикууд огтлолцохгүй бол үндэс байхгүй болно.
Бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн рационал үндэс.
Хорнерын схем
Одоо би та бүхнийг Дундад зууны үе рүү харцаа хандуулж, сонгодог алгебрийн өвөрмөц уур амьсгалыг мэдрэхийг урьж байна. Материалыг илүү сайн ойлгохын тулд бага ч гэсэн уншихыг зөвлөж байна нийлмэл тоо.
Тэд бол хамгийн шилдэг нь. Олон гишүүнт.
Бидний сонирхож буй объект нь хэлбэрийн хамгийн түгээмэл олон гишүүнтүүд байх болно бүхэлд нькоэффициентүүд Натурал тоо гэж нэрлэдэг олон гишүүнтийн зэрэг, тоо – хамгийн дээд зэргийн коэффициент (эсвэл хамгийн өндөр коэффициент), мөн коэффициент нь байна чөлөөт гишүүн.
Би энэ олон гишүүнтийг товчоор тэмдэглэнэ.
Олон гишүүнтийн үндэстэгшитгэлийн язгуурыг дууд
Би төмөр логикт дуртай =)
Жишээлбэл, нийтлэлийн эхэнд очно уу: 
1 ба 2-р зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндсийг олоход ямар ч асуудал байхгүй, гэхдээ та үүнийг нэмэгдүүлэх тусам энэ даалгавар улам бүр хэцүү болно. Хэдийгээр нөгөө талаас бүх зүйл илүү сонирхолтой юм! Хичээлийн хоёр дахь хэсгийг яг ийм зүйлд зориулах болно.
Нэгдүгээрт, онолын дэлгэцийн хагас нь:
1) Үр дүнгийн дагуу алгебрийн үндсэн теорем, зэрэгтэй олон гишүүнт яг байна цогцолборүндэс. Зарим үндэс (эсвэл бүр бүгд) нь ялангуяа байж болно хүчинтэй. Түүнээс гадна жинхэнэ үндэс дунд ижил (олон) үндэс байж болно (хамгийн багадаа хоёр, дээд тал нь).
Хэрэв олон гишүүнт ямар нэг нийлмэл тоо нь үндэс бол коньюгаттүүний тоо нь мөн энэ олон гишүүнтийн үндэс байх ёстой (коньюгат нийлмэл үндэс нь хэлбэртэй байна).
Хамгийн энгийн жишээ бол 8-д анх тааралдсан квадрат тэгшитгэл юм (дуртай)анги, бид эцэст нь уг сэдвийг "дуусгасан" нийлмэл тоо. Би танд сануулъя: квадрат тэгшитгэл нь хоёр өөр бодит язгууртай, олон үндэстэй, эсвэл нийлмэл нийлмэл язгууртай.
2) -аас Безутын теоремХэрэв тоо нь тэгшитгэлийн язгуур бол харгалзах олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ангилж болно.
, энд зэрэгтэй олон гишүүнт байна .
Дахин хэлэхэд бидний хуучин жишээ: оноос хойш тэгшитгэлийн язгуур, тэгвэл . Үүний дараа алдартай "сургуулийн" өргөтгөлийг олж авах нь тийм ч хэцүү биш юм.
Безутын теоремын үр дагавар нь маш их практик ач холбогдолтой: хэрэв бид 3-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол бид үүнийг хэлбэрээр илэрхийлж болно. 
ба квадрат тэгшитгэлээс үлдсэн үндсийг олоход хялбар байдаг. Хэрэв бид 4-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол зүүн талыг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэх боломжтой.
Мөн энд хоёр асуулт байна:
Асуулт нэг. Энэ үндсийг хэрхэн олох вэ? Юуны өмнө түүний мөн чанарыг тодорхойлъё: дээд математикийн олон асуудалд үүнийг олох шаардлагатай байна оновчтой, Тухайлбал бүхэлд ньолон гишүүнтийн үндэс, үүнтэй холбогдуулан цаашид бид тэдгээрийг голчлон сонирхох болно.... ... тэд маш сайн, сэвсгэр тул та зүгээр л тэднийг олохыг хүсч байна! =)
Сонгох арга нь хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье. Энд байгаа зүйл бол чөлөөт нэр томъёо юм - хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү байсан бол бүх зүйл сайхан болно - бид "x" тэмдгийг хаалтнаас гаргаж, үндэс нь өөрөө гадаргуу дээр "унадаг": 
Гэхдээ бидний чөлөөт нэр томъёо нь "гурван" -тай тэнцүү тул бид "язгуур" гэж үздэг тэгшитгэлд янз бүрийн тоог орлуулж эхэлдэг. Юуны өмнө, нэг утгыг орлуулах нь өөрийгөө санал болгож байна. Орлуулж үзье: 
Хүлээн авсан буруутэгш байдал, ингэснээр нэгж "тохирохгүй". За, орлуулъя: 
Хүлээн авсан үнэнтэгш байдал! Өөрөөр хэлбэл, утга нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.
3-р зэргийн олон гишүүнтийн үндсийг олохын тулд аналитик арга байдаг (Кардано томъёо гэж нэрлэгддэг), гэхдээ одоо бид арай өөр даалгавар сонирхож байна.
- нь манай олон гишүүнтийн язгуур учир олон гишүүнт хэлбэрт дүрслэгдэж, үүсдэг Хоёр дахь асуулт: "дүү" яаж олох вэ?
Хамгийн энгийн алгебрийн санаанууд үүнийг хийхийн тулд бид -д хуваах хэрэгтэйг харуулж байна. Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хэрхэн хуваах вэ? Энгийн тоог хуваах сургуулийн ижил арга - "багана"! Хичээлийн эхний жишээн дээр би энэ аргыг нарийвчлан авч үзсэн. Цогцолборын хязгаар, одоо бид өөр аргыг авч үзэх болно, үүнийг гэж нэрлэдэг Хорнерын схем.
Эхлээд бид "хамгийн өндөр" олон гишүүнт бичнэ хүн бүртэй
, үүнд тэг коэффициентүүд орно:
, үүний дараа бид эдгээр коэффициентүүдийг (хатуу дарааллаар) хүснэгтийн дээд эгнээнд оруулна.
Бид зүүн талд үндсийг бичнэ:
Хэрэв "улаан" тоо байвал Хорнерын схем ч бас ажилладаг гэдгийг би даруй анхааруулах болно Үгүйолон гишүүнтийн үндэс юм. Гэсэн хэдий ч яарах хэрэггүй.
Дээрхээс бид тэргүүлэх коэффициентийг хасдаг.
Доод нүдийг дүүргэх үйл явц нь хатгамалыг зарим талаар санагдуулдаг бөгөөд "хасах нэг" нь дараагийн алхмуудыг нэвт шингээдэг нэг төрлийн "зүү" юм. Бид "зөөгдсөн" тоог (–1)-ээр үржүүлж, дээд нүднээс гарсан тоог бүтээгдэхүүнд нэмнэ.
Бид олсон утгыг "улаан зүү" -ээр үржүүлж, бүтээгдэхүүнд дараахь тэгшитгэлийн коэффициентийг нэмнэ.
Эцэст нь, үүссэн утгыг "зүү" ба дээд коэффициентээр дахин "боловсруулна".
Сүүлчийн нүдэн дэх тэг нь олон гишүүнт хуваагдаж байгааг хэлдэг ул мөргүй (байх ёстой шиг), тэлэлтийн коэффициентүүд хүснэгтийн доод мөрөөс шууд "арилгасан" бол:
Тиймээс бид тэгшитгэлээс ижил тэгшитгэл рүү шилжсэн бөгөөд үлдсэн хоёр үндэстэй бүх зүйл тодорхой болсон. (энэ тохиолдолд бид нэгдмэл цогц үндэсийг авдаг).
Дашрамд хэлэхэд тэгшитгэлийг графикаар шийдэж болно: график "аянга" 
График нь х тэнхлэгийг огтолж байгааг харна уу ()
цэг дээр. Эсвэл ижил "зальтай" заль мэх - бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичиж, энгийн график зурж, тэдгээрийн огтлолцлын цэгийн "X" координатыг илрүүлдэг.
Дашрамд хэлэхэд, 3-р зэргийн олон гишүүнт функцийн график нь тэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа огтолж байгаа бөгөөд энэ нь харгалзах тэгшитгэлтэй байна гэсэн үг юм. ядажнэг хүчинтэйүндэс. Энэ баримт нь сондгой зэрэгтэй олон гишүүнт функцийн хувьд үнэн юм.
Энд би бас энд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна чухал цэгнэр томьёотой холбоотой: олон гишүүнтТэгээд олон гишүүнт функц – энэ нь ижил зүйл биш юм! Гэхдээ практик дээр тэд ихэвчлэн "олон гишүүнтийн график" гэж ярьдаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хайхрамжгүй байдал юм.
Гэсэн хэдий ч Хорнерын схем рүү буцъя. Би саяхан дурьдсанчлан, энэ схем нь бусад тоонуудад ажилладаг, гэхдээ хэрэв тоо ҮгүйЭнэ нь тэгшитгэлийн үндэс бол бидний томъёонд тэг биш нэмэлт (үлдэгдэл) гарч ирнэ.
Хорнерын схемийн дагуу "амжилтгүй" утгыг "ажиллуулъя". Энэ тохиолдолд ижил хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой - зүүн талд шинэ "зүү" бичиж, тэргүүлэх коэффициентийг дээрээс нь хөдөлгө. (зүүн ногоон сум), тэгээд бид явлаа: 
Үүнийг шалгахын тулд хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя:
, БОЛЖ БАЙНА УУ.
Үлдэгдэл ("зургаан") нь олон гишүүнтийн яг ижил утгатай болохыг харахад хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь юу вэ: 
, бүр илүү сайхан - иймэрхүү:
Дээрх тооцооллуудаас харахад Хорнерын схем нь олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр тооцох төдийгүй үндсийг "соёл иргэншсэн" сонгох боломжийг олгодог гэдгийг ойлгоход хялбар юм. Тооцооллын алгоритмыг жижиг даалгавраар нэгтгэхийг би танд санал болгож байна.
Даалгавар 2
Хорнерын схемийг ашиглан тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг олж, харгалзах олон гишүүнтийг үржүүл.
Өөрөөр хэлбэл, энд та 1, –1, 2, –2, ... – гэсэн тоог сүүлийн баганад тэг үлдэгдэл “зурах” хүртэл дараалан шалгах хэрэгтэй. Энэ нь энэ шугамын "зүү" нь олон гишүүнтийн үндэс болно гэсэн үг юм
Тооцооллыг нэг хүснэгтэд хийх нь тохиромжтой. Хичээлийн төгсгөлд дэлгэрэнгүй шийдэл, хариулт.
Үндэс сонгох арга нь харьцангуй энгийн тохиолдлуудад тохиромжтой боловч хэрэв олон гишүүнтийн коэффициент ба/эсвэл зэрэг нь их байвал процесс удаан үргэлжилж болно. Эсвэл ижил жагсаалтаас 1, –1, 2, –2 гэсэн утгууд байгаа бөгөөд авч үзэх нь утгагүй юм болов уу? Үүнээс гадна үндэс нь бутархай болж хувирах бөгөөд энэ нь шинжлэх ухааны үндэслэлгүй нудрахад хүргэдэг.
Аз болоход, оновчтой язгуурын "нэр дэвшигч" утгыг хайхыг эрс багасгах хоёр хүчирхэг теорем байдаг.
Теорем 1Ингээд авч үзье бууруулж боломгүйбутархай , хаана . Хэрэв тоо нь тэгшитгэлийн үндэс бол чөлөөт гишүүнийг хувааж, тэргүүлэх коэффициентийг хуваана.
Тухайлбал, хэрэв тэргүүлэх коэффициент нь бол энэ оновчтой үндэс нь бүхэл тоо болно:
Мөн бид теоремыг зөвхөн энэ амттай нарийн ширийн зүйлээр ашиглаж эхэлдэг.
Тэгшитгэл рүү буцъя. Түүний тэргүүлэх коэффициент нь , тэгвэл таамагласан рационал язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо байж болох бөгөөд чөлөөт нэр томъёог эдгээр үндэст үлдэгдэлгүйгээр хуваах ёстой. Мөн "гурав" -ыг зөвхөн 1, -1, 3, -3 гэж хувааж болно. Өөрөөр хэлбэл, манайд ердөө 4 “үндсэн нэр дэвшигч” байна. Тэгээд дагуу Теорем 1, бусад рационал тоо нь ЗАРЧИМ ДЭЭР энэ тэгшитгэлийн үндэс байж болохгүй.
Тэгшитгэлд арай илүү "өрсөлдөгчид" байна: чөлөөт нэр томъёо нь 1, –1, 2, – 2, 4, –4-т хуваагдана.
1, –1 тоонууд нь боломжит язгууруудын жагсаалтын "ердийн" тоо гэдгийг анхаарна уу (теоремын тодорхой үр дагавар)мөн тэргүүлэх сорилтын хамгийн сайн сонголт.
Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжье:
Асуудал 3
Шийдэл: тэргүүлэх коэффициент нь , учир нь таамагласан рационал язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо байж болох бөгөөд тэдгээр нь заавал чөлөөт гишүүний хуваагч байх ёстой. "Хасах дөч" нь дараах хос тоонд хуваагдана.
– нийт 16 “нэр дэвшигч”.
Энд тэр даруй сэтгэл татам бодол гарч ирнэ: бүх сөрөг эсвэл эерэг үндсийг арилгах боломжтой юу? Зарим тохиолдолд боломжтой! Би хоёр тэмдгийг томъёолох болно:
1) Хэрэв БүгдХэрэв олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь сөрөг биш бол эерэг үндэстэй байж болохгүй. Харамсалтай нь энэ нь бидний тохиолдол биш юм (Одоо, хэрэв бидэнд тэгшитгэл өгсөн бол - тийм ээ, олон гишүүнтийн аль нэг утгыг орлуулах үед олон гишүүнтийн утга нь хатуу эерэг байдаг бөгөөд энэ нь бүх эерэг тоонууд гэсэн үг юм. (мөн үндэслэлгүй)тэгшитгэлийн үндэс байж болохгүй.
2) Хэрэв сондгой зэрэглэлийн коэффициентүүд сөрөг биш, бүх тэгш байдлын хувьд (үнэгүй гишүүн орно)сөрөг байвал олон гишүүнт сөрөг үндэстэй байж болохгүй. Энэ бол бидний хэрэг! Жаахан ойроос харвал тэгшитгэлд дурын сөрөг "X"-ийг орлуулахад зүүн тал нь хатуу сөрөг байх бөгөөд энэ нь сөрөг үндэс алга болно гэсэн үг юм.
Ингээд судалгаа явуулахад 8 тоо үлдлээ.
Бид тэднийг Хорнерын схемийн дагуу "цэнэглэдэг". Та сэтгэцийн тооцооллыг аль хэдийн эзэмшсэн гэж найдаж байна: 
"Хоёр" -ыг туршиж үзэхэд биднийг аз хүлээж байв. Тиймээс авч үзэж буй тэгшитгэлийн үндэс, ба
Тэгшитгэлийг судлах л үлдлээ 
. Үүнийг ялгаварлан гадуурхах замаар хийхэд хялбар байдаг, гэхдээ би ижил схемийг ашиглан заагч тест хийх болно. Нэгдүгээрт, чөлөөт нэр томъёо нь 20-той тэнцэх бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм Теорем 1 8 ба 40 тоо нь боломжит язгууруудын жагсаалтаас хасагдаж, судалгааны утгыг үлдээдэг (Нэг нь Хорнерын схемийн дагуу хасагдсан).
Бид шинэ хүснэгтийн дээд эгнээнд гурвалсан тооны коэффициентийг бичнэ Бид ижил "хоёр" -оор шалгаж эхэлдэг.. Яагаад? Үндэс нь үржвэр байж болох тул: - энэ тэгшитгэл нь 10 ижил үндэстэй. Гэхдээ анхаарал сарниулахгүй байцгаая: 
Энд мэдээжийн хэрэг үндэс нь оновчтой гэдгийг мэдсээр байж жаахан худлаа хэлсэн. Эцсийн эцэст, хэрэв тэдгээр нь үндэслэлгүй эсвэл төвөгтэй байсан бол би үлдсэн бүх тоог амжилтгүй шалгахтай тулгарах болно. Тиймээс практик дээр ялгаварлагчаар удирдуулах хэрэгтэй.
Хариулт: оновчтой үндэс: 2, 4, 5
Бидний дүн шинжилгээ хийсэн асуудалд бид азтай байсан, учир нь: а) сөрөг утгууд нэн даруй унасан, б) бид үндсийг нь маш хурдан олсон (мөн онолын хувьд бид бүх жагсаалтыг шалгаж болно).
Гэвч бодит байдал дээр нөхцөл байдал хамаагүй муу байна. Би таныг "Сүүлчийн баатар" нэртэй сонирхолтой тоглоом үзэхийг урьж байна.
Асуудал 4
Тэгшитгэлийн рационал язгуурыг ол
Шийдэл: By Теорем 1таамагласан рационал язгууруудын тоологч нь нөхцөлийг хангасан байх ёстой (бид "арван хоёрыг элээр хуваадаг" гэж уншдаг), мөн хуваагч нь нөхцөлтэй тохирч байна. Үүний үндсэн дээр бид хоёр жагсаалтыг авна.
"list el":
болон "жагсаалт": (Аз болоход энд байгаа тоонууд нь байгалийн юм).
Одоо бүх боломжит язгууруудын жагсаалтыг гаргая. Эхлээд бид "el list" -ийг хуваана. Яг ийм тоо гарах нь туйлын тодорхой. Тохиромжтой болгохын тулд тэдгээрийг хүснэгтэд оруулъя:
Олон тооны фракцууд буурч, үр дүнд нь "баатрын жагсаалт" -д аль хэдийн орсон утгууд бий болсон. Бид зөвхөн "шинэхэн"-ийг нэмнэ: 
Үүний нэгэн адил бид ижил "жагсаалтыг" дараахь байдлаар хуваана. 
тэгээд эцэст нь
Ийнхүү манай тоглоомд оролцогчдын баг бүрдэв. 
Харамсалтай нь, энэ асуудлын олон гишүүнт нь "эерэг" эсвэл "сөрөг" шалгуурыг хангахгүй байгаа тул бид дээд эсвэл доод эгнээнээс татгалзаж чадахгүй. Та бүх тоонуудтай ажиллах хэрэгтэй болно.
Таны сэтгэл ямар байна вэ? Алив, толгойгоо өргө - "алуурчин теорем" гэж нэрлэж болох өөр нэг теорем бий. ..."нэр дэвшигчид", мэдээжийн хэрэг =)
Гэхдээ эхлээд та Хорнерын диаграммыг дор хаяж нэгийг нь гүйлгэх хэрэгтэй бүхэлтоо. Уламжлал ёсоор бол нэгийг нь авч үзье. Дээд мөрөнд бид олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг бичдэг бөгөөд бүх зүйл ердийнх шиг байна.
Дөрөв нь тэг биш нь тодорхой тул утга нь тухайн олон гишүүнтийн үндэс биш юм. Гэхдээ тэр бидэнд маш их туслах болно.
Теорем 2Зарим хүмүүсийн хувьд бол ерөнхийдөөолон гишүүнтийн утга тэгээс ялгаатай: , дараа нь түүний рационал үндэс (хэрэв тэд байгаа бол)нөхцөлийг хангана
Манай тохиолдолд, тиймээс бүх боломжит үндэс нь нөхцөлийг хангах ёстой (Нөхцөл No1 гэж нэрлэе). Энэ дөрөв олон “нэр дэвшигч”-ийн “алуурчин” болно. Үзүүлэн болгон би хэд хэдэн шалгалтыг авч үзэх болно:
"Нэр дэвшигч"-ийг шалгая. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг бутархай хэлбэрээр зохиомлоор илэрхийлье, үүнээс тодорхой харагдаж байна. Туршилтын зөрүүг тооцоолъё: . Дөрөвийг "хасах хоёр" гэж хуваана: , энэ нь боломжит үндэс нь шалгалтыг давсан гэсэн үг юм.
Утгыг шалгацгаая. Тестийн ялгаа энд байна: 
. Мэдээжийн хэрэг, хоёр дахь "субъект" нь жагсаалтад хэвээр байна.
Хорнерийн схем - олон гишүүнтийг хуваах арга
$$P_n(x)=\нийлбэр\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
$x-a$ бином дээр. Та эхний мөрөнд өгөгдсөн олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг агуулсан хүснэгттэй ажиллах шаардлагатай болно. Хоёрдахь мөрийн эхний элемент нь $x-a$ хоёр тооноос авсан $a$ тоо байх болно:
n-р зэрэгтэй олон гишүүнт хоёр гишүүнийг $x-a$-д хуваасны дараа бид градус нь анхныхаас нэгээр бага олон гишүүнтийг олж авна, өөрөөр хэлбэл. $n-1$-тай тэнцэнэ. Хорнерын схемийн шууд хэрэглээг жишээн дээр харуулахад хамгийн хялбар байдаг.
Жишээ №1
Хорнерийн схемийг ашиглан $5x^4+5x^3+x^2-11$-ийг $x-1$-д хуваа.
Хоёр мөртэй хүснэгт хийцгээе: эхний мөрөнд $5x^4+5x^3+x^2-11$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг $x$ хувьсагчийн зэрэглэлийн буурах дарааллаар байрлуулна. Энэ олон гишүүнт $x$-ыг нэгдүгээр зэрэглэлээр агуулаагүй болохыг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл. $x$-ийн нэгдүгээр зэрэглэлийн коэффициент нь 0. Бид $x-1$-д хувааж байгаа тул хоёр дахь мөрөнд нэгийг бичнэ.
Хоёр дахь мөрөнд хоосон нүднүүдийг бөглөж эхэлцгээе. Хоёрдахь мөрийн хоёр дахь нүдэнд бид $5$ тоог бичээд эхний мөрний харгалзах нүднээс зөөнө.
Дараах нүдийг дараах зарчмын дагуу дүүргэцгээе: $1\cdot 5+5=10$:
Хоёр дахь мөрийн дөрөв дэх нүдийг ижил аргаар бөглөцгөөе: $1\cdot 10+1=11$:
Тав дахь нүдний хувьд бид дараахийг авна: $1\cdot 11+0=11$:
Эцэст нь, сүүлийн зургаа дахь нүдэнд бид дараах байдалтай байна: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Асуудал шийдэгдсэн тул хариултаа бичих л үлдлээ.
Таны харж байгаагаар хоёр дахь мөрөнд байрлах тоонууд (нэг ба тэг хооронд) нь $5x^4+5x^3+x^2-11$-ийг $x-1$-д хуваасны дараа олж авсан олон гишүүнтийн коэффициентүүд юм. Мэдээжийн хэрэг, анхны олон гишүүнт $5x^4+5x^3+x^2-11$ дөрөвтэй тэнцүү байсан тул үүссэн олон гишүүнт $5x^3+10x^2+11x+11$ нь нэг юм. бага, өөрөөр хэлбэл. гуравтай тэнцэнэ. Хоёрдахь эгнээний сүүлчийн тоо (тэг) нь $5x^4+5x^3+x^2-11$ олон гишүүнтийг $x-1$-д хуваахад үлдэгдлийг илэрхийлнэ. Манай тохиолдолд үлдэгдэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. олон гишүүнтүүд тэгш хуваагддаг. Энэ үр дүнг мөн дараах байдлаар тодорхойлж болно: $5x^4+5x^3+x^2-11$ олон гишүүнт $x=1$-ын утга тэгтэй тэнцүү байна.
Дүгнэлтийг мөн ийм хэлбэрээр томъёолж болно: $5x^4+5x^3+x^2-11$ олон гишүүнт $x=1$-ийн утга тэгтэй тэнцүү тул нэгдэл нь олон гишүүнтийн үндэс болно. $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Жишээ №2
$x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ олон гишүүнтийг Хорнерийн схемийг ашиглан $x+3$-д хуваа.
$x+3$ илэрхийллийг $x-(-3)$ хэлбэрээр илэрхийлэх ёстойг нэн даруй больё. Хорнерын схемд яг $ -3 доллар орно. Анхдагч $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ олон гишүүнтийн зэрэг нь дөрөвтэй тэнцүү тул хуваалтын үр дүнд бид гуравдугаар зэргийн олон гишүүнтийг олж авна.
Үр дүн нь тийм гэсэн үг
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Энэ нөхцөлд $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$-г $x+3$-д хуваахад үлдэгдэл нь $4$ болно. Эсвэл яг юу вэ гэвэл $x=-3$-ийн $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ олон гишүүнтийн утга $4$-тэй тэнцүү байна. Дашрамд хэлэхэд, өгөгдсөн олон гишүүнтэд $x=-3$-г шууд орлуулах замаар үүнийг дахин шалгахад хялбар байдаг.
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Тэдгээр. Хэрэв та хувьсагчийн өгөгдсөн утгын олон гишүүнтийн утгыг олох шаардлагатай бол Хорнерын схемийг ашиглаж болно. Хэрэв бидний зорилго бол олон гишүүнтийн бүх язгуурыг олох юм бол жишээ №3-т дурдсанчлан Хорнерийн схемийг бүх үндэсийг шавхтал хэд хэдэн удаа дараалан хэрэглэж болно.
Жишээ №3
Хорнерийн схемийг ашиглан $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ олон гишүүнт бүхэл язгуурыг ол.
Тухайн олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь бүхэл тоо бөгөөд хувьсагчийн хамгийн дээд чадлын коэффициент (өөрөөр хэлбэл $x^6$) нэгтэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг чөлөөт гишүүний хуваагчдаас хайх ёстой, i.e. тооны хуваагч дунд 45. Өгөгдсөн олон гишүүнтийн хувьд ийм үндэс нь $45 тоо байж болно; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 доллар ба -45 доллар; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 доллар. Жишээ нь $1$ тоог шалгая:
Таны харж байгаагаар $x=1$ олон гишүүнт $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ нь $192$ (сүүлийн тоо)-тай тэнцүү байна. хоёр дахь мөрөнд), харин $0 $ биш, тиймээс нэгдэл нь энэ олон гишүүнтийн үндэс биш юм. Нэгийг шалгахад амжилтгүй болсон тул $x=-1$ утгыг шалгая. Бид үүнд зориулж шинэ хүснэгт үүсгэхгүй, гэхдээ хүснэгтийг үргэлжлүүлэн ашиглах болно. №1, түүнд шинэ (гурав дахь) мөр нэмж байна. 1$-ын үнэ цэнийг шалгасан хоёр дахь мөрийг улаанаар тодруулах бөгөөд цаашдын хэлэлцүүлэгт ашиглахгүй.
Мэдээжийн хэрэг та хүснэгтийг дахин бичиж болно, гэхдээ гараар бөглөхөд маш их цаг хугацаа шаардагдана. Түүнээс гадна баталгаажуулалт амжилтгүй болох хэд хэдэн тоо байж болох бөгөөд тэр болгонд шинэ хүснэгт бичихэд хэцүү байдаг. "Цаасан дээр" тооцоолохдоо улаан зураасыг зүгээр л зурж болно.
Тэгэхээр $x=-1$ үед $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ олон гишүүнтийн утга тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $-1$ тоо нь энэ олон гишүүнтийн үндэс юм. $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ олон гишүүнтийг $x-(-1)=x+1$ хоёр гишүүнд хуваасны дараа $x олон гишүүнтийг олж авна. ^5+x ^4-22х^3+2х^2+69х+45$, коэффициентийг хүснэгтийн гурав дахь эгнээнээс авна. №2 (Жишээ No1-ийг үзнэ үү). Тооцооллын үр дүнг дараахь хэлбэрээр танилцуулж болно.
\эхлэх(тэгшитгэл)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\төгсгөл(тэгшитгэл)
Бүхэл язгуурын хайлтыг үргэлжлүүлье. Одоо бид $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ олон гишүүнтийн язгуурыг хайх хэрэгтэй. Дахин хэлэхэд, энэ олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг түүний чөлөөт гишүүний хуваагч болох $45$ тоонуудаас хайж байна. $-1$ гэсэн тоог дахин шалгаж үзье. Бид шинэ хүснэгт үүсгэхгүй, харин өмнөх хүснэгтийг үргэлжлүүлэн ашиглах болно. №2, i.e. Үүн дээр дахиад нэг мөр нэмье:
Тэгэхээр $-1$ тоо нь $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ олон гишүүнтийн үндэс болно. Энэ үр дүнг дараах байдлаар бичиж болно.
\эхлэх(тэгшитгэл)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \төгсгөл(тэгшитгэл)
Тэгш байдлыг (2) харгалзан тэгш байдлыг (1) дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.
\эхлэх(тэгшитгэл)\эхлэх(зохицуулсан) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x) ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\төгсгөл(тэгшитгэл)
Одоо бид $x^4-22x^2+24x+45$ олон гишүүнтийн язгуурыг түүний чөлөөт гишүүний хуваагчдаас ($45$ тоо) хайх хэрэгтэй. $-1$ тоог дахин шалгая:
$-1$ тоо нь $x^4-22x^2+24x+45$ олон гишүүнтийн үндэс юм. Энэ үр дүнг дараах байдлаар бичиж болно.
\эхлэх(тэгшитгэл)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \төгсгөл(тэгшитгэл)
Тэгш байдлыг (4) харгалзан бид тэгш байдлыг (3) дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.
\эхлэх(тэгшитгэл)\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3) +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\төгсгөл(зохицуулсан)\төгсгөл(тэгшитгэл)
Одоо бид $x^3-x^2-21x+45$ олон гишүүнтийн үндсийг хайж байна. $-1$ тоог дахин шалгая:
Шалгалт амжилтгүй болсон. Зургаа дахь мөрийг улаанаар тодруулаад өөр тоо, жишээ нь $3$ гэсэн тоог шалгахыг оролдъё.
Үлдэгдэл нь тэг тул $3$ тоо нь тухайн олон гишүүнтийн үндэс болно. Тэгэхээр $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Одоо тэгш байдлыг (5) дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Алгоритмын тайлбар
Олон гишүүнт өгөгдсөн:
.Тогтмол утгын хувьд өгөгдсөн олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох шаардлагатай байг. Олон гишүүнтийг дараах хэлбэрээр төлөөлүүлье.
.Дараах дарааллыг тодорхойлъё.
… …Хайлтын утга. Ийм юм гэдгийг харуулъя.
Үүссэн тэмдэглэгээний хэлбэрийг орлуулж, дотоод хаалтнаас эхлэн илэрхийллийн утгыг тооцоолъё. Үүнийг хийхийн тулд бид дэд илэрхийллүүдийг орлуулах болно:
Хорнерын диаграммыг ашиглан олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах
Олон гишүүнт хуваагдвал үр дүн нь үлдэгдэлтэй олон гишүүнт болно.
Энэ тохиолдолд үүссэн олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь давтагдах харьцааг хангана.
, .Үүнтэй адилаар та язгуурын үржвэрийг тодорхойлж болно (шинэ олон гишүүнтэд Хорнерын схемийг ашиглана уу). Энэ схемийг олон гишүүнтийг хүчирхэгжүүлэх үед коэффициентийг олоход ашиглаж болно.
Тэмдэглэл
бас үзнэ үү
Уран зохиол
- Ананий В. Левитин Бүлэг 6. Хөрвүүлэх арга: Хорнерийн схем ба экспоненциал// Algorithms: Introduction to Design and Analysis = Introduction to The Design and Analysis of Agorithms. - М.: "Уильямс", 2006. - P. 284-291. - ISBN 0-201-74395-7
- Волков Е.А.§ 2. Олон гишүүнт утгыг тооцоолох. Хорнер схем // Тоон аргууд. - Сурах бичиг их дээд сургуулиудад зориулсан гарын авлага. - 2-р хэвлэл, илч. - М.: Наука, 1987. - 248 х.
- С.Б.Гашков§14. Хорнерын схем ба нэг байрлалын системээс нөгөө рүү орчуулах // Тооны систем ба тэдгээрийн хэрэглээ. - М.: МЦНМО, 2004. - 37-39 х. - ("Математикийн боловсрол" номын сан). - ISBN 5-94057-146-8
Холбоосууд
- Олон хэмжээст олон гишүүнтийн тооцоо - хэд хэдэн хувьсагчтай олон гишүүнтийн тохиолдлуудад Хорнерын схемийн ерөнхий дүгнэлт.
Викимедиа сан. 2010 он.
- Хлорхиналдол
- Штилмарк, Александр Робертович
Бусад толь бичигт "Хорнер схем" гэж юу болохыг хараарай.
ГОРНЕР СХЕМ- бүх коэффициентүүд нь тодорхой талбарт, жишээлбэл, нийлмэл тооны талбарт оршдог олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваахдаа бүрэн бус хэсэг ба үлдэгдлийг олох арга. Бид ямар ч олон гишүүнтийг бүрэн бус категори байгаа хэлбэрээр цорын ганц хэлбэрээр төлөөлж болно,...... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг
Хорнерийн арга- Хорнерын схем (эсвэл Хорнерын дүрэм, Хорнерын арга) нь хувьсагчийн өгөгдсөн утгыг мономиалуудын нийлбэр хэлбэрээр бичсэн олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох алгоритм юм. Хорнерын арга нь олон гишүүнтийн үндсийг олох, мөн деривативыг тооцоолох боломжийг олгодог... ... Wikipedia
Олон гишүүнтийн үндэс- Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, үндэс (утга) -ыг үзнэ үү. k талбар дээрх олон гишүүнт (тэг биш) үндэс нь дараах хоёр эквивалент нөхцөл хангагдсан элемент юм: өгөгдсөн олон гишүүнт олон гишүүнт хуваагддаг ... ... Wikipedia
Олон гишүүнтийн баганын хуваагдал- Алгебрийн хувьд олон гишүүнтийг баганаар хуваах нь олон гишүүнтийн зэрэгтэй тэнцүү буюу бага олон гишүүнт олон гишүүнт хуваах алгоритм юм. Алгоритм нь тоонуудыг баганад хуваах ерөнхий хэлбэр бөгөөд үүнийг гараар хялбархан хэрэгжүүлэх боломжтой. Википедиагийн хувьд... ...
Хорнер, Уильям Жорж- Уильям Жорж Хорнер (1786, Бристол, 1837 оны 9-р сарын 22) Британийн математикч. 1786 онд Английн Бристол хотод төрсөн. Тэрээр Бристол хотын Кингствудын сургуульд боловсрол эзэмшсэн. Тэрээр 14 настайдаа... ... Википедиагийн туслах найруулагч болжээ
Brachial plexus- I Умайн хүзүүний 4 8, цээжний 1 2 нугасны мэдрэлийн урд мөчрүүдийн мэдрэлийн утаснуудын plexus plexus (plexus brachialis) хэд хэдэн их бие, боодол болж, дараа нь хуваагдсаны үр дүнд богино, урт мэдрэлүүд үүсдэг ... ... Анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг
РАДИКУЛИТ- (Латин radix үндэсээс), нугасны мэдрэлийн үндэсийн өвчин, 20-р зууны эхээр үүссэн нэр томъёо. Дежеринэ вэ мэктэбинин зэЬмэткешлэринэ тэ’мин едир. R. үндэс нь үрэвслийн дегенератив процесс дээр суурилдаг [үзнэ үү. тусдаа хүснэгт (255-р зүйл ... ...
Бамбай булчирхай- (gl. thyreoidea, syn. corpus thyreoideum), сээр нуруутан амьтдын хамгийн чухал дотоод шүүрлийн булчирхайн нэг. Shch-ийн үр хөврөлийн хөгжилд. гэдэсний заламгай хэсгийн доод хананы хучуур эдээс үүсдэг; Циклостомын загасны авгалдайд мөн адил ... ... хэлбэртэй байдаг. Агуу анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг
Радикулит- I Radiculitis (radiculitis; лат. radicula root +itis) нугасны мэдрэлийн үндэсийн үрэвсэл, шахалтын гэмтэл. Урд болон хойд үндэсийг нийтлэг утас руу холбох түвшинд (Зураг) хавсарсан гэмтлийг өмнө нь тодорхойлсон ... ... Анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг
Нурууны цусны эргэлт- (тархи нугасны эргэлтийн синоним) Нурууны умайн хүзүүний хэд хэдэн дээд сегмент нь нугаламын артериас үүсдэг нугасны урд болон хойд артериар цусаар хангагддаг нь тогтоогдсон. CIII CIV сегментүүдийн доор байрлах сегментүүд... ... Анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг
Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ ихэвчлэн гурав ба түүнээс дээш зэрэгтэй олон гишүүнт хүчин зүйл хийх шаардлагатай болдог. Энэ нийтлэлд бид үүнийг хийх хамгийн хялбар аргыг авч үзэх болно.
Ердийнх шигээ тусламж авахын тулд онол руу хандъя.
Безутын теоремолон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдэл нь .
Гэхдээ бидний хувьд чухал зүйл бол теорем өөрөө биш, харин үүнээс гарсан үр дүн:
Хэрэв тоо нь олон гишүүнтийн үндэс бол олон гишүүнт хоёр гишүүнд үлдэгдэлгүй хуваагдана.
Бид олон гишүүнтийн ядаж нэг язгуурыг олох, дараа нь олон гишүүнтийг -д хуваах, олон гишүүнтийн үндэс хаана байна гэсэн даалгавартай тулгарч байна. Үүний үр дүнд бид зэрэг нь анхныхаас нэгээр бага олон гишүүнтийг олж авдаг. Дараа нь шаардлагатай бол процедурыг давтаж болно.
Энэ даалгавар нь хоёр хэсэгт хуваагдана: олон гишүүнтийн үндсийг хэрхэн олох, олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хэрхэн хуваах.
Эдгээр цэгүүдийг нарийвчлан авч үзье.
1. Олон гишүүнтийн язгуурыг хэрхэн олох вэ.
Эхлээд 1 ба -1 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгана.
Дараахь баримтууд энд бидэнд туслах болно.
Хэрэв олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүдийн нийлбэр тэг байвал уг тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно.
Жишээлбэл, олон гишүүнтэд коэффициентүүдийн нийлбэр тэг байна: . Олон гишүүнтийн үндэс нь юу болохыг шалгахад хялбар байдаг.
Хэрэв олон гишүүнт тэгш тоот коэффициентүүдийн нийлбэр нь сондгой зэрэглэлийн коэффициентүүдийн нийлбэртэй тэнцүү бол тухайн тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно., a нь тэгш тоо тул чөлөөт нэр томъёог тэгш хэмийн коэффициент гэж үзнэ.
Жишээлбэл, олон гишүүнт тэгш байдлын коэффициентүүдийн нийлбэр нь: , сондгой тооны коэффициентүүдийн нийлбэр нь: . Олон гишүүнтийн үндэс нь юу болохыг шалгахад хялбар байдаг.
Хэрэв 1 ба -1 нь олон гишүүнтийн үндэс биш бол бид цаашаа явна.
Зэрэгцээ багасгасан олон гишүүнт (өөрөөр хэлбэл тэргүүлэх коэффициент - at коэффициент нь нэгдмэл утгатай тэнцүү олон гишүүнт) Виета томъёо хүчинтэй байна.
Олон гишүүнтийн үндэс хаана байна.
Олон гишүүнтийн үлдсэн коэффициентүүдийн талаархи Виетийн томъёонууд бас байдаг, гэхдээ бид үүнийг сонирхож байна.
Энэхүү Вьета томъёоноос ийм зүйл гарч ирнэ хэрэв олон гишүүнтийн язгуурууд бүхэл тоо бол тэдгээр нь түүний чөлөөт гишүүний хуваагч бөгөөд энэ нь мөн бүхэл тоо юм.
Үүнд үндэслэн, олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнийг хүчин зүйл болгон үржүүлж, багаас том руу дараалан аль хүчин зүйл нь олон гишүүнтийн үндэс болохыг шалгах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, олон гишүүнтийг авч үзье
Чөлөөт нэр томъёоны хуваагч: ; ; ;
Олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүдийн нийлбэр нь -тэй тэнцүү тул 1-ийн тоо нь олон гишүүнтийн үндэс биш юм.
Тэгш чадлын коэффициентүүдийн нийлбэр:
Сондгой зэрэглэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр:
Тиймээс -1 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс биш юм.
2-ын тоо олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгая: тиймээс 2-ын тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн. Энэ нь Безутын теоремийн дагуу олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнд хуваагддаг гэсэн үг юм.
2. Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хэрхэн хуваах вэ.
Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнт баганаар хувааж болно.
Баганыг ашиглан олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваа.
Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнээр хуваах өөр нэг арга бий - Хорнерийн схем.
Үүнийг ойлгохын тулд энэ видеог үзээрэй олон гишүүнтийг баганатай хоёр гишүүнд хэрхэн хуваах, Хорнерийн схемийг ашиглах.
Хэрэв баганаар хуваахдаа анхны олон гишүүнт үл мэдэгдэх зүйлийн тодорхой хэмжээгээр дутуу байвал түүний оронд 0 гэж бичнэ, энэ нь Хорнерын схемийн хүснэгтийг эмхэтгэхтэй адилаар гэдгийг би тэмдэглэж байна.
Тиймээс, хэрэв бид олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах шаардлагатай бол хуваагдлын үр дүнд олон гишүүнтийг олж авбал Хорнерийн схемийг ашиглан олон гишүүнтийн коэффициентийг олж болно.
Бид бас ашиглаж болно Хорнерын схемӨгөгдсөн тоо нь олон гишүүнтийн язгуур мөн эсэхийг шалгахын тулд: хэрэв тоо нь олон гишүүнтийн язгуур бол олон гишүүнтийг хуваахад үлдэгдэл нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь эгнээний сүүлчийн баганад байна. Хорнерын диаграммаас бид 0-ийг авна.
Хорнерын схемийг ашиглан бид "хоёр шувууг нэг чулуугаар ална": бид энэ тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг нэгэн зэрэг шалгаж, энэ олон гишүүнтийг хоёр гишүүнээр хуваадаг.
Жишээ.Тэгшитгэлийг шийд:
1. Чөлөөт гишүүний хуваагчдыг бичиж, олон гишүүнтийн язгуурыг чөлөөт гишүүний хуваагчдаас хайцгаая.
24-ийг хуваагч:
2. 1-ийн тоо олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгая.
Олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн нийлбэр тул 1-ийн тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно.
3. Хорнерийн схемийг ашиглан анхны олон гишүүнтийг хоёр гишүүнт болгон хуваа.
A) Хүснэгтийн эхний мөрөнд анхны олон гишүүнтийн коэффициентийг бичье.
Агуулсан нэр томъёо байхгүй тул коэффициентийг бичих хүснэгтийн баганад бид 0 гэж бичнэ. Зүүн талд бид олсон язгуурыг бичнэ: 1-ийн тоо.
B) Хүснэгтийн эхний мөрийг бөглөнө үү.
Сүүлийн баганад хүлээгдэж байгаачлан бид тэг авсан; анхны олон гишүүнтийг үлдэгдэлгүйгээр хоёр гишүүнд хуваасан. Хуваалтын үр дүнд үүссэн олон гишүүнтийн коэффициентийг хүснэгтийн хоёр дахь мөрөнд цэнхэр өнгөөр үзүүлэв.
1 ба -1 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс биш гэдгийг шалгахад амархан
B) Хүснэгтийг үргэлжлүүлье. 2 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгая:
Тиймээс нэгээр хуваагдсаны үр дүнд олж авсан олон гишүүнтийн зэрэг нь анхны олон гишүүнтийн зэргээс бага тул коэффициентийн тоо, баганын тоо нэгээр бага байна.
Сүүлийн баганад бид -40-ыг авсан - тэгтэй тэнцүү биш тоо, тиймээс олон гишүүнт нь үлдэгдэлтэй хоёр гишүүнд хуваагддаг бөгөөд 2 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс биш юм.
C) -2 тоо олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгая. Өмнөх оролдлого бүтэлгүйтсэн тул коэффициентүүдтэй андуурахгүйн тулд би энэ оролдлогод тохирох мөрийг арилгах болно.
Агуу их! Бид тэгийг үлдэгдэл болгон авсан тул олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнд хуваагдсан тул -2 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс юм. Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах замаар олж авсан олон гишүүнтийн коэффициентийг хүснэгтэд ногоон өнгөөр үзүүлэв.
Хуваалтын үр дүнд бид квадрат гурвалж авдаг 
, түүний үндсийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан олох боломжтой:
Тиймээс анхны тэгшитгэлийн үндэс нь:
{
}
Хариулт: ( 
}
Буцаад урагшаа
Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.
Хичээлийн төрөл: Анхан шатны мэдлэгийг эзэмших, нэгтгэх хичээл.
Хичээлийн зорилго:
- Оюутнуудад олон гишүүнтийн язгуурын тухай ойлголтыг танилцуулж, тэдгээрийг хэрхэн олохыг заах. Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах Хорнерийн схемийг ашиглах ур чадварыг сайжруулах.
- Хорнерын диаграммыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг олж сур.
- Хийсвэр сэтгэлгээг хөгжүүлэх.
- Тооцооллын соёлыг төлөвшүүлэх.
- Салбар хоорондын холбоог хөгжүүлэх.
Хичээлийн үеэр
1. Зохион байгуулалтын мөч.
Хичээлийн сэдвийг мэдээлэх, зорилгоо тодорхойлох.
2. Гэрийн даалгавраа шалгах.
3. Шинэ материалыг судлах.
Fn(x) байг = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - a 0 , a 1 ,...,a n тоонууд өгөгдсөн ба 0 нь 0-тэй тэнцүү биш n зэрэгтэй х олон гишүүнт. Хэрэв F n (x) олон гишүүнт үлдэгдэлтэй x-a хоёр гишүүнд хуваагдвал , тэгвэл хэсэг (бүрэн бус хэсэг) нь n-1 зэрэглэлийн Q n-1 (x) олон гишүүнт, R үлдэгдэл нь тоо, тэгш байдал нь үнэн болно. F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.Олон гишүүнт F n (x) нь зөвхөн R=0 тохиолдолд хоёр гишүүнд (х-а) хуваагдана.
Безоутын теорем: F n (x) олон гишүүнт хоёр гишүүнд (х-а) хуваагдахад R үлдэгдэл нь F n (x) олон гишүүнтийн x=a үеийн утгатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. R=Pn(a).
Жаахан түүх. Безоутын теорем нь хэдийгээр энгийн бөгөөд ойлгомжтой боловч олон гишүүнтийн онолын үндсэн теоремуудын нэг юм. Энэ теорем нь олон гишүүнтийн алгебрийн шинж чанарыг (энэ нь олон гишүүнтийг бүхэл тоо гэж үзэх боломжийг олгодог) тэдгээрийн функциональ шинж чанартай (энэ нь олон гишүүнтийг функц гэж үзэх боломжийг олгодог) холбодог. Өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдэх нэг арга бол тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх явдал юм. Олон гишүүнт болон үлдэгдлийн коэффициентүүдийн тооцоог Horner схем гэж нэрлэгддэг хүснэгт хэлбэрээр бичнэ.
Хорнерын схем нь олон гишүүнт хуваах алгоритм бөгөөд энэ нь хоёр гишүүнтэй тэнцүү байх тохиолдолд тусгай тохиолдлоор бичигдсэн байдаг. х–а.
Хорнер Уильям Жорж (1786 - 1837), Английн математикч. Гол судалгаа нь алгебрийн тэгшитгэлийн онолтой холбоотой. Аль ч зэрэгтэй тэгшитгэлийг ойролцоогоор шийдэх аргыг боловсруулсан. 1819 онд тэрээр олон гишүүнтийг x - a (Хорнерийн схем) хоёр гишүүнээр хуваах алгебрийн чухал аргыг нэвтрүүлсэн.
Хорнерийн схемийн ерөнхий томьёоны гарал үүсэл.
f(x) олон гишүүнт үлдэгдлийг хоёр гишүүнд (x-c) хуваана гэдэг нь f(x)=(x-c)q(x)+r олон гишүүнт q(x) ба r тоог олно гэсэн үг.
Энэ тэгш байдлыг дэлгэрэнгүй бичье:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2) x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Коэффициентийг ижил градусаар тэгшитгэе.
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Хорнерын хэлхээг жишээ ашиглан үзүүлэх.
Дасгал 1.Хорнерын схемийг ашиглан бид олон гишүүнт f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 үлдэгдэлтэй хоёр гишүүнт x-2-т хуваана.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, энд g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 үлдэгдэл.
Олон гишүүнийг хоёр гишүүний зэрэглэлээр өргөтгөх.
Хорнерын схемийг ашиглан бид олон гишүүнийг f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 хоёр гишүүний (x+2) зэрэглэлээр өргөжүүлэв.
Үүний үр дүнд бид f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) өргөтгөлийг авах ёстой. )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Хорнерын схемийг ихэвчлэн гурав, дөрөв, түүнээс дээш зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд олон гишүүнтийг хоёр гишүүнт x-a болгон өргөжүүлэхэд тохиромжтой үед ашигладаг. Тоо адуудсан олон гишүүнтийн үндэс F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, хэрэв үед бол x=a F n (x) олон гишүүнтийн утга тэгтэй тэнцүү байна: F n (a)=0, өөрөөр хэлбэл. олон гишүүнт x-a хоёр гишүүнд хуваагддаг бол.
Жишээлбэл, F 3 (2)=0 тул 2-ын тоо нь F 3 (x)=3x 3 -2x-20 олон гишүүнтийн үндэс болно. гэсэн үг. Энэ олон гишүүнтийг үржүүлэх нь x-2 хүчин зүйлийг агуулна.
F 3 (х)=3х 3 -2х-20=(х-2)(3х 2 +6х+10).
Аливаа олон гишүүнт F n(x) зэрэгтэй n 1 илүү байж болохгүй nжинхэнэ үндэс.
Бүхэл тооны коэффициент бүхий тэгшитгэлийн бүхэл язгуур нь түүний чөлөөт гишүүний хуваагч юм.
Хэрэв тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент нь 1 бол тэгшитгэлийн бүх рационал язгуурууд нь бүхэл тоо болно.
Судалсан материалыг нэгтгэх.
Шинэ материалыг нэгтгэхийн тулд оюутнуудыг сурах бичгийн 2.41 ба 2.42 (х. 65) дугааруудыг бөглөхийг урьж байна.
(2 сурагч самбар дээр шийддэг, үлдсэн нь шийдсэнийхээ дараа дэвтэр дээрх даалгавруудыг самбар дээрх хариултуудтай хамт шалгана).
Дүгнэж байна.
Хорнер схемийн бүтэц, үйл ажиллагааны зарчмыг ойлгосны дараа үүнийг аравтын тооллын системээс бүхэл тоонуудыг хоёртын систем рүү хөрвүүлэх асуудлыг авч үзэхэд компьютерийн шинжлэх ухааны хичээлд ашиглаж болно. Нэг тооллын системээс нөгөөд шилжих үндэс нь дараах ерөнхий теорем юм
Теорем.Бүхэл тоог хөрвүүлэхийн тулд Ап-аас х-арь тооллын системээс суурь тооллын систем гшаардлагатай Апүлдэгдлийг тоогоор дараалан хуваана г, ижил хэлбэрээр бичигдсэн хүр дүнгийн коэффициент тэгтэй тэнцэх хүртэл -ary систем. Хэсгийн үлдэгдэл нь байх болно г- тоон цифрүүд Зар, хамгийн залуу ангиллаас эхлээд хамгийн ахмад хүртэл. Бүх үйлдлийг дотор хийх ёстой х- арийн тооллын систем. Хүний хувьд энэ дүрэм нь зөвхөн тохиромжтой үед л тохиромжтой байдаг х= 10, өөрөөр хэлбэл. орчуулах үед -аасаравтын систем. Компьютерийн хувьд эсрэгээрээ хоёртын системд тооцоолол хийхэд "илүү тохиромжтой" юм. Тиймээс "2-оос 10"-ыг хөрвүүлэхийн тулд хоёртын системд араваар дараалан хуваахыг ашигладаг бөгөөд "10-аас 2" нь аравын хүчийг нэмэх явдал юм. "10-д 2" процедурын тооцоог оновчтой болгохын тулд компьютер нь Horner-ийн хэмнэлттэй тооцоолох схемийг ашигладаг.
Гэрийн даалгавар. Хоёр ажлыг гүйцэтгэхийг санал болгож байна.
1-р. Хорнерын схемийг ашиглан f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 олон гишүүнт хоёр гишүүнийг (x-3) хуваана.
2 дахь. f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг ол.(Бүхэл тоон коэффициенттэй тэгшитгэлийн бүхэл язгуур нь чөлөөт гишүүний хуваагч гэдгийг харгалзан үзэх)
Уран зохиол.
- Курош A.G. "Дээд алгебрийн курс."
- Никольский С.М., Потапов М.К. болон бусад.10-р анги “Алгебр ба математик анализын эхлэл”.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.