Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд.
Шийдлийн жишээ

Энэ хичээлээр бид тригонометрийн функцүүдийн интегралуудыг авч үзэх болно, өөрөөр хэлбэл интегралуудыг дүүргэх нь янз бүрийн хослол дахь синус, косинус, тангенс, котангенс байх болно. Бүх жишээг нарийвчлан задлан шинжилж, цайны аяганд ч хүртээмжтэй, ойлгомжтой байх болно.

Тригонометрийн функцүүдийн интегралуудыг амжилттай судлахын тулд та хамгийн энгийн интегралуудын талаар сайн ойлголттой байхаас гадна интеграцын зарим аргыг эзэмшсэн байх ёстой. Та эдгээр материалтай лекцээр танилцах боломжтой Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээМөн .

Одоо бидэнд хэрэгтэй байна: Интегралын хүснэгт, Деривативын хүснэгтТэгээд Тригонометрийн томъёоны лавлах. Бүх заах хэрэгслийг хуудаснаас олж болно Математикийн томъёо, хүснэгт. Би бүх зүйлийг хэвлэхийг зөвлөж байна. Би ялангуяа тригонометрийн томъёонд анхаарлаа хандуулдаг. Тэд таны нүдний өмнө байх ёстой- үүнгүйгээр ажлын бүтээмж мэдэгдэхүйц буурна.

Гэхдээ эхлээд энэ нийтлэлд интеграл гэж юу болох талаар Үгүй. Маягтын интеграл байхгүй, - косинус, синусыг зарим олон гишүүнтээр үржүүлсэн (бага тохиолдолд шүргэгч эсвэл котангенстай зүйл). Ийм интегралыг хэсгүүдээр нь нэгтгэдэг бөгөөд энэ аргыг сурахын тулд хэсэгчилсэн интеграл хичээлийг үзнэ үү. Шийдлийн жишээ.Мөн энд "нуман хаалга"-тай интеграл байхгүй - арктангенс, арксинус гэх мэт, тэдгээрийг ихэвчлэн хэсгүүдээр нэгтгэдэг.

Тригонометрийн функцүүдийн интегралыг олохдоо хэд хэдэн аргыг ашигладаг.

(4) Бид хүснэгтийн томъёог ашигладаг , цорын ганц ялгаа нь "X"-ийн оронд бид цогц илэрхийлэлтэй байна.

Жишээ 2

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Тэмцээнд живж буй хүмүүст зориулсан жанрын сонгодог. Та анзаарсан байх, интегралын хүснэгтэд тангенс ба котангенсын интеграл байдаггүй, гэхдээ ийм интегралуудыг олж болно.

(1) Бид тригонометрийн томъёог ашигладаг

(2) Бид функцийг дифференциал тэмдгийн доор авчирдаг.

(3) Бид хүснэгтийн интегралыг ашигладаг .

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд бүрэн шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Бидний зэрэг аажмаар нэмэгдэх болно =).
Эхлээд шийдэл:

(1) Бид томъёог ашигладаг

(2) Бид үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашигладаг , үүнээс үүдэн гарч ирдэг .

(3) Тоолуурыг хуваагч гишүүнд хуваа.

(4) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид хүснэгтийг ашиглан нэгтгэдэг.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд бүрэн шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Мөн дээд зэрэглэлийн тангенс ба котангентын интегралууд байдаг. Шүргэдэг кубын интегралыг хичээл дээр авч үзнэ Хавтгай дүрсний талбайг хэрхэн тооцоолох вэ?Дөрөв ба тав дахь зэрэглэлийн тангенсийн (котангентын) интегралыг хуудаснаас авах боломжтой. Комплекс интеграл.

Интегралын зэрэглэлийг бууруулах

Энэ техник нь интеграл функцууд нь синус болон косинусуудаар дүүрсэн үед ажилладаг бүрградус. Зэрэг бууруулахын тулд тригонометрийн томъёог ашиглана , ба , сүүлчийн томъёог ихэвчлэн эсрэг чиглэлд ашигладаг: .

Жишээ 7

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Шийдэл:

Зарчмын хувьд бид томъёог хэрэглэснээс өөр шинэ зүйл байхгүй (интегралын зэрэглэлийг бууруулах). Би шийдлийг богиносгосон гэдгийг анхаарна уу. Та туршлага хуримтлуулахын хэрээр интегралыг амаар олж авах боломжтой бөгөөд энэ нь цаг хэмнэж, даалгавраа дуусгахад маш тохиромжтой. Энэ тохиолдолд дүрмийг тайлбарлахгүй байхыг зөвлөж байна , эхлээд бид 1-ийн интегралыг, дараа нь -ийн интегралыг амаар авна.

Жишээ 8

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд бүрэн шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Энэ бол амласан зэрэглэлийн өсөлт юм:

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Эхлээд шийдэл, дараа нь тайлбар:

(1) Томъёог хэрэглэхийн тулд интегралыг бэлтгэ .

(2) Бид үнэндээ томъёог ашигладаг.

(3) Бид хуваагчийг квадрат болгож, интеграл тэмдэгээс тогтмолыг авна. Үүнийг арай өөрөөр хийж болох байсан, гэхдээ миний бодлоор энэ нь илүү тохиромжтой байсан.

(4) Бид томъёог ашигладаг

(5) Гурав дахь улиралд бид градусыг дахин бууруулж, харин томъёог ашиглана .

(6) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна (энд би нэр томьёо болгон хуваасан мөн нэмэлт хийсэн).

(7) Үнэндээ бид интеграл буюу шугаман байдлын дүрмийг авдаг мөн функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах аргыг амаар гүйцэтгэнэ.

(8) Хариултыг самнах.

! Тодорхой бус интегралд хариултыг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар бичиж болно

Сая авч үзсэн жишээн дээр эцсийн хариултыг өөрөөр бичиж болно - хаалт нээж, илэрхийллийг нэгтгэхээс өмнө үүнийг хийвэл, өөрөөр хэлбэл жишээний дараах төгсгөлийг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой.

Энэ сонголт нь илүү тохиромжтой байх магадлалтай, би үүнийг өөрөө шийдэж байсан арга барилаараа тайлбарлав). Бие даасан шийдлийн өөр нэг ердийн жишээ энд байна:

Жишээ 10

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ жишээг хоёр аргаар шийдэж болох бөгөөд та амжилтанд хүрч магадгүй юм тэс өөр хоёр хариулт(илүү нарийвчлалтай, тэд огт өөр харагдах болно, гэхдээ математикийн үүднээс тэд тэнцүү байх болно). Та хамгийн оновчтой аргыг олж харахгүй байх магадлалтай бөгөөд хаалт нээх, бусад тригонометрийн томъёог ашиглахад зовж шаналах болно. Хичээлийн төгсгөлд хамгийн үр дүнтэй шийдлийг өгсөн болно.

Догол мөрийг нэгтгэн дүгнэхийн тулд бид дараахь дүгнэлтийг гаргаж байна: маягтын аливаа салшгүй хэсэг , хаана ба - бүртоог интегралын зэргийг багасгах аргаар шийддэг.
Практик дээр би 8 ба 10 градустай интегралтай таарч, градусыг хэд хэдэн удаа бууруулж, тэдний аймшигтай эмх замбараагүй байдлыг шийдвэрлэх шаардлагатай болсон бөгөөд үүний үр дүнд урт, урт хариултууд гарч ирэв.

Хувьсагчийг солих арга

Нийтлэлд дурдсанчлан Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга, орлуулах аргыг ашиглах гол урьдчилсан нөхцөл нь интегралд тодорхой функц ба түүний дериватив байгаа явдал юм.
(бүтээгдэхүүнд функцүүд заавал байх албагүй)

Жишээ 11

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Бид деривативын хүснэгтийг харж, томъёог анзаарч, , өөрөөр хэлбэл манай интегралд функц ба түүний дериватив байдаг. Гэсэн хэдий ч бид дифференциалын явцад косинус ба синусууд харилцан бие биедээ хувирч, хувьсагчийн өөрчлөлтийг хэрхэн хийх вэ, синус эсвэл косинус гэж юу гэсэн үг вэ гэсэн асуулт гарч ирдэг. Асуултыг шинжлэх ухааны үндэслэлээр шийдэж болно: хэрэв бид солих ажлыг буруу хийвэл сайн зүйл гарахгүй.

Ерөнхий заавар: ижил төстэй тохиолдолд та хуваагч дахь функцийг тодорхойлох хэрэгтэй.

Бид шийдлийг тасалдуулж, орлуулалт хийдэг

Хугацааны хувьд бүх зүйл зүгээр, бүх зүйл зөвхөн -ээс л шалтгаална, одоо юу болж хувирахыг олж мэдэх л үлдлээ.
Үүнийг хийхийн тулд бид дифференциалыг олно:

Эсвэл товчхондоо:
Үүссэн тэгш байдлаас бид пропорциональ дүрмийг ашиглан бидэнд хэрэгтэй илэрхийлэлийг илэрхийлнэ.

Тэгэхээр:

Одоо бидний бүх интеграл зөвхөн үүнээс шалтгаалж, бид үргэлжлүүлэн шийдэж чадна

Бэлэн. Орлуулах зорилго нь интегралыг хялбарчлах явдал гэдгийг танд сануулъя, энэ тохиолдолд бүх зүйл хүснэгтийн дагуу чадлын функцийг нэгтгэх явдал болсон.

Би энэ жишээг ийм дэлгэрэнгүй тайлбарласан нь санамсаргүй хэрэг биш бөгөөд үүнийг давтах, хичээлийн материалыг бататгах зорилгоор хийсэн болно. Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга.

Одоо таны шийдлийн хоёр жишээ:

Жишээ 12

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Жишээ 13

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Хичээлийн төгсгөлд шийдлүүд болон хариултуудыг бөглөнө үү.

Жишээ 14

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энд дахин интегралд синус ба косинус (дериватив бүхий функц) байдаг боловч бүтээгдэхүүнд дилемма үүсдэг - бид синус эсвэл косинус гэж юу гэсэн үг вэ?

Та шинжлэх ухааны нотолгоо ашиглан орлуулахыг оролдож болно, хэрэв юу ч ажиллахгүй бол үүнийг өөр функцээр томилно уу, гэхдээ:

Ерөнхий удирдамж: Та "тав тухгүй байрлалд" байгаа функцийг тодорхойлох хэрэгтэй..

Энэ жишээн дээр оюутны косинус зэрэглэлд "зовдог" бөгөөд синус нь өөрөө чөлөөтэй сууж байгааг бид харж байна.

Тиймээс орлуулалт хийцгээе:

Хэрэв хэн нэгэн хувьсагчийг солих, дифференциал олох алгоритмд бэрхшээлтэй хэвээр байгаа бол та хичээлдээ буцах хэрэгтэй. Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга.

Жишээ 15

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Интегралд дүн шинжилгээ хийцгээе, юу гэж тэмдэглэх ёстой вэ?
Зааварчилгаагаа санацгаая:
1) Функц нь хуваарьт хамгийн их магадлалтай;
2) Функц нь "тавгүй байрлалд" байна.

Дашрамд хэлэхэд эдгээр удирдамж нь зөвхөн тригонометрийн функцүүдэд хүчинтэй биш юм.

Синус нь хоёр шалгуурт (ялангуяа хоёр дахь) тохирч байгаа тул орлуулах нь өөрөө санал болгодог. Зарчмын хувьд солих ажлыг аль хэдийн хийж болно, гэхдээ эхлээд юу хийхээ олж мэдэх нь зүйтэй болов уу? Эхлээд бид нэг косинусыг "хавчих":

Бид "ирээдүйн" дифференциалдаа зориулж нөөцөлсөн

Мөн бид үүнийг тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан синусаар илэрхийлдэг.

Одоо орлуулалт энд байна:

Ерөнхий дүрэм: Хэрэв интегралд тригонометрийн функцүүдийн аль нэг нь (синус эсвэл косинус) байвал хачинзэрэгтэй бол та сондгой зэрэглэлээс нэг функцийг "хазаж", түүний ард өөр функцийг зааж өгөх хэрэгтэй.Бид зөвхөн косинус, синус байгаа интегралуудын тухай ярьж байна.

Харгалзан үзсэн жишээн дээр бид сондгой чадалтай косинустай байсан тул хүчнээс нэг косинусыг сугалж аваад синус гэж тодорхойлсон.

Жишээ 16

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Зэрэг бууж байна =).
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт нь хувьсагчийг орлуулах аргын нийтлэг тохиолдол юм. Та "юу хийхээ мэдэхгүй байгаа" үедээ үүнийг ашиглахыг оролдож болно. Гэвч үнэн хэрэгтээ үүнийг хэрэглэх зарим удирдамж байдаг. Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг хэрэглэх ердийн интегралууд нь дараах интегралууд юм. , , , гэх мэт.

Жишээ 17

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ тохиолдолд бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг дараах байдлаар хэрэгжүүлнэ. орлуулъя: . Би үсэг хэрэглэдэггүй, гэхдээ үсэг, энэ бол ямар нэг дүрэм биш, зүгээр л би дахин ийм байдлаар асуудлыг шийдэж дассан.

Энд дифференциалыг олох нь илүү тохиромжтой, үүний тулд тэгш байдлаас би дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.
Би хоёр хэсэгт артангенс хавсаргана:

Арктангенс ба тангенс бие биенээ үгүйсгэдэг:

Тиймээс:

Практикт та үүнийг нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй, харин бэлэн болсон үр дүнг ашиглана уу.

! Энэ илэрхийлэл нь зөвхөн синус ба косинусын доор "X"-тэй байвал л хүчинтэй. (энэ талаар бид дараа нь ярих болно) бүх зүйл арай өөр байх болно!

Орлуулах үед синус ба косинусууд дараах бутархай болж хувирдаг.
, , эдгээр тэгшитгэлүүд нь сайн мэддэг тригонометрийн томьёо дээр суурилдаг: ,

Тиймээс эцсийн загвар нь дараах байдлаар харагдаж болно.

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг хийцгээе.

Интегралын шийдлийн жишээг хэсгүүдээр нь нарийвчлан авч үзсэн бөгөөд интеграл нь олон гишүүнтийн экспоненциал (e-ийн х зэрэгт) эсвэл синус (sin x) эсвэл косинус (cos x)-ийн үржвэр юм.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Хэсэгээр нь нэгтгэх арга
Тодорхой бус интегралын хүснэгт
Тодорхой бус интегралыг тооцоолох арга
Үндсэн энгийн функцууд ба тэдгээрийн шинж чанарууд

Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо

Энэ хэсэгт жишээг шийдвэрлэхдээ хэсгүүдийн интеграцийн томъёог ашиглана.
;
.

Олон гишүүнт ба sin x, cos x эсвэл e x-ийн үржвэрийг агуулсан интегралын жишээ

Ийм интегралуудын жишээ энд байна:
, , .

Ийм интегралыг интеграл болгохын тулд олон гишүүнтийг u, үлдсэн хэсгийг v dx гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь интеграцийг хэсгүүдийн томъёогоор ашиглана.

Эдгээр жишээнүүдийн нарийвчилсан шийдлийг доор харуулав.

Интегралыг шийдвэрлэх жишээ

Экспонент, х-ийн зэрэглэлийн e-тэй жишээ

Интегралыг тодорхойлно уу:
.

Дифференциал тэмдгийн дор илтгэгчийг танилцуулъя:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Хэсэгээр нь нэгтгэе.

Энд
.
Бид мөн үлдсэн интегралыг хэсгүүдээр нь нэгтгэдэг.
.
.
.
Эцэст нь бидэнд байна:
.

Синустай интегралыг тодорхойлох жишээ

Интегралыг тооцоолох:
.

Дифференциал тэмдгийн дор синусыг оруулъя.

Хэсэгээр нь нэгтгэе.

энд u = x 2 , v = байна cos(2 x+3), du = ( x 2 )′ dx

Бид мөн үлдсэн интегралыг хэсгүүдээр нь нэгтгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд дифференциал тэмдгийн дор косинусыг оруулна.


энд u = x, v = гэм(2 x+3), du = dx

Эцэст нь бидэнд байна:

Олон гишүүнт ба косинусын үржвэрийн жишээ

Интегралыг тооцоолох:
.

Косинусыг дифференциал тэмдгийн доор оруулъя.

Хэсэгээр нь нэгтгэе.

энд u = x 2 + 3 x + 5, v = нүгэл 2 х, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

R(sin x, cos x) хэлбэрийн оновчтой функцүүдийг нэгтгэхийн тулд орлуулалтыг ашигладаг бөгөөд үүнийг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт гэж нэрлэдэг. Дараа нь . Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт нь ихэвчлэн том тооцоололд хүргэдэг. Тиймээс боломжтой бол дараах орлуулалтыг хэрэглээрэй.

Тригонометрийн функцээс оновчтой хамааралтай функцүүдийн интеграцчлал

1. ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , хэлбэрийн интегралууд. n>0
a) Хэрэв n нь сондгой байвал дифференциалын тэмдгийн дор sinx (эсвэл cosx)-ийн нэг хүчийг оруулах ба үлдсэн тэгш багаас эсрэг функц рүү шилжих ёстой.
б) Хэрэв n нь тэгш байвал градусыг багасгах томъёог ашиглана
2. ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx хэлбэрийн интегралууд, энд n нь бүхэл тоо.
Томъёо ашиглах ёстой

3. ∫ sin n x cos m x dx хэлбэрийн интегралууд
a) m ба n нь өөр өөр паритет байя. Бид n нь сондгой бол t=sin x, m сондгой бол t=cos x орлуулалтыг ашигладаг.
б) Хэрэв m ба n нь тэгш байвал градусыг багасгах томъёог ашиглана
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Маягтын интеграл
Хэрэв m ба n тоонууд ижил паритеттай бол t=tg x орлуулалтыг ашиглана. Тригонометрийн нэгжийн техникийг ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг тэдгээрийн нийлбэр болгон хувиргах томъёог ашиглацгаая.

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Жишээ
1. ∫ cos 4 x·sin 3 xdx интегралыг тооцоол.
Бид cos(x)=t орлуулалтыг хийнэ. Тэгвэл ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Интегралыг тооцоол.
Орлуулах sin x=t-г хийснээр бид олж авна

3. Интегралыг ол.
Бид tg(x)=t орлуулалтыг хийнэ. Орлуулж, бид авдаг

R(sinx, cosx) хэлбэрийн илэрхийллүүдийг нэгтгэх

Жишээ №1. Интегралыг тооцоолох:

Шийдэл.
a) R(sinx, cosx) хэлбэрийн илэрхийллүүдийн интеграл, R нь sin x ба cos x-ийн рационал функц бөгөөд бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт tg(x/2) = t ашиглан рационал функцүүдийн интеграл болгон хувиргана.
Тэгвэл бидэнд байна

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт нь ∫ R(sinx, cosx) dx хэлбэрийн интегралаас бутархай рационал функцийн интеграл руу шилжих боломжийг олгодог боловч ихэнхдээ ийм орлуулалт нь төвөгтэй илэрхийлэлд хүргэдэг. Тодорхой нөхцөлд энгийн орлуулалт үр дүнтэй байдаг:

• Хэрэв R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx тэгшитгэл хангагдсан бол cos x = t орлуулалтыг хэрэглэнэ.
• R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx тэгшитгэл биелэгдвэл sin x = t орлуулалт болно.
• R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx тэгшитгэл биелвэл tgx = t эсвэл ctg x = t орлуулалт болно.

Энэ тохиолдолд интегралыг олох
tg(x/2) = t бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг хэрэгжүүлье.
Дараа нь Хариулт:

Эсрэг деривативуудын хүснэгт ("интеграл"). Интегралын хүснэгт. Хүснэгтийн тодорхойгүй интеграл. (Хамгийн энгийн интеграл ба параметртэй интеграл). Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо. Ньютон-Лейбницийн томъёо.

Эсрэг деривативуудын хүснэгт ("интеграл"). Хүснэгтийн тодорхойгүй интеграл. (Хамгийн энгийн интеграл ба параметртэй интеграл).
Хүчин чадлын функцийн интеграл.	Хүчин чадлын функцийн интеграл.
Дифференциал тэмдгийн дор х-г жолоодвол чадлын функцийн интеграл болж буурдаг интеграл.
	Экспоненциалын интеграл, энд a нь тогтмол тоо.
Нарийн төвөгтэй экспоненциал функцийн интеграл.	Экспоненциал функцийн интеграл.
Натурал логарифмтай тэнцүү интеграл.	Интеграл: "Урт логарифм".
	Интеграл: "Урт логарифм".
Интеграл: "Өндөр логарифм".	Тоолуур дахь х-г дифференциал тэмдгийн доор байрлуулсан интеграл (тэмдэгтийн доорх тогтмолыг нэмж эсвэл хасаж болно) нь эцсийн дүндээ натурал логарифмтай тэнцүү интегралтай төстэй.
Интеграл: "Өндөр логарифм".
Косинусын интеграл.	Синусын интеграл.
Тангенстай тэнцүү интеграл.	Котангенстай тэнцүү интеграл.
Арксин ба арккосин хоёртой тэнцүү интеграл
Арксин ба арккосин хоёртой тэнцүү интеграл.	Арктангенс ба арккотангенстай тэнцүү интеграл.
Косеканттай тэнцүү интеграл.	Секанттай тэнцүү интеграл.
Арксеканттай тэнцүү интеграл.	Арккосеканттай тэнцүү интеграл.
Арксеканттай тэнцүү интеграл.	Арксеканттай тэнцүү интеграл.
Гиперболын синустай тэнцүү интеграл.	Гипербол косинустай тэнцүү интеграл.
Интеграл нь гипербол синустай тэнцүү бөгөөд энд sinhx нь англи хувилбарт гиперболын синус юм.	Гиперболын косинустай тэнцүү интеграл, энд sinhx нь англи хэл дээрх гиперболын синус юм.
Гипербол тангенстай тэнцүү интеграл.	Гипербол котангенстай тэнцүү интеграл.
Гиперболын секанттай тэнцүү интеграл.	Гипербол косеканттай тэнцүү интеграл.

Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо. Интеграцийн дүрэм.

Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо. Ньютон-Лейбницийн томьёо.Интеграцийн дүрэм.
Бүтээгдэхүүнийг (функцийг) тогтмол тоогоор нэгтгэх:
Функцийн нийлбэрийг нэгтгэх:
тодорхойгүй интегралууд:
Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо тодорхой интеграл:
Ньютон-Лейбницийн томъёо тодорхой интеграл:	Энд F(a),F(b) нь b ба a цэгүүдийн эсрэг деривативуудын утгууд юм.

Деривативын хүснэгт. Хүснэгтийн деривативууд. Бүтээгдэхүүний дериватив. Хэсгийн дериватив. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Хэрэв x нь бие даасан хувьсагч бол:

Деривативын хүснэгт. Хүснэгтийн дериватив."хүснэгтийн дериватив" - тийм ээ, харамсалтай нь тэдгээрийг интернетээс яг ингэж хайдаг.
	Хүчин чадлын функцийн дериватив
	Экспонентийн дериватив
Нарийн төвөгтэй экспоненциал функцийн дериватив	Экспоненциал функцийн дериватив
Логарифм функцийн дериватив	Байгалийн логарифмын дериватив
	Функцийн натурал логарифмын дериватив
Синусын дериватив	Косинусын дериватив
Косекантын дериватив	Секантын дериватив
Арксины дериватив	Нумын косинусын дериватив
Арксины дериватив	Нумын косинусын дериватив
Тангенсийн дериватив	Котангенсийн дериватив
Артангенсийн дериватив	Нумын котангенсын дериватив
Артангенсийн дериватив	Нумын котангенсын дериватив
Арксекантын дериватив	Арккосекантын дериватив
Арксекантын дериватив	Арккосекантын дериватив
Гиперболын синусын дериватив Англи хэл дээрх гиперболын синусын дериватив	Гипербол косинусын дериватив Англи хэл дээрх гипербол косинусын дериватив
Гипербол тангенсийн дериватив	Гипербол котангентын дериватив
Гиперболын секантын дериватив	Гипербол косекантын дериватив

Ялгах дүрэм. Бүтээгдэхүүний дериватив. Хэсгийн дериватив. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.
Тогтмол тоогоор бүтээгдэхүүн (функц)-ийн дериватив:
Нийлбэрийн дериватив (функц):
Бүтээгдэхүүний дериватив (функц):
Хэсгийн (функцийн) дериватив:
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Логарифмын шинж чанарууд. Логарифмын үндсэн томъёо. Аравтын тоо (lg) ба натурал логарифм (ln).

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
a b хэлбэрийн дурын функцийг хэрхэн экспоненциал болгож болохыг харуулъя. e x хэлбэрийн функцийг экспоненциал гэж нэрлэдэг тул
a b хэлбэрийн аливаа функцийг аравын зэрэглэлээр илэрхийлж болно

Натурал логарифм ln (е суурьтай логарифм = 2.718281828459045...) ln(e)=1; log(1)=0

Тейлорын цуврал. Функцийн Тейлорын цуврал өргөтгөл.

Энэ нь олонхи болсон нь харагдаж байна практикт тулгарсанМатематик функцийг тодорхой цэгийн ойролцоо хувьсагчийн хүчийг нэмэгдүүлэх дарааллаар агуулсан чадлын цуваа хэлбэрээр ямар ч нарийвчлалтайгаар дүрсэлж болно. Жишээлбэл, x=1 цэгийн ойролцоо:

гэж нэрлэдэг цуврал ашиглах үед Тейлорын эгнээАлгебр, тригонометр, экспоненциал функц агуулсан холимог функцийг цэвэр алгебрийн функцээр илэрхийлж болно. Цувралыг ашигласнаар та ялгах, нэгтгэх ажлыг хурдан гүйцэтгэх боломжтой.

a цэгийн ойролцоох Тейлорын цуврал дараах хэлбэртэй байна.

1) , энд f(x) нь x = a үед бүх дарааллын деривативтай функц юм. R n - Тейлорын цувралын үлдэгдэл гишүүнийг илэрхийллээр тодорхойлно

2)

Цувралын k-р коэффициент (х k дээр) томъёогоор тодорхойлогдоно

3) Тейлорын цувралын онцгой тохиолдол бол Маклаурин (=Мкларен) цуврал юм (өргөжилт нь a=0 цэгийн эргэн тойронд явагдана)

a=0 үед

цувралын гишүүдийг томъёогоор тодорхойлно

Тейлорын цувралыг ашиглах нөхцөл.

1. f(x) функцийг (-R;R) интервал дээр Тейлорын цуваа болгон өргөжүүлэхийн тулд үүнд Тейлор (Маклаурин (=Мкларен)) томъёоны үлдэгдэл гишүүн байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. функц нь заасан интервал (-R;R) дээр k →∞ гэж тэг рүү чиглэдэг.

2. Бидний ойролцоох Тейлорын цувралыг байгуулах гэж буй цэг дээр өгөгдсөн функцийн деривативууд байх шаардлагатай.

Тейлорын цувралын шинж чанарууд.

Хэрэв f нь аналитик функц бол f-ийн тодорхойлолтын муж дахь аль ч цэг дэх Тейлорын цуваа нь a-ийн зарим хэсэгт f-д нийлдэг.

Тэйлорын цуваа нь нийлдэг, гэхдээ нэгэн зэрэг a-ийн аль ч хэсэгт байгаа функцээс ялгаатай хязгааргүй дифференциал функцүүд байдаг. Жишээлбэл:

Тейлорын цуваа нь функцийг олон гишүүнтээр ойртуулах (ойролцоогоор зарим объектыг бусад зүйлээр солихоос бүрдэх шинжлэх ухааны арга юм. Ялангуяа шугаманчлал ((linearis - шугаман)), шугаман бус системийг судлахдаа шугаман системийн шинжилгээгээр солигдсон, ямар нэгэн утгаараа анхныхтай дүйцэхүйц хаалттай шугаман бус системийг ойролцоогоор дүрслэх аргуудын нэг юм. .) тэгшитгэлийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж, эхний эрэмбээс дээш бүх гишүүнийг таслах замаар үүсдэг.

Тиймээс бараг бүх функцийг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар олон гишүүнт хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Маклаурины цуврал (=МкЛарен, Тейлор 0-р цэгийн ойролцоо) ба 1-р цэгийн ойролцоох Тейлор дахь чадлын функцүүдийн зарим нийтлэг өргөтгөлийн жишээ. Тейлор ба МакЛарен цувралын үндсэн функцүүдийн өргөтгөлийн эхний нөхцөлүүд.

Маклаурины цуврал дахь чадлын функцүүдийн зарим нийтлэг өргөтгөлийн жишээ (= McLaren, Taylor 0 цэгийн ойролцоо)

1-р цэгийн ойролцоох зарим нийтлэг Тейлорын цуврал өргөтгөлүүдийн жишээ