प्रत्यक्ष एकीकरण 2बी द्वारा अभिन्न की गणना करें। प्रत्यक्ष एकीकरण विधि. अनिश्चितकालीन अभिन्नों के गुण
एक प्रतिअवकलन फलन खोजने की समस्या का हमेशा कोई समाधान नहीं होता है, जबकि हम किसी भी फलन को अलग कर सकते हैं। यह एक सार्वभौमिक एकीकरण पद्धति की कमी को स्पष्ट करता है।
इस लेख में हम विस्तृत समाधानों के साथ उदाहरणों का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने के लिए बुनियादी तरीकों को देखेंगे। हम प्रत्येक एकीकरण विधि की विशेषता वाले एकीकृत कार्यों के प्रकारों को भी समूहीकृत करेंगे।
पेज नेविगेशन.
प्रत्यक्ष एकीकरण.
निस्संदेह, एक प्रतिअवकलज फलन को खोजने का मुख्य तरीका प्रतिअवकलन तालिका और अनिश्चित समाकलन के गुणों का उपयोग करके प्रत्यक्ष एकीकरण है। अन्य सभी विधियों का उपयोग केवल मूल अभिन्न अंग को सारणीबद्ध रूप में कम करने के लिए किया जाता है।
उदाहरण।
फ़ंक्शन के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
समाधान।
आइए फ़ंक्शन को फॉर्म में लिखें।
चूँकि कार्यों के योग का समाकलन समाकलों के योग के बराबर होता है
संख्यात्मक गुणांक को अभिन्न चिह्न से निकाला जा सकता है: 
इंटीग्रल में से पहला सारणीबद्ध रूप में घटाया गया है, इसलिए, घातीय फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव की तालिका से हमारे पास है 
.
दूसरे अभिन्न को खोजने के लिए, हम पावर फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका का उपयोग करते हैं 
और नियम 
. वह है, ।
इस तरह, 
कहाँ
प्रतिस्थापन विधि द्वारा एकीकरण.
विधि का सार यह है कि हम एक नया चर पेश करते हैं, इस चर के माध्यम से इंटीग्रैंड को व्यक्त करते हैं, और परिणामस्वरूप हम इंटीग्रल के एक सारणीबद्ध (या सरल) रूप पर पहुंचते हैं।
त्रिकोणमितीय कार्यों और कार्यों को रेडिकल के साथ एकीकृत करते समय अक्सर प्रतिस्थापन विधि बचाव में आती है।
उदाहरण।
अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें 
.
समाधान।
आइए एक नया वेरिएबल पेश करें। आइए x को z से व्यक्त करें: 
हम परिणामी अभिव्यक्तियों को मूल अभिन्न में प्रतिस्थापित करते हैं: 
हमारे पास प्रतिअवकलन की तालिका है 
.
यह मूल चर x पर वापस लौटना बाकी है: 
उत्तर:
त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करते समय अक्सर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने से आप इंटीग्रैंड को आंशिक रूप से तर्कसंगत रूप में बदल सकते हैं।
प्रतिस्थापन विधि आपको एकीकरण नियम की व्याख्या करने की अनुमति देती है .
फिर, हम एक नया वेरिएबल पेश करते हैं
हम परिणामी अभिव्यक्तियों को मूल अभिन्न में प्रतिस्थापित करते हैं: 
यदि हम स्वीकार करते हैं और मूल चर x पर लौटते हैं, तो हमें मिलता है 
अंतर चिह्न सबमिट करना.
विभेदक चिह्न को सम्मिलित करने की विधि समाकलन को रूप में कम करने पर आधारित है 
. इसके बाद, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया जाता है: एक नया चर पेश किया जाता है और नए चर के लिए प्रतिअवकलन खोजने के बाद, हम मूल चर पर लौटते हैं, अर्थात 
सुविधा के लिए, इसे अंतर के रूप में अपनी आंखों के सामने रखें ताकि इंटीग्रैंड को परिवर्तित करना आसान हो सके, साथ ही एंटीडेरिवेटिव्स की एक तालिका भी देख सकें कि इंटीग्रैंड को किस रूप में परिवर्तित करना है।
उदाहरण के लिए, आइए कोटैंजेंट फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव का सेट ढूंढें।
उदाहरण।
अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.
समाधान।
त्रिकोणमिति सूत्रों का उपयोग करके इंटीग्रैंड को रूपांतरित किया जा सकता है: 
डेरिवेटिव की तालिका को देखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि अंश में अभिव्यक्ति को अंतर चिह्न के अंतर्गत समाहित किया जा सकता है 
, इसीलिए 
वह है 
.
फिर रहने दो 
. प्रतिअवकलजों की तालिका से हम यह देखते हैं 
. मूल चर पर लौटना 
.
स्पष्टीकरण के बिना, समाधान इस प्रकार लिखा गया है: 
भागों द्वारा एकीकरण.
भागों द्वारा एकीकरण एक उत्पाद के रूप में इंटीग्रैंड का प्रतिनिधित्व करने और फिर सूत्र को लागू करने पर आधारित है। यह विधि एक बहुत शक्तिशाली एकीकरण उपकरण है. इंटीग्रैंड के आधार पर, भागों द्वारा एकीकरण की विधि को कभी-कभी परिणाम प्राप्त करने से पहले एक पंक्ति में कई बार लागू करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, आइए आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स का सेट ढूंढें।
उदाहरण।
अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना करें.
समाधान।
फिर रहने दो 
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फ़ंक्शन v(x) ढूंढते समय एक मनमाना स्थिरांक C न जोड़ें।
अब हम भागों द्वारा एकीकरण सूत्र लागू करते हैं: 
हम अंतिम समाकलन को अवकल चिह्न के अंतर्गत समाहित करने की विधि का उपयोग करके गणना करते हैं।
के बाद से 
. इसीलिए 
इस तरह, 
कहाँ ।
उत्तर:
भागों द्वारा एकीकृत करने में मुख्य कठिनाइयाँ इस विकल्प से उत्पन्न होती हैं: इंटीग्रैंड के किस भाग को फ़ंक्शन u(x) के रूप में लिया जाए और किस भाग को अंतर d(v(x)) के रूप में लिया जाए। हालाँकि, कई मानक अनुशंसाएँ हैं, जिनसे हम अनुशंसा करते हैं कि आप भागों द्वारा एकीकरण अनुभाग में खुद को परिचित कर लें।
शक्ति अभिव्यक्तियों को एकीकृत करते समय, उदाहरण के लिए या, आवर्ती सूत्रों का उपयोग करें जो आपको चरण दर चरण डिग्री को कम करने की अनुमति देते हैं। ये सूत्र भागों द्वारा क्रमिक रूप से दोहराए गए एकीकरण द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। हमारा सुझाव है कि आप पुनरावृत्ति फ़ार्मुलों का उपयोग करके अनुभाग एकीकरण से स्वयं को परिचित कर लें।
अंत में, मैं इस लेख की सभी सामग्रियों का सारांश प्रस्तुत करना चाहूँगा। मूल सिद्धांतों का आधार प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि है। प्रतिस्थापन के तरीके, अंतर चिह्न के तहत प्रतिस्थापन और भागों द्वारा एकीकरण की विधि मूल अभिन्न को सारणीबद्ध रूप से कम करना संभव बनाती है।
प्रत्यक्ष एकीकरण को एकीकरण की एक विधि के रूप में समझा जाता है जिसमें एक दिए गए इंटीग्रल को इंटीग्रैंड के समान परिवर्तनों और अनिश्चित इंटीग्रल के गुणों के अनुप्रयोग के माध्यम से एक या अधिक तालिका इंटीग्रल में घटा दिया जाता है।
उदाहरण 1। खोजो।
अंश को हर से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
=
.
ध्यान दें कि प्रत्येक पद के बाद कोई मनमाना स्थिरांक लगाने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि उनका योग भी एक मनमाना स्थिरांक है, जिसे हम अंत में लिखते हैं।
उदाहरण 2.
खोजो 
.
हम इंटीग्रैंड को इस प्रकार बदलते हैं:
.
तालिका अभिन्न 1 को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
.
उदाहरण 3.
उदाहरण 4.
उदाहरण 5.
=
.
कुछ मामलों में, कृत्रिम तकनीकों का उपयोग करके अभिन्नों को खोजना सरल हो जाता है।
उदाहरण 6.
खोजो 
.
इंटीग्रैंड को इससे गुणा करें 
हम देखतें है
=
.
उदाहरण 7.
उदाहरण 8 .
2. परिवर्तन विधि द्वारा एकीकरण
प्रत्यक्ष एकीकरण द्वारा किसी दिए गए अभिन्न अंग की गणना करना हमेशा संभव नहीं होता है, और कभी-कभी यह बड़ी कठिनाइयों से जुड़ा होता है। इन मामलों में, अन्य तकनीकों का उपयोग किया जाता है। सबसे प्रभावी में से एक परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि एक नए एकीकरण चर को पेश करके किसी दिए गए इंटीग्रल को एक नए में कम करना संभव है, जिसे सीधे लेना अपेक्षाकृत आसान है। इस विधि के दो रूप हैं.
a) किसी फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत समाहित करने की विधि
फ़ंक्शन के अंतर की परिभाषा के अनुसार 
.
इस समानता में बाएँ से दाएँ संक्रमण को "कारक का सारांश" कहा जाता है 
विभेदक चिह्न के अंतर्गत।"
एकीकरण सूत्रों की अपरिवर्तनीयता पर प्रमेय
कोई भी एकीकरण सूत्र तब अपना स्वरूप बरकरार रखता है जब स्वतंत्र चर को उससे भिन्न किसी फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, अर्थात, यदि
, तब 
,
कहाँ 
- का कोई भी भिन्न कार्य एक्स. इसके मान उस अंतराल से संबंधित होने चाहिए जिसमें फ़ंक्शन 
परिभाषित और निरंतर.
सबूत:
से क्या 
, चाहिए 
. आइए अब फ़ंक्शन लेते हैं 
. इसके अंतर के लिए, फ़ंक्शन के पहले अंतर के रूप की अपरिवर्तनीयता की संपत्ति के कारण, हमारे पास है
मान लीजिए कि अभिन्न की गणना करना आवश्यक है 
. आइए मान लें कि एक अवकलनीय फलन है 
और कार्य 
इस तरह कि इंटीग्रैंड
के रूप में लिखा जा सकता है
वे। अभिन्न गणना 
अभिन्न की गणना करने के लिए कम कर देता है 
और बाद में प्रतिस्थापन 
.
उदाहरण 1। .
उदाहरण 2. .
उदाहरण 3 . .
उदाहरण 4 . .
उदाहरण 5
.
.
उदाहरण 6 . .
उदाहरण 7 . .
उदाहरण 8. .
उदाहरण 9. .
उदाहरण 10 . .
उदाहरण 11.
उदाहरण 12
.
खोजेंI= 
(0).
आइए हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को इस रूप में प्रस्तुत करें:
इस तरह,
इस प्रकार, 
.
उदाहरण 12ए.
खोजो मैं=
,
.
चूंकि 
,
इस तरह मैं= .
उदाहरण 13.
खोजो 
(0).
इस समाकलन को एक सारणीबद्ध समाकलन में कम करने के लिए, हम समाकलन के अंश और हर को विभाजित करते हैं 
:
.
हमने विभेदक चिन्ह के नीचे एक अचर गुणनखंड रखा है। इसे एक नए वेरिएबल के रूप में मानने पर, हमें यह मिलता है:
.
आइए हम अभिन्न की भी गणना करें, जो अपरिमेय कार्यों को एकीकृत करते समय महत्वपूर्ण है।
उदाहरण 14.
खोजेंI= 
( एक्स ए,ए0).
हमारे पास है 
.
इसलिए, 
( एक्स ए,ए0).
प्रस्तुत उदाहरण किसी दिए गए को प्रस्तुत करने की क्षमता के महत्व को दर्शाते हैं
विभेदक अभिव्यक्ति 
ध्यान देना 
, कहाँ 
से कुछ कार्य है एक्सऔर जी- एक फ़ंक्शन जिसे एकीकृत करना आसान है एफ.
इन उदाहरणों में, विभेदक परिवर्तन जैसे
कहाँ बी- नियत मान
,
,
,
अक्सर अभिन्नों को खोजने में उपयोग किया जाता है।
बुनियादी अभिन्नों की तालिका में यह माना गया था एक्सएक स्वतंत्र चर है. हालाँकि, यह तालिका, जैसा कि ऊपर से निम्नानुसार है, नीचे दिए गए अर्थ को पूरी तरह से बरकरार रखती है एक्सकिसी स्वतंत्र चर के किसी निरंतर अवकलनीय फलन को समझ सकेंगे। आइए बुनियादी समाकलनों की तालिका से कई सूत्रों का सामान्यीकरण करें।
3ए.
.
4.
.
5.
=
.
6.
=
.
7.
=
.
8.
( एक्स ए,ए0).
9.
(ए0).
किसी फ़ंक्शन को सारांशित करने का संचालन 
विभेदक चिह्न के अंतर्गत चर को बदलने के बराबर है एक्सएक नए वेरिएबल के लिए 
. निम्नलिखित उदाहरण इस बात को स्पष्ट करते हैं।
उदाहरण 15.
खोजेंI= 
.
आइए सूत्र का उपयोग करके वेरिएबल को बदलें 
, तब 
, अर्थात। 
औरमैं= 
.
की जगह यूउसकी अभिव्यक्ति 
, हम अंततः प्राप्त करते हैं
मैं= 
.
किया गया परिवर्तन फ़ंक्शन के अंतर चिह्न को समाहित करने के बराबर है 
.
उदाहरण 16.
खोजो 
.
डालते हैं 
, तब 
, कहाँ 
. इस तरह,
उदाहरण 17.
खोजो 
.
चलो 
, तब 
, या 
. इस तरह,
निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि एक ही फ़ंक्शन को एकीकृत करने के विभिन्न तरीकों से कभी-कभी ऐसे फ़ंक्शन उत्पन्न होते हैं जो दिखने में भिन्न होते हैं। इस स्पष्ट विरोधाभास को समाप्त किया जा सकता है यदि हम दिखाते हैं कि प्राप्त कार्यों के बीच का अंतर एक स्थिर मूल्य है (व्याख्यान 1 में सिद्ध प्रमेय देखें)।
उदाहरण:
परिणाम एक स्थिर मात्रा में भिन्न होते हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों उत्तर सही हैं।
बी) मैं= 
.
यह सत्यापित करना आसान है कि कोई भी उत्तर एक दूसरे से केवल एक स्थिर मात्रा में भिन्न है।
बी) प्रतिस्थापन विधि (एक नया चर पेश करने की विधि)
चलो अभिन्न 
(
- निरंतर) को सीधे सारणीबद्ध रूप में परिवर्तित नहीं किया जा सकता। आइए एक प्रतिस्थापन करें 
, कहाँ 
- एक फ़ंक्शन जिसमें निरंतर व्युत्पन्न होता है। तब 
,
और
.
(3)
सूत्र (3) को अनिश्चित समाकलन में चर सूत्र के परिवर्तन को कहते हैं।
सही प्रतिस्थापन कैसे चुनें? यह एकीकरण में अभ्यास के माध्यम से हासिल किया जाता है। लेकिन एकीकरण के विशेष मामलों के लिए कई सामान्य नियम और कुछ तकनीकें स्थापित करना संभव है।
प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण का नियम इस प्रकार है।
निर्धारित करें कि इस इंटीग्रल को किस तालिका इंटीग्रल में घटाया गया है (यदि आवश्यक हो तो पहले इंटीग्रैंड को बदलने के बाद)।
निर्धारित करें कि इंटीग्रैंड के किस हिस्से को एक नए वेरिएबल से बदलना है, और इस प्रतिस्थापन को लिखें।
रिकॉर्ड के दोनों भागों के अंतर ज्ञात करें और पुराने चर के अंतर (या इस अंतर वाले अभिव्यक्ति) को नए चर के अंतर के रूप में व्यक्त करें।
इंटीग्रल के अंतर्गत एक प्रतिस्थापन करें.
परिणामी समाकलन ज्ञात कीजिए।
एक रिवर्स प्रतिस्थापन किया जाता है, अर्थात। पुराने वेरिएबल पर जाएं.
आइए उदाहरणों के साथ नियम को स्पष्ट करें।
उदाहरण 18.
खोजो 
.
उदाहरण 19.
खोजो 
.
=
.
हम इसे योग द्वारा अभिन्न पाते हैं 
विभेदक चिह्न के अंतर्गत.
=.
उदाहरण 20.
खोजो 
(
).
, अर्थात। 
, या 
. यहाँ से 
, अर्थात। 
.
इस प्रकार हमारे पास है 
. की जगह 
के माध्यम से इसकी अभिव्यक्ति एक्स, हम अंततः अभिन्न पाते हैं, जो अपरिमेय कार्यों के एकीकरण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: 
(
).
छात्रों ने इस अभिन्न अंग को "दीर्घ लघुगणक" नाम दिया।
कभी-कभी प्रतिस्थापन के स्थान पर 
प्रपत्र का परिवर्तनशील प्रतिस्थापन करना बेहतर है 
.
उदाहरण 21.
खोजो 
.
उदाहरण 22.
खोजो 
.
आइए प्रतिस्थापन का उपयोग करें 
. तब 
,
,
.
इसलिए, .
कई मामलों में, अभिन्न का पता लगाना प्रत्यक्ष एकीकरण के तरीकों का उपयोग करने और एक ही समय में अंतर चिह्न के तहत कार्यों को समाहित करने पर आधारित है (उदाहरण 12 देखें)।
आइए हम अभिन्न की गणना के लिए इस संयुक्त दृष्टिकोण का वर्णन करें, जो त्रिकोणमितीय कार्यों के एकीकरण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
उदाहरण 23.
खोजो 
.
=
.
इसलिए, 
.
इस अभिन्न की गणना करने का एक और तरीका:
.
उदाहरण 24.
खोजो 
.
ध्यान दें कि एक सफल प्रतिस्थापन चुनना आमतौर पर कठिन होता है। उन पर काबू पाने के लिए, आपको विभेदीकरण की तकनीक में महारत हासिल करने और तालिका इंटीग्रल्स का अच्छा ज्ञान रखने की आवश्यकता है।
इस विषय में हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों के बारे में और उल्लिखित गुणों का उपयोग करके स्वयं अभिन्नों को खोजने के बारे में विस्तार से बात करेंगे। हम अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका के साथ भी काम करेंगे। यहां प्रस्तुत सामग्री "अनिश्चित अभिन्न। शुरुआत" विषय की निरंतरता है। ईमानदारी से कहें तो, परीक्षण पत्रों में शायद ही कभी अभिन्न अंग होते हैं जिन्हें विशिष्ट तालिकाओं और/या सरल गुणों का उपयोग करके लिया जा सकता है। इन गुणों की तुलना वर्णमाला से की जा सकती है, जिसका ज्ञान और समझ अन्य विषयों में अभिन्नों को हल करने के तंत्र को समझने के लिए आवश्यक है। अक्सर अभिन्नों की तालिकाओं और अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों का उपयोग करके एकीकरण कहा जाता है प्रत्यक्ष एकीकरण.
मुझे क्या मिल रहा है: फ़ंक्शंस बदलते हैं, लेकिन व्युत्पन्न खोजने का सूत्र अपरिवर्तित रहता है, अभिन्न के विपरीत, जिसके लिए हमें पहले से ही दो तरीकों को सूचीबद्ध करना होगा।
चलिए आगे बढ़ते हैं. अवकलज ज्ञात करने के लिए $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ सभी वही वही फॉर्मूला लागू होता है $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, जिसमें आपको $u=x^(-\frac(1)(2)) को प्रतिस्थापित करना होगा $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$. लेकिन अभिन्न $\int x^(-\frac(1)( खोजने के लिए 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ के लिए एक नई विधि - चेबीशेव प्रतिस्थापन के उपयोग की आवश्यकता होगी।
और अंत में: फ़ंक्शन $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ का व्युत्पन्न खोजने के लिए, सूत्र $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ फिर से लागू है, जिसमें $u$ और $v$ के बजाय हम क्रमशः $\sin x$ और $\frac(1)(x)$ को प्रतिस्थापित करते हैं। लेकिन $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ को नहीं लिया जाता है, या अधिक सटीक रूप से, प्राथमिक कार्यों की एक सीमित संख्या के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है।
आइए संक्षेप में बताएं: जहां व्युत्पन्न को खोजने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता थी, अभिन्न के लिए चार की आवश्यकता थी (और यह सीमा नहीं है), और बाद के मामले में अभिन्न को खोजने से इनकार कर दिया गया। फ़ंक्शन बदल दिया गया था - एक नई एकीकरण विधि की आवश्यकता थी। यहीं पर हमारे पास संदर्भ पुस्तकों में बहु-पृष्ठ तालिकाएँ होती हैं। एक सामान्य विधि की कमी ("मैन्युअल रूप से हल करने के लिए उपयुक्त") निजी तरीकों की बहुतायत की ओर ले जाती है जो केवल अपने स्वयं के, बेहद सीमित वर्ग के कार्यों को एकीकृत करने के लिए लागू होती हैं (आगे के विषयों में हम इन तरीकों से विस्तार से निपटेंगे)। हालाँकि मैं रिस्क एल्गोरिथम की उपस्थिति पर ध्यान दिए बिना नहीं रह सकता (मैं आपको विकिपीडिया पर विवरण पढ़ने की सलाह देता हूँ), यह केवल अनिश्चितकालीन इंटीग्रल्स के प्रोग्राम प्रोसेसिंग के लिए उपयुक्त है।
प्रश्न 3
लेकिन अगर इनमें से बहुत सारे गुण हैं, तो मैं इंटीग्रल लेना कैसे सीख सकता हूं? डेरिवेटिव के साथ यह आसान था!
किसी व्यक्ति के लिए, अब तक केवल एक ही तरीका है: विभिन्न एकीकरण विधियों का उपयोग करके यथासंभव अधिक से अधिक उदाहरणों को हल करना, ताकि जब एक नया अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग प्रकट हो, तो आप अपने अनुभव के आधार पर इसके लिए एक समाधान विधि चुन सकें। मैं समझता हूं कि उत्तर बहुत आश्वस्त करने वाला नहीं है, लेकिन कोई दूसरा रास्ता नहीं है।
अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण
संपत्ति क्रमांक 1
अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न अभिन्न के बराबर है, अर्थात। $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.
यह गुण बिल्कुल स्वाभाविक है, क्योंकि अभिन्न और व्युत्पन्न परस्पर व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं। उदाहरण के लिए, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ इत्यादि।
संपत्ति क्रमांक 2
किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चित अभिन्न अंग इस फ़ंक्शन के बराबर है, यानी। $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.
आमतौर पर इस संपत्ति को कुछ हद तक कठिन माना जाता है, क्योंकि ऐसा लगता है कि अभिन्न के तहत "कुछ भी नहीं" है। इससे बचने के लिए, आप संकेतित गुण को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ या, यदि आप चाहें, तो इस रूप में: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.
संपत्ति क्रमांक 3
अचर गुणनखंड को पूर्णांक चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है, अर्थात। $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (हम मानते हैं कि $a\neq 0$)।
संपत्ति काफी सरल है और, शायद, टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).
संपत्ति क्रमांक 4
दो फलनों के योग (अंतर) का समाकलन इन फलनों के समाकलन के योग (अंतर) के बराबर होता है:
$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$
उदाहरण: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.
मानक परीक्षणों में, गुण संख्या 3 और संख्या 4 का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, इसलिए हम उन पर अधिक विस्तार से ध्यान देंगे।
उदाहरण संख्या 3
$\int 3 e^x dx$ खोजें।
आइए संपत्ति संख्या 3 का उपयोग करें और स्थिरांक निकालें, अर्थात। संख्या $3$, अभिन्न चिह्न के लिए: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. आइए अब इंटीग्रल्स की तालिका खोलें और $u=x$ को सूत्र संख्या 4 में प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है: $\int e^x dx=e^x+C$। यह इस प्रकार है कि $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. मेरा मानना है कि पाठक के पास तुरंत एक प्रश्न होगा, इसलिए मैं इस प्रश्न को अलग से तैयार करूंगा:
प्रश्न #4
यदि $\int e^x dx=e^x+C$, तो $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! उन्होंने $3e^x+3C$ के बजाय $3e^x+C$ क्यों लिखा?
सवाल बिल्कुल वाजिब है. मुद्दा यह है कि अभिन्न स्थिरांक (यानी वही संख्या $C$) को किसी भी अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है: मुख्य बात यह है कि यह अभिव्यक्ति वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट के माध्यम से "चलती है", यानी। $-\infty$ से $+\infty$ तक भिन्न। उदाहरण के लिए, यदि $-\infty≤ C ≤ +\infty$, तो $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, इसलिए स्थिर $C$ को $\ के रूप में दर्शाया जा सकता है फ़्रेक(सी)(3)$. हम लिख सकते हैं कि $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ और फिर $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कोई विरोधाभास नहीं है, लेकिन अभिन्न स्थिरांक का रूप बदलते समय आपको सावधान रहने की जरूरत है। उदाहरण के लिए, स्थिरांक $C$ को $C^2$ के रूप में प्रस्तुत करना एक त्रुटि होगी। मुद्दा यह है कि $C^2 ≥ 0$, यानी। $C^2$ $-\infty$ से $+\infty$ में नहीं बदलता है और सभी वास्तविक संख्याओं को "चलता" नहीं है। इसी तरह, किसी स्थिरांक को $\sin C$ के रूप में प्रस्तुत करना एक गलती होगी, क्योंकि $-1≤ \sin C ≤ 1$, यानी। $\sin C$ वास्तविक अक्ष के सभी मानों के माध्यम से "चलता" नहीं है। निम्नलिखित में, हम इस मुद्दे पर विस्तार से चर्चा नहीं करेंगे, बल्कि प्रत्येक अनिश्चित अभिन्न अंग के लिए स्थिरांक $C$ लिखेंगे।
उदाहरण संख्या 4
$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$ खोजें।
आइए संपत्ति संख्या 4 का उपयोग करें:
$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$
आइए अब अभिन्न चिह्नों के बाहर स्थिरांकों (संख्याओं) को लें:
$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$
आगे, हम प्रत्येक प्राप्त अभिन्न अंग के साथ अलग से काम करेंगे। पहला अभिन्न, यानी $\int \sin x dx$, संख्या 5 के अंतर्गत अभिन्नों की तालिका में आसानी से पाया जा सकता है। $u=x$ को सूत्र संख्या 5 में प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.
दूसरा इंटीग्रल $\int\frac(dx)(x^2+9)$ खोजने के लिए आपको इंटीग्रल की तालिका से फॉर्मूला नंबर 11 लागू करना होगा। इसमें $u=x$ और $a=3$ को प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+सी$.
और अंत में, $\int x^3dx$ को खोजने के लिए हम तालिका से फॉर्मूला नंबर 1 का उपयोग करते हैं, इसमें $u=x$ और $\alpha=3$ को प्रतिस्थापित करते हैं: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.
अभिव्यक्ति $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ में शामिल सभी इंटीग्रल पाए गए हैं। जो कुछ बचा है वह उन्हें प्रतिस्थापित करना है:
$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3) )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$
समस्या हल हो गई है, उत्तर है: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. मैं इस समस्या में एक छोटा सा नोट जोड़ूंगा:
बस एक छोटा सा नोट
शायद किसी को भी इस प्रविष्टि की आवश्यकता नहीं होगी, लेकिन मैं फिर भी इसका उल्लेख करूंगा $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. वे। $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.
आइए एक उदाहरण देखें जिसमें हम अतार्किकताओं (दूसरे शब्दों में, मूल) को प्रक्षेपित करने के लिए अभिन्नों की तालिका से सूत्र संख्या 1 का उपयोग करते हैं।
उदाहरण क्रमांक 5
$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$ खोजें।
आरंभ करने के लिए, हम वही क्रियाएं करेंगे जो उदाहरण संख्या 3 में हैं, अर्थात्: हम अभिन्न को दो में विघटित करेंगे और स्थिरांक को अभिन्न के संकेतों से परे ले जाएंगे:
$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^ 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$
चूँकि $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, तो $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. इस अभिन्न को खोजने के लिए, हम इसमें $u=x$ और $\alpha=\frac(4)(7)$ को प्रतिस्थापित करते हुए सूत्र संख्या 1 लागू करते हैं: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. यदि आप चाहें, तो आप $\sqrt(x^(11))$ को $x\cdot\sqrt(x^(4))$ के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं, लेकिन यह आवश्यक नहीं है।
आइए अब हम दूसरे अभिन्न अंग की ओर मुड़ें, अर्थात्। $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. चूँकि $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, तो विचाराधीन अभिन्न को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . परिणामी इंटीग्रल को खोजने के लिए, हम इंटीग्रल की तालिका से फॉर्मूला नंबर 1 लागू करते हैं, $u=x$ और $\alpha=-\frac(6)(11)$ को इसमें प्रतिस्थापित करते हैं: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.
प्राप्त परिणामों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें उत्तर मिलता है:
$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$
उत्तर: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.
और अंत में, आइए उस अभिन्न को लें जो अभिन्नों की तालिका के सूत्र संख्या 9 के अंतर्गत आता है। उदाहरण संख्या 6, जिस पर अब हम आगे बढ़ेंगे, उसे दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, लेकिन इस पर बाद के विषयों में चर्चा की जाएगी। अभी के लिए, हम तालिका का उपयोग करने के ढांचे के भीतर रहेंगे।
उदाहरण संख्या 6
$\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$ खोजें।
सबसे पहले, आइए पहले जैसा ही ऑपरेशन करें: स्थिरांक (संख्या $12$) को अभिन्न चिह्न से बाहर ले जाएं:
$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$
परिणामी अभिन्न $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ पहले से ही सारणीबद्ध $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) के करीब है )$ (सूत्र संख्या 9 अभिन्नों की तालिका)। हमारे इंटीग्रल में अंतर यह है कि रूट के नीचे $x^2$ से पहले एक गुणांक $7$ होता है, जिसे टेबल इंटीग्रल अनुमति नहीं देता है। इसलिए, हमें इस सात को मूल चिह्न से आगे ले जाकर इससे छुटकारा पाना होगा:
$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$
यदि हम तालिका इंटीग्रल $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ और $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-) की तुलना करते हैं x^ 2))$ यह स्पष्ट हो जाता है कि उनकी संरचना समान है। केवल इंटीग्रल $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ में $u$ के बजाय $x$ है, और $a^2$ के बजाय वहाँ $\frac (15)(7)$ है। ठीक है, यदि $a^2=\frac(15)(7)$, तो $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. सूत्र $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin में $u=x$ और $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ को प्रतिस्थापित करने पर \ frac(u)(a)+C$, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$
यदि हम उस $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$ को ध्यान में रखते हैं, तो परिणाम को "तीन-कहानी" के बिना फिर से लिखा जा सकता है "अंश:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$
समस्या सुलझ गयी, उत्तर मिल गया.
उत्तर: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.
उदाहरण संख्या 7
$\int\tg^2xdx$ खोजें।
त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करने की विधियाँ हैं। हालाँकि, इस मामले में, आप सरल त्रिकोणमितीय सूत्रों के ज्ञान से काम चला सकते हैं। चूँकि $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, तो $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ दाएं)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. $\sin^2x=1-\cos^2x$ को ध्यान में रखते हुए, हमें मिलता है:
$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$
इस प्रकार, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. परिणामी समाकलन को समाकलों के योग में विस्तारित करने और सारणीबद्ध सूत्रों को लागू करने पर, हमारे पास होगा:
$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$
उत्तर: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.
1. एक चर के कार्यों का अभिन्न कलन
2. प्रतिअवकलन एवं अनिश्चय समाकलन।
3. अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण।
4. अभिन्नों की तालिका
कार्यों के विभेदन का अध्ययन करते समय, कार्य निर्धारित किया गया था - किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, इसका व्युत्पन्न या अंतर ढूंढें। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई प्रश्न किसी दिए गए कार्य के लिए एक व्युत्क्रम समस्या के निर्माण की ओर ले जाते हैं एफ(एक्स)ऐसा फ़ंक्शन ढूंढें एफ(एक्स),जिसका व्युत्पन्न या अंतर क्रमशः बराबर हो एफ(एक्स)या एफ(एक्स)डीएक्स.
परिभाषा 1.समारोह एफ(एक्स)बुलाया antiderivative कार्य के संबंध में एफ(एक्स)कुछ अंतराल पर (ए, बी),यदि इस अंतराल पर फ़ंक्शन एफ(एक्स)अवकलनीय है और समीकरण को संतुष्ट करता है
एफ′ (एक्स) = एफ(एक्स)
या, जो समान है, संबंध
dF(x) = f(x)dx.
तो, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पाप 5 एक्स- फ़ंक्शन के संबंध में किसी भी अंतराल पर प्रतिअवकलन एफ(एक्स) = 5cos5 एक्स, चूंकि (पाप5 एक्स)′ = 5cos5 एक्स.
यह जाँचना आसान है कि एक प्रतिअवकलन की उपस्थिति अनंत सेट में ऐसे कार्यों की उपस्थिति सुनिश्चित करती है। वास्तव में, यदि एफ(एक्स)- फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स), वह
एफ(एक्स) = एफ(एक्स) + सी,
कहाँ साथ- कोई भी स्थिरांक प्रतिअवकलन भी होता है
एफ′( एक्स) = (एफ(एक्स) + सी)′ = एफ′( एक्स) + 0 = एफ(एक्स).
निम्नलिखित प्रमेय इस प्रश्न का उत्तर देता है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव कैसे खोजें, यदि उनमें से एक ज्ञात है।
प्रमेय 1(आदिम के बारे में)। अगर एफ(एक्स) - फ़ंक्शन के कुछ प्रतिअवकलन एफ(एक्स) अंतराल पर ( ए, बी), तो इसके सभी प्रतिअवकलजों का रूप होता है एफ(एक्स) + सी, कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.
ज्यामितीय वाई = एफ(एक्स) + सीइसका मतलब है कि किसी भी एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्राप्त किया जाता है वाई = एफ(एक्स) इसे बस एक राशि द्वारा ओए अक्ष के समानांतर स्थानांतरित करके साथ(तस्वीर देखने)। इस तथ्य के कारण कि कार्य समान है एफ(एक्स) में अपरिमित रूप से अनेक प्रतिअवकलन हैं, ऐसे प्रतिअवकलन को चुनने में समस्या उत्पन्न होती है जो एक या किसी अन्य व्यावहारिक समस्या का समाधान करता है।
यह ज्ञात है कि समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न बिंदु की गति के बराबर है: एस′( टी) = वी(टी), इसलिए, यदि गति परिवर्तन का नियम ज्ञात है वी(टी), किसी बिंदु की गति का पथ उस बिंदु की गति का प्रतिअवकलन है, अर्थात एस(टी) = एफ(टी) +सी.
पथ परिवर्तन का नियम ज्ञात करना अनुसूचित जनजाति)आपको प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने की आवश्यकता है, यानी यह जानना होगा कि तय की गई दूरी कितनी है स0पर टी = टी0. चलो पर टी = टी0हमारे पास है एस = एस0. तब
अनुसूचित जनजाति 0 ) = एस 0 = एफ(टी 0 ) + सी. सी = एस 0 - एफ(टी 0 ) और एस(टी) = एफ(टी) + एस 0 - एफ(टी 0 ).
परिभाषा 2.अगर एफ(एक्स)- फ़ंक्शन के कुछ प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स),फिर अभिव्यक्ति एफ(एक्स) + सी,कहाँ साथ- एक मनमाना स्थिरांक, कहा जाता है अनिश्चितकालीन अभिन्नऔर नामित किया गया है
∫एफ(एक्स)डीएक्स= एफ(एक्स) + सी,
यानी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग एफ(एक्स)इसके सभी आदिमों का एक सेट है।
इस मामले में, फ़ंक्शन एफ(एक्स)बुलाया एकीकृत, और काम एफ(एक्स)डीएक्स- एकीकृत; एफ(एक्स)- प्रोटोटाइप में से एक; एक्स- एकीकरण चर. प्रतिअवकलन खोजने की प्रक्रिया कहलाती है एकीकरण।
उदाहरण 1. अनिश्चित समाकलन ज्ञात कीजिए:
प्रमेय 2(अनिश्चितकालीन अभिन्न का अस्तित्व)। यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)निरंतर चालू (ए, बी) ,तब एक प्रतिअवकलन है, और इसलिए एक अभिन्न ∫ है एफ(एक्स)डीएक्स.
अनिश्चित अभिन्नों के गुण:
1. (∫एफ(एक्स)डीएक्स)′ = एफ(एक्स) , अर्थात अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर है।
2. डी(∫एफ(एक्स)डीएक्स) = एफ(एक्स)डीएक्स, अर्थात अनिश्चित अभिन्न का अंतर समाकलन के बराबर है।
3. ∫डीएफ(एक्स) = एफ(एक्स) + सी.
4. ∫(सी 1 एफ 1(एक्स) + सी 2 एफ 2 (एक्स))डीएक्स= सी 1∫एफ 1(एक्स)डीएक्स+ सी 2∫एफ 2(एक्स)डीएक्स− रैखिकता की संपत्ति; सी1, सी2- स्थायी।
5. यदि ∫ एफ(एक्स)डीएक्स= एफ(एक्स) + सी, वह
पहले तीन गुण अनिश्चितकालीन अभिन्न की परिभाषा से अनुसरण करते हैं। हम समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों के संबंध में अंतर करके गुण 4 और 5 प्राप्त करते हैं एक्स, अभिन्नों की संपत्ति 1 और डेरिवेटिव के गुणों का उपयोग करना।
उदाहरण 2. अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें: a) ∫( पूर्व+cos5 एक्स)डीएक्स.
समाधान। गुण 4 और 5 का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:
आइए हम बुनियादी अभिन्नों की एक तालिका प्रस्तुत करें, जो उच्च गणित में अंकगणित में गुणन तालिका के समान भूमिका निभाती है।
बुनियादी एकीकरण के तरीके
वहाँ तीन हैं मुख्यएकीकरण विधि.
1. प्रत्यक्ष एकीकरण- अभिन्नों की तालिका और अनिश्चितकालीन अभिन्नों के मूल गुणों का उपयोग करके अभिन्नों की गणना।
उदाहरण 3. अभिन्न की गणना करें: ∫ टीजी 2 xdx.
2. प्रतिस्थापन विधि . कई मामलों में, एक नए एकीकरण चर की शुरूआत किसी दिए गए इंटीग्रल की गणना को कम करके सारणीबद्ध खोजने की अनुमति देती है। इस विधि को भी कहा जाता है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि.
प्रमेय 3.कार्य करने दो एक्स = φ(टी)एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित, निरंतर और भिन्न टीजाने देना एक्स- इस फ़ंक्शन के मानों का सेट, उस पर, यानी टीजटिल कार्य परिभाषित एफ(φ(टी)).फिर यदि ∫ एफ(एक्स)डीएक्स= एफ(एक्स)+ सी,वह
∫एफ(एक्स)डीएक्स=∫f(φ(t)) φ ′ (टी)डीटी. (1)
सूत्र (1) को सूत्र कहते हैं एक चर को अनिश्चितकालीन अभिन्न में बदलना।
टिप्पणी।अभिन्न ∫ की गणना करने के बाद f(φ(t)) φ ′ (टी)डीटीआपको वेरिएबल पर वापस जाना होगा एक्स।
उदाहरण 4.अभिन्न खोजें: ∫cos 3 एक्सपाप xdx.
ए) पाप को बदलें xdx(-) पर डीओल एक्स), यानी हम फ़ंक्शन कॉस का परिचय देते हैं एक्सविभेदक चिह्न के अंतर्गत. हम पाते हैं
3. भागों द्वारा एकीकरण की विधि
प्रमेय 4.चलो कार्य करें यू(एक्स)और वी(एक्स)एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित और भिन्न एक्सजाने देना यू′ (एक्स)वी(एक्स)इस अंतराल पर एक प्रतिअवकलन है, यानी एक अभिन्न ∫ है यू′( एक्स)वी(एक्स)डीएक्स.
फिर इस अंतराल पर फ़ंक्शन में एक एंटीडेरिवेटिव और होता है यू(एक्स)वी′ (एक्स)और सूत्र सही है:
∫यू(एक्स)वी′( एक्स)डीएक्स= यू(एक्स)वी(एक्स) −∫वी(एक्स)यू′( एक्स)डीएक्स(2)
∫यूडीवी= पराबैंगनी−∫vdu.(2′)
सूत्र (2) और (2′) कहलाते हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न में भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र।
भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके, निम्नलिखित कार्यों के अभिन्नों की गणना की जाती है: पी(एक्स)आर्क्सिन( कुल्हाड़ी),पी(एक्स)आर्ककोस( कुल्हाड़ी), पी(एक्स)आर्कटजी( कुल्हाड़ी), पी(एक्स)आर्कसीटीजी( कुल्हाड़ी),पी(एक्स)एल.एन एक्स, पी(एक्स)ई केएक्स, पी(एक्स)पाप केएक्स, पी(एक्स)क्योंकि केएक्स, यहाँ पी(एक्स)- बहुपद; ई कुल्हाड़ीओल बीएक्स, ई कुल्हाड़ीपाप बीएक्स.
बेशक, ये फ़ंक्शन उन सभी अभिन्नों को समाप्त नहीं करते हैं जिनकी गणना भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करके की जाती है।
उदाहरण 6.अभिन्न खोजें: ∫ आर्कटग 3xdx.
समाधान। चलो रखो यू= आर्कटग 3एक्स; डीवी= डीएक्स. तब
सूत्र (2) के अनुसार हमारे पास है
चूँकि अब हम केवल अनिश्चितकालीन अभिन्न के बारे में बात करेंगे, संक्षिप्तता के लिए हम "अनिश्चित" शब्द को छोड़ देंगे।
इंटीग्रल्स की गणना कैसे करें (या, जैसा कि वे कहते हैं, फ़ंक्शंस को एकीकृत करें) सीखने के लिए, आपको सबसे पहले इंटीग्रल्स की तालिका सीखने की ज़रूरत है:
तालिका नंबर एक। अभिन्नों की तालिका
|
2.
2ए. 2बी. 2सी. 3.
3ए. 4.
5.
5ए) 6ए. 7.
7ए. |
8.
9.
10.
10:00 पूर्वाह्न। 11.
11अ. 12.
13.
13ए. |
(
),
यू>0.
(α=0);
(α=1);
(α= 
).
इसके अलावा, आपको किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होगी, जिसका अर्थ है कि आपको विभेदन के नियमों और बुनियादी प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका को याद रखने की आवश्यकता है:
तालिका 2. व्युत्पन्न और विभेदीकरण नियमों की तालिका:
 6. a .
|
(पाप और) = क्योंकि और और (क्योंकि) यू) = – पाप और और |
|
हमें किसी फ़ंक्शन का अंतर ढूंढने की क्षमता की भी आवश्यकता है। याद रखें कि फ़ंक्शन का अंतर 
सूत्र द्वारा खोजें 
, अर्थात। किसी फ़ंक्शन का अंतर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उसके तर्क के अंतर के उत्पाद के बराबर है. निम्नलिखित ज्ञात संबंधों को ध्यान में रखना उपयोगी है:
तालिका 3. विभेदक तालिका
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
|
(बी=
कॉन्स्ट)
(
)
(बी=
कॉन्स्ट)
इसके अलावा, इन सूत्रों को बाएँ से दाएँ या दाएँ से बाएँ पढ़कर उपयोग किया जा सकता है।
आइए हम अभिन्न की गणना की तीन मुख्य विधियों पर क्रमिक रूप से विचार करें। उनमें से सबसे पहले कहा जाता है प्रत्यक्ष एकीकरण विधि द्वारा.यह अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों के उपयोग पर आधारित है और इसमें दो मुख्य तकनीकें शामिल हैं: एक पूर्णांक का बीजगणितीय योग में विस्तारसरल और विभेदक चिन्ह की सदस्यता लेना, और इन तकनीकों का उपयोग स्वतंत्र रूप से और संयोजन दोनों में किया जा सकता है।
ए)चलो गौर करते हैं बीजगणितीय योग विस्तार- इस तकनीक में इंटीग्रैंड के समान परिवर्तनों और अनिश्चित इंटीग्रल के रैखिकता गुणों का उपयोग शामिल है: 
और ।
उदाहरण 1। अभिन्न खोजें:
ए)
;
बी)
;
वी)
जी)
डी) 
.
समाधान।
ए)आइए अंश को पद से विभाजित करके समाकलन को रूपांतरित करें:
शक्तियों की संपत्ति का उपयोग यहां किया जाता है: 
.
बी) सबसे पहले, हम भिन्न के अंश को बदलते हैं, फिर हम अंश के पद को हर से विभाजित करते हैं:
डिग्री की संपत्ति का उपयोग यहां भी किया जाता है: 
.
यहाँ प्रयुक्त संपत्ति है: 
,
.
.
तालिका 1 के सूत्र 2 और 5 का उपयोग यहां किया गया है।
उदाहरण 2. अभिन्न खोजें:
ए)
;
बी)
;
वी)
जी)
डी) 
.
समाधान।
ए)आइए त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके इंटीग्रैंड को रूपांतरित करें:
.
यहां हम फिर से तालिका 1 के हर और सूत्र 8 और 9 द्वारा अंश के पद-दर-पद विभाजन का उपयोग करते हैं।
बी) हम पहचान का उपयोग करके समान रूप से परिवर्तन करते हैं 
:
.
ग) सबसे पहले, अंश के पद को हर से विभाजित करें और अचर को पूर्ण चिह्न से बाहर निकालें, फिर त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें 
:
घ) डिग्री कम करने के लिए सूत्र लागू करें:
,
ई) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम रूपांतरित करते हैं:
बी)आइए एकीकरण तकनीक पर विचार करें, जिसे पी कहा जाता है इसे विभेदक चिन्ह के नीचे रखकर. यह तकनीक अनिश्चितकालीन अभिन्न की अपरिवर्तनीय संपत्ति पर आधारित है:
अगर 
, फिर किसी भी भिन्न कार्य के लिए और = और(एक्स) घटित होना: 
.
यह संपत्ति हमें सरल अभिन्नों की तालिका का महत्वपूर्ण रूप से विस्तार करने की अनुमति देती है, क्योंकि इस संपत्ति के कारण तालिका 1 में सूत्र न केवल स्वतंत्र चर के लिए मान्य हैं और, लेकिन उस स्थिति में भी जब औरकिसी अन्य चर का एक अवकलनीय फलन है।
उदाहरण के लिए, 
, लेकिन 
, और 
, और 
.
या 
और 
, और 
.
विधि का सार किसी दिए गए इंटीग्रैंड में एक निश्चित फ़ंक्शन के अंतर को अलग करना है ताकि यह पृथक अंतर, बाकी अभिव्यक्ति के साथ मिलकर, इस फ़ंक्शन के लिए एक सारणीबद्ध सूत्र बना सके। यदि आवश्यक हो, तो ऐसे रूपांतरण के दौरान, स्थिरांक को तदनुसार जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए:
(अंतिम उदाहरण में लिखा गया है ln(3+ एक्स 2) ln|3+ के स्थान पर एक्स 2 | , चूँकि व्यंजक 3+ है एक्स 2 हमेशा सकारात्मक होता है)।
उदाहरण 3.
अभिन्न खोजें:
ए)
;
बी)
; वी)
;
जी)
; डी)
; इ)
;
और)
; एच)
.
समाधान।
ए) .
तालिका 1 के सूत्र 2ए, 5ए और 7ए का उपयोग यहां किया गया है, जिनमें से अंतिम दो को अंतर चिह्न को सम्मिलित करके सटीक रूप से प्राप्त किया गया है:
दृश्य कार्यों को एकीकृत करें 
अधिक जटिल कार्यों के अभिन्नों की गणना के ढांचे के भीतर अक्सर होता है। ऊपर वर्णित चरणों को हर बार न दोहराने के लिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप तालिका 1 में दिए गए संबंधित सूत्रों को याद रखें।
.
तालिका 1 के सूत्र 3 का उपयोग यहां किया गया है।
ग) इसी तरह, इसे ध्यान में रखते हुए, हम रूपांतरित होते हैं:
.
तालिका 1 में फॉर्मूला 2 सी का उपयोग यहां किया गया है।
जी)
.
डी) ;
इ)
.
और) ;
एच)
.
उदाहरण 4. अभिन्न खोजें:
ए)
बी)
वी) 
.
समाधान।
क) आइए परिवर्तन करें:
तालिका 1 के सूत्र 3 का भी यहाँ उपयोग किया गया है।
बी) हम डिग्री कम करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं 
:
तालिका 1 के सूत्र 2ए और 7ए का उपयोग यहां किया गया है।
यहां तालिका 1 के सूत्र 2 और 8 के साथ-साथ तालिका 3 के सूत्रों का भी उपयोग किया गया है: 
,
.
उदाहरण 5. अभिन्न खोजें:
ए) 
;
बी) 
वी) 
; जी) 
.
समाधान।
एक काम 
फ़ंक्शन के अंतर को पूरक किया जा सकता है (तालिका 3 के सूत्र 4 और 5 देखें)। 
, कहाँ एऔर बी- कोई भी स्थिरांक, 
. दरअसल, कहां से 
.
तो हमारे पास हैं:
.
बी) तालिका 3 के सूत्र 6 का उपयोग करते हुए, हमारे पास है 
, और 
, जिसका अर्थ है उत्पाद के इंटीग्रैंड में उपस्थिति 
एक संकेत का मतलब है: अंतर चिह्न के तहत आपको अभिव्यक्ति दर्ज करने की आवश्यकता है 
. इसलिए हमें मिलता है
सी) बिंदु बी के समान), उत्पाद 
विभेदक कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है 
. तब हमें मिलता है:
.
घ) सबसे पहले हम अभिन्न के रैखिकता गुणों का उपयोग करते हैं:
उदाहरण 6. अभिन्न खोजें:
ए)
;
बी)
;
वी)
; जी)
.
समाधान।
ए)ध्यान में रख कर
(तालिका 3 का सूत्र 9), हम रूपांतरित करते हैं:
बी) तालिका 3 के सूत्र 12 का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं
ग) तालिका 3 के सूत्र 11 को ध्यान में रखते हुए, हम रूपांतरित होते हैं
घ) तालिका 3 के सूत्र 16 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
.
उदाहरण 7. अभिन्न खोजें:
ए)
;
बी)
;
वी)
;
जी)
.
समाधान।
ए)इस उदाहरण में प्रस्तुत सभी अभिन्नों में एक सामान्य विशेषता है: समाकलन में एक द्विघात त्रिपद होता है। इसलिए, इन अभिन्नों की गणना करने की विधि एक ही परिवर्तन पर आधारित होगी - इस द्विघात त्रिपद में पूर्ण वर्ग को अलग करना।
.
बी)
.
वी)
जी)
विभेदक चिह्न को प्रतिस्थापित करने की विधि एक अभिन्न की गणना करने की अधिक सामान्य विधि का मौखिक कार्यान्वयन है, जिसे प्रतिस्थापन विधि या चर का परिवर्तन कहा जाता है। दरअसल, हर बार, फ़ंक्शन अंतर चिह्न को सम्मिलित करने के परिणामस्वरूप प्राप्त सूत्र के लिए तालिका 1 में एक उपयुक्त सूत्र का चयन करते हुए, हमने मानसिक रूप से अक्षर को बदल दिया औरफ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत प्रस्तुत किया गया है। इसलिए, यदि अंतर चिह्न को सम्मिलित करके एकीकरण बहुत अच्छी तरह से काम नहीं करता है, तो आप सीधे चर को बदल सकते हैं। इसके बारे में अधिक जानकारी अगले पैराग्राफ में।