निश्चित सेवा. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ। रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें

साथ एनअज्ञात प्रपत्र की एक प्रणाली है:

कहाँ एक आई.जेऔर b i (i=1,…,m; b=1,…,n)- कुछ ज्ञात संख्याएँ, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अज्ञात नंबर. गुणांकों के पदनाम में एक आई.जेअनुक्रमणिका मैंसमीकरण की संख्या निर्धारित करता है, और दूसरा जे- अज्ञात की संख्या जिस पर यह गुणांक स्थित है।

सजातीय प्रणाली -जब सिस्टम के सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों ( बी 1 = बी 2 = … = बी एम = 0), विपरीत स्थिति है विषम प्रणाली.

वर्ग प्रणाली -जब संख्या एमसमीकरण संख्या के बराबर है एनअज्ञात।

सिस्टम समाधान- समग्रता एननंबर सी 1, सी 2, …, सी एन,ऐसा कि सभी का प्रतिस्थापन सी मैंके बजाय एक्स मैंएक प्रणाली में उसके सभी समीकरणों को पहचान में बदल दिया जाता है।

संयुक्त प्रणाली -जब सिस्टम में कम से कम 1 समाधान हो, और असहयोगी व्यवस्थाजब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है.

इस प्रकार की एक संयुक्त प्रणाली (जैसा कि ऊपर दिया गया है, इसे (1) रहने दें) में एक या अधिक समाधान हो सकते हैं।

समाधान सी 1 (1) , सी 2 (1) , …, सी एन (1)और सी 1 (2) , सी 2 (2) , …, सी एन (2)प्रकार (1) की संयुक्त प्रणालियाँ होंगी विभिन्न, जब समानताओं में से 1 भी संतुष्ट न हो:

सी 1 (1) = सी 1 (2) , सी 2 (1) = सी 2 (2) , ..., सी एन (1) = सी एन (2) .

प्रकार (1) की एक संयुक्त प्रणाली होगी निश्चितजब उसके पास केवल एक ही समाधान हो; जब किसी सिस्टम में कम से कम 2 अलग-अलग समाधान होते हैं, तो यह बन जाता है अनिर्धारित. जब अज्ञात से अधिक समीकरण होते हैं, तो सिस्टम होता है नए सिरे से परिभाषित.

अज्ञात के गुणांक एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे गए हैं:

यह कहा जाता है सिस्टम का मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर दिखाई देने वाली संख्याएँ हैं बी 1 ,…,बी एमहैं मुफ़्त सदस्य.

समग्रता एननंबर सी 1 ,…,सी एनइस प्रणाली का एक समाधान है जब प्रणाली के सभी समीकरण उनमें संख्याएँ प्रतिस्थापित करने के बाद समान हो जाते हैं सी 1 ,…,सी एनसंगत अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय, 3 विकल्प सामने आ सकते हैं:

1. सिस्टम के पास केवल एक ही समाधान है।

2. सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। उदाहरण के लिए, . इस प्रणाली का समाधान संख्याओं के वे सभी जोड़े होंगे जो चिह्न में भिन्न हैं।

3. सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है. उदाहरण के लिए...यदि कोई समाधान मौजूद है, तो एक्स 1 + एक्स 2एक ही समय में 0 और 1 के बराबर होगा।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ।

प्रत्यक्ष तरीकेएक एल्गोरिदम दें जिसके द्वारा सटीक समाधान पाया जाता है टूटना(रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली)। और यदि सटीकता पूर्ण होती, तो उन्होंने इसे पा लिया होता। निस्संदेह, एक वास्तविक विद्युत कंप्यूटर एक त्रुटि के साथ संचालित होता है, इसलिए समाधान अनुमानित होगा।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करना निस्संदेह रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण विषय है। गणित की सभी शाखाओं से बड़ी संख्या में समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आती हैं। ये कारक इस लेख का कारण बताते हैं। लेख की सामग्री का चयन और संरचित किया गया है ताकि आप इसकी सहायता से कर सकें

• अपने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए इष्टतम विधि चुनें,
• चुनी गई विधि के सिद्धांत का अध्ययन करें,
• विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत समाधानों पर विचार करके अपने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

लेख सामग्री का संक्षिप्त विवरण.

सबसे पहले, हम सभी आवश्यक परिभाषाएँ, अवधारणाएँ देते हैं और संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है और जिनका एक अद्वितीय समाधान है। सबसे पहले, हम क्रैमर विधि पर ध्यान केंद्रित करेंगे, दूसरे, हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि दिखाएंगे, और तीसरा, हम गॉस विधि (अज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि) का विश्लेषण करेंगे। सिद्धांत को मजबूत करने के लिए, हम निश्चित रूप से कई SLAE को अलग-अलग तरीकों से हल करेंगे।

इसके बाद, हम सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आगे बढ़ेंगे, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या से मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स एकवचन है। आइए हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय तैयार करें, जो हमें SLAEs की अनुकूलता स्थापित करने की अनुमति देता है। आइए मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (यदि वे संगत हैं) का विश्लेषण करें। हम गॉस विधि पर भी विचार करेंगे और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

हम निश्चित रूप से रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की संरचना पर ध्यान देंगे। आइए हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली की अवधारणा दें और दिखाएं कि समाधानों की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके SLAE का सामान्य समाधान कैसे लिखा जाता है। बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

निष्कर्ष में, हम समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे जिन्हें रैखिक में घटाया जा सकता है, साथ ही विभिन्न समस्याओं के समाधान में SLAE उत्पन्न होती हैं।

पेज नेविगेशन.

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

हम फॉर्म के n अज्ञात चर (p, n के बराबर हो सकते हैं) के साथ p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे।

अज्ञात चर, - गुणांक (कुछ वास्तविक या जटिल संख्याएँ), - मुक्त पद (वास्तविक या जटिल संख्याएँ भी)।

रिकॉर्डिंग के इस रूप को SLAE कहा जाता है कोआर्डिनेट.

में मैट्रिक्स फॉर्मसमीकरणों की इस प्रणाली को लिखने का रूप है,
कहाँ - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर का एक कॉलम मैट्रिक्स, - मुक्त शर्तों का एक कॉलम मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n+1)वें कॉलम के रूप में मुक्त पदों का एक मैट्रिक्स-कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली. आमतौर पर, एक विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है, और मुक्त शब्दों के कॉलम को शेष कॉलम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करनाअज्ञात चरों के मानों का एक समूह कहा जाता है जो सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है। अज्ञात चर के दिए गए मानों के लिए मैट्रिक्स समीकरण भी एक पहचान बन जाता है।

यदि समीकरणों की एक प्रणाली का कम से कम एक समाधान हो, तो इसे कहा जाता है संयुक्त.

यदि समीकरणों की एक प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है गैर संयुक्त.

यदि किसी SLAE के पास कोई अद्वितीय समाधान है, तो उसे कॉल किया जाता है निश्चित; यदि एक से अधिक समाधान हो तो - ढुलमुल.

यदि निकाय के सभी समीकरणों के मुक्त पद शून्य के बराबर हैं , फिर सिस्टम को कॉल किया जाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करना।

यदि किसी सिस्टम के समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है और उसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो ऐसे SLAE कहलाएंगे प्राथमिक. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अद्वितीय समाधान होता है, और एक सजातीय प्रणाली के मामले में, सभी अज्ञात चर शून्य के बराबर होते हैं।

हमने हाई स्कूल में ऐसे SLAE का अध्ययन शुरू किया। उन्हें हल करते समय, हमने एक समीकरण लिया, एक अज्ञात चर को अन्य के संदर्भ में व्यक्त किया और इसे शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, फिर अगला समीकरण लिया, अगला अज्ञात चर व्यक्त किया और इसे अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, इत्यादि। या उन्होंने जोड़ विधि का उपयोग किया, यानी, उन्होंने कुछ अज्ञात चर को खत्म करने के लिए दो या दो से अधिक समीकरण जोड़े। हम इन विधियों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, क्योंकि ये अनिवार्य रूप से गॉस विधि के संशोधन हैं।

रैखिक समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियाँ क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि और गॉस विधि हैं। आइए उन्हें सुलझाएं.

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए हमें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अर्थात।

मान लीजिए कि यह सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और - मैट्रिक्स के निर्धारक जो प्रतिस्थापन द्वारा ए से प्राप्त किए जाते हैं पहला, दूसरा, ..., नवाँमुक्त सदस्यों के कॉलम में क्रमशः कॉलम:

इस अंकन के साथ, अज्ञात चर की गणना क्रैमर विधि के सूत्रों का उपयोग करके की जाती है . इस प्रकार क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान पाया जाता है।

उदाहरण।

क्रैमर विधि .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है . आइए इसके निर्धारक की गणना करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

चूँकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है, सिस्टम में एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर विधि द्वारा पाया जा सकता है।

आइए आवश्यक निर्धारकों की रचना और गणना करें (हम मैट्रिक्स ए में पहले कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके निर्धारक प्राप्त करते हैं, दूसरे कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ बदलकर निर्धारक प्राप्त करते हैं, और मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके निर्धारक प्राप्त करते हैं) :

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर ढूँढना :

उत्तर:

क्रैमर विधि का मुख्य नुकसान (यदि इसे नुकसान कहा जा सकता है) निर्धारकों की गणना करने की जटिलता है जब सिस्टम में समीकरणों की संख्या तीन से अधिक होती है।

मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली मैट्रिक्स रूप में दी गई है, जहां मैट्रिक्स ए का आयाम n बटा n है और इसका निर्धारक गैर-शून्य है।

चूँकि, मैट्रिक्स A व्युत्क्रमणीय है, अर्थात व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। यदि हम समानता के दोनों पक्षों को बाईं ओर से गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चर के मैट्रिक्स-स्तंभ को खोजने का एक सूत्र मिलता है। इस प्रकार हमने मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त किया।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें मैट्रिक्स विधि.

समाधान।

आइए समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखें:

क्योंकि

तब SLAE को मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजीय योगों से एक मैट्रिक्स का उपयोग करके एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर के मैट्रिक्स की गणना करने के लिए बनी हुई है मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-कॉलम में (यदि आवश्यक हो, लेख देखें):

उत्तर:

या किसी अन्य संकेतन में x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों का समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

मान लीजिए कि हमें n अज्ञात चर वाले n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने की आवश्यकता है
जिसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

गॉस विधि का सारइसमें अज्ञात चरों का क्रमिक बहिष्करण शामिल है: पहले, x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है, दूसरे से शुरू करके, फिर x 2 को सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है, तीसरे से शुरू करके, और इसी तरह, जब तक कि केवल अज्ञात चर x n न हो जाए अंतिम समीकरण में रहता है. अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने के लिए सिस्टम समीकरणों को बदलने की इस प्रक्रिया को कहा जाता है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. गॉसियन विधि के फॉरवर्ड स्ट्रोक को पूरा करने के बाद, अंतिम समीकरण से x n पाया जाता है, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके, x n-1 की गणना की जाती है, और इसी तरह, पहले समीकरण से x 1 पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.

आइए हम अज्ञात चर को खत्म करने के लिए एल्गोरिदम का संक्षेप में वर्णन करें।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। आइए दूसरे से शुरू करते हुए, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को हटा दें। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां .

यदि हमने सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 को व्यक्त किया होता और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया होता तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, चौथे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, हम अज्ञात x 3 को खत्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ समान रूप से कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से हम गॉसियन विधि का उलटा शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, x n के प्राप्त मान का उपयोग करके हम अंतिम समीकरण से x n-1 पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले समीकरण से x 1 पाते हैं .

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गॉस विधि.

समाधान।

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x 1 को बाहर कर दें। ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों पक्षों में हम पहले समीकरण के संगत भागों को क्रमशः और से गुणा करके जोड़ते हैं:

अब हम तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को जोड़कर, x 2 को इससे गुणा करके हटा देते हैं:

यह गॉस पद्धति का फॉरवर्ड स्ट्रोक पूरा करता है; हम रिवर्स स्ट्रोक शुरू करते हैं।

समीकरणों की परिणामी प्रणाली के अंतिम समीकरण से हम x 3 पाते हैं:

दूसरे समीकरण से हमें प्राप्त होता है।

पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और इस प्रकार गॉस विधि का उलटा पूरा करते हैं।

उत्तर:

एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 0, एक्स 3 = -1।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ।

सामान्य तौर पर, सिस्टम p के समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से मेल नहीं खाती है:

ऐसे SLAE के पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं। यह कथन समीकरणों की प्रणालियों पर भी लागू होता है जिनका मुख्य मैट्रिक्स वर्ग और एकवचन है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने से पहले, इसकी अनुकूलता स्थापित करना आवश्यक है। इस प्रश्न का उत्तर कि SLAE कब संगत है और कब असंगत है क्रोनकर-कैपेली प्रमेय:
n अज्ञात (p, n के बराबर हो सकता है) के साथ p समीकरणों की एक प्रणाली के सुसंगत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, अर्थात , रैंक(ए)=रैंक(टी)।

आइए, एक उदाहरण के रूप में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता निर्धारित करने के लिए क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रैखिक समीकरणों की प्रणाली है समाधान।

समाधान।

. आइए अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि का उपयोग करें। दूसरे क्रम का लघु शून्य से भिन्न. आइए इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के अवयस्कों पर नजर डालें:

चूँकि तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है।

बदले में, विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, क्योंकि अवयस्क तीसरे क्रम का है

शून्य से भिन्न.

इस प्रकार, रंग(ए), इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली असंगत है।

उत्तर:

सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है.

इसलिए, हमने क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके एक प्रणाली की असंगतता स्थापित करना सीख लिया है।

लेकिन यदि किसी SLAE की अनुकूलता स्थापित हो जाए तो उसका समाधान कैसे खोजा जाए?

ऐसा करने के लिए, हमें मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा और मैट्रिक्स की रैंक के बारे में एक प्रमेय की आवश्यकता है।

शून्य से भिन्न, मैट्रिक्स ए के उच्चतम क्रम के लघु को कहा जाता है बुनियादी.

आधार लघु की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका क्रम मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है। एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए के लिए कई आधार लघु हो सकते हैं; हमेशा एक आधार लघु होता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें .

इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं, क्योंकि इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्व पहली और दूसरी पंक्तियों के संबंधित तत्वों का योग हैं।

निम्नलिखित दूसरे क्रम के अवयस्क बुनियादी हैं, क्योंकि वे गैर-शून्य हैं

नाबालिगों बुनियादी नहीं हैं, क्योंकि वे शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय.

यदि क्रम p बटा n के मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर है, तो मैट्रिक्स के सभी पंक्ति (और स्तंभ) तत्व जो चुने हुए आधार को छोटा नहीं बनाते हैं, उन्हें संबंधित पंक्ति (और स्तंभ) बनाने वाले तत्वों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है आधार गौण.

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय हमें क्या बताता है?

यदि, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, हमने सिस्टम की अनुकूलता स्थापित की है, तो हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के किसी भी आधार को चुनते हैं (इसका क्रम r के बराबर है), और सिस्टम से सभी समीकरणों को बाहर कर देते हैं। चयनित आधार को गौण न बनाएं। इस तरह से प्राप्त SLAE मूल समीकरण के बराबर होगा, क्योंकि छोड़े गए समीकरण अभी भी बेमानी हैं (मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के अनुसार, वे शेष समीकरणों का एक रैखिक संयोजन हैं)।

परिणामस्वरूप, सिस्टम के अनावश्यक समीकरणों को त्यागने के बाद, दो मामले संभव हैं।

यदि परिणामी प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो यह निश्चित होगा और इसका एकमात्र समाधान क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा पाया जा सकता है।

उदाहरण।

.

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है, क्योंकि अवयस्क दूसरे क्रम का है शून्य से भिन्न. विस्तारित मैट्रिक्स रैंक यह भी दो के बराबर है, क्योंकि केवल तीसरे क्रम का लघु शून्य है

और ऊपर माना गया दूसरे क्रम का लघु शून्य से भिन्न है। क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली की अनुकूलता का दावा कर सकते हैं, क्योंकि रैंक(ए)=रैंक(टी)=2।

एक आधार के रूप में हम नाबालिग लेते हैं . यह पहले और दूसरे समीकरण के गुणांकों से बनता है:


सिस्टम का तीसरा समीकरण आधार माइनर के निर्माण में भाग नहीं लेता है, इसलिए हम इसे मैट्रिक्स की रैंक पर प्रमेय के आधार पर सिस्टम से बाहर कर देते हैं:


इस प्रकार हमने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की। आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें:


उत्तर:

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2.

यदि परिणामी SLAE में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से कम है, तो समीकरणों के बाईं ओर हम आधार बनाने वाले पदों को छोड़ देते हैं, और शेष शब्दों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं विपरीत चिह्न वाले सिस्टम के समीकरण।

समीकरणों के बाईं ओर शेष अज्ञात चर (उनमें से r) कहलाते हैं मुख्य.

अज्ञात चर (वहाँ n - r टुकड़े हैं) जो दाहिनी ओर हैं, कहलाते हैं मुक्त.

अब हम मानते हैं कि मुक्त अज्ञात चर मनमाना मान ले सकते हैं, जबकि आर मुख्य अज्ञात चर एक अनूठे तरीके से मुक्त अज्ञात चर के माध्यम से व्यक्त किए जाएंगे। उनकी अभिव्यक्ति क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि का उपयोग करके परिणामी SLAE को हल करके पाई जा सकती है।

आइए इसे एक उदाहरण से देखें.

उदाहरण।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें .

समाधान।

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें अवयस्कों को सीमांकित करने की विधि द्वारा। आइए 1 1 = 1 को पहले क्रम के गैर-शून्य लघु के रूप में लें। आइए इस लघु की सीमा से लगे दूसरे क्रम के गैर-शून्य लघु की खोज शुरू करें:


इस प्रकार हमने दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य लघु पाया। आइए तीसरे क्रम के गैर-शून्य सीमा वाले लघु की खोज शुरू करें:


इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक तीन है। विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है, यानी सिस्टम सुसंगत है।

हम तीसरे क्रम के पाए गए गैर-शून्य लघु को आधार के रूप में लेते हैं।

स्पष्टता के लिए, हम उन तत्वों को दिखाते हैं जो आधार बनाते हैं:


हम आधार में शामिल पदों को सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर मामूली छोड़ देते हैं, और बाकी को विपरीत संकेतों के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:


आइए मुक्त अज्ञात चर x 2 और x 5 को मनमाना मान दें, अर्थात हम स्वीकार करते हैं , मनमानी संख्याएँ कहाँ हैं। इस मामले में, SLAE फॉर्म लेगा


आइए हम क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करें:


इस तरह, ।

अपने उत्तर में मुक्त अज्ञात चरों को इंगित करना न भूलें।

उत्तर:

मनमानी संख्याएँ कहाँ हैं.

संक्षेप।

सामान्य रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इसकी संगतता निर्धारित करते हैं। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर नहीं है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम असंगत है।

यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, तो हम एक आधार माइनर का चयन करते हैं और सिस्टम के समीकरणों को त्याग देते हैं जो चयनित आधार माइनर के निर्माण में भाग नहीं लेते हैं।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो SLAE के पास एक अद्वितीय समाधान है, जिसे हमें ज्ञात किसी भी विधि द्वारा पाया जा सकता है।

यदि आधार लघु का क्रम अज्ञात चर की संख्या से कम है, तो सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर हम मुख्य अज्ञात चर के साथ शर्तों को छोड़ देते हैं, शेष शर्तों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और मनमाना मान देते हैं मुक्त अज्ञात चर। रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली से हम क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि का उपयोग करके मुख्य अज्ञात चर पाते हैं।

सामान्य रूप के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

गॉस विधि का उपयोग किसी भी प्रकार के रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को पहले स्थिरता के लिए परीक्षण किए बिना हल करने के लिए किया जा सकता है। अज्ञात चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया SLAE की अनुकूलता और असंगति दोनों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो उसे ढूंढना संभव बनाती है।

कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से, गाऊसी पद्धति बेहतर है।

सामान्य रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि लेख में इसका विस्तृत विवरण और विश्लेषण किए गए उदाहरण देखें।

समाधानों की मौलिक प्रणाली के सदिशों का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के लिए एक सामान्य समाधान लिखना।

इस अनुभाग में हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक साथ सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के बारे में बात करेंगे जिनके समाधानों की संख्या अनंत है।

आइए सबसे पहले सजातीय प्रणालियों से निपटें।

समाधान की मौलिक प्रणाली n अज्ञात चर के साथ p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली इस प्रणाली के (n - r) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का एक संग्रह है, जहां r प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के आधार नाबालिग का क्रम है।

यदि हम एक सजातीय SLAE के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों को X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, 1) द्वारा, तो इस सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को मनमाने ढंग से निरंतर गुणांक सी 1, सी 2, ..., सी (एन-आर) के साथ समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है, अर्थात।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (ओरोस्लाउ) की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान शब्द का क्या अर्थ है?

अर्थ सरल है: सूत्र मूल SLAE के सभी संभावित समाधान निर्दिष्ट करता है, दूसरे शब्दों में, मनमाना स्थिरांक C 1, C 2, ..., C (n-r) के मानों के किसी भी सेट को लेते हुए, सूत्र का उपयोग करके हम करेंगे मूल सजातीय SLAE के समाधानों में से एक प्राप्त करें।

इस प्रकार, यदि हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली पाते हैं, तो हम इस सजातीय SLAE के सभी समाधानों को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं।

आइए हम एक सजातीय SLAE के समाधान की एक मौलिक प्रणाली के निर्माण की प्रक्रिया दिखाएं।

हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली के आधार माइनर का चयन करते हैं, सिस्टम से अन्य सभी समीकरणों को बाहर करते हैं और मुक्त अज्ञात चर वाले सभी शब्दों को विपरीत संकेतों के साथ सिस्टम समीकरणों के दाहिने तरफ स्थानांतरित करते हैं। आइए मुक्त अज्ञात चर को 1,0,0,...,0 मान दें और किसी भी तरह से रैखिक समीकरणों की परिणामी प्राथमिक प्रणाली को हल करके मुख्य अज्ञात की गणना करें, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि का उपयोग करके। इसका परिणाम X (1) होगा - मौलिक प्रणाली का पहला समाधान। यदि हम मुक्त अज्ञात को 0,1,0,0,…,0 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (2) मिलता है। और इसी तरह। यदि हम मुक्त अज्ञात चरों को 0.0,…,0.1 मान निर्दिष्ट करते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (n-r) प्राप्त होता है। इस प्रकार, एक सजातीय SLAE के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण किया जाएगा और इसके सामान्य समाधान को फॉर्म में लिखा जा सकता है।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की अमानवीय प्रणालियों के लिए, सामान्य समाधान को फॉर्म में दर्शाया जाता है, जहां संबंधित सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान होता है, और मूल अमानवीय SLAE का विशेष समाधान होता है, जिसे हम मुक्त अज्ञात मान देकर प्राप्त करते हैं। ​0,0,...,0 और मुख्य अज्ञात के मानों की गणना करना।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण।

समाधानों की मौलिक प्रणाली और रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें .

समाधान।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक हमेशा विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर होती है। आइए सीमांत अवयस्कों की विधि का उपयोग करके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। पहले क्रम के गैर-शून्य लघु के रूप में, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का तत्व 1 1 = 9 लेते हैं। आइए दूसरे क्रम का सीमावर्ती गैर-शून्य लघु खोजें:

शून्य से भिन्न दूसरे क्रम का एक अवयस्क पाया गया है। आइए गैर-शून्य की तलाश में इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के अवयस्कों के बारे में जानें:

सभी तीसरे क्रम के सीमावर्ती अवयस्क शून्य के बराबर हैं, इसलिए, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है। चलो ले लो । स्पष्टता के लिए, आइए सिस्टम के उन तत्वों पर ध्यान दें जो इसे बनाते हैं:

मूल SLAE का तीसरा समीकरण आधार नाबालिग के निर्माण में भाग नहीं लेता है, इसलिए, इसे बाहर रखा जा सकता है:

हम मुख्य अज्ञात वाले पदों को समीकरणों के दाईं ओर छोड़ देते हैं, और मुक्त अज्ञात वाले पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम रैखिक समीकरणों की मूल सजातीय प्रणाली के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें। इस SLAE के समाधान की मूल प्रणाली में दो समाधान शामिल हैं, क्योंकि मूल SLAE में चार अज्ञात चर हैं, और इसके आधार नाबालिग का क्रम दो के बराबर है। X (1) को खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को x 2 = 1, x 4 = 0 मान देते हैं, फिर हम समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
.

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग के लिए आर्थिक क्षेत्र में समीकरणों की प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्गों (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

जनसंख्या आकार ज्ञात करने की समस्याओं को हल करते समय समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरण हैं जिनके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा अनुक्रम जिसके लिए सभी समीकरण सच्ची समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध कर देते हैं कि अनुक्रम का अस्तित्व ही नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं जिनका मान पाया जाना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
किसी समीकरण को प्लॉट करके हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखेगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद के समाधान हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल उदाहरण दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली माने जाते हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फ़ंक्शन हैं और (x, y) फ़ंक्शन वेरिएबल हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - इसका मतलब उन मानों (x, y) को ढूंढना है जिन पर सिस्टम वास्तविक समानता में बदल जाता है या यह स्थापित करना कि x और y के उपयुक्त मान मौजूद नहीं हैं।

मानों की एक जोड़ी (x, y), जिसे एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में लिखा जाता है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम में एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान मौजूद नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ वे प्रणालियाँ हैं जिनका दाहिना पक्ष शून्य के बराबर है। यदि समान चिह्न के बाद दाएँ भाग का कोई मान हो या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया हो, तो ऐसी प्रणाली विषमांगी होती है।

चरों की संख्या दो से कहीं अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

जब सिस्टम का सामना होता है, तो स्कूली बच्चे यह मान लेते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या से मेल खानी चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है; उनमें से जितनी चाहें उतनी हो सकती हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक विधि नहीं है; सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूली गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधियों, गाऊसी विधि द्वारा समाधान जैसे तरीकों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

समाधान विधियों को पढ़ाते समय मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही ढंग से विश्लेषण कैसे किया जाए और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम कैसे खोजा जाए। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और कार्यों की एक प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि एक विशेष विधि का उपयोग करने के सिद्धांतों को समझना है

7वीं कक्षा के सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना काफी सरल है और बहुत विस्तार से समझाया गया है। किसी भी गणित की पाठ्यपुस्तक में इस अनुभाग पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षा के पहले वर्षों में गॉस और क्रैमर पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करने का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना है। अभिव्यक्ति को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर वाले रूप में घटा दिया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके कक्षा 7 के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर x को F(X) = 7 + Y के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, X के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, दूसरे समीकरण में एक चर Y प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण को हल करना आसान है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मानों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और चर को दूसरे अज्ञात के रूप में व्यक्त करना आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगा। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात हों, तो प्रतिस्थापन द्वारा हल करना भी अनुचित है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग कर समाधान

जोड़ विधि का उपयोग करके सिस्टम के लिए समाधान खोजते समय, समीकरणों को शब्द दर शब्द जोड़ा जाता है और विभिन्न संख्याओं से गुणा किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर में एक समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चर होने पर जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव हों तो बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

समाधान एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को एक निश्चित संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय संक्रिया के परिणामस्वरूप, चर का एक गुणांक 1 के बराबर हो जाना चाहिए।
2. परिणामी अभिव्यक्ति को पद दर पद जोड़ें और अज्ञात में से एक खोजें।
3. शेष चर ज्ञात करने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर प्रस्तुत करके समाधान की विधि

यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता नहीं है तो एक नया चर पेश किया जा सकता है; अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का उपयोग एक नए चर को प्रस्तुत करके समीकरणों में से एक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। प्रस्तुत अज्ञात के लिए नया समीकरण हल किया जाता है, और परिणामी मान का उपयोग मूल चर निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को एक मानक द्विघात ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विवेचक ज्ञात करके बहुपद को हल कर सकते हैं।

प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहां D वांछित विवेचक है, b, a, c बहुपद के गुणनखंड हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से अधिक है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विभेदक शून्य से कम है, तो एक समाधान है: x = -b / 2*a.

परिणामी प्रणालियों का समाधान जोड़ विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए दृश्य विधि

3 समीकरण प्रणालियों के लिए उपयुक्त। इस विधि में निर्देशांक अक्ष पर सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ बनाना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक प्रणाली का सामान्य समाधान होंगे।

ग्राफ़िकल विधि में कई बारीकियाँ हैं। आइए दृश्यात्मक तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरण देखें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ़ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु सिस्टम का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और अपनी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 की प्रणालियाँ समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान भिन्न हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि किसी सिस्टम में समाधान है या नहीं; एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिक्स का उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n - पंक्तियाँ और m - कॉलम हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। मैट्रिक्स-वेक्टर एक कॉलम का मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियों की असीमित संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसे गुणा करने पर मूल मैट्रिक्स एक इकाई मैट्रिक्स में बदल जाता है; ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को मैट्रिक्स संख्याओं के रूप में लिखा जाता है; एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य नहीं है। अत: यदि किसी समीकरण में चरों की संख्या भिन्न हो तो लुप्त अज्ञात के स्थान पर शून्य डालना आवश्यक है।

मैट्रिक्स कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहले, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

किसी मैट्रिक्स को गुणा करते समय, मैट्रिक्स के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहां K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, और |K| मैट्रिक्स का निर्धारक है. |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए निर्धारक की गणना आसानी से की जाती है; आपको बस विकर्ण तत्वों को एक-दूसरे से गुणा करना होगा। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि काम में स्तंभों की संख्या और तत्वों की पंक्तियों की पुनरावृत्ति न हो।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि आपको बड़ी संख्या में चर और समीकरणों वाले सिस्टम को हल करते समय बोझिल प्रविष्टियों को कम करने की अनुमति देती है।

उदाहरण में, a nm समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त पद हैं।

गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

उच्च गणित में, गॉसियन विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम के समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर खोजने के लिए किया जाता है।

गॉस विधि प्रतिस्थापन और बीजगणितीय जोड़ द्वारा समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूली पाठ्यक्रम में, गॉसियन विधि द्वारा समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों की प्रणालियों के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य सिस्टम को एक उल्टे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में कम करना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापनों के माध्यम से, सिस्टम के समीकरणों में से एक चर का मान पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, जबकि 3 और 4 क्रमशः 3 और 4 चर के साथ हैं।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, आगे का समाधान सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के अनुक्रमिक प्रतिस्थापन तक कम हो जाता है।

ग्रेड 7 के लिए स्कूली पाठ्यपुस्तकों में, गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) पर दो समीकरण प्राप्त हुए: 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7। किसी भी समीकरण को हल करने से आप किसी एक चर x n का पता लगा सकेंगे।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, बताता है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष समीकरण से बदल दिया जाता है, तो परिणामी सिस्टम भी मूल के बराबर होगा।

मध्य विद्यालय के छात्रों के लिए गॉसियन पद्धति को समझना कठिन है, लेकिन यह गणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत शिक्षण कार्यक्रमों में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।

रिकॉर्डिंग में आसानी के लिए, गणनाएँ आमतौर पर निम्नानुसार की जाती हैं:

समीकरणों और मुक्त पदों के गुणांक एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या दर्शाते हैं।

सबसे पहले, जिस मैट्रिक्स पर काम करना है उसे लिखें, फिर किसी एक पंक्ति के साथ की गई सभी कार्रवाइयां लिखें। परिणामी मैट्रिक्स को "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन जारी रखा जाता है।

नतीजा एक मैट्रिक्स होना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 के बराबर है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, यानी, मैट्रिक्स एक इकाई रूप में कम हो गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह रिकॉर्डिंग विधि कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देती है।

किसी भी समाधान पद्धति के निःशुल्क उपयोग के लिए देखभाल और कुछ अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी विधियाँ व्यावहारिक प्रकृति की नहीं होतीं। समाधान खोजने के कुछ तरीके मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए मौजूद हैं।

पाठ सामग्री

दो चरों में रैखिक समीकरण

एक स्कूली बच्चे के पास स्कूल में दोपहर का खाना खाने के लिए 200 रूबल हैं। एक केक की कीमत 25 रूबल और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। आप 200 रूबल में कितने केक और कप कॉफी खरीद सकते हैं?

आइए केक की संख्या को इससे निरूपित करें एक्स, और कॉफ़ी के कपों की संख्या य. फिर केक की कीमत अभिव्यक्ति 25 द्वारा निरूपित की जाएगी एक्स, और कॉफी के कप की कीमत 10 य .

25एक्स-कीमत एक्सकेक
10य -कीमत यकॉफी के कप

कुल राशि 200 रूबल होनी चाहिए। तब हमें दो चर वाला एक समीकरण मिलता है एक्सऔर य

25एक्स+ 10य= 200

इस समीकरण के कितने मूल हैं?

यह सब छात्र की भूख पर निर्भर करता है। यदि वह 6 केक और 5 कप कॉफी खरीदता है, तो समीकरण की जड़ें संख्या 6 और 5 होंगी।

मान 6 और 5 की जोड़ी को समीकरण 25 की जड़ें कहा जाता है एक्स+ 10य= 200 . (6; 5) के रूप में लिखा गया है, जिसमें पहला नंबर चर का मान है एक्स, और दूसरा - चर का मान य .

6 और 5 ही एकमात्र मूल नहीं हैं जो समीकरण 25 को उलट देते हैं एक्स+ 10य= 200 से पहचान। यदि वांछित है, तो उसी 200 रूबल के लिए एक छात्र 4 केक और 10 कप कॉफी खरीद सकता है:

इस मामले में, समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मानों की एक जोड़ी है (4; 10)।

इसके अलावा, एक स्कूली बच्चा कॉफी बिल्कुल नहीं खरीद सकता है, लेकिन पूरे 200 रूबल के लिए केक खरीद सकता है। फिर समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मान 8 और 0 होंगे

या इसके विपरीत, केक न खरीदें, बल्कि पूरे 200 रूबल की कॉफी खरीदें। फिर समीकरण 25 की जड़ें एक्स+ 10य= 200 मान 0 और 20 होंगे

आइए समीकरण 25 की सभी संभावित जड़ों को सूचीबद्ध करने का प्रयास करें एक्स+ 10य= 200 . आइए मान लें कि मूल्य एक्सऔर यपूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित हैं। और इन मानों को शून्य से अधिक या उसके बराबर होने दें:

एक्स∈जेड, वाई∈ जेड;
एक्स ≥ 0, य ≥ 0

इससे विद्यार्थी को स्वयं सुविधा होगी। उदाहरण के लिए, कई पूरे केक और आधे केक की तुलना में पूरा केक खरीदना अधिक सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, कई पूरे कप और आधा कप की तुलना में पूरे कप में कॉफी लेना अधिक सुविधाजनक है।

ध्यान दें कि विषम के लिए एक्सकिसी भी परिस्थिति में समानता प्राप्त करना असंभव है य. फिर मान एक्सनिम्नलिखित संख्याएँ 0, 2, 4, 6, 8 होंगी। और जानना एक्सआसानी से निर्धारित किया जा सकता है य

इस प्रकार, हमें मूल्यों के निम्नलिखित जोड़े प्राप्त हुए (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). ये जोड़े समीकरण 25 के समाधान या मूल हैं एक्स+ 10य= 200. वे इस समीकरण को एक पहचान में बदल देते हैं।

रूप का समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा = सीबुलाया दो चरों वाला रैखिक समीकरण. इस समीकरण का हल या मूल मानों का एक युग्म है ( एक्स; य), जो इसे पहचान में बदल देता है।

यह भी ध्यान दें कि यदि दो चर वाले एक रैखिक समीकरण को फॉर्म में लिखा जाता है कुल्हाड़ी + बी वाई = सी ,तो कहते हैं इसमें लिखा है कैनन का(सामान्य) रूप.

दो चर वाले कुछ रैखिक समीकरणों को विहित रूप में घटाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 2(16एक्स+ 3य − 4) = 2(12 + 8एक्स − य) मन में लाया जा सकता है कुल्हाड़ी + द्वारा = सी. आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों के कोष्ठक खोलें और प्राप्त करें 32एक्स + 6य − 8 = 24 + 16एक्स − 2य . हम अज्ञात वाले पदों को समीकरण के बाईं ओर समूहित करते हैं, और अज्ञात से मुक्त पदों को दाईं ओर समूहित करते हैं। फिर हमें मिलता है 32x− 16एक्स+ 6य+ 2य = 24 + 8 . हम दोनों पक्षों में समान पद प्रस्तुत करते हैं, हमें समीकरण 16 मिलता है एक्स+ 8य= 32. इस समीकरण को इस रूप में घटाया गया है कुल्हाड़ी + द्वारा = सीऔर विहित है.

समीकरण 25 पर पहले चर्चा की गई एक्स+ 10य= 200 भी विहित रूप में दो चर वाला एक रैखिक समीकरण है। इस समीकरण में पैरामीटर ए , बीऔर सीमान क्रमशः 25, 10 और 200 के बराबर हैं।

दरअसल समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा = सीअनगिनत समाधान हैं. समीकरण हल करना 25एक्स+ 10य= 200, हमने इसके मूलों को केवल पूर्णांकों के समुच्चय पर खोजा। परिणामस्वरूप, हमें मूल्यों के कई जोड़े प्राप्त हुए जिन्होंने इस समीकरण को एक पहचान में बदल दिया। लेकिन परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर, समीकरण 25 एक्स+ 10य= 200 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

मानों के नए जोड़े प्राप्त करने के लिए, आपको एक मनमाना मान लेने की आवश्यकता है एक्स, फिर व्यक्त करें य. उदाहरण के लिए, आइए वेरिएबल को लें एक्समान 7. तब हमें एक चर वाला एक समीकरण मिलता है 25×7 + 10य= 200 जिसमें कोई भी व्यक्त कर सकता है य

होने देना एक्स= 15. फिर समीकरण 25एक्स+ 10य= 200, 25 × 15 हो जाता है + 10य= 200. यहीं से हमें वह मिलता है य = −17,5

होने देना एक्स= −3 . फिर समीकरण 25एक्स+ 10य= 200, 25 × (−3) हो जाता है + 10य= 200. यहीं से हमें वह मिलता है य = −27,5

दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली

समीकरण के लिए कुल्हाड़ी + द्वारा = सीआप जितनी बार चाहें मनमाना मान ले सकते हैं एक्सऔर इसके लिए मान खोजें य. अलग से लेने पर, ऐसे समीकरण के अनगिनत समाधान होंगे।

लेकिन ऐसा भी होता है कि चर एक्सऔर यएक नहीं, बल्कि दो समीकरणों से जुड़ा है। इस मामले में वे तथाकथित बनाते हैं दो चरों में रैखिक समीकरणों की प्रणाली. समीकरणों की ऐसी प्रणाली में मूल्यों की एक जोड़ी (या दूसरे शब्दों में: "एक समाधान") हो सकती है।

ऐसा भी हो सकता है कि सिस्टम के पास कोई समाधान ही न हो. दुर्लभ और असाधारण मामलों में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के अनगिनत समाधान हो सकते हैं।

दो रैखिक समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं जब मान एक्सऔर यइनमें से प्रत्येक समीकरण में प्रवेश करें।

आइए पहले समीकरण 25 पर वापस जाएँ एक्स+ 10य= 200 . इस समीकरण के मानों के युग्मों में से एक युग्म (6; 5) था। यह ऐसा मामला है जब 200 रूबल के लिए आप 6 केक और 5 कप कॉफी खरीद सकते हैं।

आइए समस्या तैयार करें ताकि जोड़ी (6; 5) समीकरण 25 का एकमात्र समाधान बन जाए एक्स+ 10य= 200 . ऐसा करने के लिए, आइए एक और समीकरण बनाएं जो इसे जोड़ेगा एक्सकेक और यकॉफी के कप।

आइए हम समस्या का पाठ इस प्रकार बताएं:

“छात्र ने 200 रूबल के लिए कई केक और कई कप कॉफी खरीदी। एक केक की कीमत 25 रूबल और एक कप कॉफी की कीमत 10 रूबल है। यदि यह ज्ञात हो कि केक की संख्या कॉफ़ी के कप की संख्या से एक इकाई अधिक है, तो छात्र ने कितने केक और कॉफी के कप खरीदे?

हमारे पास पहले से ही पहला समीकरण है। यह समीकरण 25 है एक्स+ 10य= 200 . आइए अब स्थिति के लिए एक समीकरण बनाएं "केक की संख्या कॉफी के कप की संख्या से एक इकाई अधिक है" .

केक की संख्या है एक्स, और कॉफ़ी के कप की संख्या है य. आप इस वाक्यांश को समीकरण का उपयोग करके लिख सकते हैं x−y= 1. इस समीकरण का मतलब होगा कि केक और कॉफी के बीच का अंतर 1 है।

एक्स = वाई+ 1 . इस समीकरण का मतलब है कि केक की संख्या कॉफी के कप की संख्या से एक अधिक है। इसलिए, समानता प्राप्त करने के लिए, कॉफ़ी के कपों की संख्या में एक जोड़ा जाता है। इसे आसानी से समझा जा सकता है यदि हम तराजू के उस मॉडल का उपयोग करें जिस पर हमने सबसे सरल समस्याओं का अध्ययन करते समय विचार किया था:

हमें दो समीकरण मिले: 25 एक्स+ 10य= 200 और एक्स = वाई+ 1. मूल्यों के बाद से एक्सऔर य, अर्थात् इनमें से प्रत्येक समीकरण में 6 और 5 शामिल हैं, फिर वे मिलकर एक प्रणाली बनाते हैं। आइए इस प्रणाली को लिखें। यदि समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, तो उन्हें सिस्टम चिह्न द्वारा तैयार किया जाता है। सिस्टम प्रतीक एक घुंघराले ब्रेस है:

आइए इस प्रणाली को हल करें। यह हमें यह देखने की अनुमति देगा कि हम 6 और 5 के मूल्यों पर कैसे पहुंचते हैं। ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कई तरीके हैं। आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर नजर डालें।

प्रतिस्थापन विधि

इस विधि का नाम ही बहुत कुछ कहता है। इसका सार एक चर को पहले से व्यक्त करके, एक समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करना है।

हमारे सिस्टम में कुछ भी व्यक्त करने की जरूरत नहीं है. दूसरे समीकरण में एक्स = य+ 1 चर एक्सपहले ही व्यक्त किया जा चुका है। यह चर अभिव्यक्ति के बराबर है य+ 1 . फिर आप इस अभिव्यक्ति को चर के बजाय पहले समीकरण में रख सकते हैं एक्स

अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने के बाद यइसके बजाय पहले समीकरण में + 1 एक्स, हमें समीकरण मिलता है 25(य+ 1) + 10य= 200 . यह एक चर वाला एक रैखिक समीकरण है। इस समीकरण को हल करना काफी आसान है:

हमने वेरिएबल का मान पाया य. आइए अब इस मान को किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापित करें और मान ज्ञात करें एक्स. इसके लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स = य+ 1 . आइए इसमें मान को प्रतिस्थापित करें य

इसका मतलब यह है कि जोड़ी (6; 5) समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है, जैसा कि हमारा इरादा था। हम जांच करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि जोड़ी (6; 5) सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 2

आइए पहले समीकरण को प्रतिस्थापित करें एक्स= 2 + यदूसरे समीकरण में 3 x− 2य= 9. पहले समीकरण में चर एक्सअभिव्यक्ति 2 + के बराबर य. आइए इस अभिव्यक्ति को इसके बजाय दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें एक्स

आइए अब मूल्य ज्ञात करें एक्स. ऐसा करने के लिए, आइए मान को प्रतिस्थापित करें यपहले समीकरण में एक्स= 2 + य

इसका मतलब है कि सिस्टम का समाधान जोड़ी मान (5; 3) है

उदाहरण 3. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यहां, पिछले उदाहरणों के विपरीत, किसी एक चर को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया गया है।

एक समीकरण को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, आपको सबसे पहले इसकी आवश्यकता है।

उस चर को व्यक्त करना उचित है जिसका गुणांक एक हो। चर का गुणांक एक है एक्स, जो पहले समीकरण में निहित है एक्स+ 2य= 11. आइए इस चर को व्यक्त करें।

परिवर्तनशील अभिव्यक्ति के बाद एक्स, हमारा सिस्टम निम्नलिखित रूप लेगा:

आइए अब पहले समीकरण को दूसरे समीकरण में बदलें और मान ज्ञात करें य

आइए स्थानापन्न करें य एक्स

इसका मतलब है कि सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (3; 4)

बेशक, आप एक वेरिएबल भी व्यक्त कर सकते हैं य. इससे जड़ें नहीं बदलेंगी. लेकिन अगर आप व्यक्त करते हैं हाँ,नतीजा कोई बहुत सरल समीकरण नहीं है, जिसे हल करने में ज़्यादा समय लगेगा. यह इस तरह दिखेगा:

हम देखते हैं कि इस उदाहरण में हम व्यक्त करते हैं एक्सव्यक्त करने से कहीं अधिक सुविधाजनक य .

उदाहरण 4. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए पहले समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

य

आइए स्थानापन्न करें यपहले समीकरण में और खोजें एक्स. आप मूल समीकरण 7 का उपयोग कर सकते हैं एक्स+ 9य= 8, या उस समीकरण का उपयोग करें जिसमें चर व्यक्त किया गया है एक्स. हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे क्योंकि यह सुविधाजनक है:

इसका मतलब है कि सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (5; −3)

जोड़ विधि

जोड़ विधि में सिस्टम में शामिल समीकरणों को पद दर पद जोड़ना शामिल है। इस जोड़ के परिणामस्वरूप एक चर के साथ एक नया समीकरण बनता है। और ऐसे समीकरण को हल करना काफी सरल है।

आइए समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष के साथ जोड़ें। और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। हमें निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है:

आइए समान शब्दों पर नजर डालें:

परिणामस्वरूप, हमें सबसे सरल समीकरण 3 प्राप्त हुआ एक्स= 27 जिसका मूल 9 है। मान जानना एक्सआप मूल्य पा सकते हैं य. आइए मान को प्रतिस्थापित करें एक्सदूसरे समीकरण में x−y= 3 . हमें 9 मिलता है − य= 3 . यहाँ से य= 6 .

इसका मतलब है कि सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (9; 6)

उदाहरण 2

आइए पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष के साथ जोड़ें। और पहले समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष के साथ। परिणामी समानता में हम समान पद प्रस्तुत करते हैं:

परिणामस्वरूप, हमें सबसे सरल समीकरण 5 प्राप्त हुआ एक्स= 20, जिसका मूल 4 है। मान जानना एक्सआप मूल्य पा सकते हैं य. आइए मान को प्रतिस्थापित करें एक्सपहले समीकरण 2 में x+y= 11. आइए 8+ प्राप्त करें य= 11. यहाँ से य= 3 .

इसका मतलब है कि सिस्टम का समाधान मानों की एक जोड़ी है (4;3)

जोड़ने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन नहीं किया गया है। इसे मानसिक रूप से करना होगा. जोड़ते समय, दोनों समीकरणों को विहित रूप में घटाया जाना चाहिए। यानी एसी + द्वारा = सी .

विचार किए गए उदाहरणों से, यह स्पष्ट है कि समीकरण जोड़ने का मुख्य उद्देश्य किसी एक चर से छुटकारा पाना है। लेकिन जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को तुरंत हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, सिस्टम को पहले उस रूप में लाया जाता है जिसमें इस सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ा जा सके।

उदाहरण के लिए, सिस्टम जोड़ कर तुरंत हल किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को जोड़ते समय, पद यऔर -yलुप्त हो जायेंगे क्योंकि उनका योग शून्य है। परिणामस्वरूप, सबसे सरल समीकरण 11 बनता है एक्स= 22, जिसका मूल 2 है। तब यह निर्धारित करना संभव होगा य 5 के बराबर.

और समीकरणों की प्रणाली जोड़ विधि को तुरंत हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे किसी एक चर का लोप नहीं होगा। जोड़ से समीकरण 8 प्राप्त होगा एक्स+ य= 28, जिसके अनंत संख्या में समाधान हैं।

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, जो शून्य के बराबर नहीं है, तो आपको दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है। यह नियम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए भी सत्य है। किसी एक समीकरण (या दोनों समीकरण) को किसी भी संख्या से गुणा किया जा सकता है। परिणाम एक समतुल्य प्रणाली होगी, जिसकी जड़ें पिछले वाले से मेल खाएँगी।

आइए सबसे पहले सिस्टम पर लौटते हैं, जिसमें बताया गया था कि एक स्कूली बच्चे ने कितने केक और कप कॉफी खरीदी। इस प्रणाली का समाधान मूल्यों की एक जोड़ी थी (6; 5)।

आइए इस प्रणाली में शामिल दोनों समीकरणों को कुछ संख्याओं से गुणा करें। मान लीजिए कि हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं

परिणामस्वरूप, हमें एक प्रणाली मिली
इस प्रणाली का समाधान अभी भी मूल्यों की जोड़ी है (6; 5)

इसका मतलब यह है कि सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़ विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त रूप में घटाया जा सकता है।

आइए सिस्टम पर वापस लौटें जिसे हम योग विधि से हल नहीं कर सके।

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को -2 से गुणा करें

तब हमें निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

आइए इस प्रणाली में शामिल समीकरणों को जोड़ें। घटकों को जोड़ना 12 एक्सऔर −12 एक्सपरिणाम 0 होगा, जोड़ 18 होगा यऔर 4 य 22 देंगे य, और 108 और −20 जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। तब हमें समीकरण 22 प्राप्त होता है य= 88, यहाँ से य = 4 .

यदि शुरुआत में आपके दिमाग में समीकरण जोड़ना कठिन है, तो आप लिख सकते हैं कि पहले समीकरण का बायाँ पक्ष दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष के साथ कैसे जुड़ता है, और पहले समीकरण का दायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के साथ कैसे जुड़ता है। दूसरा समीकरण:

यह जानते हुए कि चर का मान क्या है य 4 के बराबर है, आप मान पा सकते हैं एक्स. आइए स्थानापन्न करें यकिसी एक समीकरण में, उदाहरण के लिए पहले समीकरण 2 में एक्स+ 3य=18. तब हमें एक चर 2 वाला एक समीकरण मिलता है एक्स+ 12 = 18. आइए 12 को दाईं ओर ले जाएँ, चिह्न बदलते हुए, हमें 2 प्राप्त होता है एक्स= 6, यहाँ से एक्स = 3 .

उदाहरण 4. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए दूसरे समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम निम्नलिखित रूप लेगा:

आइए दोनों समीकरण जोड़ें। घटकों को जोड़ना एक्सऔर -Xपरिणाम 0 होगा, जोड़ 5 होगा यऔर 3 य 8 देंगे य, और 7 और 1 जोड़ने पर 8 प्राप्त होता है। परिणाम समीकरण 8 है य= 8 जिसका मूल 1 है. उसका मान जानना य 1 के बराबर है, आप मान पा सकते हैं एक्स .

आइए स्थानापन्न करें यपहले समीकरण में, हम पाते हैं एक्स+5 = 7, अत: एक्स= 2

उदाहरण 5. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

यह वांछनीय है कि समान चर वाले पद एक के नीचे एक स्थित हों। इसलिए, दूसरे समीकरण में पद 5 यऔर −2 एक्सआइए स्थानों की अदला-बदली करें। परिणामस्वरूप, सिस्टम यह रूप लेगा:

आइए दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें। फिर सिस्टम यह रूप लेगा:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। योग के परिणामस्वरूप हमें समीकरण 8 प्राप्त होता है य= 16, जिसका मूल 2 है.

आइए स्थानापन्न करें यपहले समीकरण में, हमें 6 मिलता है एक्स− 14 = 40. आइए पद −14 को चिह्न बदलते हुए दाईं ओर ले जाएँ, और 6 प्राप्त करें एक्स= 54 . यहाँ से एक्स= 9.

उदाहरण 6. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए भिन्नों से छुटकारा पाएं। पहले समीकरण को 36 से और दूसरे को 12 से गुणा करें

परिणामी प्रणाली में पहले समीकरण को -5 से गुणा किया जा सकता है, और दूसरे को 8 से गुणा किया जा सकता है

आइए परिणामी प्रणाली में समीकरण जोड़ें। तब हमें सबसे सरल समीकरण -13 मिलता है य= −156 . यहाँ से य= 12. आइए स्थानापन्न करें यपहले समीकरण में और खोजें एक्स

उदाहरण 7. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइये दोनों समीकरणों को सामान्य रूप में लाएँ। यहां दोनों समीकरणों में अनुपात का नियम लागू करना सुविधाजनक है। यदि पहले समीकरण में दाएँ पक्ष को के रूप में दर्शाया गया है, और दूसरे समीकरण के दाएँ पक्ष को के रूप में दर्शाया गया है, तो सिस्टम यह रूप लेगा:

हमारे पास एक अनुपात है. आइए इसके चरम और मध्य पदों को गुणा करें। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

आइए पहले समीकरण को -3 से गुणा करें, और दूसरे में कोष्ठक खोलें:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। इन समीकरणों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, हमें दोनों तरफ शून्य के साथ एक समानता प्राप्त होती है:

यह पता चला है कि सिस्टम के पास अनगिनत समाधान हैं।

लेकिन हम सिर्फ आसमान से मनमाना मूल्य नहीं ले सकते एक्सऔर य. हम एक मान निर्दिष्ट कर सकते हैं, और दूसरा हमारे द्वारा निर्दिष्ट मान के आधार पर निर्धारित किया जाएगा। उदाहरण के लिए, चलो एक्स= 2 . आइए इस मान को सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

किसी एक समीकरण को हल करने के परिणामस्वरूप, का मान य, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेगा:

मूल्यों की परिणामी जोड़ी (2; −2) सिस्टम को संतुष्ट करेगी:

आइए मूल्यों का एक और जोड़ा खोजें। होने देना एक्स= 4. आइए इस मान को सिस्टम में प्रतिस्थापित करें:

आप आँख से बता सकते हैं कि कीमत क्या है यशून्य के बराबर है. फिर हमें मूल्यों की एक जोड़ी मिलती है (4; 0) जो हमारे सिस्टम को संतुष्ट करती है:

उदाहरण 8. जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

पहले समीकरण को 6 से और दूसरे को 12 से गुणा करें

आइए जो बचा है उसे फिर से लिखें:

आइए पहले समीकरण को -1 से गुणा करें। तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं। योग के फलस्वरूप समीकरण 6 बनता है बी= 48, जिसका मूल 8 है। स्थानापन्न बीपहले समीकरण में और खोजें ए

तीन चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली

तीन चर वाले एक रैखिक समीकरण में गुणांक वाले तीन चर, साथ ही एक अंतःखंड पद भी शामिल होता है। विहित रूप में इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कुल्हाड़ी + द्वारा + सीजेड = डी

इस समीकरण के अनगिनत समाधान हैं. दो वेरिएबल्स को अलग-अलग मान देकर तीसरा मान ज्ञात किया जा सकता है। इस मामले में समाधान मूल्यों का त्रिगुण है ( एक्स; य; जेड) जो समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

यदि चर एक्स, वाई, जेडतीन समीकरणों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं, तो तीन चर वाले तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनती है। ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए, आप उन्हीं विधियों का उपयोग कर सकते हैं जो दो चर वाले रैखिक समीकरणों पर लागू होती हैं: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

उदाहरण 1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

आइए तीसरे समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

अब प्रतिस्थापन करते हैं. चर एक्सअभिव्यक्ति के बराबर है 3 − 2य − 2जेड . आइए इस अभिव्यक्ति को पहले और दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

आइए दोनों समीकरणों में कोष्ठक खोलें और समान पद प्रस्तुत करें:

हम दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर पहुंचे हैं। इस मामले में, अतिरिक्त विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। परिणामस्वरूप, परिवर्तनशील यगायब हो जाएगा और हम वेरिएबल का मान पा सकते हैं जेड

आइए अब मूल्य ज्ञात करें य. ऐसा करने के लिए, समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है - य+ जेड= 4. इसमें मान प्रतिस्थापित करें जेड

आइए अब मूल्य ज्ञात करें एक्स. ऐसा करने के लिए, समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है एक्स= 3 − 2य − 2जेड . आइए इसमें मानों को प्रतिस्थापित करें यऔर जेड

इस प्रकार, मानों का त्रिगुण (3; −2; 2) हमारे सिस्टम का एक समाधान है। जाँच करके हम यह सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

उदाहरण 2. जोड़ विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

आइए पहले समीकरण को -2 से गुणा करके दूसरे समीकरण के साथ जोड़ें।

यदि दूसरे समीकरण को −2 से गुणा किया जाए तो यह एक रूप ले लेता है −6एक्स+ 6य − 4जेड = −4 . आइए अब इसे पहले समीकरण में जोड़ें:

हम देखते हैं कि प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, चर का मान निर्धारित किया गया था एक्स. यह एक के बराबर है.

चलिए मुख्य प्रणाली पर वापस आते हैं। आइए दूसरे समीकरण को -1 से गुणा करके तीसरे के साथ जोड़ें। यदि तीसरे समीकरण को −1 से गुणा किया जाए, तो यह एक रूप ले लेता है −4एक्स + 5य − 2जेड = −1 . अब इसे दूसरे समीकरण में जोड़ते हैं:

हमें समीकरण मिल गया x− 2य= −1 . आइए इसमें मान को प्रतिस्थापित करें एक्सजो हमें पहले मिला था. तब हम मूल्य निर्धारित कर सकते हैं य

अब हम अर्थ जानते हैं एक्सऔर य. यह आपको मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है जेड. आइए सिस्टम में शामिल समीकरणों में से एक का उपयोग करें:

इस प्रकार, मानों का त्रिगुण (1; 1; 1) हमारे सिस्टम का समाधान है। जाँच करके हम यह सुनिश्चित करते हैं कि ये मान सिस्टम को संतुष्ट करते हैं:

रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ बनाने की समस्याएँ

समीकरणों की प्रणाली बनाने का कार्य कई चर दर्ज करके हल किया जाता है। इसके बाद, समस्या की स्थितियों के आधार पर समीकरण संकलित किए जाते हैं। संकलित समीकरणों से वे एक प्रणाली बनाते हैं और उसे हल करते हैं। सिस्टम को हल करने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि क्या इसका समाधान समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

समस्या 1. एक वोल्गा कार शहर से बाहर सामूहिक खेत की ओर चली गई। वह दूसरी सड़क से वापस लौटी, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। कुल मिलाकर, कार ने 35 किमी का चक्कर लगाया। प्रत्येक सड़क की लम्बाई कितने किलोमीटर है?

समाधान

होने देना एक्स-पहली सड़क की लंबाई, य- दूसरे की लंबाई. यदि कार ने 35 किमी का चक्कर लगाया, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स+ य= 35. यह समीकरण दोनों सड़कों की लंबाई के योग का वर्णन करता है।

ऐसा कहा जाता है कि कार एक ऐसी सड़क पर लौटी जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी। तब दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स− य= 5. यह समीकरण दर्शाता है कि सड़क की लंबाई के बीच का अंतर 5 किमी है।

अथवा दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स= य+5. हम इस समीकरण का उपयोग करेंगे.

क्योंकि चर एक्सऔर यदोनों समीकरणों में एक ही संख्या निरूपित होती है, तो हम उनसे एक प्रणाली बना सकते हैं:

आइए पहले अध्ययन की गई कुछ विधियों का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें। इस मामले में, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है, क्योंकि दूसरे समीकरण में चर एक्सपहले ही व्यक्त किया जा चुका है।

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण में रखें और खोजें य

आइए पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें यदूसरे समीकरण में एक्स= य+5 और हम ढूंढ लेंगे एक्स

पहले सड़क की लंबाई वेरिएबल के माध्यम से निर्दिष्ट की गई थी एक्स. अब हमें इसका मतलब पता चल गया है. चर एक्स 20 के बराबर है। इसका मतलब है कि पहली सड़क की लंबाई 20 किमी है।

तथा दूसरी सड़क की लम्बाई बतायी गयी य. इस चर का मान 15 है। इसका मतलब है कि दूसरी सड़क की लंबाई 15 किमी है।

की जाँच करें। सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

अब देखते हैं कि समाधान (20; 15) समस्या की शर्तों को पूरा करता है या नहीं।

बताया गया कि कार ने कुल 35 किमी का चक्कर लगाया। हम दोनों सड़कों की लंबाई जोड़ते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि समाधान (20; 15) इस शर्त को पूरा करता है: 20 किमी + 15 किमी = 35 किमी

निम्नलिखित शर्त: कार दूसरी सड़क पर वापस लौट आई, जो पहली सड़क से 5 किमी छोटी थी . हम देखते हैं कि समाधान (20; 15) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 15 किमी, 20 किमी से 5 किमी कम है: 20 किमी − 15 किमी = 5 किमी

किसी प्रणाली की रचना करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि इस प्रणाली में शामिल सभी समीकरणों में चर समान संख्याओं का प्रतिनिधित्व करें।

तो हमारे सिस्टम में दो समीकरण हैं। बदले में इन समीकरणों में चर होते हैं एक्सऔर य, जो दोनों समीकरणों में समान संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात् 20 किमी और 15 किमी की सड़क की लंबाई।

समस्या 2. प्लेटफ़ॉर्म पर ओक और पाइन स्लीपर लादे गए थे, कुल मिलाकर 300 स्लीपर। यह ज्ञात है कि सभी ओक स्लीपरों का वजन सभी पाइन स्लीपरों की तुलना में 1 टन कम था। निर्धारित करें कि कितने ओक और पाइन स्लीपर अलग-अलग थे, यदि प्रत्येक ओक स्लीपर का वजन 46 किलोग्राम था, और प्रत्येक पाइन स्लीपर का वजन 28 किलोग्राम था।

समाधान

होने देना एक्सओक और यचीड़ के स्लीपर प्लेटफार्म पर लादे गए थे। यदि कुल मिलाकर 300 स्लीपर हों, तो पहला समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है x+y = 300 .

सभी ओक स्लीपरों का वजन 46 था एक्सकिलो, और चीड़ का वजन 28 था यकिलोग्राम। चूँकि ओक स्लीपरों का वज़न पाइन स्लीपरों से 1 टन कम था, इसलिए दूसरा समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है 28य − 46एक्स= 1000 . यह समीकरण दर्शाता है कि ओक और पाइन स्लीपरों के बीच द्रव्यमान में अंतर 1000 किलोग्राम है।

टन को किलोग्राम में बदल दिया गया क्योंकि ओक और पाइन स्लीपरों का द्रव्यमान किलोग्राम में मापा गया था।

परिणामस्वरूप, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं जो सिस्टम बनाते हैं

आइए इस प्रणाली को हल करें। आइए पहले समीकरण में व्यक्त करें एक्स. तब सिस्टम यह रूप लेगा:

पहले समीकरण को दूसरे में रखें और खोजें य

आइए स्थानापन्न करें यसमीकरण में एक्स= 300 − यऔर पता लगाएं कि यह क्या है एक्स

इसका मतलब है कि 100 ओक और 200 पाइन स्लीपर प्लेटफॉर्म पर लादे गए थे।

आइए जाँच करें कि क्या समाधान (100; 200) समस्या की शर्तों को पूरा करता है। सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है:

ऐसा कहा गया कि कुल 300 स्लीपर थे। हम ओक और पाइन स्लीपरों की संख्या जोड़ते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि समाधान (100; 200) इस शर्त को पूरा करता है: 100 + 200 = 300.

निम्नलिखित शर्त: सभी ओक स्लीपरों का वज़न सभी पाइन स्लीपरों से 1 टन कम था . हम देखते हैं कि समाधान (100; 200) भी इस शर्त को पूरा करता है, क्योंकि 46 × 100 किलोग्राम ओक स्लीपर 28 × 200 किलोग्राम पाइन स्लीपर से हल्का है: 5600 किग्रा - 4600 किग्रा = 1000 किग्रा.

समस्या 3. हमने वजन के अनुसार 2: 1, 3: 1 और 5: 1 के अनुपात में तांबे-निकल मिश्र धातु के तीन टुकड़े लिए। तांबे और निकल की मात्रा 4:1 के अनुपात के साथ 12 किलोग्राम वजन का एक टुकड़ा उनसे जोड़ा गया था। प्रत्येक मूल टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात करें यदि पहले का द्रव्यमान दूसरे के द्रव्यमान का दोगुना है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली. व्याख्यान 6.

रैखिक समीकरणों की प्रणाली.

बुनियादी अवधारणाओं।

सिस्टम देखें

बुलाया प्रणाली - अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण.

संख्याएँ , , कहलाती हैं सिस्टम गुणांक.

नंबरों को बुलाया जाता है सिस्टम के मुफ़्त सदस्य, – सिस्टम चर. आव्यूह

बुलाया सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, और मैट्रिक्स

– विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली. मैट्रिक्स - कॉलम

और तदनुसार सिस्टम के मुक्त शब्दों और अज्ञात के मैट्रिक्स. फिर मैट्रिक्स रूप में समीकरणों की प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है। सिस्टम समाधानचरों के मान कहलाते हैं, जिनके प्रतिस्थापन पर सिस्टम के सभी समीकरण सही संख्यात्मक समानता में बदल जाते हैं। सिस्टम के किसी भी समाधान को मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में दर्शाया जा सकता है। तब मैट्रिक्स समानता सत्य है।

समीकरणों की प्रणाली कहलाती है संयुक्तयदि इसका कम से कम एक समाधान है और गैर संयुक्तयदि कोई समाधान नहीं है.

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है यह पता लगाना कि क्या यह सुसंगत है और यदि हां, तो इसका सामान्य समाधान खोजना।

सिस्टम कहा जाता है सजातीययदि इसके सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हैं। एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि इसका एक समाधान होता है

क्रोनकर-कोपेली प्रमेय।

रैखिक प्रणालियों के समाधान के अस्तित्व और उनकी विशिष्टता के प्रश्न का उत्तर हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है, जिसे अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली के संबंध में निम्नलिखित कथनों के रूप में तैयार किया जा सकता है।

(1)

प्रमेय 2. रैखिक समीकरणों की प्रणाली (1) सुसंगत है यदि और केवल तभी जब मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो।

प्रमेय 3. यदि रैखिक समीकरणों की एक समकालिक प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या के बराबर है, तो सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान होता है।

प्रमेय 4. यदि किसी संयुक्त सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है, तो सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम को हल करने के नियम.

3. मुख्य चरों की अभिव्यक्ति मुक्त चरों के रूप में खोजें और सिस्टम का सामान्य समाधान प्राप्त करें।

4. मुक्त चरों को मनमाना मान देने से मुख्य चरों के सभी मान प्राप्त हो जाते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि.

और, यानी सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। आइए सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें

कहाँ , , .

आइए बाईं ओर के मैट्रिक्स समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स से गुणा करें

चूँकि, हम प्राप्त करते हैं, जिससे हम अज्ञात को खोजने के लिए समानता प्राप्त करते हैं

उदाहरण 27.व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान। आइए हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स द्वारा निरूपित करें

.

चलिए, फिर हम सूत्र का उपयोग करके समाधान ढूंढते हैं।

चलिए हिसाब लगाते हैं.

तब से, सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। आइए सभी बीजगणितीय पूरक खोजें

, ,

, ,

, ,

, ,

इस प्रकार

.

की जाँच करें

.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स सही पाया गया. यहां से, सूत्र का उपयोग करके, हम चरों का मैट्रिक्स ढूंढते हैं।

.

आव्यूहों के मानों की तुलना करने पर हमें उत्तर मिलता है: .

क्रैमर विधि.

अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए

और, यानी सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। आइए सिस्टम का समाधान मैट्रिक्स रूप में लिखें या

चलो निरूपित करें

. . . . . . . . . . . . . . ,

इस प्रकार, हमें अज्ञात के मान ज्ञात करने के सूत्र प्राप्त होते हैं, जिन्हें कहा जाता है क्रैमर सूत्र.

उदाहरण 28.क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें .

समाधान। आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें

.

तब से, सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

आइए क्रैमर के सूत्रों के लिए शेष निर्धारक खोजें

,

,

.

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम चरों के मान ज्ञात करते हैं

गॉस विधि.

इस विधि में चरों का क्रमिक उन्मूलन शामिल है।

अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए।

गाऊसी समाधान प्रक्रिया में दो चरण होते हैं:

पहले चरण में, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम किया जाता है

,

कहां , जिससे सिस्टम मेल खाता है

इसके बाद वेरिएबल स्वतंत्र माने जाते हैं और प्रत्येक समीकरण में दाईं ओर स्थानांतरित हो जाते हैं।

दूसरे चरण में, चर को अंतिम समीकरण से व्यक्त किया जाता है, और परिणामी मान को समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है। इस समीकरण से

चर व्यक्त किया गया है. यह प्रक्रिया पहले समीकरण तक जारी रहती है। परिणाम मुक्त चर के माध्यम से मुख्य चर की अभिव्यक्ति है .

उदाहरण 29.गॉस विधि का उपयोग करके निम्नलिखित प्रणाली को हल करें

समाधान। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और इसे चरणबद्ध रूप में लाएं

.

क्योंकि अज्ञात की संख्या से अधिक होने पर, सिस्टम सुसंगत होता है और इसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं। आइए चरण मैट्रिक्स के लिए सिस्टम लिखें

पहले तीन स्तंभों से बनी इस प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए हम इसे बुनियादी मानते हैं। चर

वे बुनियादी होंगे और परिवर्तनशील स्वतंत्र होंगे। आइए इसे सभी समीकरणों में बाईं ओर ले जाएं

अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं

इस मान को अंतिम दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

कहाँ . चरों के मानों को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं . आइए उत्तर को निम्नलिखित रूप में लिखें