बेशक, इस सामान्यीकृत बल की गणना करते समय, संभावित ऊर्जा को सामान्यीकृत निर्देशांक के एक फ़ंक्शन के रूप में निर्धारित किया जाना चाहिए

पी = पी( क्यू 1 , क्यू 2 , क्यू 3 ,…,क्यूएस).

टिप्पणियाँ।

पहला। सामान्यीकृत प्रतिक्रिया बलों की गणना करते समय, आदर्श कनेक्शन को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

दूसरा। सामान्यीकृत बल का आयाम सामान्यीकृत निर्देशांक के आयाम पर निर्भर करता है। तो यदि आयाम [ क्यू] - मीटर, फिर आयाम

[क्यू]= एनएम/एम = न्यूटन, यदि [ क्यू] - रेडियन, फिर [क्यू] = एनएम; अगर [ क्यू] = एम 2, फिर [क्यू] = एच/एम, आदि।

उदाहरण 4.एक वलय ऊर्ध्वाधर तल में झूलती हुई छड़ के साथ सरकती है। एमवज़न आर(चित्र 10)। हम छड़ को भारहीन मानते हैं। आइए हम सामान्यीकृत बलों को परिभाषित करें।

चित्र.10

समाधान।सिस्टम में स्वतंत्रता की दो डिग्री हैं। हम दो सामान्यीकृत निर्देशांक निर्दिष्ट करते हैं एसऔर ।

आइए हम निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत बल ज्ञात करें एस।हम इस निर्देशांक में वृद्धि देते हैं, निर्देशांक को अपरिवर्तित छोड़ते हैं, और एकमात्र सक्रिय बल के कार्य की गणना करते हैं आर, हम सामान्यीकृत बल प्राप्त करते हैं

फिर हम यह मानते हुए समन्वय बढ़ाते हैं एस= स्थिरांक. जब छड़ को किसी कोण से घुमाया जाता है, तो बल लगाने का बिंदु आर, अँगूठी एम, की ओर बढ़ेंगे। सामान्यीकृत बल होगा

चूंकि प्रणाली रूढ़िवादी है, संभावित ऊर्जा का उपयोग करके सामान्यीकृत बल भी पाए जा सकते हैं। हम पाते हैं और . यह बहुत आसान हो जाता है.

लैग्रेंज संतुलन समीकरण

परिभाषा के अनुसार (7) सामान्यीकृत बल , क = 1,2,3,…,एस, कहाँ एस-स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या.

यदि सिस्टम संतुलन में है, तो संभावित विस्थापन के सिद्धांत के अनुसार (1) . यहां कनेक्शन द्वारा अनुमत गतिविधियां, संभावित गतिविधियां हैं। इसलिए, जब कोई भौतिक प्रणाली संतुलन में होती है, तो उसके सभी सामान्यीकृत बल शून्य के बराबर होते हैं:

क्यू के= 0, (क=1,2,3,…, एस). (10)

ये समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक में संतुलन समीकरणया लैग्रेंज संतुलन समीकरण , स्थैतिक समस्याओं को हल करने के लिए एक और विधि की अनुमति दें।

यदि व्यवस्था रूढ़िवादी है, तो. इसका मतलब यह है कि यह संतुलन की स्थिति में है। अर्थात्, ऐसी भौतिक प्रणाली की संतुलन स्थिति में, इसकी स्थितिज ऊर्जा या तो अधिकतम या न्यूनतम होती है, अर्थात। फ़ंक्शन П(q) का एक चरम है।

यह सबसे सरल उदाहरण (चित्र 11) के विश्लेषण से स्पष्ट है। स्थिति में गेंद की संभावित ऊर्जा एम 1 की स्थिति में न्यूनतम है एम 2 - अधिकतम. यह देखा जा सकता है कि स्थिति में एम 1 संतुलन स्थिर रहेगा; गर्भवती एम 2-अस्थिर.

चित्र.11

संतुलन को स्थिर माना जाता है यदि इस स्थिति में शरीर को कम गति दी जाती है या थोड़ी दूरी पर विस्थापित किया जाता है और ये विचलन भविष्य में नहीं बढ़ते हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है (लैग्रेंज-डिरिचलेट प्रमेय) कि यदि किसी रूढ़िवादी प्रणाली की संतुलन स्थिति में इसकी संभावित ऊर्जा न्यूनतम है, तो यह संतुलन स्थिति स्थिर है।

स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ एक रूढ़िवादी प्रणाली के लिए, न्यूनतम संभावित ऊर्जा की स्थिति, और इसलिए संतुलन स्थिति की स्थिरता, दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है, संतुलन स्थिति में इसका मूल्य,

उदाहरण 5.गुठली ओएवज़न आरएक अक्ष के चारों ओर ऊर्ध्वाधर तल में घूम सकता है के बारे में(चित्र 12)। आइए हम संतुलन स्थितियों की स्थिरता का पता लगाएं और उसका अध्ययन करें।

चित्र.12

समाधान।छड़ी में एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है। सामान्यीकृत निर्देशांक - कोण.

निचली, शून्य स्थिति के सापेक्ष, स्थितिज ऊर्जा P = पीएचडीया

संतुलन की स्थिति में होना चाहिए . इसलिए हमारे पास कोणों और (स्थितियों) के अनुरूप दो संतुलन स्थितियाँ हैं ओए 1 और ओए 2). आइए उनकी स्थिरता का पता लगाएं। दूसरा व्युत्पन्न ढूँढना. बेशक, के साथ। संतुलन की स्थिति स्थिर है. पर , . दूसरी संतुलन स्थिति अस्थिर है। परिणाम स्पष्ट हैं.

सामान्यीकृत जड़त्वीय बल.

उसी विधि (8) का उपयोग करना जिसके द्वारा सामान्यीकृत बलों की गणना की गई थी क्यू के, सक्रिय, निर्दिष्ट, बलों के अनुरूप, सामान्यीकृत बल भी निर्धारित किए जाते हैं एस के, सिस्टम के बिंदुओं की जड़ता बलों के अनुरूप:

और तबसे वह

कुछ गणितीय परिवर्तन.

ज़ाहिर तौर से,

चूँकि a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), तो

इसका मतलब है कि गति के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न

इसके अलावा, अंतिम पद (14) में आप विभेदन का क्रम बदल सकते हैं:

(15) और (16) को (14) में और फिर (14) को (13) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

अंतिम योग को दो से विभाजित करने पर और यह ध्यान में रखते हुए कि अवकलज का योग योग के अवकलज के बराबर है, हमें मिलता है

सिस्टम की गतिज ऊर्जा कहां है, और सामान्यीकृत गति कहां है।

लैग्रेंज समीकरण.

परिभाषा के अनुसार (7) और (12) सामान्यीकृत बल

लेकिन सामान्य गतिशीलता समीकरण (3) के आधार पर, समानता का दायां पक्ष शून्य के बराबर है। और चूंकि सब कुछ ( क = 1,2,3,…,एस) शून्य से भिन्न हैं, तो। सामान्यीकृत जड़त्व बल (17) के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है

ये समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक में गति के विभेदक समीकरण कहलाते हैं, दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण या केवल – लैग्रेंज समीकरण.

इन समीकरणों की संख्या भौतिक प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के बराबर है।

यदि प्रणाली रूढ़िवादी है और संभावित क्षेत्र बलों के प्रभाव में चलती है, जब सामान्यीकृत बल होते हैं, तो लैग्रेंज समीकरणों को इस रूप में बनाया जा सकता है

कहाँ एल = टी– पी को कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन (यह माना जाता है कि स्थितिज ऊर्जा P सामान्यीकृत वेगों पर निर्भर नहीं करती है)।

अक्सर, भौतिक प्रणालियों की गति का अध्ययन करते समय, यह पता चलता है कि कुछ सामान्यीकृत निर्देशांक क्यू जेलैग्रेंज फ़ंक्शन (या इसमें) में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हैं टीऔर पी). ऐसे निर्देशांक कहलाते हैं चक्रीय. इन निर्देशांकों के अनुरूप लैग्रेंज समीकरण अधिक सरलता से प्राप्त किए जाते हैं।

ऐसे समीकरणों का पहला समाकलन तुरंत पाया जा सकता है। इसे चक्रीय अभिन्न कहा जाता है:

लैग्रेंज के समीकरणों के आगे के अध्ययन और परिवर्तन सैद्धांतिक यांत्रिकी के एक विशेष खंड - "विश्लेषणात्मक यांत्रिकी" का विषय बनाते हैं।

सिस्टम की गति का अध्ययन करने के अन्य तरीकों की तुलना में लैग्रेंज के समीकरणों के कई फायदे हैं। मुख्य लाभ: समीकरण बनाने की विधि सभी समस्याओं में समान होती है, समस्याओं को हल करते समय आदर्श कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

और एक बात - इन समीकरणों का उपयोग न केवल यांत्रिक, बल्कि अन्य भौतिक प्रणालियों (विद्युत, विद्युत चुम्बकीय, ऑप्टिकल, आदि) का अध्ययन करने के लिए भी किया जा सकता है।

उदाहरण 6.आइए वलय की गति का अपना अध्ययन जारी रखें एमएक झूलती हुई छड़ पर (उदाहरण 4)।

सामान्यीकृत निर्देशांक निर्दिष्ट हैं - और s (चित्र 13)। सामान्यीकृत बलों को परिभाषित किया गया है: और .

चित्र.13

समाधान।वलय की गतिज ऊर्जा जहाँ a और .

हम दो लैग्रेंज समीकरण बनाते हैं

तब समीकरण इस प्रकार दिखते हैं:

हमने दो गैर-रेखीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण प्राप्त किए हैं, जिनके समाधान के लिए विशेष तरीकों की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 7.आइए किरण की गति का एक विभेदक समीकरण बनाएं अब, जो एक बेलनाकार सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है (चित्र 14)। बीम की लंबाई अब = एल, वज़न - आर.

संतुलन स्थिति में, किरण क्षैतिज और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र था साथयह सिलेंडर के शीर्ष बिंदु पर स्थित था। किरण में एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है। इसकी स्थिति एक सामान्यीकृत निर्देशांक - एक कोण (चित्र 76) द्वारा निर्धारित की जाती है।

चित्र.14

समाधान।व्यवस्था रूढ़िवादी है. इसलिए, हम क्षैतिज स्थिति के सापेक्ष गणना की गई संभावित ऊर्जा P=mgh का उपयोग करके लैग्रेंज समीकरण की रचना करेंगे। संपर्क बिंदु पर वेग का तात्कालिक केंद्र होता है और (कोण के साथ वृत्ताकार चाप की लंबाई के बराबर)।

इसलिए (चित्र 76 देखें) और।

गतिज ऊर्जा (किरण समतल-समानांतर गति से गुजरती है)

हम समीकरण के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं और

चलिए एक समीकरण बनाते हैं

या, अंततः,

स्व-परीक्षण प्रश्न

किसी बाधित यांत्रिक प्रणाली की संभावित गति को क्या कहा जाता है?

सिस्टम की संभावित और वास्तविक गतिविधियाँ कैसे संबंधित हैं?

कनेक्शन क्या कहलाते हैं: ए) स्थिर; ख) आदर्श?

संभावित आंदोलनों का सिद्धांत तैयार करें। इसकी सूत्रात्मक अभिव्यक्ति लिखिए।

क्या गैर-आदर्श कनेक्शन वाले सिस्टम पर वर्चुअल मूवमेंट के सिद्धांत को लागू करना संभव है?

किसी यांत्रिक प्रणाली के सामान्यीकृत निर्देशांक क्या हैं?

किसी यांत्रिक प्रणाली की स्वतंत्रता की कोटि की संख्या कितनी होती है?

किस मामले में सिस्टम में बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक न केवल सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर करते हैं, बल्कि समय पर भी निर्भर करते हैं?

किसी यांत्रिक प्रणाली की संभावित गतिविधियों को क्या कहा जाता है?

क्या संभावित हलचलें तंत्र पर कार्य करने वाली शक्तियों पर निर्भर करती हैं?

किसी यांत्रिक प्रणाली के किन कनेक्शनों को आदर्श कहा जाता है?

घर्षण से बना बंधन आदर्श बंधन क्यों नहीं होता?

संभावित आंदोलनों का सिद्धांत कैसे तैयार किया जाता है?

कार्य समीकरण कितने प्रकार के हो सकते हैं?

संभावित विस्थापन का सिद्धांत बड़ी संख्या में निकायों से युक्त प्रतिबंधित प्रणालियों पर लागू बलों के लिए संतुलन की स्थिति की व्युत्पत्ति को सरल क्यों बनाता है?

स्वतंत्रता की कई डिग्री के साथ एक यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाली ताकतों के लिए कार्य समीकरण कैसे बनाए जाते हैं?

सरल मशीनों में प्रेरक बल और प्रतिरोधी बल के बीच क्या संबंध है?

यांत्रिकी का स्वर्णिम नियम कैसे बनाया गया है?

संभावित आंदोलनों के सिद्धांत का उपयोग करके कनेक्शन की प्रतिक्रियाएं कैसे निर्धारित की जाती हैं?

किन कनेक्शनों को होलोनोमिक कहा जाता है?

किसी यांत्रिक प्रणाली की स्वतंत्रता की कोटि की संख्या कितनी होती है?

सिस्टम के सामान्यीकृत निर्देशांक क्या हैं?

एक गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणाली में कितने सामान्यीकृत निर्देशांक होते हैं?

कार के स्टीयरिंग व्हील में कितने डिग्री की स्वतंत्रता होती है?

सामान्यीकृत बल क्या है?

सामान्यीकृत निर्देशांक में सिस्टम पर लागू सभी बलों के कुल प्रारंभिक कार्य को व्यक्त करने वाला एक सूत्र लिखें।

सामान्यीकृत बल का आयाम कैसे निर्धारित किया जाता है?

रूढ़िवादी प्रणालियों में सामान्यीकृत बलों की गणना कैसे की जाती है?

आदर्श कनेक्शन वाले सिस्टम की गतिशीलता के सामान्य समीकरण को व्यक्त करने वाले सूत्रों में से एक को लिखें। इस समीकरण का भौतिक अर्थ क्या है?

किसी प्रणाली पर लागू सक्रिय बलों का सामान्यीकृत बल क्या है?

सामान्यीकृत जड़त्वीय बल क्या है?

सामान्यीकृत बलों में डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत तैयार करें।

गतिकी का सामान्य समीकरण क्या है?

सिस्टम के कुछ सामान्यीकृत निर्देशांक के अनुरूप सामान्यीकृत बल को क्या कहा जाता है और इसका क्या आयाम है?

आदर्श बंधों की सामान्यीकृत प्रतिक्रियाएँ क्या हैं?

सामान्यीकृत बलों में गतिशीलता का सामान्य समीकरण प्राप्त करें।

सामान्यीकृत बलों में गतिशीलता के सामान्य समीकरण से प्राप्त यांत्रिक प्रणाली पर लागू बलों के लिए संतुलन की स्थिति किस रूप में होती है?

कार्टेशियन निर्देशांक के निश्चित अक्षों पर बलों के प्रक्षेपण के माध्यम से कौन से सूत्र सामान्यीकृत बलों को व्यक्त करते हैं?

रूढ़िवादी के मामले में और गैर-रूढ़िवादी ताकतों के मामले में सामान्यीकृत ताकतों का निर्धारण कैसे किया जाता है?

किन कनेक्शनों को ज्यामितीय कहा जाता है?

संभावित विस्थापन के सिद्धांत का एक सदिश निरूपण दीजिए।

आदर्श स्थिर ज्यामितीय कनेक्शन वाले यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का नाम बताइए।

एक रूढ़िवादी प्रणाली के बल कार्य में संतुलन की स्थिति में क्या गुण होता है?

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज अवकल समीकरणों की एक प्रणाली लिखिए।

एक बाधित यांत्रिक प्रणाली के लिए दूसरे प्रकार के कितने लैग्रेंज समीकरण बनाए जा सकते हैं?

क्या किसी यांत्रिक प्रणाली के लैग्रेंज समीकरणों की संख्या प्रणाली में शामिल निकायों की संख्या पर निर्भर करती है?

किसी प्रणाली की गतिज क्षमता क्या है?

लैग्रेंज फ़ंक्शन किस यांत्रिक प्रणाली के लिए मौजूद है?

एक यांत्रिक प्रणाली से संबंधित बिंदु के वेग वेक्टर के कार्य क्या तर्क हैं एसस्वतंत्रता की कोटियां?

किसी सामान्यीकृत वेग के संबंध में सिस्टम में किसी बिंदु के वेग वेक्टर का आंशिक व्युत्पन्न क्या है?

किस तर्क का कार्य होलोनोमिक गैर-स्थिर बाधाओं के अधीन एक प्रणाली की गतिज ऊर्जा है?

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों का क्या रूप होता है? प्रत्येक यांत्रिक प्रणाली के लिए इन समीकरणों की संख्या क्या है?

उस स्थिति में जब सिस्टम पर रूढ़िवादी और गैर-रूढ़िवादी ताकतों द्वारा एक साथ कार्य किया जाता है, तो दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण क्या रूप लेते हैं?

लैग्रेंज फ़ंक्शन, या गतिज क्षमता क्या है?

एक रूढ़िवादी प्रणाली के लिए दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों का क्या रूप होता है?

लैग्रेंज समीकरण बनाते समय किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा को किन चरों के आधार पर व्यक्त किया जाना चाहिए?

लोचदार बलों के प्रभाव में एक यांत्रिक प्रणाली की संभावित ऊर्जा कैसे निर्धारित की जाती है?

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

कार्य 1।संभावित विस्थापन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, मिश्रित संरचनाओं के कनेक्शन की प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करें। संरचनात्मक आरेख चित्र में दिखाए गए हैं। 15, और समाधान के लिए आवश्यक डेटा तालिका में दिया गया है। 1. तस्वीरों में सभी आयाम मीटर में हैं।

तालिका नंबर एक

आर 1, के.एन आर 2, के.एन क्यू, केएन/एम एम, केएनएम आर 1, के.एन आर 2, के.एन क्यू, केएन/एम एम, केएनएम

विकल्प 1 विकल्प 2

विकल्प 3 विकल्प 4

विकल्प 5 विकल्प 6

विकल्प 7 विकल्प 8

चित्र.16 चित्र.17

समाधान।यह सत्यापित करना आसान है कि इस समस्या में लैग्रेंज सिद्धांत को लागू करने की सभी शर्तें पूरी होती हैं (सिस्टम संतुलन में है, कनेक्शन स्थिर, होलोनोमिक, सीमित और आदर्श हैं)।

आइए प्रतिक्रिया के अनुरूप संबंध से खुद को मुक्त करें एक्सए (चित्र 17)। ऐसा करने के लिए, बिंदु ए पर, स्थिर काज को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक रॉड समर्थन के साथ, जिस स्थिति में सिस्टम को एक डिग्री की स्वतंत्रता प्राप्त होती है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सिस्टम की संभावित गति उस पर लगाए गए अवरोधों से निर्धारित होती है और लागू बलों पर निर्भर नहीं होती है। इसलिए, संभावित विस्थापन का निर्धारण एक गतिज समस्या है। चूँकि इस उदाहरण में फ्रेम केवल चित्र के तल में ही घूम सकता है, इसकी संभावित गतियाँ भी समतल हैं। समतल गति में, शरीर की गति को वेगों के तात्कालिक केंद्र के चारों ओर घूमने के रूप में माना जा सकता है। यदि वेगों का तात्कालिक केंद्र अनंत पर स्थित है, तो यह तात्कालिक अनुवादात्मक गति के मामले से मेल खाता है, जब शरीर के सभी बिंदुओं का विस्थापन समान होता है।

वेगों का तात्कालिक केंद्र ज्ञात करने के लिए शरीर के किन्हीं दो बिंदुओं के वेगों की दिशा जानना आवश्यक है। इसलिए, किसी समग्र संरचना के संभावित विस्थापन का निर्धारण उस तत्व के संभावित विस्थापन को खोजने से शुरू होना चाहिए जिसके लिए ऐसे वेग ज्ञात हैं। इस मामले में, आपको फ़्रेम से शुरुआत करनी चाहिए सीडीबी, इसके बिंदु के बाद से मेंगतिहीन है और इसलिए, इस फ्रेम की संभावित गति काज बी से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर एक कोण के माध्यम से इसका घूमना है। अब, बिंदु की संभावित गति को जानना साथ(यह एक साथ सिस्टम के दोनों फ़्रेमों से संबंधित है) और बिंदु की संभावित गति ए(बिंदु A की संभावित गति अक्ष के अनुदिश इसकी गति है एक्स), फ्रेम का तात्क्षणिक वेग केंद्र C 1 ज्ञात करें एईएस. इस प्रकार, फ्रेम की संभावित गति एईएसइसका बिंदु C 1 के चारों ओर एक कोण द्वारा घूमना है। कोणों के बीच का संबंध बिंदु C की गति के माध्यम से निर्धारित होता है (चित्र 17 देखें)

त्रिभुज EC 1 C और BCD की समानता से हमें प्राप्त होता है

परिणामस्वरूप, हमें निर्भरताएँ मिलती हैं:

संभावित आंदोलनों के सिद्धांत के अनुसार

आइए हम यहां शामिल संभावित नौकरियों की क्रमिक रूप से गणना करें:

Q=2q - वितरित भार का परिणाम, जिसके अनुप्रयोग का बिंदु चित्र में दिखाया गया है। 79; इसके द्वारा किया गया संभावित कार्य बराबर है।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में, एक वेक्टर मात्रा के रूप में बल की अवधारणा के साथ-साथ अन्य भौतिक निकायों से किसी दिए गए शरीर पर प्रभाव की विशेषता होती है, वे की अवधारणा का उपयोग करते हैं सामान्यीकृत बल. निर्धारण हेतु सामान्यीकृत शक्तिआइए सिस्टम के बिंदुओं पर लागू बलों के आभासी कार्य पर विचार करें।

यदि एक यांत्रिक प्रणाली जिस पर होलोनोमिक निरोधक बल लगाए गए हैं एचकनेक्शन हैं एस =3एन-एचस्वतंत्रता की कोटियां , तब इस प्रणाली की स्थिति निर्धारित होती है (मैं = एस)

सामान्यीकृत निर्देशांक और (2.11) : (2.13), (2.14) के अनुसार आभासी विस्थापन क -वें अंक

(2.13)

(2.14)

(2.14) को प्रतिस्थापित करना: बलों के आभासी कार्य के सूत्र में

(2.24), हम पाते हैं

अदिश मात्रा = (2.26)

बुलाया सामान्यीकृत बल, संगत मैंवें सामान्यीकृत समन्वय।

सामान्यीकृत बलमैं के अनुरूप-वें सामान्यीकृत निर्देशांक एक यांत्रिक प्रणाली पर कार्यरत बलों के आभासी कार्य की अभिव्यक्ति में दिए गए सामान्यीकृत समन्वय की भिन्नता के लिए गुणक के बराबर मात्रा है।

आभासी कार्यसे निर्धारित किया गया है

¾ निर्दिष्ट सक्रिय बल प्रतिबंधों से स्वतंत्र हैं और

¾ युग्मन प्रतिक्रियाएं (यदि युग्मन आदर्श नहीं हैं, तो समस्या को हल करने के लिए अतिरिक्त रूप से भौतिक निर्भरता निर्धारित करना आवश्यक है टीजे से एनजे , ( टी j ¾ ये, एक नियम के रूप में, घर्षण बल या रोलिंग घर्षण के प्रतिरोध के क्षण हैं, जिन्हें हम निर्धारित कर सकते हैं)।

सामान्य रूप में सामान्यीकृत बलसामान्यीकृत निर्देशांक, सिस्टम बिंदुओं के वेग और समय का एक कार्य है। परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है सामान्यीकृत बल¾ एक अदिश राशि है जो किसी दिए गए यांत्रिक प्रणाली के लिए चुने गए सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर करती है। इसका मतलब यह है कि जब सामान्यीकृत निर्देशांक का सेट जो किसी दिए गए सिस्टम की स्थिति निर्धारित करता है, बदलता है सामान्यीकृत बल.

उदाहरण 2.10. त्रिज्या वाली डिस्क के लिए आरऔर द्रव्यमान एम, जो एक झुके हुए तल पर बिना फिसले लुढ़कता है (चित्र 2.9), एक सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में लिया जा सकता है:

¾ या क्यू = एस¾ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र की गति,

¾या तो क्यू= j ¾ डिस्क के घूर्णन का कोण. यदि हम रोलिंग प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं, तो:

¾पहले मामले में सामान्यीकृत बलइच्छा

चावल। 2.9क्यू एस = एमजी सिना, ए

¾ दूसरे मामले में ¾ क्यू जे = एमजी आर कोसा।

सामान्यीकृत निर्देशांक संगत की माप की इकाई भी निर्धारित करता है सामान्यीकृत शक्ति.अभिव्यक्ति से (2.25)

(2.27)

यह इस प्रकार है कि माप की इकाई सामान्यीकृत शक्तिसामान्यीकृत समन्वय की इकाई द्वारा विभाजित कार्य की इकाई के बराबर।

यदि, एक सामान्यीकृत समन्वय के रूप में क्यूस्वीकार करना क्यू = एस¾ किसी बिंदु की गति, फिर माप की इकाई सामान्यीकृत शक्ति Q s ¾ होगा [न्यूटन] ,

यदि, एक के रूप में क्यू= j ¾ पिंड का घूर्णन कोण (रेडियन में) लिया जाएगा, तो माप की इकाई होगी सामान्यीकृत शक्ति Q j 2 होगा [ न्यूटन ´मीटर].

द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय, भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के संवेग और कोणीय संवेग में परिवर्तन पर।

भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की गति, संवेग और कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम। उदाहरण।

बल का कार्य और बल का क्षण. गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय.

संभावित बल क्षेत्र. सिस्टम की संभावित ऊर्जा और इसकी गणना के उदाहरण। कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम.

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी. कनेक्शन का वर्गीकरण. उदाहरण। संभावित हलचलें.

आदर्श संबंध. संभावित आंदोलनों का सिद्धांत.

सामान्यीकृत निर्देशांक. सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या. सामान्यीकृत बल, उनकी गणना के तरीके। होलोनोमिक बाधाओं वाले सिस्टम के लिए संतुलन की स्थिति, सामान्यीकृत बलों के संदर्भ में व्यक्त की जाती है।

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण। किसी कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति के विभेदक समीकरण।

तीन डिग्री भारी जाइरोस्कोप के गुण।

दो-डिग्री जाइरोस्कोप के गुण। जाइरोस्कोपिक क्षण. ज़ुकोवस्की का शासन। प्रौद्योगिकी में जाइरोस्कोप का उपयोग।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी. कनेक्शन का वर्गीकरण. उदाहरण। संभावित हलचलें.

संबंध- यह सिस्टम के बिंदुओं के निर्देशांक और वेग के बीच का संबंध है, जिसे समानता या असमानताओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

वर्गीकरण:

ज्यामितिक- केवल सिस्टम बिंदुओं के निर्देशांक पर प्रतिबंध लगाता है (वेग शामिल नहीं हैं)

कीनेमेटीक्स का- वेग समीकरणों में प्रवेश करते हैं। यदि आप गति से छुटकारा पा सकते हैं, तो कनेक्शन एकीकृत है।

होलोनोमिक कनेक्शन- ज्यामितीय और पूर्णांकीय अंतर कनेक्शन।

कनेक्शन कहा जाता है पकड़े(सिस्टम की किसी भी स्थिति में लगाए गए या प्रतिबंध बने हुए हैं) और अनर्गल, जिनके पास यह संपत्ति नहीं है (ऐसे कनेक्शन से, जैसा कि वे कहते हैं, सिस्टम को "मुक्त" किया जा सकता है)

स्थान परिवर्तन संभव

कोई भी मानसिक

बहुत छोता

सिस्टम बिंदुओं को स्थानांतरित करने की अनुमति है

समय के इस क्षण में

सिस्टम पर लगाए गए कनेक्शन.

वास्तविक आंदोलन- बल, समय, कनेक्शन, प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है।

संभावित आंदोलन केवल कनेक्शन पर निर्भर करता है।

स्थिर कनेक्शन के लिए, वास्तविक गति संभावितों में से एक है।

आदर्श संबंध. संभावित आंदोलनों का सिद्धांत.

आदर्शऐसे कनेक्शन कहलाते हैं जिनके किसी भी संभावित विस्थापन पर उनकी सभी प्रतिक्रियाओं के प्रारंभिक कार्यों का योग 0 के बराबर होता है।

संभावित आंदोलनों का सिद्धांत.

आदर्श स्थिर कनेक्शन के साथ एक यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि किसी भी संभावित विस्थापन पर सभी सक्रिय बलों के प्रारंभिक कार्य का योग 0 के बराबर हो। इस मामले में, पर्याप्तता के लिए, प्रारंभिक वेग बराबर होना चाहिए शून्य करने के लिए. आवश्यक संतुलन => पर्याप्त => संतुलन।

सामान्यीकृत निर्देशांक. सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या. सामान्यीकृत बल, उनकी गणना के तरीके। होलोनोमिक बाधाओं वाले सिस्टम के लिए संतुलन की स्थिति, सामान्यीकृत बलों के संदर्भ में व्यक्त की जाती है।

सामान्यीकृत निर्देशांक- एक स्वतंत्र पैरामीटर जो सिस्टम की स्थिति को पूरी तरह से निर्धारित करता है और जिसके माध्यम से सिस्टम में बिंदुओं के सभी कार्टेशियन निर्देशांक व्यक्त किए जा सकते हैं।

स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या सामान्यीकृत निर्देशांक की संख्या से निर्धारित होती है

परस्पर स्वतंत्र अदिश राशियों की संख्या जो अंतरिक्ष में एक यांत्रिक प्रणाली की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करती है, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या कहलाती है।

एक यांत्रिक प्रणाली के सामान्यीकृत निर्देशांक एक दूसरे से स्वतंत्र कोई भी ज्यामितीय मात्रा होते हैं जो अंतरिक्ष में सिस्टम की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं।

Q i = δA j /δq j या δA j = Q i ⋅ δq j।

सामान्यीकृत बल- यह एक ऐसा बल है जो अपने सामान्यीकृत निर्देशांक के साथ संभावित विस्थापन पर वही कार्य करता है जो सिस्टम पर लागू सभी बल अपने अनुप्रयोग के बिंदुओं के संगत विस्थापन पर करते हैं।

सामान्यीकृत बल को खोजने के लिए, हम इसके सामान्यीकृत निर्देशांक के साथ संभावित विस्थापन देते हैं, अन्य निर्देशांक को अपरिवर्तित छोड़ते हैं। फिर हम सिस्टम पर लागू सभी बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करते हैं और संभावित विस्थापन से विभाजित करते हैं।

सामान्यीकृत बलों के संदर्भ में संभावित विस्थापन का सिद्धांत।

चूंकि संतुलन में किसी भी संभावित विस्थापन पर प्रारंभिक कार्य का योग ( बीए=बीक्यू जे , जो एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं, तो इसके लिए निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: Q 1 =0; क्यू 2=0; क्यू के =0

आइए आदर्श कनेक्शन वाली एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। आइए सिस्टम की सक्रिय ताकतें बनें। आइए यांत्रिक प्रणाली को एक आभासी विस्थापन दें और इस विस्थापन पर सिस्टम बलों के प्रारंभिक कार्य की गणना करें:

.

समानता (17.2) का उपयोग करके हम भिन्नता व्यक्त करते हैं
त्रिज्या सदिश अंक एम कविविधताओं के माध्यम से
सामान्यीकृत निर्देशांक:

इस तरह,

. (17.6)

आइए हम समानता में योग के क्रम को बदलें (17.6):

. (17.7)

आइए अभिव्यक्ति (17.7) में निरूपित करें

. (17.8)

.

सामान्यीकृत ताकतों द्वारा क्यू जे सिस्टम बलों के प्रारंभिक कार्य की अभिव्यक्ति में सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधता के लिए गुणांक का नाम बताएं.

सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधताओं के आयाम पर निर्भर करता है
सामान्यीकृत बल क्यू जेइसमें बल, क्षण आदि के आयाम हो सकते हैं।

सामान्यीकृत बलों की गणना के लिए तरीके

आइए सामान्यीकृत बलों की गणना करने के तीन तरीकों पर विचार करें।

1. मूल सूत्र का उपयोग करके सामान्यीकृत बलों का निर्धारण(17.8)

. (17.9)

व्यवहार में सूत्र (17.9) का प्रयोग बहुत कम होता है। समस्याओं को हल करते समय, दूसरी विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

2. सामान्यीकृत निर्देशांकों को "फ्रीज़िंग" करने की एक विधि।

आइए हम यांत्रिक प्रणाली को एक आभासी विस्थापन दें जैसे कि सामान्यीकृत निर्देशांक के सभी बदलावों को छोड़कर
शून्य के बराबर हैं:

आइए इस आंदोलन के लिए किए गए काम का हिसाब लगाएं
सिस्टम पर लागू सभी सक्रिय बल

.

परिभाषा के अनुसार, भिन्नता के लिए गुणक
प्रथम सामान्यीकृत बल के बराबर क्यू 1 .

और दूसरे सामान्यीकृत बल को परिभाषित करें क्यू 2, सिस्टम के सभी बलों के आभासी कार्य की गणना करना

.

आइए इसी प्रकार सिस्टम के अन्य सभी सामान्यीकृत बलों की गणना करें।

3. संभावित बल क्षेत्र का मामला.

मान लीजिए किसी यांत्रिक प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा ज्ञात है

तब
और सूत्र के अनुसार (32.8)

सामान्यीकृत निर्देशांक में स्थैतिक के आभासी आंदोलनों का सिद्धांत

स्टैटिक्स के आभासी विस्थापन के सिद्धांत के अनुसार, आदर्श होल्डिंग होलोनोमिक, स्थिर कनेक्शन वाले सिस्टम के संतुलन के लिए, स्थिति आवश्यक और पर्याप्त है:

शून्य प्रारंभिक गति पर.

सामान्यीकृत निर्देशांक को पारित करने पर, हमें मिलता है

. (17.11)

चूँकि सामान्यीकृत निर्देशांकों की भिन्नताएँ स्वतंत्र होती हैं, अभिव्यक्ति के शून्य की समानता (17.11) केवल तभी संभव है जब सामान्यीकृत निर्देशांकों की विविधताओं के सभी गुणांक शून्य के बराबर हों:

इस प्रकार, आदर्श, होलोनोमिक, स्थिर और निरोधक कनेक्शन वाले एक यांत्रिक सिस्टम के संतुलन में होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के सभी सामान्यीकृत बल शून्य के बराबर हों (सिस्टम के शून्य प्रारंभिक वेग पर)।

सामान्यीकृत निर्देशांक में लैग्रेंज समीकरण (दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण)

लैग्रेंज के समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधताओं के माध्यम से आभासी विस्थापन को उनकी अभिव्यक्तियों के साथ प्रतिस्थापित करके गतिशीलता के सामान्य समीकरण से प्राप्त किए जाते हैं। वे सामान्यीकृत निर्देशांक में एक यांत्रिक प्रणाली की गति के विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं:

. (17.13)

कहाँ
- सामान्यीकृत गति,

टी सिस्टम की गतिज ऊर्जा, सामान्यीकृत निर्देशांक और सामान्यीकृत वेग के एक फ़ंक्शन के रूप में प्रस्तुत की जाती है

क्यू जे- सामान्यीकृत बल.

सिस्टम के समीकरणों की संख्या (17.13) स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से निर्धारित होती है और सिस्टम में शामिल निकायों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है। आदर्श कनेक्शन के साथ, केवल सक्रिय बल ही समीकरणों के दाएँ हाथ में प्रवेश करेंगे। यदि कनेक्शन आदर्श नहीं हैं, तो उनकी प्रतिक्रियाओं को सक्रिय बलों के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए।

यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले संभावित बलों के मामले में, समीकरण (17.13) रूप लेते हैं

.

यदि हम लैग्रेंज फ़ंक्शन का परिचय देते हैं एल = टी  पी, फिर यह ध्यान में रखते हुए कि संभावित ऊर्जा सामान्यीकृत वेगों पर निर्भर नहीं करती है, हम संभावित बलों के मामले के लिए दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण निम्नलिखित रूप में प्राप्त करते हैं

.

दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण बनाते समय, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

यांत्रिक प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या निर्धारित करें और इसके सामान्यीकृत निर्देशांक का चयन करें।

सिस्टम की गतिज ऊर्जा के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें और इसे सामान्यीकृत निर्देशांक और सामान्यीकृत वेग के एक फ़ंक्शन के रूप में प्रस्तुत करें।

ऊपर उल्लिखित विधियों का उपयोग करके, सिस्टम की सामान्यीकृत सक्रिय शक्तियों का पता लगाएं।

लैग्रेंज समीकरणों में आवश्यक सभी विभेदन ऑपरेशन निष्पादित करें।

उदाहरण।

कहाँ जे जेड घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड की जड़ता का क्षण जेड,
- शरीर का कोणीय वेग.

3. आइए सामान्यीकृत बल को परिभाषित करें। आइए शरीर को एक आभासी विस्थापन दें और सिस्टम के सभी सक्रिय बलों के आभासी कार्य की गणना करें:

इस तरह, क्यू = एम जेड शरीर के घूर्णन अक्ष के सापेक्ष प्रणाली की सक्रिय शक्तियों का मुख्य क्षण।

4. आइए हम लैग्रेंज समीकरण में विभेदन संक्रियाएँ निष्पादित करें

: (17.14)

. (17.15)

समानता (17.15) को समीकरण (173) में प्रतिस्थापित करने पर

14) हमें पिंड की घूर्णी गति का अंतर समीकरण प्राप्त होता है

.

1. सामान्यीकृत बल की गणना सूत्र (227) का उपयोग करके की जा सकती है, जो इसे परिभाषित करता है, अर्थात।

2. सामान्यीकृत बलों की गणना प्रारंभिक कार्य (226") के लिए अभिव्यक्ति में सामान्यीकृत निर्देशांक की संगत विविधताओं के लिए गुणांक के रूप में की जा सकती है, अर्थात

3. सामान्यीकृत बलों की गणना के लिए सबसे उपयुक्त विधि, जो (226 "") से प्राप्त होती है, यदि सिस्टम को ऐसा संभावित आंदोलन दिया जाता है कि केवल एक सामान्यीकृत समन्वय बदलता है, जबकि अन्य नहीं बदलते हैं। तो, यदि, और बाकी , तो (179") से हमारे पास है

.

सूचकांक इंगित करता है कि प्राथमिक कार्यों के योग की गणना संभावित विस्थापन पर की जाती है, जिसके दौरान केवल समन्वय बदलता है (भिन्न होता है)। यदि चर निर्देशांक है, तो

. (227")

सामान्यीकृत बलों के संदर्भ में बलों की एक प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति

सिस्टम संतुलन की स्थिति संभावित आंदोलनों के सिद्धांत से प्राप्त होते हैं। वे उन प्रणालियों पर लागू होते हैं जिनके लिए यह सिद्धांत मान्य है: होलोनोमिक, स्थिर, आदर्श और गैर-रिलीज़िंग बाधाओं के अधीन एक यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए, उस समय जब सिस्टम के सभी बिंदुओं की वेग शून्य के बराबर होती है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सभी सामान्यीकृत बल शून्य के बराबर हों

. (228")

गतिकी का सामान्य समीकरण

किसी भी कनेक्शन वाले सिस्टम के लिए गतिशीलता का सामान्य समीकरण (संयुक्त डी'अलेम्बर्ट-लैग्रेंज सिद्धांतया यांत्रिकी का सामान्य समीकरण):

, (229)

सिस्टम के वें बिंदु पर सक्रिय बल कहाँ लगाया जाता है; - बांड की प्रतिक्रिया शक्ति; – बिंदु जड़त्व बल; - संभव आंदोलन.

सिस्टम के संतुलन की स्थिति में, जब सिस्टम के बिंदुओं के सभी जड़त्वीय बल गायब हो जाते हैं, तो यह संभावित विस्थापन के सिद्धांत में बदल जाता है। इसका उपयोग आमतौर पर आदर्श कनेक्शन वाले सिस्टम के लिए किया जाता है, जिसके लिए शर्त पूरी होती है

इस मामले में (229) एक रूप लेता है:

,

,

. (230)

इस प्रकार, गतिशीलता के सामान्य समीकरण के अनुसार, आदर्श कनेक्शन वाले किसी सिस्टम की गति के किसी भी क्षण में, सिस्टम के सभी सक्रिय बलों और बिंदुओं की जड़ता बलों के प्राथमिक कार्यों का योग सिस्टम के किसी भी संभावित आंदोलन पर शून्य के बराबर होता है। कनेक्शनों द्वारा.

गतिकी के सामान्य समीकरण को अन्य समकक्ष रूप दिए जा सकते हैं। सदिशों के अदिश गुणनफल का विस्तार करते हुए इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

सिस्टम के वें बिंदु के निर्देशांक कहां हैं। यह ध्यान में रखते हुए कि इन अक्षों पर त्वरण के प्रक्षेपण के माध्यम से समन्वय अक्षों पर जड़त्व बलों के प्रक्षेपण संबंधों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं

,

गतिकी के सामान्य समीकरण को रूप दिया जा सकता है

इसी रूप में इसे कहा जाता है विश्लेषणात्मक रूप में गतिशीलता का सामान्य समीकरण.

गतिशीलता के सामान्य समीकरण का उपयोग करते समय, संभावित विस्थापनों पर सिस्टम की जड़त्वीय शक्तियों के प्राथमिक कार्य की गणना करने में सक्षम होना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, सामान्य बलों के लिए प्राप्त प्रारंभिक कार्य के लिए संबंधित सूत्रों को लागू करें। आइए हम किसी कठोर पिंड की गति के विशेष मामलों में उसकी जड़त्वीय शक्तियों पर उनके अनुप्रयोग पर विचार करें।

आगे बढ़ने के दौरान. इस मामले में, शरीर के पास स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है और, लगाए गए अवरोधों के कारण, केवल अनुवादात्मक गति ही कर सकता है। शरीर की संभावित गतिविधियां जो कनेक्शन की अनुमति देती हैं, वे भी अनुवादात्मक हैं।

स्थानांतरीय गति के दौरान जड़त्वीय बल परिणामी तक कम हो जाते हैं . किसी पिंड की संभावित स्थानांतरीय गति पर जड़त्व बलों के प्राथमिक कार्यों के योग के लिए, हम प्राप्त करते हैं

द्रव्यमान के केंद्र और शरीर के किसी भी बिंदु का संभावित विस्थापन कहां है, क्योंकि शरीर के सभी बिंदुओं का अनुवादात्मक संभावित विस्थापन समान है: त्वरण भी समान हैं, यानी।

जब एक कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। इस मामले में शरीर को एक डिग्री की स्वतंत्रता है। यह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूम सकता है। सुपरइम्पोज़्ड कनेक्शन द्वारा अनुमत संभावित गति भी एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक प्राथमिक कोण द्वारा शरीर का घूर्णन है।

जड़त्वीय बल घूर्णन अक्ष पर एक बिंदु तक कम होकर मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण तक कम हो जाते हैं। जड़त्वीय बलों का मुख्य वेक्टर एक निश्चित बिंदु पर लागू होता है, और संभावित विस्थापन पर इसका प्रारंभिक कार्य शून्य होता है। जड़त्वीय बलों के मुख्य क्षण के लिए, गैर-शून्य प्राथमिक कार्य केवल घूर्णन की धुरी पर इसके प्रक्षेपण द्वारा किया जाएगा। इस प्रकार, हमारे पास विचाराधीन संभावित विस्थापन पर जड़त्व बलों के कार्य का योग है

,

यदि कोण को कोणीय त्वरण के चाप तीर की दिशा में सूचित किया जाता है।

सपाट गति में. इस मामले में, कठोर शरीर पर लगाए गए अवरोध केवल संभावित समतल गति की अनुमति देते हैं। सामान्य स्थिति में, इसमें एक ध्रुव के साथ एक ट्रांसलेशनल संभावित आंदोलन शामिल होता है, जिसके लिए हम द्रव्यमान का केंद्र चुनते हैं, और द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर एक प्राथमिक कोण के माध्यम से घूर्णन करते हैं और जिसके समानांतर विमान के लंबवत होते हैं शरीर समतल गति कर सकता है।