दशमलव को जोड़ने और घटाने का नियम. दशमलव घटाना, नियम, उदाहरण, समाधान दशमलव जोड़ने और घटाने का नियम

दशमलव को जोड़ना और घटाना प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के समान है, लेकिन कुछ शर्तों के साथ।

नियम। पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के अंकों के अनुसार प्राकृतिक संख्याओं के रूप में किया जाता है।

लेखन में दशमलव को जोड़ना और घटानापूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने वाला अल्पविराम जोड़ और योग पर या एक कॉलम में लघुअंत, उपप्रकार और अंतर पर स्थित होना चाहिए (शर्त लिखने से लेकर गणना के अंत तक अल्पविराम के नीचे एक अल्पविराम)।

दशमलव को जोड़ना और घटानापंक्ति के लिए:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

दशमलव को जोड़ना और घटानाएक कॉलम में:

जब स्थानीय मान का योग दस से अधिक हो जाता है तो दशमलव जोड़ने के लिए संख्याओं को रिकॉर्ड करने के लिए एक अतिरिक्त शीर्ष पंक्ति की आवश्यकता होती है। दशमलव को घटाने के लिए उस स्थान को चिह्नित करने के लिए एक अतिरिक्त शीर्ष रेखा की आवश्यकता होती है जहां 1 उधार लिया गया है।

यदि परिशिष्ट या लघुअंत के दाईं ओर भिन्नात्मक भाग के पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में दाईं ओर आप उतने ही शून्य जोड़ सकते हैं (भिन्नात्मक भाग का अंक बढ़ाएँ) जितने अन्य परिशिष्ट में अंक हैं। या minuend.

दशमलव को गुणा करनासमान नियमों के अनुसार प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान ही किया जाता है, लेकिन उत्पाद में भिन्नात्मक भाग में कारकों के अंकों के योग के अनुसार एक अल्पविराम लगाया जाता है, दाएं से बाएं तक गिनती (योग का योग) गुणक के अंक कारकों के दशमलव बिंदु के बाद एक साथ लिए गए अंकों की संख्या है)।

उदाहरण:

पर दशमलव को गुणा करनाएक कॉलम में, दाईं ओर के पहले महत्वपूर्ण अंक को दाईं ओर के पहले महत्वपूर्ण अंक के नीचे हस्ताक्षरित किया जाता है, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं में होता है:

अभिलेख दशमलव को गुणा करनाएक कॉलम में:

अभिलेख दशमलव का विभाजनएक कॉलम में:

रेखांकित वर्ण वे वर्ण हैं जिनके बाद अल्पविराम लगता है क्योंकि भाजक एक पूर्णांक होना चाहिए।

नियम। पर भिन्नों को विभाजित करनादशमलव विभाजक को उतने ही अंकों से बढ़ाया जाता है जितने भिन्नात्मक भाग में अंक होते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंश नहीं बदलता है, लाभांश को अंकों की समान संख्या से बढ़ाया जाता है (लाभांश और भाजक में, दशमलव बिंदु को अंकों की समान संख्या पर ले जाया जाता है)। विभाजन के उस चरण में भागफल में अल्पविराम लगाया जाता है जब भिन्न का पूरा भाग विभाजित हो जाता है।

दशमलव भिन्नों के लिए, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं के लिए, नियम रहता है: आप दशमलव भिन्न को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

इस ट्यूटोरियल में हम इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन को अलग से देखेंगे।

पाठ सामग्री

दशमलव जोड़ना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव जोड़ते समय पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग अलग-अलग जोड़े जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव भिन्न 3.2 और 5.3 जोड़ें। किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक है।

आइए पहले इन दो भिन्नों को एक कॉलम में लिखें, जिसमें पूर्णांक भाग आवश्यक रूप से पूर्णांक के अंतर्गत हों, और भिन्नात्मक भाग भिन्नात्मक के अंतर्गत हों। स्कूल में इस आवश्यकता को कहा जाता है "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम".

आइए भिन्नों को एक कॉलम में लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे:

हम भिन्नात्मक भागों को जोड़ना शुरू करते हैं: 2 + 3 = 5। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम पूरे भाग को जोड़ते हैं: 3 + 5 = 8. हम अपने उत्तर के पूरे भाग में आठ लिखते हैं:

अब हम पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए हम फिर से नियम का पालन करते हैं "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम":

हमें 8.5 का उत्तर मिला. अतः व्यंजक 3.2 + 5.3, 8.5 के बराबर है

वास्तव में, सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यहां नुकसान भी हैं, जिनके बारे में हम अभी बात करेंगे।

दशमलव में स्थान

सामान्य संख्याओं की तरह दशमलव भिन्नों के भी अपने अंक होते हैं। ये दसवें के स्थान, सौवें के स्थान, हजारवें के स्थान हैं। इस मामले में, अंक दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

दशमलव बिंदु के बाद का पहला अंक दसवें स्थान के लिए जिम्मेदार है, दशमलव बिंदु के बाद दूसरा अंक सौवें स्थान के लिए, और दशमलव बिंदु के बाद तीसरा अंक हजारवें स्थान के लिए जिम्मेदार है।

दशमलव स्थानों में कुछ उपयोगी जानकारी होती है। विशेष रूप से, वे आपको बताते हैं कि एक दशमलव में कितने दसवें, सौवें और हज़ारवें भाग होते हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 0.345 पर विचार करें

वह स्थिति जहां तीनों स्थित हैं, कहलाती है दसवाँ स्थान

वह स्थिति जहां चारों स्थित हैं, कहलाती है सौवां स्थान

वह स्थिति जहां पांच स्थित हैं, कहलाती है हज़ारवाँ स्थान

आइए इस चित्र को देखें. हम देखते हैं कि दसवें स्थान पर तीन है। इसका मतलब यह है कि दशमलव भिन्न 0.345 में तीन दसवें भाग होते हैं।

यदि हम भिन्नों को जोड़ते हैं, तो हमें मूल दशमलव भिन्न 0.345 प्राप्त होता है

यह देखा जा सकता है कि पहले तो हमें उत्तर मिला, लेकिन हमने इसे दशमलव अंश में बदल दिया और 0.345 प्राप्त हुआ।

दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय उन्हीं सिद्धांतों और नियमों का पालन किया जाता है जैसे सामान्य संख्याओं को जोड़ते समय किया जाता है। दशमलव भिन्नों का योग अंकों में होता है: दसवें को दसवें में जोड़ा जाता है, सौवें को सौवें में, हजारवें को हजारवें में जोड़ा जाता है।

इसलिए, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, आपको नियम का पालन करना चाहिए "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम". अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम वही क्रम प्रदान करता है जिसमें दसवें को दसवें, सौवें को सौवें, हजारवें को हजारवें में जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1।व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग 5 + 4 = 9 जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में नौ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग 1 + 3 = 4 जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में चार लिखते हैं:

अब हम पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हैं:

हमें 4.9 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 1.5 + 3.4 का मान 4.9 है

उदाहरण 2.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.51 + 1.22

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं।

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग को जोड़ते हैं, अर्थात् 1+2=3 का सौवां भाग। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में त्रिक लिखते हैं:

अब दशमांश 5+2=7 जोड़ें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में सात लिखते हैं:

अब हम पूरे भागों को जोड़ते हैं 3+1=4. हम अपने उत्तर के पूरे भाग में चार लिखते हैं:

हम "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए, पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं:

हमें जो उत्तर मिला वह 4.73 था। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 3.51 + 1.22 का मान 4.73 के बराबर है

3,51 + 1,22 = 4,73

नियमित संख्याओं की तरह, दशमलव जोड़ते समय, . इस मामले में, उत्तर में एक अंक लिखा जाता है, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

उदाहरण 3.व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को कॉलम में लिखते हैं:

सौवें भाग को जोड़ें 5+7=12. संख्या 12 हमारे उत्तर के सौवें भाग में फिट नहीं बैठेगी। इसलिए, सौवें भाग में हम संख्या 2 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक पर ले जाते हैं:

अब हम 6+2=8 का दसवां हिस्सा और पिछले ऑपरेशन से मिली इकाई को जोड़ते हैं, हमें 9 मिलता है। हम अपने उत्तर के दसवें में संख्या 9 लिखते हैं:

अब हम पूरे भागों को जोड़ते हैं 2+3=5. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

हमें जो उत्तर मिला वह 5.92 था। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 2.65 + 3.27 का मान 5.92 के बराबर है

2,65 + 3,27 = 5,92

उदाहरण 4.व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को कॉलम में लिखते हैं

हम भिन्नात्मक भाग 5 + 8 = 13 जोड़ते हैं। संख्या 13 हमारे उत्तर के भिन्नात्मक भाग में फिट नहीं होगी, इसलिए हम पहले संख्या 3 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक में ले जाते हैं, या यों कहें कि इसे स्थानांतरित करते हैं। पूर्णांक भाग:

अब हम पूर्णांक भाग 9+2=11 और पिछले ऑपरेशन से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, हमें 12 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 12 लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें उत्तर 12.3 प्राप्त हुआ। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 9.5 + 2.8 का मान 12.3 है

9,5 + 2,8 = 12,3

दशमलव जोड़ते समय, दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में ये स्थान शून्य से भरे हुए हैं।

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 12.725 + 1.7

इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखने से पहले, आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान कर लें। दशमलव भिन्न 12.725 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, लेकिन भिन्न 1.7 में केवल एक अंक होता है। इसका मतलब है कि भिन्न 1.7 में आपको अंत में दो शून्य जोड़ने होंगे। तब हमें भिन्न 1.700 प्राप्त होता है। अब आप इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिख सकते हैं और गणना शुरू कर सकते हैं:

हजारवें भाग को जोड़ें 5+0=5. हम अपने उत्तर के हज़ारवें भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

सैकड़ावाँ भाग 2+0=2 जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में संख्या 2 लिखते हैं:

दहाई जोड़ें 7+7=14. संख्या 14 हमारे उत्तर के दसवें हिस्से में फिट नहीं बैठेगी। इसलिए, हम पहले संख्या 4 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक पर ले जाते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग 12+1=13 और पिछले ऑपरेशन से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, हमें 14 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 14 लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें 14,425 की प्रतिक्रिया मिली। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 12.725+1.700 का मान 14.425 है

12,725+ 1,700 = 14,425

दशमलव घटाना

दशमलव अंशों को घटाते समय, आपको उन्हीं नियमों का पालन करना चाहिए जो जोड़ते समय करते हैं: "दशमलव बिंदु के नीचे अल्पविराम" और "दशमलव बिंदु के बाद अंकों की समान संख्या।"

उदाहरण 1।व्यंजक 2.5 − 2.2 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं:

हम भिन्नात्मक भाग 5−2=3 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 3 लिखते हैं:

हम पूर्णांक भाग 2−2=0 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में शून्य लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें 0.3 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 2.5 − 2.2 का मान 0.3 के बराबर है

2,5 − 2,2 = 0,3

उदाहरण 2.व्यंजक 7.353 - 3.1 का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति में दशमलव स्थानों की भिन्न संख्या है। भिन्न 7.353 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, लेकिन भिन्न 3.1 में केवल एक अंक होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्न 3.1 में आपको दोनों भिन्नों में अंकों की संख्या समान बनाने के लिए अंत में दो शून्य जोड़ने की आवश्यकता है। तो हमें 3,100 मिलते हैं.

अब आप इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिख सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

हमें 4,253 की प्रतिक्रिया मिली। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 7.353 - 3.1 का मान 4.253 के बराबर है

7,353 — 3,1 = 4,253

सामान्य संख्याओं की तरह, यदि घटाव असंभव हो जाए तो कभी-कभी आपको आसन्न अंक से एक अंक उधार लेना होगा।

उदाहरण 3.व्यंजक 3.46 − 2.39 का मान ज्ञात कीजिए

6−9 का सौवाँ भाग घटाएँ। आप संख्या 6 में से संख्या 9 नहीं घटा सकते। इसलिए, आपको आसन्न अंक में से एक अंक उधार लेना होगा। आसन्न अंक में से एक को उधार लेने पर, संख्या 6 संख्या 16 में बदल जाती है। अब आप 16−9=7 के सौवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में सात लिखते हैं:

अब हम दसवाँ भाग घटाते हैं। चूँकि हमने दसवें स्थान पर एक इकाई ले ली, इसलिए वहाँ स्थित आंकड़ा एक इकाई कम हो गया। दूसरे शब्दों में, दसवें स्थान पर अब संख्या 4 नहीं, बल्कि संख्या 3 है। आइए 3−3=0 के दसवें हिस्से की गणना करें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में शून्य लिखते हैं:

अब हम पूर्ण भाग 3−2=1 घटाते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में एक लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें 1.07 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि व्यंजक 3.46−2.39 का मान 1.07 के बराबर है

3,46−2,39=1,07

उदाहरण 4. व्यंजक 3−1.2 का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण एक पूर्ण संख्या से दशमलव घटाता है। आइए इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें ताकि दशमलव अंश 1.23 का पूरा भाग संख्या 3 के अंतर्गत हो

अब दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान कर लेते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या 3 के बाद हम अल्पविराम लगाते हैं और एक शून्य जोड़ते हैं:

अब हम दसवां हिस्सा घटाते हैं: 0−2. आप शून्य में से संख्या 2 नहीं घटा सकते। इसलिए, आपको आसन्न अंक में से एक अंक लेना होगा। पड़ोसी अंक से एक उधार लेने पर, 0 संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10−2=8 के दसवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में आठ लिखते हैं:

अब हम पूरे भागों को घटाते हैं। पहले, संख्या 3 संपूर्ण में स्थित थी, लेकिन हमने इसमें से एक इकाई ले ली। परिणामस्वरूप, यह संख्या 2 में बदल गया। इसलिए, 2 से हम 1 घटाते हैं। 2−1=1। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में एक लिखते हैं:

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें जो उत्तर मिला वह 1.8 था। इसका मतलब है कि व्यंजक 3−1.2 का मान 1.8 है

दशमलव को गुणा करना

दशमलव को गुणा करना सरल भी है और मज़ेदार भी। दशमलव को गुणा करने के लिए, आप अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करें।

उत्तर प्राप्त करने के बाद, आपको पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी, फिर उत्तर में दाईं ओर से समान अंकों की संख्या गिननी होगी और अल्पविराम लगाना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान ज्ञात कीजिए

आइए अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, इन दशमलव भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करें। अल्पविरामों को अनदेखा करने के लिए, आप अस्थायी रूप से कल्पना कर सकते हैं कि वे पूरी तरह से अनुपस्थित हैं:

हमें 375 मिला। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 2.5 और 1.5 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। पहले भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, और दूसरे भिन्न में भी एक अंक होता है। कुल दो नंबर.

हम संख्या 375 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें 3.75 का उत्तर मिला. अतः व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान 3.75 है

2.5 × 1.5 = 3.75

उदाहरण 2.व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान ज्ञात कीजिए

आइए अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, इन दशमलव भिन्नों को गुणा करें:

हमें 34695 मिला। इस संख्या में आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 12.85 और 2.7 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। भिन्न 12.85 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, और भिन्न 2.7 में एक अंक होता है - कुल तीन अंक।

हम संख्या 34695 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें 34,695 का रिस्पॉन्स मिला. अतः व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान 34.695 है

12.85 × 2.7 = 34.695

दशमलव को एक नियमित संख्या से गुणा करना

कभी-कभी ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब आपको दशमलव भिन्न को किसी नियमित संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

दशमलव और संख्या को गुणा करने के लिए, आप दशमलव में अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना उन्हें गुणा करते हैं। उत्तर प्राप्त करने के बाद, आपको पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी, फिर उत्तर में दाईं ओर से अंकों की समान संख्या गिननी होगी और अल्पविराम लगाना होगा।

उदाहरण के लिए, 2.54 को 2 से गुणा करें

अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, दशमलव भिन्न 2.54 को सामान्य संख्या 2 से गुणा करें:

हमें संख्या 508 मिली। इस संख्या में आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 508 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें 5.08 का उत्तर मिला. अतः व्यंजक 2.54 × 2 का मान 5.08 है

2.54 × 2 = 5.08

दशमलव को 10, 100, 1000 से गुणा करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से गुणा करना उसी तरह से किया जाता है जैसे दशमलव को नियमित संख्याओं से गुणा करना। आपको दशमलव अंश में अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए गुणन करना है, फिर उत्तर में, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना है, दाईं ओर से अंकों की उतनी ही संख्या गिननी है जितनी दशमलव बिंदु के बाद अंक थे।

उदाहरण के लिए, 2.88 को 10 से गुणा करें

दशमलव भिन्न में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, दशमलव भिन्न 2.88 को 10 से गुणा करें:

हमें 2880 मिला। इस संख्या में आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। हम देखते हैं कि भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 2880 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें 28.80 का जवाब मिला. आइए अंतिम शून्य को हटा दें और 28.8 प्राप्त करें। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 2.88×10 का मान 28.8 है

2.88 × 10 = 28.8

दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। इसमें दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना शामिल है जितने गुणनखंड में शून्य हैं।

उदाहरण के लिए, आइए पिछले उदाहरण 2.88×10 को इस प्रकार हल करें। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 10 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दाएँ एक अंक तक ले जाते हैं, हमें 28.8 प्राप्त होता है।

2.88 × 10 = 28.8

आइए 2.88 को 100 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 100 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दाएँ दो अंकों तक ले जाते हैं, हमें 288 प्राप्त होता है

2.88 × 100 = 288

आइए 2.88 को 1000 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 1000 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं। वहां कोई तीसरा अंक नहीं है, इसलिए हम एक और शून्य जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 2880 मिलते हैं।

2.88 × 1000 = 2880

दशमलव को 0.1 0.01 और 0.001 से गुणा करना

दशमलव को 0.1, 0.01, और 0.001 से गुणा करना उसी तरह काम करता है जैसे दशमलव को दशमलव से गुणा करना। भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करना और उत्तर में अल्पविराम लगाना, दाहिनी ओर उतने ही अंक गिनना आवश्यक है जितने दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंक हों।

उदाहरण के लिए, 3.25 को 0.1 से गुणा करें

हम इन भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करते हैं, अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए:

हमें 325 मिला। इस संख्या में आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 3.25 और 0.1 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। भिन्न 3.25 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, और भिन्न 0.1 में एक अंक होता है। कुल तीन नंबर.

हम संख्या 325 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है। तीन अंक गिनने के बाद पता चलता है कि अंक खत्म हो गए हैं। इस मामले में, आपको एक शून्य जोड़ना होगा और अल्पविराम जोड़ना होगा:

हमें 0.325 का उत्तर मिला। इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 3.25 × 0.1 का मान 0.325 है

3.25 × 0.1 = 0.325

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। इसमें दशमलव बिंदु को बाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना शामिल है जितने गुणनखंड में शून्य हैं।

उदाहरण के लिए, आइए पिछले उदाहरण 3.25 × 0.1 को इस प्रकार हल करें। बिना कोई गणना दिए हम तुरंत 0.1 के गुणक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं। अल्पविराम को एक अंक बाईं ओर ले जाने पर, हम देखते हैं कि तीन से पहले कोई और अंक नहीं हैं। इस स्थिति में, एक शून्य जोड़ें और अल्पविराम लगाएं। परिणाम 0.325 है

3.25 × 0.1 = 0.325

आइए 3.25 को 0.01 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत 0.01 के गुणक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को बाएँ दो अंकों पर ले जाते हैं, हमें 0.0325 मिलता है

3.25 × 0.01 = 0.0325

आइए 3.25 को 0.001 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत 0.001 के गुणक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00325 मिलता है

3.25 × 0.001 = 0.00325

दशमलव भिन्नों को 0.1, 0.001 और 0.001 से गुणा करने को 10, 100, 1000 से गुणा करने में भ्रमित न हों। अधिकांश लोगों के लिए यह एक सामान्य गलती है।

10, 100, 1000 से गुणा करने पर, दशमलव बिंदु दाईं ओर उतने ही अंकों से चला जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

और जब 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा किया जाता है, तो दशमलव बिंदु बाईं ओर उतने ही अंकों से चला जाता है, क्योंकि गुणक में शून्य होते हैं।

यदि शुरुआत में याद रखना कठिन हो, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें सामान्य संख्याओं की तरह गुणा किया जाता है। उत्तर में, आपको पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा, दाईं ओर अंकों की समान संख्या गिननी होगी क्योंकि दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंक हैं।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देना। अग्रवर्ती स्तर।

पिछले पाठों में से एक में, हमने कहा था कि जब एक छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो एक भिन्न प्राप्त होता है, जिसका अंश लाभांश होता है, और हर भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, एक सेब को दो के बीच विभाजित करने के लिए, आपको अंश में 1 (एक सेब) लिखना होगा, और हर में 2 (दो मित्र) लिखना होगा। परिणामस्वरूप, हमें भिन्न प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि प्रत्येक मित्र को एक सेब मिलेगा। दूसरे शब्दों में, आधा सेब. भिन्न समस्या का उत्तर है "एक सेब को दो भागों में कैसे बाँटें"

यह पता चलता है कि यदि आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं तो आप इस समस्या को और अधिक हल कर सकते हैं। आखिरकार, किसी भी भिन्न में भिन्नात्मक रेखा का अर्थ विभाजन होता है, और इसलिए भिन्न में इस विभाजन की अनुमति है। आख़िर कैसे? हम इस तथ्य के आदी हैं कि लाभांश हमेशा भाजक से बड़ा होता है। लेकिन यहां, इसके विपरीत, लाभांश भाजक से कम है।

यदि हम यह याद रखें कि अंश का अर्थ कुचलना, विभाजन करना, विभाजन करना है तो सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। इसका मतलब यह है कि इकाई को केवल दो भागों में नहीं, बल्कि जितने चाहें उतने भागों में विभाजित किया जा सकता है।

जब आप किसी छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करते हैं, तो आपको एक दशमलव अंश मिलता है जिसमें पूर्णांक भाग 0 (शून्य) होता है। भिन्नात्मक भाग कुछ भी हो सकता है।

तो, आइए 1 को 2 से विभाजित करें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

एक को पूर्णतः दो भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता। यदि आप कोई प्रश्न पूछते हैं "एक में कितने दो होते हैं" , तो उत्तर 0 होगा। इसलिए, भागफल में हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब, हमेशा की तरह, शेषफल प्राप्त करने के लिए हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं:

वह क्षण आ गया है जब इकाई को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, परिणामी शून्य के दाईं ओर एक और शून्य जोड़ें:

हमें 10 प्राप्त हुआ। 10 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 5 प्राप्त होता है। हम पाँच को अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में लिखते हैं:

अब हम गणना पूरी करने के लिए अंतिम शेषफल निकालते हैं। 10 प्राप्त करने के लिए 5 को 2 से गुणा करें

हमें 0.5 का उत्तर मिला. अतः भिन्न 0.5 है

दशमलव अंश 0.5 का उपयोग करके आधा सेब भी लिखा जा सकता है। यदि हम इन दो हिस्सों (0.5 और 0.5) को जोड़ दें, तो हमें फिर से असली पूरा सेब मिलता है:

यह बात तब भी समझ में आ सकती है जब आप कल्पना करें कि 1 सेमी को दो भागों में कैसे विभाजित किया जाता है। यदि आप 1 सेंटीमीटर को 2 भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 0.5 सेमी मिलता है

उदाहरण 2.व्यंजक 4:5 का मान ज्ञात कीजिए

एक चार में कितनी पाँच होती हैं? बिल्कुल नहीं। हम भागफल में 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम चार के नीचे एक शून्य लिखते हैं। इस शून्य को लाभांश से तुरंत घटा दें:

अब चारों को 5 भागों में बाँटना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, 4 के दाईं ओर एक शून्य जोड़ें और 40 को 5 से विभाजित करें, हमें 8 मिलता है। हम भागफल में आठ लिखते हैं।

हम 40 प्राप्त करने के लिए 8 को 5 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं:

हमें 0.8 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 4:5 का मान 0.8 है

उदाहरण 3.व्यंजक 5:125 का मान ज्ञात कीजिए

पाँच में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल नहीं। हम भागफल में 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम पाँच के नीचे 0 लिखते हैं। पांच में से तुरंत 0 घटाएं

अब पाँचों को 125 भागों में बाँटना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इन पाँच के दाईं ओर एक शून्य लिखते हैं:

50 को 125 से भाग दें। संख्या 50 में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल नहीं। अतः भागफल में हम पुनः 0 लिखते हैं

0 को 125 से गुणा करें, हमें 0 मिलता है। इस शून्य को 50 के नीचे लिखें। तुरंत 50 में से 0 घटा दें

अब संख्या 50 को 125 भागों में विभाजित करें। ऐसा करने के लिए, हम 50 के दाईं ओर एक और शून्य लिखते हैं:

500 को 125 से विभाजित करें। संख्या 500 में 125 कितनी संख्याएँ हैं? संख्या 500 में चार संख्याएँ 125 हैं। चारों को भागफल में लिखें:

हम 500 प्राप्त करने के लिए 4 को 125 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं

हमें 0.04 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 5:125 का मान 0.04 है

बिना किसी शेषफल के संख्याओं को विभाजित करना

तो, चलिए भागफल में इकाई के बाद अल्पविराम लगाते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि पूर्णांक भागों का विभाजन समाप्त हो गया है और हम भिन्नात्मक भाग की ओर आगे बढ़ रहे हैं:

आइए शेषफल 4 में शून्य जोड़ें

अब 40 को 5 से विभाजित करें, हमें 8 प्राप्त होता है। हम भागफल में आठ लिखते हैं:

40−40=0. हमें 0 बचा है. इसका मतलब है कि विभाजन पूरी तरह से पूरा हो गया है। 9 को 5 से विभाजित करने पर दशमलव भिन्न 1.8 प्राप्त होता है:

9: 5 = 1,8

उदाहरण 2. 84 को बिना किसी शेषफल के 5 से विभाजित करें

सबसे पहले, 84 को हमेशा की तरह शेषफल के साथ 5 से विभाजित करें:

हमें निजी तौर पर 16 मिल गए और 4 और बचे हैं। आइए अब इस शेषफल को 5 से विभाजित करें। भागफल में अल्पविराम लगाएं, और शेष 4 में 0 जोड़ें

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम दशमलव बिंदु के बाद भागफल में आठ लिखते हैं:

और यह जाँच कर उदाहरण पूरा करें कि क्या अभी भी कुछ शेष है:

दशमलव को एक नियमित संख्या से विभाजित करना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव अंश को किसी नियमित संख्या से विभाजित करते समय, आपको सबसे पहले यह करना होगा:

• दशमलव भिन्न के पूरे भाग को इस संख्या से विभाजित करें;
• पूरे भाग को विभाजित करने के बाद, आपको तुरंत भागफल में अल्पविराम लगाना होगा और सामान्य विभाजन की तरह गणना जारी रखनी होगी।

उदाहरण के लिए, 4.8 को 2 से विभाजित करें

आइए इस उदाहरण को एक कोने में लिखें:

अब पूरे भाग को 2 से विभाजित करते हैं। चार को दो से विभाजित करने पर दो बराबर होता है। हम भागफल में दो लिखते हैं और तुरंत अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं और देखते हैं कि भाग से कोई शेषफल बचता है या नहीं:

4−4=0. शेषफल शून्य है. हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं, क्योंकि समाधान पूरा नहीं हुआ है। इसके बाद, हम सामान्य विभाजन की तरह गणना करना जारी रखेंगे। 8 को हटाएं और इसे 2 से विभाजित करें

8: 2 = 4. हम भागफल में चार लिखते हैं और तुरंत इसे भाजक से गुणा करते हैं:

हमें 2.4 का उत्तर मिला. व्यंजक 4.8:2 का मान 2.4 है

उदाहरण 2.व्यंजक 8.43:3 का मान ज्ञात कीजिए

8 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है। 2 के तुरंत बाद अल्पविराम लगाएं:

अब हम भागफल को भाजक 2 × 3 = 6 से गुणा करते हैं। हम आठ के नीचे छह लिखते हैं और शेषफल ज्ञात करते हैं:

24 को 3 से भाग देने पर 8 प्राप्त होता है। हम भागफल में आठ लिखते हैं। भाग का शेषफल ज्ञात करने के लिए इसे तुरंत भाजक से गुणा करें:

24−24=0. शेषफल शून्य है. हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं। हम लाभांश से अंतिम तीन हटाते हैं और 3 से विभाजित करते हैं, हमें 1 मिलता है। इस उदाहरण को पूरा करने के लिए तुरंत 1 को 3 से गुणा करें:

हमें जो उत्तर मिला वह 2.81 था। इसका अर्थ है कि व्यंजक 8.43:3 का मान 2.81 है

दशमलव को दशमलव से विभाजित करना

किसी दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश और भाजक में दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाना होगा जितना कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होता है, और फिर सामान्य संख्या से विभाजित करना होगा।

उदाहरण के लिए, 5.95 को 1.7 से विभाजित करें

आइए इस अभिव्यक्ति को एक कोने से लिखें

अब लाभांश और भाजक में हम दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाते हैं जितने अंक भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसका मतलब यह है कि लाभांश और भाजक में हमें दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाना होगा। हम हस्तांतरण:

दशमलव बिंदु को दाएँ एक अंक तक ले जाने के बाद, दशमलव भिन्न 5.95, भिन्न 59.5 बन गया। और दशमलव भिन्न 1.7, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, सामान्य संख्या 17 में बदल गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव भिन्न को एक नियमित संख्या से कैसे विभाजित किया जाता है। आगे की गणना कठिन नहीं है:

विभाजन को आसान बनाने के लिए अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाता है। इसकी अनुमति इसलिए है क्योंकि लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित करने पर भागफल नहीं बदलता है। इसका मतलब क्या है?

यह विभाजन की दिलचस्प विशेषताओं में से एक है। इसे भागफल गुण कहा जाता है। अभिव्यक्ति 9: 3 = 3 पर विचार करें। यदि इस अभिव्यक्ति में लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो भागफल 3 नहीं बदलेगा।

आइए लाभांश और भाजक को 2 से गुणा करें और देखें कि इससे क्या निकलता है:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भागफल नहीं बदला है।

यही बात तब होती है जब हम लाभांश और भाजक में अल्पविराम लगाते हैं। पिछले उदाहरण में, जहां हमने 5.91 को 1.7 से विभाजित किया था, हमने लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाया था। दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के बाद, अंश 5.91 को अंश 59.1 में बदल दिया गया और अंश 1.7 को सामान्य संख्या 17 में बदल दिया गया।

दरअसल, इस प्रक्रिया के अंदर 10 से गुणा होता था। यह इस तरह दिखता था:

5.91 × 10 = 59.1

इसलिए, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या यह निर्धारित करती है कि लाभांश और भाजक को किससे गुणा किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या यह निर्धारित करेगी कि लाभांश में कितने अंक और भाजक में दशमलव बिंदु दाईं ओर ले जाया जाएगा।

दशमलव को 10, 100, 1000 से विभाजित करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे। उदाहरण के लिए, 2.1 को 10 से विभाजित करें। एक कोने का उपयोग करके इस उदाहरण को हल करें:

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है. यह हल्का है. इस पद्धति का सार यह है कि लाभांश में अल्पविराम को उतने अंकों से बाईं ओर ले जाया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करें। 2.1:10. हम भाजक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। इसका मतलब है कि 2.1 के लाभांश में आपको दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाना होगा। हम अल्पविराम को बाएँ एक अंक पर ले जाते हैं और देखते हैं कि कोई और अंक नहीं बचा है। इस स्थिति में, संख्या से पहले एक और शून्य जोड़ें। परिणामस्वरूप हमें 0.21 प्राप्त होता है

आइए 2.1 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें। 100 में दो शून्य हैं। इसका मतलब है कि लाभांश 2.1 में हमें अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा:

2,1: 100 = 0,021

आइए 2.1 को 1000 से विभाजित करने का प्रयास करें। 1000 में तीन शून्य होते हैं। इसका मतलब है कि लाभांश 2.1 में आपको अल्पविराम को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा:

2,1: 1000 = 0,0021

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से विभाजित करना

दशमलव अंश को 0.1, 0.01, और 0.001 से विभाजित करना उसी तरह से किया जाता है। लाभांश और भाजक में, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने अंक भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों।

उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को 0.1 से विभाजित करें। सबसे पहले, आइए लाभांश और भाजक में अल्पविरामों को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाएँ जितने अंकों की संख्या भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होती है। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसका मतलब है कि हम लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं।

दशमलव बिंदु को दाएँ एक अंक पर ले जाने के बाद, दशमलव भिन्न 6.3 सामान्य संख्या 63 बन जाता है, और दशमलव भिन्न 0.1 दशमलव बिंदु को दाएँ एक अंक पर ले जाने के बाद एक में बदल जाता है। और 63 को 1 से विभाजित करना बहुत सरल है:

इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 6.3: 0.1 का मान 63 है

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है. यह हल्का है. इस पद्धति का सार यह है कि लाभांश में अल्पविराम को उतने अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करें। 6.3: 0.1. आइए भाजक को देखें. हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। इसका मतलब है कि 6.3 के लाभांश में आपको दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाना होगा। अल्पविराम को दाएँ एक अंक पर ले जाएँ और 63 प्राप्त करें

आइए 6.3 को 0.01 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.01 के भाजक में दो शून्य होते हैं। इसका मतलब है कि लाभांश 6.3 में हमें दशमलव बिंदु को दो अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा। लेकिन लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। इस स्थिति में, आपको अंत में एक और शून्य जोड़ना होगा। परिणामस्वरूप हमें 630 मिलते हैं

आइए 6.3 को 0.001 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.001 के भाजक में तीन शून्य होते हैं। इसका मतलब है कि लाभांश 6.3 में हमें दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा:

6,3: 0,001 = 6300

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इस लेख में हम पर ध्यान केंद्रित करेंगे दशमलव घटाना. यहां हम परिमित दशमलव अंशों को घटाने के नियमों को देखेंगे, स्तंभ द्वारा दशमलव अंशों को घटाने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और यह भी विचार करेंगे कि अनंत आवधिक और गैर-आवधिक दशमलव अंशों को कैसे घटाया जाए। अंत में, हम प्राकृतिक संख्याओं, भिन्नों और मिश्रित संख्याओं से दशमलव घटाने और दशमलवों से प्राकृतिक संख्याओं, भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को घटाने के बारे में बात करेंगे।

आइए तुरंत कहें कि यहां हम केवल बड़े दशमलव अंश से छोटे दशमलव अंश के घटाव पर विचार करेंगे; हम तर्कसंगत संख्याओं के घटाव के लेखों में अन्य मामलों का विश्लेषण करेंगे और वास्तविक संख्याओं का घटाव.

पेज नेविगेशन.

दशमलव घटाने के सामान्य सिद्धांत

मूलतः परिमित दशमलव और अनंत आवधिक दशमलव को घटानासंगत साधारण भिन्नों के घटाव का प्रतिनिधित्व करता है। दरअसल, संकेतित दशमलव अंश सामान्य अंशों के दशमलव अंकन हैं, जैसा कि लेख में सामान्य अंशों को दशमलव में परिवर्तित करने और इसके विपरीत चर्चा की गई है।

आइए बताए गए सिद्धांत से शुरू करके दशमलव भिन्नों को घटाने के उदाहरण देखें।

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 0.31 से दशमलव भिन्न 3.7 घटाएँ।

समाधान।

चूँकि 3.7 = 37/10 और 0.31 = 31/100, तो। इसलिए दशमलव भिन्नों का घटाव अलग-अलग हर वाले साधारण भिन्नों के घटाव में बदल दिया गया:। आइए परिणामी भिन्न को दशमलव भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 339/100=3.39।

उत्तर:

3,7−0,31=3,39 .

ध्यान दें कि किसी कॉलम में अंतिम दशमलव अंशों को घटाना सुविधाजनक है; हम इस विधि के बारे में बात करेंगे।

आइए अब आवर्त दशमलव भिन्नों को घटाने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

आवर्त दशमलव भिन्न 0.(4) से आवर्त दशमलव भिन्न 0.41(6) घटाएँ।

समाधान।

उत्तर:

0,(4)−0,41(6)=0,02(7) .

आवाज देना बाकी है अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को घटाने का सिद्धांत.

अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को घटाने से परिमित दशमलव भिन्नों को घटाया जाता है। ऐसा करने के लिए, घटाए गए अनंत दशमलव अंशों को किसी स्थान पर पूर्णांकित किया जाता है, आमतौर पर न्यूनतम संभव तक (देखें)। संख्याओं को पूर्णांकित करना).

उदाहरण।

अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश 2.77369 से परिमित दशमलव अंश 0.52 घटाएँ…।

समाधान।

आइए अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्न को 4 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें, हमारे पास 2.77369...≈2.7737 है। इस प्रकार, 2,77369…−0,52≈2,7737−0,52 . अंतिम दशमलव भिन्नों के बीच अंतर की गणना करने पर, हमें 2.2537 प्राप्त होता है।

उत्तर:

2,77369…−0,52≈2,2537 .

स्तंभ द्वारा दशमलव भिन्नों को घटाना

अंतिम दशमलव अंशों को घटाने का एक बहुत ही सुविधाजनक तरीका कॉलम घटाव है। दशमलव भिन्नों का स्तंभ घटाव प्राकृतिक संख्याओं के स्तंभ घटाव के समान है।

अंजाम देना स्तंभ द्वारा दशमलव भिन्नों को घटाना, करने की जरूरत है:

• दशमलव अंशों के रिकॉर्ड में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें (यदि यह निश्चित रूप से भिन्न है), अंशों में से किसी एक के दाईं ओर एक निश्चित संख्या में शून्य जोड़कर;
• लघुअंत के नीचे उपशीर्षक लिखें ताकि संबंधित अंकों के अंक एक दूसरे के नीचे हों, और अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो;
• अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, स्तंभ घटाव करें;
• परिणामी अंतर में, अल्पविराम लगाएं ताकि वह मीनूएंड और सबट्रेंड के अल्पविराम के नीचे स्थित हो।

आइए एक कॉलम में दशमलव भिन्नों को घटाने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

दशमलव 10.30501 को दशमलव 4452.294 से घटाएँ।

समाधान।

जाहिर है, भिन्नों के दशमलव स्थानों की संख्या भिन्न-भिन्न होती है। आइए अंश 4 452.294 के अंकन में दाईं ओर दो शून्य जोड़कर इसे बराबर करें, जिसके परिणामस्वरूप एक समान दशमलव अंश 4 452.29400 होगा।

आइए अब लघुअंत के अंतर्गत उपट्रेंड लिखें, जैसा कि एक कॉलम में दशमलव अंशों को घटाने की विधि द्वारा सुझाया गया है:

हम अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए घटाव करते हैं:

जो कुछ बचा है वह परिणामी अंतर में एक दशमलव बिंदु लगाना है:

इस स्तर पर, रिकॉर्डिंग पूर्ण रूप ले लेती है, और एक कॉलम में दशमलव अंशों का घटाव पूरा हो जाता है। निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुआ.

उत्तर:

4 452,294−10,30501=4 441,98899 .

किसी प्राकृतिक संख्या से दशमलव अंश घटाना और इसके विपरीत

किसी प्राकृतिक संख्या से अंतिम दशमलव घटानाइसे एक कॉलम में करना सबसे सुविधाजनक है, भिन्नात्मक भाग में शून्य के साथ कम की जा रही प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश के रूप में लिखना। आइए उदाहरण को हल करते समय इसका पता लगाएं।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 15 में से दशमलव अंश 7.32 घटाएँ।

समाधान।

आइए प्राकृतिक संख्या 15 को दशमलव अंश के रूप में कल्पना करें, दशमलव बिंदु के बाद दो अंक 0 जोड़ने पर (चूंकि घटाए गए दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग में दो अंक होते हैं), हमारे पास 15.00 होता है।

आइए अब एक कॉलम में दशमलव भिन्नों को घटाएँ:

परिणामस्वरूप, हमें 15−7.32=7.68 प्राप्त होता है।

उत्तर:

15−7,32=7,68 .

एक प्राकृतिक संख्या से एक अनंत आवर्त दशमलव को घटानाकिसी प्राकृतिक संख्या में से एक साधारण भिन्न को घटाने तक कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आवधिक दशमलव अंश को संबंधित साधारण अंश से बदलना पर्याप्त है।

उदाहरण।

प्राकृतिक संख्या 1 से आवधिक दशमलव भिन्न 0,(6) घटाएँ।

समाधान।

आवधिक दशमलव भिन्न 0.(6) सामान्य भिन्न 2/3 से मेल खाता है। इस प्रकार, 1−0,(6)=1−2/3=1/3. परिणामी साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न 0,(3) के रूप में लिखा जा सकता है।

उत्तर:

1−0,(6)=0,(3) .

एक प्राकृतिक संख्या से एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव को घटानाअंतिम दशमलव अंश को घटाने के लिए नीचे आता है। ऐसा करने के लिए, एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

उदाहरण।

प्राकृतिक संख्या 5 से अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश 4.274... घटाएँ।

समाधान।

सबसे पहले, आइए अनंत दशमलव भिन्न को पूर्णांकित करें, हम निकटतम सौवें भाग तक पूर्णांकित कर सकते हैं, हमारे पास 4.274...≈4.27 है। फिर 5−4.274…≈5−4.27.

आइए प्राकृत संख्या 5 की 5.00 के रूप में कल्पना करें, और एक कॉलम में दशमलव भिन्नों को घटाएँ:

उत्तर:

5−4,274…≈0,73 .

आवाज देना बाकी है दशमलव भिन्न से प्राकृतिक संख्या घटाने का नियम: दशमलव अंश से एक प्राकृतिक संख्या को घटाने के लिए, आपको इस प्राकृतिक संख्या को कम किए जा रहे दशमलव अंश के पूर्णांक भाग से घटाना होगा, और भिन्नात्मक भाग को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। यह नियम परिमित और अनंत दोनों दशमलव भिन्नों पर लागू होता है। आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

दशमलव अंश 37.505 से प्राकृत संख्या 17 घटाएँ।

समाधान।

दशमलव भिन्न 37.505 का पूर्ण भाग 37 के बराबर है। इसमें से प्राकृत संख्या 17 घटाने पर हमें 37−17=20 प्राप्त होता है। फिर 37.505−17=20.505.

उत्तर:

37,505−17=20,505 .

किसी भिन्न या मिश्रित संख्या से दशमलव घटाना और इसके विपरीत

किसी भिन्न से परिमित दशमलव या अनंत आवर्त दशमलव को घटानासाधारण भिन्नों को घटाने तक कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, घटाए जाने वाले दशमलव अंश को साधारण भिन्न में परिवर्तित करना पर्याप्त है।

उदाहरण।

सामान्य भिन्न 4/5 में से दशमलव भिन्न 0.25 घटाएँ।

समाधान।

चूँकि 0.25=25/100=1/4, तो सामान्य भिन्न 4/5 और दशमलव भिन्न 0.25 के बीच का अंतर सामान्य भिन्न 4/5 और 1/4 के बीच के अंतर के बराबर है। इसलिए, 4/5−0,25=4/5−1/4=16/20−5/20=11/20 . दशमलव अंकन में, परिणामी सामान्य भिन्न 0.55 है।

उत्तर:

4/5−0,25=11/20=0,55 .

वैसे ही किसी मिश्रित संख्या से अनुवर्ती दशमलव या आवधिक दशमलव को घटानाएक मिश्रित संख्या में से एक सामान्य भिन्न को घटाने पर आता है।

उदाहरण।

मिश्रित संख्या से दशमलव भिन्न 0,(18) घटाएँ।

समाधान।

सबसे पहले, आइए आवर्त दशमलव भिन्न 0,(18) को एक साधारण भिन्न में बदलें:। इस प्रकार, । दशमलव संकेतन में परिणामी मिश्रित संख्या का रूप 8,(18) है।

जोड़ की तरह, दशमलव को घटाना भी संख्याओं को सही ढंग से लिखने पर निर्भर करता है।

दशमलव घटाने का नियम

1) अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम!

नियम का यह भाग सबसे महत्वपूर्ण है. दशमलव अंशों को घटाते समय, उन्हें इस प्रकार लिखा जाना चाहिए कि मीनुएंड और सबट्रेंड के अल्पविराम सख्ती से एक दूसरे के नीचे हों।

2) हम दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को बराबर करते हैं। ऐसा करने के लिए, जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या छोटी है, हम दशमलव बिंदु के बाद शून्य जोड़ते हैं।

3) अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए संख्याओं को घटाएं।

4) अल्पविराम के नीचे अल्पविराम हटा दें.

दशमलव घटाने के उदाहरण.

दशमलव भिन्नों 9.7 और 3.5 के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें इस प्रकार लिखते हैं कि दोनों संख्याओं में अल्पविराम सख्ती से एक दूसरे के नीचे हों। फिर हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए घटाते हैं। परिणामी परिणाम में, हम अल्पविराम हटाते हैं, अर्थात, हम मीनूएंड और सबट्रेंड के अल्पविराम के नीचे लिखते हैं:

2) 23,45 — 1,5

एक दशमलव भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको उन्हें इस प्रकार लिखना होगा कि अल्पविराम एक दूसरे के ठीक नीचे स्थित हों। चूँकि 23.45 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं, और 1.5 में केवल एक अंक है, इसलिए हम 1.5 में एक शून्य जोड़ते हैं। इसके बाद हम अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए घटाव करते हैं। परिणामस्वरूप, हम अल्पविराम के नीचे अल्पविराम हटा देते हैं:

23,45 — 1,5=21,95.

हम दशमलव भिन्नों को लिखकर घटाना शुरू करते हैं ताकि अल्पविराम एक दूसरे के ठीक नीचे स्थित हों। पहली संख्या में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरी में तीन अंक होता है, इसलिए हम पहली संख्या में लुप्त दो अंकों के स्थान पर शून्य लिखते हैं। फिर हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, संख्याओं को घटाते हैं। परिणामी परिणाम में, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम हटा दें:

63,5-8,921=54,579.

4) 2,8703 — 0,507

इन दशमलव भिन्नों को घटाने के लिए, हम उन्हें इस प्रकार लिखते हैं कि दूसरी संख्या का दशमलव बिंदु पहले के दशमलव बिंदु के ठीक नीचे स्थित हो। पहली संख्या में दशमलव बिंदु के बाद चार अंक होते हैं, दूसरी संख्या में तीन अंक होते हैं, इसलिए हम दूसरी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद एक अंतिम शून्य जोड़ते हैं। इसके बाद हम इन संख्याओं को साधारण प्राकृतिक संख्याओं की तरह अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना घटा देते हैं। परिणामी परिणाम में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लिखें:

2,8703 — 0,507 = 2,3663.

5) 35,46 — 7,372

हम संख्याओं को इस प्रकार लिखकर दशमलव भिन्नों को घटाना शुरू करते हैं कि अल्पविराम एक के नीचे एक हों। हम पहली संख्या में दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य जोड़ते हैं ताकि दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक हों। फिर हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए घटाते हैं। उत्तर में हम अल्पविराम के नीचे से अल्पविराम हटाते हैं:

35,46 — 7,372 = 28,088.

किसी प्राकृतिक संख्या से दशमलव भिन्न को घटाने के लिए अंत में अल्पविराम लगाएं और दशमलव बिंदु के बाद आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ें। हम अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना घटाव क्यों करते हैं? जवाब में, हम अल्पविराम के ठीक नीचे अल्पविराम हटा देते हैं:

45 — 7,303 = 37,698.

7) 17,256 — 4,756

हम दशमलव भिन्नों को घटाने पर यह उदाहरण उसी प्रकार निष्पादित करते हैं। परिणाम अंत में दशमलव बिंदु के बाद शून्य वाली एक संख्या है। हम उन्हें उत्तर में नहीं लिखते: 17.256 - 4.756 = 12.5.

दशमलव घटाने के लिए, आपको चाहिए: 1) मीनूएंड और सबट्रेंड में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना; 2) मीनूएंड के नीचे सबट्रैहेंड पर हस्ताक्षर करें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे; 3) अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना घटाव करें, और परिणामी परिणाम में मीनूएंड और सबट्रेंड के अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण। दशमलव का घटाव करें.

1) 24,538-18,292.

समाधान। हमने सबट्रेंड को मीनूएंड के नीचे लिखा ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे। हमने अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना घटाव किया और परिणामी परिणाम में हमने इन भिन्नों में अल्पविरामों के नीचे अल्पविराम लगा दिया।

24,538-18,292=6,246.

2) 145,723-98,943.

हम इसे उसी तरह हल करते हैं। फर्क समझ आया 46,780. यदि आप दशमलव के अंत में शून्य हटा देते हैं, तो भिन्न का मान नहीं बदलता है।

145,723-98,943=46,78.

3) 18-7,61.

समाधान। आइए मिनटएंड और सबट्रेंड में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें। हम मीनूएंड के अंतर्गत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करते हैं ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे। हम अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना घटाव करते हैं, और परिणामी अंतर में हम इन भिन्नों में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाते हैं।