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क्या समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान है? रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरण: समाधान विधि

निर्देश

प्रतिस्थापन या अनुक्रमिक उन्मूलन की विधि। प्रतिस्थापन का उपयोग कम संख्या में अज्ञात वाले सिस्टम में किया जाता है। यह सरल लोगों के लिए सबसे सरल समाधान विधि है। सबसे पहले, पहले समीकरण से हम एक अज्ञात को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करते हैं, और इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। हम परिवर्तित दूसरे समीकरण से दूसरे अज्ञात को व्यक्त करते हैं, परिणामी को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, आदि। जब तक हम अंतिम अज्ञात की गणना नहीं कर लेते। फिर हम इसके मान को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और अंतिम अज्ञात आदि का पता लगाते हैं। अज्ञात के साथ विचार करें.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
आइए x को पहले समीकरण से व्यक्त करें: x = 3 - y। आइए दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
आप = 1
पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें प्रणाली(या x के लिए अभिव्यक्ति में, जो एक ही बात है): x + 1 - 3 = 0. हमें वह x = 2 मिलता है।

शब्दवार घटाव (या जोड़) विधि। यह विधि अक्सर समाधान कम कर देती है प्रणालीऔर गणनाओं को सरल बनाएं। इसमें समीकरणों को जोड़ने (या घटाने) के लिए अज्ञात का विश्लेषण करना शामिल है प्रणालीसमीकरण से कुछ अज्ञात को हटाने के लिए। आइए एक उदाहरण देखें, पहली विधि की तरह ही प्रणाली लें।
एक्स + वाई - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
यह देखना आसान है कि y के लिए गुणांक परिमाण में समान हैं, लेकिन एक संकेत के साथ, इसलिए यदि हम पद दर पद दो समीकरण जोड़ते हैं, तो हम y को समाप्त करने में सक्षम होंगे। आइए जोड़ करें: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 या 3x - 6 = 0. इस प्रकार, x = 2. इस मान को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम y पाते हैं।
इसके विपरीत, आप x को बाहर कर सकते हैं। x के गुणांकों का चिह्न समान है, इसलिए हम एक समीकरण को दूसरे से घटा देंगे। लेकिन पहले समीकरण में x का गुणांक 1 है, और दूसरे में यह 2 है, इसलिए x को समाप्त करना संभव नहीं है। पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर, हमें निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
आइए अब पहले समीकरण के प्रत्येक पद से दूसरे को घटाएँ: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 या, समान लाते हुए, 3y - 3 = 0. इस प्रकार y = 1. प्रतिस्थापित करना किसी भी समीकरण में, हम x पाते हैं।

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टिप 2: रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता कैसे साबित करें

उच्च गणित का एक कार्य रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता सिद्ध करना है। प्रमाण क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके किया जाना चाहिए, जिसके अनुसार एक प्रणाली सुसंगत है यदि उसके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है।

निर्देश

सिस्टम का मूल मैट्रिक्स लिखिए। ऐसा करने के लिए, समीकरणों को मानक रूप में रखें (अर्थात, सभी गुणांकों को एक ही क्रम में रखें, यदि उनमें से कोई भी गायब है, तो उन्हें केवल संख्यात्मक गुणांक "0" के साथ लिखें)। सभी गुणांकों को एक तालिका के रूप में लिखें, इसे कोष्ठक में संलग्न करें (दाईं ओर ले जाए गए मुक्त पदों को ध्यान में न रखें)।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को उसी तरह लिखें, केवल इस मामले में दाईं ओर एक ऊर्ध्वाधर पट्टी लगाएं और मुक्त शब्दों का एक कॉलम लिखें।

मुख्य मैट्रिक्स की रैंक की गणना करें, यह सबसे बड़ा गैर-शून्य लघु है। प्रथम-क्रम लघु मैट्रिक्स का कोई भी अंक है; यह स्पष्ट है कि यह शून्य के बराबर नहीं है। दूसरे क्रम के माइनर की गणना करने के लिए, कोई भी दो पंक्तियाँ और कोई भी दो कॉलम लें (आपको चार अंक मिलेंगे)। निर्धारक की गणना करें, ऊपरी बाएँ संख्या को निचले दाएँ से गुणा करें, परिणामी संख्या से निचले बाएँ और ऊपरी दाएँ के गुणनफल को घटाएँ। आपके पास दूसरे दर्जे का नाबालिग है।

तीसरे क्रम के लघु की गणना करना अधिक कठिन है। ऐसा करने के लिए, कोई भी तीन पंक्तियाँ और तीन कॉलम लें, आपको नौ संख्याओं की एक तालिका मिलेगी। सूत्र का उपयोग करके निर्धारक की गणना करें: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (गुणांक का पहला अंक पंक्ति संख्या है, दूसरा अंक स्तंभ संख्या है)। आपके पास तीसरा ऑर्डर माइनर है।

इसी प्रकार, संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। कृपया ध्यान दें कि यदि आपके सिस्टम में समीकरणों की संख्या रैंक से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, तीन समीकरण, और रैंक 3 है), तो विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक की गणना करने का कोई मतलब नहीं है - यह स्पष्ट रूप से इस संख्या के बराबर होगा . इस मामले में, हम सुरक्षित रूप से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है।

विषय पर वीडियो

पूछा गया प्रश्न संपूर्ण पाठ्यक्रम "रैखिक बीजगणित" के मुख्य लक्ष्य को पूरी तरह से कवर करता है। इसलिए, विस्तृत गणना और स्पष्टीकरण के बिना, उत्तर केवल संक्षिप्त रूप में दिया जा सकता है। सामान्य तौर पर, रैखिक समीकरण दिलचस्प होते हैं क्योंकि उन्हें पूरी तरह से एल्गोरिथम विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

निर्देश

n अज्ञात के साथ m रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का रूप है (चित्र 1 देखें)।
इसमें, aij प्रणाली के गुणांक हैं, xj अज्ञात हैं, bi स्वतंत्र पद हैं (i=1, 2, ... , t; j=1, 2, ... , n)। ऐसी प्रणाली का व्यावहारिक अर्थ उस स्थिति में होता है जब इसके समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से अधिक न हो, अर्थात जब m≤n। मुद्दा यह है कि अन्यथा "अतिरिक्त" समीकरण बाकी का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। बात यह है कि वे बस उन्हें दोहराते हैं। यदि नहीं, तो समाधान मौजूद नहीं है (सिस्टम संगत नहीं है)।

ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप AX=B में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है। यहां ए सिस्टम का गुणांक है, एक्स अज्ञात का एक मैट्रिक्स-कॉलम है, बी मुक्त शब्दों का एक मैट्रिक्स-कॉलम है (चित्र 2 देखें)। यदि m=n, अर्थात अज्ञात की संख्या है और समीकरणों की संख्या समान है, तो मैट्रिक्स ए वर्ग है। इसलिए, मैट्रिक्स ∆=|A| के निर्धारक की अवधारणा को इसके लिए परिभाषित किया गया है। |A|≠0 के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स A⁻¹ है। यह समानता AA⁻¹= A⁻¹A=E (E पहचान मैट्रिक्स है) पर आधारित है। गणना के लिए सूत्र चित्र 2 में भी मौजूद है। इसे केवल यह जोड़ा जाना चाहिए कि तत्व एइज Ã, जिसे मैट्रिक्स ए के तत्वों एइजे के बीजगणितीय पूरक कहा जाता है, की गणना निम्नानुसार की जाती है। निर्धारक |A| लें और aij तत्व वाली पंक्ति और स्तंभ को काट दें। शेष गुणांकों को एक निर्धारक के रूप में लिखें, जिसे आप (-1) से गुणा करते हैं यदि i+j सम नहीं है। संगत संख्या Aij है। बीजगणितीय जोड़ सहायक मैट्रिक्स के स्तंभों के साथ लिखे गए हैं।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम का समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, बाईं ओर सिस्टम AX=B के दोनों पक्षों को A⁻¹ से गुणा करें। (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B या X=A⁻¹B प्राप्त करें। सभी विवरण चित्र में दर्शाए गए हैं। 3. वही चित्र दिखाता है

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली. मूल शर्तें। मैट्रिक्स रिकॉर्डिंग फॉर्म.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली की परिभाषा। सिस्टम समाधान. प्रणालियों का वर्गीकरण.

अंतर्गत रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली(एसएलएई) एक प्रणाली दर्शाता है

पैरामीटर aij कहलाते हैं गुणांकों, और द्वि - मुफ़्त सदस्य SLAU. कभी-कभी, समीकरणों और अज्ञात की संख्या पर जोर देने के लिए, वे कहते हैं "एम×एन रैखिक समीकरणों की प्रणाली", जिससे संकेत मिलता है कि एसएलएई में एम समीकरण और एन अज्ञात शामिल हैं।

यदि सभी निःशुल्क पद bi=0 हैं तो SLAE कहा जाता है सजातीय. यदि मुक्त सदस्यों में से कम से कम एक गैर-शून्य सदस्य है, तो SLAE को बुलाया जाता है विजातीय.

एसएलएयू के समाधान द्वारा(1) संख्याओं के किसी भी क्रमबद्ध संग्रह को कॉल करें (α1,α2,...,αn) यदि इस संग्रह के तत्वों को अज्ञात x1,x2,...,xn के लिए दिए गए क्रम में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो प्रत्येक SLAE समीकरण को बदल दें एक पहचान।

किसी भी सजातीय SLAE के पास कम से कम एक समाधान होता है: शून्य(अन्य शब्दावली में - तुच्छ), अर्थात्। x1=x2=…=xn=0.

यदि SLAE (1) के पास कम से कम एक समाधान है, तो इसे कहा जाता है संयुक्त, यदि कोई समाधान नहीं है - गैर संयुक्त. यदि एक संयुक्त SLAE के पास बिल्कुल एक ही समाधान है, तो इसे कहा जाता है निश्चित, यदि समाधानों का अनंत सेट है - ढुलमुल.

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की लेखन प्रणाली का मैट्रिक्स रूप।

प्रत्येक SLAE के साथ कई मैट्रिक्स संबद्ध किए जा सकते हैं; इसके अलावा, SLAE को मैट्रिक्स समीकरण के रूप में भी लिखा जा सकता है। SLAE (1) के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स पर विचार करें:

मैट्रिक्स ए कहा जाता है सिस्टम का मैट्रिक्स. इस मैट्रिक्स के तत्व किसी दिए गए SLAE के गुणांक का प्रतिनिधित्व करते हैं।

मैट्रिक्स A˜ को कहा जाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली. इसे सिस्टम मैट्रिक्स में मुक्त पद b1,b2,...,bm युक्त एक कॉलम जोड़कर प्राप्त किया जाता है। आमतौर पर इस कॉलम को स्पष्टता के लिए एक ऊर्ध्वाधर रेखा से अलग किया जाता है।

कॉलम मैट्रिक्स बी को कहा जाता है मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स, और कॉलम मैट्रिक्स X है अज्ञात का मैट्रिक्स.

ऊपर दिए गए नोटेशन का उपयोग करके, SLAE (1) को मैट्रिक्स समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है: A⋅X=B।

टिप्पणी

सिस्टम से जुड़े मैट्रिक्स को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है: सब कुछ विचाराधीन SLAE के चर और समीकरणों के क्रम पर निर्भर करता है। लेकिन किसी भी स्थिति में, किसी दिए गए SLAE के प्रत्येक समीकरण में अज्ञात का क्रम समान होना चाहिए

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय। स्थिरता के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल तभी जब सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, यानी। रंगए=रंगए˜.

एक प्रणाली को सुसंगत कहा जाता है यदि उसके पास कम से कम एक समाधान हो। क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय यह कहता है: यदि rangA=rangA˜, तो एक समाधान है; यदि rangA≠rangA˜, तो इस SLAE का कोई समाधान नहीं है (असंगत)। इन समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम द्वारा दिया गया है। परिणाम के निर्माण में, अक्षर n का उपयोग किया जाता है, जो दिए गए SLAE के चरों की संख्या के बराबर है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का परिणाम

यदि rangA≠rangA˜, तो SLAE असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।

यदि rangA=rangA˜

यदि rangA=rangA˜=n, तो SLAE निश्चित है (बिलकुल एक ही समाधान है)।

कृपया ध्यान दें कि तैयार किया गया प्रमेय और उसका परिणाम यह नहीं दर्शाता है कि SLAE का समाधान कैसे खोजा जाए। इनकी मदद से आप केवल यह पता लगा सकते हैं कि ये समाधान मौजूद हैं या नहीं और अगर मौजूद हैं तो कितने हैं।

SLAE को हल करने के तरीके

क्रैमर विधि

क्रैमर विधि का उद्देश्य रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की उन प्रणालियों को हल करना है जिसमें सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है। स्वाभाविक रूप से, यह मानता है कि सिस्टम का मैट्रिक्स वर्ग है (निर्धारक की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है)। क्रैमर विधि का सार तीन बिंदुओं में व्यक्त किया जा सकता है:

सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक की रचना करें (इसे सिस्टम का निर्धारक भी कहा जाता है), और सुनिश्चित करें कि यह शून्य के बराबर नहीं है, यानी। Δ≠0.

प्रत्येक चर xi के लिए एक निर्धारक Δ

सूत्र xi= Δ X i /Δ का उपयोग करके अज्ञात के मान ज्ञात करें

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स (कभी-कभी इस विधि को मैट्रिक्स विधि या व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि भी कहा जाता है) का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए एसएलएई के अंकन के मैट्रिक्स रूप की अवधारणा के साथ प्रारंभिक परिचित होने की आवश्यकता होती है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उद्देश्य रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की उन प्रणालियों को हल करना है जिसमें सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है। स्वाभाविक रूप से, यह मानता है कि सिस्टम का मैट्रिक्स वर्ग है (निर्धारक की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है)। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का सार तीन बिंदुओं में व्यक्त किया जा सकता है:

तीन मैट्रिक्स लिखें: सिस्टम ए का मैट्रिक्स, अज्ञात एक्स का मैट्रिक्स, मुक्त शर्तों बी का मैट्रिक्स।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 खोजें।

समानता X=A -1 ⋅B का उपयोग करके, दिए गए SLAE का समाधान प्राप्त करें।

गॉस विधि. गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

गॉस विधि हल करने के सबसे दृश्यमान और सरल तरीकों में से एक है रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ(एसएलएयू): सजातीय और विषमांगी दोनों। संक्षेप में, इस पद्धति का सार अज्ञात का क्रमिक उन्मूलन है।

गॉस विधि में परिवर्तन की अनुमति:

दो पंक्तियों का स्थान बदलना;

किसी स्ट्रिंग के सभी तत्वों को किसी ऐसी संख्या से गुणा करना जो शून्य के बराबर न हो।

एक पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़कर, किसी भी कारक से गुणा किया जाता है।

एक पंक्ति को काटना जिसके सभी तत्व शून्य हैं।

डुप्लिकेट पंक्तियों को पार करना.

अंतिम दो बिंदुओं के संबंध में: गॉस विधि का उपयोग करके समाधान के किसी भी चरण में दोहराई जाने वाली रेखाओं को पार किया जा सकता है - स्वाभाविक रूप से, उनमें से एक को छोड़कर। उदाहरण के लिए, यदि पंक्ति संख्या 2, संख्या 5, संख्या 6 दोहराई जाती है, तो आप उनमें से एक को छोड़ सकते हैं, उदाहरण के लिए, पंक्ति संख्या 5। इस स्थिति में, पंक्ति संख्या 2 और संख्या 6 हटा दी जाएंगी।

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स से शून्य पंक्तियाँ दिखाई देते ही हटा दी जाती हैं।

स्थिरता के लिए रैखिक आयुगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की एक प्रणाली का अध्ययन करने का मतलब यह पता लगाना है कि इस प्रणाली के पास समाधान हैं या नहीं। खैर, यदि समाधान हैं तो बताएं कि कितने हैं।

हमें "रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली। मूल पद। अंकन का मैट्रिक्स रूप" विषय से जानकारी की आवश्यकता होगी। विशेष रूप से, सिस्टम मैट्रिक्स और विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स जैसी अवधारणाओं की आवश्यकता होती है, क्योंकि क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का निर्माण उन पर आधारित है। हमेशा की तरह, हम सिस्टम मैट्रिक्स को $A$ अक्षर से और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को $\वाइडटिल्डे(A)$ अक्षर से निरूपित करेंगे।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल तभी जब सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, यानी। $\रंग ए=\रंग\वाइडटिल्डे(ए)$.

मैं आपको याद दिला दूं कि एक प्रणाली को संयुक्त कहा जाता है यदि उसके पास कम से कम एक समाधान हो। क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय यह कहता है: यदि $\rang A=\rang\ widthilde(A)$, तो एक समाधान है; यदि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो इस SLAE का कोई समाधान नहीं है (असंगत)। इन समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम द्वारा दिया गया है। परिणाम के निर्माण में, अक्षर $n$ का उपयोग किया जाता है, जो दिए गए SLAE के चरों की संख्या के बराबर है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का परिणाम

यदि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो SLAE असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।
यदि $\rang A=\rang\ widthilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
यदि $\rang A=\rang\whitetilde(A) = n$, तो SLAE निश्चित है (बिल्कुल एक समाधान है)।

उदाहरण क्रमांक 1

SLAE का पता लगाएं )\right.$ अनुकूलता के लिए। यदि SLAE संगत है, तो समाधानों की संख्या इंगित करें।

किसी दिए गए SLAE के समाधान के अस्तित्व का पता लगाने के लिए, हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करते हैं। हमें सिस्टम $A$ के मैट्रिक्स और सिस्टम $\वाइडटिल्डे(A)$ के विस्तारित मैट्रिक्स की आवश्यकता होगी, हम उन्हें लिखेंगे:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \वाइडटिल्ड(ए)=\बाएं(\प्रारंभ(सरणी) (सीसीसी|सी) -3 और 9 और-7 और 17 \\ -1 और 2 और -4 और 9\\ 4 और -2 और 19 और -42 \end(सरणी) \दाएं). $$

हमें $\rang A$ और $\rang\वाइडटिल्डे(A)$ खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ मैट्रिक्स रैंक अनुभाग में सूचीबद्ध हैं। आमतौर पर, ऐसी प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए दो तरीकों का उपयोग किया जाता है: "परिभाषा के अनुसार मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना" या "प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना"।

विधि संख्या 1. परिभाषा के अनुसार रैंक की गणना।

परिभाषा के अनुसार, रैंक मैट्रिक्स के अवयस्कों का उच्चतम क्रम है, जिनमें से कम से कम एक ऐसा होता है जो शून्य से भिन्न होता है। आमतौर पर, अध्ययन पहले क्रम के नाबालिगों के साथ शुरू होता है, लेकिन यहां मैट्रिक्स $A$ के तीसरे क्रम के नाबालिग की गणना तुरंत शुरू करना अधिक सुविधाजनक है। तीसरे क्रम के छोटे तत्व प्रश्न में मैट्रिक्स की तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों के चौराहे पर स्थित हैं। चूँकि मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 कॉलम हैं, मैट्रिक्स $A$ का तीसरा ऑर्डर माइनर मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है, अर्थात। $\डेल्टा ए$. निर्धारक की गणना करने के लिए, हम "दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र" विषय से सूत्र संख्या 2 लागू करते हैं:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

तो, मैट्रिक्स $A$ का एक तीसरा ऑर्डर माइनर है, जो शून्य के बराबर नहीं है। चौथे क्रम के माइनर का निर्माण करना असंभव है, क्योंकि इसके लिए 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों की आवश्यकता होती है, और मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ होते हैं। तो, मैट्रिक्स $A$ के अवयस्कों का उच्चतम क्रम, जिनमें से कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है, 3 के बराबर है। इसलिए, $\rang A=3$।

हमें $\rang\वाइडटिल्डे(ए)$ भी ढूंढना होगा। आइए मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की संरचना को देखें। मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(A)$ में लाइन तक मैट्रिक्स $A$ के तत्व हैं, और हमें पता चला कि $\Delta A\neq 0$। नतीजतन, मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ में तीसरे क्रम का नाबालिग है, जो शून्य के बराबर नहीं है। हम मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ के चौथे क्रम के माइनर का निर्माण नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang\वाइडटिल्डे(ए)=3$।

चूँकि $\rang A=\rang\whitetilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार प्रणाली सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है (कम से कम एक)। समाधानों की संख्या इंगित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $x_1$, $x_2$ और $x_3$। चूँकि अज्ञात की संख्या $n=3$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang A=\rang\ widthilde(A)=n$, इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, प्रणाली निश्चित है, अर्थात। एक अनोखा समाधान है.

समस्या सुलझ गई है। इस पद्धति के क्या नुकसान और फायदे हैं? सबसे पहले बात करते हैं फायदे की। सबसे पहले, हमें केवल एक निर्धारक खोजने की आवश्यकता थी। इसके बाद, हमने तुरंत समाधानों की संख्या के बारे में निष्कर्ष निकाला। आमतौर पर, मानक मानक गणनाएँ समीकरणों की प्रणालियाँ देती हैं जिनमें तीन अज्ञात होते हैं और एक अद्वितीय समाधान होता है। ऐसी प्रणालियों के लिए, यह विधि बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि हम पहले से जानते हैं कि एक समाधान है (अन्यथा उदाहरण मानक गणना में नहीं होता)। वे। हमें बस सबसे तेज़ तरीके से समाधान का अस्तित्व दिखाना है। दूसरे, सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक का परिकलित मान (यानी $\Delta A$) बाद में उपयोगी होगा: जब हम क्रैमर विधि का उपयोग करके या व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके किसी दिए गए सिस्टम को हल करना शुरू करते हैं।

हालाँकि, रैंक की गणना करने की विधि परिभाषा के अनुसार उपयोग करने के लिए अवांछनीय है यदि सिस्टम का मैट्रिक्स $A$ आयताकार है। इस मामले में, दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। इसके अलावा, यदि $\Delta A=0$, तो हम किसी दिए गए अमानवीय SLAE के समाधानों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कह सकते। हो सकता है कि SLAE के पास अनंत संख्या में समाधान हों, या शायद कोई भी नहीं। यदि $\Delta A=0$, तो अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होती है, जो अक्सर बोझिल होता है।

जो कहा गया है उसे संक्षेप में बताने के लिए, मैं नोट करता हूं कि पहली विधि उन SLAEs के लिए अच्छी है जिनका सिस्टम मैट्रिक्स वर्गाकार है। इसके अलावा, SLAE में स्वयं तीन या चार अज्ञात शामिल हैं और इसे मानक मानक गणनाओं या परीक्षणों से लिया गया है।

विधि संख्या 2. प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि द्वारा रैंक की गणना।

इस विधि का वर्णन संबंधित विषय में विस्तार से किया गया है। हम मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक की गणना करना शुरू करेंगे। मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(A)$ क्यों नहीं और $A$ क्यों? तथ्य यह है कि मैट्रिक्स $A$ मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ का हिस्सा है, इसलिए, मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक की गणना करके हम एक साथ मैट्रिक्स $ए$ की रैंक पाएंगे .

\begin(संरेखित) और\वाइडटिल्डे(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 और 19 और -42 \end(सरणी) \दाएं) \दायां तीर \बाएं|\पाठ(पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें)\दाएं| \दायां तीर \\ और\दायां तीर \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी|सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ -3 और 9 और-7 और 17\\ 4 और -2 और 19 और - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \fantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (सरणी) (सीसीसी|सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 और5 और -10\\ 0 और 6 और 3 और -6 \end(सरणी) \दाएं) \begin(सरणी) ( एल) \फैंटम(0) \\ फैंटम(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 और 5 और -10\\ 0 और 0 और -7 और 14 \end(सरणी) \दाएं) \end(संरेखित)

हमने मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ को घटाकर समलम्बाकार रूप में कर दिया है। परिणामी मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ में तीन गैर-शून्य तत्व हैं: -1, 3 और -7। निष्कर्ष: मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक 3 है, यानी। $\रंग\वाइडटिल्डे(ए)=3$. मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ के तत्वों के साथ परिवर्तन करते समय, हमने एक साथ लाइन तक स्थित मैट्रिक्स $ए$ के तत्वों को बदल दिया। मैट्रिक्स $A$ को भी समलम्बाकार रूप में घटा दिया गया है: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \सही )$. निष्कर्ष: मैट्रिक्स $A$ की रैंक भी 3 है, अर्थात। $\रंग ए=3$.

चूँकि $\rang A=\rang\whitetilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार प्रणाली सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है. समाधानों की संख्या इंगित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $x_1$, $x_2$ और $x_3$। चूँकि अज्ञात की संख्या $n=3$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang A=\rang\ widthilde(A)=n$, इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, सिस्टम को परिभाषित किया गया है, यानी। एक अनोखा समाधान है.

दूसरी विधि के क्या फायदे हैं? इसका मुख्य लाभ इसकी बहुमुखी प्रतिभा है। हमारे लिए यह मायने नहीं रखता कि सिस्टम का मैट्रिक्स वर्गाकार है या नहीं। इसके अलावा, हमने वास्तव में गॉसियन पद्धति के आगे के परिवर्तनों को अंजाम दिया। केवल कुछ चरण शेष हैं, और हम इस SLAE का समाधान प्राप्त कर सकते हैं। सच कहूँ तो, मुझे पहले की तुलना में दूसरी विधि अधिक पसंद है, लेकिन चुनाव स्वाद का मामला है।

उत्तर: दिया गया SLAE सुसंगत और परिभाषित है।

उदाहरण क्रमांक 2

SLAE का पता लगाएं अनुकूलता के लिए 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(संरेखित) \right.$।

हम प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके सिस्टम मैट्रिक्स और विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक पाएंगे। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स: $\ widthilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 और 3 और 2 \\ 3 और -2 और 5 और 1 \\ 2 और -3 और 5 और -4 \end(सरणी) \दाएं)$। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को परिवर्तित करके आवश्यक रैंक खोजें:

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में घटाया गया है। यदि किसी मैट्रिक्स को सोपानक रूप में घटाया जाता है, तो उसकी रैंक गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। इसलिए, $\rang A=3$. मैट्रिक्स $A$ (लाइन तक) को ट्रैपेज़ॉइडल रूप में घटा दिया गया है और इसकी रैंक 2 है, $\rang A=2$।

चूँकि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार सिस्टम असंगत है (यानी, इसका कोई समाधान नहीं है)।

उत्तर: सिस्टम असंगत है.

उदाहरण संख्या 3

SLAE का पता लगाएं ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(allined) \right.$ अनुकूलता के लिए।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है: $\ widthilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 और 0 और 2 और 17 \ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64 \ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \ 7 और -17 और 23 और 0 और 15 और 132 \end(सरणी) \दाएं)$। आइए इस मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें ताकि पहली पंक्ति का पहला तत्व एक हो जाए: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 और 0 और 7 और -5 और 11 और 42 \\ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64 \\ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \\ 7 और -17 और 23 और 0 और 15 और 132 \end(सरणी) \दाएं)$।

हमने सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स और सिस्टम के मैट्रिक्स को ही एक समलम्बाकार रूप में कम कर दिया है। सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है। चूँकि सिस्टम में $n=5$ अज्ञात हैं, अर्थात। $\रंग\वाइडटिल्डे(ए)=\रंग ए< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

उत्तर: सिस्टम अनिश्चित है.

दूसरे भाग में, हम उन उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे जो अक्सर उच्च गणित में मानक गणना या परीक्षणों में शामिल होते हैं: इसमें शामिल मापदंडों के मूल्यों के आधार पर एसएलएई की स्थिरता अनुसंधान और समाधान।

समाधान. ए= . आइए r(A) खोजें। क्योंकि आव्यूहऔर उसका क्रम 3x4 है, तो अवयस्कों का उच्चतम क्रम 3 है। इसके अलावा, सभी तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं (इसे स्वयं जांचें)। मतलब, आर(ए)< 3. Возьмем главный बुनियादी लघु = -5-4 = -9 ≠ 0. इसलिए r(A) =2.

चलो गौर करते हैं आव्यूह साथ = .

मामूली तीसरा आदेश ≠ 0. अतः r(C) = 3.

चूँकि r(A) ≠ r(C) , तो सिस्टम असंगत है।

उदाहरण 2.समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता निर्धारित करें

यदि यह सुसंगत हो तो इस प्रणाली को हल करें।

समाधान.

ए = , सी = . यह स्पष्ट है कि r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. चूँकि detC = 0, तो r(C)< 4. चलो गौर करते हैं नाबालिग तीसरा आदेश, मैट्रिक्स ए और सी के ऊपरी बाएँ कोने में स्थित: = -23 ≠ 0. अतः r(A) = r(C) = 3.

संख्या अज्ञात सिस्टम में n=3. इसका मतलब है कि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। इस मामले में, चौथा समीकरण पहले तीन के योग का प्रतिनिधित्व करता है और इसे अनदेखा किया जा सकता है।

क्रैमर के सूत्रों के अनुसारहमें x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 मिलता है।

2.4. मैट्रिक्स विधि. गाऊसी विधि

प्रणाली एनरेखीय समीकरणसाथ एनअज्ञात बातें सुलझ सकती हैं मैट्रिक्स विधिसूत्र X = A -1 B (Δ पर) के अनुसार ≠ 0), जो (2) से दोनों भागों को ए -1 से गुणा करने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण 1. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

मैट्रिक्स विधि (धारा 2.2 में इस प्रणाली को क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हल किया गया था)

समाधान. Δ = 10 ≠ 0 ए = - गैर-पतित मैट्रिक्स।

= (आवश्यक गणना करके इसे स्वयं जांचें)।

ए -1 = (1/Δ)х= .

एक्स = ए -1 वी = एक्स= .

उत्तर: .

व्यावहारिक दृष्टि सेमैट्रिक्स विधि और सूत्र क्रेमरबड़ी मात्रा में गणना से जुड़े हैं, इसलिए प्राथमिकता दी जाती है गाऊसी विधि, जिसमें अज्ञात का क्रमिक उन्मूलन शामिल है। ऐसा करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को त्रिकोणीय विस्तारित मैट्रिक्स के साथ एक समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है (मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं)। इन क्रियाओं को अग्रगति कहा जाता है। परिणामी त्रिकोणीय प्रणाली से, चर क्रमिक प्रतिस्थापन (रिवर्स) का उपयोग करके पाए जाते हैं।

उदाहरण 2. गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

(ऊपर, इस प्रणाली को क्रैमर के सूत्र और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके हल किया गया था)।

समाधान.

सीधी चाल. आइए विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय रूप में कम करें:

~ ~ ~ ~ .

हम पाते हैं प्रणाली

उलटी चाल.अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स 3 = -6 और इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

एक्स 2 = - 11/2 - 1/4एक्स 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

एक्स 1 = 2 -एक्स 2 + एक्स 3 = 2+4-6 = 0.

उत्तर: .

2.5. रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है = बी मैं(मैं=). माना r(A) = r(C) = r, अर्थात प्रणाली सहयोगी है. शून्य के अतिरिक्त क्रम r का कोई भी लघु है बुनियादी लघु.व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान लेंगे कि आधार नाबालिग मैट्रिक्स ए के पहले आर (1 ≤ आर ≤ मिनट (एम, एन)) पंक्तियों और स्तंभों में स्थित है। सिस्टम के अंतिम एम-आर समीकरणों को त्यागने के बाद, हम लिखते हैं संक्षिप्त प्रणाली:

जो मूल के समतुल्य है. आइए अज्ञातों के नाम बताएं x 1 ,….x rबुनियादी, और एक्स आर +1 ,…, एक्स आरमुक्त करें और मुक्त अज्ञात वाले पदों को काटे गए सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर ले जाएं। हमें बुनियादी अज्ञात के संबंध में एक प्रणाली प्राप्त होती है:

जो मुक्त अज्ञात के मूल्यों के प्रत्येक सेट के लिए है एक्स आर +1 = सी 1 ,…, एक्स एन = सी एन-आरकेवल एक ही समाधान है एक्स 1 (सी 1 ,…, सी एन-आर),…, एक्स आर (सी 1 ,…, सी एन-आर),क्रैमर नियम द्वारा पाया गया।

संगत समाधानसंक्षिप्त, और इसलिए मूल प्रणाली का रूप है:

एक्स(सी 1 ,…, सी एन-आर) = - प्रणाली का सामान्य समाधान.

यदि सामान्य समाधान में हम मुक्त अज्ञात को कुछ संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करते हैं, तो हमें रैखिक प्रणाली का एक समाधान प्राप्त होता है, जिसे आंशिक समाधान कहा जाता है।

उदाहरण. अनुकूलता स्थापित करें और सिस्टम का एक सामान्य समाधान खोजें

समाधान. ए = , सी = .

इसलिए कैसे आर(ए)= r(C) = 2 (इसे स्वयं देखें), तो मूल प्रणाली सुसंगत है और इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं (क्योंकि r< 4).

उदाहरण 1. सिस्टम का एक सामान्य समाधान और कुछ विशेष समाधान खोजें

समाधानहम इसे कैलकुलेटर का उपयोग करके करते हैं। आइए विस्तारित और मुख्य आव्यूह लिखें:

मुख्य मैट्रिक्स ए को एक बिंदीदार रेखा से अलग किया जाता है। हम सिस्टम के समीकरणों में शब्दों की संभावित पुनर्व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए, शीर्ष पर अज्ञात सिस्टम लिखते हैं। विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करके, हम एक साथ मुख्य की रैंक ज्ञात करते हैं। मैट्रिक्स बी में, पहला और दूसरा कॉलम आनुपातिक हैं। दो आनुपातिक स्तंभों में से, केवल एक ही मूल माइनर में आ सकता है, इसलिए आइए, उदाहरण के लिए, विपरीत चिह्न वाली बिंदीदार रेखा से परे पहले स्तंभ को ले जाएँ। सिस्टम के लिए, इसका मतलब समीकरणों के दाईं ओर x 1 से पदों को स्थानांतरित करना है।

आइए मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में कम करें। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि एक मैट्रिक्स पंक्ति को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करने और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे किसी अन्य समीकरण के साथ जोड़ना, जिससे समाधान नहीं बदलता है प्रणाली। हम पहली पंक्ति के साथ काम करते हैं: मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और बारी-बारी से दूसरी और तीसरी पंक्तियों में जोड़ें। फिर पहली पंक्ति को (-2) से गुणा करें और चौथी में जोड़ें।

दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए, उनमें से एक, उदाहरण के लिए दूसरी, को काटा जा सकता है। यह सिस्टम के दूसरे समीकरण को पार करने के बराबर है, क्योंकि यह तीसरे का परिणाम है।

अब हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं: इसे (-1) से गुणा करें और इसे तीसरी में जोड़ें।

बिंदीदार माइनर का क्रम उच्चतम है (संभावित माइनरों में से) और गैर-शून्य है (यह मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह माइनर मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित है, इसलिए rangA = रंगबी = 3.
नाबालिग बुनियादी है. इसमें अज्ञात x 2, x 3, x 4 के लिए गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 2, x 3, x 4 आश्रित हैं, और x 1, x 5 स्वतंत्र हैं।
आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें, बाईं ओर केवल आधार को छोटा छोड़ दें (जो उपरोक्त समाधान एल्गोरिदम के बिंदु 4 से मेल खाता है)।

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका स्वरूप है

अज्ञात को ख़त्म करने की विधि का उपयोग करके हम पाते हैं:
, ,

हमने आश्रित चर x 2, x 3, x 4 को मुक्त x 1 और x 5 के माध्यम से व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त किए, अर्थात, हमें एक सामान्य समाधान मिला:

मुक्त अज्ञात को कोई भी मान निर्दिष्ट करके, हम किसी भी संख्या में विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। आइए दो विशेष समाधान खोजें:
1) माना x 1 = x 5 = 0, फिर x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, फिर x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 रखें।
इस प्रकार, दो समाधान पाए गए: (0,1,-3,3,0) - एक समाधान, (1,4,-7,7,-1) - दूसरा समाधान।

उदाहरण 2. अनुकूलता का अन्वेषण करें, सिस्टम के लिए एक सामान्य और एक विशेष समाधान खोजें

समाधान. आइए पहले और दूसरे समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि पहले समीकरण में एक हो और मैट्रिक्स बी लिखें।

पहली पंक्ति के साथ संचालन करके हमें चौथे कॉलम में शून्य मिलते हैं:

अब हम दूसरी पंक्ति का उपयोग करके तीसरे कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं:

तीसरी और चौथी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से एक को रैंक बदले बिना काटा जा सकता है:
तीसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और चौथी में जोड़ें:

हम देखते हैं कि मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक 4 के बराबर है, और रैंक अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

उदाहरण 3. अनुकूलता के लिए सिस्टम की जाँच करें और यदि मौजूद है तो समाधान खोजें।

समाधान. हम सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं।

हम पहले दो समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि ऊपरी बाएँ कोने में 1 हो:
पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

दूसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

प्रणाली असंगत है, क्योंकि मुख्य मैट्रिक्स में हमें शून्य से युक्त एक पंक्ति प्राप्त हुई, जिसे रैंक मिलने पर काट दिया जाता है, लेकिन विस्तारित मैट्रिक्स में अंतिम पंक्ति बनी रहती है, अर्थात, r B > r A ।

व्यायाम. अनुकूलता के लिए समीकरणों की इस प्रणाली की जांच करें और मैट्रिक्स कैलकुलस का उपयोग करके इसे हल करें।
समाधान

उदाहरण. रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता सिद्ध करें और इसे दो तरीकों से हल करें: 1) गॉस विधि द्वारा; 2) क्रैमर विधि. (उत्तर को फ़ॉर्म में दर्ज करें: x1,x2,x3)
समाधान :doc :doc :xls
उत्तर: 2,-1,3.

उदाहरण. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है. इसकी अनुकूलता सिद्ध कीजिए। सिस्टम का एक सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें।
समाधान
उत्तर:एक्स 3 = - 1 + एक्स 4 + एक्स 5 ; एक्स 2 = 1 - एक्स 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

व्यायाम. प्रत्येक प्रणाली के सामान्य और विशेष समाधान खोजें।
समाधान।हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इस प्रणाली का अध्ययन करते हैं।
आइए विस्तारित और मुख्य आव्यूह लिखें:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3	एक्स 4	एक्स 5

यहां मैट्रिक्स ए को बोल्ड में हाइलाइट किया गया है।
आइए मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में कम करें। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि एक मैट्रिक्स पंक्ति को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करने और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे किसी अन्य समीकरण के साथ जोड़ना, जिससे समाधान नहीं बदलता है प्रणाली।
आइए पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

आइए दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को (-3) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ें:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

चयनित माइनर का क्रम उच्चतम है (संभावित माइनरों में से) और गैर-शून्य है (यह रिवर्स विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह माइनर मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित है, इसलिए रेंज( ए) = रंग(बी) = 3 चूंकि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, तो प्रणाली सहयोगी है.
यह माइनर बुनियादी है. इसमें अज्ञात x 1, x 2, x 3 के लिए गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 1, x 2, x 3 आश्रित (मूल) हैं, और x 4, x 5 स्वतंत्र हैं।
आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें, बाईं ओर केवल आधार को छोटा छोड़ दें।

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
एक्स 1	एक्स 2	एक्स 3		एक्स 4	एक्स 5

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
अज्ञात को ख़त्म करने की विधि का उपयोग करके हम पाते हैं:
हमने आश्रित चर x 1 , x 2 , x 3 को मुक्त x 4 , x 5 के माध्यम से व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त किए, अर्थात, हमने पाया सामान्य निर्णय:
एक्स 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
ढुलमुल, क्योंकि एक से अधिक समाधान हैं.

व्यायाम. समीकरणों की प्रणाली को हल करें.
उत्तर:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
मुक्त अज्ञात को कोई भी मान निर्दिष्ट करके, हम किसी भी संख्या में विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। सिस्टम है ढुलमुल

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