Координатын хавтгай ба графикууд. Хичээлийн хураангуй "Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл ба түүний график" Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн график
Функц бүтээх
Бид таны анхааралд бүх эрх нь компанид хамаарах функцүүдийн графикийг онлайнаар бүтээх үйлчилгээг санал болгож байна Десмос. Функцуудыг оруулахын тулд зүүн баганыг ашиглана уу. Та гараар эсвэл цонхны доод талд байрлах виртуал гарыг ашиглан оруулах боломжтой. Цонхыг графикаар томруулахын тулд та зүүн багана болон виртуал гарыг хоёуланг нь нууж болно.
Онлайн графикийн ашиг тус
- Оруулсан функцүүдийн визуал дэлгэц
- Маш нарийн төвөгтэй график бүтээх
- Графикуудыг далдаар зааж өгөх (жишээлбэл, эллипс x^2/9+y^2/16=1)
- Диаграммуудыг хадгалах, тэдгээрийн холбоосыг хүлээн авах чадвар нь интернетэд байгаа бүх хүмүүст боломжтой болно
- Масштаб, шугамын өнгөний хяналт
- Тогтмолыг ашиглан графикийг цэгээр зурах боломж
- Хэд хэдэн функцийн графикийг нэгэн зэрэг зурах
- Туйлын координатаар зурах (r ба θ(\theta)-г ашиглана)
Бидний тусламжтайгаар янз бүрийн нарийн төвөгтэй графикуудыг онлайнаар бүтээхэд хялбар байдаг. Барилга нь шууд хийгддэг. Энэхүү үйлчилгээ нь функцүүдийн огтлолцох цэгүүдийг олох, асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг Word баримт бичигт шилжүүлэх графикийг дүрслэх, функцийн графикийн зан үйлийн шинж чанарыг шинжлэхэд эрэлт хэрэгцээтэй байдаг. Энэ вэб хуудасны графиктай ажиллах хамгийн оновчтой хөтөч бол Google Chrome юм. Бусад хөтчүүдийг ашиглах үед зөв ажиллах баталгаа байхгүй.
Өгчихье F(x; y) хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл. Ийм тэгшитгэлийг аналитик аргаар шийдвэрлэх аргуудыг та аль хэдийн мэддэг болсон. Ийм тэгшитгэлийн олон шийдлийг график хэлбэрээр дүрсэлж болно.
F(x; y) тэгшитгэлийн график нь координат нь тэгшитгэлийг хангасан xOy координатын хавтгай дээрх цэгүүдийн багц юм.
Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн графикийг зурахын тулд эхлээд тэгшитгэл дэх у хувьсагчийг x хувьсагчаар илэрхийлнэ.
ax + b = c - шулуун шугам, yx = k - гипербол, (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 - радиустай тойрог гэсэн хоёр хувьсагчтай янз бүрийн тэгшитгэлийн графикийг хэрхэн бүтээхийг та аль хэдийн мэддэг болсон. R-тэй тэнцүү, төв нь O(a; b) цэг дээр байна.
Жишээ 1.
x 2 – 9y 2 = 0 тэгшитгэлийн графикийг зур.
Шийдэл.
Тэгшитгэлийн зүүн талыг үржвэр болгоё.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, өөрөөр хэлбэл y = x/3 эсвэл y = -x/3.
Хариулт: Зураг 1.
Үнэмлэхүй утгын тэмдгийг агуулсан тэгшитгэл бүхий хавтгай дээрх дүрсийг тодорхойлох нь онцгой байр суурь эзэлдэг бөгөөд бид үүнийг нарийвчлан авч үзэх болно. |y| хэлбэрийн тэгшитгэлийн график байгуулах үе шатуудыг авч үзье = f(x) ба |y| = |f(x)|.
Эхний тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) эсвэл y = -f(x).
Өөрөөр хэлбэл, түүний график нь y = f(x) ба y = -f(x) гэсэн хоёр функцийн графикаас бүрдэх бөгөөд энд f(x) ≥ 0 байна.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг зурахын тулд y = f(x) ба y = -f(x) гэсэн хоёр функцийг зур.
Жишээ 2.
|y| тэгшитгэлийг графикаар зур = 2 + x.
Шийдэл.
Өгөгдсөн тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 эсвэл y = -x – 2.
Бид олон цэгийг бий болгодог.
Хариулт: Зураг 2.
Жишээ 3.
|y – x| тэгшитгэлийг зур = 1.
Шийдэл.
Хэрэв y ≥ x бол y = x + 1, хэрэв y ≤ x бол у = x – 1 болно.
Хариулт: Зураг 3.
Модулийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийн графикийг байгуулахдаа ашиглахад тохиромжтой бөгөөд оновчтой байдаг. талбайн арга, координатын хавтгайг дэд модуль илэрхийлэл бүр тэмдэгээ хадгалсан хэсгүүдэд хуваахад үндэслэсэн.
Жишээ 4.
x + |x| тэгшитгэлийн графикийг зур + y + |y| = 2.
Шийдэл.
Энэ жишээнд дэд модуль илэрхийлэл бүрийн тэмдэг нь координатын квадратаас хамаарна.
1) Эхний координатын улиралд x ≥ 0 ба y ≥ 0. Модулийг өргөтгөсний дараа өгөгдсөн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
2x + 2y = 2, хялбаршуулсаны дараа x + y = 1.
2) Хоёрдугаар улиралд, энд x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) Гуравдугаар улиралд x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) Дөрөвдүгээр улиралд, x ≥ 0, y үед< 0 получим, что x = 1.
Бид энэ тэгшитгэлийг улиралаар зурах болно.
Хариулт: Зураг 4.
Жишээ 5.
Координатууд нь |x – 1| тэгш байдлыг хангасан цэгүүдийн багцыг зур + |y – 1| = 1.
Шийдэл.
Х = 1 ба у = 1 дэд модуль илэрхийллийн тэг нь координатын хавтгайг дөрвөн мужид хуваана. Модулиудыг бүсээр нь задалъя. Үүнийг хүснэгт хэлбэрээр зохион байгуулъя.
| Бүс нутаг |
Дэд модуль илэрхийллийн тэмдэг |
Модулийг өргөжүүлсний дараа үүссэн тэгшитгэл |
| I | x ≥ 1 ба y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 ба y< 1 | x – y = 1 |
Хариулт: Зураг 5.
Координатын хавтгайд дүрсүүдийг зааж өгч болно тэгш бус байдал.
Тэгш бус байдлын графикХоёр хувьсагчтай нь координатууд нь энэхүү тэгш бус байдлын шийдэл болох координатын хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог юм.
Ингээд авч үзье хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх загвар бүтээх алгоритм:
- Тэгш бус байдалд харгалзах тэгшитгэлийг бич.
- 1-р алхамаас эхлэн тэгшитгэлийг графикаар зур.
- Хагас хавтгайн аль нэгэнд дурын цэгийг сонго. Сонгосон цэгийн координатууд энэ тэгш бус байдлыг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.
- Тэгш бус байдлын бүх шийдлийн багцыг графикаар зур.
Эхлээд ax + bx + c > 0 тэгш бус байдлыг авч үзье. ax + bx + c = 0 тэгшитгэл нь хавтгайг хоёр хагас хавтгайд хуваах шулуун шугамыг тодорхойлдог. Тэдгээрийн тус бүрд f(x) = ax + bx + c функц тэмдэгээ хадгална. Энэ тэмдгийг тодорхойлохын тулд хагас хавтгайд хамаарах дурын цэгийг авч, энэ цэг дэх функцийн утгыг тооцоолоход хангалттай. Хэрэв функцийн тэмдэг нь тэгш бус байдлын тэмдэгтэй давхцаж байвал энэ хагас хавтгай нь тэгш бус байдлын шийдэл болно.
Хоёр хувьсагчтай хамгийн түгээмэл тэгш бус байдлын график шийдлүүдийн жишээг авч үзье.
1) ax + bx + c ≥ 0. Зураг 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Зураг 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Зураг 8.
4) y ≥ x 2. Зураг 9.
5)
xy ≤ 1. Зураг 10. 
Хэрэв танд асуулт байгаа бол эсвэл хоёр хувьсагчийн тэгш бус байдлын бүх шийдлийн багцыг хавтгай загвар дээр зурахыг хүсвэл математик загварчлалыг ашиглан хийж болно. Онлайн багштай 25 минутын үнэгүй хичээлбүртгүүлсний дараа. Багштай үргэлжлүүлэн ажиллахын тулд та өөрт тохирсон тарифын төлөвлөгөөг сонгох боломжтой болно.
Асуулт хэвээр байна уу? Координатын хавтгай дээр дүрс зурахаа мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
Энэ хичээлээр бид тэгшитгэлийн графикийг нарийвчлан авч үзэх болно. Эхлээд рационал тэгшитгэл гэж юу болох, тэгшитгэлийн графикийг бүрдүүлдэг шийдлүүдийн багцыг санацгаая. Шугаман тэгшитгэлийн график болон шугаман функцийн шинж чанаруудыг нарийвчлан авч үзэн, графикийг хэрхэн уншиж сурцгаая. Дараа нь квадрат тэгшитгэлийн график болон квадрат функцийн шинж чанарыг авч үзье. Гиперболын функц ба түүний график, тойргийн тэгшитгэлийн графикийг авч үзье. Дараа нь графикуудын багцыг бүтээх, судлах ажил руу шилжье.
Сэдэв: Тэгшитгэлийн системүүд
Хичээл: Графикийн тэгшитгэл
Бид хэлбэрийн оновчтой тэгшитгэл ба хэлбэрийн оновчтой тэгшитгэлийн системийг авч үздэг
Мэдээжийн хэрэг тэгшитгэлийн шийдэл байгаа бол энэ систем дэх тэгшитгэл бүр өөрийн гэсэн графиктай байдаг гэж бид хэлсэн. Бид янз бүрийн тэгшитгэлийн хэд хэдэн графикийг харлаа.
Одоо бид бидэнд мэдэгдэж байгаа тэгшитгэл бүрийг системтэйгээр авч үзэх болно, жишээлбэл. хянаж үзье тэгшитгэлийн графикууд.
1. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл 
x, y - эхний зэрэг; a,b,c - тодорхой тоонууд.
Жишээ: 
Энэ тэгшитгэлийн график нь шулуун шугам юм.
Бид ижил төстэй өөрчлөлтүүдээр ажилласан - бид y-г байрандаа үлдээж, бусад бүх зүйлийг эсрэг тэмдгээр нөгөө тал руу шилжүүлсэн. Анхны болон үр дүнгийн тэгшитгэлүүд нь тэнцүү байна, i.e. ижил шийдэлтэй байна. Бид энэ тэгшитгэлийн графикийг хэрхэн бүтээхийг мэддэг бөгөөд үүнийг байгуулах арга нь дараах байдалтай байна: бид координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олж, тэдгээрийг ашиглан шулуун шугамыг байгуулдаг.
Энэ тохиолдолд
Тэгшитгэлийн графикийг мэдсэнээр бид анхны тэгшитгэлийн шийдлүүдийн талаар маш их зүйлийг хэлж чадна, тухайлбал: хэрэв 
хэрэв 
Энэ функц нь нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл. x нэмэгдэх тусам у нэмэгдэнэ. Бид хоёр тодорхой шийдэлтэй байсан, гэхдээ бид бүх шийдлүүдийн багцыг хэрхэн бичих вэ?
Хэрэв цэг нь абсцисса х-тэй бол энэ цэгийн ординат нь байна
Тиймээс тоо
Бид тэгшитгэлтэй байсан, бид график хийсэн, шийдлийг олсон. Бүх хосын багц - хэд байна вэ? Тоо томшгүй олон.
Энэ бол оновчтой тэгшитгэл юм
y-г олъё, тэнцүү хувиргалтаар бид олж авна 
Үүнийг тавиад квадрат функцийг авъя, түүний график нь бидэнд мэдэгддэг.
Жишээ: Рационал тэгшитгэлийн графикийг зур.
График нь парабол, мөчрүүд нь дээшээ чиглэсэн байдаг.
Тэгшитгэлийн язгуурыг олъё:
Графикийг бүдүүвчээр дүрсэлцгээе ( Цагаан будаа. 2).
График ашиглан бид рационал тэгшитгэлийн функц болон шийдлийн талаар бүх төрлийн мэдээллийг авдаг. Бид тогтмол тэмдгийн интервалуудыг тодорхойлсон, одоо бид параболын оройн координатыг олох болно.
Тэгшитгэл нь тоо томшгүй олон шийдэлтэй, i.e. Тэгшитгэлийг хангах тоо томшгүй олон хос байдаг, гэхдээ бүгд x гэж юу байж болох вэ? Хэн ч!
Хэрэв бид аль нэг x-г тохируулбал оноо авна
Анхны тэгшитгэлийн шийдэл нь хосуудын багц юм
3. Тэгшитгэлийг графикаар зур
y-г илэрхийлэх шаардлагатай. Хоёр сонголтыг авч үзье.
Функцийн график нь гипербол, функц нь хэзээ тодорхойлогдоогүй байна
Функц нь буурч байна.
Хэрэв бид абсциссатай цэгийг авбал түүний ординат нь тэнцүү байх болно
Анхны тэгшитгэлийн шийдэл нь хосуудын багц юм
Баригдсан гиперболыг координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад шилжүүлж болно.
Жишээлбэл, функцийн график 
- бас гипербол - у тэнхлэгийн дагуу нэгээр дээш шилжинэ.
4. Тойргийн тэгшитгэл
Энэ бол хоёр хувьсагчтай оновчтой тэгшитгэл юм. Шийдлийн багц нь тойргийн цэгүүд юм. Радиусын цэг дээрх төв нь R-тэй тэнцүү байна (Зураг 4).
Тодорхой жишээнүүдийг харцгаая.
а. 
Тэгшитгэлийг тойргийн тэгшитгэлийн стандарт хэлбэр болгон бууруулъя, үүний тулд бид нийлбэрийн бүтэн квадратыг сонгоно.
- төвтэй тойргийн тэгшитгэлийг олж авав 
.
Тэгшитгэлийг зуръя 
(Зураг 5).
б. Тэгшитгэлийг графикаар зур
Нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцүү, хоёр дахь нь байгаа тохиолдолд л бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна гэдгийг санаарай.
Өгөгдсөн тэгшитгэлийн график нь эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийн графикуудын багцаас бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. хоёр шулуун шугам.
Үүнийг бүтээцгээе (Зураг 6).
Функцийн графикийг байгуулъя Шулуун шугам (0; -1) цэгийг дайран өнгөрнө. Гэхдээ энэ нь яаж явах вэ - энэ нь нэмэгдэх эсвэл буурах уу? Үүнийг тодорхойлоход өнцгийн коэффициент болох x коэффициент нь туслах болно, энэ нь сөрөг байна, энэ нь функц буурч байна гэсэн үг юм. Үхрийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё, энэ цэг (-1; 0).
Үүнтэй адилаар бид хоёр дахь тэгшитгэлийн графикийг зурна. Шулуун шугам нь (0; 1) цэгийг дайран өнгөрөх боловч нэмэгддэг тул налуу эерэг байна.
Баригдсан хоёр шугамын бүх цэгийн координат нь тэгшитгэлийн шийдэл болно.
Тиймээс бид хамгийн чухал оновчтой тэгшитгэлүүдийн графикуудыг шинжилсэн бөгөөд тэдгээрийг график арга болон тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх бусад аргуудыг дүрслэн харуулахад ашиглах болно.
1. Мордкович А.Г. болон бусад.Алгебр 9-р анги: Сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага.- 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-192 х.: өвчтэй.
2. Мордкович А.Г. болон бусад Алгебр 9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, гэх мэт - 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй.
3. Макарычев Ю.Н.Алгебр. 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын оюутнуудад зориулсан. байгууллагууд / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов. - 7-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Мнемосине, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебр. 9-р анги. 16 дахь хэвлэл. - М., 2011. - 287 х.
5. Мордкович A. G. Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: 2010. - 224 х.: өвчтэй.
6. Алгебр. 9-р анги. 2 хэсэгтэй. 2-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina болон бусад; Эд. A. G. Мордкович. - 12-р хэвлэл, Илч. - М.: 2010.-223 х.: өвчтэй.
1. Математикийн талаар College.ru хэсэг ().
2. "Даалгавар" интернет төсөл ().
3. Боловсролын портал "Би Улсын нэгдсэн шалгалтыг ШИЙДЭХ болно" ().
1. Мордкович А.Г. болон бусад Алгебр 9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан асуудлын ном / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, гэх мэт - 4-р хэвлэл. - М.: Мнемосине, 2002.-143 х.: өвчтэй. № 95-102.
ЗОРИЛГО:1) “Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл” гэсэн ойлголтыг оюутнуудад таниулах;
2) Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн зэрэглэлийг тодорхойлж сурах;
3) Өгөгдсөн функцээс аль дүрс нь график болохыг тодорхойлж сур
өгөгдсөн тэгшитгэл;
4) Хоёр хувьсагчтай графикийн хувиргалтыг авч үзэх;
Agrapher програмыг ашиглан хоёр хувьсагчтай өгөгдсөн тэгшитгэл;
6) Оюутнуудын логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх.
I. Шинэ материал - харилцан ярианы элементүүдтэй тайлбар лекц.
(лекцийг зохиогчийн слайд ашиглан явуулдаг; графикийг Agrapher програм дээр зурсан)
Т: Шугам судлахад хоёр асуудал гарч ирдэг.
Өгөгдсөн шугамын геометрийн шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлийг олох;
Урвуу бодлого: шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн, түүний геометрийн шинж чанарыг судал.
Бид геометрийн хичээлийн эхний асуудлыг тойрог ба шулуун шугамын талаар авч үзсэн.
Өнөөдөр бид урвуу асуудлыг авч үзэх болно.
Дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.
A) x(x-y)=4;б) 2у-х 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.
нь хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн жишээ юм.
Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлүүд XТэгээд цагт шиг харагдаж байна f(x,y)=(x,y), Хаана еТэгээд – хувьсагчтай илэрхийллүүд XТэгээд у.
Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. x(x-y)=4хувьсагчийн оронд орлуулах Xтүүний утга -1, оронд нь цагт– утга 3, тэгвэл зөв тэгшитгэл гарна: 1*(-1-3)=4,
(-1; 3) хувьсагчийн утгыг хослуул XТэгээд цагттэгшитгэлийн шийдэл юм x(x-y)=4.
Тэр бол тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр хувьсагчтай гэж нэрлэдэг Энэ тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон бүрдүүлдэг хувьсагчийн дараалсан хос утгуудын багц.
Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл нь ихэвчлэн хязгааргүй олон шийдтэй байдаг. Үл хамаарах зүйлгэх мэт тэгшитгэлүүдийг үүсгэнэ X 2 +(ж 2 - 4) 2 = 0 эсвэл
2х 2 + цагт 2 = 0 .
Эхнийх нь хоёр шийдэлтэй (0; -2) ба (0; 2), хоёр дахь нь нэг шийдэлтэй (0; 0).
x 4 + y 4 +3 = 0 тэгшитгэлд шийдэл огт байхгүй. Тэгшитгэл дэх хувьсагчдын утгууд бүхэл тоо байх үед энэ нь сонирхолтой юм. Хоёр хувьсагчтай ийм тэгшитгэлийг шийдснээр бүхэл тоон хос олно. Ийм тохиолдолд тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийддэг гэж хэлдэг.
Ижил шийдтэй хоёр тэгшитгэлийг нэрлэнэ эквивалент тэгшитгэл. Жишээлбэл, x(x + y 2) = x + 1 тэгшитгэл нь 3-р зэргийн тэгшитгэл бөгөөд үүнийг xy 2 + x 2 - x-1 = 0 тэгшитгэл болгон хувиргаж болох тул баруун тал нь гуравдугаар зэргийн стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт.
F(x, y) = 0 хэлбэрээр илэрхийлэгдэх хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн зэрэг нь F(x, y) нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийг F(x, y) олон гишүүнтийн зэрэг гэнэ.
Хэрэв хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн бүх шийдлийг координатын хавтгайд цэг болгон дүрсэлсэн бол хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн графикийг авах болно.
ХуваарьХоёр хувьсагчтай тэгшитгэл нь координатууд нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болдог цэгүүдийн багц юм.
Тэгэхээр тэгшитгэлийн график ax + by + c = 0коэффициентүүдийн ядаж нэг нь шулуун шугам юм аэсвэл б тэгтэй тэнцүү биш (Зураг 1). Хэрэв a = b = c = 0, тэгвэл энэ тэгшитгэлийн график нь байна координатын хавтгай (Зураг 2), хэрэв a = b = 0, А c0, тэгвэл график нь байна хоосон багц (Зураг 3).
Тэгшитгэлийн график y = a x 2 + by + cнь парабол (Зураг 4), тэгшитгэлийн график юм xy=k (k0) – гипербол (Зураг 5). Тэгшитгэлийн график X 2 + y 2 = r, энд x ба y нь хувьсагч, r нь эерэг тоо, байна тойроггарал үүслийн төв ба радиустай тэнцүү r(Зураг 6). Тэгшитгэлийн график нь байна эллипс, Хаана аТэгээд б– эллипсийн том ба бага хагас тэнхлэг (Зураг 7).
Зарим тэгшитгэлийн графикийг бүтээх нь тэдгээрийн хувиргалтыг ашиглах замаар хөнгөвчилдөг. Ингээд авч үзье хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн графикийг хөрвүүлэхтэгшитгэлийн графикийн хамгийн энгийн хувиргалтыг гүйцэтгэх дүрмийг томъёолно
1) F (-x, y) = 0 тэгшитгэлийн графикийг F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн графикаас тэнхлэгийн тэгш хэмийг ашиглан гаргав. у.
2) F (x, -y) = 0 тэгшитгэлийн графикийг F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн графикаас тэнхлэгийн тэгш хэмийг ашиглан гаргана. X.
3) F (-x, -y) = 0 тэгшитгэлийн графикийг F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн графикаас гарал үүслийн талаархи төвийн тэгш хэмийг ашиглан гаргав.
4) F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн графикаас х тэнхлэгтэй параллель шилжихэд |a| нэгж (баруун талд, хэрэв а> 0, хэрэв зүүн тийш А < 0).
5) F (x, y-b) = 0 тэгшитгэлийн графикийг F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн графикаас |b| руу шилжүүлснээр гарна. тэнхлэгтэй параллель нэгж цагт(хэрэв дээшээ б> 0, хэрэв доош б < 0).
6) F (ax, y) = 0 тэгшитгэлийн графикийг F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн графикаас y тэнхлэгт шахаж, дахин үржүүлэх замаар олж авна. А> 1, хэрэв 0 бол у тэнхлэгээс дахин сунгах замаар< А < 1.
7) F (x, by) = 0 тэгшитгэлийн графикийг F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн графикаас х тэнхлэгт шахах замаар олж авна. будаа бол б> 1, мөн 0 бол х тэнхлэгээс дахин сунгах замаар < b < 1.
Хэрэв зарим тэгшитгэлийн графикийг эхийн ойролцоо тодорхой өнцгөөр эргүүлбэл шинэ график нь өөр тэгшитгэлийн график болно. 90 0 ба 45 0 өнцгөөр эргүүлэх онцгой тохиолдлууд чухал юм.
8) Координатын эхийн ойролцоо цагийн зүүний дагуу 90 0 өнцгөөр эргүүлсний үр дүнд F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн график F (-y, x) = 0 тэгшитгэлийн график болж хувирна. ба цагийн зүүний эсрэг F (y , -x) = 0 тэгшитгэлийн график руу оруулна.
9) Координатын гарал үүслийн ойролцоо цагийн зүүний дагуу 45 0 өнцгөөр эргүүлсний үр дүнд F (x, y) = 0 тэгшитгэлийн график нь F = 0 тэгшитгэлийн график болж, цагийн зүүний эсрэг -ийн график болж хувирна. тэгшитгэл F 
= 0.
Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн графикийг хувиргах тухай бидний авч үзсэн дүрмүүдээс функцийн графикийг хувиргах дүрмийг хялбархан олж авдаг.
Жишээ 1. Тэгшитгэлийн графикаар үүнийг харуулъя X 2 + y 2 + 2x – 8y + 8 = 0тойрог байна (Зураг 17).
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргая.
1) хувьсагчийг агуулсан нэр томъёог бүлэглэх Xболон хувьсагч агуулсан цагт, мөн бүлэг нэр томъёо бүрийг бүрэн дөрвөлжин гурвалсан хэлбэрээр төсөөлөөд үз: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;
2) үүссэн гурвалсан тоог хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн (ялгаа) квадратаар бичнэ үү: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;
3) хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн графикийг хувиргах дүрмийн дагуу (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2 тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе: энэ тэгшитгэлийн график нь төвтэй тойрог юм. цэг (-1; 4) ба радиус нь 3 нэгж .
Жишээ 2: Тэгшитгэлийн графикийг зуръя X 2 + 4у 2 = 9 .
4у 2-ыг (2у) 2 хэлбэрээр төсөөлье, бид x 2 + (2y) 2 = 9 тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд графикийг x 2 + y 2 = 9 тойргоос х тэнхлэгийг a-аар шахаж авах боломжтой. 2-ын хүчин зүйл.
Гарал үүсэл дээр төвтэй, 3 нэгж радиустай тойрог зур.
Цэг бүрийн зайг X тэнхлэгээс 2 дахин багасгаж, тэгшитгэлийн графикийг авъя.
x 2 + (2y) 2 = 9.
Бид тойргийг нэг диаметртэй (X тэнхлэгт байрлах диаметр хүртэл) шахаж дүрсийг олж авсан. Энэ дүрсийг эллипс гэж нэрлэдэг (Зураг 18).
Жишээ 3. x 2 - y 2 = 8 тэгшитгэлийн график ямар болохыг олж мэдье.
F= 0 томьёог ашиглая.
Энэ тэгшитгэлд X, Y-ийн оронд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
Т: y = тэгшитгэлийн график ямар вэ?
D: y = тэгшитгэлийн график нь гипербол юм.
У: Бид x 2 - y 2 = 8 хэлбэрийн тэгшитгэлийг у = тэгшитгэл болгон хувиргасан.
Энэ тэгшитгэлийн график аль шугам байх вэ?
Г: Тэгэхээр x 2 - y 2 = 8 тэгшитгэлийн график нь гипербол болно.
U: Ямар шугамууд гиперболын асимптотууд вэ y = .
D: y = гиперболын асимптотууд нь y = 0 ба x = 0 шулуун шугамууд юм.
U: Эргүүлж дуусахад эдгээр шулуун шугамууд = 0 ба = 0 шулуунууд болж хувирна, өөрөөр хэлбэл y = x ба y = - x шулуунууд болно. (Зураг 19).
Жишээ 4: Параболын y = x 2 тэгшитгэл эхийг цагийн зүүний дагуу 90 0 өнцгөөр эргүүлэхэд ямар хэлбэртэй болохыг олж мэдье.
F (-y; x) = 0 томьёог ашиглан y = x 2 тэгшитгэлд х хувьсагчийг – у, у хувьсагчийг х-ээр солино. Бид x = (-y) 2, өөрөөр хэлбэл x = y 2 тэгшитгэлийг олж авна (Зураг 20).
Бид хоёр хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийн графикуудын жишээг үзэж, ийм тэгшитгэлийн графикууд нь парабол, гипербол, эллипс (ялангуяа тойрог) байж болохыг олж мэдсэн. Нэмж дурдахад, хоёр дахь зэрэгтэй тэгшитгэлийн график нь хос шугам байж болно ( огтлолцсон эсвэл параллель ) Энэ нь доройтсон тохиолдол гэж нэрлэгддэг. Тэгэхээр x 2 - y 2 = 0 тэгшитгэлийн график нь огтлолцсон хос шулуун (Зураг 21а), x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 тэгшитгэлийн график нь зэрэгцээ шугамууд юм.
II Нэгтгэл.
(Оюутнуудад Agrapher программд хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн график байгуулах "Зааварчилгаа карт" (Хавсралт 2), "Практик даалгавар" картыг (Хавсралт 3) 1-8-р даалгаврын томъёогоор өгнө. Багш тэгшитгэлийн графикийг үзүүлэв. слайд дээрх 4-5 даалгавар).
Дасгал 1. (5;4), (1;0), (-5;-4) ба (-1; -) хосуудын аль нь тэгшитгэлийн шийдэл вэ?
a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?
Шийдэл:
Эдгээр цэгүүдийн координатыг өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулснаар бид x 2 - y 2 = 0 тэгшитгэлийн шийдэл биш, харин x 3 - 1 = x 2 y + 6y тэгшитгэлийн шийдэл биш гэдэгт бид итгэлтэй байна. нь (5;4), (1;0) ба (-1; -) хосууд юм.
125 - 1 = 100 + 24 (I)
1 - 1= 0 + 0 (I)
125 – 1 = -100 – 24 (L)
1 – 1 = - - (I)
Хариулт: A); б) (5;4), (1; 0), (-1; -).
Даалгавар 2. Утга нь байх xy 2 - x 2 y = 12 тэгшитгэлийн шийдийг ол. X 3-тай тэнцүү.
Шийдэл: 1) Өгөгдсөн тэгшитгэлийн X-ийн оронд 3-ын утгыг орлуулна.
2) Бид Y хувьсагчийн квадрат тэгшитгэлийг дараах хэлбэртэй болгоно.
3y 2 - 9y = 12.
4) Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
3y 2 - 9y – 12 = 0
D = 81 + 144 = 225
Хариулт: (3;4) ба (3;-1) хосууд нь xy 2 - x 2 y = 12 тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Даалгавар 3. Тэгшитгэлийн зэргийг тодорхойлно уу:
a) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; в) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;
б) 5у 2 - 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).
Хариулт: a) 3; б) 5; 4 цагт; г) 4.
Даалгавар 4. Аль дүрс нь тэгшитгэлийн график вэ?
a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y – 1; в) 2(x + 1) = x 2 - y;
d) (x - 1.5)(x – 4) = 0; e) xy – 1.2 = 0; e) x 2 + y 2 = 9.
Даалгавар 5. График нь x 2 - xy + 3 = 0 (Зураг 24) тэгшитгэлийн графиктай тэгш хэмтэй тэгш хэмтэй тэгшитгэлийг бичнэ үү: a) тэнхлэг. X; б) тэнхлэгүүд цагт; в) шулуун шугам y = x; г) шулуун шугам y = -x.
Даалгавар 6. y = x 2 -3 тэгшитгэлийн графикийг сунгах замаар графикийг гаргаж авсан тэгшитгэлийг зохио (Зураг 25):
a) x тэнхлэгээс 2 удаа; б) y тэнхлэгээс 3 удаа.
Даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн эсэхийг Agrapher программаас шалгана уу.
Хариулт: a)y - x 2 + 3 = 0 (Зураг 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (Зураг 25б).
б) шугамууд параллель, х тэнхлэгт параллель 1 нэгж баруун тийш, y тэнхлэгтэй параллель 3 нэгж доош (Зураг 26б);
в) шулуун шугамууд огтлолцох, x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй дэлгэц (Зураг 26c);
d) шулуун шугамууд огтлолцож, y тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй дэлгэц (Зураг 26d);
e) шугамууд нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад параллель, тэгш хэмтэй дэлгэц (Зураг 26e);
e) шулуун шугамууд огтлолцож, эхийн эргэн тойронд цагийн зүүний дагуу 90 эргэлдэж, x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдана (Зураг 26f).
III. Бие даасан боловсролын ажил.
(Оюутнуудад "Бие даан хийх ажил" карт, "Бие даасан ажлын үр дүнгийн тайлангийн хүснэгт"-ийг өгдөг бөгөөд үүнд оюутнууд хариултаа бичиж, бие даан шалгасны дараа санал болгож буй схемийн дагуу ажлыг үнэлдэг) Хавсралт 4 ..
I. сонголт.
a) 5х 3 -3х 2 у 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2(x + y).
a) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; б) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.
x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.
a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;
b) x 2 -y 2 = 1;
в) x - y 2 = 9.
x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.
Тойргийн төв ба радиусын координатыг зааж өгнө үү.
6. Тэгшитгэл нь x 2 - y 2 = 16 хэлбэртэй болохын тулд y = гиперболыг координатын хавтгайд хэрхэн шилжүүлэх вэ?
Хариултаа Agrapher ашиглан графикаар шалгана уу.
7. y = x 2 параболыг координатын хавтгайд хэрхэн хөдөлгөж, тэгшитгэл нь x = y 2 - 1 хэлбэртэй болох вэ?
Сонголт II.
1. Тэгшитгэлийн зэргийг тодорхойл:
a)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); б) 2у 3 + 5х 2 у 2 - 7 = 0.
2. Хос тоо (-2;3) тэгшитгэлийн шийдэл мөн үү:
a) x 2 -y 2 -3x = 1; б) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.
3. Тэгшитгэлийн шийдийн багцыг ол:
x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.
4. Хэрэв энэ муруйн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байвал ямар төрлийн муруй (гипербол, тойрог, парабол) байх вэ?
a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9
б) y 2 - x 2 =1
в) x = y 2 - 1.
(Даалгавар зөв хийгдсэн эсэхийг Agrapher програмаас шалгана уу)
5. Agrapher програмыг ашиглан тэгшитгэлийг зур.
x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.
6. Тэгшитгэл нь x 2 - y 2 = 28 хэлбэртэй болохын тулд у = гиперболыг координатын хавтгайд хэрхэн шилжүүлэх вэ?
7. y = x 2 параболыг координатын хавтгайд хэрхэн хөдөлгөж, тэгшитгэл нь x = y 2 + 9 хэлбэртэй байх ёстой.
Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй аливаа тэгшитгэл юм. a*x + b*y =с. Энд x, y нь хоёр хувьсагч, a,b,c нь зарим тоо юм.
a*x + b*y = c шугаман тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ тэгшитгэлийг хангасан дурын хос тоо (x,y) юм, өөрөөр хэлбэл x ба у хувьсагчтай тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг. Шугаман тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.
Хэрэв хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн шийдэл болох хос тоо бүрийг координатын хавтгайд цэг болгон дүрсэлсэн бол эдгээр бүх цэгүүд нь хоёр хувьсагчийн шугаман тэгшитгэлийн графикийг бүрдүүлнэ. Цэгийн координатууд нь бидний x ба y утгууд байх болно. Энэ тохиолдолд x утга нь абсцисса, y утга нь ординат болно.
Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн график
Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн график нь координатын хавтгай дээрх бүх боломжит цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээрийн координатууд нь энэхүү шугаман тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. График нь шулуун шугам байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Ийм учраас ийм тэгшитгэлийг шугаман гэж нэрлэдэг.
Барилгын алгоритм
Шугаман тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчаар зурах алгоритм.
1. Координатын тэнхлэгүүдийг зурж, тэдгээрийг тэмдэглэж, нэгжийн масштабыг тэмдэглэ.
2. Шугаман тэгшитгэлд x = 0-ийг тавиад, үүссэн тэгшитгэлийг у-ийн хувьд шийд. Гарсан цэгийг график дээр тэмдэглэ.
3. Шугаман тэгшитгэлд 0-ийн тоог у гэж авч, үүссэн тэгшитгэлийг х-ээр шийд. Гарсан цэгийг график дээр тэмдэглэ
4. Шаардлагатай бол х-ийн дурын утгыг авч, үүссэн тэгшитгэлийг y-ийн хувьд шийд. Гарсан цэгийг график дээр тэмдэглэ.
5. Үүссэн цэгүүдийг холбож, тэдгээрийн цаана байгаа графикийг үргэлжлүүлнэ. Үүссэн шулуун шугамд гарын үсэг зурна уу.
Жишээ: 3*x - 2*y =6 тэгшитгэлийн графикийг зур;
x=0, тэгвэл - 2*y =6; y= -3;
y=0, тэгвэл 3*x = 6; x=2;
Бид олж авсан цэгүүдийг график дээр тэмдэглэж, тэдгээрийн дундуур шулуун шугам зурж, тэмдэглэнэ. Доорх зургийг хар, график яг ийм байх ёстой.