Цогцолбор тоонуудыг тригонометрийн хэлбэр болгон бууруулсан. Комплекс тоонуудын тригонометр ба экспоненциал хэлбэрүүд. Комплекс тоог алгебрийн хэлбэрээс тригонометрийн хэлбэрт хөрвүүлэх

3.1. Туйлын координат

Ихэнхдээ онгоцонд ашигладаг туйлын координатын систем . О цэг өгөгдсөн бол энэ нь тодорхойлогддог, гэж нэрлэдэг туйл, ба туйлаас ялгарах туяа (бидний хувьд энэ нь тэнхлэг юм Ox) - туйлын тэнхлэг. M цэгийн байрлалыг хоёр тоогоор тогтооно. радиус (эсвэл радиус вектор) ба туйлын тэнхлэг ба векторын хоорондох өнцөг φ.φ өнцгийг гэж нэрлэдэг туйлын өнцөг; радианаар хэмжиж, туйлын тэнхлэгээс цагийн зүүний эсрэг тоолно.

Туйлын координатын систем дэх цэгийн байрлалыг эрэмбэлэгдсэн хос тоогоор (r; φ) өгнө. Туйл дээр r = 0,ба φ тодорхойлогдоогүй байна. Бусад бүх цэгүүдийн хувьд r > 0,ба φ нь 2π-ийн үржвэр болох гишүүн хүртэл тодорхойлогддог. Энэ тохиолдолд (r; φ) ба (r 1 ; φ 1) хос тоонууд нь ижил цэгтэй холбогдоно.

Тэгш өнцөгт координатын системийн хувьд xOyЦэгийн декарт координатыг түүний туйлын координатаар дараах байдлаар амархан илэрхийлнэ.

3.2. Комплекс тооны геометрийн тайлбар

Хавтгай дээрх декартын тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзье xOy.

Аливаа комплекс тоо z=(a, b) нь координаттай хавтгай дээрх цэгтэй холбоотой байна ( x, y), Хаана координат x = a, i.e. нийлмэл тооны бодит хэсэг, координат y = bi нь төсөөллийн хэсэг юм.

Цэгүүд нь нийлмэл тоонууд байдаг хавтгай бол цогцолбор хавтгай юм.

Зураг дээр комплекс тоо z = (a, b)цэгтэй тохирч байна М(х, у).

Дасгал хийх.Комплекс тоонуудыг координатын хавтгай дээр зур.

3.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Хавтгай дээрх комплекс тоо нь цэгийн координаттай байдаг М(x;y). Үүнд:

Комплекс тоо бичих - комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр.

r тоог дууддаг модуль нийлмэл тоо zболон томилогдсон. Модуль нь сөрөг биш бодит тоо юм. Учир нь .

Хэрэв модуль нь тэг болно z = 0, өөрөөр хэлбэл. a = b = 0.

φ тоог дууддаг аргумент z болон томилогдсон. Аргумент z нь туйлын координатын систем дэх туйлын өнцөг, тухайлбал 2π-ийн үржвэр хүртэл тодорхойгүй тодорхойлогддог.

Дараа нь бид хүлээн зөвшөөрнө: , энд φ нь аргументийн хамгийн бага утга юм. Энэ нь ойлгомжтой

.

Сэдвийг илүү гүнзгий судлахдаа φ* туслах аргументыг оруулдаг.

Жишээ 1. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ол.

Шийдэл. 1) модулийг авч үзье: ;

2) φ хайж байна: ;

3) тригонометрийн хэлбэр:

Жишээ 2.Комплекс тооны алгебрийн хэлбэрийг ол .

Энд тригонометрийн функцуудын утгыг орлуулж, илэрхийлэлийг хувиргахад хангалттай.

Жишээ 3.Комплекс тооны модуль ба аргументыг олох;

1) ;

2) ; φ - 4 улиралд:

3.4. Тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоотой үйлдлүүд

· Нэмэх ба хасахАлгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонуудтай хийх нь илүү тохиромжтой.

· Үржүүлэх- энгийн тригонометрийн хувиргалтыг ашиглан үүнийг харуулж болно Үржүүлэх үед тоонуудын модулийг үржүүлж, аргументуудыг нэмнэ: ;

ЦОГЦОЛБОР ДУГААР XI

§ 256. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Комплекс тоо байг a + bi вектортой тохирч байна О.А.> координаттай ( а, б ) (332-р зургийг үз).

Энэ векторын уртыг дараах байдлаар тэмдэглэе r , мөн тэнхлэгтэй харьцах өнцөг X , дамжуулан φ . Синус ба косинусын тодорхойлолтоор:

а / r =cos φ , б / r = нүгэл φ .

Тийм ч учраас А = r cos φ , б = r нүгэл φ . Гэхдээ энэ тохиолдолд нийлмэл тоо a + bi дараах байдлаар бичиж болно.

a + bi = r cos φ + ir нүгэл φ = r (cos φ + би нүгэл φ ).

Таны мэдэж байгаагаар аливаа векторын уртын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас r 2 = а 2 + б 2, хаанаас r = √a 2 + б 2

Тэгэхээр, дурын комплекс тоо a + bi хэлбэрээр төлөөлж болно :

a + bi = r (cos φ + би нүгэл φ ), (1)

хаана r = √a 2 + б 2 ба өнцөг φ нөхцөлөөр тодорхойлогддог:

Комплекс тоо бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг тригонометр.

Тоо r томъёонд (1) гэж нэрлэдэг модуль, болон өнцөг φ - маргаан, комплекс тоо a + bi .

Хэрэв комплекс тоо бол a + bi тэгтэй тэнцүү биш бол түүний модуль эерэг байна; хэрэв a + bi = 0, тэгвэл a = b = 0, дараа нь r = 0.

Аливаа комплекс тооны модуль нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.

Хэрэв комплекс тоо бол a + bi тэгтэй тэнцүү биш бол түүний аргументыг (2) томъёогоор тодорхойлно. гарцаагүй 2-т хуваагдах өнцөг хүртэл нарийвчлалтай π . Хэрэв a + bi = 0, тэгвэл a = b = 0. Энэ тохиолдолд r = 0. Томъёо (1)-ээс үүнийг аргумент гэж ойлгоход хялбар φ энэ тохиолдолд та ямар ч өнцгийг сонгож болно: эцсийн эцэст, аль ч өнцгөөр φ

0 (cos φ + би нүгэл φ ) = 0.

Тиймээс тэг аргумент нь тодорхойгүй байна.

Комплекс тооны модуль r заримдаа | гэж тэмдэглэдэг z |, мөн аргумент аргумент z . Комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэх цөөн хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ. 1. 1 + би .

Модулийг олъё r болон маргаан φ энэ тоо.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Тиймээс нүгэл үйлд φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, хаанаас φ = π / 4 + 2nπ .

Тиймээс,

1 + би = √ 2 ,

Хаана П - дурын бүхэл тоо. Ихэвчлэн комплекс тооны аргументуудын хязгааргүй олон тооны утгуудаас 0-ээс 2-ын хооронд байх нэгийг сонгодог. π . Энэ тохиолдолд энэ утга байна π / 4 . Тийм ч учраас

1 + би = √ 2 (cos π / 4 + би нүгэл π / 4)

Жишээ 2.Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү √ 3 - би . Бидэнд байгаа:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, нүгэл φ = - 1 / 2

Тиймээс 2-т хуваагдах өнцөг хүртэл π , φ = 11 / 6 π ; иймээс,

√ 3 - би = 2(cos 11/6 π + би нүгэл 11/6 π ).

Жишээ 3Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү би.

Нарийн төвөгтэй тоо би вектортой тохирч байна О.А.> , тэнхлэгийн А цэгээр төгссөн цагт ординат 1-тэй (Зураг 333). Ийм векторын урт нь 1, х тэнхлэгтэй хийсэн өнцөг нь тэнцүү байна π / 2. Тийм ч учраас

би =cos π / 2 + би нүгэл π / 2 .

Жишээ 4. 3-р цогцолбор тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

Комплекс тоо 3 нь вектортой тохирч байна О.А. > X abscissa 3 (Зураг 334).

Ийм векторын урт нь 3, х тэнхлэгтэй хийх өнцөг нь 0. Тиймээс

3 = 3 (cos 0 + би гэм 0),

Жишээ 5.-5 цогцолбор тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

Комплекс тоо -5 нь вектортой тохирч байна О.А.> тэнхлэгийн цэг дээр төгсдөг X абсциссатай -5 (Зураг 335). Ийм векторын урт нь 5, х тэнхлэгтэй үүсгэсэн өнцөг нь тэнцүү байна π . Тийм ч учраас

5 = 5(cos π + би нүгэл π ).

Дасгал

2047. Эдгээр нийлмэл тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичиж, тэдгээрийн модуль, аргументуудыг тодорхойл.

1) 2 + 2√3 би , 4) 12би - 5; 7).3би ;

2) √3 + би ; 5) 25; 8) -2би ;

3) 6 - 6би ; 6) - 4; 9) 3би - 4.

2048. Модуль r ба аргументууд φ нь нөхцөлийг хангасан комплекс тоонуудыг төлөөлөх цэгүүдийн багцыг хавтгай дээр заана уу.

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Тоонууд нэгэн зэрэг цогц тооны модуль болж чадах уу? r Тэгээд - r ?

2050. Комплекс тооны аргумент нэгэн зэрэг өнцөг байж чадах уу? φ Тэгээд - φ ?

Эдгээр нийлмэл тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр үзүүлж, тэдгээрийн модуль, аргументуудыг тодорхойл.

2051*. 1 + cos α + би нүгэл α . 2054*. 2(20° - би нүгэл 20°).

2052*. нүгэл φ + би cos φ . 2055*. 3(- учир нь 15° - би нүгэл 15°).

Ердийн (алгебрийн) хэлбэрээр өгөгдсөн цогц тоог авч үзье.

Зураг 3-т комплекс тоог харуулав z. Декартын координатын систем дэх энэ тооны координатууд ( а, б). Аливаа өнцгийн нүгэл ба cos функцүүдийн тодорхойлолтоос харахад дараах байдалтай байна.

Энэ бичлэгийн хэлбэрийг нэрлэдэг тригонометрнийлмэл тоог бичих хэлбэр.

Тэгшитгэлийг (2) квадрат болгож нэмсэн:

.

(4)

r−комплекс тооны радиус векторын урт zнийлмэл тооны модуль гэж нэрлэгддэг ба | гэж тэмдэглэнэ z|. ойлгомжтой | z|≥0 ба | z|=0 зөвхөн хэрэв байгаа бол z=0.

Комплекс тоонд харгалзах цэгийн туйлын өнцгийн хэмжээ z, өөрөөр хэлбэл өнцөг φ , энэ тооны аргумент гэж нэрлэгддэг ба тэмдэглэсэн байна arg z. анзаараарай, тэр arg zүед л утга учиртай z≠0. Комплекс тооны аргумент 0 нь утгагүй юм.

Комплекс тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй. Хэрэв φ нийлмэл тооны аргумент, тэгвэл φ +2πk, к=0,1,... нь мөн комплекс тооны аргумент, учир нь учир нь( φ +2πk)=cos φ ,нүгэл( φ +2πk)=нүгэл φ .

Комплекс тоог алгебрийн хэлбэрээс тригонометрийн хэлбэрт хөрвүүлэх

Комплекс тоог алгебрийн хэлбэрээр илэрхийлье. z=a+bi. Энэ тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Бид комплекс тооны модулийг тооцоолно: . Аргументыг тооцоол φ илэрхийллүүдийн цогцолбор тоо эсвэл . Бид олж авсан утгыг тэгшитгэлд (3) оруулна.

Жишээ 1: Комплекс тоог илэрхийл z=1 тригонометрийн хэлбэрээр.

Шийдэл. Цогцолбор тоо z=1-ийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. z=1+0би φ =1/1. Бид хаанаас авах вэ? φ =0. Модуль ба аргументын утгыг (3) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна. z=1(cos0+ бинүгэл0).

Хариулах. z=1(cos0+ бинүгэл0).

Жишээ 2: Комплекс тоог илэрхийл z=iтригонометрийн хэлбэрээр.

Шийдэл. Цогцолбор тоо z=iдараах байдлаар төлөөлж болно: z=0+1би. Энэ тооны модулийг тооцоолъё: . Энэ тооны аргументыг тооцоод үзье: cos φ =0/1. Бид хаанаас авах вэ? φ =π /2. Модуль ба аргументын утгыг (3) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна. .

Хариулах. .

Жишээ 3: Комплекс тоог илэрхийл z=4+3битригонометрийн хэлбэрээр.

Шийдэл. Энэ тооны модулийг тооцоолъё: . Энэ тооны аргументыг тооцоод үзье: cos φ =4/5. Бид хаанаас авах вэ? φ =arccos(4/5). Модуль ба аргументын утгыг (3) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулах. , Хаана φ =arccos(4/5).

Тригонометрийн тэмдэглэгээнд нийлмэл тоог үржүүлэх

z 1 =r 1 (cos φ 1 +бинүгэл φ 1) ба z 2 =r 2 (cos φ 2 +бинүгэл φ 2). Эдгээр тоог үржүүлье:

тэдгээр. нийлмэл тоонуудын үржвэрийн модуль нь хүчин зүйлсийн модулийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Хариулах. .

Тригонометрийн тэмдэглэгээнд нийлмэл тоог хуваах

Комплекс тоонуудыг өгье z 1 =r 1 (cos φ 1 +бинүгэл φ 1) ба z 2 =r 2 (cos φ 2 +бинүгэл φ 2) ба зөвшөөрөх z 2 ≠0, өөрөөр хэлбэл. r 2 ≠0. Тооцоод үзье z 1 /z 2:

Хариулах. .

Үржүүлэх, хуваах геометрийн утга

Зураг 4-т нийлмэл тоонуудын үржүүлгийг үзүүлэв z 1 ба z 2. (6) ба (7) -аас бүтээгдэхүүнийг авахын тулд дараах зүйлийг хийнэ z 1 z 2, танд цэгийн вектор-радиус хэрэгтэй z 1 цагийн зүүний эсрэг өнцгөөр эргүүлнэ φ 2 ба | хүртэл сунгана z 2 | удаа (0z 2 |

Одоо комплекс тооны хуваагдлыг авч үзье z 1 z 2 дээр z 1 (Зураг 4). Томъёо (8)-аас үзэхэд хүссэн тооны модуль нь тухайн тооны модулийг хуваах коэффициенттэй тэнцүү байна. z 1 zМодуль бүрт 2 байна z 1 ба аргумент нь: φ 2 =φ −φ 1 . Хуваалтын үр дүнд бид дугаарыг авдаг z 2 .

2.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Комплекс хавтгайд векторыг тоогоор тодорхойл.

Эерэг хагас тэнхлэг Ox ба векторын хоорондох өнцгийг φ-ээр тэмдэглэе (хэрэв φ өнцгийг цагийн зүүний эсрэг хэмжвэл эерэг, бусад тохиолдолд сөрөг гэж үзнэ).

Векторын уртыг r гэж тэмдэглэе. Дараа нь . Бид бас тэмдэглэдэг

z-ээс бусад нийлмэл тоог маягт дээр бичих

z цогцолбор тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. r тоог z цогцолбор тооны модуль, φ тоог энэ цогцолбор тооны аргумент гэж нэрлээд Arg z гэж тэмдэглэнэ.

Комплекс тоог бичих тригонометрийн хэлбэр - (Эйлерийн томъёо) - комплекс тоог бичих экспоненциал хэлбэр:

Цогцолбор тоо z нь хязгааргүй олон аргументтай: хэрэв φ0 нь z тооны аль нэг аргумент бол бусад бүх тоог томъёогоор олж болно.

Комплекс тооны хувьд аргумент болон тригонометрийн хэлбэр тодорхойлогдоогүй байна.

Тиймээс, тэг биш комплекс тооны аргумент нь тэгшитгэлийн системийн аливаа шийдэл юм.

(3)

Тэгш бус байдлыг хангаж буй z цогцолбор тооны аргументийн φ утгыг үндсэн утга гэж нэрлэх ба arg z гэж тэмдэглэнэ.

Arg z болон arg z аргументууд нь хоорондоо холбоотой

, (4)

Формула (5) нь (3) системийн үр дагавар тул комплекс тооны бүх аргументууд (5) тэгшитгэлийг хангадаг боловч (5) тэгшитгэлийн φ бүх шийдлүүд z тооны аргумент биш юм.

Тэг биш комплекс тооны аргументын үндсэн утгыг дараах томъёоны дагуу олно.

Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх, хуваах томъёо нь дараах байдалтай байна.

. (7)

Комплекс тоог натурал зэрэгт хүргэхдээ Мойврын томъёог ашиглана:

Комплекс тооны үндсийг задлахдаа дараах томъёог ашиглана.

, (9)

Энд k=0, 1, 2, …, n-1.

Бодлого 54. Хаана .

Энэ илэрхийллийн шийдлийг комплекс тоог бичих экспоненциал хэлбэрээр үзүүлье: .

Хэрэв тийм бол.

Дараа нь, . Тиймээс, тэгвэл Тэгээд , Хаана.

Хариулт: , цагт.

Бодлого 55. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

A) ; б) ; V); G); г); д) ; болон).

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр нь .

a) Комплекс тоонд: .

,

Тийм ч учраас

б) , Хаана,

G) , Хаана,

д) .

ба) , А , Тэр .

Тийм ч учраас

Хариулт: ; 4; ; ; ; ; .

Бодлого 56. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ол

.

зөвшөөрөх, .

Дараа нь, , .

Түүнээс хойш ба , , дараа нь, ба

Тиймээс, , тиймээс

Хариулт: , Хаана.

Бодлого 57. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ашиглан дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ: .

Тоонуудыг төсөөлөөд үзье тригонометрийн хэлбэрээр.

1), хаана Дараа нь

Үндсэн аргументийн утгыг ол:

Утгыг орлуулж, илэрхийлэлд оруулъя, бид олж авна

2) , тэгээд хаана

Дараа нь

3) Хэмжүүрийг олцгооё

k=0, 1, 2 гэж үзвэл бид хүссэн язгуурын гурван өөр утгыг авна.

Хэрэв бол

хэрэв , тэгвэл

хэрэв , тэгвэл .

Хариулт: :

:

: .

Бодлого 58. , , , өөр комплекс тоо ба байг . Үүнийг нотол

тоо бодит эерэг тоо;

б) тэгш байдал нь:

a) Эдгээр комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр төлөөлүүлье.

Учир нь .

Ингэж жүжиглэе. Дараа нь

.

Сүүлчийн илэрхийлэл нь эерэг тоо, учир нь синусын тэмдэг нь интервалаас авсан тоонуудыг агуулдаг.

тооноос хойш бодит ба эерэг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв a ба b нь нийлмэл тоо бөгөөд бодит бөгөөд тэгээс их бол .

Түүнээс гадна,

тиймээс шаардлагатай тэгш байдал нотлогддог.

Бодлого 59. Тоог алгебрийн хэлбэрээр бич .

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр төлөөлж, дараа нь түүний алгебр хэлбэрийг олъё. Бидэнд байгаа . Учир нь Бид системийг авдаг:

Энэ нь тэгш байдлыг илэрхийлнэ: .

Мойврын томъёог хэрэглэх нь: ,

бид авдаг

Өгөгдсөн тооны тригонометрийн хэлбэр олдлоо.

Одоо энэ тоог алгебрийн хэлбэрээр бичье.

.

Хариулт: .

Бодлого 60. , , нийлбэрийг ол.

Хэмжээг нь авч үзье

Мойврын томъёог ашигласнаар бид олдог

Энэ нийлбэр нь хуваагчтай геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэр юм болон анхны гишүүн .

Ийм прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид байна

Сүүлчийн илэрхийлэл дэх төсөөллийн хэсгийг тусгаарлаж, бид олдог

Бодит хэсгийг тусгаарлахдаа бид дараахь томъёог олж авна: , , .

Бодлого 61. Нийлбэрийг ол:

A) ; б) .

Ньютоны экспонентацийн томъёоны дагуу бид байна

Moivre-ийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Үүссэн илэрхийллүүдийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тэгшитгэвэл бид:

Тэгээд .

Эдгээр томъёог дараах байдлаар авсаархан хэлбэрээр бичиж болно.

,

, a тооны бүхэл хэсэг хаана байна.

Бодлого 62. Бүгдийг ол, үүний тулд .

Учир нь , дараа нь томъёог ашиглана

, Үндэсийг задлахын тулд бид авдаг ,

Тиймээс, , ,

, .

Тоонуудыг харгалзах цэгүүд нь төв нь (0;0) цэг дээр 2 радиустай тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжингийн оройн хэсэгт байрладаг (Зураг 30).

Хариулт: , ,

, .

Бодлого 63. Тэгшитгэлийг шийд , .

Нөхцөлөөр; тиймээс энэ тэгшитгэл нь язгуургүй тул тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь z байхын тулд 1-ийн тооны n-р язгуур байх ёстой.

Эндээс бид анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлээс тодорхойлогддог үндэстэй гэж дүгнэж байна

,

Тиймээс,

,

өөрөөр хэлбэл ,

Хариулт: .

Бодлого 64. Комплекс тооны багц дахь тэгшитгэлийг шийд.

Тоо нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийн хувьд тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Энэ нь тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг томъёоноос олж авна (бодлоос 62-ыг үзнэ үү):

; ; ; ; .

Бодлого 65. Комплекс хавтгай дээр тэгш бус байдлыг хангах цэгүүдийн багцыг зур. . (45-р асуудлыг шийдэх хоёр дахь арга)

Болъё .

Ижил модультай нийлмэл тоонууд нь гарал үүслийн цэг дээр төвлөрсөн тойрог дээр байрлах хавтгайн цэгүүдэд тохирдог тул тэгш бус байдал гарал үүсэл ба радиус дээр нийтлэг төвтэй дугуйгаар хүрээлэгдсэн нээлттэй цагирагийн бүх цэгүүдийг хангах ба (Зураг 31). Цогцолбор хавтгайн зарим цэг w0 тоотой тохирно. Тоо , модуль нь w0 модулиас хэд дахин бага, мөн w0 аргументаас их аргументтай. Геометрийн үүднээс авч үзвэл w1-д харгалзах цэгийг гарал үүсэл дээр төвтэй, коэффициент бүхий гомотети, мөн эхтэй харьцуулахад цагийн зүүний эсрэг өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авч болно. Эдгээр хоёр хувиргалтыг цагирагийн цэгүүдэд хэрэглэсний үр дүнд (Зураг 31) сүүлийнх нь ижил төвтэй, 1 ба 2 радиустай тойргоор хязгаарлагдсан цагираг болон хувирна (Зураг 32).

Хөрвүүлэлт вектор руу параллель шилжүүлгийг ашиглан хэрэгжүүлсэн. Цэг дэх төвтэй цагиргийг заасан вектор руу шилжүүлснээр бид цэг дээрх төвтэй ижил хэмжээтэй цагираг олж авна (Зураг 22).

Онгоцны геометрийн хувиргалтын санааг ашигладаг санал болгож буй арга нь тайлбарлахад тохиромжгүй боловч маш гоёмсог бөгөөд үр дүнтэй байдаг.

Бодлого 66. Хэрэв олох .

Let , дараа нь ба . Анхны тэгш байдал нь хэлбэрийг авна . Хоёр комплекс тооны тэнцүү байх нөхцлөөс бид , , , үүнээс , . Ийнхүү, .

z тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичье.

, Хаана, . Мойврын томъёоны дагуу бид .

Хариулт: - 64.

Бодлого 67. Комплекс тооны хувьд , ба гэсэн бүх комплекс тоог ол .

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье.

. Эндээс, . Бидний олж авсан тооны хувьд , эсвэл -тэй тэнцүү байж болно.

Эхний тохиолдолд , хоёрдугаарт

.

Хариулт: , .

Бодлого 68. Ийм тооны нийлбэрийг ол. Эдгээр тоонуудын аль нэгийг зааж өгнө үү.

Асуудлыг томьёолсныхоо дараагаар тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг үндсийг нь тооцохгүйгээр олж болно гэдгийг ойлгож болно. Үнэн хэрэгтээ, тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан коэффициент (Вьетагийн ерөнхий теорем), i.e.

Оюутнууд, сургуулийн баримт бичиг, энэ ойлголтыг эзэмшсэн байдлын талаар дүгнэлт гаргана. Математик сэтгэлгээний онцлог, нийлмэл тооны тухай ойлголт үүсэх үйл явцын судалгааг нэгтгэн дүгнэ. Аргын тодорхойлолт. Оношлогоо: I үе шат. 10-р ангийн алгебр, геометрийн хичээл заадаг математикийн багштай ярилцлаа. Эхнээсээ хэсэг хугацаа өнгөрсний дараа яриа өрнөв...

Резонанс" (!)), үүнд мөн өөрийн зан төлөвийн үнэлгээ орно. 4. Нөхцөл байдлын талаархи ойлголтыг шүүмжлэлтэй үнэлэх (эргэлзэл). 5. Эцэст нь хууль зүйн сэтгэл судлалын зөвлөмжийг ашиглах (хуульч нь сэтгэлзүйн байдлыг харгалзан үздэг. Гүйцэтгэсэн мэргэжлийн үйл ажиллагааны талууд - мэргэжлийн сэтгэл зүйн бэлтгэл).

Тригонометрийн орлуулалтын математик, боловсруулсан сургалтын арга зүйн үр нөлөөг шалгах. Ажлын үе шат: 1. Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн сурагчидтай “Тригонометрийн орлуулалтыг алгебрийн бодлого шийдвэрлэхэд ашиглах нь” сэдвээр нэмэлт хичээл боловсруулах. 2. Боловсруулсан сонгон судлах хичээлийг явуулах. 3. Оношлогооны шинжилгээ хийх...

Танин мэдэхүйн даалгаврууд нь зөвхөн одоо байгаа сургалтын хэрэглэгдэхүүнийг нөхөх зорилготой бөгөөд боловсролын үйл явцын бүх уламжлалт хэрэгсэл, элементүүдтэй зохих хослолд байх ёстой. Хүмүүнлэгийн ухааныг заах боловсролын асуудлууд болон математикийн асуудлуудаас ялгаатай нь зөвхөн түүхэн асуудлуудад томъёолол, хатуу алгоритм гэх мэт зүйл байдаггүй бөгөөд энэ нь тэдгээрийг шийдвэрлэхэд хүндрэл учруулдаг. ...