Өнцгийн биссектрисын шинж чанарууд. Даалгаврууд. Гурвалжны элементүүд. биссектрис Өнцгийн биссектрисын шинж чанарын тухай теоремын баталгаа

Гурвалжны биссектриса – гурвалжны орой ба түүний эсрэг талын хооронд хүрээлэгдсэн гурвалжны өнцгийн биссектрисын сегмент.

Биссектрисын шинж чанарууд

1. Гурвалжны биссектриса нь өнцгийг хоёр хуваана.

2. Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талын талыг зэргэлдээх хоёр талын харьцаатай тэнцүү харьцаагаар хуваана ()

3. Гурвалжны өнцгийн биссектрисын цэгүүд нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.

4. Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрис нь нэг цэг дээр огтлолцдог - энэ гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв.

Гурвалжны биссектрисатай холбоотой зарим томьёо

(томъёоны баталгаа – )
, Хаана
- хажуу тийш татсан биссектрисын урт,
- гурвалжны талууд нь оройнуудын эсрэг байна,
- биссектрисын талыг хуваах сегментүүдийн урт;

Би таныг үзэхийг урьж байна видео заавар, энэ нь биссектрисын дээрх бүх шинж чанаруудын хэрэглээг харуулж байна.

Видеонд үзүүлсэн ажлууд:
1. АВ = 2 см, ВС = 3 см, АС = 3 см талуудтай ABC гурвалжинд VM биссектрис зурсан. AM ба MC хэрчмүүдийн уртыг ол
2. АВС гурвалжны А орой дээрх дотоод өнцгийн биссектриса ба С орой дээрх гадаад өнцгийн биссектриса М цэгт огтлолцоно.В өнцөг 40 градус, С өнцөг 80 градус бол BMC өнцгийг ол.
3. Дөрвөлжин нүднүүдийн талуудыг 1-тэй тэнцүү авч үзээд гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиусыг ол.

Та мөн биссектрисын нэг шинж чанарыг ашигласан богино хэмжээний видео хичээлийг сонирхож магадгүй юм

Энэ хичээлээр бид өнцгийн биссектриса дээр байрлах цэгүүд болон сегментийн перпендикуляр биссектрист дээр байрлах цэгүүдийн шинж чанарыг нарийвчлан авч үзэх болно.

Сэдэв: тойрог

Хичээл: Өнцгийн биссектриса ба хэрчмийн перпендикуляр биссектрисын шинж чанарууд

Өнцгийн биссектриса дээр байрлах цэгийн шинж чанарыг авч үзье (1-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 1

Өнцөг өгөгдсөн, түүний биссектриса AL, M цэг нь биссектрис дээр байрладаг.

Теорем:

Хэрэв M цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бол өнцгийн талуудаас ижил зайтай, өөрөөр хэлбэл, өнцгийн талуудын М цэгээс АС ба ВС хүртэлх зай тэнцүү байна.

Нотолгоо:

Гурвалжин ба . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү, учир нь... нийтлэг гипотенуз AM байх ба AL нь өнцгийн биссектриса тул өнцөг нь тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь гипотенуз ба хурц өнцгийн хувьд тэнцүү тул үүнийг батлах шаардлагатай байна. Тиймээс өнцгийн биссектрисын цэг нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.

Эсрэг теорем үнэн.

Хэрэв цэг нь хөгжөөгүй өнцгийн талуудаас ижил зайд байвал энэ нь биссектриса дээр байрладаг.

Цагаан будаа. 2

Хөгжөөгүй өнцгийг M цэгийг өгсөн бөгөөд үүнээс өнцгийн талууд хүртэлх зай нь ижил байна (2-р зургийг үз).

М цэг өнцгийн биссектриса дээр байгааг батал.

Нотолгоо:

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикулярын урт юм. М цэгээс АВ тал руу MK, АС тал руу MR перпендикуляр зурна.

Гурвалжин ба . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү, учир нь... нийтлэг гипотенузтай AM, хөл MK ба MR нь нөхцлөөр тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжин нь гипотенуз ба хөлөөрөө тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харгалзах элементүүдийн тэгш байдал гарч ирнэ; тэнцүү өнцөг нь ижил талуудын эсрэг байрладаг тул, Тиймээс М цэг нь өгөгдсөн өнцгийн биссектриса дээр байрладаг.

Шууд ба эсрэгээр теоремуудыг нэгтгэж болно.

Теорем

Хөгжөөгүй өнцгийн биссектриса нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал юм.

Теорем

Гурвалжны AA 1, BB 1, СС 1 биссектриса нь нэг O цэг дээр огтлолцоно (3-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 3

Нотолгоо:

Эхлээд BB 1 ба CC 1 гэсэн хоёр биссектрисаг авч үзье. Тэд огтлолцдог, огтлолцлын цэг О байдаг. Үүнийг нотлохын тулд эсрэгээр нь бодъё - эдгээр биссектрис огтлолцохгүй байсан ч энэ тохиолдолд параллель байна. Дараа нь BC шулуун шугам нь секант ба өнцгийн нийлбэр юм , энэ нь бүхэл гурвалжинд өнцгүүдийн нийлбэр байна гэсэнтэй зөрчилдөж байна.

Тэгэхээр хоёр биссектрисын огтлолцлын О цэг байна. Түүний шинж чанарыг авч үзье:

О цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бөгөөд энэ нь BA ба ВС талуудаас ижил зайд байна. Хэрэв ОК нь BC-д перпендикуляр, OL нь BA-д перпендикуляр байвал эдгээр перпендикуляруудын урт нь тэнцүү байна - . Мөн О цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрлах ба түүний CB ба CA талуудаас ижил зайд байх ба OM ба OK перпендикулярууд тэнцүү байна.

Бид дараах тэгш байдлыг олж авсан.

, өөрөөр хэлбэл О цэгээс гурвалжны талууд руу унасан гурван перпендикуляр бүгд хоорондоо тэнцүү байна.

Бид OL ба OM перпендикуляруудын тэгш байдлыг сонирхож байна. Энэ тэгшитгэл нь О цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байгаа бөгөөд энэ нь түүний биссектриса AA 1 дээр байрладаг болохыг харуулж байна.

Ийнхүү гурвалжны гурван биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдогийг бид нотолсон.

Хэсэг, түүний перпендикуляр биссектриса болон перпендикуляр биссектрист байрлах цэгийн шинж чанаруудыг авч үзье.

AB сегмент өгөгдсөн, p нь перпендикуляр биссектрис юм. Энэ нь шулуун шугам p нь AB хэрчмийн дундуур өнгөрч, түүнд перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

Теорем

Цагаан будаа. 4

Перпендикуляр биссектрис дээр байрлах аливаа цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрладаг (4-р зургийг үз).

Үүнийг нотол

Нотолгоо:

Гурвалжин болон . Тэд тэгш өнцөгт, тэнцүү, учир нь. нийтлэг OM хөлтэй ба AO ба OB хөлүүд нь нөхцлөөр тэнцүү тул бид хоёр хөлтэй тэнцүү хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинтай болно. Үүнээс үзэхэд гурвалжны гипотенузууд нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байсан.

AB сегмент нь олон тойргийн нийтлэг хөвч гэдгийг анхаарна уу.

Жишээлбэл, M цэг дээр төвтэй, MA ба MB радиустай эхний тойрог; N цэгт төвтэй, NA радиус ба NB радиустай хоёр дахь тойрог.

Тиймээс хэрчмийн перпендикуляр биссектрис дээр цэг орвол сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байдгийг бид нотолсон (5-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 5

Эсрэг теорем үнэн.

Теорем

Хэрэв тодорхой M цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байвал энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг.

Өгөгдсөн AB сегмент, түүнд перпендикуляр биссектриса p, сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд M цэг (6-р зургийг үз).

М цэг сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байгааг батал.

Цагаан будаа. 6

Нотолгоо:

Гурвалжинг авч үзье. Нөхцөл байдлын дагуу энэ нь тэгш өнцөгт юм. Гурвалжны медианыг авч үзье: О цэг нь AB суурийн дунд, OM нь медиан юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны өмчийн дагуу түүний суурь руу татсан медиан нь өндөр ба биссектриса юм. Үүнийг дагадаг. Гэхдээ p шулуун мөн AB-д перпендикуляр байна. O цэг дээр AB хэрчимд ганц перпендикуляр зурах боломжтой гэдгийг бид мэднэ, энэ нь OM ба p шулуунууд давхцаж байгаа тул М цэг нь p шулуун шугамд хамаарах болно гэдгийг батлах шаардлагатай байна.

Шууд ба эсрэгээр теоремуудыг ерөнхийд нь авч үзэж болно.

Теорем

Сегментийн перпендикуляр биссектриса нь түүний төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.

Гурвалжин нь таны мэдэж байгаагаар гурван сегментээс бүрддэг бөгөөд энэ нь гурван перпендикуляр биссектрис зурж болно гэсэн үг юм. Тэд нэг цэг дээр огтлолцдог нь харагдаж байна.

Гурвалжны перпендикуляр биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог.

Гурвалжин өгөгдсөн. Хажуу талын перпендикулярууд: P 1 нь BC тал руу, P 2 нь AC тал руу, P 3 нь AB тал руу (7-р зургийг үз).

P 1, P 2 ба P 3 перпендикулярууд О цэг дээр огтлолцохыг батал.

Энэ хичээлээр бид өнцгийн биссектрисын тухай ойлголтыг эргэн санаж, өнцгийн биссектрисын шинж чанарын тухай шууд ба урвуу теоремуудыг томьёолж, нотолж, тэдгээрийг ерөнхийд нь дүгнэх болно. Биссектрисын тухай баримтаас гадна бусад геометрийн баримтуудыг ашигласан асуудлыг шийдье.

Сэдэв: тойрог

Хичээл: Өнцгийн биссектрисын шинж чанарууд. Даалгаврууд

Гурвалжин бол бүх геометрийн гол дүрс бөгөөд үүнийг атом шиг шавхагдашгүй гэж хошигнодог. Түүний шинж чанарууд нь олон тооны, сонирхолтой, зугаатай байдаг. Бид эдгээр шинж чанаруудын заримыг нь авч үздэг.

Аливаа гурвалжин нь юуны түрүүнд гурван өнцөг, гурван сегмент юм (1-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 1

А орой , В ба С талуудтай өнцгийг авч үзье.

Гурвалжны өнцгийг оруулаад аль ч өнцөгт та биссектрис зурж болно - өөрөөр хэлбэл өнцгийг хагасаар хуваадаг шулуун шугам (2-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 2

Өнцгийн биссектриса дээр байрлах цэгийн шинж чанарыг авч үзье (3-р зургийг үз).

Өнцгийн биссектриса дээр байрлах M цэгийг авч үзье.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь энэ цэгээс шулуун хүртэл татсан перпендикулярын урт гэдгийг санаарай.

Цагаан будаа. 3

Хэрэв бид биссектрист ороогүй цэгийг авбал энэ цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай өөр байх нь ойлгомжтой. М цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай нь ижил байна.

Теорем

Хөгжөөгүй өнцгийн биссектрисын цэг бүр өнцгийн талуудаас ижил зайд, өөрөөр хэлбэл өнцгийн талуудын М цэгээс АС ба ВС хүртэлх зай тэнцүү байна.

Өнцөг нь өгөгдсөн, түүний биссектрис AL, M цэг нь биссектрист байрладаг (4-р зургийг үз).

Үүнийг батлах.

Цагаан будаа. 4

Нотолгоо:

Гурвалжин болон . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжнууд бөгөөд тэдгээр нь AM нийтлэг гипотенузтай, AL нь өнцгийн биссектрис учраас өнцөг нь тэнцүү тул тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь гипотенуз ба хурц өнцгийн хувьд тэнцүү тул үүнийг батлах шаардлагатай байна. Тиймээс өнцгийн биссектрисын цэг нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.

Эсрэг теорем үнэн.

Теорем

Хэрэв цэг нь хөгжөөгүй өнцгийн талуудаас ижил зайд байвал энэ нь биссектриса дээр байрладаг.

М цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай ижил байхаар хөгжөөгүй өнцгийг өгөв.

М цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг болохыг батал (5-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 5

Нотолгоо:

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикулярын урт юм. М цэгээс АВ тал руу MK, АС тал руу MR перпендикуляр зурна.

Гурвалжин ба . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү, учир нь тэдгээр нь нийтлэг гипотенуз AM, MK ба MR хөлүүд нь нөхцлөөр тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжин нь гипотенуз ба хөлөөрөө тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харгалзах элементүүдийн тэгш байдал гарч ирнэ; тэнцүү өнцөг нь ижил талуудын эсрэг байрладаг тул, Тиймээс М цэг нь өгөгдсөн өнцгийн биссектриса дээр байрладаг.

Заримдаа шууд ба урвуу теоремуудыг дараах байдлаар нэгтгэдэг.

Теорем

Цэг нь зөвхөн энэ өнцгийн биссектриса дээр байгаа тохиолдолд өнцгийн талуудаас ижил зайтай байна.

Өнцгийн талуудаас биссектрисын цэгүүдийн ижил зайг янз бүрийн бодлогод өргөн ашигладаг.

Асуудал № 674Атанасяны геометрийн 7-9-р ангийн сурах бичгээс:

Хөгжөөгүй өнцгийн биссектрисын М цэгээс энэ өнцгийн талууд руу MA ба MB перпендикуляр татагдана (6-р зургийг үз). Үүнийг батлах.

Өгөгдсөн: өнцөг, биссектриса ОМ, өнцгийн талуудын перпендикуляр MA ба MB.

Цагаан будаа. 6

Үүнийг батлах:

Нотолгоо:

Шууд теоремын дагуу М цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрладаг, учир нь нөхцөлөөр энэ нь биссектриса дээр байрладаг. .

Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье (7-р зургийг үз). Тэдгээр нь нийтлэг гипотенузтай OM, MA ба MB хөлүүд нь тэнцүү гэдгийг бид өмнө нь нотолсон. Тиймээс хоёр тэгш өнцөгт

Цагаан будаа. 7

гурвалжин нь хөл ба гипотенузын хувьд тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас тэдгээрийн харгалзах элементүүдийн тэгш байдал үүсдэг тул өнцгийн тэгш байдал үүсдэг. болон бусад хөлийн тэгш байдал.

OA ба OB хөлүүдийн тэгш байдлаас харахад гурвалжин нь тэгш өнцөгт, AB нь түүний суурь юм. OM шулуун шугам нь гурвалжны биссектриса юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны өмчийн дагуу энэ биссектриса нь мөн өндөр бөгөөд энэ нь OM ба AB шулуунууд зөв өнцгөөр огтлолцдог гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байв.

Тиймээс бид өнцгийн биссектрист дээр байрлах цэгийн өмчийн талаархи шууд ба эсрэг теоремуудыг судалж, тэдгээрийг ерөнхийд нь нэгтгэж, янз бүрийн геометрийн баримтуудыг, түүний дотор энэ теоремыг ашиглан асуудлыг шийдсэн.

Ном зүй

1. Александров А.Д. болон бусад.Геометр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2011 он.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометр, 8-р анги. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009 он.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

Гэрийн даалгавар

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. болон бусад.Геометр, 7-9, No676-678, Урлаг. 180.

Сегментийн дунд цэг юу болохыг та мэдэх үү? Та мэдээжийн хэрэг. Тойргийн төвийг яах вэ? Үүнтэй адил.

Өнцгийн дунд цэг гэж юу вэ?

Ийм зүйл болохгүй гэж та хэлж болно. Яагаад сегментийг хагас болгон хувааж болох ч өнцөг нь яагаад хуваагдаж болохгүй вэ? Энэ нь бүрэн боломжтой - зүгээр л нэг цэг биш, гэхдээ .... шугам.

Та онигоог санаж байна уу: биссектриса нь булан тойрон гүйж, буланг нь хагасаар хуваадаг харх юм.Тиймээс биссектрисын жинхэнэ тодорхойлолт нь энэ хошигнолтой маш төстэй юм.

Гурвалжны биссектриса- энэ нь энэ өнцгийн оройг эсрэг талын цэгтэй холбосон гурвалжны өнцгийн биссектрисын сегмент юм.

Нэгэн цагт эртний одон орон судлаачид, математикчид биссектрисын олон сонирхолтой шинж чанарыг олж илрүүлжээ. Энэхүү мэдлэг нь хүмүүсийн амьдралыг ихээхэн хялбаршуулсан.

Үүнд туслах анхны мэдлэг бол...

Дашрамд хэлэхэд, та эдгээр бүх нэр томъёог санаж байна уу? Тэд бие биенээсээ юугаараа ялгаатай болохыг та санаж байна уу? Үгүй юу? Аймшиггүй. Одоо үүнийг олж мэдье.

• Хоёр талт гурвалжны суурь- энэ бол бусадтай тэнцүү биш тал юм. Зургийг хар, аль тал нь гэж та бодож байна вэ? Энэ нь зөв - энэ бол тал юм.
• Медиан гэдэг нь гурвалжны оройгоос зурж, эсрэг талыг (дахин ийм) хагасаар хуваадаг шугам юм. Бид "Аль тэгш өнцөгт гурвалжны медиан" гэж хэлээгүйг анхаарна уу. Яагаад гэдгийг мэдэх үү? Учир нь гурвалжны оройгоос зурсан медиан нь АЯмар гурвалжны эсрэг талыг хоёр хуваадаг.
• Өндөр нь дээд талаас нь зурсан, суурьтай перпендикуляр шугам юм. Та анзаарсан уу? Бид дахин ижил өнцөгт гурвалжны тухай биш, харин ямар ч гурвалжны тухай ярьж байна. Аливаа гурвалжны өндөр нь сууринд үргэлж перпендикуляр байдаг.

За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Бараг л.

Бисектрис, медиан, өндөр гэж юу байдгийг илүү сайн ойлгож, үүрд санахын тулд танд хэрэгтэй бие биетэйгээ харьцуулмөн тэд хэрхэн адилхан, бие биенээсээ юугаараа ялгаатай болохыг ойлгох.

Үүний зэрэгцээ илүү сайн санахын тулд бүх зүйлийг "хүний ​​хэлээр" дүрслэх нь дээр.

Дараа нь та математикийн хэлээр амархан ажиллах болно, гэхдээ та эхлээд энэ хэлийг ойлгодоггүй тул бүх зүйлийг ойлгох хэрэгтэй. өөрийн хэлээр.

Тэгэхээр, тэд ямар төстэй вэ?

Биссектрис, медиан ба өндөр - бүгд гурвалжны оройноос "гарч", эсрэг талд нь амарч, гарах өнцөг эсвэл эсрэг талдаа "ямар нэгэн зүйл хийдэг".

Би үүнийг энгийн гэж бодож байна, тийм үү?

Тэд юугаараа ялгаатай вэ?

• Биссектрис нь гарч ирэх өнцгийг хагасаар хуваана.
• Медиан нь эсрэг талыг хагасаар хуваана.
• Өндөр нь үргэлж эсрэг талдаа перпендикуляр байдаг.

Ингээд л болоо. Ойлгоход амархан. Тэгээд нэгэнт ойлгочихвол санаж чадна.

Одоо дараагийн асуулт.

Яагаад ижил өнцөгт гурвалжны хувьд биссектриса нь медиан ба өндрийн аль аль нь байдаг вэ?

Та зүгээр л зургийг хараад медиан нь туйлын тэнцүү хоёр гурвалжинд хуваагдаж байгаа эсэхийг шалгаарай.

Тэгээд л болоо! Гэвч математикчид нүдэндээ итгэх дургүй байдаг. Тэд бүх зүйлийг батлах хэрэгтэй.

Аймшигтай үг үү?

Ийм зүйл байхгүй - энэ бол энгийн! Хараач: хоёулаа тэнцүү талуудтай бөгөөд ерөнхийдөө нийтлэг талтай байдаг. (- биссектриса!) Тэгээд хоёр гурвалжин нь хоёр тэнцүү талтай, тэдгээрийн хоорондох өнцөгтэй болох нь харагдаж байна.

Гурвалжны тэгш байдлын анхны шинж тэмдгийг бид санаж байна (хэрэв та санахгүй байгаа бол сэдвийг харна уу) гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн тул = ба.

Энэ нь аль хэдийн сайн байна - энэ нь дундаж болж хувирсан гэсэн үг юм.

Гэхдээ энэ юу вэ?

Зургийг харцгаая - . Тэгээд бид авсан. Тэгэхээр бас! Эцэст нь, яараарай! Тэгээд.

Энэ нотлох баримт танд жаахан хүнд санагдсан уу? Зургийг хараарай - хоёр ижил гурвалжин нь өөрөө ярьдаг.

Ямар ч тохиолдолд хатуу санаарай:

Одоо илүү хэцүү байна: бид тоолох болно дурын гурвалжны биссектрисын хоорондох өнцөг!Бүү ай, энэ нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Зураг луу хар:

Тоолж үзье. Та үүнийг санаж байна уу гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь?

Энэ гайхалтай баримтыг хэрэгжүүлцгээе.

Нэг талаас:

Тэр бол.

Одоо харцгаая:

Гэхдээ биссектриса, биссектриса!

Дараахыг санацгаая:

Одоо үсгүүдээр дамжуулан

Энэ нь гайхмаар биш гэж үү?

Энэ нь тодорхой болсон хоёр өнцгийн биссектрисийн хоорондох өнцөг нь зөвхөн гурав дахь өнцгөөс хамаарна!

За, бид хоёр биссектрисийг харлаа. Гурав байвал яах вэ???!!! Тэд бүгд нэг цэг дээр огтлолцох уу?

Эсвэл ийм байх болов уу?

Та яаж бодож байна? Тиймээс математикчид бодож, бодож, нотолсон:

Энэ гайхалтай биш гэж үү?

Яагаад ийм зүйл болдгийг мэдмээр байна уу?

Дараагийн түвшинд шилжинэ - та биссектрисын талаарх мэдлэгийн шинэ өндөрлөгийг эзлэхэд бэлэн байна!

БИСЕКТОР. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Биссектрис гэж юу байдгийг санаж байна уу?

Биссектриса нь өнцгийг хоёр хуваасан шугам юм.

Та асуудалд биссектристай тулгарсан уу? Дараах гайхалтай шинж чанаруудын нэгийг (эсвэл заримдаа хэд хэдэн) хэрэглэхийг хичээ.

1. Хоёр талт гурвалжин дахь биссектриса.

"Теорем" гэдэг үгнээс айхгүй байна уу? Хэрэв та айж байгаа бол энэ нь дэмий хоосон юм. Математикчид бусад энгийн мэдэгдлүүдээс ямар нэгэн байдлаар гаргаж болох аливаа мэдэгдлийг теорем гэж нэрлэж заншсан байдаг.

Тиймээс, анхаарал, теорем!

БаталцгааяЭнэ теорем, өөрөөр хэлбэл яагаад ийм зүйл болж байгааг ойлгоцгооё? Хоёр талт тэгш өнцөгтийг хар.

Тэднийг анхааралтай авч үзье. Тэгээд бид үүнийг харах болно

1. - ерөнхий.

Энэ нь (гурвалжингийн тэгш байдлын анхны шинж тэмдгийг хурдан санаарай!) гэсэн үг юм.

Тэгээд юу гэж? Та ингэж хэлмээр байна уу? Бид эдгээр гурвалжны гуравдахь тал болон үлдсэн өнцгүүдийг хараахан хараахан хараахан хараагүй байгаа явдал юм.

Одоо харцгаая. Нэг удаа, дараа нь туйлын, бүр нэмэлтээр, .

Тэгэхээр ийм болсон

1. талыг хагасаар хуваасан, өөрөөр хэлбэл медиан болж хувирав
2. , энэ нь хоёулаа адилхан гэсэн үг (зураг руу дахин хар).

Тэгэхээр энэ нь бас биссектриса болон өндөр болж хувирав!

Өө! Бид теоремыг баталсан. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм. Бас үнэнч эсрэг теорем:

Нотолгоо? Та үнэхээр сонирхож байна уу? Дараагийн түвшний онолыг уншина уу!

Хэрэв та сонирхохгүй бол хатуу санаж байна:

Яагаад үүнийг хатуу санаж байна вэ? Энэ нь хэрхэн тусалж чадах вэ? Гэхдээ танд даалгавар байна гэж төсөөлөөд үз дээ:

Өгөгдсөн: .

Олно: .

Та тэр даруй ойлгов, биссектрис, харагтун, тэр хажуу талыг хоёр хуваасан! (нөхцөлөөр ...). Хэрэв та ийм зүйл тохиолддог гэдгийг хатуу санаж байвал зөвхөнтэгш өнцөгт гурвалжинд, дараа нь та дүгнэлт хийх бөгөөд энэ нь та хариултыг бичнэ гэсэн үг юм: . Гайхалтай, тийм үү? Мэдээжийн хэрэг, бүх ажил тийм ч хялбар биш байх болно, гэхдээ мэдлэг нь мэдээж туслах болно!

Одоо дараагийн өмч. Бэлэн үү?

2. Өнцгийн талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн байрлалыг өнцгийн биссектриса гэнэ.

Айсан? Энэ үнэхээр том асуудал биш. Залхуу математикчид хоёр мөрөнд дөрөв нуусан. Тэгэхээр энэ нь юу гэсэн үг вэ, "Биссектрис - цэгүүдийн байршил"? Энэ нь тэднийг шууд цаазалсан гэсэн үг хоёрмэдэгдэл:

1. Хэрэв цэг нь биссектрис дээр байрладаг бол түүнээс өнцгийн талууд хүртэлх зай тэнцүү байна.
2. Хэрэв зарим үед өнцгийн талууд хүртэлх зай тэнцүү байвал энэ цэг болно Заавалбиссектрис дээр байрладаг.

Та 1 ба 2-р мэдэгдлүүдийн ялгааг харж байна уу? Хэрэв тийм ч их биш юм бол "Алиса гайхамшгийн оронд" киноны Малгайчийг санаарай: "Тэгвэл "Би юу идсэнээ харж байна", "Би харсан зүйлээ иддэг" гэж өөр юу хэлэх вэ!"

Тиймээс бид 1 ба 2-р мэдэгдлийг батлах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь дараахь мэдэгдлийг батлах хэрэгтэй. “Биссектриса нь өнцгийн талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал” гэдгийг батлах болно!

Яагаад 1 үнэн вэ?

Биссектрисын дурын цэгийг аваад түүнийг дуудъя.

Энэ цэгээс өнцгийн талууд руу перпендикуляр буулгая.

Тэгээд одоо ... тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын тэмдгүүдийг санахад бэлэн байгаарай! Хэрэв та тэдгээрийг мартсан бол хэсгийг хараарай.

Тэгэхээр ... хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин: ба. Тэдэнд байгаа:

• Ерөнхий гипотенуз.
• (Учир нь энэ нь биссектрис юм!)

Энэ нь өнцөг ба гипотенузаар гэсэн үг юм. Тиймээс эдгээр гурвалжны харгалзах хөл нь тэнцүү байна! Тэр бол.

Энэ цэг нь өнцгийн талуудаас тэнцүү (эсвэл тэнцүү) алслагдсан гэдгийг бид нотолсон. 1-р цэгийг авч үзнэ. Одоо 2-р цэг рүү шилжье.

Яагаад 2 үнэн вэ?

Тэгээд цэгүүдийг холбоцгооё.

Энэ нь биссектрис дээр байрладаг гэсэн үг юм!

Тэгээд л болоо!

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ бүхнийг хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ? Жишээлбэл, асуудалд "Тойрог нь өнцгийн талуудад хүрч байна ..." гэсэн өгүүлбэр ихэвчлэн байдаг. За, та ямар нэг зүйл олох хэрэгтэй.

Дараа нь та үүнийг хурдан ойлгох болно

Мөн та тэгш байдлыг ашиглаж болно.

3. Гурвалжны гурван биссектрис нэг цэгт огтлолцоно

Биссектриса нь өнцгийн талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал байх шинж чанараас дараах тайлбарыг гаргана.

Энэ нь яг яаж гарч ирдэг вэ? Гэхдээ хараарай: хоёр биссектриса огтлолцох нь гарцаагүй, тийм үү?

Гурав дахь биссектрис дараах байдлаар явж болно.

Гэвч бодит байдал дээр бүх зүйл илүү дээр юм!

Хоёр биссектрисын огтлолцох цэгийг харцгаая. Үүнийг нэрлэе.

Бид энд хоёр удаа юу ашигласан бэ? Тиймээ догол мөр 1, мэдээжийн хэрэг! Хэрэв цэг нь биссектриса дээр байрладаг бол өнцгийн талуудаас ижил зайтай байна.

Тэгээд ийм зүйл болсон.

Гэхдээ энэ хоёр тэгш байдлыг анхааралтай ажигла! Эцсийн эцэст тэднээс ийм зүйл гарч ирдэг бөгөөд иймээс .

Тэгээд одоо энэ нь тоглох болно цэг 2: өнцгийн талууд хүртэлх зай тэнцүү бол цэг нь биссектриса дээр байрладаг ... ямар өнцөг вэ? Зургийг дахин хараарай:

ба өнцгийн талууд хүртэлх зай бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд энэ нь цэг нь өнцгийн биссектрис дээр байрладаг гэсэн үг юм. Гурав дахь биссектрис ижил цэгээр дамжсан! Гурван биссектрис бүгд нэг цэгт огтлолцдог! Мөн нэмэлт бэлэг болгон -

Цацраг бичээстэйтойрог.

(Баталгаажуулахын тулд өөр сэдвийг харна уу).

За, одоо та хэзээ ч мартахгүй:

Гурвалжны биссектрисын огтлолцлын цэг нь түүнд бичигдсэн тойргийн төв юм.

Дараагийн өмч рүүгээ орцгооё... Хөөх, биссектрис олон шинж чанартай байдаг биз дээ? Энэ нь маш сайн, учир нь шинж чанар их байх тусам биссектрисын асуудлыг шийдэх хэрэгсэл их болно.

4. Биссектриса ба параллелизм, зэргэлдээ өнцгүүдийн биссектриса

Бисектрис өнцгийг хагасаар хуваадаг нь зарим тохиолдолд огт санаанд оромгүй үр дүнд хүргэдэг. Жишээлбэл,

Тохиолдол 1

Гайхалтай, тийм үү? Яагаад ийм байдгийг ойлгоцгооё.

Нэг талаас бид биссектрис зурдаг!

Гэхдээ нөгөө талаас хөндлөн хэвтсэн өнцөгүүд байдаг (сэдвийг санаарай).

Тэгээд одоо энэ нь болж байна; дундыг нь хая:! - хоёр өнцөгт!

Тохиолдол 2

Гурвалжинг төсөөлөөд үз (эсвэл зургийг хар)

Цэгээс цааш талыг нь үргэлжлүүлье. Одоо бидэнд хоёр өнцөг байна:

• - дотоод булан
• - гадна булан нь гадаа байна, тийм үү?

Тиймээс, одоо хэн нэгэн нэг биш, харин хоёр биссектрис зурахыг хүссэн: хоёулаа хоёулаа. Юу тохиолдох вэ?

Энэ бүтэх болов уу? тэгш өнцөгт!

Гайхалтай нь яг ийм байна.

Үүнийг олж мэдье.

Хэмжээ нь хэд гэж та бодож байна вэ?

Мэдээжийн хэрэг, тэд бүгд хамтдаа ийм өнцөг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь шулуун шугам болж хувирдаг.

Одоо үүнийг санаж, биссектрис бөгөөд энэ өнцөг дотор яг байгааг хараарай хагасбүх дөрвөн өнцгийн нийлбэрээс: ба - - өөрөөр хэлбэл яг. Та үүнийг тэгшитгэл болгон бичиж болно:

Тиймээс, гайхалтай боловч үнэн:

Гурвалжны дотоод ба гадаад өнцгүүдийн биссектрисын хоорондох өнцөг тэнцүү байна.

Тохиолдол 3

Энд бүх зүйл дотоод болон гадаад булантай адилхан байгааг та харж байна уу?

Эсвэл яагаад ийм зүйл болж байгааг дахин бодъё?

Дахин хэлэхэд, зэргэлдээ булангийн хувьд,

(зэрэгцээ суурьтай харгалзах байдлаар).

Дахин хэлэхэд тэд эвлэрдэг яг хагаснийлбэрээс

Дүгнэлт:Хэрэв асуудал нь биссектрис агуулсан бол зэргэлдээөнцөг буюу биссектриса хамааралтайпараллелограмм эсвэл трапецын өнцөг, дараа нь энэ асуудалд мэдээжтэгш өнцөгт гурвалжин, эсвэл бүр бүхэл бүтэн тэгш өнцөгт оролцдог.

5. Биссектриса ба эсрэг тал

Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг ямар нэгэн байдлаар бус харин онцгой бөгөөд маш сонирхолтой байдлаар хуваадаг нь харагдаж байна.

Тэр бол:

Гайхалтай баримт, тийм үү?

Одоо бид энэ баримтыг батлах болно, гэхдээ бэлэн байгаарай: энэ нь өмнөхөөсөө арай илүү хэцүү байх болно.

Дахин хэлэхэд - "сансар" руу гарах - нэмэлт формац!

Шууд явцгаая.

Юуны төлөө? Одоо харах болно.

Бисектрисийг шулуунтай огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье.

Энэ танил зураг мөн үү? Тийм, тийм, тийм, 4-р зүйлтэй яг адилхан, тохиолдол 1 - энэ нь (- биссектрис)

Хөндлөн хэвтэж байна

Тэгэхээр, тэр ч бас.

Одоо гурвалжнуудыг харцгаая.

Та тэдний талаар юу хэлж чадах вэ?

Тэд адилхан. За, тийм ээ, тэдний өнцөг нь босоо өнцөгтэй тэнцүү байна. Тэгэхээр хоёр буланд.

Одоо бид холбогдох талуудын харилцааг бичих эрхтэй.

Одоо товч тайлбараар:

Өө! Надад ямар нэг зүйлийг сануулж байна, тийм үү? Энэ бол бидний батлахыг хүссэн зүйл биш гэж үү? Тийм, тийм, яг тэр!

"Сансрын алхалт" ямар агуу болохыг та харж байна - нэмэлт шулуун шугам барих - түүнгүйгээр юу ч болохгүй байсан! Тиймээс бид үүнийг нотолсон

Одоо та үүнийг аюулгүй ашиглаж болно! Гурвалжны өнцгийн биссектрисийн өөр нэг шинж чанарыг харцгаая - бүү ай, одоо хамгийн хэцүү хэсэг дууслаа - энэ нь илүү хялбар байх болно.

Бид үүнийг ойлгодог

Теорем 1:

Теорем 2:

Теорем 3:

Теорем 4:

Теорем 5:

Теорем 6:

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол үнэхээр гайхалтай! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэнийхээ төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх Сурах бичиг худалдаж аваарай - 899 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Өнөөдөр маш хялбар хичээл байх болно. Бид зөвхөн нэг объект болох өнцгийн биссектрисийг авч үзэх бөгөөд түүний хамгийн чухал шинж чанарыг батлах болно, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их хэрэгтэй болно.

Зүгээр л тайвширч болохгүй: заримдаа нэг улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтанд өндөр оноо авахыг хүсч буй оюутнууд эхний хичээл дээр биссектрисын тодорхойлолтыг нарийн томъёолж чаддаггүй.

Тэгээд бид үнэхээр сонирхолтой ажлуудыг хийхийн оронд ийм энгийн зүйлд цаг үрдэг. Тиймээс уншиж, үзэж, хүлээн ав. :)

Эхлээд жаахан хачирхалтай асуулт: өнцөг гэж юу вэ? Энэ нь зөв: өнцөг гэдэг нь нэг цэгээс гарч буй хоёр туяа юм. Жишээлбэл:

Өнцгийн жишээ: хурц, мохоо, зөв

Зурган дээрээс харахад өнцөг нь хурц, мохоо, шулуун байж болно - энэ нь одоо хамаагүй. Ихэнхдээ, ая тухтай байлгах үүднээс туяа тус бүр дээр нэмэлт цэгийг тэмдэглэдэг бөгөөд бидний өмнө $ AOB $ өнцөг ($ \ өнцөг AOB $ гэж бичсэн) байдаг гэж хэлдэг.

Captain Obviousness $OA$ ба $OB$ туяанаас гадна $O$ цэгээс илүү олон туяа зурах боломжтой гэдгийг сануулж байх шиг байна. Гэхдээ тэдний дунд нэг онцгой зүйл байх болно - түүнийг биссектрис гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Өнцгийн биссектриса нь тухайн өнцгийн оройноос гарч, өнцгийг хоёр хуваасан цацраг юм.

Дээрх өнцгүүдийн хувьд биссектрис дараах байдлаар харагдана.

Хурц, мохоо, зөв ​​өнцгийн биссектрисын жишээ

Бодит зураг дээр тодорхой туяа (бидний тохиолдолд $OM$ туяа) анхны өнцгийг хоёр тэнцүү болгон хуваадаг нь үргэлж тодорхой байдаггүй тул геометрийн хувьд ижил тооны нумуудтай тэнцүү өнцгийг тэмдэглэх нь заншилтай байдаг. Бидний зурган дээр энэ нь хурц өнцөгт 1 нум, мохоо бол хоёр, шулуун бол гурав).

За, бид тодорхойлолтыг эрэмбэлсэн. Одоо та биссектрис ямар шинж чанартай болохыг ойлгох хэрэгтэй.

Өнцгийн биссектрисын үндсэн шинж чанар

Үнэн хэрэгтээ биссектрис маш олон шинж чанартай байдаг. Мөн бид дараагийн хичээл дээр тэднийг үзэх нь гарцаагүй. Гэхдээ та яг одоо ойлгох ёстой нэг заль мэх байна:

Теорем. Өнцгийн биссектриса нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал юм.

Математикаас орос хэл рүү орчуулбал энэ нь нэг дор хоёр баримтыг илэрхийлнэ.

1. Тодорхой өнцгийн биссектрист дээр байрлах аливаа цэг нь энэ өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.
2. Мөн эсрэгээр: хэрэв цэг нь өгөгдсөн өнцгийн талуудаас ижил зайд оршдог бол энэ өнцгийн биссектрис дээр хэвтэх нь баталгаатай болно.

Эдгээр мэдэгдлийг батлахын өмнө нэг цэгийг тодруулъя: цэгээс өнцгийн тал хүртэлх зайг яг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энд цэгээс шугам хүртэлх зайг сайн тодорхойлох нь бидэнд тусална.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь өгөгдсөн цэгээс энэ шулуун руу татсан перпендикулярын урт юм.

Жишээлбэл, $l$ шулуун ба энэ шулуун дээр ороогүй $A$ цэгийг авч үзье. $AH$-д перпендикуляр зуръя, $H\ in l$. Тэгвэл энэ перпендикулярын урт нь $A$ цэгээс $l$ шулуун шугам хүртэлх зай болно.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг графикаар дүрслэх

Өнцөг нь энгийн хоёр цацраг бөгөөд туяа тус бүр нь шулуун шугамын нэг хэсэг тул цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зайг тодорхойлоход хялбар байдаг. Эдгээр нь зөвхөн хоёр перпендикуляр юм:

Цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зайг тодорхойлно

Тэгээд л болоо! Одоо бид зай гэж юу болохыг, биссектрис гэж юу болохыг мэддэг болсон. Тиймээс бид үндсэн өмчийг баталж чадна.

Амласан ёсоор бид нотлох баримтыг хоёр хэсэгт хуваана:

1. Бисектрисын цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай нь ижил байна

Орой $O$ ба биссектрис $OM$ бүхий дурын өнцгийг авч үзье.

Яг энэ $M$ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байгааг баталцгаая.

Баталгаа. $M$ цэгээс өнцгийн талууд руу перпендикуляр зуръя. Тэднийг $M((H)_(1))$ ба $M((H)_(2))$ гэж нэрлэе:

Өнцгийн хажуу талуудтай перпендикуляр зур

Бид $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$ гэсэн хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг олж авлаа. Тэдгээр нь нийтлэг гипотенуз $OM$ ба ижил өнцөгтэй:

1. $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$ нөхцөлөөр ($OM$ нь биссектрис учраас);
2. $\өнцөг M((H)_(1))O=\өнцөг M((H)_(2))O=90()^\circ $ бүтцээр;
3. $\өнцөг OM((H)_(1))=\өнцөг OM((H)_(2))=90()^\circ -\өнцөг MO((H)_(1))$, нийлбэр Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь үргэлж 90 градус байна.

Үүний үр дүнд гурвалжнууд нь хажуу ба хоёр зэргэлдээх өнцгүүдийн хувьд тэнцүү байна (гурвалжны тэгш байдлын тэмдгийг үзнэ үү). Тиймээс, ялангуяа $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, i.e. $O$ цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай үнэхээр тэнцүү байна. Q.E.D. :)

2. Хэрэв зайнууд тэнцүү бол цэг нь биссектриса дээр байрлана

Одоо байдал эсрэгээрээ байна. Энэ өнцгийн талуудаас ижил зайд $O$ өнцөг ба $M$ цэг өгье.

$OM$ туяа нь биссектриса гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл. $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$.

Баталгаа. Эхлээд энэ $OM$ туяаг зуръя, эс тэгвээс нотлох зүйл байхгүй болно:

Булангийн дотор $OM$ цацраг явуулсан

Дахин бид хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авна: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$. Мэдээжийн хэрэг, тэд тэнцүү, учир нь:

1. Гипотенуз $OM$ - ерөнхий;
2. Хөл $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ нөхцөлөөр (эцсийн эцэст $M$ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байна);
3. Үлдсэн хөл нь бас тэнцүү, учир нь Пифагорын теоремоор $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Тиймээс гурван талдаа $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$ гурвалжингууд. Ялангуяа тэдгээрийн өнцөг тэнцүү байна: $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$. Энэ нь зөвхөн $OM$ нь биссектриса гэсэн үг юм.

Баталгаажуулахын тулд бид үүссэн тэнцүү өнцгийг улаан нумаар тэмдэглэнэ.

Биссектриса $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ өнцгийг хоёр тэнцүү болгож хуваана.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Бид өнцгийн биссектриса нь энэ өнцгийн талуудтай ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэдгийг баталсан. :)

Одоо бид нэр томъёоны талаар бага эсвэл бага хэмжээгээр шийдсэн тул дараагийн түвшинд шилжих цаг болжээ. Дараагийн хичээлээр бид биссектрисын илүү төвөгтэй шинж чанаруудыг авч үзэж, тэдгээрийг бодит асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар сурах болно.