Хоёр талт гурвалжны талаархи асуудлууд. Тэгш өнцөгт гурвалжныг хэрхэн байгуулах вэ Суурь ба хажуу талыг ашиглан гурвалжин байгуул
Хоёр талтийм байна гурвалжин, түүний хоёр талын урт нь хоорондоо тэнцүү байна.
Тухайн сэдвээр асуудал шийдвэрлэх үед "Ис тэгш өнцөгт гурвалжин"дараах мэдэгдэж байгаа ашиглах шаардлагатай байна шинж чанарууд:
1.
Тэнцүү талуудын эсрэг талын өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.
2.
Тэнцүү өнцгөөс зурсан биссектриса, медиан ба өндрүүд хоорондоо тэнцүү байна.
3.
Адил өнцөгт гурвалжны суурь руу татсан биссектриса, медиан ба өндөр нь хоорондоо давхцдаг.
4.
Тойргийн төв ба тойргийн төв нь өндөрт байрладаг тул суурь руу татсан медиан ба биссектрист байрладаг.
5.
Хоёр талт гурвалжинд тэнцүү өнцөг нь үргэлж хурц байдаг.
Гурвалжин нь дараах байдалтай байвал ижил өнцөгт байна тэмдэг:
1.
Гурвалжны хоёр өнцөг тэнцүү байна.
2.
Өндөр нь голчтой давхцдаг.
3.
Бисектрис нь медиантай давхцдаг.
4.
Өндөр нь биссектристэй давхцдаг.
5.
Гурвалжны хоёр өндөр тэнцүү байна.
6.
Гурвалжны хоёр биссектриса тэнцүү байна.
7.
Гурвалжны хоёр медиан тэнцүү байна.
Энэ сэдвээр хэд хэдэн асуудлыг авч үзье "Ис тэгш өнцөгт гурвалжин"мөн тэдгээрийн нарийвчилсан шийдлийг өгнө.
Даалгавар 1.
Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь хүртэлх өндөр нь 8, суурь нь хажуу тийшээ 6:5 байна.Гурвалжны оройноос биссектриссүүдийн огтлолцох цэг хүртэлх зайг ол.
Шийдэл.
ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг өгье (Зураг 1).
1) АС: BC = 6: 5 тул AC = 6x, BC = 5x байна. ВН – ABC гурвалжны АС суурь руу татсан өндөр.
H цэг нь хувьсах гүйдлийн дунд байх тул (нэг адил тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарын дагуу) HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x байна.
BC 2 = VN 2 + NS 2;
(5х) 2 = 8 2 + (3х) 2 ;
x = 2, тэгвэл
AC = 6x = 6 2 = 12 ба
BC = 5x = 5 2 = 10.
3) Гурвалжны биссектрисын огтлолцлын цэг нь түүнд бичигдсэн тойргийн төв байх тул
OH = r. Бид ABC гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиусыг томъёогоор олно
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, дараа нь OH = r = 48/16 = 3.
Тиймээс VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.
Хариулт: 5.
Даалгавар 2.
ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд AD биссектрис татагдана. ABD ба ADC гурвалжны талбайнууд 10 ба 12. Энэ гурвалжны өндөрт баригдсан квадратын гурвалжны талбайг АС суурь руу татсаныг ол.
Шийдэл.
ABC гурвалжинг - ижил өнцөгт, AD - А өнцгийн биссектрисийг авч үзье (Зураг 2).
1) BAD ба DAC гурвалжны талбайг бичье.
S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · АС · AD · sin α.
2) Талбайн харьцааг ол:
S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
S BAD = 10 тул S DAC = 12, дараа нь 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, дараа нь AB = 5x, AC = 6x гэж үзье.
AN = 1/2 АС = 1/2 6x = 3x.
3) ABN гурвалжингаас - Пифагорын теоремын дагуу тэгш өнцөгт AB 2 = AN 2 + BH 2;
25x 2 = VN 2 + 9x 2;
4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .
S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22 тул 22 = 12x 2;
x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.
5) Талбайн талбай нь VN 2 = 88/3-тай тэнцүү; 3 88/3 = 88.
Хариулт: 88.
Даалгавар 3.
Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь нь 4, тал нь 8. Хажуу тийш унасан өндрийн квадратыг ол.
Шийдэл.
ABC гурвалжинд - ижил өнцөгт BC = 8, AC = 4 (Зураг 3).
1) ВН – ABC гурвалжны АС суурь руу татсан өндөр.
H цэг нь хувьсах гүйдлийн дунд байх тул (нэг адил тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарын дагуу) HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2 байна.
2) VNS гурвалжингаас - Пифагорын теоремын дагуу тэгш өнцөгт BC 2 = VN 2 + NS 2;
64 = VN 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), түүнчлэн S ABC = 1/2 · (AM · BC), дараа нь бид томъёоны баруун талыг тэнцүүлж, бид олж авна.
1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;
AM = (AC BH)/BC;
AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
Хариулт: 15.
Даалгавар 4.
Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь ба түүн дээр буулгасан өндөр нь 16-тай тэнцүү байна. Энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол.
Шийдэл.
ABC гурвалжинд – тэгш өнцөгт суурь AC = 16, ВН = 16 – АС суурь руу татсан өндөр (Зураг 4).
1) AN = NS = 8 (нэг тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарын дагуу).
2) VNS гурвалжингаас - Пифагорын теоремын дагуу тэгш өнцөгт
BC 2 = VN 2 + NS 2;
МЭӨ 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;
3) ABC гурвалжинг авч үзье: синусын теоремоор 2R = AB/sin C, энд R нь ABC гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.
sin C = BH/BC (синусын тодорхойлолтоор VNS гурвалжингаас).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, дараа нь 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Хариулт: 10.
Даалгавар 5.
Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь руу татсан өндрийн урт 36, бичээстэй тойргийн радиус 10. Гурвалжны талбайг ол.
Шийдэл.
ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг өгье.
1) Гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв нь түүний биссектрисын огтлолцлын цэг тул О. ϵ VN ба AO нь А өнцгийн биссектриса, мөн OH = r = 10 байна (Зураг 5).
2) VO = VN - OH; VO = 36 – 10 = 26.
3) ABN гурвалжинг авч үзье. Гурвалжны өнцгийн биссектрисын теоремоор
AB/AN = VO/OH;
AB/AN = 26/10 = 13/5, дараа нь AB = 13x, AN = 5x гэж үзье.
Пифагорын теоремын дагуу AB 2 = AN 2 + VN 2;
(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;
169x 2 = 25x 2 + 36 2;
144x 2 = (12 · 3) 2;
144х2 = 144 9;
x = 3, дараа нь АС = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Хариулт: 540.
Даалгавар 6.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр тал нь 5 ба 20-той тэнцүү. Гурвалжны суурь дээрх өнцгийн биссектрисийг ол.
Шийдэл.
1) Гурвалжны талууд 5, суурь нь 20 байна гэж бодъё.
Дараа нь 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Зураг 6).
2) LC = x, дараа нь BL = 20 – x гэж үзье. Гурвалжны өнцгийн биссектрисын теоремоор
AB/AC = BL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
дараа нь 4x = 20 - x;
Тиймээс LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Гурвалжны өнцгийн биссектрисын томъёог ашиглая:
AL 2 = AB AC – BL LC,
дараа нь AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;
Хариулт: 6.
Асуулт хэвээр байна уу? Геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
VIII . Барилгын ажлын бүлгүүд.
Туслах гурвалжин ашиглан бүлгүүдийн асуудлыг шийдвэрлэх.
Аргын мөн чанар нь туслах гурвалжинг бүтээх, тэдгээрийн шинж чанар, шинээр олж авсан элементүүдийг ашиглан асуудлыг эцэслэн шийдвэрлэх явдал юм.
Барилгын шинжилгээ нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.
Шинжилгээнд туслах гурвалжинг хайж олоорой.
Хэрэв ABC гурвалжны тусламжтайгаар шинэ элементүүд гарч ирвэл зорилгодоо хүрсэн болно.
Хэрэв энэ нь тохиолдоогүй бол алга болсон элементүүдийг хангах өөр туслах гурвалжинг барьж болно.
Жишээнүүдийг ашиглан аргын мөн чанарыг харцгаая.
Даалгавар 1. ABC гурвалжны ижил өнцөгт ( б= в) By а, h б .
Бид туслах гурвалжинг хайж байна. CDB гурвалжинг ийм гурвалжин гэж үзэх нь ойлгомжтой.
Энэ нь C өнцгийг, тиймээс ABC өнцгийг өгнө. Тэгэхээр a, B өнцөг, C өнцөг байгаа нь ABC гурвалжинг байгуулж болно гэсэн үг. Бид үүнийг схемийн дагуу дараах байдлаар бичнэ.
(a, h b) → Δ CDB →< C.
(а,< B, < C) → Δ ABC.
Бие даасан шийдлийн даалгавар:
Дээрхтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан дараах өгөгдлийг ашиглан ижил өнцөгт гурвалжин (b=c) байгуулахыг зөвлөж байна.
A)< А, h b ;
б)< В, h с;
G)< В, h b ;
д)< С, h b .
Даалгавар 2. Бичигдсэн тойргийн r радиус, А өнцөг, В өнцгийг ашиглан гурвалжин байгуул.
Би ABC гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв байя.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |ВD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.
Бие даасан шийдлийн даалгавар:
Дараах элементүүдийг ашиглан гурвалжин байгуул.
a) a, h c, h b; б) a, h a, h b; в) а, м а, м б;
G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
g) b, h b, m b (үүнд m нь медиан, l нь биссектрис, h нь өндөр).
ганцаараа:
Гол асуудал дээр үндэслэн бүлгүүдийг шийдвэрлэх.
Гол ажил:
диагональ BD ба өндрийг BM ашиглан ABCD ромбыг байгуулна. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
дөрвөн талдаа трапец барина.
Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан гурвалжин байгуул.
Гол ажил:
Хоёр талын дагуу тэгш өнцөгт гурвалжин байгуул.
Хоёр диагональ дагуу ромбыг байгуул.
Хоёр тэгш бус талтай тэгш өнцөгтийг байгуул.
Хоёр диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан параллелограммыг байгуул.
Диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан тэгш өнцөгтийг байгуул.
Хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцгийг ашиглан гурвалжин байгуул.
Бие даасан шийдлийн даалгавар:
Гол ажил:
Суурь ба зэргэлдээх өнцгийг ашиглан ижил өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Хөл болон зэргэлдээх хурц өнцгийг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Энэ өнцгийн оройг дайран өнгөрөх өнцөг ба диагональ ашиглан ромбыг байгуул.
Өндөр ба оройн өнцгийг харгалзан ижил өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Өгөгдсөн диагональ дагуу квадрат байгуул.
Гипотенуз ба хурц өнцгийг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Бие даасан шийдлийн даалгавар:
Гол ажил:
Хажуугийн дагуу тэгш өнцөгт гурвалжинг ба суурийн булангийн дагуу байгуул.
Хажуу ба оройн өнцгийг ашиглан ижил өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Гурван талыг ашиглан гурвалжин байгуул.
Бие даасан шийдлийн даалгавар:
Гол ажил:
Суурь ба талуудыг ашиглан ижил өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Хажуугийн болон диагональуудын дагуу ромбыг байгуул.
Хоёр тэгш бус тал ба диагональ ашиглан параллелограмм байгуул.
Хажуу ба хоёр диагональ ашиглан параллелограмм байгуул.
Хөл ба гипотенузыг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Бие даасан шийдлийн даалгавар:
Өндөр ба хажуугийн дагуу ижил өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Суурь ба суурийн төгсгөлөөс хажуу тийш перпендикулярыг ашиглан ижил өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Суурь, өндөр, диагональ ашиглан параллелограмм байгуул.
Түүний өндөр ба диагональ дагуу ромбыг байгуул.
Хажуу тал ба түүнээс доош буулгасан өндрийг ашиглан ижил өнцөгт гурвалжинг байгуул.
Суурь, өндөр, тал дээр үндэслэн гурвалжин байгуул.
Уран зохиол:
Б.И.Аргунов, М.Б.Балк “Онгоц дээрх геометрийн байгууламжууд”, М, “Просвещение” 1955 он.
Глейзер Г.И.“Сургуулийн математикийн түүх” IV – VI анги, М, “Гэгээрэл”, 1981 он.
И.Голденблант “Геометрийн барилгын бодлого бодох туршлага” “Сургуулийн математик” 1946 оны 3 дугаар.
И.А.Кушнир “Барилгын асуудлыг шийдэх нэг арга замд” “Сургуулийн математик” 1984 оны 2-р дугаар.
А.И.Мостовой "Барилгын асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн арга хэрэглэх" "Сургуулийн математик" №5, 1983 он.
А.А.Попова "Математик" сурах бичиг. "Челябинскийн улсын багшийн их сургууль", 2005 он
Е.М.Селезнева, М.Н.Серебрякова “Ерөнхий боловсролын сургуулийн I – V ангийн геометрийн байгууламжууд” Арга зүйн боловсруулалт. Свердловск, 1974 он
Хоёр талт гурвалжныг хэрхэн яаж барих вэ? Үүнийг захирагч, харандаа, дэвтрийн нүдээр хийхэд хялбар байдаг.
Бид суурийн хэсгээс тэгш өнцөгт гурвалжин барьж эхэлдэг. Загварыг тэгш болгохын тулд суурь дахь нүдний тоо тэгш тоо байх ёстой.
Гурвалжны суурь болох сегментийг хагасаар хуваа.
Гурвалжны оройг сууринаас ямар ч өндөрт сонгож болно, гэхдээ үргэлж дундаас яг дээгүүр байна.
Цочмог тэгш өнцөгт гурвалжинг хэрхэн байгуулах вэ?
Тэгш өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөг нь зөвхөн хурц байж болно. Тэгш өнцөгт гурвалжин хурц байхын тулд орой дээрх өнцөг нь мөн хурц байх ёстой.
Үүнийг хийхийн тулд гурвалжны оройг сууринаас хол, өндөрт сонгоно.
Орой нь өндөр байх тусам оройн өнцөг багасна. Суурийн өнцөг нь зохих хэмжээгээр нэмэгддэг.
Мохоо тэгш өнцөгт гурвалжныг хэрхэн байгуулах вэ?
Тэгш өнцөгт гурвалжны орой суурь руу ойртох тусам орой дээрх өнцгийн хэмжүүр нэмэгдэнэ.
Энэ нь тэгш өнцөгт мохоо гурвалжин байгуулахын тулд доод оройг сонгоно гэсэн үг юм.
Хоёр талт тэгш өнцөгт гурвалжинг хэрхэн байгуулах вэ?
Тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулахын тулд суурийн хагастай тэнцүү зайд оройг сонгох хэрэгтэй (энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанартай холбоотой).
Жишээлбэл, суурийн урт нь 6 нүд байвал гурвалжны оройг суурийн дундаас дээш 3 нүдний өндөрт байрлуулна. Анхаарна уу: энэ тохиолдолд суурийн булангийн нүд бүр диагональ байдлаар хуваагдана.
Оройноос тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжны барилгын ажлыг эхлүүлж болно.
Бид оройг сонгож, түүнээс дээш, баруун тийш тэнцүү сегментүүдийг тэгш өнцөгт байрлуулна. Эдгээр нь гурвалжны талууд юм.
Тэдгээрийг холбож, тэгш өнцөгт гурвалжныг авцгаая.
Бид өөр сэдвээр луужин болон хуваалтгүй захирагч ашиглан ижил өнцөгт гурвалжин байгуулах талаар авч үзэх болно.